1. Reflexões didáticas sobre adição e subtração nos anos iniciais

1.1 A visão do professor e a visão do aluno

Os conhecimentos a respeito das operações no conjunto N dos Números

Naturais são construídos num processo em que eles aparecem com um instrumento

útil para resolver determinados problemas e como um objeto que pode ser estudado

por si mesmo. Règine Douady (1994) descreve a dialética da matemática como

ferramenta-objeto no que se refere ao saber matemático. Como ferramenta, as

noções matemáticas funcionam como instrumento útil de resolução de problemas em

um contexto, em um dado momento e sob a ação e controle de alguém. É como objeto

de estudo que o sentido das noções matemáticas se amplia.

A utilidade da matemática é percebida pelas crianças antes mesmo de

chegarem à escola, mas o estudo das operações como objeto matemático, a partir de

contextos significativos para os alunos, os ajuda na compreensão das ideias envolvidas

nos processos operatórios.

É importante que o professor dê a seus alunos a oportunidade de expor suas

hipóteses sobre as operações em N, pois essas hipóteses constituem subsídios para a

organização das atividades. Verificar como os alunos fazem os cálculos operatórios,

sua compreensão das ideias, a efetivação dos algoritmos e que hipóteses possuem

acerca dos procedimentos elementares de cálculos, contribuem para o

desenvolvimento das operações em N.

Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto

fundamental que é o de caminhar em direção às escritas convencionais, sem as quais

não terão referência para se apropriarem do conhecimento socialmente estabelecido.

É no trabalho com números variados que as crianças exploram os procedimentos de

cálculos e de leitura, associando-os à representação escrita.

1.2 As orientações curriculares

As orientações curriculares nacionais presentes nos Parâmetros Curriculares

Nacionais – PCN (BRASIL, 1997), atualmente reformuladas e incorporadas na Base

Curricular Nacional Comum - BCN (BRASIL, 2017) e na cidade do Rio de Janeiro por

meio das Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação (SMERJ, 2016)

indicam que se explore alguns dos significados das operações, colocando-se em

destaque, inicialmente, a adição e a subtração, em função das características da

situação. Os alunos constroem os fatos básicos das operações (as conhecidas tabuadas

- cálculos com dois termos, ambos menores do que dez), constituindo um repertório

que dá suporte ao cálculo mental e escrito. O uso de materiais concretos e livros

paradidáticos podem ser muito úteis. Da mesma forma, a calculadora usada como

mais um recurso e não para substituir a construção de procedimentos de cálculo pelo

aluno, pode ajudá-lo na significação das ideias matemáticas.

O trabalho com um bom repertório de problemas e com atividades que

aproximem o aluno das operações, dos números, das medidas, das formas, do espaço

e da organização de informações, pelo estabelecimento de vínculos com os

conhecimentos com que ele chega à escola, é fundamental para o aluno adquirir

confiança em sua própria capacidade para aprender Matemática e avançar no

processo de formação de conceitos.

Normalmente as pessoas acabam memorizando as técnicas dos cálculos das

operações sem entender muito bem o que aqueles algoritmos significam. O bom de

aprender o algoritmo acompanhado de significação das ideias que ele representa é o

prazer de aprender entendendo os porquês das escolhas das estratégias utilizadas.

Antes de analisarmos os algoritmos, vamos refletir sobre alguns significados das

operações básicas em N.

O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática (PAIS,

2001) traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas encontram-

se as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser

trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado

dos números naturais. A justificativa para o trabalho com o conjunto dos problemas

aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou

seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas.

A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de

diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve

ser proposto ao longo da alfabetização, juntamente com o estudo dos números e com

o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas,

específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos

dispõem.

O Campo Aditivo não quer dizer que as ações desse campo são somente de adição. As

estruturas cognitivas desse campo envolvem ações de adição e de subtração.

2. Teoria dos campos conceituais – O Campo Aditivo

Tradicionalmente temos observado e até mesmo vivenciado um ensino de

Matemática baseado no conhecimento teórico que envolve conceitos, propriedades,

regras, leis e princípios que obedecem uma estrutura hierárquica dos conteúdos

curriculares. Em geral, a atividade prática é baseada em resolução de exercícios e

resolução de problemas para aplicar os conteúdos teóricos estudados. Temos

defendido a articulação dos conteúdos curriculares conceituais, didáticos e

metodológicos, buscando, com base na análise curricular e nas produções textuais

didáticas o equilíbrio no processo de formação de professores e da constituição do

conhecimento científico e docente. Alguns teóricos têm nos ajudado nessa

articulação.

Gérard Vergnaud é um deles. Matemático, filósofo e psicólogo francês, formado

em Genebra, discípulo de Jean Piaget, professor emérito do Centro Nacional de

Pesquisa Científica (CNRS), em Paris, Vergnaud é pesquisador em didática da

matemática, tendo elaborado a “Teoria dos campos conceituais”.

