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ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 24, p. 65-90, 2005

MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO COM A RECIPROCIDADE DUAL PARA A ANÁLISE

TRANSIENTE TRIDIMENSIONAL DA MECÂNICA DO FRATURAMENTO

João Carlos Cordeiro Barbirato1 & Wilson Sergio Venturini2

Resumo

O presente trabalho desenvolve uma formulação do Método dos Elementos de Contorno para análise de problemas tridimensionais de fraturamento no regime transiente. Utilizam-se as soluções fundamentais da elastostática para obter a matriz de massa, empregando-se o Método da Reciprocidade Dual e a discretização do domínio por células tridimensionais. Para a integração no tempo são utilizados os algoritmos de Newmark e Houbolt. O fenômeno do fraturamento é abordado através da consideração de um campo de tensões iniciais, introduzindo-se o conceito de dipolos de tensão. Os tensores desenvolvidos que se relacionam aos dipolos, derivados das soluções fundamentais, são também apresentados. É utilizado o modelo de fratura coesiva. O contorno é discretizado utilizando-se elementos triangulares planos com aproximação linear, e elementos constantes para a superfície fictícia de fraturamento. São feitas várias aplicações cujos resultados obtidos confirmam a importância e a adequação da formulação apresentada para os problemas propostos. Palavras-chave: Método dos elementos de contorno; método da reciprocidade dual; fratura dinâmica.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos de Contorno, MEC, é o método numérico mais recente do ponto de vista de aplicações computacionais. Tem esta denominação a partir do trabalho de BREBBIA (1978). Desde então, sobretudo na última década, o MEC vem experimentando um desenvolvimento acelerado, com pesquisas nas mais variadas áreas da engenharia, dentre elas a elastodinâmica e a mecânica da fratura.

O problema elastodinâmico vem sendo investigado através de equações integrais de contorno, base do MEC, desde o trabalho de FRIDMAN & SHAW (1962).

A resolução de problemas da elastodinâmica transiente, através do MEC em sua formulação direta, foi apresentada pela primeira vez nos trabalhos de CRUSE & RIZZO (1968) e CRUSE (1968). Seguiram-se os trabalhos MANOLIS & BESKOS (1981),

1 Professor do Departamento de Engenharia Estrutural - EES-CTEC-UFAL, [email protected] 2 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC-USP, [email protected]

João Carlos Cordeiro Barbirato & Wilson Sergio Venturini

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n.24, p. 65-90, 2005

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MANSUR & BREBBIA (1982), NARDINI & BREBBIA (1985), CODA & VENTURINI (1990) e CHIRINO (1994), dentre outros. Uma maneira de tratar o problema transiente é usando a formulação do MEC com a matriz de massa, como a apresentada por NARDINI & BREBBIA (1983) e denominada de Reciprocidade Dual. Os autores trataram o problema dinâmico como sendo estático, considerando forças de inércia como forças de domínio. O Método da Reciprocidade Dual (MRD) baseia-se na obtenção de um conjunto de funções que permitem a transformação da integral de domínio para o contorno. Vários são os trabalhos publicados sobre o assunto, destacando-se PARTRIDGE et al. (1992), VENTURINI (1994), LOEFLER (1994), dentre outros. Outra formulação do MEC com a matriz de massa é obtida a partir da discretização do domínio usando células tridimensionais, efetuando a integral sobre o domínio. Trabalhos publicados, CODA & VENTURINI (1990) dentre outros, atestam os seus bons resultados, mas essa técnica foge do objetivo básico do MEC de eliminar as integrais de domínio. Em particular para problemas de fratura mecânica, o método tem-se mostrado eficiente e confiável, apresentando um grande desenvolvimento sobretudo nas últimas duas décadas. Nesse caso, o acompanhamento da propagação da fratura requer pouco esforço computacional, evitando-se refazer a rede de elementos (VENTURINI, 1995).

As aplicações do Método dos Elementos de Contorno na Mecânica da Fratura em três dimensões foram introduzidas por CRUSE & VAN BUREN (1971). Em SNYDER & CRUSE (1975) foi apresentada uma solução fundamental - uma função de Green - que inseria uma trinca linear sem cargas no meio infinito. Em CRUSE & MEYERS (1977) foram calculadas distribuições do fator de intensidade de tensão através do MEC, utilizando-se uma variação da taxa de energia de deformação de Griffith. CARTWRIGHT & ROOKE (1985) e ALIABADI & ROOKE (1991) mostraram bons resultados para problemas de fratura mecânica ao utilizarem o método da função peso, baseado na interpretação da integral J de Rice. Outra vertente na aplicação do MEC à Mecânica da Fratura é a que utiliza a técnica dos domínios múltiplos, conforme LACHAT & WATSON (1976). Já CROUCH & STARFIELD (1983) utilizaram o método da descontinuidade de deslocamento apresentando uma discussão extensiva sobre o assunto.

Em BRADY & BRAY (1978) foram analisadas inclusões finas e descontinuidades em escavações de minas, utilizando-se a formulação indireta do MEC juntamente com forças fictícias chamadas “quadripólos”. Em ROCHA (1988) foram analisados problemas com inclusão de descontinuidades, utilizando-se a formulação direta do MEC juntamente com os dipólos. O assunto pode ser visto ainda em VENTURINI (1994 e 1995), LOPES Jr (1996), dentre outros. Nesses trabalhos, as formulações apresentadas destinavam-se à análise de problemas bi-dimensionais. BARBIRATO & VENTURINI (1998) apresentam uma formulação do MEC para análise de fratura mecânica em sólidos tridimensionais, utilizando o conceito de dipolos. Apresentam os tensores derivados da solução fundamental de Kelvin (para 3D) e verificam o potencial da formulação ao mostrar os resultados obtidos da aplicação processada. CARPINTERI (1989); ALLIABADI & ROOKE. (1991); ALIABADI & BREBBIA (1993) e ALIABADI et al. (1994) trazem formulações completas sobre aplicações do MEC à mecânica da fratura nas análises estática e dinâmica. O modelo de fratura coesiva tem sido empregado com eficiência para representar o comportamento do material do tipo "quasi-brittle" frente ao processo de fraturamento. Em HILLERBORG (1976), o modelo foi testado e modificado utilizando-se espécime de prova homogêneo e de área constante, solicitado até a ruptura, em ensaios

Método dos elementos de contorno com a reciprocidade dual para a análise transiente...


