Resoluo lista FGV Aula 13

01. (ITA 2012) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos.

Ento, o nmero de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada igual a

a. 6. b. 8. c. 10. d. 12. e. 14.

Resoluo:

Moeda de

1 centavo

Moeda de

5 centavos

Moeda de

10 centavos

25 0 0

20 1 0

15 2 0

10 3 0

5 4 0

0 5 0

15 0 1

10 1 1

5 2 1

0 3 1

5 0 2

0 1 2

02. (UFPB 2011) Um produtor de soja deseja transportar a produo da sua propriedade at um armazm

distante 2.225 km. Sabe-se que 2.000 km devem ser percorridos por via martima, 200 km por via frrea, e 25

km por via rodoviria. Ao fazer um levantamento dos custos, o produtor constatou que, utilizando transporte

ferrovirio, o custo por quilmetro percorrido :

100 reais mais caro do que utilizando transporte martimo.

A metade do custo utilizando transporte rodovirio.

Com base nessas informaes e sabendo que o custo total para o produtor transportar toda sua produo ser

de 700 000 reais, correto afirmar que o custo, em reais, por quilmetro percorrido, no transporte martimo

de:

a. 200 b. 250 c. 300 d. 350 e. 400

Resoluo:

Custo martimo: x 100

Custo frreo: x

Custo rodovirio: 2x

( )

Portanto, o custo por quilmetro por transporte

martimo ser: 400 100 = 300 reais

Alternativa: c

Observe a tabela:

Temos 12 possibilidades de troca.

Note que possvel apenas, ter 0, 1 ou 2 moedas de 10

centavos.

Alternativa: d

03. (UFPR 2011) Durante o ms de dezembro, uma loja de cosmticos obteve um total de

R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do ms de janeiro, a loja decidiu dar um

desconto para estimular as vendas, baixando o preo desse perfume em

R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$

1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preo pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:

a. R$ 55,00. b. R$ 60,00. c. R$ 65,00. d. R$ 70,00. e. R$ 75,00.

Resoluo:

Seja n: nmero de perfumes vendidos

p: preo unitrio do perfume

Assim temos:

{ ( ) ( )

De (II) vem: np 10n + 5p 50 = 1000

Substituindo (I) vem: 900 10n + 5p 50 = 1000 5p 10n = 150 p = 30 + 2n (III)

Substituindo (III) em (I) vem:

n.(30 + 2n) = 900 2n + 30n 900 = 0 n + 15n 450 = 0 (n 15).(n + 30) = 0

n = 15 ou n = -30 (no convm)

Com n = 15 unidades, temos:

n.p = 900 15.p = 900 p = 60 reais

Alternativa: b

04. (UNICAMP 2011) Quarenta pessoas em excurso pernoitam em um hotel.

Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada

uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem.

Denotando por x o nmero de homens do grupo, uma expresso que modela esse problema e permite

encontrar tal valor

a. 2400x = (2400 + 64x)(40 x).

b. - 64x)x.

c. 6

d. 6

Resoluo:

}

Cada homem pagou:

Cada mulher pagou:

Como cada mulher pagou 64 reais a menos que cada homem vem:

6

6

( 6 ) ( )

Alternativa: c

05. (FGV 2011) O grfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhes de reais) em 2008 e 2009 de trs

empresas A, B e C de um mesmo setor. A mdia aritmtica dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008

e 2009 das trs empresas foi de aproximadamente:

a. 8,1% b. 8,5% c. 8,9% d. 9,3% e. 9,7%

Resoluo:

Temos que a variao percentual pode ser calculada por:

Assim, o crescimento percentual das empresas foi:

Empresa A:

Empresa B:

6

Empresa C:

Assim, a mdia aritmtica destes crescimentos ser:

6

Alternativa: a

06. (PUCMG 2010) O Cdigo de Trnsito de certo pas adota o sistema de pontuao em carteira para os

motoristas: so atribudos 4 pontos quando se trata de infrao leve, 5 pontos por infrao grave e 7 pontos

por infrao gravssima. Considere um motorista que, durante um ano, cometeu o mesmo nmero de infraes

leves e graves, foi autuado p vezes por infraes gravssimas e acumulou 57 pontos em sua carteira.

