Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de...

Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Laplace

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 4

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• A Transformada de Laplace

• A Transformada Inversa

• Propriedades da Transformada de Laplace

• Solução de Equações Diferenciais e Integro-diferenciais

• Diagrama de Blocos

• Realização de Sistemas


Transformada de Laplace (i)• Definições

– Decompõe-se o sinal f(t) em sinais exponenciais complexos da forma exp(st) onde s é uma variável complexa (freqüência complexa do sinal).

– Dado um sinal x(t), a transformada (bilateral) de Laplace é:

– A transformada (bilateral) inversa de Laplace é definida como:

• c é uma constante que assegura a convergência da integral;• x(t) é um sinal no domínio do tempo;• X(s) é um sinal no domínio da freqüência.

( ) ( )∫∞

∞−

−= dtetxsX ts

∫∞+

∞−=

jc

jc

stdsesXj

tx )(21

)(π , onde


Transformada de Laplace (ii)• Observações

– Simbolicamente, tem-se que:

– O par de transformada de Laplace pode também ser indicado por:

• Esta transformada, chamada de bilateral ou dois-lados pode tratar de sinais que existam em todo intervalo de tempo, isto é, sinais causais ou não-causais.

• A Transformada Unilateral (ou de um lado) de Laplace, a ser definida posteriormente, só considera sinais causais.

( ))]}([{)(e)]}([{)(

inferir se-pode logo ,)]([)(e)]([11

1

sXLLsXtxLLtx

sXLtxtxLsX−−

−

==

==

)()( sXtx ⇔


Transformada de Laplace (iii)• Características

– Linearidade deste operador:

– Região de convergência (ROC):• A região de convergência (ou região de existência) de X(s) é o

conjunto de valores de s para os quais existe a integral que define a transformada de Laplace.

)()()()(

)]()([)]()([

Prova)()()()( então

)()();()( pares os Sejam

22112211

22112211

22112211

2211

sXasXadtetxadtetxa

dtetxatxatxatxaL

sXasXatxatxasXtxsXtx

stst

st

+=+

=+=+

+⇔+⇔⇔

∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−


Transformada de Laplace (iv)– Exemplo:

.Re é )( de iaconvergênc de regiãoA

Re1)( ou

0)Re(1

)( Logo

0)Re(0)Re(0

lim

|1

)(

então ,0,0)( como ,)()( definiçãoPor

)()( para iaconvergênc de região sua e )( Determine

)(

0)(

0

)(

0

assX

asas

tue

asas

sX

asas

e

eas

dtedteesX

ttudtetuesX

tuetxsX

at

tas

t

tastasstat

stat

at

−>

−>+

⇔

>++

=

<+∞>+

=

+−===

<==

=

−

+−

∞→

∞+−∞ +−∞ −−

∞

∞−

−−

−

∫∫

∫


Transformada de Laplace (v)– Exemplo:


Transformada de Laplace (vi)• Observações

– Região de convergência para sinais de duração finita: Este sinal écaracterizado como existindo apenas no intervalo . Para um sinal de duração finita que seja absolutamente integrável, a ROC étodo o plano s.

• Isto ocorre pois a exponencial (da definição de Transformada de Laplace) é finita, uma vez que é integrada no intervalo finito de existência do sinal.

– Papel de ROC: Requerido para avaliar a Transformada Inversa de Laplace. A operação para achar tal Transformada requer integração no plano complexo. O caminho de integração deve estar no ROC (ou existência) para X(s).

],[ 21 tt


Transformada de Laplace (vii)• Transformada Unilateral de Laplace

– Transformada na qual todos sinais são restringidos a serem causais. É um caso especial da Transformada bilateral.

• Ela é necessária para que exista correspondência um-para-um, entre x(t) e X(s), quando não se tem especificado o ROC (como ilustrado no exemplo anterior).

• Os limites de integração passam a ser zero e infinito.– Transformada Unilateral de Laplace X(s) de um sinal x(t):

• O limite inferior assegura a inclusão da resposta ao impulso e permite o uso das condições iniciais (no instante do limite inferior) para solucionar equações diferenciais empregando Transformada de Laplace.

∫∞ −−

=0

)()( dtetxsX st


Transformada de Laplace (viii)• Transformada Unilateral de Laplace

– Em princípio não há diferenças entre as Transformadas de LaplaceUnilateral e Bilateral.

• A Transformada Unilateral é a Transformada Bilateral que lida com subclasse de sinais que existem a partir de t=0.