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laboratoriais. Ficou definida uma zona de fratura (ou zona de processo) com largura limitada na direção da tensão, formada em algum lugar do modelo de prova. Esta zona de fratura perde gradualmente suas propriedades mecânicas à medida que o dano causado pelo surgimento de microfissuras aumenta e, portanto, tem-se um comportamento de material coesivo. Da mesma forma, em CARPITERI (1989) são encontrados novos experimentos e análise através de modelagem numérica, constituindo-se em uma referência importante sobre o assunto. No item 2 deste trabalho, são abordadas as formulações do MEC utilizando a matriz de massa, obtida através do MRD e da Integração Direta, para a análise do problema dinâmico transiente.

No presente trabalho, em seu item 3, utiliza-se uma formulação do método dos elementos de contorno para a análise de fraturas coesivas, utilizando os conceitos apresentados em VENTURINI (1994 e 1995) e LOPES Jr. (1996) , estendidos para problemas tridimensionais (BARBIRATO, 1999). O modelo coesivo idealizado por HILLERBORG (1976) é incorporado à formulação.

No item 4, utiliza-se uma formulação do método dos elementos de contorno para a análise de fraturas dinâmicas com o modelo coesivas, baseada nos conceitos apresentados no item 3, estendidos para problemas tridimensionais. O algoritmo de Houbolt é utilizado para a integração na variável tempo.

2 ELASTODINÂMICA

2.1 Equações básicas do MEC

Considera-se o corpo elástico, homogêneo, isótropo e com distribuição contínua de matéria em seu domínio. A equação de equilíbrio para o problema é

σ ρij j i ib u, &&+ = , (2.1) onde σij j x t, ( , ) representa a derivada do tensor das tensões; )t,x(bi as forças

volumétricas; ρ( )x a densidade de massa e 2i

2

i tuou u

∂∂

&& a aceleração em um ponto na

direção xi . Aplicando-se o Teorema da Reciprocidade de Maxwell-Betti a dois estados

independentes de deslocamento, tendo em vista (2.1) e desconsiderando-se o termo de forças volumétricas, chega-se a:

( ) ( ) Γ−=Ωσ−σ ∫∫ΓΩ

dpupuduu *iii

*i

*j,ijij,ij

*i (2.2)

onde o “*” representa o problema fundamental, cujas variáveis são conhecidas; Ω corresponde ao domínio e Γ ao contorno do corpo.

Desenvolvendo-se (2.2), chega-se à representação integral de deslocamento do MEC para o problema elastodinâmico, ou seja,

∫∫∫ΩΓΓ

Ωρ−Γ=Γ+ duudpudupuc i*kii

*kii

*kiiki && (2.3)



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onde pki ki* * e u representam, respectivamente, as forças de superfície e deslocamentos do

problema fundamental. Neste trabalho, utiliza-se o problema fundamental de MINDLIN (1936), onde o domínio Ω* é semi-infinito, elástico e homogêneo. Parte de seu contorno apresenta-se livre de trações, e o ponto de aplicação da força unitária é qualquer em todo o domínio. As expressões fundamentais para deslocamentos e tensões são apresentadas em LAETHEM et al. (1984) e BARBIRATO (1991)). Por serem extensas, não são aqui reportadas.

2.2 Método da reciprocidade dual

Neste trabalho, o Método Reciprocidade Dual (MRD) é utilizado para transformar o termo de domínio de (2.3), considerando as forças de inércia como forças volumétricas e tratando o problema dinâmico com as soluções fundamentais do problema estático. A partir disso, aplicando-se o Teorema da Reciprocidade na parcela de domínio, pela segunda vez na formulação do MEC (daí a denominação “dual”), chega-se a uma representação integral somente com termos de contorno. Vale dizer que, embora não se utilize a discretização do domínio em células, o MRD pode exigir a consideração de pontos internos, chamados “pólos”, na intenção de dar mais precisão aos resultados. Para a transformação do termo de domínio de (2.3) para o contorno, faz-se necessário definir uma aproximação para a densidade &&ui , incógnita do problema (NARDINI & BREBBIA, 1982 e 1985). O MRD sugere uma série de funções, tais que:

nnii fu α= &&&& (2.4)

onde nf são funções linearmente independentes definidas sobre todo o domínio (escritas para pontos do contorno e do domínio) e n

iα&& coeficientes a serem determinados. O termo de domínio de (2.3) passa a ser:

nni

*ki

nin

*kii

*ki dfudfuduu ll

&&&&&& α⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ωδρ=α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ωρ=Ωρ ∫∫∫

ΩΩΩ

(2.5)

Considerando-se o problema estático governado por

0ˆ , =+ nin

mm flδσ λ (2.6)

a última integral de (2.5) pode ser resolvida com os procedimentos utilizados para se obter a equação integral do MEC, o que resultaria em algo semelhante à (2.3). Assim, o termo de domínio de (2.5) transforma-se em integrais sobre o contorno, conforme a expressão a seguir:

nni

*ki

ni

*ki

nikii

*ki dpudupucduu llll

&&&& α⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ−Γ+ρ=Ωρ∫ ∫ ∫

Ω Γ Γ

(2.7)

onde o índice “n” representa somatória. As funções n

iu l e nipl são soluções particulares

do problema expresso em (2.6), cuja força fn é aplicada na direção l. Conhecidas as



69

funções fn, os coeficientes nl&&α são determinados tomando-se a forma inversa de (2.4).

