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Pesquisa Operacional

PESQUISA OPERACIONAL

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Ementa

Tomada de decisões na administração; o processo da tomada de decisão; construção do modelo de decisão. Métodos gráficos; Métodos algébricos; Método Simplex; Programações; Métodos de transporte e de designação; Análise de sensibilidade; Utilização integrada das tecnologias computacionais; Simulação; Método de Monte Carlo;

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OBJETIVO GERAL:

A disciplina busca fundamentar e capacitar o aluno na modelagem de modelos matemáticos relativamente simples e desenvolver técnicas que permitam resolver problemas de Programação Linear de larga aplicação no campo da gestão empresarial, como ferramentas de tomada de decisão.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

- Identificar problemas na área de gestão, onde as teorias matemáticas e as técnicas e métodos utilizados em Pesquisa Operacional podem ser aplicados, no processo de tomada de decisão.

- Conhecer as fases de um estudo em Pesquisa Operacional necessárias para a resolução de problemas gerenciais.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

UNIDADE I

1 – Origem e aspectos históricos da Pesquisa Operacional;

2 – Descrição do Modelo em Pesquisa Operacional: Variáveis de Decisão; Função Objetivo; Equações de Restrições;

3 – Funções Lineares; Funções Crescentes e Decrescentes; Inequações (Revisão para introdução ao Método Gráfico);

4 – Técnicas de Solução para modelos de Programação Linear – Método Gráfico;

5 – Técnicas de Soluções para Modelos de Programação Linear – Método Algébrico;

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UNIDADE II

1 – Método Simplex de resolução de problemas de programação linear;

2 – Dualidade e Modelo Primal;

3 – Problemas de Transporte em Programação Linear (Método do Canto Noroeste e Método de Vogel/Penalidades);

4 – Função Solver – Utilização do Excel na resolução de problemas de programação linear;

5 – Método de Monte Carlo;

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na tomada de decisão. 4 ª Ed. São Paulo: Person, 2009.

SILVA, Ermes Medeiros da et al. Pesquisa Operacional Para os Cursos de: Administração e Engenharia. 4ª Edição. 2ª Tiragem. São Paulo: Atlas, 2010.

ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de decisões. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa operacional: técnicas de otimização aplicadas a sistemas agroindustriais. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2004.

LINS, Marcos Pereira Estellita. Programação linear. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

FIANI, Ronaldo. Teoria dos Jogos. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Campus, 2006.

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

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BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

EDUARDO LEOPOLDINO DE ANDRADE

LINKS

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SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacionalhttp://www.sobrapo.org.br/

ALIO - Asociación Latino-Ibero-Americana de Investigación Operativahttp://www.dc.uba.ar/alio

APORS – The Association of Asian-Pacific Operational Research Societieshttp://www.ifors.org/national/apors.html

EPIO - Escuela de Perfeccionamiento en Investigación Operativawww.unicen.edu.ar/epio

EURO - The Assocition of European Operational Research Societieshttp://www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html

NORAM – The Association of North American Operations Research Societieshttp://www.ifors.org/national/noram.html

IFORS - International Federation of Operational Research Societieshttp://www.ifors.org

INFORMS - Institute for Operation Research and Manegement Sciences http://www.informs.org

OR - Operational Research Societyhttp://www.orsoc.uk/home.html

“Pesquisa Operacional é um método científico que provêexecutivos com uma base quantitativa para decisõesconcernentes às operações sob seu controle.”

Morse & Kimball, 1950, p.1

Pesquisa Operacional é uma abordagem científica para asolução de problemas no gerenciamento de sistemascomplexos.

EURO (Associação das Sociedades de Pesquisa Operacional da Europa)

A Pesquisa Operacional (PO) é uma ciência aplicadavoltada para a resolução de problemas reais.

Tendo como foco a tomada de decisões, aplicaconceitos e métodos de outras áreas científicas paraconcepção, planejamento ou operação de sistemas paraatingir seus objetivos.

SOBRAPO (Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional)

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Por meio do uso de técnicas como a modelagemmatemática para analisar situações complexas, a PesquisaOperacional dá aos executivos o poder de tomar decisõesmais efetivas e de construir sistemas mais produtivos,baseados em dados mais completos, consideração de todasas alternativas possíveis, previsões cuidadosas de resultadose estimativas de risco e nas mais modernas ferramentas etécnicas de decisão.

The Guide to Operational Research, do INFORMS (Institutefor Operations Research and the Management Sciences)

Na 2ª Guerra Mundial, a Pesquisa Operacional surgiu para resolver problemas:

- de natureza logística, - de natureza tática e - de estratégia militar.