• A expressão para a Transformada Inversa permanece inalterada em ambos os casos.

– Existência da Transformada Unilateral de Laplace:

∞<

===

∫∫∫

∞ −

−∞ −−∞ −

−

−−

0

00

)( se converge integral a logo

1 onde ,])([)()(

dtetx

edteetxdtetxsX

t

tjtjtst

σ

ωωσ


Transformada de Laplace (ix)– Exemplo: Determine as Transformadas de Laplace a seguir

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] 0)(Re)(Re ,)(

)(cos

1121

)()(21

)(cos

logo ,)(21

)(cos que se-Lembre (c)

0Re ,11

)()( (b)

)0()()( amostragem de epropriedad se-usou

1,)()( (a)

.)(cos (c) );( (b) );( (a)

020

20

000

0

0

0

00

0

0

-

>=±+

=

∴

+

+−

=+=

+=

>=−===

=

==

−

−

∞−∞ −∞ −

∞

∞−

∞ −

∫∫

∫∫

−−

−

sjss

stutL

jsjstuetueLtutL

tueetut

ss

es

edtedtetutuL

dttt

dtettL

tuttut

tjtj

tjtj

ststst

st

ωω

ω

ωωω

ω

φδφ

δδ

ωδ

ωω

ωω


A Transformada Inversa (i)• Determinação da Transformada Inversa

– Busca-se expressar X(s) como o somatório de funções mais simples que podem ser encontradas em tabelas.

)()34()(3

32

4)3)(2(

67)( Logo,

323621

)3)(2(67

432614

)3)(2(67

32)3)(2(67

667

667

de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo

32

32

21

212

2

tueetxssss

ssX

sss

k

sss

k

sk

sk

sss

sss

sss

tt

s

s

+=⇒−

++

=−+

−=

=+−

=−+

−=

=−−−−

=−+

−=

⇒−

++

=−+

−=

−−−

−−−

−

=

−=


A Transformada Inversa (ii)• Determinação da Transformada Inversa

)()137()(2)(2

131

72)( Logo,

1312

58)2)(1(

52

72152

)2)(1(52

212

)2)(1(52

2352)(

. onde imprópria função uma é )( onde23

52)( de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo

2

2

2

2

1

2

1

212

2

2

2

2

tueettxss

sX

sss

k

sss

k

sk

sk

sss

ssssX

NMsXss

ssX

tt

s

s

−−

−=

−=

−+=⇒+

−+

+=

−=+−

+=

+++

=

=+−+

=++

+=

⇒+

++

+=++

+=++

+=

=++

+=

δ


A Transformada Inversa (iii)• Determinação da Transformada Inversa

)()]9.1263cos(106[)(

355

3556)( Logo,

5)43(43polar forma em ,43

4353329

)35)(35()34(6

634

346)35)(35(

)34(6

3535)35)(35()34(6

)(

)3410()34(6

)( de Inversa daTransforma a Encontre :Exemplo

05

)3/4(tan)3/4(tan

)3/4(tan)3/4(tan22*2

352

01

*221

2

11

11

tutetx

jse

jse

ssX

eejjk

jjj

jsjsss

k

jsjsss

k

jsk

jsk

sk

jsjsss

sX

ssss

sX

t

jj

jj

js

s

++=⇒

+++

−++=

=+=+−−−=

+−=−−+

=++−+

+=

=×

=++−+

+=

⇒++

+−+

+=++−+

+=

+++

=

−

−−−

−−

+−=

=

−−

−−


Propriedades da Transformada de Laplace (i)• Motivação:

– Úteis para encontrar a Transformada de Laplace e para se determinar soluções de equações Integro-diferenciais.

• Deslocamento no Tempo:

• Deslocamento na Freqüência:

• Propriedade de Diferenciação no Tempo

.0,)()()( então ,)()()( Se

:como expressa amentealternativser pode epropriedad Esta

)()( se- tem,0 para então ,)()(

000

00

0

0

≥⇔−−⇔

⇔−≥⇔

−

−

tesXttuttxsXtutx

esXttxtsXtx

st

st

)()( então ,)()( 00 ssXetxsXtx ts −⇔⇔

∑=

−−−

−

−⇔

−⇔⇔

n

k

kknnn

n

xssXsdt

txd

xssXdt

tdxsXtx

1

)1( )0()()(

geral em e ),0()()( então ,)()(


Propriedades da Transformada de Laplace (ii)• Propriedade de Integração no Tempo:

