Universidade da Amazônia – UNAMAEngenharia Civil

Artur Dias dos Santos - 1310506201

Elen Tayane da Silva Estacio - 1310506143

Marlley Gouvea Teixeira - 1310506254

Ruberval de Souza Oliveira - 1310506012

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSALEI DE FICK DA DIFUSÃO

BELÉMJUNHO/2013

Artur Dias dos Santos - 1310506201

Elen Tayane da Silva Estacio - 1310506143

Marlley Gouvea Teixeira - 1310506254

Ruberval de Souza Oliveira - 1310506012

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSALEI DE FICK DA DIFUSÃO

Trabalho solicitado pela professora: Ana

Aurea Barreto Maia; Disciplina: Fenômeno de

Transporte, Curso Engenharia Civil; turma:

3ENV1.

BELÉMJUNHO/2013

Sumário1- Introdução........................................................................................................................4

2- Transferência de calor...................................................................................................5

2.1- Conceito...........................................................................................................................5

2.2- Condução de calor.............................................................................................................5

2.3 – Convecções de calor........................................................................................................7

2.4- Radiação Térmica.............................................................................................................8

2.5 – Mecanismo Combinado....................................................................................................9

2.6- Resistências térmicas em série..........................................................................................10

2.6.1- Geometria Plana...........................................................................................................10

2.6.2- Geometria Cilíndrica.....................................................................................................10

2.6.3- Exemplo de aplicação:..................................................................................................11

2.7 – Correlações Empíricas....................................................................................................12

3- Transferência de massa.......................................................................................................14

3.1- Conceito.........................................................................................................................14

3.2- Leis de equilíbrio entre fases............................................................................................14

3.3- Difusão Molecular...........................................................................................................15

3.4- Transferência de massa por convecção..............................................................................16

3.4.1- Difusão de A através de corpos porosos..........................................................................18

3.4.2- Difusão de A através de membranas...............................................................................18

3.4.3- Difusão de H2 através da parede de um tubo cilíndrico.....................................................19

3.5- Correlações Empíricas.....................................................................................................19

3.6- Lei de Fick da difusão......................................................................................................21

3.6.1 - Primeira Lei de Fick – Difusão no estado estacionario....................................................21

3.6.2 - Segunda Lei de Fick – Difusão no estado não-estacionário.............................................22

4- Conclusão.........................................................................................................................24

1-

1- Introdução

O presente trabalho sobre Transferência de calor e massa apresenta expressões

para calculo da transferência de calor e massa. No mecanismo de transferência de calor,

podemos verificar a condução, convecção, radiação de calor, bem como mecanismos

combinados, resistência técnica em seria, bem como a correlação empírica. No que diz

respeito a transferência de massa, verificaremos as leis de equilíbrio entre fases, difusão

molecular, transferência de massa por conversão. É detalhado, a correlação empírica de

massa e por fim, é mostrado as duas leis de Firck sobre a difusão.

Para o desenvolvimento do referido trabalho se utilizou de pesquisas bibliográficas.

5 | P á g i n a

2- Transferência de calor

2.1- ConceitoEnergia térmica é a energia interna de um corpo que pode ser transferida devido

a uma diferença de temperaturas. É composta de energia microscópica: energia sensível e

energia latente . Se um corpo colocado num meio a uma temperatura diferente da que

possui, recebe ou perde energia, aumentando ou diminuindo a sua energia. Esta energia

térmica transferida “para o” ou “do” corpo é conhecida por “Calor” e esse processo é

definido por Transferência de Calor. Não ocorrendo mudança de estado físico, a variação de

energia interna sofrida por um corpo, de massa m, é igual ao calor transferido (Q) e pode ser

estimada pela variação de temperatura ocorrida (ΔT), conhecido o seu calor específico, CP.

Havendo mudança de estado, a temperatura mantém-se constante. Pode-se verificar na

evaporação de uma massa m de um líquido, e o calor associado é calculado, onde ΔHvap é

obtida por subtração da entalpia do líquido à entalpia do gás.

Caso há diferença de temperaturas, ocorrerá transferência de calor no sentido das

zonas onde a temperatura é mais baixa. Essa transferência pode ocorrer pelo mecanismo

da condução, convecção e/ou radiação dependendo se ela se efetua através de sólidos ou de

fluidos, entre sólidos separados por fluidos, entre fluidos separados por uma superfície

sólida ou ainda entre superfícies sólidas entre as quais não existe matéria.

No dia a dia pode-se obervar transferência de calor, como exemplos temos

aquecimento de água numa chaleira, a utilização de garrafas para evitar o rápido

resfriamento de líquidos quentes, refrigeração de alimentos no frízer ou o seu aquecimento

num forno elétrico, o esfriamento do radiador do carro pelo ar do ambiente; o sistema de ar

condicionado, o aquecimento central, os aquecedores a óleo, o aquecimento do ar por meio

de uma lareira, o isolamento de casas com placas de poliuretano, ou simplesmente uma

camada de ar entre duas camadas de tijolo, a utilização de vidros duplos em vez de vidros

simples.

