Módulo 5:Funções

•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO

•Professor Ulrich Schiel

Funções

Sejam S e T conjuntos. Uma função (ou aplicação) f de S em T, f : ST, é um subconjunto de SxT onde cada elemento de S aparece exatamente uma vez como primeiro elemento de um par ordenado.

Ou seja, uma função é uma relação muitos-para-um fraca. S é o domínio e T é o contradomínio da função. Se (s,t) pertence à função, escrevemos f(s) = t. t é a imagem de s por f e dizemos que f leva s em t. s é a pré-imagem de t por f. A pré-imagem pode ser um

conjunto. Escrevemos f-1(t) = {s1, s2,.., sn}

f

s

f(s)=t

S T

Exemplos

Quais itens abaixo definem funções do domínio no contradomínio dados:

1. f : S T, onde S = T = {1,2,3}

f = {(1,1), (2,3), (3,1), (2,1)}

1. g : Z Z, onde g é definida como: g(x) = |x|;

2. r: R R, onde r é definida como: r(x) = (x);

3. h : N N, onde h é definida por: h(x) = x – 4;

4. g : N N, onde g é definida por:

g(x) = x+3 se x5 e g(x) = x se x5.

Funções bem definidas

• Seja f : S T, uma função.

• Dados A S e B T, podemos definir

• g:A T como g(x) = f(x), é a restrição de f a A.

• Se g(x) B, para todo x A, dizemos que g é uma função bem definida em B.

• Em outras palavras uma função f : S T é bem definida quando para todo x A existe um único y T, tal que f(x) = y.

Exemplos

Determinar se são bem definidas e encontrar o domínio e o contradomínio das funções:

1. associa a cada habitante de Recife o seu CPF; E o inverso?

2. Relação entre pessoas e suas idades.

3. Distância entre dois pontos no espaço, dada por

D(x,y) = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2]

Funções n-árias

• Sejam S1, S2, ..., Sn conjuntos. Uma função de S1xS2x...xSn em T, f : S1xS2x...xSn T, é um subconjunto de S1xS2x...xSnxT onde cada n-upla de elementos de S, (s1,s2,...,sn), está associada a um único elemento de T.

• Ex.: f: NxN N , onde f é dada por:

f(x,y) = x+1/2.(x+y).(x+y+1). (cilindro parabólico)

• f: RxR R dada por f(x,y) = x

Propriedade da funções

→Seja f: S T. Então, o conjunto I = {f(s) : s S}, ou I = f(S), é dito ser o conjunto imagem de f, ou simplesmente a imagem de f.

• I T.• Função sobrejetiva→Uma função f : S T é uma função sobrejetiva se a

imagem de f, f(S), é igual ao contradomínio de f, ou seja, f(S) = I = T.

• Ex.: seja g : R R definida por g(x) = x3. G é sobrejetiva. E g(x) = x2 ?

Propriedade das funções

• Função injetiva

→Uma função f : S T é injetiva, ou um-a-um, se nenhum elemento de T for imagem de dois elementos distintos de S, ou seja, não existe s1 s2 tal que f(s1) = f(s2) = t.

• Ex1: A função g : R R definida por g(x) = x3 é injetiva porque se x e y com x3 = y3 e, como a raiz cúbica de um real é única, temos x = y.

• Ex2: A função f : R R dada por f(x) = x2 não é injetiva pois f(2) = f(-2) = 4.

• No entanto, a função h: N N dada por h(x) = x2 é injetiva.

Propriedade das funções

→Uma função f: S T é bijetiva se for ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.

• Ex.: A função g: R R definida por g(x) = x3 é uma bijeção.

Conjuntos equivalentes (eqüinúmeros)

→Um conjunto S é equivalente (ou eqüinúmero) a um conjunto T se, e somente se, existir uma bijeção f : S T.

→ Toda bijeção f : S T possui uma função inversag: T S, tal que g(t) = s sss f(s) = t. Escrevemosg como f-1: T S

→Dois conjuntos equivalentes têm a mesma cardinalidade.

• Ex.: N e P (conjunto dos pares)• g : N P definida por g(x) = 2x.• Então, |N| = |P|.