Os problemas eram complexos, com necessidade de envolvimento de técnicas matemáticas complexas.

Com o fim do conflito, houve a transferência do conhecimento adquirido para a área civil.

Imagem retirada do filme “O Resgate do Soldado Ryan”

1947 – Implantado o projeto SCOOP (Scientific Computation of OptimalPrograms) – Programas de Otimização da Computação Científica.

George Dantzig desenvolveu o simplex para resolver problemas deProgramação Linear

A partir da década de 60 - aumento da velocidade deprocessamento e quantidade de memória dos computadores;

Popularização dos computadores, levando a Pesquisa Operacionalaos processos fabris, decisões econômicas e de logística.

Característica multidisciplinar das suas aplicações;

Técnicas e métodos qualitativos por equipes interdisciplinares;

Procura determinar uma melhor utilização de recursos e otimizar asoperações empresariais;

Utilização de “modelos” que permitem a “experimentação” ou seja, umadecisão pode ser bem mais avaliada e testada antes de ser efetivamenteimplementada;

A maioria dos problemas nas empresas são de natureza tática e nãoestratégica;

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A FINALIDADE DA PESQUISA OPERACIONAL

A finalidade da Pesquisa Operacional (PO) é a melhoria daperformance das organizações e do trabalho através daformulação de modelos matemáticos a serem resolvidos com oauxílio da informática, tendo foco a tomada de decisões, umacaracterística importante.

A PO facilita o processo de análise e de decisão, utilizandomodelos que permitem experimentação da solução proposta.Isto significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada etestada antes de ser efetivamente implementada.

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APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL

A Pesquisa Operacional é aplicada na resolução deproblemas reais, utilizando-se de modelos matemáticospara a determinação da melhor alocação de recursoslimitados ou escassos, com objetivo de dar racionalidadeaos processos de tomada de decisão.

Lachtermacher (2004) preconiza que o ensino dePesquisa Operacional para executivos ou alunos da áreade negócios passou a ter o foco na modelagem doproblema, na interpretação do resultado e na suaaplicabilidade aos problemas gerenciais.

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APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL

Entre os diversos tipos de problemas em que a pesquisaoperacional pode ser utilizada para ajudar no processode decisão, destacam-se:

Administração da Produção

Análise de Investimentos

Logística

Custo de Transporte

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EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA PO NA GUERRA

Em 15 de maio de 1940, com as forças alemãs avançando

rapidamente na França, a Seção de Pesquisa de Stanmore foi

requisitada para analisar um pedido francês de dez esquadrões

de caça adicionais (um esquadrão é formado por 12 aviões)

quando as perdas estavam ocorrendo a uma taxa de

aproximadamente três esquadrões a cada dois dias.

A equipe preparou grafos para o primeiro-ministro Winston

Churchill, baseados em um estudo das presentes perdas diárias e

taxas de reposição, indicando quão rapidamente tal ação poderia

esgotar a força de caças.Prof. José Luiz

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EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA PO NA GUERRA

Como resultado nenhum avião foi mandado e os que estavam

em ação na França foram retirados.

Esta é considerada como sendo a mais estratégica contribuição

no curso da guerra feita pela Pesquisa Operacional, pois as

aeronaves e pilotos salvos puderam ficar disponíveis para a

subseqüente e vital defesa da Grã-Bretanha.

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DEMONSTRAÇÃO DA P.O.

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ÁREAS DE ATUAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL

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PRINCIPAIS TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DA PO

PROGRAMAÇÃO LINEAR → os problemas deProgramação Linear referem-se à distribuição eficientede recursos limitados entre atividades competitivas, coma finalidade de atender a um determinado objetivo, porexemplo maximização de lucro ou minimização de custo;

TEORIA DOS JOGOS → um dos campos maiscomplexos de investigação em PO, é o estudo dacompetição entre oponentes. Seus fundamentos foramlançados por John Neumman, que em 1927 demonstrouo Teorema Minimax;

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PRINCIPAIS TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DA PO

TEORIA DAS FILAS → a teoria das Filas estuda, doponto de vista matemático, filas como seqüência deespera. A formação de filas de espera ocorre quando asolicitação por serviço supera a capacidade de efetuá-lo;

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA → é um métodomatemático, desenvolvido há mais de 60 anos peloamericano Richard Bellman, que permite determinar asolução ótima de um sistema que opera ou cujasdecisões ocorrem em fase ou em conseqüência;

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PRINCIPAIS TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DA PO

MODELOS DE CONTROLE DE ESTOQUE → asempresas mantém estoques de matérias-primas e produtosacabados. Os estoques de matérias-primas servem comoinsumo para o processo de produção e os estoques deprodutos acabados são usados para satisfazer a demandados consumidores. Como estes estoques exigem muitoinvestimento, são importantes as decisões referentes aeles.