• Escalonamento:

• Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência

s

dx

ssXdx

ssX

dxsXtx

t

t

∫∫

∫−

−

∞−

∞−+⇔

⇔⇔

0

0

)()()(

e ,)(

)( então ,)()(

ττττ

ττ

⇔⇔

as

Xa

atxsXtx1

)( então ,)()(

( )[ ])()(21)()( freqüência na Convolução

)()()()( tempono Convolução.)()( e )()( Considere

2121

2121

2211

sXsXjtxtx

sXsXtxtxsXtxsXtx

∗⇔⇔∗

⇔⇔

π


Propriedades da Transformada de Laplace (iii)• Adição e Multiplicação Escalar

• Propriedade de Diferenciação na Freqüência:

• Propriedade de Integração na Freqüência:

• Valor Inicial

• Valor final

)()(escalar por çãoMultiplica

)()()()( Adição

11

2121

skXtkx

sXsXtxtx

⇔+⇔+

dssdX

ttxsXtx)(

)( então ,)()( ⇔−⇔

∫∞

⇔⇔s

dXttx

sXtx ττ )()(

então ,)()(

exista. limite o que desde ,)(lim)0( então Laplace, de

dasTransforma têm/)( sua e )( Se :inicial valor do Terorema

ssXx

dttdxtx

s ∞→

+ =

.imaginário eixo noou

RHP no pólos haja não caso ,)(lim)(lim então Laplace, de

dasTransforma têm/)( sua e )( Se :final valor do Terorema

0ssXtx

dttdxtx

st →∞→=


Propriedades da Transformada de Laplace (iv)• Exemplo

6)52(

)32(10lim)52(

)32(10lim)(lim)(

0)52(

)32(10lim

)52()32(10

lim)(lim)0(

que se- temAssim

)52(

)32(10)(

:por dado )( para )( de finais e iniciais valoresos Determine

20200

22

2

=++

+=

++

+==∞

=++

+=

++

+==

+++=

→→→

∞→∞→∞→

+

sss

sssssssYy

sss

ssss

sssYy

sssssY

sYty

sss

sss


Soluções de Equações (i)• Soluções de Equações Integro-diferenciais

– A transformada de Laplace substitui equações diferenciais por equações algébricas na resolução do sistema dinâmico seguindo as operações:

• Obtenção das equações diferenciais;

• Obtenção das transformadas de Laplace das equações diferenciais;

• Resolução das equações algébricas para as variáveis de interesse;

• Obtenção da transformada inversa de Laplace da solução encontrada.


Soluções de Equações (ii)• Equações Diferenciais

– Resolve-se equações diferenciais com coeficientes constantes. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma equação diferencial é uma equação algébrica.

– Exemplo:

12)()0()0()()(

2)()0()()(

);()(

:se- temLaplace de dasTransforma das espropriedad Pelas

)()(

)(6)(

5)(

:expressão a escrevendo-Re

)()( entrada e,1)0( e 2)0( iniciais condições com

)()1()()65( :ordem segunda delinear ED a Resolva

222

2

2

2

4

2

−−=−−⇔

−=−⇔⇔

+=++

===

+=++

−−

−

−−−

ssYsysysYsdt

tyd

ssYyssYdt

tdysYty

txdt

tdxty

dttdy

dttyd

tuetxyy

txDtyDDt

&

&


Soluções de Equações (iii)– Exemplo (continuação):

[ ] [ ]

)(23

32

13)( :Logo

42/3

33

22/13

432)4)(3)(2(45202)(

)4)(65(45202

)(41

)112()()65(

41

4)(62)(512)(

)()(

)(6)(

5)(

:se- temAssim,

4)0()(

)(;

41

)()()(

:se- temLaplace de dasTransforma das espropriedad pelas Ainda

432

3212

2

22

2

2

2

4

tueeety

ssssk

sk

sk

ssssssY

sssss

sYss

ssYss

ssssYssYssYs

txdt

tdxty

dttdy

dttyd

ss

xssXdt

tdxs

sXtuetx

ttt

t

−−=

+−

+−

+=

++

++

+=

+++++=

∴+++

++=∴

++

=+−++

∴+

++

=+−+−−

⇔+=++

+=−=

+=⇔=

−−−

−−


Soluções de Equações (iv)– Componentes de Entrada Zero e Estado Zero da Resposta:

{

( )44444 344444 21

44 344 21

444 3444 2143421

43421

zero estado resposta

432

zero entrada resposta

32

zero estado componente

2

zero entrada componente

2

entradainiciais cond.

