REMEMBER VI

COD. 955

01. Qual dos valores a seguir não equivale a 0,000 000 357?a) 3,75 . 10 -7 b) 3 ¾ . 10 -7 c) 375 . 10 -9

d) 3 / 8 . 10 -7 e) 3 / 8 . 10 – 6

02. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando são 12h e 25 min é:a) 132°30’ b) 137°30’ c) 150° d) 137°32’ e) 137°

03. Se cada número em um conjunto de dez números é aumentado de 20 unidades, então a média aritmética dos dez números originais:a) permanece a mesma b) é aumentada em 20 unidadesc) é aumentada em 200 unidades d) é aumentada em 10 unidades e) é aumentada em 2 unidades

05. y varia com o inverso do quadrado de x. Quando y = 16, x = 1. Quando x = 8, y é igual a:a) 2 b) 128 c) 64 d) 1 / 4 e) 1024

06. Um feirante compra certa quantidade de laranjas à base de 3 por 10 centavos, e igual quantidade à base de 5 por 20 centavos. Para não ter lucro nem prejuízo, ele deve vender à base de:a) 8 por R$ 0,30 b) 3 por R$ 0,11 c) 5 por R$ 0,18d) 11 por R$ 0,40 e) 13 por R$ 0,50

07. Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu salário, ele só vai readquirir o salário original se tiver um aumento de:a) 20% b) 25% c) 22,5% d) R$ 20,00 e) R$25,00

08. O gráfico de x² - 4y² = 0 é:a) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos xb) é uma hipérbole que corta apenas o eixo dos yc) é uma hipérbole que não corta nenhum dos eixosd) é um par de retase) não existe

09. Um círculo é inscrito em um ∆ de lados 8, 15 e 17. O raio do círculo é:a) 6 b) 2 c) 5 d) 3 e) 7

10. Quantas horas demoram um trem que viaja a velocidade média de 40 km/h, para que percorra a quilômetros se durante o trajeto ele faz n paradas de m minutos cada uma?a) (3 a + 2mn) / 120 b) 3 a + 2mn c) (3 a + 2mn) / 12d) (a + mn) / 40 e) (a + 40 mn) / 40

11. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é:a) todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola

b) todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escolac) algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escolad) algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escolae) nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola

14. O comprimento de um retângulo R é 10% maior que o lado de um quadrado Q. A largura do retângulo é 10% menor que o lado do quadrado. A razão entre as áreas de R e Q é:a) 99 : 100 b) 101 : 100 c) 1 : 1 d) 199 : 200 e) 201 : 200

15. A razão entre as áreas de dois círculos concêntricos é de 1: 3. Se o raio do círculo menor é r, então a diferença entre os raios é aproximadamente:a) 0,41 r b) 0,73 c) 0,75 d) 0,73 r e) 0,75 r

16. O valor de 3 / (a + b) quando a = 4 e b = -4 é:a) 3 b) 3 / 8 c) 0 d) qualquer número finito e) não definida

17. Se log x – 5 log 3 = -2, então x é igual a:a) 1,25 b) 0,81 c) 2,43 d) 0,8 e) 0,8 ou 1,25

18. O discriminante da equação x² + 2x√3 + 3 = 0 é zero. Portanto, suas raízes são:a) reais e iguais b) racionais e iguais c) racionais e distintas d) irracionais e distintas e) imaginárias

19. Dois números cuja soma é 6 cujo valor absoluto da diferença é 8 são as raízes da equação:a) x² - 6x + 7 = 0 b) x² - 6x - 7 = 0 c) x² + 6x – 8 = 0d) x² - 6x + 8 = 0 e) x² + 6x – 7 = 0

20. A expressão √25 – t² +5 se anula para:a) em nenhum valor real ou imaginário de tb) em nenhum valor real de t, mas para alguns valores imaginários c) em nenhum valor imaginário de t, mas para alguns valores reais d) t = 0 e) t = ±5

21. Seja c a hipotenusa de um ∆ retângulo e A sua área. Então altura relativa à hipotenusa mede:a) A / c b) 2A / c c) A / 2c d) A² / c e) A / c²