2.2- Condução de calor O processo de Condução de calor está associado à transferência de calor feita ao

nível molecular, por transferência de energia sensível. As partículas mais energéticas

6 | P á g i n a

transferem parte da sua energia vibracional, rotacional e translacional por contato com

outras partículas próximas menos energéticas (que se encontram a uma menor temperatura)

as quais recebem essa energia. Essa transferência é realizada, portanto, no sentido das

temperaturas menores, ou seja, no sentido do gradiente (dT/dx) negativo. Ocorre em gases,

líquidos ou sólidos. Nos fluidos (especialmente nos gases, onde existem menores forças de

coesão) surgem ainda colisões entre as partículas. Nos sólidos metálicos os elétrons livres

favorecem esse processo.

A lei fundamental que descreve a condução térmica é a lei de Fourier. O calor

transferido por unidade de tempo, ou a velocidade de transferência de calor, na direção x

Q x ,W  é proporcional à área de transferência perpendicular ao fluxo de calor (A=W×H, m2),

e ao gradiente de temperaturas (dT/dx). A constante de proporcionalidade é uma propriedade

física do material designada condutividade térmica (kT, W.m-1.K-1). O sinal negativo é

necessário sempre que o gradiente seja negativo para que o calor, por convenção, tome um

valor positivo.

(1)

Na integração da equação anterior em estado estacionário (temperaturas

constantes no tempo), obtém-se obtemos a equação

Qcond=KT . AT S 1−T S 2

L↔Qcond=

T S 1−T s 2

Rparede(W ), considerando as condições fronteiras

definidas na equação (1) e a condutividade térmica constante nesse intervalo de

temperaturas: em que TS1 e TS2 são, respectivamente, as temperaturas na face esquerda e

direita da parede e Rparede é a resistência térmica da parede, definida pela

Rparede=L

Kt . A(K . W−1) .

Caso o material possua uma condutividade térmica elevada, como é o caso dos

metais (Tabela 1), a parede oferece pouca resistência à transmissão de calor por condução, e

a queda de temperatura através da parede é baixa, isto é, se kT → ∞, Rparede →

0 , TS1 ≈ TS2. Diz-se nesse caso que o material é bom condutor. Pelo contrário, se o

material possuir uma condutividade térmica baixa é um péssimo meio de propagação de

calor e diz-se que é um isolante. Isolantes como a lã, são usados no revestimento de tetos e

paredes, para minimizar as trocas de calor com o exterior. Em geral, a condutividade térmica

dos gases é menor do que a dos líquidos e esta menor que a dos sólidos.

Para minimizar as perdas de calor para o exterior no Inverno ou as entradas de

calor no Verão, as nossas habitações devem ter janelas e portas de vidro duplos e serem

7 | P á g i n a

construídas com telhados e paredes duplas entre as quais se coloca um material isolante,

como espumas de poliuretano, lã de vidro ou lã mineral.

Exemplos de valores de condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K

(Çengel, 2003; Holman, 2002; Incropera, de Witt, 2002).

Material kT (W.m-1.K-1)

Diamante 2300

Cobre (puro) 401

Ferro (puro) 80

Vidro 0,78 - 1,4

Madeira 0,10 - 0,19

Água 0,61

Ar 0,026

2.3 – Convecções de calorCom a existência de um fluido em movimento (líquido ou gás), acelera o

processo de transferência de calor se um fluido mais frio (T∞), ficar em contacto com uma

superfície mais quente (TS). Esta transferência dá-se em simultaneamente com a

transferência de calor ao nível molecular (por condução) sendo, no entanto, mais eficaz.

Para compreensão deste fenômeno é necessário o conhecimento da dinâmica do

escoamento de fluidos, especialmente quando em contato com superfícies. O movimento

pode ser provocado por agentes externos, como por exemplo, pela atuação de uma

ventoinha, de um agitador ou de uma bomba centrífuga, ou por diferenças de densidade

resultantes do próprio aquecimento do fluido. No primeiro caso diz-se que a transferência de

calor se processa por convecção forçada, enquanto no segundo por convecção natural ou

livre. Assim, mesmo que um fluido se encontre em repouso, a diferença de temperaturas

gera diferenças de densidade no seio do fluido que poderão ser suficientes para induzir um

movimento ascendente do fluido mais quente. Em geral, a convecção de calor é definida de

uma forma mais abrangente, associando-se o fenômeno da condução e o da transferência de

calor em presença de movimento macroscópico do fluido. Foi desenvolvido um modelo

simples, , Onde h é o coeficiente de transferência

de calor (W.m-2.K-1), A, a área de transferência de calor perpendicular ao fluxo de calor e

ΔT a driving-force, isto é, a causa para ocorrer a transferência de calor, em que TS é a

temperatura de uma superfície e T∞ é a temperatura do fluido que a envolve; para o cálculo

8 | P á g i n a

da velocidade de transferência de calor que traduz o resultado conjunto destes dois

fenômenos. Quando a velocidade do fluido diminui e tende para zero, a contribuição do

movimento macroscópico do fluido perde importância diante do processo da condução.