22

)(23

221

)(57)(

42/3

32

22/1

35

27

)(

)65)(4(1

)65(112)(

41)112()()65(

41)112()()65(

:que se- temanterior, exemplo No

tueeetueety

ssssssY

ssss

ssssY

ssssYss

ssssYss

ttttt

−+−+−=∴

+−

++

+−

+

+−

+=∴

+++++

+++=∴

++++=++∴

++=+−++

−−−−−


Soluções de Equações (v)– Comentários sobre Condições Iniciais:

• As condições iniciais em zero menos são satisfeitas pela resposta de entrada zero, e não pela resposta total.

• A resposta total satisfaz as condições iniciais no tempo zero mais, condições estas, em geral, distintas daquelas em zero menos.


Soluções de Equações (vi)– Exemplo: Na figura abaixo, a chave é fechada por um longo

período antes do tempo t=0, quando ela é aberta instantaneamente. Determine a corrente no indutor .0 para ),( ≥tty


Soluções de Equações (vii)– Exemplo (continuação):

sssY

dy

Cvqdy

s

dy

ssY

dy

ssYyssYdt

tdysYty

tudytydt

tdy

tuvy

t

CC

t

t

C

2)()( que se- temAssim,

2)10(51

)0()0()( :capacitor no corrente a Para

)()()(

e 2)()0()()( então ,)()( Para

)(10)(5)(2)(

:é laço do equação a aberta, chave a Com)(10entrada e 10)0(;2)0( :iniciais Condições

0

0

+⇔

====

+⇔

−=−⇔⇔

=++

===

∫

∫

∫∫

∫

∞−

−−

∞−

∞−

∞−

−

∞−

−−

−

−

ττ

ττ

ττττ

ττ


Soluções de Equações (viii)– Exemplo (continuação):

( ))()6.262(cos5)( :Concluindo

6.264/2tan;2;54/20

;tan;2

onde

,2

)()cos( :Inversa daTransforma

52/2)(2)(

52

1010)(5)(22)()(10)(5)()(:laço de equação da Laplace de ada transforma oEncontrand

0

01

22

12

22

2

tutety

br

acbacABAa

acABaBcA

r

cassBAstubtre

sssYsY

ss

ssssYsYssYtudyty

dttdy

t

at

t

+=

=====

−=

−−

=−

−+=

+++⇔+

++=∴=

++∴

=+++−⇔=++

−

−

−

−

∞−∫

θ

θ

θ

ττ


Soluções de Equações (ix)– Exemplo (continuação):


Resposta de Estado Zero (i)• Expressão Geral de um Sistema LTIC

)()(

),()(),()(

tempono derivação sua e Laplace de adas transformas se- temAssim,

0)0()0()0()0(

)0(

é, isto causal, é entrada a disto, Além

0)0()0()0()0()0(

é, isto relaxado, teinicialmen é sistema o zero, estado de resposta a Para

ou, )()()()( : ordem de LTIC sistema o Seja

)1(

)1(

)2(

)2(

2

2

)1(

)1(

)2(

)2(

2

2

11

10

11

1

sXsdt

txdsXtxsYty

dtxd

dtxd

dtxd

dtdx

x

dtyd

dtyd

dtyd

dtdyy

)x(t)bDbDbD(b

)y(t)aDaDa(D

txDPtyDQN

kk

k

N

N

N

N

N

N

N

N

NNNN

NNNN

⇔⇔⇔

======

======

++++=

=++++

=

−

−−

−

−−−−−

−

−−

−

−−−−−

−−

−−

K

K

K

K


Resposta de Estado Zero (ii)• Expressão Geral de um Sistema LTIC

– Interpretação Intuitiva da Transformada de Laplace• Pode-se expressar quase todos os sinais de utilidade prática

como um somatório de exponenciais incessantes sobre um intervalo contínuo de freqüências.