22. Para pagamento de R$ 10.000,00 um cliente pode optar entre três descontos sucessivos de 20%, 20% e 10% ou

1

04. A igualdade 1x1

1x2

é satisfeita:

a) por nenhum valor real de x b) por x1 ou x2

c) apenas x 1 d) apenas x 2 e) apenas x 0

12. A solução de 5x 1 x 1 2 é:

a) { 2,1 } b) { 2/3 } c) { 2 } d) { 1 } e) { 0 }

13. A fração a4b4

a2b2 é igual a:

a) a6 b6 b) a2 b2 c) a2 b2

d) a2 b2 d) a2 b2

então, três descontos sucessivos de 40%, 5% e 5% Escolhendo a proposta mais vantajosa ele economiza:a) absolutamente nada b) R$ 400,00 c) R$ 330,00d) R$ 345,00 e) R$ 360,00

23. Ao rever o cálculo de moedas do caixa, o atendente contou q moedas de 25 centavos, d de 10 centavos, n de 5 e c moedas de 1 centavo. Mais tarde Mais tarde ele descobre que a moedas de 5 centavos foram contadas como moedas de 25 centavos e que x moedas de 10 centavos, contadas como sendo de 1 centavo. Para corrigir o total o atendente deve:a) deixar o total inalterado b) subtrair 11 centavosc) subtrair 11x centavos d) somar 11 x centavose) somar x centavos

24. A função 4x² - 12x – 1:a) sempre cresce à medida que x cresce b) sempre decresce à medida que x decrescec) não se pode anulard) tem um valor máximo quando x é negativoe) tem um valor mínimo em -10.

25. Um dos fatores de x4 + 2x² + 9 è :a) x² + 3 b) x + 1 c) x² - 3 d) x² -2x – 3 e)n.r.a.

26. Édio tem uma casa que vale R$ 10.000,00. Ele vende a casa para Camila com 10% de lucro. Camila vende a casa de volta para Édio com 10% de prejuízo. Então:a) Édio nem perde nem ganha b) Édio lucra R$ 100,00c) Édio lucra R$ 1.000,00 d) Camila perde R$ 100,00e) Édio lucra R$ 1.100,00

27. Se r e s são raízes da equação x² - px + q = 0 então r² + s² é igual a:a) p² + 2q b) p² - 2q c) p² + q² d) p² - q² e) p²

28. Em um mesmo sistema de eixos são traçados o gráfico de y = ax² + bx + c e o gráfico da função obtida substituindo x por –x na função dada. Se b 0 e c 0 então esses gráficos interceptam-se:a) em dois pontos, um no eixo dos x e um no eixo dos yb) em um ponto localizado fora dos eixosc) somente na origem d) em um ponto no eixo dos xe) em um ponto no eixo dos y

29. Na figura, PA é tangente ao semicírculo SAR; PB é tangente ao semicírculo RTB; SRT é um segmento de reta e os arcos estão indicados na figura. O ângulo APB mede:a) ½ (a – b) b) ½ (a + b) c) (c - a) - (d – b) d) a – b e) a + b

31. Um ∆ eqüilátero de lado 2 é dividido em um triângulo e em um trapézio por uma linha paralela a um de seus lados. Se a área do trapézio é igual à metade da área do triângulo original, o comprimento da mediana do trapézio é:a) √6 / 2 b) √2 c) 2 + √2 d) (2 + √2) / 2e) (2√3 - √6) / 2

32. Se o discriminante de ax² + 2bx + c = 0 é zero, então outra afirmação verdadeira sobre a, b e c é:a) eles formam uma progressão aritméticab) eles formam uma progressão geométricac) eles são distintos d) eles são números negativos

e) apenas b é negativo e a e c são positivos

33. Carine inicia uma viagem quando os ponteiros do relógio estão sobrepostos (apontam para a mesma direção e sentido) entre 8h e 9h da manhã. Ela chega a seu destino entre 2h e 3h da tarde quando os ponteiros do relógio formam um ângulo de 180°. O tempo de duração da viagem é:a) 6h b) 6h 43 7/11 min c) 5h 16 4/11 min d) 6h 30 mine) nra

34. Uma estaca de 6 cm e outra de 18 cm de diâmetro dão colocadas lado a lado como mostra a figura, e amarradas com um arame. O menor comprimento de arame que contorna as duas estacas em cm é:a) 12√3 + 16 b) 12√3 + 7 c) 12√3 + 14

d) 12 + 15 e) 24

35.Três meninos concordam em dividir um saco de bolinhas de gude da seguinte maneira: o primeiro fica com a metade das bolinhas mais uma. O segundo fica com um terço das restantes. O terceiro descobre que desta forma ele fica com o dobro das bolas do segundo. O número de bolas é:a) 8 ou 38 b) não podem ser deduzidos por esses dadosc) 20 ou 26 d) 14 ou 32 e) nra

36. Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal, tem um comprimento interno de 10m e um diâmetro interno de 6m. Se a superfície retangular do óleo dentro do tanque tem área de 40m², então a profundidade do óleo, em metros, é:a) √5 b) 2√5 c) 3 - √5 d) 3 + √5 e) 3 ± √5

37. Um número de três dígitos tem, da esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h > u. Quando o número com os dígitos em posição reversa é subtraído do número original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois dígitos seguintes, da direita para a esquerda, são:a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) impossível calcular d) 5 e 4 e) 4 e 5

38. São dados quatro números inteiros. Escolha três inteiros quaisquer dentre eles e calcule a média aritmética destes, depois some este resultado ao quarto inteiro. Desta forma se consegue os números 29, 23, 21 e 17. Um dos números originais é:a) 19 b) 21 c) 23 d) 20 e) 17

39. Se y = x² + px + q, então se o menor valor possível de y é zero, q deve então valer:a) 0 b) p² / 4 c) p / 2 d) – p / 2 e) p²/4 - q

40. Se b d, então as frações ax + b e b são distintas se: cx + d d a) a = c = 1 e x 0 b) a = b = 0 c) a = c = 0d) x = 0 e) ad = bc

41. Um trem partindo da cidade A até a cidade B encontra um acidente depois de 1 hora. Se ele parasse por meia hora e depois prosseguisse a 4 / 5 da sua velocidade usual, chegaria à cidade B com 2 horas de atraso. Se o trem tivesse percorrido 80 km mais antes do acidente, teria chegado atrasado uma hora apenas. A velocidade usual do trem, em km/h, é:a) 20 b) 30 c) 40 d) 40 e) 50

42. Se a, b e c são inteiros positivos, os radicais √(a + b/c) e

a.√(b /c) são iguais se e somente se:a) a = b = c = 1 b) a = b e c = a = 1 c) c = [b(a²-1)] / ad) a = b e c qualquer valor e) a = b e c = a – 1.

2

30. Cada uma das equações 3x 2 2 25; 2x 1 2 x 1 2 e x 2 7 x 1 têm :

a) duas raízes inteiras b) nenhuma raíz maior que 3

c) nenhuma raíz nula d) apenas uma raíz

e) uma raíz negativa e ooutra positiva

43. Os pares de valores x e y que são soluções comuns das equações y = (x + 1)² e xy + y = 1 são:a) 3 pares reais b) 4 pares reais c) 4 pares imaginários d) 2 pares reais e 2 pares imagináriose) 1 par real e 2 pares imaginários.

44. Em um círculo de centro O é traçado uma corda AB de tal forma que BC é igual ao raio do círculo. CO é traçada e estendida até D. CO é traçada e estendida até D e AO é traçada. Qual das expressões abaixo expressa a relação entre x e y?a) x = 3y b) x = 2y c) x = 60° d) não existe nenhuma relação especial entre x e ye) x = 2y ou x = 3y, dependendo do comprimento de AB.

45.Dadas uma série geométrica com primeiro termo não nulos e razão não nula e uma série aritmética com primeiro termo nulo. É formada a 3ª seqüência 1, 1, 2, . . . pela soma dos termos correspondentes das duas séries. A soma dos dez primeiros termos da terceira seqüência é:a) 978 b) 557 c) 467 d) 1 068 e) n.r.a.

46. Os gráficos de 2x + 3y – 6 = 0; 4x – 3y – 6 = 0; x = 2 e y = 2 / 3 se interceptam em: a) 6 pontos b) 1 ponto c) 2 pontos d) nenhum pontoe) em um número não limitado de pontos

47. As expressões a + bc e (a + b) (a + c) são:a) sempre iguais b) nunca iguais c) iguais quando a + b + c = 1 d) iguais a + b + c = 0 e) iguais somente quando a = b = c = 0.