Composição de funções

• Suponha que f e g são funções tais que:

f : S T e g : T U• Então, para qualquer s S, f(s) T.• Assim, f(s) pertence ao domínio de g.• Então, aplicando g a f(s), obtemos g(f(s)) U.

f g

s

f(s)g(f(s))

S T U

Composição de funções

→Seja f : S T e g : T U. Então, a composição de f com g é uma função (função composta) de S em U, denotada por g f, ou seja, g f : S U, e definida por:

g f (s) = g(f(s)).

s

f(s)

g(f(s))

S T Uf g

g f

Exemplo

• Sejam f : N N e g : N N funções dadas por:- f(x) = 2.x - g(x) = x.x

• g f = ?

• f g = ?

• Quais são sobrejetivas e/ou injetivas?• E se mudarmos N para Z?

Propriedades da composição

1. Sejam f : S T e g : T U funções sobrejetivas. Então, g f é sobrejetiva.

2. Sejam f : S T e g : T U funções injetivas. Então, g f é injetiva.

3. Sejam f : S T e g : T U funções bijetoras. Então, g f é bijetora.

Função Identidade

→ Seja A um conjunto. A função iA : A A tal que iA(x) = x, para todo x A, é dita ser a função identidade em A.

• Seja f : S T uma bijeção.

• para cada t T existe um sS tal que f(s) = t.

• Esta associação é uma função g : T S que é a inversa de f, ou seja f-1:T S

• Então, se s S, g f (s) = g(f(s)) = g(t) = f-1(t) = s.

• Ou seja, g f é uma função identidade.

• Logo, g f = iS.

Função Inversa

→Seja f uma função f : S T . Se existir um função g : T S tal que g f = iS e f g = iT , então g é a

função inversa de f e é denotada por f-1.

• Teorema: Seja f : S T . Então f é uma bijeção se, e somente se, f-1 existe.

• Propriedade:

• Seja f : S T . Se f tem inversa f-1 então ela é única.

Gráfico de uma função

→ Para funções entre subconjuntos de R pode-se determinar o seu gráfico.

• EXEMPLOS:

– Seja f : R R com f(x) = x2

Gráfico de uma função

→EXEMPLOS:

– Seja f : R R com f(x) = x3

Gráfico de uma função

→ EXEMPLOS:

– Seja f : R R com f(x) = sen2(x)

Gráfico de uma função

→ EXEMPLOS:

– Funções piso x e teto x

Gráfico de uma função

→ Como obter o gráfico de uma função:

→ Analisar o grau e outras características da função

– Exemplo: f(x) = 2x3 - x

• Calcular f(0), f(1), f(-1), f(1/2), f(-1/2)

– F(x) = sen2(x)

• Calcular sen(0), sen(), sen(- ), sen(/2)

Gráfico de uma função

→ Exemplo: f(x) = 2x3 - x

Gráfico de uma função

– F(x) = sencos(x)(x)

Exercícios em sala

Seja L = {a,b,c,..,z} o conjunto das letras do alfabeto. Defina

1. Uma função V: LL tal que V(x) é a última vogal no alfabeto antes de x. Se x é uma vogal temos V(x)=x}.

2. Seja k uma função de criptografia determinada por V tal que, para uma letra ‘x’ k(x)=(V(x),n) sendo n a distância de y a x no alfabeto. Por exemplo k(‘Ana’)=a0i5a0.

1. Encontre o código de teu primeiro nome.

2. Decodifique ‘u1o0u0 o1a0o4o4a0o3’ (Obs.: ‘0’=zero e ‘o’=letra ‘o’)

3. Dado uma função f: R R, a relação em R2 dada por x y f(x)=f(y) é uma relação de equivalência.

• Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x) = cos(x). Encontrar:– a imagem f(R) para f(x) e g(x)? – a classe de equivalência [] para cada uma dessas funções.– expressão das combinações f°g e g°f ?

Ordem de GrandezaSejam f e g funções de N em N definidas como:

f(x) = x e g(x) = x2

Gráfico:

f

x

g

x

•Quando x cresce, o valor de g(x) cresce mais rápido que o valor de f(x): a taxa de crescimento de g é maior que a de f.