Escrevendo na forma matricial, tem-se

&&α = −F U1 && (2.8) É interessante notar que, adotando a função aproximadora de ui e pi em (2.3), também para n

iu l e nipl , são encontradas as mesmas matrizes H e G em (2.7). Assim, define-se a

matriz de massa pelo MRD, representada por:

( ) 1FPGUHM −−−= ˆˆρ (2.9)

Finalmente, substituindo o resultado da transformação realizada em (2.3), tem-se a representação matricial para o problema dinâmico tratado neste trabalho:

MU HU GP&& + = (2.10)

2.3 Técnica da integração direta

O termo de domínio em (2.3) pode ser resolvido discretizando-se Ω em células tridimensionais, já bastante utilizadas no Método dos Elementos Finitos. Porém, esta solução não corresponde à idéia do MEC em resolver os problemas aplicando integrais de contorno. Uma alternativa viável para se contornar este problema, mas ainda utilizando células, é a de transformar a parcela integral de domínio para o contorno das células, rescrevendo (2.3) somente com termos de contorno. Como conseqüência, as células podem ter forma qualquer. A transformação do termo de domínio em (2.3) inicia-se com a aproximação de &&ui pelos valores nodais &&Um

N utilizando-se uma função interpoladora φ im . Assim, escreve-se && &&u Ui im m

N= φ e, como conseqüência, tem-se

ρ ρ φu u d u d Uki i ki im mN* *&& &&

Ω Ω

Ω Ω∫ ∫=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (2.11)

Adota-se o tensor Tki

* que satisfaz a seguinte condição:

∇ =2 T uki ki* * (2.12)

Uma vez que os deslocamentos uki

* da solução fundamental são conhecidos, não é difícil encontrar uma primitiva Tki

* , conforme CRUSE (1975), DANSON (1981) e BARBIRATO (1999). O termo de domínio passa a ser representado como segue:

ρ φ ρ φu d T dki im ki im* *Ω Ω

Ω Ω∫ ∫= ∇2 (2.13)

Integrando-se por partes duas vezes o segundo termo de (2.13), chega-se à (2.14), com a diminuição de um termo de domínio, eliminado aqui, pois a função aproximadora φ im adotada neste trabalho é linear:



70

( )ρ ρ φ φu u d T T n d Uki i ki l im ki im l l mN*

,* *

,&& &&Ω Γ

Ω Γ∫ ∫= − (2.14)

Portanto, (2.14) representa a transformação do termo de domínio para o contorno. Ressalte-se que o domínio deve ser discretizado por células tridimensionais, de forma qualquer, cujo contorno é, por sua vez, discretizado por elementos bidimensionais. Escrevendo (2.14) para todas as células, chega-se na matriz de massa, M. Finalmente, levando o resultado da transformação realizada para (2.3), tem-se a representação matricial (2.10).

2.4 Aspectos computacionais

As equações apresentadas neste trabalho são implementadas utilizando-se o elemento triangular plano com aproximação linear. Para tratar a singularidade das forças de superfície, faz-se uso do elemento não conforme, deslizando o ponto fonte para o seu interior. As funções f rn = +1 são adotadas para determinar as matrizes do MRD. São sempre independentes quando escritas para pólos diferentes. A distância r é a mesma utilizada na solução fundamental. O algoritmo de Newmark, descrito em WARBURTON (1976), é utilizado para a resolução de (2.10), tendo antes suas matrizes convenientemente arranjadas em duas partes: 1 identifica forças de superfícies prescritas; e 2 deslocamentos prescritos (nulos). Assim, (2.10) vem a ser:

M MM M

UU

H HH H

UU

G GG G

PP

11 12

21 22

1

2

11 12

21 22

1

2

11 12

21 22

1

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&

&& (2.15)

Admitindo que as condições de contorno não se modificam ao longo do tempo, e partindo do repouso, chega-se na equação

M U H U F11 1 11 1 1&& + = (2.16) onde M M G G M11 11 12 22 1 21= − − , H H G G H11 11 12 22 1 21= − − e ( )F G G G G P1 11 12 22 1 21 1= − −

(2.17a-c)

2.5 Aplicação

Para testar as formulações apresentadas neste trabalho, considera-se o exemplo de um sólido contido lateralmente e solicitado bruscamente na extremidade, conforme a figura 2.1. São adotados os seguintes valores: E x Pa= 1 105 , υ= 0 25, , ρ= 1 3kg m/ e ∆t=0,003s.



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Figura 2.1 - Características geométricas do sólido, condições de contorno e comportamento temporal da força f(t).

A análise é feita tomando-se as duas discretizações do contorno apresentadas na figura 2.2, seguindo o roteiro de casos da tabela 2.1. Os resultados são mostrados nas figuras 2.3 e 2.4, para as discretizações (a) e (b), respectivamente. Os sentidos das reações de apoio e deslocamentos são relacionados ao sistema de eixos adotado.

Figura 2.2 - Discretizações do contorno por elementos triangulares planos: (a) 40 elementos e

(b) 80 elementos.

Tabela 2.1 - Casos processados. Caso Formulação Discretização “Pólos” Internos Células RD1 RD2 RD3

Reciprocidade. Dual

A A B

0 15 15

-

CT1 CT2

Células Tridimensionais

A B

- 2 2



72

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10-1

0

1

2

S.Analí tica CT 1 RD1 RD2

Reaç

ão de

Apo

io (P

a)

Tempo (s)0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,00

-3,35

-6,70

S .Analí tica CT 1 DR1 DR2

Deslo

c. no

Top

o (x1

0-5

m)

Tempo (s)

Figura 2.3 - Resultados para a discretização (a).

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10-1

0

1

2

S.Analítica CT2 RD3

Reaç

ão de

Apo

io (P

a)

Tempo (s)

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,00

-3,35

-6,70

S.Analítica CT2 DR3

Deslo

c. no

Top

o (x1

0-5

m)

Tempo (s)

Figura 2.4 - Resultados para a discretização (b).

2.6 Conclusões

O Método dos Elementos de Contorno se mostrou adequado à análise transiente de tridimensionais, formulado através da Reciprocidade Dual e da utilização de células, conforme os valores apresentados nas figuras 2.3 e 2.4. O uso do elemento triangular com aproximação linear, de fácil implementação, exige que a discretização seja mais refinada, na busca de melhores resultados. A integração temporal através do algoritmo de Newmark permitiu os resultados apresentados. Deve-se ter especial atenção com o passo de tempo ∆t adotado, uma vez que pode haver suavização da resposta ou divergência, de acordo com a escolha de valores maiores e menores, respectivamente. Os resultados obtidos através do MEC com a Reciprocidade Dual tendem para os valores da solução analítica, observando-se o mesmo para os obtidos com a utilização de células, estes últimos um pouco mais precisos. Já o tempo computacional gasto no processamento pelo MRD é bem maior, uma vez que a sua formulação exige a



73

inversão da matriz das funções fn. Entretanto, tal observação é irrelevante quando se analisa a evolução tecnológica dos computadores, cada vez mais velozes e disponíveis.