48. Dado um ∆ ABC com medianas AB, BF e CD; com FH paralela a AF e de igual comprimento. Traça-se BH e HE e estende-se FE até encontrar BH em G. Qual das afirmações a seguir não é necessariamente correta?a) AEHF é um paralelogramo b) HE = HG c) BH = DCd) FG = ¾ AB e) FG é a mediana do ∆BGF

49. Os gráficos de y = x² - 4 e y = 2x se interceptam em:

x – 2

a) um ponto cuja abscissa é 2 b) um ponto cuja abscissa é 0 c) nenhum ponto d) dois pontos distintos e) dois pontos distintos

50. Para poder ultrapassar B que corre a 40 Km/h em uma estrada de pista simples, A que corre a 50 km/h deve adiantar-se a B 8m. Ao mesmo tempo C, que corre em direção a A com velocidade de 50 km/h. Se B e C mantêm suas velocidades, para poder ultrapassar com segurança A deverá aumentar sua velocidade de:a) 30 km/h b) 10 km/h c) 5 km/h d) 15 km/h e) 3 km /h.

GABARITO

01(D) Trata-se de uma questão que envolve números decimais. Temos então que:3/8 = 0,375 e que 3/8x10-6 = 0,000 000 375 ∴ (D) é a alternativa correta.

02(B) Em 25 minutos temos os deslocamentos:O ponteiro Grande (dos minutos) desloca-se: 5 x 30° = 150°. O ponteiro pequeno (das horas) desloca-se: 1/12 do deslocamento do ponteiro dos minutos = 1/12 (150°) = 12,5° ∴ ângulo = 150° - 12,5° = 137,5° = 137°30’.

03(B) Seja x1, x2, . . . , xn os n números cuja média aritmética é A. Então A = (x1 + x2 + . . . + xn) / n.Os n números aumentados de 20 unidades cada um terão uma média aritmética M tal que:M = [(x1 + 20) + (x2 + 20) + . . . + (xn + 20)

] / n =

= (x1 + x2 + . . . + xn) / n + ( 20 + 20 + ... + 20 ) / n = = A + 20.n / n = A + 20. Portanto B é a alternativa certa.

04(E) Multiplicando os dois membros da equação por (x – 1)(x – 2), temos : 2x – 2 = x – 2 ∴ x = 0.

05(D) Temos: y / (1/x²) = k ∴ y = k / x².

Para y = 16 e x = 1 → 16 = k / 1² → k = 16.Então para x = 8 temos: y = 16 / 8² = 1 / 4.

06(B) Considerando as duas compras temos dois preços:1ª) Compra de n laranjas a 3 por R$ 0,10 →(10 / 3) e vender por x, temos: n.x = (10 / 3) n2ª) Compra de n laranjas a 5 por R$ 0,20 →(20 / 5) e vender por x, temos: n.x = (20 / 5) n.Para o cálculo da venda: 1ª + 2ª → 2n. x = 10n /3 + 20n /5 ∴ x = 11 / 3, ou seja, 3 laranjas por R$ 0,11.

07(B) Considere Sn (novo salário) e S (salário original).Temos que: Sn = S – 20%S = S – 1/5 S = 4/5 S ∴S = 5/4 Sn. O aumento necessário é Sn / 4, ou seja, 25% de Sn.

08(D) Fatorando o dado, temos: x² - 4y² = (x + 2y)(x – 2y) = 0 ∴ x + 2y = 0 e x – 2y = 0. Cada uma dessas equações representa uma reta.

09(D) O triângulo de lados 8, 15 e 17 é retângulo. Para qualquer ∆ retângulo pode-se mostrar (veja REMEMBER I – Problema 35) que: a – r + b – r = c ∴ 2r = a + b – c = 8 +

15 – 17 = 6 ∴ r = 3. (Considerar no ∆: c → hipotenusa; a e

b → catetos e r = raio do círculo inscrito).

01.D 11.C 21.B 31.D 41.A

02.B 12.D 22.D 32.B 42.C

03.B 13.C 23.C 33.A 43.E

04.E 14.A 24.E 34.C 44.A

05.D 15.D 25.E 35.B 45.A

06.B 16.E 26.E 36.E 46.B

07.B 17.C 27.B 37.B 47.C

08.D 18.A 28.E 38.B 48.B

09.D 19.B 29.E 39.B 49.C

10.A 20.A 30.B 40.A 50.C

3

10(A) Iniciando com o cálculo do tempo (∆t1) do trem em velocidade média de 40 km/h ( V = 40 km/h) no percurso de a km (∆x = a km) → V = ∆x / ∆t1 ∴ ∆t1 = ∆x / V = a / 40 horas.Cálculo do tempo das n paradas de m minutos (∆t2):∆t2 = (n. m) min = (n. m) / 60 horas.Nº. de horas de demora = ∆t1 + ∆t2 = a / 40 + (n.m) / 60 = ( 3 a + 2mn)/120 .

