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Funções ­ parte 1

Funções ­ parte 1

Site: AVA ­ Moodle UTFPRCurso: CDI1 ­ Câmpus CP, FB, MD, PG e TDLivro: Funções ­ parte 1Impresso por: RODRIGO PEREIRA ALVESData: quinta, 5 março 2015, 12:05

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Sumário2.1 Objetivos

2.2 Introdução

2.3 O Conceito de função

2.4 O Domínio de uma função real de variável real

2.5 Operações

2.6 Gráficos

2.7 Características de uma função

2.8 Função constante

2.9 Função identidade

2.10 Função do primeiro grau

2.11 Função modular e definida por várias sentenças

2.12 Função quadrática

2.13 Função polinomial

2.14 Função Racional e Função Algébrica

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2.1 ObjetivosReconhecer uma função e formalizar o conceito matemático de função;Identificar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função;Construir e interpretar diferentes representações, como gráficos e equações de uma função;Realizar operações com funções;Determinar a inversa de uma função;Distinguir e manipular funções polinomiais, racionais, modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas;Resolver problemas que envolvam o conceito de funções.

Nesta segunda unidade, estudaremos um dos mais importantes conceitos da matemática, o de função. Serão apresentadosproblemas que evidenciam a importância do estudo das funções em diferentes áreas do conhecimento, ampliando, assim, o nossoolhar para o estudo das funções.

No decorrer dos exemplos será possível observar que o uso de recursos computacionais pode auxiliar na visualização daspropriedades e características das funções.

Ao final de cada tópico, você poderá praticar e verificar sua compreensão dos conteúdos estudados através da resolução dosexercícios propostos.

apresentacao_michelle_klaiber.flv

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2.2 IntroduçãoA palavra função geralmente é usada para exprimir a ideia de que um fato pode ser determinado, conhecido, a partirde outro (o valor gasto foi conhecido a partir do número de refrigerantes comprados, o tempo que você leva parachegar à universidade, a pé, depende da velocidade da caminhada, entre outros exemplos). O conceito de funçãonos permite descrever relações que existem em aplicações, como, por exemplo, relacionar a temperatura de umacompostagem com o número de dias em que ela começou a ser realizada.

Exemplos particulares do uso de funções podem ser encontrados desde a antiguidade, como por exemplo, um pastorrealizava a contagem de suas ovelhas fazendo uma correspondência entre os objetos a serem contados (as ovelhas)com os objetos de algum conjunto de contagem (como os dedos da mão, pedras, etc.).

Historicamente, um dos primeiros matemáticos que mais se aproximou do conceito de função foi Oresme (1323 –1382), em sua teoria, estão presentes algumas noções gerais sobre variáveis dependentes e independentes. Noentanto, o conceito matemático de função foi formalizado somente no final do século XVII, sendo relativamenterecente.

Descartes (1596­1650) afirmou em um de seus estudos que uma equação de duas variáveis, geometricamenterepresentada por uma curva, indica uma dependência entre quantidades variáveis.

Newton (1642­1727) foi um dos primeiros matemáticos a mostrar como uma função poderia ser desenvolvida emséries de potência infinita, permitindo a intervenção de processos infinitos. Ele teria usado o termo "fluent" paradesignar as variáveis independentes, “relata quantitas" para indicar variáveis dependentes, e "genita" para se referira quantidades obtidas a partir de outras utilizando as quatro operações aritméticas fundamentais (João PedroPontes, 1992). O termo “função” foi utilizado pela primeira vez por Leibniz (1646­1716) no ano de 1673.

Atualmente, podemos notar o uso de funções em muitas áreas diferentes, como por exemplo: um médico utilizafunções para calcular a quantidade de medicamento que receitará ao seu paciente, um engenheiro agrônomo podeutilizar funções para calcular o crescimento de uma planta, um vendedor utiliza funções para estimar o seu lucro...

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2.3 O Conceito de funçãoImaginemos que queiramos descobrir quanto gastamos com refrigerantes na cantina da universidade em umdeterminado período. Claramente percebemos que o valor gasto depende da quantidade de refrigerantescomprados, ou seja, o valor gasto é uma função do número de refrigerantes comprados. Se cada refrigerante custarR$ 2,50, a tabela seguinte nos dá o valor gasto em função do número comprado. Veja:

Tabela 1: valor gasto em função do número de refrigerantes comprados

Número refrigerantes comprados 1 2 3 4 5 20 ... x

valor gasto 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 50,00 .... 2,50x

Observe que para descobrir o valor gasto sempre multiplicamos o número de refrigerantes comprados pelo valor decada refrigerante. Quando escrevemos uma sentença matemática para representar essa relação (a qualdenominamos expressão algébrica), estamos determinando um “modelo matemático”. Em particular, nesse itemtrataremos dos modelos chamados de funções matemáticas.

São várias as situações que usamos essa relação, porém, dificilmente nos damos conta que estamos determinandoum modelo matemático, que estamos trabalhando com uma função.

Uma função associa elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto. Em nosso estudo, os conjuntosenvolvidos sempre serão subconjuntos de . As funções neles definidas são chamadas funções reais de umavariável real.

Antes de definirmos formalmente o que é uma função, podemos pensar em um valor que depende de outro. Porexemplo:

I. Uma relação que expresse a área A de um quadrado em função do comprimento L do lado.

Sabemos que a área de um quadrado é calculada multiplicando­se a medida do seu lado por ela mesma, ou seja,

Área do quadrado = L x L

Portanto, obtemos a equação .

II. A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação .A cada número real r positivo existe associado um único valor de A, e dizemos que A é uma função de r. Como aárea é calculada a partir do comprimento do raio, dizemos que a variável raio é independente enquanto a área Aé dependente, pois usa o valor do raio para ser calculada.

Vejamos então, qual a definição formal de função.

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IMPORTANTE:

I. não deve haver exceções: se f tem o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) B para todox A;

II. não deve haver ambiguidades: a cada x A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) B.

Exemplo 1: Sejam A = 1, 2, 3, 4 e B = 2, 3, 4, 5.

Solução:

(a) f : A → B mostrada na Figura 2.1 abaixo é uma função, pois todo elemento do conjunto A está associado a umúnico elemento do conjunto B. Note que, embora os elementos 2 e 3 tenham a mesma imagem (4), isso não contrariaa definição de função, pois a única imagem do 2 é o 4, e a única imagem do 3 é o 4. Não importa que os doiselementos do domínio estejam com a mesma imagem no contradomínio.

Figura 2.1: Diagrama de uma função

Para representar que o elemento está associado ao , segundo a função estabelecida nesse exemplo,escrevemos: . Para as outras relações, podemos escrever: , e .

(b) g : A → B mostrada na Figura 2.2 abaixo é uma função de A em B.

Para confirmar essa afirmação, basta calcularmos as imagens de todos os elementos de , pela relação . Se todasas imagens estiverem em , confirmamos a afirmação. Veja:Os elementos de A são: 1, 2, 3, 4. Os elementos de B são: 2,3,4,5. A relação é: , onde estárepresentando genericamente cada elemento do domínio . Façamos os cálculos:

De fato, é uma função de em . A relação entre os elementos de e também pode ser representadageometricamente, como mostra a Figura 2.2.

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Figura 2.2: Diagrama de uma função

Exemplo 2: Sejam A = 3, 4, 5 e B = 1, 2.

Solução:

(a) f : A → B mostrada na Figura 2.3 abaixo não é uma função de A em B, pois o elemento 4 A tem doiscorrespondentes em B, isto é, existe um elemento no domínio da função (nesse caso, o 4) que não possui umaúnica imagem.

