1 OPTIMIZAÇÃO COM ALGORITMOS EVOLUTIVOS Pedro Oliveira Dep. de Produção e Sistemas Universidade...

1

OPTIMIZAÇÃO COM ALGORITMOS EVOLUTIVOS

Pedro Oliveira

Dep. de Produção e Sistemas

Universidade do Minho

2

ORIGENS (I)

• Criar programas de computador com inteligência, com a possibilidade de se replicarem, e a capacidade adaptativa de aprenderem e controlarem os seus ambientes

• Interesse em biologia e psicologia, e procura de sistemas naturais como metáforas (Turing, von Neuman, Wiener)

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ORIGENS (II)

• Modelar o cérebro (Redes Neuronais)

• Imitar a aprendizagem humana (Machine Learning)

• Simular a evolução biológica (Computação Evolucionária)

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COMPUTAÇÃO EVOLUCIONÁRIA

• A evolução biológica é um processo de optimização

• Evolução como ferramenta de optimização em problemas de engenharia

• Estratégias Evolutivas [Rechenberg (1965, 1972), Schwefel(1975, 1977)]

• Programação Evolucionária [Fogel (1966)]

• Algoritmos Genéticos [Holland (1975), Goldberg (1989)]

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ALGORITMO EVOLUCIONÁRIO (I)

• Noção darwiniana de evolução

• Elementos básicos:– população de indivíduos– noção de desmpenho (“fitness”)– ciclo de nascimento/morte enviesado pelo

desempenho– noção de hereditariedade

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ALGORITMO EVOLUCIONÁRIO (II)

• Geração aleatória da população inicial

• Até que o critério de paragem seja satisfeito:– Selecção de indivíduos para progenitores– Geração de descendentes– Selecção de indivíduos para eliminar

• Apresentar resultado

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ALGORITMO EVOLUCIONÁRIO (III)

• Dinâmica populacional:– Tamanho da população– Selecção de progenitores– Reprodução e hereditariedade– Competição dos sobreviventes

• Representação:– Mapeamento

• Desempenho

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ESTRATÉGIAS EVOLUTIVAS

• Mudanças aleatórias nos parâmetros que definem a forma, em problemas aerodinâmicos

• As mudanças aleatórias como exemplo das mutações naturais

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PROGRAMAÇÃO EVOLUCIONÁRIA

• As soluções são representadas como máquinas de estado finito

• Evolução como resultado de mutações aleatórias nos diagramas de transição de estado

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ALGORITMOS GENÉTICOS

• Estudar a adaptação como ocorre na natureza

• Evolução a partir de uma população de cromossomas, através dos operadores genéticos (selecção, crossover, mutação e inversão)

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ALGORITMOS EVOLUTIVOS

A lg oritm os G en é ticos E s tra té g ias E vo lu tivas

P rog ram açã o E vo lu c ion á ria P rog ram açã o G en é tica

S im u la ted A n n ea lin g C o ló n ias d e F orm ig as

... . . .

A lg oritm os E vo lu tivos

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ESTRUTURA DE UM ALGORITMO EVOLUTIVO

GERAR POPULAÇÃO INICIAL

CRITÉRIO DE

PARAGEMSATISFEITO?

Não

Sim

SOLUÇÃO

INÍCIO

CALCULAR MEDIDA DE DESEMPENHO

GERAR NOVA POPULAÇÃO

SELECÇÃO

RECOMBINAÇÃO

MUTAÇÃO

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PROPRIEDADES

• Aplicável a problemas de optimização contínuos, discretos e mistos

• nenhuma imposição de continuidade, convexidade, diferenciabilidade

• relativamente insensíveis ao ruído

• fáceis de paralelizar

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• Trabalham com uma codificação do

conjunto dos parâmetros

(representação binária)

• a procura é feita a partir de uma

população de pontos

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• a informação utilizada na procura é apenas baseada na função objectivo (e restrições, caso existam)

• em geral, as restrições são tratadas utilizando mecanismos de penalização

• as transições são baseadas em regras probabilísticas

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ALGORITMOS GENÉTICOS1. INICIALIZAÇÃO

Inicializar uma população de k indivíduos, cada umconstituindo uma string de n bits.