11(C) A negação consiste em dizer que é falso que “ nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola”, o que é o mesmo de dizer: “algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola”.

12(D) Trata-se de uma equação irracional. Não se pode esquecer no final de fazer à verificação para cada raiz. A princípio transfere-se √x - 1 para o segundo membro e

quadra-se a equação, ou seja:

13(C) Usando uma das propriedades dos produtos notáveis, a² - b² = (a + b)(a – b) , temos:

14(A) As dimensões do retângulo R são: Comprimento = 1,1L e Largura = 0,9L ∴ Áret. = 1,1 . 0,9 = 0,99 L².A área do quadrado de lado L = Aq. = L². Daí então:Aret. / Aq = 0,99L² / L² = 0,99 = 99 / 100.

15(D) Seja R o raio do círculo maior, temos:

16(E) Quando a = 4 e b = -4 temos que: a + b = 0. Logo a expressão não tem sentido para esses valores, pois não se divide por zero.

17(E) Na resolução do problema usaremos a propriedade do quociente entre logarítmos (log a – log b = log a / b); a propriedade do expoente (a log b = log b a) e a definição de logarítmos (logx a = b → x b = a) Lembrar que: a > 0; b > 0 e 0 < x 1, sendo todos reais.

18(A) O discriminante valendo zero (∆ = 0) significa que as raízes são reais e iguais desde que os coeficientes da equação sejam números reais.

19(B) Denominando os números de a e b temos:a + b = 6 e !a – b ! = 8 onde a – b = 8 ou a – b = -8. Formamos então os sistemas: a + b = 6 e a + b = 6 a - b = 8 a - b = - 8 cujas soluções são: a= -1 e b = 7 . Então a equação do 2º grau que admite estas raízes em que Soma = 6 e produto das raízes P = -7 é:

x² - 6x – 7 = 0.

20(A) A equação √ 25 - t² nunca pode ser igual a zero um vez que é a soma de um número positivo com um número não negativo.(Para √ 25 – t² estamos querendo nos referir somente à raiz positiva). Logo (A) é a opção correta.21(B)Como A = ½ h . c ∴ h = 2 a / c.

22(D) Temos um problema de descontos. Vamos operar cada desconto único da forma D = 1 – (1 – i1)(1 – i2)(1 - i3) onde i1, i2 e i3 representam a taxa centesimal de cada desconto sucessivo. Vejamos o desconto de cada proposta:1ª Proposta: Descontos sucessivos de 20%; 20% e 10%. D1 = 1 – (1 – 0,2)(1 – 0,2)(1 – 0,1) = = 1 – (0,8)(0,8)(0,9) = 1 – 0,576 = 0,424 = 42,4%2ª Proposta: Descontos sucessivos de 40%; 5% e 5%. D2 = 1 – (1 – 0,4)(1 – 0,05)(1 – 0,05) = 1 – (0,6)(0,95)² = 1 – 0,5415 = 0,4585 = 45,85%.Verifica-se então que a 2ª proposta é mais vantajosa e temos como economia em relação a 1ª de:(D2 – D1). 10.000 = (3,45%). 10.000 = R$ 345,00.(Veja também outra maneira de resolução modelo REMEMBER I – problema 22).

23(C) A quantia contada em centavos = 25q + 10c + 5n + c.Valor correto = 25(q – x) + 10(c + x) + 5(n + x) + (c – x).A diferença = -25x + 10x + 5x – x = -11x ∴ 11x centavos devem ser subtraídos.

24(E) A função y = 4x² -12x -1 possui como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima, pois a = 4 > 0 cujo ponto vértice V (xv, yv) = (-b /2a; -∆ / 4 a) ∴ xv = 3/2 = 1,5 e yv = - 10 (mínimo).(Veja REMEMBER I- Problema 4) .

25(E) Trata-se de uma questão sobre complementar quadrado perfeito e regra dos produtos notáveis. Fazendo:

26(E) Édio vende com lucro de 10% = = 10.000 + 10%.10.000= 10.000 + 1.000 = R$ 11.000,00Camila vende com prejuízo de 10% sobre preço de compra== 10.000 – 10%.11.000 = 11.000 – 1.100 = R$ 9.900,00. A opção correta é (E), pois na transação Édio ganhou:11.000 – 9.900 = R$ 1.100,00. (Veja REMEMBER II - Problema 5)

27(B) Da equação x² - px + q = 0 temos como coeficientes: a = 1; b = - p e c = q; como soma das raízes (r e s) : r + s = -b / a = p e como produto: r . s = c / a = q. Para o cálculo de r² + s², vamos partir de que r + s = p, quadrar a igualdade, fazer uso de substituições e isolar o pedido do problema. Vejamos como é fácil:(r + s)² = p² ∴ r² +2rs + s² = p² ∴ r² + s² = p² - 2rs = p² - 2q.