Tabela - Gamas de valores típicos para o coeficiente de transferência de calor, h (Holman,

2002; Incropera, de Witt, 2002)

Tipo de convecção h (W.m-2.K-1)

Convecção natural em gases 2 - 15

Convecção natural em líquidos 50 - 1000

Convecção forçada em gases 15 - 250

Convecção forçada em líquidos 100 - 20000

Convecção com mudança de fase:

ebulição e condensação2500 - 100000

2.4- Radiação TérmicaRadiação térmica é toda energia radiante emitida na gama de comprimentos

de onda 0,1 a 100 μm do espectro eletromagnética. Resulta da emissão e propagação de

ondas electromagnéticas por alteração na configuração eletrônica de átomos e moléculas.

Qualquer corpo com uma temperatura superior a 0 K emite energia radiante.

A transferência de calor por radiação térmica ocorre através de sólidos, líquidos

e gases e no vácuo, exceto nos sólidos e líquidos opacos à radiação térmica (que são a

maioria). Em geral, os gases são pouco absorventes, a contribuição da radiação térmica para

o calor total transferido não deve ser descurada nos cálculos de Engenharia quando se têm

superfícies separadas por gases. A energia radiante que um corpo emite é dada pela Lei de

Stefan-Boltzmann (Josef Stefan 1835-1893, Ludwig Boltzmann 1844-1906) aplicada a um

corpo real, sendo σ=5,67×10-8 W.m-2.K-4 a constante de Stefan-

Boltzmann, ε, a emissividade da superfície emissora (0<ε≤1), A, a sua área e Ts a sua

temperatura absoluta (K). Como se vê na equação acima, a energia emitida é proporcional à

quarta potência da temperatura absoluta, pelo que a sua importância, relativamente aos

outros mecanismos, aumenta com esta. Um corpo ideal emite a radiação máxima possível já

que a sua emissividade é unitária. Na tabela abaixo mostra alguns valores de emissividade

de superfícies.

9 | P á g i n a

Valores da emissividade de algumas superfícies a 300 K (Çengel, 2003;

Incropera, de Witt, 2002)

Material Emissividade, ε

Vegetação, solo, água, pele 0,92 – 0,96

Asfalto 0,85 – 0,93

Aço inox polido 0,17

Ouro, prata ou cobre polidos 0,018 – 0,035

O transporte de energia associado a este mecanismo é diferente dos mecanismos

referidos nas seções anteriores (condução e convecção). Contudo, uma vez que todas as

superfícies emitem radiação térmica, e esta será tanto maior quanto mais elevada for a

temperatura, se um corpo emitir mais energia do que aquela que recebe proveniente das

superfícies envolventes, a temperatura desse corpo diminuirá. Assim, para o cálculo da

velocidade de perda ou ganho de energia, o que interessa é conhecer o resultado global da

troca de energia radiante entre superfícies. Um exemplo, é a energia radiante trocada entre

uma superfície de área A de um corpo pequeno à temperatura Ts e outra superfície vizinha à

temperatura Tviz<TS que o envolve completamente, separadas por um fluido não

absorvente.

2.5 – Mecanismo CombinadoEm um sólido opaco à radiação térmica a transferência de calor ocorre apenas

por condução, enquanto num fluido opaco ela ocorre por convecção (a qual engloba a

própria condução, como explanado acima). No vácuo apenas ocorre radiação. Nos sólidos,

líquidos e gases não opacos, a transferência de calor ainda pode ocorrer por radiação, em

paralelo à condução ou convecção. Diz-se que estamos perante mecanismos combinados.

Exemplo: 1 - Determine o calor perdido por uma pessoa, por unidade de tempo,

supondo que a sua superfície exterior se encontra a 29ºC, sendo a emissividade de 0,95. A

pessoa encontra-se numa sala cuja temperatura ambiente é 20ºC (T∞) sendo a área do seu

corpo de 1,6 m2. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície exterior da pessoa

e o ar pode igual a 6 W.m-2.K-1.

Observação: Desprezar a transferência de calor por condução através dos sapatos

para o chão e o calor perdido por respiração e transpiração; supor que a temperatura das

superfícies envolventes (paredes) é idêntica à temperatura ambiente (Tviz ≈ T∞0).

10 | P á g i n a

2.6- Resistências térmicas em série

2.6.1- Geometria PlanaConsidere-se dois fluidos a diferentes temperaturas (T∞1 e T∞2) separados por

uma parede plana composta. A transferência de calor é efetuada no sentido das temperaturas

inferiores pelo mecanismo da condução nas paredes e por convecção nos fluidos.

Considerando o estado estacionário (T∞1 e T∞2 constantes no tempo) e a resistência de

contato entre superfícies desprezível, o fluxo de calor através de cada camada é o mesmo:

cuja soma é: isto é, a velocidade

de transferência de calor é a razão entre a diferença global de temperaturas e a resistência

térmica total: em que Rtotal é a resistência térmica

total expressa por sendo U designado

coeficiente global de transferência de calor.

2.6.2- Geometria CilíndricaConsidere agora dois fluidos, um quente e um frio, separados por uma parede

cilíndrica. Em estado estacionário, , obtém-se:

11 | P á g i n a

cuja soma é:

 isto é, a velocidade de transferência de

calor é a razão entre a diferença global de temperaturas e a resistência térmica total:

em que Ai=2πriL, A0=2πr0L sendo L o comprimento da conduta, Rtotal é a resistência

térmica total expressa por

sendo U0 e Ui o coeficiente global de transferência de calor baseado na área da superfície

externa e interna, respectivamente.