Figura 2.3: Diagrama de uma relação

(b)Verifique se g: A → B representa uma função.

Esta notação deixa claro que o domínio da função é o conjunto A, que o contradomínio é o conjunto B e que arelação entre A e B que se quer verificar é dada por . Para ser função, todo elemento de A deve estarassociado a um único elemento de B. Vejamos:Elementos de A: 3,4,5. Elementos de B: 1,2

Testando a associação:

Logo, Não é uma função de A em B, pois o elemento 5 A não tem correspondente em B.

Conceito de função

2_2_ConceitoFuncao1.flv

Continuação: Conceito de função

2_2_ConceitoFuncao2.flv

determinacao­de­uma­expressao­algebrica­para­um­problema.flv

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No exemplo 1, . Não necessariamente precisamos ter sempre .

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2.4 O Domínio de uma função real de variável realO domínio de uma função é o conjunto de números reais possíveis para a variável independente, ou seja, todos osvalores de possíveis. Quando uma determinada função é representada graficamente, podemos analisar o domínioda função por meio da projeção do gráfico sobre o eixo x. Da mesma forma, podemos dizer quem é o conjuntoimagem projetando os pontos do gráfico sobre o eixo y. Já no caso da função estar representada algebricamente(com uma fórmula), analisamos o domínio da função a partir das restrições numéricas que temos para a fórmula emquestão. Veja os exemplos seguintes:

Exemplo 1: Determinar os conjuntos domínio e imagem da função representada no gráfico seguinte (Figura 2.4):

Figura 2.4: Gráfico de uma função definida por partes

Solução:Não importa a expressão algébrica da função que está representada graficamente. Para determinar o seu domínio,basta projetar o gráfico (linha em vermelho) sobre o eixo x. Ao fazer isso, você perceberá que a projeção "cobre" todoo eixo. Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. Escrevemos: Para o conjunto imagem, basta projetar o gráfico (linha vermelha) sobre o eixo y. Faça isso e perceba que todos osvalores maiores ou igual a são imagem de algum número em x. Escrevemos, para essa função:

ou .

dominio­e­imagem­no­grafico.flv

Quando uma função é representada apenas pela sua lei de formação, sua expressão algébrica, o domínio da funçãoé determinado por meio da análise das restrições da função. Observe o exemplo 2:

Exemplo 2: Determinar o domínio das seguintes funções:a) b)

c)

d)

Solução:a) Sabemos que uma divisão só pode ser efetuada quando o denominador da fração for um número não nulo, assim,para determinar o domínio dessa função, precisamos impor a condição de que o denominador seja diferente dezero e resolver a inequação escrita, isto é:

Logo,

b) No universo dos números reais, só é possível calcular a raiz quadrada de números positivos ou do zero. Assim,nesse caso, a solução é encontrada a partir da restrição: radicando maior ou igual a zero (essa restrição é válidasempre que o índice da raiz for um número par), que determinará o domínio da função. Isto é:

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Logo,

c) Da mesma forma que o item b) devemos resolver a inequação: radicando maior ou igual a zero. Isto é, ou

Lembramos que essa é uma inequação do 2. grau. Para resolvê­la, precisamos analisar o sinal da função quadráticacorrespondente: . Você lembra?• Passo 1 ­ achar os zeros da função:

• Passo 2 ­ analisar o sinal da função: para isso, uma das alternativas é usar o gráfico da função, o qual jáaprendemos no Ensino Médio que é uma parábola, com a concavidade voltada para cima, que interceptará o eixo xnos pontos de abscissas e . O intervalo para o qual o gráfico estiver acima do eixo x, anotamos o sinal de +(mais) para significar que, naquele intervalo, a função é positiva. O intervalo para o qual o gráfico estiver abaixo doeixo x, anotamos o sinal de ­ (menos), para significar que, naquele intervalo, a função é negativa. Veja a Figura 2.5.

Figura 2.5: Sinal da função

Note que a função ser positiva ou negativa não depende do valor de x ser positivo ou negativo, mas depende dovalor de y. Isso nos dá outra alternativa para verificar o sinal de uma função: fazer cálculos. Como?Se pensarmos na reta numérica, os zeros da função a dividem em três partes: os números menores que ; os números entre e ; os números maiores que .

Para verificar o sinal da função, atribuímos um valor para x em cada um desses intervalos e verificamos o sinal daimagem desse número. Esse sinal valerá para todo o intervalo.

Seja , temos . Como esse resultado é positivo, assumimos quepara todo número menor que ­1, Seja , temos . Como esse resultado é negativo, assumimos que paratodo número entre e , .Seja , temos . Como esse resultado é positivo, assumimos que para todonúmero

Isso é o que está apresentado na figura anterior.

• Passo 3 ­ escolher o sinal adequado para resolver a inequação.Como queremos , devemos escolher os intervalos em que a função apresenta sinal de + (positivo) ouzero.

Assim,

d) Aqui são apresentadas as situações tratadas nos itens a e b. Para cada “parte” da função , devemosencontrar as restrições, ou seja, aqueles números que se substituídos no lugar do resultam em uma divisão porzero ou numa raiz de índice par e radicando negativo. Ou seja,

(1)

(2)

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(3)

O domínio da função é o conjunto de todos os números reais que satisfazem as condições de , e ,simultaneamente, isto é, resta ainda determinar a interseção das restrições em (1), (2) e (3).

Logo,

dominio­de­uma­funcao­real.flv

Exemplo3: Determinar o domínio e a imagem da função :

Solução:

Antes de afirmar que o , lembre­se que o denominador nunca dever ser igual a 0, assim temos:

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para (lembrando que ).

Isolando o temos:

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Antes de afirmar que , lembre­se que o denominador nunca dever se igual a 0, assim temos:

Exemplo 4: Determinar o domínio e a imagem da função :

Solução:

Antes de afirmar que o , lembre­se que raiz quadrada de números negativos não está definida noconjunto , portanto fazemos:

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para (lembrando que ).

Isolando o temos:

(lembrando que )

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/logaritmica/logaritmo/conceito_log.htm

Exemplo 5: Determinar o domínio e a imagem da função :

Solução:

Antes de afirmar que o , lembre­se que não existe de valores menores ou iguais a zero. Temos:

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para (lembrando que ).

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Isolando o temos:

(aplicando o para cancelar o )

(lembrando que o )

(para qualquer valor de , o resultado será sempre maior que 0)

http://moodle2.md.utfpr.edu.br/videos/videoaula/Calculo/funcao/2_2_Dominio.flv

Respostas:

http://www.youtube.com/watch?v=a­qbD1hRYvI

http://www.youtube.com/watch?v=5D7Pht5AcDw

Tarefa: Observe que aqui aparecem vários termos associados às funções. Redija um texto estabelecendo asdiferenças entre eles e como determiná­los. Se necessário, pesquise em outras fontes, elabore situações...

Com as funções podemos também realizar operações, assim como fazemos com os números, e destas operaçõesformaremos novas funções, como veremos a seguir:

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2.5 OperaçõesEstudaremos agora as operações que podemos realizar entre as funções.

O domínio das funções é a intersecção dos domínios de e . O domínio de é aintersecção dos domínios de e , excluindo­se os pontos onde .

O domínio de coincide com o domínio de .A composição de funções, também é considerada uma operação de funções:

O domínio de g f (lê­se "g bola f" ou "g composta com f") é o conjunto de todos os pontos no domínio de taisque está no domínio de .

Simbolicamente,

Veja o diagrama abaixo na Figura 2.6:

Figura 2.6: Diagrama da função composta

funcao­composta.flv

Exemplo 1: Sejam e .Solução:

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Exemplo 2: Sejam e . Encontre .Solução:Lê­se “ ” onde o valor da (no caso, ) é substituído no lugar da variável que aparece na ,assim temos:

Exemplo 3: Sejam e . Encontre:

Solução:Temos,

Exemplo 4: Sejam e funções de em . Determine o valor de .

