1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO...

1

Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

CONCEITUAÇÃO:

Capitalização simples é a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide somente sobre o valor nominal (capital inicial) aplicado.

2

Apresentação Prof. Cosmo ROGERIO de Oliveira Mestre em Controladoria e

Contabilidade FEA/USP; Prof. Univ Estad Londrina-UEL, INBRAPE 12 anos na carreira docência –

Universidades. 11 anos de experiência em empresas de

grande porte (controladoria).

3

Avaliação

Encontros 06/05; 20/05 e 03/06

03 avaliações 02 individuais e 01 em grupo

(estudos de casos); Presença mínima 75%

4

Programa – 1o encontro Conceitos Básicos

Conceitos gerais: porcentagem; juros, abatimentos e acréscimos, taxa de juros, diagrama de fluxo e caixa;

Regime de Capitalização dos juros; Equivalência de valores no tempo;

Formas de Apresentação de Taxas de Juros

Conceitos Taxa Nominal; Taxa Efetiva;

Cálculo da Taxa Efetiva.

5

Programa – 2o. encontro Séries de Pagamentos

Conceitos e classificações; Cálculo das parcelas; Cálculo do valor atual.

Séries Uniformes ou Rendas Serie Uniforme Postecipada; Serie Uniforme Antecipada; Serie Uniforme Diferida.

6

Programa – 3o encontro Equivalência de Fluxos de Caixa Taxa Interna de Retorno - TIR Sistemas de Amortização de Empréstimos,

Cheque Especial; Métodos de Análise de Investimentos,

inflação e câmbio Empréstimos e Financiamentos Bancários

Sistema de Amortização Americano;; Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema

Price; Sistema de Amortização Constante (SAC) ou

Sistema Hamburguês;

7


ELEMENTOS1. Juros (J = VP.i.n): Remuneração sobre o capital

aplicado em determinado período;

2. Capital Inicial ou Valor Presente (VP): Valor nominal, aplicado com objetivo de obtenção de juros;

3. Taxa de Juros (i): Porcentual aplicado sobre o capital inicial para se determinar o valor dos juros.

4. Montante ou Valor Futuro (VF): É o valor do capital nominal somado os juros do período.

5. Tempo (n): Período pelo qual o qual é investido (dias, meses, bimestres, trimestres, anos)


8


Notações Utilizadas1. C ou VP Valor aplicado ou Valor Presente;

2. n números de períodos que o capital será aplicado;

3. r Taxa de juros centesimal (p/ período) expressa em %;

4. i Taxa de juros unitária (p/ período) expressa em décimos;

5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda);

6. M ou VF Montante ou Valor Futuro


9


FÓRMULAS1. Taxa Unitária

2. Juros

3. Montante ou VF

r

i = -------

100

VF = VP. ((1+(i.n))

ou

VF = VP + J

J = VP.i.n


10

DESCONTOS

(descapitalização)

SIMPLES


11

DESCONTOS (descapitalização)

SIMPLES

CONCEITUAÇÃO:

• Desconto é a diferença entre o Valor Nominal (Bruto) e o Valor Atual (Líquido) de um título que será liquidado antes do seu vencimento.

• Abatimento dado sobre o valor nominal (geralmente títulos de crédito) quando este é resgatado antecipadamente.


12

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES -ELEMENTOS

1. Valor Nominal: Valor bruto do título;

2. Valor Atual: Corresponde ao valor líquido da operação de desconto;

3. Desconto: Diferença entre o valor nominal (Bruto) e o valor Atual (líquido).

4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido;

5. Tempo: Período pelo qual será antecipada a liquidação do título;


13

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - Notações

VB ou VN Valor Bruto ou Valor Nominal, ou seja, o valor futuro do título;

1. n números de períodos que o título será descapitalizado;

2. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %;

3. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos;

4. D Valor total dos Desconto (expresso em moeda);

5.VA ou VL Valor Atual ou Valor Líquido, ou seja, o valor presente do título


14

DESCAPITALIZAÇÃO SIMPLES - FÓRMULAS

Taxa Unitária

1.Desconto

2.Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)

3. Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)

r i = ------- 100

VL = VN. (1-(i.n))

ou

VL = VN - D

D = VN.(i.n)

VB = VL/((1-(i.n))

ou

VB = VL + D


15

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

JUROS SIMPLES


16

1. Um investidor aplicou, a juros simples, a importância de R$ 50.000,00, à taxa de 2% a.m pelo prazo de 18 meses. Determinar o ganho sobre o capital aplicado.

Substituindo-se

J = 50.000*((2/100)*18)

Fórmula

J = VP.i.n

Resultado

J = 18.000


17

2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ 20.000,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago:

a) Se o devedor quitar a duplicata no dia 20/05/X6, quanto pagará de encargos?