2.6.3- Exemplo de aplicação:Perda de calor através de uma conduta de vapor com isolamento exterior (Çengel,

2003)

- Uma conduta de ferro fundido (k=80 W.m-1.K-1) com o diâmetro interno de 5 cm e 2,5

mm de espessura de parede é usada para transportar vapor de água a 320ºC. A conduta está

revestida por uma camada de lã de vidro (k=0,05 W.m-1.K-1) com 3 cm de espessura. A

perda de calor para o ar ambiente é de 5ºC ocorre por convecção natural e radiação, cujo

coeficiente de transferência de calor combinado é 18 W.m-2.K-1. Supondo que não ocorre

condensação e que o coeficiente de transferência de calor da superfície interna da conduta

para o vapor é 60 W.m-2.K-1, determine:

a) a perda de calor por unidade de comprimento da conduta;

b) a queda de temperatura na parede da conduta e na camada do isolamento

Análise do problema e simplificações:

Ocorre perda de calor através de uma conduta de vapor

Há condução através da parede cilíndrica de ferro e através do isolamento, ambos de

comprimento L; resistência de contacto é desprezada; k é ~ constante

Convecção forçada no interior (fluido quente) e natural no exterior (fluido frio)

Radiação da sup. externa do isolamento para as paredes vizinhas – englobadas no

coeficiente transferência de calor

12 | P á g i n a

Estado estacionário (T∞i e T∞0 constantes no tempo), transferência de calor

unidirecional (r)

a)

 

 

   

Ai=2πr1 L=0,157L m2 ; 

A0=2πr3L=0,361L m2

b) 

 

Comentários: 

É o isolamento térmico que oferece a maior resistência à transferência de calor e,

por isso, onde se verifica a maior queda de temperatura.

É comum desprezar Rcond na parede metálica face às outras Resistências; é de

notar que devido à sua baixa resistência a queda de temperatura nesta parede á praticamente

nula.

Na realidade, devido à perda de calor para o exterior, a temperatura do vapor

(T∞i) não é constante ao longo do comprimento da conduta (pelo que Q/L também varia)

embora a resistência total se mantenha.

2.7 – Correlações Empíricas O coeficiente de transferência de calor não é uma característica constante do

fluido. Pelo contrário, depende, de uma forma complexa, não só das propriedades físicas do

fluido e da sua velocidade, u, mas também das dimensões da superfície por onde este se

escoa, isto é, para o caso do escoamento no interior de uma conduta, h=f(μ, ρ, cP, k, u, D,

L). A previsão teórica do valor de h, aplicando balanços de quantidade de movimento e

13 | P á g i n a

térmico, só é possível ser efetuada para casos muitos simples. Por isso, h é determinado

geralmente por via experimental. Contudo, a sua aplicabilidade é limitada ao sistema e

condições estudadas.

Dado o elevado número de variáveis envolvidas no processo de transferência de

calor é comum agrupar as variáveis sob a forma de números adimensionais e estabelecer

correlações entre eles usando dados experimentais; por isso, são designadas correlações

empíricas. Outra vantagem de se trabalhar com correlações empíricas, para além da redução

do número de variáveis, é a sua aplicação em diversas situações/sistemas desde que estas se

situem na sua gama de validade. Mesmo assim, os erros nas previsões dos valores dos

coeficientes de transferência de calor, utilizando as correlações empíricas podem ascender a

25%. 

Usando uma técnica de análise das dimensões das várias variáveis, é possível

obter os números adimensionais característicos de um processo de transferência de calor por

convecção forçada. Neste caso aplicado ao escoamento no interior de uma conduta:

- o número de Reynolds, Re = ρu.D/μ que caracteriza o escoamento do fluido

- o número de Prandtl, Pr = μ.cP/k = ν/α que relaciona propriedades físicas do fluido,

onde α=k/(ρ. cP) é a difusividade térmica, m2.s-1 e ν=μ/ρ é a viscosidade cinemática, m2.s-

1.

- o número de Nusselt, Nu = h.D/k que representa o aumento da transferência de calor como

resultado do movimento do fluido (“convecção”) relativamente à transferência de calor

apenas ao nível molecular (condução)

- o fator geométrico D/L

Existem ainda outros números adimensionais possíveis que resultam da

combinação destes:

- o número de Stanton para transferência de calor, Sth = Nu/(Re.Pr) = h/(ρ.u.cP)

- o número de Peclet para transferência de calor, Peh = Re.Pr = (ρ.u.cP.D)/k = u.D/α

- o número de Graetz, Gz = Re.Pr.D/L

- o factor de Colburn, jH = Sth.Pr2/3

14 | P á g i n a

3- Transferência de massa

3.1- ConceitoÉ o movimento espacial da matéria. Como exemplos, refira-se o movimento de

um fluido numa conduta ou em torno de corpos. No entanto, “transferência de massa” é

geralmente entendida no seu sentido mais estrito, referindo-se ao movimento de um

componente específico num sistema de vários componentes. Existindo regiões com

diferentes concentrações, ocorrerá transferência de massa no sentido das zonas onde a

concentração desse componente é mais baixa. Essa transferência pode ocorrer pelo

mecanismo da difusão molecular ou da convecção . A concentração é geralmente definida

como a quantidade de substância por unidade de volume. Em gases perfeitos, a concentração

de cada gás individual pode ser calculada a partir da sua pressão parcial, pA: CA=pA/(R.T),

onde T é a temperatura absoluta (K) e R a constante dos gases perfeitos (8,314 J.mol-1.K-1).