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(TAN, 2011)

Solução:

Como , temos que .

Assim, .

Da igualdade segue:

Logo, .

Exemplo 5: Muitos problemas em matemática são abordados pela decomposição de funções em uma composição

de uma ou mais funções mais simples. Por exemplo, considere a função . Para calcular paraum dado valor, primeiro temos que fazer e depois fazemos o quadrado do resultado, não é isso? Essas duasoperações são executadas pelas funções: e . Podemos expressar em função de e

fazendo: É importante entender a composição das funções porque precisaremos disso para derivar ou integrar funçõescompostas mais adiante...

Desafio: Expresse como a composição de duas funções.

Resposta do desafio:

2_3_OperacoesCompostas.flv

Gabarito:

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2.6 Gráficos

Exemplo 1: Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: é a população brasileira no instante .A tabela de valores da população brasileira (tabela 2) fornece uma representação conveniente dessa função. Aoplotarmos esses pontos, obtemos a representação apresentada na Figura 2.7, que nos é bastante útil pela inferênciaque podemos fazer a respeito da população brasileira. Naturalmente, é impossível calcular uma fórmula exata para apopulação brasileira P(t), porém, é possível encontrar uma solução aproximada para ela, que nos permite estimarpopulações em momentos em que não temos disponíveis dados do censo. A figura 2.8 representa a populaçãobrasileira para o período de 1900 a 2000, bem como o modelo matemático aproximado correspondente.

Tabela 2: População Brasileira

Ano População

1583 57000

1600 100000

1700 300000

1800 3660000

1872 9930478

1890 14333915

1900 17438434

1920 30635605

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1940 41236315

1950 51944397

1960 70191370

1970 93139037

1980 119002706

1991 146825475

2000 166112500

Fonte: IBGE

Figura 2.7: Representação gráfica da População Brasileira

Figura 2.8: Modelo matemático aproximado para a população brasileira no período de 1900 a 2000.

Solução: Na tabela 2 temos a população brasileira para diversos momentos, no entanto, se estivéssemosinteressados em estimá­la para o ano de 1975, por exemplo, precisaríamos de algum modo, já que esse valor nãoconsta nela. Com o uso do modelo matemático, podemos obter essa informação, bastando para isso considerar

e calcular o valor de pessoas.Você pode determinar essa função usando o software GeoGebra e o comando "regressão exponencial" . Você

deverá encontrar a função: em que é o ano e é apopulação no ano .

Definiremos agora o gráfico de uma função, que é uma das formas que podemos utilizar para representar uma

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função.

Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função :

Solução:

Note que esta função tem como , isto nos permite montar uma tabela e atribuir quaisquer valores para ,substituindo estes valores na função, encontramos os valores de correspondentes. Os números e serão ascoordenadas de um ponto no plano cartesiano. Assim temos:

Figura 2.9: Representação dos pontos da tabela 2.3

Em seguida trace uma reta (ou uma curva) seguindo os pontos do plano cartesiano, assim teremos um esboço dográfico, como na Figura 2.10:

Figura 2.10: Gráfico da função

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Exemplo 3: Esboçar o gráfico da função :

Solução:

Observando que podemos atribuir qualquer valor para que encontraremos um valor para . Dessa forma éimportante atribuir vários valores para para podermos visualizar e esboçar o gráfico.

Tabela 2.4Figura 2.11: Representação dos pontos da Tabela 2.4

Traçando uma curva seguindo os pontos do plano cartesiano, teremos um esboço do gráfico, como na Figura 2.12:

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Figura 2.12: Gráfico da função

É importante observar que, nesse exemplo, só pudemos traçar uma curva unindo os pontos marcados no planocartesiano porque o domínio da função é o conjunto dos números reais.

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo1.htm

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo2.htm

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo3.htm

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo5.htm

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2.7 Características de uma funçãoMais adiante, precisaremos que as funções tenham algumas características especiais, como, por exemplo, ser bijetora ou sercrescente. Vamos apresentar algumas dessas características, para que saibamos do que se trata, quando for oportuno.

Exemplo 1: A função com não é injetora, pois para e , ou seja ,encontramos , o que contraria a definição. Observe a Figura 2.14 e perceba que há várias duplas denúmeros reais (por exemplo, e , e ) que possui a mesma imagem. Graficamente, podemos reconhecer se uma função éinjetora se ao traçarmos linhas paralelas ao eixo das abscissas, essas linhas interceptarem o gráfico em apenas um ponto (por quemesmo???? Analise bem!).

Figura 2.14: Representação gráfica da função com

Exemplo 2: Seja a função com . Nessas condições, a função é injetora. Note que, nesse exemplo,restringimos o domínio da função para apenas os números reais não negativos, e isso permitiu que a função se tornasse injetora.Veja a representação gráfica na Figura 2.15.

Figura 2.15: Representação gráfica da com

Exemplo 3: A função com é injetora pois , com tem­se .

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A definição 2 nos permite concluir que uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem for igual ao contradomínio dafunção. Na notação da Definição 2, o contradomínio de é o conjunto .

Exemplo 1: A função definida por é sobrejetora pois .

Exemplo 2: A função definida por não é sobrejetora pois e, nesse exemplo,estamos tomando o contradomínio da função como sendo o conjunto . Logo, .

Exemplo 3: Uma função , com e , e não é sobrejetora pois,

Isto é,

Exemplo 1: A função com é bijetora. Verifique!!

Note que para existir a inversa de uma função, é preciso que esta seja bijetora. Por que isso? A função bijetora é sobrejetora einjetora. Sendo sobrejetora, tem­se que , o que significa dizer que existe pelo menos um tal que

, e esse é único, porque f é injetora. Sendo assim, então podemos definir uma função que associa acada o único tal que .

Exemplo 1: Seja com . Esta função associa a cada número real o número . A função

inversa associa o número ao número . A função inversa é dada por: .

Como podemos determinar a inversa de uma função? Basta seguir o seguinte procedimento (ou use a sua lógica, "desfazendo" asoperações realizadas para determinar o ):

1. Troque por e por ;2. Isole 3. Escrevemos

Veja, vamos determinar a inversa de Passo 1: Escrevemos Passo 2: Isolamos :

Passo 3: .

Graficamente, as funções e são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (que é representada pelareta ). A Figura 2.16 mostra a representação gráfica da função do Exemplo 1 e de sua inversa.

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Figura 2.16: Representação gráfica da função e de sua inversa

Exemplo 2: Determinar a inversa da função dada por .Solução:A função dada é bijetora, pois:a) Considere , então

Assim, é injetora.

b) é sobrejetora, pois dado , existe tal que .

De fato, se , então

Para calcular a função inversa, vamos seguir os passos apresentados no exemplo 1.

Passo 1: Passo 2:

Logo, para

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A Figura 2.17 mostra a representação gráfica das funções (em azul) e (em vermelho).

Figura 2.17: Representação gráfica da função e sua inversa.

Exemplo 1: Verifique se a função real de variável real dada por é crescente ou decrescente.Solução: Seja . Temos:

Logo a função é crescente.

Figura 2.18: Representação gráfica da função

Para verificar se uma função cresce ou decresce a partir da representação gráfica, basta acompanhar o crescimento da linha do

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gráfico, com o cuidado de observar esse crescimento da esquerda para a direita, conforme o sentido de crescimento dos valoresque estão no eixo .

Exemplo 2: Verifique se a função real de variável real, dada por é crescente ou decrescente.