28(E) Para x 0, temos: y = ax² + bx + c ax² - bx +c. Para x = 0, temos: y = ax² + bx + c = ax² - bx + c ∴ existe um ponto de interseção (0, c) ∴ (E) é a alternativa correta.

29(E) Trata-se de uma questão que envolve ângulos replementares, ou seja, ]APB + ]BPA = 360° ∴]APB = 360° - ]BPA (veja sempre a figura para acompanhar cálculos). Vamos ao problema:

4

5x 1 2 x 1 quadrando)

5x 1 2 4 x 1 x 1 4x 4 4 x 1

x 1 x 1 quadrando-se x² 2x 1 x 1

x² 3x 2 0 x 1 e x" 2.

Verificação: Para x 1 5.1 1 1 1 4 0 2

2 2 V x 1 é raiz.

Para x 2 5.2 1 2 1 9 1 4

4 2 F x 2 não é raiz.Logo a opção certa é a D .

a4b4

a2b2 a2 b2 a2b2

a2b2 a2 b2 .

Área Círc.menor

Área Círc. maior 1

3r2

R² 1

3R r 3 .

Então a diferença entre os raios R r r 3r r 3 1 r 1,73 1 0,73r

logx5 log3 2 logxlog35 2log x

3 5 2 x

243 102 x 2, 43 (que satisfaz

a condição do log x, que é x0).

x4 2x 2 9 x4 2x 2 9 4x 2 4x 2 x 4 6x 2 9 4x 2 x 2 3

2 2x 2 x 2 3 2x x 2 3 2x

x 4 9 x 2 2x 3 x 2 2x 3 .

x2 2.x2 . 3 36x2

Fazendo ]BPA = ]BPR + ]RPA (que são dois ângulos excêntricos exteriores) temos:

30(B) Resolvendo individualmente cada equação encontram-se os seguintes conjuntos soluções:

31(D) Sejam Am; Ao e Atrap as áreas do triângulo menor; do ∆original e do trapézio. Pelo enunciado Atrap = ½ Ao. Veja pela figura que então: Am = Atrap = ½ Ao, pois Am + Atrap = Ao ∴ Am / Ao = 1 / 2.Usando o teorema das áreas, temos: Am / Ao = DE²/ 2² = 1 / 2 ∴ DE = √2.A mediana m de um trapézio é a média aritmética de seus lados paralelos (suas bases) ∴ m = ( DE + 2) / 2 = = (√2 + 2) / 2.

32(B) Se ∆= 0 temos: (2b)² - 4 a.c = 0 ∴ 4b² - 4 a.c = 0 (:4) ∴ b² - ac = 0 ∴ b² = a.c . Temos que b é média geométrica de a e c, logo (a,b,c) formam uma progressão geométrica.

33(A) Seja x o número de graus que o ponteiro das horas se move entre 8 horas e o começo da viagem e por sua vez é 240° + x o deslocamento em graus do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro dos minutos é 12 vezes mais rápido que o das horas, em qualquer intervalo de tempo, temos:12x = 240°+ x ∴ x = 240° / 11 21,82°

43,6 minutos ∴Horário da saída 8h 43,6minutos.

Para a CHEGADA, entre 2 e 3 horas da tarde, vamos considerar que: (i) seja y = deslocamento do ponteiro das horas entre 2 e 3 horas e (ii) seja 240° + y o deslocamento do ponteiro dos minutos. Como o ponteiro

dos minutos possui velocidades 12 vezes maior no mesmo intervalo de tempo, então: 12y = 240° + y ∴ y = 240°/11 = 43,6min.Daí então, a CHEGADA = 2 h 43,6 min.Logo o tempo da viagem = 2h 43,6min (14h 43,6min) – 8hs 43,6 min = 6 h.