Da mesma forma, a concentração total de todas as espécies (C) está relacionada com a

pressão total, P na forma C=P/(R.T). Por sua vez, a fração molar de um componente A numa

mistura é o quociente entre o número de moles de A, nA, e o número total de moles, ntotal,

isto é, xA=nA/ntotal e yA=nA/ntotal, num líquido e num gás, respectivamente. Num gás a

fração molar pode ser relacionada com a pressão parcial através da lei de Dalton yA=pA/P e

é também igual à porcentagem volumétrica (%V/V). Por exemplo, existindo 20% (V/V) de

NH3 no ar, então yNH3=0,2.

Muitas ocorrências do dia-a-dia envolvem transferência de massa: quando se

coloca açúcar no chá, favorecido pela agitação de uma colher, adição de sal em água,

preparação de um chá por infusão, evaporação de água na superfície de uma piscina e

transporte através do ar envolvente, secagem de um tronco de madeira após o corte e

correspondente transporte da umidade através dos poros da madeira até à sua superfície.

3.2- Leis de equilíbrio entre fasesA transferência de massa através de uma fase ou entre duas fases passando a

fronteira entre elas (líquida-líquida, líquida-sólida, gás-líquida ou gás-sólida) requer um

afastamento das condições de equilíbrio. Poder-se-á dissolver sal numa panela com água até

a concentração de sal na água atingir o valor máximo. Outro exemplo, é a secagem da roupa,

que ocorrerá mais rapidamente se o ar estiver mais seco. Os valores das concentrações de

equilíbrio entre fases são apresentados na literatura sob variadas formas: tabelas, gráficos,

coeficientes de distribuição ou partição e equações do tipo CAF1=m.CAF2. Em alguns

15 | P á g i n a

casos é possível obter uma expressão analítica simples como os equilíbrios líquido-gás,

válida para misturas diluídas ou os descritos pela lei de Raoult onde pA é a pressão parcial

do componente A na mistura gasosa em equilíbrio com o líquido cuja concentração em A

é CA:

(lei de Henry, com [H]=Pa.m3/mol ou J/mol)

 

(lei de Raoult com xA=CA/C, sendo p*A,σ a pressão de vapor de A puro e C a

concentração total - válida para misturas ideais)

3.3- Difusão MolecularA transferência de massa por difusão molecular em consequência de uma

diferença de concentrações espacial é análoga à transferência de calor por condução embora

seja um fenômeno mais complexo pois ocorre numa mistura com pelo menos duas espécies

químicas. Começando com o caso dos gases, o estabelecimento da igualdade de

concentrações ao fim de um determinado tempo resulta do movimento molecular aleatório

em todas as direções do espaço.

A velocidade de transferência de massa do componente A (mol de A/s) num

meio em repouso contendo uma mistura binária A e B é proporcional à área de transferência

perpendicular ao movimento (A) e ao gradiente de frações molares (dxA/dz), sendo

conhecida pela 1ª lei de Fick. A constante de proporcionalidade é designada por difusividade

mássica ou coeficiente de difusão de A no meio B (DAB, m2/s) que tem as mesmas

unidades da difusividade térmica α apresentada na secção de transferência de calor. 

Se a concentração total (C, moles de (A+B)/m3) for constante, ou

aproximadamente constante como em soluções diluídas,

  

 Cuja integração, no caso de gases, resulta em:

16 | P á g i n a

Onde pA1 e pA2 são, respectivamente, as pressões parciais de A mantidas

constantes nas fronteiras z1 e z2, considerando o gás como perfeito (CA=pA/(RT)).

No caso de difusão em líquidos e sólidos é comum usar, por analogia, equações

idênticas à equação (usando, obviamente, concentrações em

vez de pressões parciais). 

Numa mistura gasosa binária, o coeficiente de difusão DAB = DBA ~10-

5 m2/s sendo dependente da temperatura e da pressão na forma geral DαT2/3/P. Em líquidos,

a velocidade de difusão molecular é menor, pois as moléculas estão mais próximas,

aumentando as colisões e a resistência à difusão. Assim, DAB depende da concentração de

A em B e toma valores ~ 10-9 m2/s; globalmente, Dsólidos ≤Dlíquidos « Dgases. Se a área de

transferência de massa for constante é comum associá-la à velocidade molar, obtendo-se o

fluxo molar ( , em mol.m-2.s-1):

 

3.4- Transferência de massa por convecçãoO mecanismo de transferência de massa através de um fluido em movimento é

designado por convecção sendo esta natural ou forçada.

Considere-se uma mistura binária (A+B) a deslocar-se devido a diferenças de

pressão, como um fluido que escoa no interior de uma conduta. Se não houver gradientes de

concentração, a velocidade média de deslocamento do componente A é igual à velocidade

média molar do fluido e a velocidade de difusão molecular prevista pela 1ª lei de Fick é nula

( ). Contudo, se houver gradientes de concentração, um observador exterior verá

que a velocidade de deslocamento de A será maior que a velocidade média do fluido uma

vez que A vai difundir no sentido do gradiente negativo. Assim, a velocidade de

transferência de A (mol A/s) é o resultado da contribuição do movimento global do fluido e

do movimento de difusão.