3 FRATURA MECÂNICA

3.1 Equações integrais

A formulação desenvolvida baseia-se na representação integral de deslocamentos, considerando-se um corpo elástico de domínio Ω e contorno Γ, submetido a um campo de tensões iniciais σ jk

o . Essa representação pode ser encontrada em BREBBIA et al. (1984), e, excluindo-se a parcela correspondente às forças volumétricas, tem a seguinte forma:

Ωσε+Γ=Γ+ ∫∫∫ΩΓΓ

ddpudupuc ojk

*ijkk

*ikk

*ikkik

c

(3.1)

onde pik

* , uik* e ε ijk

* representam os valores da solução fundamental (utiliza-se Kelvin no presente trabalho) para forças de superfície, deslocamentos e deformações, respectivamente, e Ωc , a parte do domínio onde age o campo de tensões iniciais. Para um ponto p situado no domínio, ikc vale 1 e, para o contorno, 1/2. As três primeiras parcelas de (3.1) são as usualmente empregadas no MEC. Já a parcela correspondente às tensões iniciais merece consideração especial: pode ser escrita utilizando-se o tensor de deslocamento, resultando em:

ε σ∂

∂σijk jk

o ij

kjko

c c

dux

d**

Ω Ω

Ω Ω∫ ∫=

(3.2)

Considere-se a parcela do domínio Ωc , onde há uma descontinuidade, conforme a figura 3.1, que representa a região onde tensões atuam em uma faixa estreita, definindo-se a descontinuidade que se pretende analisar. Note-se que o contorno da descontinuidade, representado por Γc , é aproximado pelos lados Γc

1 e Γc2 ,

desconsiderando-se os das extremidades, sendo a distância entre os lados igual a 2a (valor muito pequeno em relação ao seu comprimento). Portanto, todo o cálculo pode ser referido ao plano médio da região.

Figura 3.1 - Parte do domínio onde agem as tensões iniciais.



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Na tentativa de transformar o termo de domínio de (3.2) para o contorno, efetua-se a sua integração por partes, resultando em duas parcelas que, após algumas manipulações algébricas (tendo em vista a figura 3.1), confere-lhes a seguinte representação:

Γ∂

∂=Ωσε ∫∫

ΓΩ

dpxu

a2d oj

*ijo

jk*ijk

cc

l

l

(3.3)

onde as variáveis cartesianas xl representam o sistema local de coordenadas na superfície da trinca, cuja normal está na direção x3 . Em (3.3) surgem novas grandezas, definidas como dipólos de forças, representadas por:

ll ojj ap2q = (3.4)

As grandezas são dispostas em um ponto da trinca, conforme mostra a figura 3.2.

Figura 3.2 - Componentes dos dipólos agindo nas superfícies da trinca (no sistema local de

coordenadas). Portanto, pode-se escrever (3.2) apenas para termos sobre o contorno, utilizando-se o conceito de dipólos, já devidamente transformados para o sistema global de coordenadas cartesianas, conforme (3.5).

Γ+Γ=Γ+ ∫∫∫ΓΓΓ

dqGdpudupuc jijk*ikk

*ikkik

c

ll

(3.5)

O novo núcleo, hipersingular, que aparece na última parcela de (3.6) é obtido a partir da diferenciação da solução fundamental em deslocamento, dado pela seguinte expressão:

lllll

,j,i,ji,ij,ij,2ij rrr3rrr)43(Gr)1(16

1G +δ−δ−δν−ν−π

−=

(3.6)

Empregando-se (3.5) a dois pontos simétricos em relação à superfície média da trinca, verifica-se, após a determinação de alguns limites, que os deslocamentos



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relativos das superfícies da trinca ficam caracterizados em função dos dipólos da, seguinte forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−

=−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆∆∆

=∆33

32

31

''p'p

3

2

1

qqq

)1(2)21(00

010001

G1uu

www

w

(3.7)

Outra equação necessária para a presente análise é a de tensão em pontos internos que é obtida da diferenciação da equação de deslocamentos (3.5), o que resulta em:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ∂∂

+Γ∂∂

+Γ∂∂

λδ

+Γ+Γ−=σ

∫∫∫

∫∫

ΓΓΓ

ΓΓ

dqGX

dqGX

GdqGX

+

dpDduS

ccc

jmji

jijm

jwjw

im

kimkkimkim

llllll

(3.8)

Os núcleos Simk e Dimk, em (3.8), são os já conhecidos da formulação clássica do MEC. Já os termos entre parênteses referem-se à trinca e, devido à presença de singularidade, devem ser analisados com o devido cuidado. Em VENTURINI (1982) são apresentados os procedimentos necessários para a devida análise desses termos que, aplicados aqui, resultam em:

[ ])p(gdqGdpDduS jmijj

mijkimkkimkim

c

llll σ+Γ+Γ+Γ−=σ ∫∫∫

ΓΓΓ

(3.9)

onde lm

ijg é um termo independente que vale 0 e σ imo p( ) para o cálculo de tensão

plástica e elástica, respectivamente. O novo núcleo para tensões, hipersingular, é dado pela seguinte expressão:

( ) ( )( ) m,,j,i,j,m,ii,j,mm,i,j

,j,im,m,ij,i,mjjmimijimj3mij

rrrr15rrrrrr3

rrrrrr)21(3)21(r)1(8

1G

llll

lllllll

−δ+δ+δ+

+δ−δ+δν−−δδ−δδ+δδν−ν−π

=

(3.10)

3.2 O modelo coesivo

O modelo coesivo apresentado por HILLERBORG (1976) é considerado neste trabalho. É aplicado nos casos onde a zona plástica é delimitada para uma faixa muito estreita. Estabeleceu-se que a zona de fratura coesiva desenvolve-se quando a tensão principal máxima atinge seu valor limite, ft, conforme figura 3.3.a, e que o dano no material da zona de fratura é parcial, permitindo a perda gradual da resistência do material até que seja atingida uma abertura de fratura igual a wc (figuras 3.3.b e 3.3.c).