2. MEDIÇÃO DO DESEMPENHO

Determinar uma medida de desempenho (na formamais simples, corresponde ao valor da funçãoobjectivo) para os k indivíduos da população.

Se se verificar o critério de paragem Entãoterminar.

3. SELECÇÃO

Escolher dois progenitores com probabilidadesproporcionais aos valores da medida de desempenho(selecção proporcional) ou da sua posição relativa napopulação (selecção baseada em graduações).

4. CROSSOVER

Gerar dois descendentes por recombinação, com umadeterminada probabilidade, das duas strings bináriasdos progenitores.

Repetir os passos 3. e 4. até se gerarem kindivíduos .

5. MUTAÇÃO

Mutar os descendentes, com uma determinadaprobabilidade, trocando, ao nível dos bits, os zerospor uns e vice-versa.

6. SUBSTITUIÇÃO

Substituir os indivíduos da geração anterior pelos kindivíduos descendentes gerados.

Voltar ao passo 2.

MEDIÇÃO DO

DESEMPENHO

CROSSOVER

MUTAÇÃO

SUBSTITUIÇÃO

CRITÉRIO

VERIFICADO?

INICIALIZAÇÃO

ÍNICIO

FIM

Não Sim

SELECÇÃO

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ALGORITMO GENÉTICO

População de

Cromossomas

Reprodução

Avaliação dos

Cromossomas

Operadores

Genéticos

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CROSSOVER

Dois pontos de crossover nas posições 2 e 4(representados pelo caracter “|”)

Antes Após

0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 0 1

1 1 | 0 0 | 0 1 1 1 0 0

19

MUTAÇÃO

Mutação na posição 2 (representada pelo caracter “^”)

Antes Após

1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 ^

20

EXEMPLO-GAGeração 0

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350

Geração 2

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350

f(x)=-xsin[|x|1/2]

21

EXEMPLO-GAGeração 4

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350

Geração 6

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350

Geração 8

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 50 100 150 200 250 300 350

22

“0/1 Knapsack Problem”

n

iii pxxmaxP

1

)(

n

iii Cwx

1

23

“0/1 Knapsack Problem”

• x é um vector de n componentes xi binárias (xi{0,1})

• wi são valores inteiros positivos representando os pesos associados a cada uma das n componentes xi binárias

• pi são valores inteiros positivos representando os proveitos associados a cada uma das n componentes xi binárias

• C é um valor inteiro positivo representando a capacidade máxima

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EXEMPLO

4321 8122216)( xxxxxmaxP

143475 4321 xxxx

25

x1 x2 x3 x4 f(x) R(x)0 0 0 0 0 01 0 0 0 16 50 1 0 0 22 70 0 1 0 12 40 0 0 1 8 31 1 0 0 38 121 0 1 0 28 91 0 0 1 24 80 1 1 0 34 110 1 0 1 30 100 0 1 1 20 71 1 1 0 50 161 1 0 1 46 151 0 1 1 36 120 1 1 1 42 141 1 1 1 58 19

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PARÂMETROS

• População 100

• Bits 4

• Variáveis 4

• P(crossover) 0.7

• P(mutação) 0.1

• Penalização 100

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EXEMPLO-GA

Geração 0

0 0 1 0 12

1 0 1 0 280 1 1 1 42 11 1 1 *58 0 00 1 8 0 0 00 0 0 0 1 1201 0 1 0 281 1 0 1 *46 00 0 0 0

Geração 1

0 0 0 1 8 00 1 0 12 0 01 0 12 0 0 00 0 1 0 0 0

16 1 0 1 0280 1 1 1 42 1

1 0 1 *46 0 00 1 8

1 0 1 0 28

28

EXEMPLO-GA

Geração 2

0 0 0 0 0

0 0 1 0 121 0 0 1 24 00 0 0 0 0 01 1 2 1 0 0016 0 1 1 1421 1 1 0 50 1 1 1 42 00 0 0 0