Sendo a velocidade total de transferência de massa  ,

retirando o valor da velocidade média molar u, obtém-se a equação

que, reorganizada, dá lugar à

, conhecida como a equação geral da difusão.

Existem casos em que o fluxo de B é nulo, como, por exemplo, se um gás B for muito pouco

solúvel num líquido A, e o vapor A se difundir através de B  – é o caso da evaporação de

17 | P á g i n a

água no ar ou da absorção de amoníaco em água a partir de uma mistura gasosa. Nestes

casos, temos a seguinte equação .

No entanto, quando o fluxo de A é igual mais em sentido contrário ao de B como

em alguns processos de destilação (NA = -NB, denominada contradifusão molecular), ou

ainda para misturas diluídas (líquidas ou gasosas) e na transferência de massa através de

sólidos, em que pBml ≈P (pressão total) ou CBml ≈ C (concentração total), a equação

resume-se à equação de Fick

.

Em muitos casos, o escoamento é turbulento sendo caracterizado pela formação

de turbilhões que se movimentam rápida e aleatoriamente. Estes turbilhões ou “pacotes” de

fluido permitem transportar as moléculas A, por exemplo de um sólido que se dissolve num

líquido, em maior quantidade e rapidez do que a difusão molecular. Assim, poder-se-á

escrever a equação uA C A A=u C A A+uAdiff C A Ana forma,

em que EM é a difusão em forma de turbilhão, sendo esta dependente do padrão de

escoamento do fluido e variável com a posição (toma o valor zero junto à superfície e

aumenta com a distância à parede). Como geralmente EM não é conhecido, bem como a

profundidade z , é comum definir um coeficiente de transferência de massa, kG,L, à

semelhança da definição de coeficiente de transferência de calor. Este coeficiente leva o

índice G, quando a transferência é efetuada no meio de um gás e o índice L quando se trata

de um líquido, e depende da geometria da superfície, das propriedades do fluido e das

condições de escoamento do fluido.

Assim, a velocidade de transferência de massa será obtida através da equação

, sendo A, a área

de transferência de massa perpendicular ao fluxo de massa, e ΔCA a driving-force, isto é, a

causa para ocorrer a transferência de massa (p.e. pode ser (CAS-CA∞) em que CAS é a

concentração de A junto à superfície e CA∞ é a concentração de A no fluido que a envolve.

Caso se trate de um gás ou de um líquido, poder-se-á definir outros coeficientes de

transferências de acordo com as driving-forces consideradas nas equações,

,

e,

18 | P á g i n a

Comparando

a equação

com a equação , e reorganizando,

conclui-se que , no caso de contradifusão

molecular ou misturas diluídas, tem a equação

.

3.4.1- Difusão de A através de corpos porososEm sólidos porosos com os poros cheios de fluido o movimento sensível é

desprezível, pelo que é válida a lei de Fick. Entretanto, o percurso real de difusão é superior

à espessura do sólido, sendo o percurso Zeff=T(z2-z1), onde T é a tortuosidade (para sólidos

inertes T =1,5 a 5 ). Sendo ε a porosidade do sólido, virá, por integração da equação

, resulta na equação:

Para muitos catalisadores granulados, em que o fluido é gasoso, o coeficiente de

difusão efetivo do componente A no interior do catalisador é 10 vezes menor do que o

coeficiente de difusão de A no exterior (Deff ≅ (1/10) Dfluido livre).

3.4.2- Difusão de A através de membranasConsidere-se dois fluidos separados por uma membrana. Através de uma

membrana o movimento sensível é também desprezível, pelo que é aplicável a lei de Fick.

Por integração da Equação , obtém-se,

Se a área de transferência for constante, atendendo à lei de equilíbrio e definindo

Permeabilidade da membrana (m2.s-1) PM=m.DAB, o fluxo molar será 

19 | P á g i n a

3.4.3- Difusão de H2 através da parede de um tubo cilíndricoUm tubo de borracha, com 3,0 mm de diâmetro interno, 11 mm de diâmetro

externo, e 1 m de comprimento é utilizado para transportar hidrogênio gasoso a 2 atm e 27

ºC.

a) Calcule a perda de hidrogênio através da parede de borracha, em mol/h.

b) Discuta como varia essa perda com as condições de pressão e temperatura do hidrogênio.

A solubilidade do hidrogênio na borracha a 27ºC é S = 2,28×P mol H2/m3 de

sólido, onde P é a pressão do hidrogênio gasoso em atm. A difusividade do hidrogênio na

borracha a 27ºC é 1,8×10-10 m2/s.

Pressupostos: condições estacionárias; simetria cilíndrica; NB=0 e fluxo

convectivo desprezível, pelo que é aplicável a lei de Fick, equação

; concentração de H2 no exterior é ≈0.