34(C) O menor comprimento consiste nas duas tangentes externas T e nos dois arcos A1 e A2 ∴ m.C = 2T + A1 + A2.Na figura temos: 0102 = 12 cm; No ∆ABC (retângulo) temos: BC // 0102 ∴ BC = 12 cm; AB = (9 – 3)cm = 6 cm ∴12² = 6² + T² ∴ T = 6 √3. Logo 2 T = 12 √3 cm

No ∆DCO2 ≈ ∆DAO1 → DC / O2C = DA / O1A ∴DC / 3 = DC + 6√3 / 9 ∴ DC = 3√3 cm ∴ tg α = CO2 / DC

= √3 / 3 → α = 30° ∴

Arco CE = A1 = 120°/ 360°. 2 .3 = 2 ∴ A1 = 2

e o arco AGB = A2 = 240°/ 360 . 2 .9 = 12 ∴ A2 = 12 ∴ m.C = 12√3 + 14 .

35(B) Considerando que o número total de bolas = b, temos que cada menino pega:

36(E)A área da superfície retangular é dada por: Área = comprimento x largura ∴ 40 = 10.2x ∴ x = 2. No ∆retângulo raio² = y² + x² ∴ 3² = y² + 2² ∴ y = √5 .A profundidade é : 3 - √5 ou 3 + √5 (veja as figuras).

37(B) O número original é 100c + 10 d + u. Quando o número é revestido temos 100u +10 d + c. Como c > u, para subtrairmos, é necessário acrescentar 10 a u (transformar 1 d = 10 ). O mesmo acontece com as centenas e dezenas, ou seja, 10 a d (transformar 1c = 10 d) ∴ 100(c – 1) + 10(d + 9) + u + 10 100u + 10 d + c

100( c – 1 – u ) + 10( d + 9 – d) + ( u + 10 – c ) = = 100(c – 1 – u) + 10 .9 + u + 10 – c.Pelo enunciado do problema: u + 10 – c = 4 ∴ c – u = 6.Então: 100(6 – 1) + 9.10 + 4 = 5.100 + 9.10 + 4 ∴as dezenas d = 9 e as centenas c = 5.

38(B) Considerando os quatro números inteiros e positivos como a, b, c e d e escolhendo sempre três para executar a média aritmética adicionada ao quarto número, formamos o sistema de equações abaixo, que resolvendo por escalonamento temos:

5

Para : i 3x² 2 25 x 3 Si 3

ii) (2x – 1)² (x – 1)² 2x – 1 x 1 ²

2x1 x1 onde:

2x – 1 x – 1 x0

e 2x – 1 - (x – 1) x2 / 3 Sii {0, 2 / 3}

iii) x² 7 x 1 (quadrando a equação, temos)

x² - 7 x – 1 x² - x – 6 0 x’ -2 e x”3.

Como se trata de equação irracional deve-se fazer a verificação

com as raízes encontradas, ou seja:

Parax 2 2 ² 7 2 1 3 3 , F poisnãoexistereal

comraizquadrada negativa. Então 2nãosatisfaz.

Parax 3 3² 7 3 1 2 2 , V

Siii{ 3 }.

Observando os três conjuntos soluções, temos que a opção correta é a (B).

(i) RPA ABAR2

a cx c a2

2cx2

ii BPR BRBM2

b b d bx2

2d x2

Então: BPA 2cx2 2d x

2 c d.

Como APB 360° BPA 360° c dAPB 180° c 180° d a b.

Nota:a)No semi-círculo SAR: a c 180° a 180° cb)No semi-círculo RMT: x b x d 180° b 180° d

1ºmen. b2 1 b 2

2; 2ºmen. 1

3b2

2 b2

6e

3ºmen. 2 b26

b23

.Podemos então armar a

equação: b b 22 b2

6 b2

30b 0.

Portanto o valor de b é indeterminado, podendo assumirqualquer valor inteiro da forma 2 6b para b 1, 2, ...

a b c 3d 87

2c 2d 36

2b 2d 24

2b 2c 8d 192

a b c 3d 87

c d 18

b d 12

b c 4d 96

a b c 3d 87

b d 12

c d 18

b c 4d 96

Fazendo L2 L4 e finalmente L3 L4, temos:

a b c 3d 87

b d 12

c d 18

c 5d 108

a b c 3d 87

b d 12

c d 18

6d 126

d 21

c 3

b 9

a 12

Logo B é a opção

ax bcx d

ba adx bd bcx bd x 1

adbcad bc 0 ad bc b

dac 1

b d ; a c e x 0.A fração terá seu valor alterado somando-se qualquer valor x nãonulo ao seu numerador e ao denominador. Logo (A) é a opção.

a) 1 12

x4v5

x vv 2 4v 2v 5x

4v 4x 4v 8v4v x 6v i

b 1 80v

12 x80

4v5

x vv 1 320 2v 5x400

4v 4x 4v

4v

80 x 2v x 2v 80 (ii).Fazendo (i) (ii),temos: 6v 2v 80 v 20km/h.