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(a) (b) (c)

Figura 3.3 - Leis constitutivas do material: (a) tensão x deformação; (b) tensão x abertura da fratura, modelo idealizado; (c) tensão x abertura da fratura, modelo simplificado.

O modelo simplificado dá resultados satisfatórios para materiais do tipo "quasi-brittle". É definido apenas por dois parâmetros, ft e wc, que podem ser obtidos de ensaios em laboratório. Utiliza-se aqui uma relação constitutiva do modelo coesivo escrita na forma clássica de um critério plástico, atribuída a CEN & MAIER (1992), representada por:

Φ( )σ σ= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f

wwt

c1

(3.11)

onde σ é a tensão normal à fratura e w o afastamento normal entre as suas superfícies. As seguintes condições são observadas para o critério dado em (3.11):

&

&

ww≥=0

0Φ

(3.12a-b)

3.3 Discretização

Mostradas as expressões matemáticas da formulação, necessárias à análise do problema proposto, necessita-se, agora, transformá-las para uso em um algoritmo computacional para a análise automática do problema. Assim, são utilizados elementos planos triangulares descontínuos com aproximação linear (com três pontos de colocação) para a discretização do contorno do corpo. Para a fratura são utilizados os mesmos elementos com aproximação constante (um ponto de colocação). Elementos com outras aproximações poderiam ser utilizados sem nenhum prejuízo à formulação. Escrevendo-se (3.5) para os pontos de colocação definidos no contorno do corpo e nos elementos da fratura, obtém-se:

HU GP KQ= + (3.13) onde as matrizes H e G são as já conhecidas do MEC. A matriz K é obtida a partir dos núcleos dados em (3.6), observando-se convenientemente as componentes necessárias e a relação entre elas (conforme figura 3.2). Fazendo a troca de colunas entre as matrizes H e G, do modo usual do MEC, a fim de estabelecer um vetor de incógnitas (deslocamentos e forças de superfície) e um vetor de valores prescritos, associando-se o coeficiente percentual α de incremento de força ou deslocamento, obtém-se o seguinte sistema de equações algébricas:

X M RQ= +α (3.14)



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onde

M A FR A K

=

=

−

−

1

1

(3.15a-b)

Vê-se que, para cada passo incremental de força ou deslocamento, as incógnitas possuem uma parcela elástica e outra que a corrige, em virtude do fraturamento, através da aplicação dos dipólos, representados pelo vetor Q. A expressão integral para as tensões, (9), é transformada de forma semelhante à de deslocamentos, com as matrizes usuais do MEC H' e G', mais a matriz K' obtida com os núcleos dados por (3.10), conforme a seguir:

σ = − + +H U G P K Q' ' ' (3.16)

Da mesma forma que a expressão para deslocamentos, a de tensões pode ser escrita separando-se em duas parcelas, uma elástica e a outra que a corrige pelo emprego dos dipólos. Assim,

σ = αN SQ+ (3.17) onde

N F A MS K A R= −

= −

' '

' '

(3.18)

3.4 Aspectos numéricos

O algoritmo empregado na solução das equações dadas no item anterior é do tipo incremental iterativo. Calculam-se as incógnitas, deslocamentos e forças de superfície e, eventualmente, tensões internas, com as parcelas elásticas das equações (3.14) e (3.17) para cada passo incremental. Verifica-se, então, se o critério de resistência foi atingido e, em caso afirmativo, entra-se em um processo iterativo. Os valores verdadeiros de deslocamentos, forças de superfície e tensões são obtidos corrigindo-se os valores elásticos através das parcelas relacionadas com os dipólos. Os valores dos dipólos devem ser estimados a partir do valor local das tensões de cada elemento de fratura ou nó, como se fossem campos independentes, já que o processo é não-linear. Portanto, com os valores residuais das tensões e das sub-matrizes de S, obtém-se de modo simplificado os valores parciais dos dipólos, que são posteriormente acumulados em Q. Obedecendo ao critério do modelo coesivo apresentado em (3.11), verifica-se o surgimento da abertura de fratura limite, wc, condição necessária para se afirmar que neste nó houve fraturamento. O emprego de elementos descontínuos na discretização do contorno é necessário para permitir o surgimento de fraturas. O procedimento descrito acima é similar a outros já empregados em conjunto com o MEC; e pode ser utilizado no estudo de sólidos quaisquer sujeitos ao surgimento de uma linha de fratura ou a multifraturamento. Nesta formulação apresentada, as matrizes G e H usuais do MEC sofrem inclusões de linhas e colunas à medida que novos elementos são exigidos para representar o crescimento da fratura. Portanto, não se trata de redefinir uma nova rede



78

de elementos, e sim de aproveitar os valores das componentes dessas matrizes, já calculados, aumentando a economia de tempo computacional. Sendo hipersingulares os núcleos envolvidos nesta formulação, deve-se ter cuidado especial com os procedimentos de integração, principalmente se o ponto de colocação pertencer ao elemento integrado (utiliza-se o conceito de parte finita de Hadamard).

3.5 Aplicação numérica

Para testar a formulação apresentada neste trabalho, considera-se o exemplo de um sólido deslocado na sua extremidade, conforme a figura 3.4.a. São adotados os seguintes valores: E x= 1 105 , υ = 0 0, , f t = 1 0, e w c = 0 00004, .

Figura 3.4 - (a) corpo para análise, com do deslocamento imposto na extremidade e a definição

de quatro pontos para medições; (b) discretização do contorno; e (c) discretização da seção fraturada.