 

 

3.5- Correlações EmpíricasAssim como ocorre na transferência de calor , também é comum agrupar as

variáveis associadas aos processos de transferência de massa sob a forma de números

adimensionais e estabelecer correlações entre eles usando dados experimentais. Os

coeficientes de transferência de massa dependem das propriedades físicas do fluido

(viscosidade, μ, massa volúmica, ρ, coeficiente de difusão, DAB), da sua velocidade, u, e

20 | P á g i n a

das dimensões da superfície por onde este se escoa, sendo L a sua dimensão

característica: kG,L=f(μ, ρ, DAB, u, L).

Usando uma técnica de análise das dimensões das várias variáveis, é possível

obter os números adimensionais característicos de um processo de transferência de massa

por convecção forçada:

- o número de Reynolds, Re=ρ.u.L/μ que caracteriza o escoamento do fluido

- o número de Schmidt, Sc=μ./(ρ.DAB) que relaciona propriedades físicas do

fluido

- o número de Sherwood, Sh=kG,L.L/DAB que representa o aumento da

transferência de massa como resultado do movimento do fluido (“convecção”) relativamente

à transferência de massa apenas ao nível molecular (difusão).

Existem ainda outros números adimensionais possíveis que resultam da

combinação destes:

- o número de Stanton para transferência de massa, Stm = Sh/(Re.Sc)= kG,L./u

- o número de Peclet para transferência de massa, Pem = Re.Sc = u.L/DAB

- o fator de Colburn, jD=Stm. Sc2/3 = (kG,L./u).Sc2/3

Exemplo de correlações empíricas para o cálculo do coeficiente de transferência

de massa. 

- Escoamento de fluidos em torno de esferas

 válida quando o fluido é gasoso e

1<Re<48000; 0,6<Sc<2,7; notar que Sh→2 quando u→0.

No caso de líquidos:

 Se 2<Re<2000

 Se 2000<Re<17000 

21 | P á g i n a

3.6- Lei de Fick da difusãoA Primeira e a Segunda Lei de Fick são formulações matemáticas utilizadas em

processos difusão. Os mecanismos segundo os quais os átomos se movem através de um

reticulado dependem da estrutura cristalina, dos tamanhos atômicos e da extensão dos

defeitos nos cristais.

A difusão é o mecanismo segundo o qual a matéria é transportada através da

matéria. Apesar de o movimento de cada átomo ou partícula individual ser sempre obstruído

pelos átomos ou partículas vizinhas, o resultado final de um grande número destes eventos

pode ser um deslocamento global específico de matéria. Do ponto de vista termodinâmico,

os processos de difusão são irreversíveis, pois aumentam a entropia. Na maioria dos sólidos,

os átomos estão mais fortemente ligados às suas posições de equilíbrio. Contudo, devido às

vibrações térmicas, alguns desses átomos se movem aleatoriamente ao longo da rede e um

grande número de tais movimentos pode resultar num transporte significativo de material.

Denomina-se este movimento de difusão no estado sólido. Mesmo numa substância pura,

um átomo pode mover-se de uma posição para outra no material e este movimento é

conhecido como autodifusão. Numa mistura de mais de um componente, como por exemplo

nas ligas metálicas binárias, ocorre a interdifusão ou difusão de impurezas, isto é, a difusão

de um componente através da rede do outro. 

Como exemplo de como a difusão promove o aumento da entropia ( ),

considere-se a interdifusão dos componentes A e B, de um sistema hipotético A—B, em que

ocorre completa solubilidade na fase sólida. Dois blocos de A e B são colocados em contato

e aquecidos até uma temperatura em que a difusão é facilitada. O bloco A poderia ser rico

em cobre (Cu) e o bloco B rico em níquel (Ni), por exemplo. Provavelmente B se fundirá em

A, e vice-versa, até que seja atingido o equilíbrio. O processo é irreversível e a liga não

voltará à configuração original. 

3.6.1 - Primeira Lei de Fick – Difusão no estado estacionarioO hidrogênio, sendo um átomo muito pequeno (raio atômico 0,46 Å), se difunde

muito rapidamente na lâmina de paládio (raio atômico 1,376 Å e estrutura CFC).

O fluxo J do átomo que se difunde, é positivo da esquerda para a direita, pois a espécie em

difusão se move de uma região de alta concentração   para uma região de menor

concentração  , ao longo de uma distância  . O fluxo J é definido como a

quantidade de massa (m) que passa através de uma área unitária (A) perpendicular à direção

do fluxo (o fluxo é um vetor) por unidade de tempo (t):22 | P á g i n a

 (14.1)

As unidades de fluxo são:

, por exemplo .

Se o fluxo difusivo não variar ao longo do tempo dizemos que se trata de

um estado estacionário. As concentrações   e   são constantes, o gradiente de

concentração   é constante, e, como   >  , o gradiente de concentração é negativo da

esquerda para a direita. O gradiente de concentração é a inclinação da tangente, ou

coeficiente angular, num ponto qualquer sobre a curva conhecida como perfil de

concentração, que é uma curva da concentração C em função da posição (ou distância) do

ponto considerado no interior do sólido, x. A quantidade de massa que passa através da

placa aumenta quando a área A aumenta e quando o gradiente   se torna mais negativo.

O coeficiente de proporcionalidade para este sistema é conhecido

como difusividade ou coeficiente de difusão D. A equação que descreve o fluxo é conhecida

como Primeira Lei de Fick.