Solução:

Seja . Temos:

Logo, como , a função é decrescente. A Figura 2.19 mostra a representação gráfica da função .

Figura 2.19: Representação Gráfica da função

Nem todas as funções são crescentes ou decrescentes. Muitas delas são crescentes em um intervalo e decrescentes em

outro, como podemos observar na Figura 2.20, que mostra parte do gráfico da função

Figura 2.20: Representação gráfica da função

O gráfico nos permite ver que essa função é crescente para valores de menores que 2 ou maiores que 3, e decrescente paravalores entre 2 e 3. Normalmente escrevemos:A função é crescente em A função é decrescente em No ponto de abscissa 2 (ponto B) temos um ponto de máximo relativo da função; no ponto de abscissa 3 (ponto D) temos umponto de mínimo relativo da função. Com o estudo das derivadas, encontramos métodos mais eficazes para determinar em qual intervalo uma função cresce e/oudecresce, se existem e onde estão localizados pontos de máximo e mínimo.

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Exemplo 1: Seja . Esta é uma função par, pois:

temos: .

Observe a simetria, em relação ao eixo , no gráfico dessa função. Veja a Figura 2.21. Toda função simétrica em relação ao eixo é uma função par.

Figura 2.21: Representação gráfica da função par

Exemplo 1: Seja . Esta é uma função ímpar, pois:

, temos:

Em termos gráficos, uma função é ímpar se ela for simétrica em relação à origem. A Figura 2.22 mostra a representação gráficada função .

Figura 2.22: Representação Gráfica da função

A relação entre duas grandezas, representada por uma função, pode se apresentar de diferentes formas. De acordo com o padrãoestabelecido nas relações, é feito um agrupamento, no qual as características semelhantes nomeiam o grupo. Dessa forma, temosuma subdivisão no tema “função”, dadas pelas similaridades das relações em estudo.

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2.8 Função constante

A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo dos , passando por .

O domínio da função é .O conjunto imagem é o conjunto unitário do .

Exemplo 1: Considere a função constante .O gráfico de é uma reta paralela ao eixo , passando pelo .

Figura 2.23: Gráfico da função

Para essa função, temos: e .

Exemplo 2: Considere a função constante O Gráfico de é mostrado na Figura 2.24.

Figura 2.24: Gráfico da função

Na função constante, consideramos que a taxa de crescimento é nula.

A função constante está presente no nosso cotidiano. Considere o valor pago por uma refeição no RestauranteUniversitário. Ao considerarmos a variável independente como sendo a quantidade de comida no prato, e avariável dependente como sendo o valor a pagar, estabelecemos que . Isto é, independe dequanto você comer, você pagará apenas R$ 2,50. Situações semelhantes aparecem em outros casos, como na taxa mínima de água cobrada pela Companhia deSaneamento do Paraná (SANEPAR). Para qualquer gasto entre 0 e 10 metros cúbicos de água, com esgoto, suaconta de água custará R$ 44,26 (valor residencial cobrado para a região de Campo Mourão). Isto é, se é o

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consumo e é o valor a pagar, para o intervalo de consumo de

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2.9 Função identidade

O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Ela já apareceu antes, você lembra?Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação a essa reta!

Figura 2.25: Gráfico da função Identidade

O domínio de é .

O conjunto imagem é

Para construir o gráfico da função identidade, basta montar uma tabela atribuindo valores a . O conjunto de pontos compõe o gráfico da função identidade.

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2.10 Função do primeiro grau

Para determinar o domínio de uma função de primeiro grau, note que não há restrições para , logo, devemos ter .

Como , qualquer que seja , sempre existe , tal que . Logo, .Ou seja, para toda função de primeiro grau sempre teremos: e .Para esboçar o gráfico de função de primeiro grau, basta atribuir valores a e calcular os respectivos valores de ,conforme a função dada.

Exemplo 1: Esboce o gráfico da função .

Solução:

Vamos montar uma tabela auxiliar e, em seguida, marcar os pontos no plano cartesiano:

Figura 2.26: Gráfico da função

Olhe mais atentamente a tabela auxiliar e observe que quando os valores de aumentam em 1 unidade, os valoresde aumentam em 3 unidades.

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Essa taxa de crescimento é justamente o valor do coeficiente angular da função. Como a taxa de crescimento épositiva, dizemos que essa função é crescente. Agora, analisemos um outro exemplo.

Exemplo 2: Esboce o gráfico e determine se é crescente ou decrescente a função .Solução:

Note que para cada unidade aumentada em , o valor de correspondente diminui 2 unidades. Ou seja, essa funçãopossui uma taxa de crescimento negativa. Nesse caso, dizemos que essa função é decrescente. Observe queessa taxa de crescimento é também o valor do coeficiente angular da função.O gráfico da função está apresentado na Figura 2.27.

Figura 2.27: Gráfico da função

Nos exemplos 1 e 2 perceba, ainda, que o coeficiente linear representa a ordenada do ponto no qual a retaintercepta o eixo

De modo geral, dizemos que: Quando , a função é crescente e quando , a função é decrescente.

Exemplo 3: é uma função do primeiro grau crescente porque .

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Figura 2.28: Gráfico da função

Exemplo 4: é uma função do primeiro grau decrescente porque .

Figura 2.29: Gráfico da função

Exemplo 5: O salário mensal do vendedor de uma determinada loja é calculado da seguinte maneira: uma parte fixa,no valor de R$ 1000,00 e uma parte variável, a comissão, que é de 10% sobre o valor de suas vendas mensais.Determine uma função que relacione o salário com o valor das vendas de um determinado mês.

Solução:

Note que: Salário Mensal = Valor Variável + Valor Fixo

onde Valor Fixo = 1000

Valor Variável = 10% de x =0,1x

Assim,

É uma função de primeiro grau que relaciona o salário mensal às vendas do vendedor.

Neste problema, cabe salientarmos que o domínio da função é pois as vendas sempreserão um valor positivo ou nulo. Da mesma forma, temos a imagem pois omínimo que o vendedor receberá por mês é R$ 1000,00, no caso de ele não receber comissão.

Exemplo 6: Sejam e funções de em dadas por e . Determine paraquais valores de teremos

Solução 1:

Uma forma de compararmos as funções e é estudar o sinal da função dada por

Temos que

Assim, podemos notar que para .

Logo quando .

Solução 2:

Podemos resolver esse mesmo exemplo 6 graficamente. Os valores de para os quais podem serdeterminados verificando em qual (ou quais) intervalo(s) o gráfico da função fica acima do gráfico da função .Observe a Figura 2.30.

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Figura 2.30: Resolução gráfica de uma desigualdade

Exemplo 7: Obtenha a representação algébrica da função cuja representação gráfica está apresentada na Figura2.31.

Figura 2.31: representação gráfica de uma função

Solução:Como o gráfico é uma reta, sabemos que se trata de uma função de primeiro grau, logo, a representaçãoalgébrica é do tipo: . Ou seja, precisamos determinar os valores das incógnitas e .Sabemos que a função passa por dois pontos conhecidos: e . Assim, para cada um desses pontospodemos escrever uma equação:

Logo, a representação algébrica da função é: .

A função com é chamada de Função Afim por muitos autores. Os seguintes casos são oscasos particulares:

I. Função do primeiro grau, quando ;

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II. Função linear, quando e ;

III. Função constante, quando

2_7_FuncaoPrimeiroGrau.flv

A animação abaixo mostra o que acontece com o gráfico de uma função linear quando variamos o valor docoeficiente angular .

CoeficienteAngular.flv

Esta outra animação, mostra o que acontece com o gráfico de uma função do primeiro grau quando fixamos o valorde e variamos o valor do coeficiente linear .