• Como s é uma freqüência complexa de exp(st), por isto, o método com a Transformada de Laplace é chamado de método do domínio da freqüência.

tatada.aqui ldiferencia equação da ncia transferêde função a é Esta

)()()(

)()(

)()(

:é LTIC sistema o para Laplace de daTransforma a Logo,

11

1

11

10

11

1011

1

sHsXsY

sXasasasbsbsbsb

sY

s)Xbsbsbs(bs)Yasasa(s

NNNN

NNNN

NNNN

NNNN

=∴++++++++

=∴

++++=++++

−−

−−

−−

−−

KK

KK


Resposta de Estado Zero (iii)– Exemplo:

)()32()( finalmente

,3

32

15

2)( Assim,

)5)(3)(2()1(3

53

651

)()()( é saída a assim

5

3)](3[)( tambéme ,

651

)()(

)(

iaconseqüêncpor ,)()1()()65(

)(3entrada e 0)0()0( :iniciais Condições

)()()(6)(5)( :LTIC sistema do resposta a Ache

325

2

52

)()(

2

5

2

2

tueeetysss

sY

ssss

ssss

sXsHsY

stueLsX

sss

sQsP

sH

txDtyDD

tueyy

txdt

tdxtydt

tdydt

tyd

ttt

t

DPDQ

t

−−−

−

−−−

+−−=+

++

−+

−=

++++

=+++

+==

+==

+++

==

+=++

===

+=++

32144 344 21

&


Resposta de Estado Zero (iv)– Exemplo:

ssHsX

ssY

dxty

ssXsY

sHssXsY

dtdx

ty

esXsY

sHesXsY

TtxtyT

t

sTsT

1)()(

1)(

)()( :ideal integrador Um(c)

)()(

)()()(

)( :idealdor diferencia Um(b)

)()(

)()()(

)()( :segundos de de idealatrasador Um(a) ncia transferêde funções as Encontre

0

=∴=⇔

=

==∴=⇔

=

==∴=⇔

−=

∫

−−

ττ


Estabilidade (i)• Critério de Estabilidade Assintótico

– Para P(s) e Q(s) sem fatores comuns, o critério pode ser expresso em termos de pólos da função de transferência de um sistema:

• Um sistema LTIC é assintoticamente estável se e só se todos pólos (simples ou repetidos) da função de transferência H(s) estão no semiplano esquerdo (parte real negativa).

• Um sistema LTIC é instável se e só se uma das duas condições for verdade: (i) ao menos um pólo de H(s) encontra-se no semiplano direito; (ii) houver pólos repetidos de H(s) sobre o eixo imaginário.

• Um sistema LTIC é marginalmente estável se e só se não houver pólos de H(s) no semiplano direito e houver pólos não-repetidos sobre o eixo imaginário.

– A localização dos pólos de H(s) dentro de um mesmo semi-plano não influencia na estabilidade de um sistema.


Diagrama de Blocos (i)• Introdução

– Um sistema grande pode ser formado por número enorme de componentes tais como ocorre no diagrama de um circuito de rádio ou um receptor de televisão. Pode-se, então, resolver este problema através do emprego de subsistemas interconectados que podem ser caracterizados em termos de relações entrada-saída. Em particular, um sistema linear pode ser caracterizado por sua função de transferência H(s). Os subsistemas podem ser interconectados em cascata, paralelo e por realimentação.

– A função de transferência relaciona variáveis controladas com controladoras, representando relação causa-efeito de maneira esquemática através de diagrama de blocos. Este diagrama édefinido como um bloco operacional e unidirecional que representa a função de transferência de variáveis de interesse.


Diagrama de Blocos (ii)– Exemplos:


Diagrama de Blocos (iii)– Exemplo: Sistema multivariáveis

=

)()(

)()()()(

)()(

2

1

2221

1211

2

1

sRsR

sGsGsGsG

sYsY

)(1 sR

)(2 sR

)(11 sG

)(12 sG

)(21 sG

)(22 sG

)(1 sY

)(2 sY++

+

+


Diagrama de Blocos (iv)– Exemplo: Função de transferência de um sistema de malha

fechada.

)(sG)(sR

)(sH

)(sE )(sY

)(sB

+

−

[ ][ ]

diagramas. estes para reduções de técnicasdeatravés simples mais outro a reduzidoser pode blocos de diagrama Um

)()(1)(

)()(

)()()()()(1)()()()()()()()()()()( então ,)()()( como

,)()()()()()( que se-Tem

sHsGsG

sRsY

sRsGsYsHsGsYsHsGsRsGsYsYsHsRsGsYsEsGsY

sYsHsRsBsRsE

+=

∴=+∴−=∴−==

−=−=


Diagrama de Blocos (v)– Exemplo: Rover de Marte (sojourner), alimentado por energia

solar.