Na figura 3.4.a são definidos quatro pontos: um na extremidade livre, outro próximo aos apoios e dois na metade do comprimento, um imediatamente acima da metade e outro abaixo. Para esses pontos são apresentados valores de deslocamentos para alguns passos de cálculo do algoritmo apresentado. A discretização do contorno do corpo é feita através de elementos triangulares planos com aproximação linear, conforme figura 3.4.b, e são descontínuos para permitir o surgimento de trincas ao longo do comprimento do corpo. A superfície fictícia de fraturamento é discretizada por elementos triangulares planos com aproximação constante (figura 3.4.c) e divide o corpo hipoteticamente em dois cubos. Os resultados obtidos do processamento são apresentados a seguir. A figura 3.5.a mostra que ao ser atingida a tensão limite, inicia-se o processo de fraturamento, obedecendo-se ao critério adotado em (3.11) e verificando-se o deslocamento relativo entre os pontos 2' e 2'' (abertura da fratura). Na figura 3.5.b observa-se bem o trecho de deslocamentos elásticos, que são corrigidos no segundo trecho, moldando-se à nova situação de fraturamento.



79

(a) (b)

Figura 3.5 - Gráficos dos resultados: (a) processo de fraturamento obedecendo ao critério adotado; e (b) forças de superfície por deslocamentos, no ponto 2''.

Os valores de deslocamentos obtidos para os quatro pontos definidos na figura 3.4 estão resumidos na tabela 3.1, dada a seguir: Tabela 3.1 - Valores de deslocamentos em alguns passos incrementais para os pontos selecionados Trecho Elástico Trecho c/ Fratura α=0 α=0,25 α=0,50 α=0,75 α=1,00 α=1,00 α=1,25 1 0 0,000010 0,000020 0,000030 0,000040 0,000040 0,000050 2' 0 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020 0,000040 0,000050 2'' 0 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020 0,000000 0,000000 3 0 0 0 0 0 0 0 Os dados da tabela 3.1 revelam duas fases distintas do comportamento do corpo em questão. Na primeira, o corpo íntegro deforma-se elasticamente até que a tensão limite é atingida. A partir daí, já no processo iterativo, são determinados os dipólos que fazem a correção dos valores elásticos neste incremento, para os valores verdadeiros, já com o corpo fraturado. A segunda fase caracteriza-se pelo descolamento das duas partes do domínio, uma permanecendo imóvel e a outra tendo deslocamento de corpo livre. A configuração final do corpo, após o fraturamento, está apresentada na figura 3.6.

Figura 3.6 - Configuração final do corpo fraturado.

3.6 Conclusões

A formulação apresentada neste trabalho mostrou-se adequada para solucionar o problema tridimensional de fratura coesiva. O algoritmo é convergente e bastante versátil. Após discretizado o contorno do corpo e encontradas as matrizes usuais do



80

MEC, basta que se acrescente os elementos na superfície fictícia da fratura, gerando novas linhas e novas colunas, mantendo-se a rede de elementos do contorno. Isso traz uma economia de tempo computacional e dá ao método dos elementos de contorno uma formulação elegante para a análise do processo de fraturamento. Vale destacar que esta formulação é válida para quaisquer outros modelos que não o coesivo, inclusive o elástico.

4 FRATURA DINÂMICA

4.1 Equações integrais

Considere-se um sólido elástico, homogêneo, isotrópico e com distribuição contínua de matéria em seu domínio Ω , submetido a um campo de tensões iniciais, conforme mostra a figura 4.1.

q( ,t)χ

ΩΓt

t

cΩ t

Γt+

χq( ,t+ )

t+Ω

ct+Ω

∆t∆t

∆t

∆t

. .

Figura 4.1 – Sólido em movimento com uma região de tensões iniciais cΩ .

A formulação empregada baseia-se na clássica equação Somigliana (BREBBIA

et al., 1984), acrescentando-se um novo termo correspondente a um campo de tensões iniciais aplicado no domínio, além da influência dinâmica dada pelo termo que contém a aceleração. Portanto, considerando-se as parcelas de forças dinâmicas e de tensões iniciais, a seguinte representação integral de deslocamentos pode ser escrita para pontos do domínio:

ΩdσεΩduuρΓdpuΓdupu ojk

Ω

*ijkk

Ω

*ikk

Γ

*ikk

Γ

*iki

c

∫∫∫∫ +−=+ && (4.1)

Realizam-se as passagens algébricas pertinentes à formulação do MEC (BARBIRATO, 1999), e obtém-se a transformação da parcela integral de tensões iniciais para o contorno da sub-região. Assim, considerando-se o conceito de dipolo de tensões, encontra-se:

ΓdqGΩduuρΓdpuΓdupuc jΓ

ijkΩ

*ikk

Γ

*ikk

Γ

*ikkik

c

ll&& ∫∫∫∫ +−=+ (4.2)

Os tensores *iku e *

ikp são os de Kelvin utilizados na elastostática. Os coeficientes ikc permitem o emprego da equação integral de deslocamentos (4.2) para pontos no contorno, no domínio ou fora dele. O tensor correspondente ao dipolo é o mesmo apresentado em BARBIRATO & VENTURINI (1998), ou seja,



81

GGr

r r r r r rij ij j i j jl

l l l l=−

− − + + −1

16 13 4 32π ν

ν δ δ δ( )

( ) , , ,i ,i , , (4.3)

4.2 Emprego do método da reciprocidade dual

Neste trabalho, o Método da Reciprocidade Dual (MRD) é utilizado para transformar o último termo de domínio de (4.2), considerando-se as forças de inércia como forças de volume e tratando o problema dinâmico com as soluções fundamentais do problema estático. A partir disso, aplicando-se o Teorema da Reciprocidade na referida parcela, pela segunda vez na formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC), chega-se a uma representação somente com termos de contorno. Na transformação do termo de domínio (4.2) para o contorno, faz-se necessário definir uma aproximação para a densidade iu&& , incógnita do problema. O MDR pode ser interpretado como sendo uma superposição de soluções particulares localizadas, e sugere uma série de funções, tais que:

, )q,χ(f)t(α)t,q(u

e )q,χ(f)t(α)t,q(u

mmjj

mmjj

&&&& =

= (4.4a-b)

onde mf são funções globais linearmente independentes, que podem ser escritas para pontos do domínio e do contorno; m

jα&& coeficientes a serem determinados, e m a somatória ( M,,2,1m L= ).