•Obs.: a diferença na taxa de crescimento não pode ser superada multiplicando-se o valor de f por uma constante: h(x) = c.f(x)

•Independente de quão grande seja o valor de c, após algum ponto, os valores de g superarão os valores de h.

Ordem de Grandeza

→ Seja S o conjunto de todas as funções dos reais não-negativos nos reais não-negativos. Definimos a seguinte relação binária em S:

• f g existem constantes reais positivas n0, c1 e c2 tais que, para todo x n0,

c1g(x) f(x) c2g(x)

• Exemplo: Sejam f(x) = 3x2 e g(x) = 200x2+140x+7. Para n0 = 2, c1=1/100 e c2=1, temos então que, para todo x 2,

• 1/100(200x2+140x+7) 3x2 1.(200x2+140x+7)

• 2x2 + 1,4x + 0,07 3x2 200x2 + 140x + 7

• Portanto, f g.

• Exercício: Mostrar que é uma relação de equivalência.

Classes de equivalência

• Como é uma relação de equivalência, então ela particiona S em classes de equivalência.

• Se f está na mesma classe de equivalência que g dizemos que f tem a mesma ordem de grandeza que g. denotado por f = (g),

• Obs.1: devido à simetria, podemos também dizer que g tem a mesma ordem de grandeza que f, isto é, g = (f).

• Obs.2: a notação f = (g) indica que f [g].

• Obs.3: Para cada classe de equivalência procura-se o representante mais simples. Por exemplo, para as funções f e g do exemplo anterior, podemos dizer que f = (x2) e g = (x2). Ou seja, a ordem de grandeza de um polinômio é sempre o termo de maior grau.

Ordem de Grandeza

• Seja h(x) = x2. Se multiplicarmos h por constantes c1 e c2, por exemplo, c1=1/2 e c2 = 2, as funções c1h(x) e c2h(x) têm a mesma forma de h(x) e formam uma espécie de “envelope” em torno dos valores de h(x). Alterar os valores das constantes altera o “tamanho” do envelope mas não sua forma básica:

c2h(x) h(x) c1h(x)

Exercício

Mostre que, para f(x) = x e h(x) = x2, f não é (x2).

c2h(x) h(x) c1h(x)f(x)

n0

Análise de Algoritmo

• Na análise de algoritmos identificamos as tarefas importantes que o algoritmo deve realizar.

• Em geral, o número dessas tarefas depende do tamanho da entrada: qual o acréscimo de trabalho à medida que n cresce.

• Ao invés de computarmos a função exata da quantidade de trabalho, calcularmos a sua ordem de grandeza:

• Por exemplo: a busca seqüencial em n elementos requer, no pior caso, n comparações (então é (n)), e a busca binária requer 1+log n comparações (então é (log n)).

Hierarquia de Classes

• Podemos dizer que a classe (n) é uma ordem de grandeza menor que a classe (n2), por que funções que são (n) inevitavelmente, em algum ponto, se tornam inferiores à função (n2).

• Da mesma forma, a classe (log n) é menor que a classe (n).

• Existe, portanto, uma hierarquia de classes: (log n) < (n) < (n2) < (n3) <...< (nk) <...< (2n)

< (3n) < ...• Essas classes são chamadas de classes de

complexidade e nos permitem classificar algoritmos.

Classes de Complexidade de Algoritmos

•Suponhamos que temos os algoritmos A, A’ e A’’ para realizar a mesma tarefa e que suas classes de complexidade têm diferentes ordens de grandeza: A é (n), A’ é (n2) e A’’ é (2n):

Tempo total de processamento

tamanho da entrada

10 50 100Algoritmo Ordem

A (n) 0,001s 0,005 s 0,01 s

A’ (n2) 0,01 s 0,25 s 1 s

A’’ (2n) 0,1024 s 3570 anos 4x1016séculos

Obs.: supondo que um passo computacional tome 0,0001 s

Exemplof(x)=x+sen(x)

g(x)=x

c1=1,5

c2=2

c1g(x)

f(x)

c2g(x)