Geração 3

0 0 0 1 8 10 0 0 16 0 01 0 12 0 0 01 8 0 0 1 1

20 0 1 1 0340 1 1 1 42 0

1 1 1 42 0 00 1 8

1 0 0 0 16

29

EXEMPLO-GA

Geração 4

1 1 1 0 *50

0 1 1 1 420 1 1 0 34 10 0 1 24 1 11 0 *50 0 1 1142 0 0 1 120 0 0 1 1 200 0 1 0 12 01 1 1 42

Geração 5

0 0 1 1 20 00 1 0 12 0 11 0 34 0 1 11 42 0 0 0 18 1 1 1 0

*58 0 0 1 1200 1 0 1 30 0

0 1 1 20

0 1 1 0 34

30

RESULTADOS(RANKING)

Peanalização Convergência#,cromossoma, (f. obj.)

Gerações (DP)[min, max]

10 8-0111 (42)2-1100 (38)

23- (11)[11, 42]

100 9-0111 (42)1-1100 (38)

21- (12)[9, 46]

1000 9-0111 (42)1-1100 (38)

21- (12)[9, 46]

31

RESULTADOS(s/ RANKING)

Penalização Convergência#,cromossoma, (f. obj.)

Gerações (DP)[min, max]

10 7-0111 (42)3-1100 (38)

60- (37)[21, 138]

100 10-0111 (42) 72- (35)[17, 139]

1000 7-0111 (42)1-1100 (38)2-1011 (36)

49- (25)[19, 95]

32

ESQUEMAS

•A= 0 1 1 1 0 0 0

•H1= * 1 * * * * 0

•H2= * * * 1 0 * *

•Comprimento l

•Ordem o

•Comprimento definidor

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BUILDING BLOCKS

f

HftHmtHm

)(),(),( 1

),()()(

),(),( tHmcf

fcftHmtHm

11

tcHmtHm ))(,(),( 101

111

lH

pf

HftHmtHm c

)()(),(),(

mc pHo

lH

pf

HftHmtHm )(

)()(),(),(

111

34

MINLP

L. Costa, P. Oliveira

35

MINLP

Mixed Integer Non Linear Problem

}{ uln ,|X xxxxxx

)(min xf

subject to

0xg

0xh

)(

)(

Ijx j integer,

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RESTRIÇÕES

– Penalidade

– Método proposto por Deb (1998)

p

1k

m

llk hgRfF

1

22 )()}](,0[max{)()( xxxx

otherwise )()}](,0[max{

)( and )( if )(

)(

1max

p

1k

m

llk hgf

f

Fxx

0xh0xgx

x

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PROBLEMAS

Prob. n r i b p m1 2 1 - 1 2 -2 3 2 - 1 1 13 3 2 - 1 3 -4 9 7 - 2 4 65 2 3 - 4 9 -6 5 3 2 - 3 -7 10 7 3 - 18 -

38

P roblem #1 (Kocis and Grossmann 1988, Floudas et al. 1989, Ryooand Sahinidis 1995)

minf (x;y) = 2x +y

subject to

1:25¡ x2 ¡ y 0; x +y 1:6

0 x 1:6

y 2 f0;1g

Theglobal optimumis (x;y;f ) = (0:5;1;2).

P roblem #2 (Kocis and Grossmann 1987, Salcedo 1992)

minf (x1;x2;y) = ¡ y+2x1 +x2

subject to

x1 ¡ 2exp(¡ x2) = 0

¡ x1 +x2 +y 0

0:5 x1 1:4y 2 f0;1g

Theglobal optimumis (x1;x2;y;f ) = (1:375;0:375;1;2:124).

P roblem #3 (Floudas 1995)

minf (x1;x2;y) = ¡ 0:7y+5(x1 ¡ 0:5)2 +0:8

subject to

¡ exp(x1 ¡ 0:2) ¡ x2 0; x2 +1:1y ¡ 1

0:2 x1 1; ¡ 2:22554 x2 ¡ 1

y 2 f0;1g

Theglobal optimumis (x1;x2;y;f ) = (0:94194;¡ 2:1;1;1:07654).