Considerando-se a aproximação (4.4) no termo de domínio de (4.2) e realizando-se algumas operações algébricas, chega-se na representação integral de deslocamentos somente com parcelas no contorno:

, ΓdqG)t(αΓd)q,χ(p)q,s(u

Γd)q,χ(u)q,s(p)χ(u)s(cρ

Γd)t,Q(p)Q,S(uΓd)t,Q(u)Q,S(p)t,S(u)S(c

cΓjij

mk

Γ

mjk

*ij

Γ

mjk

*ij

mjkij

Γj

*ij

Γj

*ijjij

∫∫

∫

∫∫

+⎟⎟⎠

⎞−

⎜⎜⎝

⎛+++

++−=

ll&&

(4.5)

onde o índice “m” representa somatória e as funções miu l e m

ipl são soluções particulares de um problema estático adotado, cuja força mf é aplicada na direção k. Conhecidas as funções fn, os coeficientes m

kα&& são determinados tomando-se a forma inversa de (4.3). A representação integral de tensões para pontos localizados no domínio é obtida

utilizando-se o procedimento clássico baseado na lei de Hooke, substituindo-se convenientemente as derivadas da expressão (4.5) de deslocamentos. Assim,



82

[ ])p(gd)t,q(q)q,s(G

)t(d)q,s(p)q,s(Dd)q,s(u)q,s(S)q,s(D

d)t,Q(p)Q,s(Dd)t,Q(u)Q,s(S)t,s(

kjikk

jik

mk

mjk

*ij

mjk

*ij

kij

j*ijj

*ijij

c

llll

lll

ll

&&

σ+Γ+

+α⎭⎬⎫

Γ⎩⎨⎧

−Γ+ρ+

+Γ+Γ−=σ

∫

∫∫

∫∫

Γ

ΓΓ

ΓΓ

(4.6)

onde

⎩⎨⎧σ

= oij

jik

0)p(g l (4.7)

para o cálculo da tensão plástica ou elástica, respectivamente, os tensores Sijk ijk* * e D são

os da solução de Kelvin; ijkD é o tensor definido em (4.8) e ljikG o tensor hipersingular

dos coeficientes de influência dos dipolos para as tensões em pontos internos, exp. (4.9).

( )[ ] 2k,j,i,ijk,ikj,kji,

j,iki,jkijk,ijk

r rrrr)61(rr)65()1(24

1

r r21r

21r

)21()21(

)23()21(D

−δν−−δ+δν−ν−

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δ+δ+δ

ν−ν+

ν−ν−

= (4.8)

( ) () ( ) .rrrr15rrrrrr3rrrr

rr)21(3)21(r)1(8

1G

m,,j,i,j,m,ii,j,mm,i,j,j,im,m,ij

,i,mjjmimijimj3mij

llllll

lllll

−δ+δ+δ−δ−δ+

+δν−+δδ−δδ+δδν−ν−π

= (4.9)

4.3 Discretizações

As representações integrais (4.5) e (4.6) são discretizadas utilizando-se os elementos triangulares planos com aproximações linear para o contorno e constante para a superfície fictícia da fratura.

Além dos “J” elementos de contorno, dos “N” pontos nodais (nós funcionais), deve-se considerar o número de pólos, “Np”, e os “ cJ ” elementos constantes utilizados na superfície fictícia da fratura.

Considere-se a expressão integral para deslocamentos (4.5). Substituem-se os deslocamentos e forças de superfície (uj e pj) pelo produto entre as funções aproximadoras e seus respectivos valores nodais. O mesmo é feito para os tensores dos deslocamentos e forças de superfície do problema particular ( m

jkmjk p e u ). Adotando-se as

mesmas funções aproximadoras, chega-se às mesmas matrizes H e G do contorno, também para o termo de domínio transformado-o para o contorno. Portanto, adotam-se:

. ˆˆ

e ˆˆnm

Tk

nm

Tk

Pp

Uu

φ

φ

=

= (4.10a-b)

A expressão (4.5), na sua forma discretizada, passa a ser:



83

).t,q( d)q,s(

)t()q,s( d)q()q,s(

)q,s( d)q()q,s()t,s(ˆ)s(

)t,Q( d)Q()Q,S(

)t,Q(d)Q()Q,S()t,S()t,S(

c

j

c

j

c

j

c

j

c

j

J

1j

*

mnm

JJ

1j

T*

nm

JJ

1j

T*m

nJJ

1j

T*

nJJ

1j

T*

QG

Pu

Upuc

Pu

Upuc

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

= Γ

+

= Γ

+

= Γ

+

= Γ

+

= Γ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ+ρ+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Γ−=

αφ

φ

φ

φ

&&

(4.11)

Efetuadas as integrais de (4.11) para todos os pontos de colocação, representada na forma matricial, tem-se:

( ) KQPGUHUcGPUHUc +−+ρ+=+ α&&ˆˆˆˆˆ (4.12)

ou, ainda,

HU GP MU KQ= − +&& (4.13)

onde M é a matriz de massa definida por:

M HU GP F= − − −ρ( $ $ ) 1 . (4.14)

Para o cálculo das tensões em pontos do domínio, utiliza-se o mesmo procedimento de discretização efetuado para a equação de deslocamentos, que aplicado à equação (4.6) resulta em:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,),( Γd)q,s(

)t,q(q,sq,sˆΓdQQ,s

q,sˆΓdQQ,sq,sˆρ

t,QΓdQQ,s

t,QΓdQQ,s)t,s(

c

j

c

j

c

j

c

j

c

j

J

1j Γ

*σ

k1kJJ

1j Γ

T*

kJJ

1j Γ

T*

nJJ

1j Γ

T*

nJJ

1j Γ

T*

tqQG

UFPD

USD

PD

US

k

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

=

−+

=

+

=

+

=

+

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

&&φ

φ

φ

φσ

(4.15)

Escrevendo-se (4.15) de forma matricial, tem-se



84

σ = − ′ + ′ − ′ + ′H U G P M U K Q&& , (4.16)

onde:

( ) 1 ˆˆˆ −′−′+ρ−=′ FPGUHDM . (4.17)

4.4 Solução das equações

Considere-se a equação do movimento definida em (4.13). Utilizando-se a formulação do algoritmo de Houbolt (DOMINGUEZ, 1993), para um instante de tempo genérico, tem-se

tttttttt ∆+∆+∆+∆+ +=+ KQGPHUUM && (4.18)

ou

tttttttt ∆+∆+∆+∆+ ++= KQFGPUH , (4.19)

onde

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∆

= HMH 2t2

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−∆

= ∆−∆−∆+ t2tttt2tt 45t1 UUUMF .

