![PERCOLAÇÃO EM BARRAGENS DE TERRA EM REGIME … · Percolação em Barragens de Terra em Regime Permanente e Transien te com o Método dos Elementos de Contorno. [Rio de Janeiro]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/604d7717fb5830730b7077fd/percolafo-em-barragens-de-terra-em-regime-percolao-em-barragens-de-terra.jpg)
1. introdução ao método dos elementos de contorno
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Introdução ao Método dos Elementos de Contorno Prof. Raul Bernardo Vidal Pessolani Depto de Eng Mecânica - PGMEC Universidade Federal Fluminense [email protected]
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Introdução MEC
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Introdução ao Método dos Elementos de Contorno
Prof. Raul Bernardo Vidal PessolaniDepto de Eng Mecânica - PGMECUniversidade Federal Fluminense
25/4/2007 Raul B. V. Pessolani 2
Programa
1. Aspectos Gerais Dedução da Eq. integral de Contorno
2. Implementação Numérica Resolução
3. Exemplos Potencial, Elasticidade Interação Fluido-estrutura
4. Técnicas Adaptativas Estratégias Medidores
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Aspectos Gerais
Introdução Visão Geral Histórico Exemplos
Vantagens e Desvantagens do MEC Dedução da equação integral de Contorno
Premissas Teóricas
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Bibliografia
Brebbia e Dominguez, Boundary Element Method: an Introductory Course, CMP Publications, 1994.
Brebbia, C.A., The Boundary Element Methods for Engineers, Pentech Press, London, 1978.
Brebbia, C.A., Telles, J.C, e Wrobel, L.C., Boundary Element Echniques - Theory dan applications in Engineering, Springer-Verlag, 1984
Outras publicações: www.witpress.com
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1. Introdução
Duas maneiras de se abordar a Mecânica Computacional
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A idéia do MEC
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Histórico
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Exemplos: Discretização (3D)
MEC – 500 elementos MEF – 10000 elementos
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Ex 2D: Placa tracionada com furo no Centro
* * * * * * *
*
***
*
* * *
*
*
*
*
1,0Kg/m(10,10)
(0,0)
A B
CD
E
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Resposta para Forças de superfície
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Discretização
MEFMEC
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2. Vantagens e Desvantagens
1) Redução do problema em uma dimensão
a) Simplificação dos dados de entrada
b) Especialmente atraente para osproblemas que requeremuma interface ou alteraçãode malha
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Vantagens
2) Menos operações aritméticas Diminuição da ordem do sistema final de equações Maior economia computacional
=
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
21
n11211
b
...
b
b
X
...
X
X
.
aaa
...
......a
a...aa
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Vantagens
3) Os valores para os pontos internos são calculados posteriormente em função das variáveis externas.
P
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Vantagens
4) Eficiência comprovada em zonas de concentração de tensões
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Vantagens
5) Representa com fidelidade problemas com domínio infinito Geologia Acústica Escoamento em superfície livre
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Desvantagens
1) A matriz do Sistema final é cheia e não simétrica.
2) Exige o cálculo de integrais singulares.
3) Comercialmente menos utilizado.
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Equação diferencial original do problema
Equação Integral de Contorno
2ª Identidade de Green
Solução Fundamental
3.Equação integral de Contorno
Transformação
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Problema Potencial
0),(),(
),(2
2
2
22 =
∂
∂+
∂
∂=∇
y
yxu
x
yxuyxu
=∇∇=∇ .2
=),( yxu
Equação de Laplace para 2D
=yx,
operador Laplaciano
Função Potencial (escalar)
Coordenadas cartesianas
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É o potencial no ponto Q do domínio, devida à aplicação de umacarga unitária em P
Propriedades: δp = Função Delta de Dirac (vale 1,0 (um) em P e zero no resto) P => Ponto Fonte e Q => Ponto Campo
Integração: Fornece o valor da função no ponto Q:
Solução Fundamental
pQPU δ=∇ ),(*2
)()(.)(*2
QwdxwQPU =Ω−∇∫Ω
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Solução Fundamental para Potencial 2D
π=
),(
1ln
2
1),(
*
QPrQPU
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Dedução da equação do Contorno
Aplica-se a equação de Laplace para o potencial e para a solução Fundamental.
),( e 0),(*22
pqyxUyxu δ=∇=∇
( ) 0*2*2 =Ω∇−∇∫Ω duUUu
Integra-se a diferença no domínio.
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Transforma-se a integral de Dominio em uma integral de contorno, mediante a Segunda identidade de Green.
Dedução da equação do Contorno
( ) Γ
∂
∂−
∂
∂=Ω∇−∇∫ ∫Ω Γ
dn
UU
n
UuduUUu
*
*
2**2
Γ
∂
∂−
∂
∂= ∫Γ d
n
Uu
n
UUpu
**
)(A eq. se torna:
Valor do Potencial em qualquer posição do domínio exclusivamente em função do contorno!
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Γ
∂
∂−
∂
∂= ∫ Γ+Γ−Γ
→ε dn
QPUQu
n
QUQPUPu
ee
),()(
)(),(lim)(
**
0
Eq integral de contorno
• Toma-se um ponto P do contorno e faz-
se um semi-circulo de raio ε com ε 0
• O novo contorno é (Γ - Γε + Γε )
• A eq. fica:
P
ε
Ω
Γ
Γε
Γε
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Desmembra-se em 3 parcelas Faz-se a transformação de coordenadas
αε=Γ dd .
( )12
**
02
)(lim α−α
π−=Γ
∂
∂−
∂
∂∫Γ→ε
Pud
n
Uu
n
UU
e
Eq integral de contorno
Chega-se à:
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Potencial no contorno em função dos valores do contorno (eq. Básica)
πα−α
=
2)(
2/1
1
)(
21
PC
P ∈ Ω
P ∈ Γ (Contorno suave)
π
θ
2)( =PC
)(),(
)()(
),()()(
*
*Qd
n
QPUQu
n
QUQPUPuPC Γ
∂
∂−
∂
∂= ∫Γ
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Resolução
A eq. integral de Contorno deduzida pode ser aplicadapara qualquer problema 2D governado pela equação de Laplace, tais como: Condução de calor (regime estacionário) Escoamento invíscido e incompressível Campo elétrico, etc.
Para outros tipos de problemas, deduz-se de maneirasimilar, modificando a solução fundamental