2

39

P roblem #4(KocisandGrossmann 1989, Diwekar et al. 1992, Diwekarand Rubin 1993)

minf (x;y1;y2;v1;v2) = 7:5y1 +5:5y2 +7v1 +6v2 +5x

subject to

y1 +y2 = 1; x1 +x2 = x

z1 = 0:9[1¡ exp(¡ 0:5v1)]x1; z2 = 0:8[1¡ exp(¡ 0:4v2)]x2

z1 +z2 = 10; z1y1 +z2y2 = 10

v1 10y1; v2 10y2

x1 20y1; x2 20y2

x1;x2;z1;z2;v1;v2 ¸ 0

y1;y2 2 f0;1g

Theglobal optimumis (x;y1;y2;v1;v2;f ) =(13:362272;1;0;3:514237;0;99:245209).

P roblem #5 (Floudaset al. 1989, Yuan et al. 1989, Salcedo1992, Ryooand Sahinidis 1995)

minf (x1;x2;x3;y1;y2;y3;y4) = (y1 ¡ 1)2 +(y2 ¡ 1)2

+(y3 ¡ 1)2 ¡ ln(y4 +1) +(x1 ¡ 1)2 +(x2 ¡ 2)2 +(x3 ¡ 3)2

subject to

y1 +y2 +y3 +x1 +x2 +x3 5; y23 +x2

1 +x22 +x2

3 5:5

y1 +x1 1:2; y2 +x2 1:8

y3 +x3 2:5; y4 +x1 1:2y2

2 +x22 1:64; y2

3 +x23 4:25; y2

2 +x23 4:64

x1;x2;x3 ¸ 0

y1;y2;y3;y4 2 f0;1g

Theglobal optimumis(x1;x2;x3;y1;y2;y3;y4; f ) = (0:2;1:280624;1:954483;1;0;0;1;3:557463).

3

40

P roblem #6 (Wong1990)

maxf (x1;x2;x3;y1;y2) = ¡ 5:357854x21 ¡ 0:835689y1x3 ¡

37:29329y1 +40792:141

subject to

a1 +a2y2x3 +a3y1x2 ¡ a4x1x3 92

a5 +a6y2x3 +a7y1y2 +a8x21 ¡ 90 20

a9 +a10x1x3 +a11y1x1 +a12x1x2 ¡ 20 5

27 x1;x2;x3 45

y1 2 f78;:::;102g;integer ; y2 2 f33;:::;45g;integer

wherea1 to a12 aregiven by thetable:

a1 85.334407 a5 80.51249 a9 9.300961a2 0.0056858 a6 0.0071317 a10 0.0047026a3 0.0006262 a7 0.0029955 a11 0.0012547a4 0.0022053 a8 0.0021813 a12 0.0019085

The global optimum is, for any combination of x2;y2, (x1;x3;y1;f ) =(78;27;27;32217:4).

4

41

P roblem #7 (Grossmann and Sargent 1979)

minf =MX

j =1

®j Nj V¯ jj

subject to

NX

i=1

QiTL i

BiH; Vj ¸ Sij B i; Nj TL i ¸ ti j

1 Nj N uj ; V l

j Vj Vuj

T lL i TL i Tu

L i; B lj B j Bu

j

Nj ; integer

where, for the speci…c problem considered, M = 3, N = 2, H = 6000,®j = 250; ¯ j = 0:6,

N uj = 3, V l

j = 250and Vuj = 2500. Thevalues of T l

L i , TuL i , B l

j and Buj are

given by:

T lL i = max

tijN u

j; Tu

L i = maxj

tij

B li =

Qi

HTL i; Bu

j = min(Qi;minj

Vuj

Sij)

Thenext tablegives thevalues of Sij and tij .