CoeficienteLinear.flv

Uma característica peculiar das funções lineares é que elas crescem (ou decrescem) a uma taxa constante. Vocêdeve ter percebido isso quando analisou a variação da função para cada unidade de variação de . Agora, vejamosalguns exemplos de utilização dessas ideias...

Exemplo 8:a) À medida que o ar seco move­se para cima, ele se expande e se esfria. Se a temperatura do solo for de 20 e atemperatura a uma altura de 1 km for de 10, expresse a temperatura (em ) como uma função da altura (emkm), supondo que um modelo linear seja apropriado.b) Faça um gráfico da função da parte a). O que representa a inclinação?c) Qual a temperatura a 2,5 km de altura?

Solução:a) sejam a temperatura do ar seco e a altura. Como se supõe que o modelo linear seja apropriado, podemosescrever , com . O problema nos fornece os seguintes dados:• a temperatura do solo é de 20, isto é, para , o que podemos escrever como:

• a temperatura a uma altura de 1 km é de 10, isto é, para ou Agora basta encontrar os valores de e , usando os dados fornecidos e o modelo adotado, por meio da resoluçãodo sistema linear:

A solução do sistema é e . Logo o modelo linear que associa altura e temperatura é .

b) O Gráfico está apresentado na Figura 2.32.

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Figura 2.32. Gráfico temperatura x altura

A inclinação representa a taxa de variação da temperatura em relação à altura. Ou seja, a cadaquilômetro de altura, a temperatura diminui 10.

c)

Exemplo 9: A tabela seguinte fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos empartes por milhão, no Observatório de Mauna Loa, de 1972 a 1990. Use os dados da tabela para encontrar ummodelo para o nível de dióxido de carbono.

Solução:Inicialmente, devemos plotar os dados num diagrama de dispersão (Figura 2.30) para verificar o comportamento dosdados.

Figura 2.33. Diagrama de dispersão Nível de x ano

Observe que os pontos parecem alinhados, o que nos sugere que o modelo linear é adequado para representar onível de . A questão agora é: como calcular esse modelo?

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Podemos escolher dois pontos aleatórios e calcular a equação da reta que passa por esses dois pontos. Lembre queestamos usando um modelo linear. Experimentemos usando os pontos (1974,330) e (1986,347).Assim, sejam o ano e o nível de . Então: A inclinação da reta que passa pelos pontos (1974,330) e (1986,347). é dada por:

Observe que aqui usamos outro método para determinar (usamos o modo como normalmente aprendemos emGeometria Analítica), porém. se tivéssemos usado o mesmo método do Exemplo 8 teríamos obtido o mesmoresultado.Para concluir, fazendo e , encontramos:

Logo,

Esse é um bom modelo? Se testarmos com outros dados da tabela veremos o quanto ele é, ou não, bom. Se osresultados forem bastante próximos dos tabelados, é um bom modelo. Você vai aprender como determinar o melhormodelo para extrapolar dados quando fizer a disciplina de Estatística.

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2.11 Função modular e definida por várias sentençasO módulo de um número real é definido da seguinte forma:

A função definida por chama­se função módulo. O seu domínio é o conjunto e o conjunto imagem é

Segue abaixo, na Figura 2.34, o gráfico desta função:

Tabela 2.5Figura 2.34: Gráfico da função modular

Função modular

2_8_FuncaoModular1.flv

Continuação: Função modular

2_8_FuncaoModular2.flv

Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função

Solução 1:

Para fazer o gráfico, vamos escrever a função modular dada sem o módulo. Lembre­se que quando o número é positivo, o módulodo número é o próprio número, mas quando o número é negativo,o módulo do número é o oposto do número. Para a função emquestão, isso é traduzido na seguinte fórmula:

(compare essa escrita com a fórmula , comentada no início dessa seção)Quando escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, nosso problema se reduz ao traçado de duassemirretas. Para delimitar o domínio de cada uma das sentenças, precisamos resolver as inequações e .

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Assim, a fórmula

pode ser reescrita como:

Agora, basta traçarmos a reta de equação na região do plano cartesiano em que e traçar a reta de equação na região em que . (Esses gráficos você pode fazer como você aprendeu na seção de função do primeiro

grau). Observe a figura 2.35.

Figura 2.35: Gráfico da função

Solução 2:O método apresentado na solução 1 não é o único possível para esboçar o gráfico de uma função modular. Aqui, citaremos outro.

Primeiramente, encontramos o zero da função:

Depois, substituímos na função valores próximos ao valor encontrado . Nesse caso, o "bico" que aparece no gráfico estáno ponto cuja abscissa é o zero da função. Veja a figura 2.36.

Tabela 2.6

Figura 2.36: Gráfico da função

funcao_modular­3.flv

Exemplo 2: No final de certo campeonato de sinuca, um dos jogadores precisava acertar a bola preta em uma das caçapas paravencer a partida e o campeonato. Suponha que sobre a mesa de sinuca foi colocado um sistema de eixos coordenados em um doscantos da mesa. A bola preta, que estava na posição (1,6 ; 1,2), foi impulsionada pelo jogador, atingindo a lateral da mesa noponto de coordenadas (2,4 ; 0). Sabendo que o objetivo desse jogador era acertar a caçapa que estava na posição (3,6 ; 1,8)resolva:

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a) Escreva uma função do tipo que descreva a trajetória da bola na jogada (considere que na jogada a bolarealizou movimentos retilíneos).

b) O jogador conseguiu acertou a bola na caçapa pretendida? Justifique. (SOUZA, 2010)

Solução:

a) A função que representa a trajetória da bola é do tipo , substituindo nela os pontos dados no problema, temos:

e

Da segunda equação obtemos

Substituindo na primeira equação

Portanto, a função procurada é .

b) Agora, para saber se o jogador acertou a caçapa, basta verificarmos se a caçapa estava na trajetória da bola. Fazemos issoverificando se o ponto pertence à função

Logo, o jogador acertou a caçapa pretendida.

Exemplo 3: (UERJ) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a equação . Nela, é o volume medido em após horas, contadas a partir de 8h de uma

manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

Solução:

Primeiramente vamos analisar os módulos, pela definição de módulo segue que

E

Teremos então três intervalos para a construção da função : e (esses intervalos são determinadosnas condições para as duas funções em estudo: a primeira função muda se ou se ; já a segunda muda se ou ). Vamos analisar a função V em cada um desses intervalos:

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Assim, pode ser escrita da seguinte forma

Portanto, o volume permanece constante para , ou seja, ente 10 e 11 horas.

Exemplo 4: a) Esboce o gráfico da função b) Determine o conjunto imagem.

Solução: a) Para esboçar o gráfico, vamos escrever a função sem o módulo:

Observe que , que está fora do módulo, não entrou na condição se ou . Da mesma forma, nadefinição da função ele não alterou o seu sinal. Podemos reescrever (1) da seguinte maneira:

Agora, basta traçar o gráfico que representa cada uma dessas sentenças. O gráfico está apresentado na Figura 2.37.

Figura 2.37: Gráfico da função

b) Note que o conjunto dos valores de que são imagem de algum valor é o conjunto dos números reais maiores que .Então, escrevemos:

Você deve ter notado que escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, para a qual não usamos o módulo.Frequentemente, acontece de termos várias restrições para uma determinada situação, e isso nos obriga a escrever uma funçãocuja lei de formação tem mais de uma sentença. Denominamos tais funções de "funções definidas por partes" ou "funçõesdefinidas por várias sentenças". Veremos alguns exemplos.