Segundo Vergnaud (2009, p.86) “o significado de um conceito não vem de uma

única situação, mas de uma variedade de situações e, reciprocamente, uma situação

não pode ser analisada com um conceito sozinho, mas com vários conceitos, formando

sistemas”. De acordo com Vergnaud o campo conceitual das estruturas aditivas refere-

se ao conjunto de problemas cuja solucao implica exploracao de adicao e subtracao

com diferentes graus de complexidade.

Nessa perspectiva, a construção de um conceito envolve uma terna de

conjuntos que, segundo a teoria dos campos conceituais de Vergnaud, é

chamada simbolicamente de (S, I e R); onde S é um conjunto de situações

que torna o conceito significativo, I é um conjunto de invariantes (objetos,

propriedades e relações) e R é um conjunto de representações simbólicas

que podem ser usadas para pontuar e representar os invariantes. No

sentido de estabelecer relação entre conceito e situação, Vergnaud apoia-

se nas ideias de Piaget, relacionando a terna (S, I, R) aos elementos básicos

da função simbólica, onde S refere-se à realidade ou referente, e I e R

referindo-se à representação. Representação essa vista como a interação

entre dois aspectos do pensamento: o significado I e o significante R. O caso

da adição e subtração são exemplos de conceitos onde não faz sentido

estudá-los isoladamente, mas sim dentro de um campo conceitual, o das

Estruturas Aditivas. (MENDONÇA et all, 2007, p. 225).

S – REFERENTE: conjunto das situações ou referências que dá sentido, que traz o

contexto do conceito, o objeto de estudo.

I – SIGNIFICADO: conjunto das invariantes, propriedades e procedimentos em que se

baseia a operacionalidade dos esquemas para definir o objeto de estudo.

R – REPRESENTAÇÃO OU SIGNIFICANTE: conjunto das representações simbólicas, das

formas de linguagem (ou não) que permitem representar simbolicamente o conceito,

suas propriedades, suas características, as situações, as operações e os procedimentos

de tratamento.

Vergnaud (2009, p.197) entende por “problemas de tipo aditivo”, “todos aqueles

cuja solucao exige tao somente adicões ou subtracões”. Da mesma forma entende por

“estruturas aditivas” “as estruturas em que as relacões em jogo sao formadas

exclusivamente por adicões ou subtracões”. Seus estudos mostram que as diferentes

relações aditivas não são habitualmente feitas no ensino básico, mas elas são

importantes porque o trabalho cognitivo de cada ideia aditiva varia de caso a caso. A

seguir apresentaremos alguns esquemas fundamentais acompanhados de exemplos

práticos.

Transformação – Alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva

ou negativa que interfere no resultado final. As ideias de acrescentar, retirar e

completar fazem parte dessa categoria.

Vergnaud (2009) defende que o significado de transformação envolve uma ação

ocorrida a partir da situação, de forma direta ou indireta, causando aumento ou

diminuição. O estado inicial da situação sofre uma transformação aditiva (ou

subtrativa) para obter o resultado. Essa transformação pode ser uma ação decorrente

de verbos que fazem a transformação ser acrescida ou reduzida. O autor afirma que as

crianças, mesmo antes da educação formal, já constroem um pensamento intuitivo de

adição e subtração, relacionando espontaneamente o “ganho” e a “perda” vivenciadas

em sua rotina diária. São desse tipo de operação a Transformação Positiva (Ideia A), a

Transformação Negativa (Ideia B) e o estado de Completar (Ideia C).

Combinação de medidas – Junção de conjuntos de quantidades pré-

estabelecidas.

Nessa ideia não há alteração de um estado inicial, não há transformação. O que há

é uma junção de quantidades, junção de medidas, composição de estados para

resultar em um terceiro estado. (Ideia D)

Comparação - Confronto de duas quantidades para achar a diferença

Nesse caso, as quantidades são comparadas entre duas partes, no sentido de

relacionar essas partes. Nesse tipo de raciocínio, os valores não se transformam,

apenas se estabelece a ideia de uma comparação entre dois estados. Segundo

Vergnaud (2009), é difícil a criança discernir as relações existentes entre dois grupos e

todas as combinações possíveis de se obter com o significado de comparação. A

comparação será exemplificada na Ideia E.

Composição de transformações – Alterações sucessivas do estado inicial.

Vergnaud (2009) afirma que existem situações em que pode ocorrer mais de uma

transformação sucessiva, gerando uma composição de transformações. Configura

quatro ideias possíveis:

a) Transformação positiva e positiva, quando a situacao gera “acrescentar” e

“acrescentar” (Ideia F1).

b) Transformação positiva e negativa, quando ocorre a situação “acrescentar”, seguida

de “retirar” (Ideia F2)

c) Transformação negativa e positiva, quando a proposta é de “retirar” e a seguir de

“acrescentar” (Ideia F3)

d) Transformação negativa e negativa, quando a situacao é de “retirar” e “retirar”

(Ideia F4)

Estados relativos – Transformação de um estado relativo em outro estado relativo e é

estudada no segundo segmento do Ensino Fundamental por envolver o conjunto dos

números negativos.