Sij tij2 3 4 8 20 84 6 3 16 4 4

Theglobal optimumis(N1;N2;N3;V1;V2;V3;B1;B2;TL1;TL2;f ) =(1;1;1;480;720;960;240;120;20;16;38499:8).

5

42

P roblem #1 R #G #F #CWithout 10 78 2988 0Speci…c 102 101 3146 10

Operators 103 99 3802 10for Binary 1010 121 4242 10Variables 1030 121 4242 10

With 10 78 3194 0Speci…c 102 93 3292 9




With 10 1342 30601 5Speci…c 102 513 18391 0


P roblem #2’ R #G #F #CWithout 10 93 3389 10Speci…c 102 72 2812 10


With 10 359 8610 9Speci…c 102 63 2765 2


1

43



With 10 2192 60396 0Speci…c 102 2936 124151 4




With 10 4430 184304 0Speci…c 102 4632 115133 0


P roblem #4’ R #G #F #CWithout 10 4805 146753 6Speci…c 102 5000 185725 5


With 10 5000 145885 5Speci…c 102 5000 187408 6


2

44



With 10 2833 62797 8Speci…c 102 2470 79796 8






DebScheme Problem # #G #F #C1 121 4242 10

Without 2’ 111 3901 7Speci…c 3 2499 69479 5

Operators 4’ 914 21962 5for Binary 5 697 17973 3Variables 6 5000 257581 10

7 5000 166759 10With 1 154 5090 5

Speci…c 2’ 198 5989 0Operators 3 1665 52033 3for Binary 4’ 1647 27080 6Variables 5 2090 30852 5

3

45

DebScheme Problem# #G #F #C1 500 28619 10

Without 2’ 500 35610 10Speci…c 3 500 255356 10

Operators 4’ 500 127746 8for Binary 5 500 142413 9Variables 6 500 295847 10

7 500 353422 0With 1 500 37525 7

Speci…c 2’ 500 42306 0Operators 3 500 111675 2for Binary 4’ 500 130591 10Variables 5 500 140286 9

GA (Pen.) GA (Deb) M-SIMPSAProblem# #F #C #F #C #F #C

1 3146 100% 4242 100% 607 99%2’ 2812 100% 35610 100% 10528 83%3 6909 90% 255356 100% - 0%4’ 146753 60% 127746 80% 14738 100%5 16530 100% 142413 90% 22309 (60%)6 257667 100% 257581 100% 27410 87%7 213649 40% 166759 100% 257536 92%

R - penalty parameter#G - mean number of generations#F - mean number of objective function evaluations#C - number of convergencies to theglobal optimum

4

46

OPTIMIZAÇÃO DE PLACAS

L. Costa, I. Figueiredo, J. Júdice,

R. Leal, L. Merca, P. Oliveira

47

DESCRIÇÃO (I)

48

DESCRIÇÃO (II)

min(a;m)2C

12

F Tu

subject to : K (a;m) u =F

2

6666666666666666666666666666664

K ! BENDING STIFFNESSMATRIX

F ! FORCE VECTOR

u ! DISPLACEMENT VECTOR

C ! CONSTRAINT SET

4n ! NUMBER OF LAYERS

2

66666666666666664

VARIABLES :

a=(a1;a2;:::;an)

m=(m1;m2;:::;mn)

4

49

m1 m2 m3 m4

Example for n=4 (16 layers), 6 materials and 7 angles

a1 a2 a3 a4

0 mi 56 Materials

0 ai 67 Angles

0 000 Glass1 (G1)1 001 Glass2 (G2)2 010 Glass3 (G3)3 011 Graphite1 (C1)4 100 Graphite2 (C2)5 101 Graphite3 (C3)6 110 ---7 111 ---

0 000 0º1 001 15º2 010 30º3 011 45º4 100 60º5 101 75º6 110 90º7 111 ---

50

m1 m2 m3m4

Example for n=4 (16 layers), 2 materials, 7 angles

a1 a2 a3 a4

0 mi 12 Materials

0 ai 67 Angles

0 000 0º1 001 15º2 010 30º3 011 45º4 100 60º5 101 75º6 110 90º7 111 ---

0 0 Glass (G)1 1 Graphite (C)

51

C C C G60º 0º 0º 0º

1 1 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C C C C0º 30º 0º 15º

1 1 1 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Par

ents

Off

spri

ng

C C C G60º 30º 0º 0º

1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

C C C C0º 0º 0º 15º

1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Random numbers: 5 and 12

207 Nm

230 Nm

187 Nm

264 Nm

52

G C C C45º 60º 45º 60º

0 1 1 10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 245 Nm

167 Nm

C C C C45º 60º 45º 60º

1 1 1 10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

or

G C C C45º 60º 45º 60º

0 1 1 10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 245 Nm

312 Nm

G G C C45º 60º 45º 60º

0 0 1 10 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

53

A40%

B30%

C20%

D10%

4

RANK

C G G C30º 60º 90º 60º

1 0 0 10 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 228 NmBG C G G30º 75º 45º 60º

0 1 0 00 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 310 NmCG G G C15º 0º 30º 0º

0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 428 NmD

C C C G45º 60º 15º 75º

1 1 1 00 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 173 NmA

3

2

1

54

OPTIMIZAÇÃO MULTIOBJECTIVO

212

211

2

xfmin

xfmin

55

FUNÇÕES SCHAFFER

0

10

20

30

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f11,

f12

f11

f12

56

FRONTEIRA DE PARETO

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

f11

f12

57

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 5

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 6

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 7

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 8

58

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 14

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 15

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 16

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f11

f12

Run 17

59

EXTRUSÃO

A. G. Cunha, J. Covas, P. Oliveira

60

ESTRATÉGIAS EVOLUTIVAS

• Representação real

• Mecanismo de sobrevivência baseado em truncatura

• Selecção uniforme dos progenitores

• Eliminação dos pontos não admissíveis

• Estratégias:+,

61

ESTRATÉGIA (1+1)1. INICIALIZATION

)0(

n

)0(1

)0(

x

x

x such that 0)x(jg )0( for all j=1,…,m

0k

2. MUTATION

)k(nz

)k(nx

)k(1z

)k(1x

)k(z

)k(x

)k(Nx

3. SELECTION

otherwise

all for and

(k)

x

,...,m1j0))k(

Nx(jg))k(

x(f))k(

Nx(f)k(

Nx)1k(x

1kk

If Stop Criterion is not true Then return to step 2. Else End.

62

ESTRATÉGIA (1+1)Requirements for the random numbers )k(z :

1.

0zE )k(i

with i=1,…,n;

2. 2i , with i=1,…,n, must be small.

),0(Nz 2i

)k(i

Initial step lengths i :

n

x i)0(i

1/5 Success Rule (Control of the step lengths i ):

“From time to time during the optimum search obtain the frequency ofsuccesses, i.e., the ratio of the number of successes to the total numberof trials (mutations). If the ration is greater than 1/5, increase thevariance, if it is less than 1/5, decrease the variance.”

51

suc)k(

i

51

suc)k(

iinc

51

suc)k(

idec

)1k(i

)p(Pr

)p(Prc

)p(Prc

63

ESTRATÉGIA (,)1 . I N I C I A L I Z A T I O N

)0(

n,p

)0(1,p

)0(p

x

x

x s u c h t h a t 0)x(jg )0(p f o r a l l m,...,1j a n d ,...,1p

0k

2 . M U T A T I O N

)dk(n

)k(n,u

)dk(1

)k(1,u

)dk()k(u

)k(N,d

zx

zx

zxx s u c h t h a t 0)x(j

g )k(N,d f o r a l l

m,...,1j , ,...,1p a n d ,1u , e . g . ,

otherwise

integer K with

d//

K,...,2,du

3 . S E L E C T I O N

S o r t t h e )k(N,dx , w i t h ,...,1d , s o t h a t )x(f)x(f )k(

N,b)k(

N,a f o r a l l ,...,1a

a n d ,...,b

)k(N,a

)1k(p xx w i t h ,...,1p a n d ,...,1a

1kk

I f S t o p C r i t e r i o n i s n o t t r u e T h e n r e t u r n t o s t e p 2 . E l s e E n d .