Diagrama de Blocos (vi)– Exemplo: Sistema de controle para o rover: (a) malha aberta

(sem realimentação); (b) malha fechada (com realimentação).MASTER 47

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−

+R(s)r(t) = t,t ≥ 0 +

+

R(s)

Controller

+

+K(s +1)(s +3)s2+4s+5

1(s +1)(s +3)

1(s +1)(s+ 3)

D(s)

D(s) Rover

RoverY(s)

Vehicleposition

Y(s)Vehicleposition

K

(a)

(b)

Figure 4.25 Control system for rover; (a) open-loop (without feedback) and (b) closed-loop with feedback.The input is R(s) = 1/s.


Realização de Sistemas (i)• Introdução

– Método sistemático de realização (ou implementação) de uma função de transferência arbitrária. A realização caracteriza-se por:

• Constituir-se em um problema de síntese;

• Existir, em geral, mais de uma maneira de ocorrer;

• Empregar integradores, diferenciadores, adicionadores e multiplicadores.

– O problema de realização estuda como encontrar uma representação (por variáveis de estado) de um sistema LTI a partir de uma função de transferência.


Realização de Sistemas (ii)• Realização: Forma Direta I (DFI)

– Inicialmente será exposto um caso particular: realização de um sistema de terceira ordem:

.invertidas blocos dos posições as com cascata em conexão uma aeequivalent éanterior opção a ,comutativa epropriedad da causaPor

.)( e )( de cascata em conexãopor )(realizar se-Pode

)().(1

1)(

1)(

21

21

33

221

33

221

0

33

221

33

221

0

322

13

322

13

0

sHsHsH

sHsH

sa

sa

sas

bsb

sb

bsH

sa

sa

sa

sb

sb

sbb

asasasbsbsbsb

sH

=

+++

+++=

∴+++

+++=

++++++

=


Realização de Sistemas (iii)• Realização: DFI

– Este sistema é descrito pelas equações:

)(1)()(1

1)(

)()(

33

221

33

221

33

221

0

sYsa

sa

sa

sWsW

sa

sa

sa

sY

sXsb

sb

sb

bsW

+++=∴

+++=

+++=

)(sX )(1 sH )(2 sH )(sY

)(sX )(2 sH )(1 sH )(sY


Realização de Sistemas (iv)• Realização: DFI

)(sW

s1

)(sX +

s1

s1

+

+

0b

+

1b

2b

3b

s1

)(sY+

s1

s1+

+

+

1a−

2a−

3a−

+

+

+

+


Realização de Sistemas (v)• Realização: DFI

)(sW

s1

)(sX +

s1

s1

+

+

+

0b

+

1b

1−Nb

Nb

s1

)(sY+

s1

s1

+

+

+

+

1a−

1−− Na

Na−

+

+

+

+

Sistemas de ordem N:

Note que é necessário 2N integradores para realizar tal sistema.

Neste tipo de realização, primeiro realiza-se H1(s)e depois H2(s).


Realização de Sistemas (vi)• Realização: Forma Direta II (DFII)

– Inicialmente realiza-se H2(s) e depois H1(s). Com respeito ao caso anterior, a ordem dos blocos é invertida. Para o sistema anterior de terceira ordem, tem-se:

– A mesma situação é estendida para um sistema de ordem N.

)().(1

1)( 123

3221

0

33

221

sHsHsb

sb

sb

b

sa

sa

sa

sH =

+++

+++=


Realização de Sistemas (vii)• Realizações Cascata e Paralela:

– Uma função de transferência H(s) pode ser expressa como um produto de funções de transferência ou como uma soma:

si. entre interagem escoeficient todos caso, último no que vezuma sistema no parâmetros de variaçõespequenas

a sensíveis menosser a tendemaquelas pois diretas formas às spreferívei são cascatas algumas a paralela formas as prático, vistade ponto Do

)()()5(

2)1(

6)5)(1(

284)(

que se- temamente,alternativ

)().()5(

1)1(

284)5)(1(

284)(

43

21

sHsHssss

ssH

sHsHss

sss

ssH

−=

+

−

+

=

++

+=

=

+

++

=

++

+=


Realização de Sistemas (viii)• Realizações Cascata e Paralela:

– Realizações da função anterior:

)(sX1284

++

ss )(sY

51+s

)(sX1

6+s

)(sY

52+s

−

+


Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– 4.1-1 até 4.1-3.

– 4.2-1, 4.2-3 até 4.2-5.

– 4.3-1 até 4.3-3, 4.3-5 até 4.3-9, 4.3-12.

– 4.5-1 até 4.5-3.

– 4.6.1 até 4.6.10

Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de...

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