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Exemplo 5: A partir de março de 2014 entrou em vigor no Estado do Paraná, uma nova tabela de Tarifas de Saneamento Básicopara as regiões que são atendidas pela SANEPAR. A Tabela seguinte mostra alguns valores. Você já deve ter notado que,mensalmente, um funcionário da empresa prestadora de serviços, chega à sua casa para a verificação do consumo e deixe o boletopara pagamento (a conta de água!). Para que o processo de geração do boleto seja tão ágil, além da tecnologia, é preciso que seconverta os dados tabelados numa função para que se programa a tecnologia utilizada para a emissão do boleto. Com base nosdados apresentados na tabela, elabore uma função que relacione o valor a ser pago pelo consumidor que mora no interior e éatendido pela Sanepar com os serviços de água e esgoto.

Tabela 6: Tarifa normal de Saneamento Básico para Municípios do Estado do Paraná atendidos pela SANEPAR, em vigor apartir de março de 2014.

Solução:

Seja o consumo de água, em , e o valor a pagar em função do consumo .

i) Para a primeira faixa, devemos ter: para . Note que essa é uma função constante nesse intervalo, ou seja, independentemente do consumo de água mensal, se for de ou

, se ele estiver na faixa de até , o valor a ser pago será o mesmo.ii) Para a segunda faixa, observe que a cada metro cúbico excedente, inferior a , custa R$ 6,78. Isso nos faz escrever aseguinte função para o intervalo de :

Fazendo as operações indicadas, podemos reescrever como:

Ou seja, na segunda faixa, devemos ter para .

iii) Para a terceira faixa, procedemos de modo análogo ao realizado para a segunda faixa. Observe que a tabela indica que ovalor a ser pago será de R$180,77 acrescidos de R$ 11,57 por cada metro cúbico consumido que for superior a 30. Assim, para

Simplificando essa expressão, teremos:

Ou seja, na terceira faixa, teremos para .

Portanto, a função que modela o consumo de água residencial para o interior do Estado do Paraná, em municípios que sãoatendidos pela Sanepar, é:

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funcao_definida_por_partes­1.flv

Exemplo 6: Dada a função determine:

o esboço do gráfico de o conjunto imagem de .

Solução:a) observe nas restrições da função que , pois a primeira sentença contempla os números reais menores ou iguais azero, a segunda contempla os números que estão entre zero e 1, incluindo o 1, a terceira contempla os números entre 1 e 3 e aquarta sentença contempla os números maiores ou igual a 3.

b) Para determinar é preciso observar que , ou seja, o está contemplado na restrição da primeira sentença,assim,

isto é,

c) Para determinar note que , logo,

isto é, .d) Como , .e) Para calcular , note que está contemplado na restrição da quarta sentença. Assim. . Isto é,

.f) Como , g) Como a função possui quatro sentenças, dividimos o plano cartesiano em quatro regiões, conforme as restrições para . Paratraçar o gráfico da função , podemos usar uma tabela auxiliar, como feito em exemplos anteriores, para cada uma dassentenças. Porém, é preciso lembrar que o gráfico é um só, mas com quatro "partes" diferentes. Obedecer as restrições para traçaro gráfico de cada uma dessas partes é uma condição essencial para a elaboração do gráfico de .Tabela auxiliar para traçar o gráfico de :

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Observação: você pode atribuir outros valores a para traçar o gráfico, lembre ainda que usamos apenas alguns exemplares, masque essa parte da função vale para todo número não positivo.

O Gráfico de pode ser visualizado na figura 2.38.

Figura 2.38: Gráfico de apresentando apenas a parte referente a .

Tabela auxiliar para traçar o gráfico de :

Observe que é uma função linear, cujo gráfico é uma reta. Logo, podemos usar a tabela auxiliar com apenas dois valores,que devem atender a restrição de , isto é, nesse caso, deve estar entre 0 e 1. Como esse segmento de reta deve estar representadona faixa , esse valores extremos da faixa, 0 e 1, devem ser usados na tabela para uma adequada delimitação gráfica.Para dizermos que não está contemplado na restrição, usamos uma bola aberta no ponto . Como , faz partedo intervalo para restrição, no ponto deixamos uma bola fechada. A Figura 2.39 mostra o gráfico de com asrepresentações gráficas de e .

Figura 2.39: Gráfico de apresentando a parte referente a e

A terceira parte da função é definida por uma função constante, a qual já sabemos que o gráfico é uma reta paralela ao eixo ,isso dispensa o uso da tabela auxiliar. Entretanto, devemos lembrar que essa função constante está restrita aointervalo (1,3), ou seja, só pode ser desenhada na faixa . Como já dito antes, para dizer que e nãoestão contemplados nessa sentença, devemos colocar, na representação gráfica, uma bola aberta no ponto (1,2) e outra bola abertano ponto (3,2). Note que a bola aberta do ponto (1,2) estará sobre uma bola fechada, colocada quando traçamos o gráfico de

, isso faz com que, ao visualizarmos o gráfico, percebamos apenas a bola fechada, observe a Figura 2.40, a qual acrescentao gráfico de na Figura 2.39.

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Figura 2.40: Gráfico de apresentando a parte referente a , e .

Para concluirmos o gráfico de , basta acrescentarmos o gráfico de . Como é uma função de primeiro grau,podemos usar apenas dois valores para na tabela auxiliar, mas não podemos nos esquecer que essa função é válida para todonúmero real maior ou igual a 3.Tabela auxiliar para traçar o gráfico de :

O gráfico de está apresentado na Figura 2.41.

Figura 2.41: Gráfico de .

h) observe pela Figura 2.41 que

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2.12 Função quadrática

A função definida por é chamada função do 2º grau ou funçãoquadrática. Seu domínio é pois não há restrição alguma para para que seja calculado.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Antes de continuarmos, propomos um desafio! Qual aimplicação de cada coeficiente na representação gráfica? Ou seja, se mudarmos os valores dos coeficientes, o quemuda no gráfico?

Você deve ter observado que:1) em relação ao coeficiente : quando ele é positivo, a concavidade da parábola está voltada para cima, masquando ele é negativo, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 2) em relação ao coeficiente : quando , a parábola intercepta o eixo na parte crescente da parábola, masquando a parábola intercepta o eixo na parte decrescente da parábola; quando , a linha de simetria daparábola está sobre o eixo (em outras palavras, o vértice fica sobre o eixo ).3) em relação ao coeficiente : ele é a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo .

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos . Se o coeficiente de for positivo , a parábola tem concavidade voltada para cima. Se , a parábola tem a concavidade

voltada para baixo.

A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice o qual é dado por:

Resposta do desafio: A parábola tem por representação algébrica a fórmula . O eixo de simetria, é a reta que passa

pelo ponto médio dos valores e , isto é,

O Vértice da parábola está sobre esse eixo de simetria, logo a abscissa do vértice é dada por e aordenada é dada por . Agora,

pois Assim, as coordenadas do vértice são dadas por:

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e

A intersecção da parábola com o eixo dos define os zeros da função, também chamados raízes da equação , como ilustra a Figura 2.42.

Figura 2.42: Raízes e vértice de uma função quadrática

Os zeros da função quadrática são obtidos resolvendo­se a equação . Seja com . Dividindo todos os termos da equação por , obtemos:

Para escrever os termos em como um quadrado perfeito, é preciso que na equação apareça mais um termo: .Mas como não podemos simplesmente acrescentar este termo, usando as propriedades dos números reais fazemos:

(1)

Os três primeiros termos desta equação podem ser escritos como um quadrado perfeito, assim, a equação (1) torna­se

(2)

Isolando o :

De onde segue:

Exemplo 1: Dada a função , determine:a) o esboço do gráfico de .b) o conjunto imagem de .c) o intervalo para o qual é crescente.