Nessas condies, pode-se afirmar que o valor de p igual a:

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

Resoluo:

Seja x o nmero de infraes leves e graves e p o nmero de infraes gravssimas. Assim, nessas condies

temos:

4x + 5x + 7p = 57 7p = 57 9x -

Note que e 57 9x mltiplo de 7. Assim, temos:

Se x = 1

(no convm)

Se x = 2

(no convm)

Se x = 3

(no convm)

Se x = 4

Ou seja, o motorista cometeu 4 infraes leves, 4 infraes graves e 3 infraes gravssimas.

Note que para qualquer valor de x > 4 ( )

Alternativa: c

07. (UFPR 2010) Joo viaja semanalmente de nibus e a esposa costuma ir de automvel a seu encontro na

estao rodoviria de Matinhos, onde ele chega pontualmente, e ambos se encontram exatamente s 18h. Um

dia, Joo chega s 17h30min e resolve andar em direo a sua casa pelo caminho que costuma seguir com a

sua mulher, mas sem avis-la. Encontram-se no caminho, ele sobe no carro e os dois voltam para casa,

chegando 10min antes do horrio de costume. Supondo que sua esposa viajou com velocidade constante e

que saiu de casa no tempo exato para encontrar o marido s 18h na estao rodoviria, assinale a alternativa

que apresenta o tempo, em minutos, que Joo andou antes de encontrar-se com ela.

a. 10. b. 20. c. 30. d. 25. e. 15.

Resoluo:

Seja x em minutos o tempo que Joo andou.

Como ele chegou 30 minutos antes e a esposa o encontrou no meio do caminho, ele andou por menos de 30

minutos.

Assim sendo, Joo andando economizou (30 x) minutos. Por outro lado, sua esposa tambm economizou (30 x) minutos.

O total de tempo economizado pelos dois foi de 2.(30 x) minutos. Segundo o enunciado, eles economizaram 10 minutos.

Logo, 2.(30 x) = 10 30 x = 5 x = 25 minutos.

Alternativa: d

08. (FGV 2010) Na equao x 1 x k

x 2 x 6

, na varivel x, k um parmetro real. O produto dos valores de k para

os quais essa equao no apresenta soluo real em x

a. 10. b. 12. c. 20. d. 24. e. 30.

Resoluo:

Temos

6

ento 6

- - - - -6 6 -6 - -6 -6 - -6 ( - )

Portanto (k 5).x = 2k 6 (I)

Se k = 5 a equao no tem soluo (0 = 4 impossvel)

Temos que a condio de existncia da equao inicial 6

Substituindo x = 2 em (I) vem:

(k 5).2 = 2k 6 2k 10 = 2k 6 -10 = -6 no existe k para x = 2

Substituindo x = 6 em (I) vem:

(k 2).6 = 2k 6 6k 12 = 2k 6 4k = 24 k = 6

Portanto para k = 5 e k = 6 a equao no tem soluo. Logo o produto dos valores de k ser: 5.6 = 30

Alternativa: e

09. (FGV 2010) Deslocando-se a vrgula 4 posies para a direita na representao decimal de um nmero

racional positivo, o nmero obtido o qudruplo do inverso do nmero original. correto afirmar que o

nmero original encontra-se no intervalo real

a. 1 3

,10000 10000

b. 1 3

,1000 1000

c. 1 3

,100 100

d. 1 3

,10 10

e. [1,3]

Resoluo:

x: nmero procurado

Deslocar a vrgula 4 posies para a direita significa multiplicar o nmero por 10.000. Assim, vem:

Alternativa: c

10. (IBMECRJ 2010) Um grupo de amigos, numa excurso, aluga uma van por 342 reais. Ao fim do passeio,

trs deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles 19 reais a

mais. O total de amigos era:

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

Resoluo:

x: nmero de pessoas

Como 3 pessoas no tinham dinheiro, ento x 3 pessoas pagaram 19 reais a mais cada. Assim, temos:

( ) (

)

6

6

(x 9).(x +6) = 0

x = -6 (no convm)

Logo, x = 9

Alternativa: d

11. (FGV 2010) Os anos N1, e N tm 365 dias cada um. Sabendo-se que o 300. dia do ano N uma tera-feira, o 100. dia do ano N1 foi uma

a. segunda-feira.

b. tera-feira.

c. quarta-feira.

d. quinta-feira.

e. sexta-feira.

Resoluo:

Do 100 dia do ano N 1 ao 300 dia do ano N, temos 565 dias.

Mas ou seja, 565 = 7.80 + 5.

Assim sendo em 565 dias h 80 semanas e 5 dias. Ento 80 semanas anteriores ao 300 dia do ano N uma 3

feira. Portanto, 5 dias anteriores a essa 3 feira o 100 dia do ano N 1, ou seja uma 5 feira.

Alternativa: d

12. (FGV 2010) Sendo x um nmero positivo tal que 2

2

1x 14

x , o valor de 3

3

1x

x

a. 52. b. 54. c. 56. d. 58. e. 60.

Resoluo:

(

)

6

Se

(

)

6

Por outro lado,

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

Alternativa: a

13. (FGV 2010) Fatorando completamente o polinmio x9

x em polinmios e monmios com coeficientes inteiros, o nmero de fatores ser

a. 7. b. 5. c. 4. d. 3. e. 2.

Resoluo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Portanto,

( ) ( ) ( )

Assim, a fatorao apresenta 5 fatores

Alternativa: b

14. (MACKENZIE 2009) Vinte apostadores compareceram a uma casa lotrica para participar de um "bolo",

cabendo a cada um pagar ou um mnimo de R$ 10,00, ou um valor maior, mas igual para todos, mltiplo de

R$ 5,00; entretanto, para cada R$ 5,00 de aumento no valor da aposta, haver a sada de um apostador.

Dentre os valores abaixo, para se fazer um jogo de R$ 525,00, cada apostador dever participar em reais, com

a quantia de:

a. 45 b. 50 c. 25 d. 35 e. 105

Resoluo:

Sendo n o nmero de pessoas que no participam do bolo, temos:

20 n apostadores e cada apostador pagou 10 + 5n reais.

Portanto,

( ) ( ) 6

(n 13).(n 5) = 0

n = 13 ou n = 5

Se n = 13 10 + 5n = 10 + 5.13 = 75 reais

Se n = 5 10 + 5n = 10.5.5 = 35 reais.

Dentre os valores apresentados nas alternativas, conclui-se que cada apostador dever participar com 35 reais.

Alternativa: d

15. (UNIFESP 2009) A mdia aritmtica dos nmeros inteiros positivos divisores de 900 (considerando o

nmero 1 como divisor) e que no so mltiplos de 5 :

a. 12. b. 80

.7

c. 90

.8

d. 85

.8

e. 91

.9

Resoluo:

Temos que:

Os divisores de 900 que no so mltiplos de 5 podem ser representados por:

{ } { }

Assim, temos:

Ou seja,

Ento,

6 6

Alternativa: e

1 2 4

3 6 12

9 18 36

16. (INSPER 2009) O valor de

2

2

2009 4

2009 2009 2

igual a

a. 2007

2008. b.

2008

2009. c.

2007

2009. d.

2009

2008. e.

2009

2007.