Substituindo-se

J+multa = 20.000*((5%/30*25)+10%)

Resultado

J+multa = 2.833,33

Fórmula

J = VP.((i+multa).n)

a)


18

Substituindo-se J+multa+adicional=

20.000*(((5%/30*45)+0,10)+(0,5%*6))

Resultado

J+multa+adicional = 4.100,00

Fórmula

J = VP.((i+multa).n)

b)


2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ 20.000,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago:

b) Se o devedor quitar a duplicata no dia 15/06/X6, quanto pagará de encargos?

19

3a. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.

a) Qual é a taxa de juros anual imposta pelo fornecedor?

Substituindo-se

I (a) = (333,33/800/5*12)

Resultado

i(a) = 100%

Fórmula

i (a) = (J/VP/5*12)

a)


20

3b. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.

b) Qual seria o valor pago, caso a empresa resolva pagá-lo no 3º mês subseqüente, considerando um desconto de 5% a.m.?

Substituindo-se

VL=1.133,33*(1-(0,05.2))

Resultado

VL = 1.020,00

Fórmula

VL=VB*(1-(i.n))

b)


21

3c. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.

c) Qual seria o valor do pagamento no 8º, considerando além dos juros, uma multa de 10% sobre o valor principal?

Substituindo-se / Resultado i = (333,33/800/5) ,0833333 VF = 800.(1+(0,0833.8)+0,10) = 1.413,33

Fórmulas

i = (J/VP/5)

VF = VP.(1+(i.n)+multa)

c)


22

4. Um investidor aplica R$ 50.000,00 à taxa de 3,375% ao trimestre.

a) Durante quanto tempo este capital deve ser aplicado para render R$ 3.000,00?

b) b) Quanto tempo levaria para render os mesmos R$ 3.000,00 descontando-se IR de 20%?

Resultadoi (diária) = 0,03375 / 90 0,000375i (total) = 3.000 / 50.000 0,06n = 0,06 / 0,000375 160 dias ou 5m 10d

Fórmulasi (diária) = i / 90

i (total) = J / VP

n = i (total) / i (diária)

a)

Resultadoi (diária) = 0,03375 / 90 0,000375i (total) = 3.750 / 50.000 0,075n = 0,075/0,000375 200 dias ou 6m 20d

Fórmulasi (diária) = i / 90

i (total) = J / VP

n = i (total) / i (diária)

VBrutoIR = 3.000/(1-0,20)

b)


23

5. Determinar o capital necessário a se investir, considerando-se juros de 36% a.a., para se obter o ganho de R$ 1.800,00 em um período de 15 meses?

Substituindo-se

1.800 = VP.(0,36/12.15)

Resultado

VP = 4.000,00

Fórmula

J = VP.((i+m).n)

Invertendo os lados

-VP.0,45 = -1.800 .(1)

Substituindo-se

1.800 = VP.0,45

Substituindo-se

VP = 1800/0,45


24

6a. Qual o montante que retornará para um investidor que aplicou R$ 20.000,00 pelo prazo de 11 meses a taxa de juros de 3,8% ao bimestre?

6b.Qual seria o valor do rendimento considerando-se uma taxa anual de 22,8%.

Substituindo-se

VF = 20.000*(1+(0,038/2*11)

Resultado

VF = 24.180,00

Fórmula

VF = VP.(1+(i.n))

a)

Substituindo-se

J = 20.000*(0,228/12*11)

Resultado

J = 4.180,00

Fórmula

J = VP.((i+m).n)

b)


25

4ª AULA - JUROS

(capitalização) COMPOSTA

Prof. Rogério

26

CONCEITUAÇÃO

É a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide sobre o valor do “montante”em cada período.

Capitalização Composta

27

ELEMENTOS1. Valor Presente (Atual): Valor nominal do título;

2. Montante (Valor Futuro): Corresponde ao valor atual (VP) somado aos juros calculados no período;

3. Juros: Diferença entre o valor nominal (VP) e o Montante (VF).

4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido;

5. Tempo: Período pelo qual será cálculo os juros sobre o título.


28

Notações Utilizadas1. VP ou VN Valor Presente ou Valor Nominal;

2. n números de períodos que o título será capitalizado;

3. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %;

4. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos;

5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda);

6. M ou VF Montante ou Valor Futuro.


29

FÓRMULAS1. Taxa Unitária

2. Juros

3. Montante (M) ou Valor Futuro (VF)

4. Taxa de Juros

5. Tempo

r i = ------- 100

VF = VP*((1+i)n)ou

VF = VP + J

J = VP*((1+i)n – 1)

i = VF

VP

1/n

-1 *100

n = Log Log (1+i)

VFVP

30

Exemplo: Série UniformeMês(n)

Valor Inicial (VP)

Juros(J)

Montante(VF)

1 $ 1.000,00 $ 100,00 $ 1.100,00

2 $ 1.100,00 $ 110,00 $ 1.210,00

3 $ 1.210,00 $ 121,00 $ 1.331,00

4 $ 1.331,00 $ 133,10 $ 1.464,10

5 $ 1.464,10 $ 146,41 $ 1.610,51

Pagamento no 5o. Período $ 1.610,51

31

Exemplo: Série UniformeA) Calcular o valor do montante, com base nos seguintes dados:

VP = $ 1.000,00

i = 10% a.m.

n = 5

VF = ?