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Solução:a) Para traçar o gráfico da função, podemos simplesmente atribuir valores a e encontrar pontos paraserem marcados no plano cartesiano, os quais servirão de base para o traçado da curva. No entanto, esse processopode ser muito demorado, dependendo da função e da escolha desses valores para . Então, usamos osconhecimentos teóricos já tratados para agilizar esse processo.Para traçarmos a parábola, pelo menos um ponto é fundamental: o vértice.Os demais pontos, entre eles o(s) zero(s)da função, podem ajudar. Em geral, quando a função quadrática possui zeros, calculamos esses zeros e ascoordenadas do vértice para traçar o esboço gráfico. Quando não existem zeros, calculamos as coordenadas dovértice e usamos uma tabela auxiliar para obter outros pontos.

i) Zeros da função: Como , a função possui dois zeros reais distintos. Aplicando os valores de , e , nafórmula de Bhaskara, obtemos:

Isto significa que os pontos (2,0) e (­3,0) são pontos pelos quais passa o gráfico da função.ii) As coordenadas do vértice:

Assim, as coordenadas do vértice são: .

iii) Como , sabemos que a parábola interceptará o eixo no ponto .iv) Como , sabemos que essa parábola terá concavidade para cima.

Agora, basta colocarmos esses pontos que acabamos de determinar no plano cartesiano e traçarmos uma parábola.O gráfico da função está representado na Figura 2.43.

Figura 2.43. Gráfico da função

b)

Também podemos escrever:

c) Note que a função é crescente para

expressao_algebrica_de_uma_funcao_quadratica.flv

Exemplo 2: Determine o conjunto imagem e esboce o gráfico da função

Solução:i) Zeros da função:

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, então a função não possui zeros reais, isso significa que a parábola não vai interceptar o eixo .ii) Vértice:

Logo, as coordenadas do vértice V são V(­1, 4). iii) Como , a parábola vai interceptar o eixo no ponto (0, 5)iv) a parábola tem CVC.iv) Tabela auxiliar para elaboração do gráfico:

Na Figura 2.44 está o gráfico da função

Figura 2.44: Representação gráfica da função

O conjunto imagem dessa função é:

forma_canonica_da_funcao_quadratica.flv

funcao­quadratica.flv

Exemplo 3: Esboce o gráfico da função Solução:i) zeros da função: Como , a função tem dois zeros reais iguais, que são dados por:

Logo, a parábola passa pelo ponto (1,0)ii) Vértice:

Logo, V(1,0) é o vértice da parábola.iii) Como , a parábola intercepta o eixo no ponto (0,­1).iv) Como , a parábola tem concavidade voltada para baixo.iv) Tabela auxiliar para traçar o gráfico.Observe que o vértice coincide com o ponto de intersecção da parábola com o eixo . Então precisamos calcular

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outros pontos pelos quais a parábola passa.

O gráfico de está na Figura 2.45

Figura 2.45: Representação gráfica da função

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No quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades para o gráfico de uma função quadrática:

Figura 2.46: Variações no gráfico da função quadrática

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sinal_de_uma_funcao_quadratica.flv

Função quadrática

2_9_FuncaoQuadratica1.flv

Continuação: Função quadrática

2_9_FuncaoQuadratica2.flv

Uma das aplicações mais comuns da função de segundo grau é no lançamento oblíquo de um projétil, após olançamento, o trajeto percorrido pelo projétil é o de uma parábola, sendo assim podemos determinar a altura máximaatingida pelo mesmo e a qual distância do local de lançamento ele atingirá o chão. Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo 4: Dois meninos brincam de bola na rua, quando um chuta a bola para o outro, a bola percorre o trajetodescrito pela equação , onde e são dados em metros. Qual a altura máxima atingida pelabola? Qual a distância entre os dois meninos?

Solução:

Ao construir o gráfico da função, visualizamos melhor a situação descrita:

Figura 2.47: trajeto descrito pela equação

Notamos que as raízes da função representam os pontos de onde a bola foi chutada e onde ela toca novamente ochão, assim, calculando as raízes da função obtemos e , concluímos então que a distância entre osdois amigos era de metros.

Agora, para encontrar a altura máxima atingida pela bola, basta calcularmos o vértice da função, assim

,

portanto a altura máxima alcançada pela bola foi de 2 metros.

Exemplo 5: (UFMS) Um cabo está suspenso entre dois postes de mesma altura e que distam 20 m entre si. O cabofoi feito com um material especial de modo que a curva por ele representada é uma parábola. Sabendo­se que aflexão do cabo a uma distância de 2 m de um dos postes é de 14,4 cm e que a altura dos postes é de 9 m, então écorreto afirmar que o ponto mais baixo do cabo, com relação ao solo, ficará a uma altura de:

a) 7,35 m. d) 7,6 m.

b) 8,6 m. e) 8,3 m.

c) 8,35 m.

Solução:

Vamos considerar um sistema de eixos coordenados onde o vértice da parábola está sobre o eixo , dessa forma,notando que o eixo está com a escala em centímetros, teremos que as extremidades dos postes estarão nospontos e . Como a flexão do cabo a uma distância de 2m é 14,4 cm, podemos dizer que

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.

Figura 2.48: Representação gráfica do enunciado

Este tipo de parábola que estamos construindo (com vértice sobre o eixo ) tem equação do tipo ,assim

Resolvendo este sistema obtemos e .

Logo, a equação da parábola é dada por , e o seu vértice tem coordenada , então

e o ponto mais baixo da parábola está a 860 cm, ou seja, a 8,6 m do solo. (alternativa b)

Exemplo 6: Uma função polinomial do tipo está representada graficamente a seguir (Figura2.49). A partir das informações gráficas, determine a expressão algébrica dessa função .

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Figura 2.49: Representação Gráfica de uma função

Solução:Precisamos determinar os valores das incógnitas , e para que a expressão algébrica da função fiqueestabelecida. Como são três incógnitas a determinar, precisamos retirar pelo menos três informações do gráfico, quenos permitam calcular os valores de , e . i) sabemos que , pois a concavidade da parábola está voltada para cima.ii) sabemos que , pois a parábola intercepta o eixo no ponto .iii) Sabemos que a parábola passa pelos pontos (1,2) e (­1,4). Com isso, podemos escrever as seguintes equações:(usamos por base a igualdade )

De onde segue que e

Portanto, a expressão algébrica da função é , isto é

Exemplo 7. (ITA­SP) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substânciaquímica medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais éuma parábola, tem­se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é:a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80

Solução:Como assumimos que a linha é uma parábola, podemos escrever que a concentração é dada por:

.Das informações que , escrevemos o seguinte sistema linear:

Resolvendo esse sistema, obtemos:

Logo, . Após 2,5 segundos, a concentração será:

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Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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2.13 Função polinomial

O domínio é sempre o conjunto dos números reais.

O gráfico da função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos.

Exemplo 1: A função constante é uma função polinomial de grau zero.

Exemplo 2: A função é uma função polinomial do 1º grau.

Exemplo 3: A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau.

Exemplo 4: A função é uma função polinomial do 3º grau, chamada função cúbica.

Exemplo 5: A função é uma função polinomial de grau 5.

Exemplo 6: A distribuição da área da folha do milho, no sentido horizontal, determina a intercepção de radiação porfotossíntese. Dessa forma, uma relação que bem descreve a área da folha como uma função da altura é dada por

. Considerando no modelo para metro e para metro,reescreva a função com os coeficientes e em função de . (SVIERCOSKI, 2008)

Solução:

No problema acima, a área da folha do milho é dada por uma função polinomial de grau 3, onde os coeficientes e sãodesconhecidos. Como foram fornecidos os valores de para dois valores de distintos, podemos escrever as equações:

e

Obtemos então o seguinte sistema linear

Reorganizando as equações do sistema linear e multiplicando a primeira equação por segue

Somando as duas equações do sistema, obtemos

Agora substituímos na equação

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Assim, reescrevemos a função

A representação gráfica das funções de grau maior que 2 será retomada com o estudo das derivadas, porque, usando a teoria dasderivadas, é possível determinar pontos de máximo e mínimo de uma função polinomial com maior facilidade.