Resoluo:

Se 2009 = A temos

( ) ( )

( ) ( )

Assim sendo,

Alternativa: a

17. (PUCSP 2008) Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto da Alexandria, considerado o maior algebrista grego

que, acredita-se, tenha vivido no perodo conhecido como o sculo da "Idade da Prata", de 250 a 350 d.C. O

texto seguinte uma transcrio adaptada do "Epitfio de Diofanto", extrado do livro Matemtica Divertida e

Curiosa, de Malba Tahan, conhecido matemtico brasileiro.

Eis o tmulo que encerra Diofanto - maravilha de contemplar!

Com um artifcio aritmtico a pedra ensina a sua idade:

"Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodcimo na adolescncia; um stimo,

em seguida, foi passado num casamento estril. Decorreu mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho.

Mas esse filho - desgraado e, no entanto, bem amado! - apenas tinha atingido a metade do total de anos que

viveu seu pai, quando morreu. Quatro anos ainda, mitigando a prpria dor com o estudo da cincia dos

nmeros, passou-os Diofanto, antes de chegar ao termo de sua existncia."

De acordo com as informaes contidas no epitfio, o nmero de anos vividos por Diofanto foi

a. 64 b. 72 c. 78 d. 82 e. 84

Resoluo:

Juventude Adolescncia Casamento

estril

Anos vividos

pelo filho

Estudo das cincias

dos nmeros

6

5

4

Ento,

6

6

6 6

Alternativa: e

18. (FGV 2008) O menor valor inteiro de k para que a equao algbrica 2x (kx - 4) - x2

+ 6 = 0 em x no

tenha razes reais

a. -1. b. 2. c. 3. d. 4. e. 5.

Resoluo:

( ) 6 6 ( ) 6 ( )

Para que a equao (I) no apresente razes temos:

Portanto, 64 4.(2k 1).6 < 0 64 48k + 24 < 0 -48k + 88 < 0 !

!

6

Como k inteiro, temos que o menor valor de k 2.

Alternativa: b

19. (FGV 2008) Seja uma sequncia de n elementos (n >1), dos quais um deles 1 -

1

n

, e os demais so

todos iguais a 1. A mdia aritmtica dos n nmeros dessa sequncia

a. 1.

b. n -

1

n

.

c. n - 2

1

n

.

d. 1 - 2

1

n

.

e. 1 -

1

n

- 2

1

n

.

Resoluo:

A sequencia apresenta (n 1) elementos iguais a 1 e um nico elemento igual a

. Assim, a mdia dos

elementos ser:

( )

(

)

Alternativa: d

20. (FUVEST 2008) Sabendo que os anos bissextos so os mltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi

segunda-feira, o prximo ano a comear tambm em uma segunda-feira ser

a. 2012 b. 2014 c. 2016 d. 2018 e. 2020

Resoluo:

Em um ano de 365 dias, temos 52 semanas mais 1 dia, pois

Em um ano com 366 dias (bissexto) temos 52 semanas mais 2 dias, pois

Assim sendo vem:

Data Dia da semana Dias a serem somados

01/01/2007 2 feira +365

01/01/2008 3 feira +366 (ano bissexto)

01/01/2009 5 feira +365

01/01/2010 6 feira +365

01/01/2011 Sbado +365

01/01/2012 Domingo +366 (ano bissexto)

01/01/2013 3 feira +365

01/01/2014 4 feira +365

01/01/2015 5 feira +365

01/01/2016 6 feira +366 (ano bissexto)

01/01/2017 Domingo +365

01/01/2018 2 feira

Portanto, o prximo ano a comear na 2 feira ser o ano de 2018.

Alternativa: d

21. (UNIFESP 2008) O nmero de inteiros positivos que so divisores do nmero

N = 214

353

, inclusive 1 e N,

a. 84. b. 86. c. 140. d. 160. e. 162.

Resoluo:

( ) ( )

Portanto, os divisores de N podem ser apresentados por:

{ } { } { 6 }

Assim, utilizando o princpio fundamental da contagem, o total de divisores de N : 5.4.8 = 160 divisores.

Alternativa: d