As transformações de estados relativos envolvem operações com números negativos que somente são estudados no programa curricular do 6º. Ano. Isso não quer dizer que não possa ocorrer em situações esporádicas de sala de aula, mas não há necessidade curricular de se aprofundar essa ideia nos anos iniciais.

3. Exemplos práticos das ideias do Campo Aditivo

Vejamos então os exemplos das ideias do campo aditivo acima comentadas.

Ideia A- Transformação positiva: Acrescentar

a)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 82

b)

FONTE: PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto

Editorial, 2011, p.37

Ideia B- Transformação negativa: Retirar

Vamos nos deter com mais cuidado na subtração analisando estes problemas:

a)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p.90

b)

FONTE: PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: Quinteto

Editorial, 2011, p. 141

Ideia C- Transformação com ação de Completar

a)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p 91

b)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p 92

Ideia D- Combinação de medidas: Juntar, Reunir

Vamos observar esses problemas:

a)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 80

b)

FONTE: SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 62

Ideia E- Comparar

a)

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 93

b)

FONTE: SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo: Ática, 2011, p. 87

Ideia F- Composição de transformações

Citaremos apenas quatro exemplos de possibilidades, mas essa ideia primária

pode ter vários outros desdobramentos que envolvem diferentes combinações das

ideias de acrescentar e retirar.

Ideia F1- Acrescentar e acrescentar

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 142

Ideia F2- Acrescentar e Retirar

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 96

Ideia F3- Retirar e Acrescentar

FONTE: DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, 2011, p.139

Ideia F4- Retirar e Retirar

FONTE: BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD,

2011, p. 80

4. Considerações finais

Como cita Abrahão (2017, p.110),

mesmo com o avanço em estudos sobre teorias didáticas e currículo

interdisciplinar e sobre a necessidade de construir conceitos matemáticos

desde a infância, as pesquisas revelam que ainda são pouco conhecidas

possibilidades para desenvolver efetivamente uma formação matemática

dos Pemie [professores que ensinam Matemática no início da

escolarização]. Os resultados dos estudos implicam que é preciso ter mais

pesquisadores nos programas de pós-graduação envolvidos em linhas de

pesquisa voltadas para a formação inicial do Pemie.

Nossos estudos reforçaram a importância de se trabalhar o Sistema de

Numeração Decimal e as ideias do campo aditivo desde os anos iniciais reforçando o

valor inestimável da formação de professores para a docência matemática no princípio

da escolarização. Sugerimos, portanto, que sejam repensados e incentivados projetos

de pesquisas, de ensino e de extensão que possam contribuir para a formação para a

docência dos Pemie.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABRAHÃO, Ana M. C. e SILVA, Sandra A. F. Pesquisas sobre a formação inicial do

professor que ensina matemática no princípio da escolarização. Zetetiké, Campinas, SP,

v.25, n1, jan./abr.2017, p.94-116

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

Matemática / Ensino de primeira à quarta séries. Secretaria de Educação Fundamental.

Brasília: MEC / SEF, 1997. http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Base Curricular Nacional Comum:

Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 2017.

http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/pdf/4.2_BNCC-Final_MA.pdf Consulta

em setembro de 2017

BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização

Matemática, 2º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011.

BONJORNO, José Roberto. Matemática pode contar comigo: Alfabetização

Matemática, 3º ano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2011.

DANTE, Luiz Roberto. Ápis: Matemática, 4º. Ano, 1ª. edição, Sâo Paulo: Ática, 2011.

DOUADY, Régine. Evolução da relação com o saber em matemática na escola primária:

uma crônica sobre cálculo mental. Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994

MENDONÇA, Tania M., PINTO, Sandra M., CAZORLA, Irene M. y RIBEIRO, Eurivalda. As

estruturas aditivas nas series iniciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico

em contextos diferentes. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa. 2007, vol. 10, pp. 219-239.

PAIS, Luiz C. Didática da Matemática. Uma análise da influência francesa. Coleção

Tendências em Educação Matemática. Autêntica. Belo Horizonte. 2001.

PASSOS, Marinez Meneghello. De olho no futuro: Alfabetização Matemática, 2º ano. 1ª

edição. São Paulo: Quinteto Editorial, 2011.

SMERJ. Orientações Curriculares: Matemática. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro.

Secretaria Municipal de Educação. Subsecretaria de Ensino. Coordenadoria de

Educação. 2016. Acesso em setembro de

2017.https://onedrive.live.com/?authkey=%21AGVgAGErOwRfLYI&cid=09A0409FEB08

9278&id=9A0409FEB089278%211762&parId=9A0409FEB089278%211740&o=OneUp

SOUZA, Maria Helena. Asas para voar: Alfabetização matemática, 3º ano. São Paulo:

Ática, 2011.

VERGNAUD, G. A criança, a Matemática e a realidade. Tradução de: MORO, M. L. F.

Curitiba: Editora UFPR, 2009.

VERGNAUD, G. The Theory of Conceptual Fields. Human Development. Karger, AG,

Basel. 2009, vol.52, pp: 83–94.