VP = 1.000

VF = ?i = 10%

n = 5

VF = VP*((1+i)n)

RESOLUÇÃO

VF = 1.000*((1+0,10)5)

VF = 1.610, 50VF = 1.000*1,6105

32

Exemplo: Série UniformeB) Calcular o valor da taxa, com base nos seguintes dados:

VP = $ 1.000,00

i = ?

n = 5

VF = $ 1.610,51

VP = 1.000

VF = 1.610,51i = ?

n = 5

RESOLUÇÃO

i = VF

VP

1/n

-1 *100

i = 1,61051

0,20

-1 *100

*100

i = 1.610,51

1/5

-11.000,00

i = 1,100 – 1 *100 i = 10%

33

Exemplo: Série UniformeB) Calcular o tempo da aplicação, com base nos seguintes dados:

VP = $ 1.000,00

i = 10%

n = ?

VF = $ 1.610,51

VP = 1.000

VF = 1.610,51i = 10%

n = ?

RESOLUÇÃO

n = Log Log (1+i)

VFVP

n = Log Log 1,10

1,61051

n = Log Log (1+0,10)

1.610,511.000,00

0,206963n =

0,041392n = 5

34

5ª AULA – Taxa Nominal de Juros e

Taxa Efetiva de JurosProf. Rogério

35

CONCEITUAÇÃO

Taxas Nominal e Efetiva

Taxa Nominal: É a taxa de juros expressa para um período de tempo diferente do

período de capitalização dos juros.

Taxa Efetiva: É a taxa de juros expressa para um período de tempo idêntica ao do período

de capitalização dos juros.

36

Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva

EXEMPLOS: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização

trimestral


FÓRMULA

-1i = r

n

n

1 + i = 0,30

4

4

-11 + i = 33,55% a.a.

37


EXEMPLO: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral


Resolução

-1i = r

n

n

1 + i = 0,30

4

4

-11 + i = 33,55% a.a.

38

Outro exemplo: Qual é a taxa efetiva resultante de 12% a.a. com

capitalização mensal


Resolução

-1i = r

n

n

1 + i = 0,12

12

12

-11 + i = 12,683% a.a

Prova Real M= 1.000 * (1,01)12

M= 1.126,83

M= 1.000 * (1, 12683)1

M= 1.126,83

ou

39

Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva

1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor

precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-

se:a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42

c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537%

40



FÓRMULA -1i = r

n

n1 +

VP=VF/(1+i)n

VF=VP*(1+i)n

Conversão de Taxa Nominal p/ Efetiva

Cálculo de Valor Futuro

Cálculo de Valor Presente

i = VF VP

1/n

-1 *100

Cálculo da Taxa Eetiva

41


1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de

juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e

negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se:

a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91

VP = 4.000

i = 24% a.a.

Cap. Trim.

n = 4

P(1) ?

VF=VP*(1+i)n VF=4000*(1+(0,24/4))4

VF=5.049,91

42





VP = 4.000

i = 30% a.a.

Cap. Bim.

n= 4 trim

n= 5 bim

5.049,91P(1) ?

b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42

VP=VF/(1+i)n VF=5.049,91/(1+(0,30/6))2

VF=4.580,42

43





P2 = 5.049,91

c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537%

i=((4.580,42/4.000,00)^(12/8)-1)*100

i = 22,537%

VP = 4.000

i = ?? a.a.

n= 4 trim

n= 4 bim

P1 = 4.580,42

i = VF VP

1/n

-1 *100

44


2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se:

a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a

b) No caso do item a) se a instituição financeira retivesse o montante líquido da aplicação por 6 (seis) dias além do prazo contratado, sem qualquer remuneração, qual seria a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros anual? R. 22,502% a.a

45


2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se:a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a

VP = 1.000

i = 27% a.a.

Cap. bim.

n = 4

P(1) ?-0,20 IR

VF=VP*(1+i)n VF=1000*(1+(0,27/6))2

VF=1.092,03Valor

Bruto

VL=((VF-1000)*(1-IR)+1000)Valor

Liquido

VL=(92,03*0,8)+1000) VL=1.073,24

Taxa

Efetiva

Anual

i = VF VP

1/n

-1 *100VL=(1.073,24/1000)^6/

2VL=23,752%

1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO...

Documents

Transcript of 1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO...