1 Teoria de 1ª Ordem Def. 18 Dado um conjunto A, dizemos que um subconjunto A’ de A é...

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Teoria de 1ª Ordem Def. 18 Dado um conjunto A, dizemos que um

subconjunto A’ de A é decidível se e somente se existir um procedimento efetivo (um algoritmo) tal que, dado qualquer a A, pare com SIM se a A’ e pare com NÃO se a A’.

Def. 19 Uma Teoria de 1ª Ordem (ou simples-mente uma Teoria) é um par T = <S, >, onde S é um alfabeto de 1ª ordem e é um conjunto de sentenças de L(S) fechado por consequência lógica.

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Teoria de 1ª Ordem Def.20 Uma teoria T = <S, > é axiomatizável

se e somente se existe um subconjunto decidível ’ de tal que se e somente se ’ |= . As sentenças em ’ são os axiomas de T.

Def.21 Uma teoria T é finitamente axiomatizável se e somente se T for axiomatizável por um conjunto finito de sentenças (axiomas).

Def.22 Um modelo para uma teoria T = <S, >

é um modelo para .

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Teoria de 1ª Ordem Podemos expandir uma teoria com novos

símbolos predicativos ou funcionais. Exemplo:Suponha uma teoria sobre os naturais onde “=“ e “>“ são símbolos predicativos binários do alfabeto definido.O que fazer para usar o símbolo “”?

Solução 1: “” significa “t = u t > u”.

Solução 2: Expandir a teoria incluindo o predicado “” no alfabeto e acrescentando o axioma de definição de “”

xy(x y x = y x > y)

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Um exemplo sobre Teoria:Dicionário de um Sistema

Descrição do Problema considere um dicionário contendo os

programas e os arquivos usados em um determinado sistema.

cada programa possui como atributo apenas a linguagem em que foi escrito.

cada arquivo possui como atributo apenas o tipo de organização física.

o dicionário mantém os arquivos usados e os programas chamados por cada programa.

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Um exemplo sobre Teoria:Dicionário de um Sistema (continuação)

Formalização do Problema T = <S, >

como descrever a organização lógica do dicionário (o alfabeto - S)

como descrever um estado consistente do dicionário em um determinado instante (as sentenças sobre a teoria - )

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Alfabeto do dicionário (AD): constantes:

letras minúsculas do alfabeto da Língua Portuguesa

símbolos predicativos binários: “programa”, “arquivo”, “chama”,“usa”, “depende”

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Significados pretendido em AD :constantes : nomes de programas, arquivos, linguagens de programação e tipos de organização de arquivos.

programa(n, m) : o programa n é escrito na linguagem m.

arquivo(n, m) : o arquivo n tem organização m.chama(n, m) : o programa n chama o programa m.usa(n, m) : o programa n usa o arquivo m.depende(n, m) : o programa n usa ou chama direta ou indiretamente m.

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Definição da teoria do Dicionário (restrições):

1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal

2. Todo programa é escrito em uma única linguagem

3. As únicas organizações de arquivos permitidas são Sequencial, Direta ou Indexada

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4. Todo arquivo possui uma única organização física

5. Se x chama y então x e y são programas no dicionário

6. Se x usa y então x é um programa e y é um arquivo no dicionário

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7. Se x chama y então x depende de y

8. Se x usa y então x depende y

9. Se x depende de z e z depende de y então x depende de y

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Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem

1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal

xy( programa(x, y) (y = fortran y = Java y = pascal) )

2. Todo programa é escrito em uma única linguagem

xyz( (programa(x, y) & programa(x, z)) (y = z))

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Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem

5. Se x chama y então x e y são programas

xy(chama(x, y) (z(programa(x, z))& w(programa(y, w))))

9 . Se x depende de z e z depende de y então x depende de de y

xyz(xyz((depende(x, z) & depende(z, y)) depende(x, y))

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Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem

1.xy(programa(x, y) (y = fortran y = java y = pascal))

2. xyz((programa(x, y) & programa(x, z)) (y = z))

3.xy(arquivo(x, y) (y = sequencial y = direto y = indexado))

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4.xyz ((arquivo(x, y) & arquivo(x, z)) (y = z))

5. xy(chama(x, y) (z(programa(x, z))& w(programa(y, w))))

6. xy(usa(x, y) (z(programa(x, z))& w(arquivo(y, w))))

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7. xy(chama(x, y) depende(x, y))

8. xy(usa(x, y) depende(x, y))

9. xyz((depende(x, z) & depende(z, y)) depende(x, y))

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Segue exemplo de uma interpretação I que satisfaz as restrições desse dicionário, ou seja, que é um modelo para ou ainda, que é um estado consistente para esse dicionário

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programaI (A, FORTRAN)

usaI (A, D)

programaI (B, PASCAL) usaI (B, E) programaI (C, FORTRAN)

dependeI (A, B) arquivoI (D, SEQUENCIAL)

dependeI (A, C)

arquivoI (E, DIRETO) dependeI (A, D) dependeI (B, E)

chamaI (A, B) dependeI (A, E) chamaI (A, C)

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É interessante observar que um determinado estado consistente, como a interpretação I, também pode ser escrito por uma teoria cujos axiomas representam:

os dados (fatos) armazenados no Dicionário, através de fórmulas atômicas

as propriedades desejadas de “depende”

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Teoria equivalente a Interpretação I

1. programa(a, fortran)2. programa(b, pascal)3. programa(c, fortran) F4. arquivo(d, sequencial) A5. arquivo(e, direto) T6. chama(a, b) O7. chama(a, c)S8. usa(a, d)9. usa(b, e)

R10.xy(chama(x, y) depende(x, y)) E11.xy(usa(x, y) depende(x, y)) G12. xyz((depende(x, z) & depende(z, y)) R

depende(x, y)) AS

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Um Sistema Formal Axiomático (SFA)

Apresentação de um “cálculo” permitindo verificar se uma fórmula de 1ª ordem é consequência lógica de um conjunto de fórmulas.

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Um SFA Def.23 é uma generalização de se e

somente se for da forma x1 ... xn (), para n > 0 e variáveis x1, ... ,xn.

Def.24 Uma fórmula de 1ª Ordem é uma tautologia se ela puder ser mapeada em uma tautologia da Lógica Proposicional.

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Um SFA Def.25 Um Sistema Formal Axiomático

é uma tripla S = <L, A, R>, onde:

L : uma linguagem de 1ª ordem A : um conjunto de sentenças

chamadas axiomas lógicos R : um conjunto de regras de

inferência

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Um SFAExemplo: Um SFA denominado S.

S = <L, A, R>, onde:

L : uma linguagem de 1ª ordemR: uma regra de inferência Modus Ponens: { → }├ A: um conjunto de axiomas classificados em 5 Grupos:

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Um SFAA : todas as generalizações de fórmulas da

forma:Grupo 0: traduz a Lóg. Proposicional p/ S

(A v B) (~A B)(A ^ B) ~(A ~B)(A B) (A B)^(B A)Grupo 1: traduz em ~x() → x(~) x() ~x(~)

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Um SFA Os três grupos que seguem dizem

respeito às propriedades do

Grupo 2: x1 ... xn () [x1/t1, ... ,xn/tn] (se xi for substituível por ti em

Grupo 3: x( ) (x() x())

Grupo 4: x() (se x não ocorre livre em

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Um SFA: Exemplo de uma derivação (prova) em S

{x(P(x) Q(x)), x(P(x))} |- x(Q(x))1. x(P(x) Q(x))P ( )2. x(P(x)) P ( )3. x(P(x) Q(x)) (x(P(x)) x(Q(x))) Grp.

34. x(P(x)) x(Q(x)) 1, 3 MP5. x(Q(x)) 2, 4 MP

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Um SFA: Um outro Exemplo de derivação (prova) em S

Seja a formalização de um estado do “Dicionário” como uma teoria e a fórmula : depende(a, e).

A derivação de a partir de no sistema S,

— é dada a seguir:

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— depende (a,e) 1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. xy(chama(x, y) depende(x, y)) 4. xy(usa(x, y) depende(x, y)) 5. xyz((depende(x, z)(depende(z, y) depende(x, y)))

6. xy (chama(x, y) depende(x, y))

(chama(a, b) depende(a, b))Grupo 27. chama(a, b) depende(a, b) 3, 6 MP8. depende(a, b) 1, 7 MP 9. xy(usa(x, y) depende(x, y))

(usa(b, e) depende(b, e)) Grupo 210. usa(b, e) depende(b, e) 4, 9 MP 11. depende(b, e) 2, 10MP 12. xyz((depende(x, z) (depende(z, y)depende(x, y)))

(depende(a, b) (depende(b, e)depende(a, e)))Grupo 2

13. depende(a, b) (depende(b, e) depende(a, e)) 5, 12 MP 14. depende(b, e) depende(a, e) 8, 13 MP 15. depende(a, e) MP 11c/14

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