TEORIA DA DECISÃO → permite que a partir de umnúmero finito de linhas de ações possíveis, atingir umdeterminado resultado. Decidir consiste em escolher umadestas linhas de ação que possibilite o resultado esperado.

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Formular o problema

Construir um modelo matemático para representar o sistema

Calcular uma solução através do modelo

Testar o modelo e a solução

Estabelecer controle sobre a solução

Colocar a solução em funcionamento (Implantação e acompanhamento)

1) Formulação do problemaNesta fase o administrador do sistema e o responsável pelo estudo emPO deverão discutir no sentido de colocar o problema de maneira clarae coerente, definindo os caminhos a alcançar e quais os possíveiscaminhos alternativos para que isso ocorra.Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e asrelações desse sistema com outros da empresa ou do ambienteexterno com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluçõesem face destes obstáculos.Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o sistema,que permita ao administrador, ordenar as soluções encontradas,concluindo o processo decisório.

2) Construção do modelo do sistema

Os modelos que interessam em pesquisa operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações.Um das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou a função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema.As variações que compõem as equações são de dois tipos:a) Variáveis controladas ou de decisãob) Variáveis não controladas

Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto.

3) Cálculo da solução através do modeloÉ feito através de técnicas matemáticas específicas.A construção do modelo deve levar em consideração a disponibilidadede uma técnica para o cálculo da solução.

4) Teste do Modelo e da SoluçãoEste teste é realizado com dados empíricos do sistema. Se houverdados históricos, eles serão aplicados no modelo, gerando umdesempenho que serão comparados ao desempenho observado nosistema.Se o desvio verificado não for aceitável, a reformulação ou mesmo oabandono do modelo será evitado.

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5) Estabelecimento de Controle da SoluçãoA construção e experimentação do modelo identificam parâmetros fundamentais para a solução do problema. Qualquer mudança neste parâmetros deve ser controlada para garantir a validade da solução adotada. Caso algum destes parâmetros sofram desvio além do permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a reformulação do modelo, poderá ser necessária.

6) Implementação e AcompanhamentoNesta fase, a solução será apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a compreensão e gera boa vontade para a implementação que está sendo sugerida. Essa implementação deve ser acompanhada para ser observar o comportamento do sistema com a solução adotada. Algum ajuste pode ser requerido.

1) Construção do Modelo (Ambiente de Negócio)

- Duas ou três variáveis de decisão- Valor de venda destes produtos ou serviços- Função objetivo (Maximizar Lucro)- Restrições do negócio (Mão de Obra; Matéria-Prima; Instalações; Máquinas;

Clientes; Demanda)- Montagem das Equações de Restrições- Utilização do Solver (Excel) para encontrar resolução ótima;

Exemplo 1:

Dona Maria possui uma confecção que produz apenas dois tipos de roupas, calças e camiseta.

A calça é vendida a R$ 40,00 e na sua fabricação, são gastos R$ 15,00 em tecido (matéria prima).

Já a camiseta é vendida por R$22,00 e o gasto com tecido é de R$ 8,00.

D. Maria também já calculou o custo relativo à Mão de Obra. Para a calça, o gasto é de R$ 12,00 e para a camiseta, R$ 10,00.

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Outra informação importante é que as roupas precisam de Mãode Obra especializada. Ambas passam inicialmente porcostureiras que cortam os tecidos (que vamos chamar de “corte”)e posteriormente por outras que fazem a costura e dão oacabamento (que chamaremos de “acabamento”).

Para confeccionar a calça, é preciso 2 h de corte e 1h deacabamento, enquanto que para a camiseta, é preciso 1h decorte e 1h de acabamento.

A disponibilidade do corte é de 80h por semana.

O acabamento dispões apenas de 60h.

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A confecção da Dona Maria é muito próxima de uma grande loja de tecidos, por isso, a Matéria Prima não é problema para ela.

Finalmente, por ser um pouco mais cara, a calça tem uma demanda limitada a 50 peças por semana.

Já a camiseta não tem limite de demanda.

Como Dona Maria deveria balancear sua confecção?

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Resolução:

1) Variáveis de decisão:

Quais são as incógnitas do meu problema?

O que Dona Maria precisa saber ao final desse exercício?

X1: Quantidade de calças produzidas

X2: Quantidade de camisetas produzidas

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2) Função Objetivo:

É a equação matemática que vai “modelar” nossa busca.

Numa Programação Linear, nós sempre buscaremos minimizar uma função ou maximizá-la.

Nesse caso, o que queremos? O maior lucro? O menor custo de MO? O que?

O maior lucro.

Assim, inicialmente:

L= 40X1 + 22X2

Mas e os gastos?Prof. José Luiz

Os gastos são:

Matéria Prima: 15X1+8X2

Mão de Obra: 12X1+10X2

Assim o lucro é:

L= 40X1 + 22X2 – (15X1+8X2) – (12X1+10X2)

L= 13X1 + 4X2

Nos queremos o máximo ou o mínimo lucro?

Então a função objetivo é:

Max L = 13X1 + 4X2

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3) Restrições:

Em geral, qualquer processo possui limitações, que podem ser a quantidade matérias prima, as horas de produção, a quantidade absorvida pelo mercado, etc., etc.

No nosso exemplo, também temos limitações que também precisamos definir matematicamente. Elas são:

1- Dispomos apenas de 80 h de corte por semana

2- Dispomos apenas de 60 h de acabamento por semana

3- Por mais que produzamos calças, conseguiremos vender apenas 50 delas a cada semana

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Vejamos como ficaria a restrição 1, que é o tempo de corte:

RESTRIÇÃO 1: TEMPO DE CORTE

A quantidade de calças produzidas (X1) vezes o tempo de corte utilizado para produzir cada calça (2h), somado à quantidade de camisetas produzidas (X2) vezes o tempo utilizado para produzir cada camiseta (1h) deve ser menor que o tempo total disponível pelo corte (80h), ou seja:

RESTRIÇÃO 1 = 2X1 + 1X2 ≤ 80

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Usando o mesmo raciocínio para a restrição 2, que é o tempo de acabamento, teremos:

RESTRIÇÃO 2: TEMPO DE ACABAMENTO

A quantidade de calças produzidas (X1) vezes o tempo de acabamento utilizado para produzir cada calça (1h), somado à quantidade de camisetas produzidas (X2) vezes o tempo utilizado para produzir cada camiseta (1h) deve ser menor que o tempo total disponível pelo acabamento (60h), ou seja:

RESTRIÇÃO 2 = X1 + X2 ≤ 60

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E para a restrição 3, que é a demanda de calças, não podemos permitir que a quantidade de calças produzidas (X1) seja maior que o que será vendido (50 peças), assim:

RESTRIÇÃO 3: VENDA MÁXIMA DE CALÇAS

X1≤ 50

Finalmente, para que esse processo seja real, não podemos permitir uma “produção negativa”, ou seja:

X1≥0

X2≥0

Nota: Essa restrição adicional sempre deve ser colocada nos modelos

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As restrições então seriam:

Corte: 2X1 + X2 ≤ 80

Acabamento: X1 + X2 ≤ 60

Demanda: X1≤ 50

Condições Básicas

X1≥0

X2≥0

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Resumo:

Máximo Lucro = 13X1 + 4X2

Sujeito a:

2X1 + 1X2 ≤ 80

X1 + X2 ≤ 60

X1≤ 50

X1≥0

X2≥0

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Exemplo 2:Um jovem estava saindo com duas namoradas: Sandra e Regina. Sabe, por experiência, que:• Sandra, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados,

mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$240,00;

• Regina, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas custará R$160,00;

Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão;

Seus afazeres escolares lhe darão liberdade de dispor de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua energia para atividades sociais;

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Exemplo 1:• Cada saída com Sandra consome 5.000 calorias, mas com

Regina, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro;

Ele gosta das duas com a mesma intensidade.

Como deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas ?

Variáveis de decisão:X1 = número de saídas com Sandra;X2 = número de saídas com Regina.

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Parâmetros do problema: (Tabela Resumo)

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Construção do Modelo:

1) Variáveis de DecisãoX1 = Quantidade de Saídas com SandraX2 = Quantidade de Saídas com Regina

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2) Função objetivo:Maximizar Z = X1 + X2

3) Equações de Restrições:3.1 240X1 + 160X2 ≤ 960 (Disponibilidade de Dinheiro)3.2 3X1 + 3X2 ≤ 18 (Tempo Disponível)3.3 5000x1 + 10000x2 ≤ 40000 (Energia Disponível)

4) Condições de Não-negatividade:X1 0; X2 0

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Utilizando técnicas de programação linear encontramos a solução: O rapaz deve sair 2 vezes com Sandra e 3 vezes com Regina , totalizando 5 saídas por mês.