2_10_FuncaoPolinomial.flv

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Você deve ter percebido que o gráfico de uma função pode se deslocar ou se alongar pela ação de uma constante(um número real).Observe, por exemplo, na Figura 50, os gráficos das funções e , desenhadas no mesmoplano cartesiano para melhor comparação.Note que a função está mais alongada verticalmente do que a função . Isso porque . Percebaque esse alongamento vertical interfere diretamente na taxa de crescimento da função.

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Figura 50: Gráfico comparativo para as funções e

Você deve ter percebido que: A multiplicação de uma função por uma constante alonga o gráfico verticalmente, enquanto que se

, o gráfico fica comprimido verticalmente. Se , os gráficos coincidem. Se , o gráfico fica refletido em relação do eixo , além de alongá­lo ou encolhê­lo.

Agora vem uma outra pergunta: e se no lugar de multiplicar uma função por uma constante, somarmos umaconstante ao ou ao . Vamos investigar?

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Você deve ter percebido que: Ao somarmos uma constante à uma função, obtemos um deslocamento vertical do gráfico inicial. Se o

gráfico "sobe", ou seja, há um deslocamento para cima. Se , o gráfico "desce", isto é, há um deslocamentopara baixo. Ao somarmos uma constante na variável independente (isto é, se trocarmos por , o gráfico desloca­se

horizontalmente: para a direita se , ou para a esquerda se .

Perceber esses fatos, nos ajuda a esboçar mais rapidamente alguns gráficos, além de analisar melhor ocomportamento das funções. Por exemplo:Considere a função . Podemos reescrevê­la assim:

Olhando para essa última forma, percebemos que, em relação ao gráfico da função , o gráfico de deveestar deslocado para a direita em 1 unidade (porque nesse caso ), e duas unidades para cima (por causa do2 que está sendo somado). Confira! O gráfico está na Figura 2.51.

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Figura 2.51: Gráficos comparativos das funções e

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2.14 Função Racional e Função Algébrica

É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, , onde e sãopolinômios e .

O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles tais que . Isso porque não existedivisão por zero. Com o que estudamos até o momento, uma tabela de valores pode nos ajudar a determinar oconjunto imagem e o gráfico da função. As teorias de Limites e Derivadas nos fornecem métodos melhores para aobtenção do gráfico. De toda forma, determinar o domínio da função é o primeiro passo para o esboço do gráfico edo conjunto imagem

grafico­de­uma­funcao­algebrica.flv

Exemplo 1: A função , é função racional. Determine:

a) o domínio .

b) O esboço do gráfico

c) O conjunto imagem de

Solução:

a) Para determinar o domínio da função, primeiramente vamos analisar os valores reais possíveis para o numeradore para o denominador da função:

Observe que não há restrições para o numerador . Isto quer dizer que para todo número real , ésempre possível calcular .Já para o denominador existe uma restrição, precisamos encontrar os valores tais que odenominador da função seja diferente de zero. Isto é, devemos ter:

A partir da análise desses dois pontos (restrições para o numerador e denominador), podemos encontrar os valoresque compõem o domínio da função. Note que pode ser qualquer número real, exceto o . Assim, o domínio dafunção é o conjunto dos números reais, diferentes de . Em símbolos, .

b) Para o esboço do gráfico, vamos montar uma tabela atribuindo valores a . Como ,não podemos esquecer de atribuir a valores próximos de .

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Agora, basta representar os pontos calculados no plano cartesiano. A Figura 2.19 abaixo mostra o gráfico de :

Figura 2.19: Gráfico da função

grafico_de_uma_funcao_racional.flv

Exemplo 2: Dada a função , determine o seu domínio, a sua imagem e esboce o seugráfico.

Solução:

a) Domínio da função: devemos ter denominador diferente de zero (para o numerador não há restrições). Ou seja:

i)

ii)

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Logo, o domínio da função é o conjunto dos números reais, exceto os números e . Ou seja,

Esse domínio significa que as abscissas e não tem imagem pela função .

b) Para fazer o gráfico da função, tentamos simplificar as expressões que compõem a sua representação algébrica.Vejamos:

Usando a fatoração, podemos escrever as seguintes igualdades:

Substituindo as expressões de por essas expressões equivalentes, escrevemos:

Ou seja, a função dada inicialmente é equivalente à função . Assim, ográfico da função dada é uma reta, que possui bolas abertas nos pontos de coordenadas:

.

Observe, na Figura 2.20, a descontinuidade nos pontos da reta que representa :

Figura 2.20: Gráfico da função

c) O conjunto imagem de é o conjunto: . Note que estão excluídos do conjuntoimagem os valores que são imagem dos pontos que estão excluídos do domínio.

Exemplo 3: Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta (cm)

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pode ser dada por , em que é a quantidade de fertilizante adicionada, determine odomínio e a imagem da função . (SVIERCOSKI, 2008 ­ modificado)

Solução:

Como não se explicitou a quantidade máxima nem mínima de fertilizante, sabemos apenas que esta quantidade épositiva ou nula e, para que a função esteja definida deve ser diferente de (caso contrário, teríamos

e como sabemos o denominador nunca pode ser zero), assim .

Agora vamos analisar o que acontece com a altura da planta quando a quantidade de fertilizante foraumentando:

Para temos

Para temos

Para temos

Para temos

Para temos

Logo, representa a altura mínima e representa a altura máxima possível a ser atingida pelaplanta.

Portanto, .

Vídeo de função racional

2_11_FuncaoRacional1.flv

Continuação: Vídeo de função racional

2_11_FuncaoRacional2.flv

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Uma função é chamada de função algébrica se puder ser construída usando operações algébricas (tais comoadição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) começando por polinômios.

As funções e são exemplos de funções algébricas.

Exemplo 1: Considere a função . Determine:

a) O Domínio da função ;

b) O esboço do gráfico de ;

c) O conjunto imagem de .

Solução:

a) Para determinarmos o domínio da função, procedemos da mesma forma que para a função racional. Isto é,precisamos:

analisar os valores possíveis para o numerador e denominador (isso é feito analisando se existem restriçõespara os valores de );determinar a interseção dos valores possíveis para numerador e denominador. Essa interseção será o domínioda função .

Façamos os Cálculos:

i) numerador: , não há restrição. Qualquer que seja o valor real atribuído a , é sempre possível fazer

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.

ii) denominador: . Sempre devemos ter . Além disso, como esse denominador possuiuma raiz quadrada, temos mais uma condição a analisar: . Como essa raiz está no denominador,calculamos os valores possíveis de para os quais .

Logo, .

b) Para esboçar o gráfico de podemos usar uma tabela de valores. Apenas precisamos lembrar que os valoresa serem atribuídos devem ser valores que estão no domínio da função, ou seja, , mas é importante usarvalores próximos a , porém maiores que .

Lembre­se que os valores de são atribuídos por quem está fazendo a representação gráfica da função. O númerode pontos a serem usados depende de você conseguir traçar o gráfico da função adequadamente.

c) o conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores funcionais possíveis (valores de ). Como pode serobservado,

Com o estudo de Limites e Derivadas teremos condições de esboçar o gráfico de funções racionais e/ou algébricascom maior facilidade.

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