64

ESTRATÉGIA (,)R e q u i r e m e n t s f o r t h e r a n d o m n u m b e r s )k(z :

1 . 0zE )k(i w i t h i = 1 , … , n ;

2 . 2i , w i t h i = 1 , … , n , m u s t b e s m a l l .

),0(Nz 2i

)k(i

I n i t i a l s t e p l e n g t h s i :

n

x i)0(i

C o n t r o l o f t h e s t e p l e n g t h s i :

)k(iz)k(

i)1k(

i e

w h e r e

),0(Nz 2)k(i

a n d i s a p a r a m e t e r

65

EXEMPLO-ES

0

20

40

60

80

100

120

-4 -2 2 4x

f(x)=ex-x3

66

EXEMPLO-ES

=1=1

• cdec=0.85

• Aproximação inicial x0=-4

x=1=1

67

EXEMPLO-ESGer. f(x) x Suc.

0 +6.401e+001 -4.000 01 +2.676e+001 -2.989 12 +2.402e+001 -2.883 23 +2.402e+001 -2.883 24 +3.500 -1.484 35 +9.603e-001 -4.054e-002 46 +7.417e-001 -3.689e-001 57 +7.417e-001 -3.689e-001 58 +7.417e-001 -3.689e-001 59 +7.417e-001 -3.689e-001 5

10 +7.417e-001 -3.689e-001 511 +7.417e-001 -3.689e-001 512 -1.035 +2.088 613 -1.035 +2.088 614 -6.735 +2.974 715 -6.735 +2.974 7

68

EXEMPLO-ESGer. f(x) x Suc.16 -6.735 +2.974 717 -6.735 +2.974 718 -6.735 +2.974 719 -7.471 +3.082 820 -9.733 +3.942 921 -9.733 +3.942 922 -9.733 +3.942 923 -9.733 +3.942 924 -9.733 +3.942 925 -9.733 +3.942 9

... ... ... ...

98 -1.022e+001 +3.733 1499 -1.022e+001 +3.733 14

69

COMPARAÇÃO GA-ES

Parameter ValueNumber of experiments 10Maximum number of generations 5000Population Size 100Crossover probability 0.700Mutation probability 0.001Penalty coefficient 100Gap 1.0Coding Gray code

Genetic Algorithm Parameters

70

COMPARAÇÃO GA-ES

Parameter ValueNumber of experiments 10Maximum number of generations 2000Lower bound of step lengths (absolute) 0.00001Lower bound of step lengths (relative) 0.00001Factor de ajuste dos desvios 0.85Periodicidade do teste de convergência 40

Evolution Strategy (1+1) Parameters

Evolution Strategy (+) ParametersParameter ValueNumber of experiments 10Maximum number of generations 2000Lower bound of step lengths (absolute) 0.00001Lower bound of step lengths (relative) 0.00001Factor de ajuste dos desvios 0.85Periodicidade do teste de convergência 40

71

COMPARAÇÃO GA-ES

72

QUESTÕES (I)

• Quais as leis que descrevem o comportamento macroscópico dos Algoritmos Evolutivos?

• Em que tipos de problemas os Algoritmos Evolutivos apresentam um bom desempenho?

• Em que problemas exibem um comportamento decepcionante?

73

QUESTÕES (II)

• O que significa um bom desempenho?

• Em que problemas os Algoritmos Evolutivos podem ultrapassar os algoritmos convencionais?

74

NOVAS QUESTÕES

• Incorporar as interacções ecológicas

• Incorporar novas ideias da genética e da biologia

• Compreensão dos esquemas nos Ags

• Compreensão do papel do crossover

• Fundamentação matemática dos Algoritmos Evolutivos

1 OPTIMIZAÇÃO COM ALGORITMOS EVOLUTIVOS Pedro Oliveira Dep. de Produção e Sistemas Universidade...

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