3.6.2 - Segunda Lei de Fick – Difusão no estado não-estacionárioQuando a concentração da espécie em difusão varia com o tempo, esta espécie

em difusão se acumulará dentro do volume. Sob condições transitórias, transientes ou não

estacionárias, o gradiente   e, portanto, varia com o tempo de concentração tomados em

três diferentes instantes de tempo,  ,   e  .

Pode-se determinar a variação na concentração com o tempo, durante o processo

de difusão, para qualquer ponto no interior de um sólido, pela determinação da diferença

entre o fluxo que entra e o que sai de um elemento de volume. Se forem considerados dois

planos paralelos separados de uma distância dx, o fluxo que entra no primeiro plano é

e o fluxo através do segundo plano é

23 | P á g i n a

Subtraindo  , teremos:

A variação do fluxo com a distância é igual a 

 Daí obtemos a chamada Segunda Lei de Fick:

Se D não depender da concentração (uma hipótese que deve ser verificada em

cada situação prática), a Equação pode ser reescrita como:

A difusão em um sólido semi-infinito descreve muitas situações de difusão no

estado sólido, em que a concentração C da espécie em difusão varia com a distância x, com

o tempo t e com o coeficiente de difusão D. Conceitualmente considera-se uma barra como

um sólido semi-infinito se nenhum dos átomos em difusão é capaz de atingir a extremidade

da barra durante o tempo gasto para a difusão. Com frequência, a fonte do componente que

está se difundindo é uma fase gasosa, cuja pressão parcial é mantida constante.

A Equação diferencial do Tópico anterior é utilizada para descrever o processo

de difusão. As condições de contorno ou hipóteses devem ser assumidas neste caso:

1-Para  ,   para  .

2-Para  ,   para   e   para  .

A solução da equação diferencial aplicando-se estas condições de contorno, é a

seguinte:

A função   é a integral normalizada de probabilidade ou função de

erro de Gauss. A função de erro de Gauss é definida como:

em que   é a variável z. Os valores da função de erro

de Gauss z=erf(y), como de outras funções matemáticas comuns são tabuladas.

24 | P á g i n a

4- ConclusãoComo vimos no desenvolvimento do tema, a transferência de calor pode acontecer

de três maneiras diferentes, por condução, convecção ou irradiação.

No que diz respeito a transferência de calor por condução, o calor se propaga de

partícula a partícula. Quando seguramos uma barra de metal com uma de suas extremidades

ligada ao fogo, o calor se propaga de partícula a partícula, por toda a barra até atingir a

extremidade oposta.

A transferência de calor por irradiação acontece com a propagação de energia

através do espaço por ondas eletromagnéticas. Neste tipo de transferência a energia não

necessita de meio material para se propagar, já que as ondas eletromagnéticas se propagam

no vácuo, neste caso pode-se observar o forno de microondas que utiliza ondas

eletromagnéticas para aquecer os alimentos.

Já a transferência de calor por convecção ocorre com o movimento das massas

de temperaturas diferentes. Quando aquecemos a água, o recipiente transmite calor para a

parte de água que está no fundo da panela, esta parte se torna mais quente e menos densa,

por este motivo esta porção sobe e a água que está mais fria desce para o fundo da panela.

Este fenômeno vai se repetindo durante o tempo que a água estiver sendo aquecida,

transmitindo o calor por toda a panela.

No que diz respeito a transferência de massa, esta caracterizado pelo movimento

de fluidos, por causa da diferença de densidade, em especial por intermédio de calor. Existe

na química um processo de chamado de decantação onde uma solução insaturada com maior

densidade acumula, por força de gravidade, nas camadas inferiores da solução.

A convecção é o principal meio de transferência de calor e massa. Isso ocorre

tanto através de difusão ou por deslocamento de massa, na qual a matéria ou calor são

transportados pelo movimento de grande escala de correte no fluido.

Em relação à lei de Fick, é uma lei quantitativa que descreve diversos casos de

difusão de matéria ou energia, em um meio que a principio não há equilíbrio químico ou

térmico. Quando existe gradiente de concentração de alguma substancia ou de temperatura,

há a produção de um fluxo de partículas ou de calor, onde há a homogeneização da

dissolução e consequentemente uniformiza a concentração ou a temperatura.

Por ultimo, vale ressaltar que, mediantes os fatos exposto, a importância deste

trabalho para um melhor entendimento da temática na Engenharia Civil, uma vez que os

25 | P á g i n a

conceitos teóricos podem ser aplicados a experimentos práticos, induzindo-nos a uma

melhor reflexão e analise para ameniza possíveis erros que possam vir existir quando na

pratica do engenheiro civil.

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5- Bibliografia Consultada

BENNETT, C. O. Fenômenos de Transportes: Quantidade de Movimento, Calor e Massa.

São Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, 1978.

INCROPERA, Frank P. Fundamentos de Transferência de calor e massa. 7ª Ed. Rio de

Janeiro: Editoria LTC, 2008.

(2004, 03)“Transferência De Calor e Massa”. TrabalhosFeitos.com. Retirado 06, 2013, de

http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Transferencia-De-Calor-e-Massa/163548.html

(2013, 05). Atps Transferência De Calor E Massa. TrabalhosFeitos.com. Retirado 06, 2013,

de http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Atps-Transferencia-De-Calor-e-Massa/

840159.html

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