(4.20a-b)

Fazendo-se a troca de colunas entre as matrizes H e G, do modo usual do MEC, a fim de estabelecer o vetor de incógnitas (deslocamentos e forças de superfície) e o vetor de valores prescritos, obtém-se a seguinte solução:

tttttt ∆+∆+∆+ += RQMX , (4.21)

onde:

( )KAR

FGPAM

X

1tttt

1tt

tt incógnitas de misto vetor

−

∆+∆+−

∆+

∆+

=

+=

=

(4.22a-c)

De maneira semelhante, pode-se modificar a equação das tensões (4.16) resultando em:

tttttttttt ∆+∆+∆+∆+∆+ ′+′+′=′+ QKFPGUHσ (4.23)

onde:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′+′∆

=′ HMH 2t2 , e

(4.24a-b)

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−∆

′=′ ∆−∆−∆+ t2tttt2tt 45t1 UUUMF .

A expressão (4.23) pode ser ainda escrita na forma:

tttttttt ∆+∆+∆+∆+ ′+′=′+ QKFXAσ , (4.25)

onde:



85

tttttt

tt incógnitas de misto vetor

∆+∆+∆+

∆+

′+′=′

=

FPGFX

(4.26a-b)

Utilizando-se o vetor de incógnitas definido em (4.21), tem-se:

tttttt ∆+∆+∆+ += SQNσ , (4.27)

onde:

tttttt ∆+∆+∆+ ′−′= MAFN (4.28a-b)RAKS ′−′= .

4.5 Aspectos computacionais

O algoritmo empregado na solução das equações apresentadas é do tipo incremental iterativo (incremental no tempo – via Houbolt). Calculam-se as incógnitas, deslocamentos e forças de superfície e, eventualmente, tensões internas com as parcelas elásticas das equações (4.21) e (4.27) para cada passo incremental de tempo. Verifica-se, então, se o critério de resistência é atingido e, em caso afirmativo, entra-se em um processo iterativo. Os valores verdadeiros de deslocamentos, forças de superfície e tensões são obtidos corrigindo-se os valores elásticos através das parcelas relacionadas com os dipolos. Os valores dos dipolos devem ser estimados a partir do valor local das tensões de cada elemento de fratura ou nó, como se fossem campos independentes, já que o processo é não-linear. Portanto, com os valores residuais das tensões e das sub-matrizes de S, obtém-se de modo simplificado os valores parciais dos dipolos, que são posteriormente acumulados em Q. Obedecendo-se ao critério do modelo coesivo apresentado em (3.11), verifica-se o surgimento da abertura de fratura limite, wc, condição necessária para se afirmar que neste nó houve fraturamento.

É importante destacar que o emprego de elementos descontínuos na discretização do contorno é necessário para permitir o surgimento de fraturas.

O procedimento descrito é similar a outros já empregados em conjunto com o MEC; e pode ser utilizado no estudo de sólidos quaisquer sujeitos ao surgimento de uma linha de fratura ou a multifraturamento.

Sendo hipersingulares os núcleos envolvidos nesta formulação, deve-se ter cuidado especial com os procedimentos de integração, principalmente se o ponto de colocação pertence ao elemento integrado (utilizando-se o conceito de parte finita de Hadamard, conforme PORTELA, 1993).

4.6 Aplicação

O problema de uma chapa com uma fratura central e solicitada por tensões dinâmicas nas extremidades opostas foi resolvido em CHEN (1975) utilizando diferenças finitas. Constitui-se em um trabalho de referência para a avaliação de outras formulações sobre fratura dinâmica. Neste exemplo, para testar a formulação apresentada, tem-se a resolução desse problema (na forma tridimensional).

Considere-se o problema de um sólido paralelepipédico solicitado por tensões de tração nas extremidades opostas, conforme mostra a figura 4.2. Define-se, ainda, uma descontinuidade em sua seção transversal média. Os parâmetros elastodinâmicos



86

adotados são: GPa102E 5×= , 3,0=ν , 3m/kg500=ρ , s0004,0t =∆ , Paft 0,100= e a largura da fratura mm8,4a2 = .

Figura 4.2 – Definição do objeto de estudo: geometria do sólido, condições de contorno e

comportamento temporal da força.

O contorno do sólido é discretizado utilizando-se 80 elementos triangulares planos, conforme mostra a figura 4.3a. A descontinuidade na seção média do sólido é discretizada por elementos triangulares com aproximação constante (figura 4.3b).

(a) (b)

Figura 4.3 – Discretizações: (a) contorno do sólido por elementos lineares e (b) superfície da trinca na seção central do sólido por elementos constantes.

O exemplo é resolvido utilizando-se um algoritmo computacional incremental

(no tempo) e iterativo. São medidas as tensões em pontos próximos da linha “extremidade da trinca” e apresentadas na forma de fatores de intensidade de tensão (relativos ao módulo I de fraturamento), a fim de comparar com a curva apresentada em CHEN (1975). Os resultados são mostrados na figura 4.4.



87

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

CHEN (1975) MEC

Fato

r de

Inte

ns. d

e Te

nsão

(mod

o I)

Tempo (µs) Figura 4.4 – Valores de IK (normalizado por aπσ ) ao longo do tempo.

4.7 Conclusão

A formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada para análise de fratura dinâmica, utilizando-se o conceito de dipolo e o Método da Reciprocidade Dual, mostrou-se adequada e constitui-se como uma alternativa importante na resolução deste tipo de problema. Cada área explorada no presente trabalho traz sua conclusão específica, cuja somatória permite afirmar a adequação das formulações apresentadas.

5 AGRADECIMENTO

À CAPES, pela concessão de bolsa de doutorado, que permitiu a realização deste trabalho.

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