Temos: a bc a b

c quad rando a bc a² bc

ac bc a²b

c ac a²b b c b a²1a

2x 3y 6

4x 3y 6

x 2

y 12

Escalonando o sistema, temos:

39(B)

40(A) Se diferenciado as frações dadas, temos:

41(A) Sendo x a distância do ponto do acidente ao final da viagem, e v a velocidade do trem antes do acidente. O tempo normal da viagem, em horas, é dado por:x/v + 1 = (x + v) / v .Considerando o tempo em cada viagem temos:

42(C)

Devemos considerar nas operações abaixo a, b e c sempre números inteiros e positivos.

43(E) Armando um sistema com as duas equações, temos

:44(A) Um modo de resolução do problema usando a propriedade do ângulo externo de um ∆.Na figura, temos:

i) O ∆OBC (é isóscele), pois OB = BC = r (raio) ∴ ] O = ] C = y.ii) O ∆OBC (é isóscele), pois AO = OB = r e ] OBA =

] OAB = 2y pois ] OBA é externo ao ∆OBC.iii) Então ] x = ] OAC + y ( ]x é externo

∆OAC ) ∴ ] x = 2y + y = 3y.

45(A) Sendo a PG (a, aq, aq², . . . ) e a PA ( 0, r, 2r, . . . ) onde PA + PG (1, 1, 2, . . . ), logo: a + 0 = 1 ∴ a = 1 (i); aq + r = 1 ∴ q + r = 1 (ii); aq² + 2r = 2 ∴ q² + 2r = 2 (iii). Em (ii), r = 1 – q que substituído em (iii), temos: q² + 2 – 2q = 2 ∴ q(q – 2) = 0 ∴ q = 0 (não satisfaz) e q = 2.e então r = 1 – 2 = 1.Logo PG ( 1, 2, 4, ... ) ∴ Sn = a1 (qn – 1) / (q – 1)S10 = 1.(210 – 1) / (2 – 1) ∴ S10 ‘= 1 023.

a PA (0, -1, -2, . . . ) ∴Sn = n (a1 + a n) / 2 =n(a 1+(n –1)r)/2∴ S10 = 10( 0 + 9.(-1)) = -45 ∴ S10 “ = - 45.

Assim: S10’ + S10” = 1 023 +(-45) = 978.

46(B) Temos que resolver o sistema abaixo, para determinar o ponto interseção das quatro retas.

Pode-se verificar que x = 2 e y = ½ é solução do sistema. Logo (B) é a opção correta.

47(C) Para que a + bc = a² + ab + ac + bc → a = a²+ ab + ac∴ a + b + c = 1.

48(A) Analisado cada opção, verifica-se: (A) é verdadeira porque FH é paralela a AE.(C) é verdadeira porque, quando se estende HE, que é paralela a CA, esta encontra AB em D. DC e BH são lados correspondentes dos ∆s congruentes ACD e HDB.(D) é verdadeira FG = FE + EG = AD + ½ DB = ¾ AB.(E) é verdadeira porque G é o ponto médio de HB.(B) não pode ser provada a partir da informação dada. Um desafio: que informação é necessária para provar (B)?

49(C) Sendo y = (x²- 4) / (x – 2) = (x – 2)(x + 2) / (x – 2) = x + 2 ( para x 2, ou então y 4; que é a condição de domínio da função) , é uma reta excluindo no ponto (2, 4).A reta y = 2x cruza a reta anterior no ponto que não faz parte do gráfico. Logo (C) é a opção correta. Para melhor entendimento faça os gráficos das funções no mesmo plano.

50(C)

6

1/3 a b c d 29

1/3 b c d a 23

1/3 c d a b 21

1/3 d a b c 17

a b c 3d 87

3a b c d 69

a 3b c d 63

a b 3c d 51

a b c 3d 87

a b 3c d 51

a 3b c d 63

3a b c d 69

ymin 4a 0 0 p² 4. 1. q 0 q p²

4.

Veja REMEMBER I, problema 41)