12. Apêndices e Respostas

APÊNDICE A Momentos de Áreas

APËNDICE B Propriedades Típicas de Materiais Mais

Usados na Engenharia

APÊNDrcE C Propriedades de Perfis de Aço Laminadof

APENDICE D Flechas e Inclinações de Vigas

APÊNDICE E Características Geométricas de Figuras Planas

APENDICE F Prefixos e Unidades SI

+Cortesia do American Institute of Steel Construction, Chicago, IIlinois.

722

ILJ

733

735

741

742

-ÀiI +.+

ì.*,

ffimremsruffimm #w &wwmm

A.1. MOMENTO ESTATICO DE UMA AREA:cENTRoTDE DE UMA Ánen

Considere uma área A locahzada no plano ry (Fig. A.l). Chamando de x ey as coordenadas de um elemento de área dÁ, definimos o momento estático dadrea A em relação ao eixo Í como a integral

(4.1)

De modo semelhante, o momento estático da órea A em relação ao eixo y édefinido como a integral

(A.2)

Observamos que cada uma dessas integrais pode ser positiva, negativa, ou zero,dependendo da posição dos eixos de coordenadas. Se forem usadas as unidadesSI, os momentos estáticos Q" e Qn serão expressos em m3 ou mm3; se foremusadas as unidades inglesas, os momentos serão expressos em pés3 ou pol3.

O centróide da área Á é definido como o oonto C de coordenadas x e v(Fig. A.2), que satisfaz as relações

Q,: lvdAt

. : .:'. :.' . .. llt '., .

Qr,= | x dA

.: [ . - . . . . . ' . . . . : . . . : . ' .

1,';';69;;="ÁÍ (4.3)

Comparando as Equações (A.1) e (A.2) com as Equações (4.3), notamos queos momentos estáticos da área A podem ser expressos como os produtos da áreapelas coordenadas de seu centróide:

l ,vdA:Av

O.: Ay O., : ,4Í (A 4)

723

724 Rsistência dos Materiais

Quando uma área possui um eixo de simetria, o momento estático da áreaem relação àquele eixo é zero. De fato, considerando a área A da Fig. A.3, que ésimétrica em relação ao eixo y, observamos que para cada elemento de área dAde abscissa x corresponde um elemento de área dA' de abscissa -x. Conclui-seque a integral na Equação (A.2) é zero e portanls, Q, : 0. Conclui-se tambémda primeira das relações (4.3) que x : 0. Assim, se uma iírea Á possui um eixode simetria, seu centróide C está localizado naquele eixo.

(a)

Fig. A.4

Como um retângulo possui dois eixos de simetria (Fig. A.4a), o centróideC de uma iírea retangular coincide com seu centro geométrico. Da mesma forma,o centróide de uma área circular coincide com o centro do círculo (Fig. A.4b).

Quando uma área possui um centro de simetria O, o momento estático daiírea em relação a qualquer eixo que passe pelo ponto O é zero. De fato, con-siderando a árrea A da Fig. A.5, observamos que para cada elemento de área dAde coordenadas x e y corresponde um elemento de iírea dA' de coordenadas -re -y. Conclui-se que as integrais nas Equações (A.1) e (A.2) são ambas iguaisazeÍo, e que Q,: Q, :0. Segue-se também das Equações (A.3) que i : y : 0,ou seja, o centróide da fuea coincide com seu centro de simetria.

Quando o centróide C de uma iírea pode ser localizado por simetria, o mo-mento estático daquela áreaem relação a qualquer eixo pode ser facilmente obtidodas Equações (A.4). Por exemplo, no caso da ârea retangular da Fig. A.6, temos

Q,: ,4' : (bh)(+h) : |bh2

Qn: Ax : (bh)(+b) : +b2h

Em muitos casos, no entanto, é necessário executar as integrações indicadas nasEquações (4.1) até (4.3) para determinar os momentos estáticos e o centróidede uma área. Embora cada uma das integrais envolvidas seja na realidade umaintegral dupla, é possível em muitas aplicações selecionar os elementos de iíreadA na forma de faixas estreitas horizontais ou verticais, e assim reduzir os cál-culos das integrações em uma única variável. Isso está ilustrado no Exemplo A.1.Os centróides de formas geométricas mais usadas estão indicados em uma tabelano Apêndice E.

Fig. 4.3

Fig. 4.5

- - f -

Ia: tnLW

Fig.4.6

Aoêndicê A Momentos de Áreas 725

Para a área triangular da Fig. 4.7, determine (a) o momentoestático Q, da ánea em relação ao eixo x, (b) a ordenada y docentróide da ârea.

(a) Momento Estático Q*. Selecionamos, como umelemento de írea, uma faixa horizontal de comprimento ,l e es-pessura dy, e notamos que todos os pontos dentro do elementoestão à mesma distância y do eixo.r (Fig. 4.8). Por semelhançade triângulos, temos

h-ydA:udv:b . dv'h

O momento estático da átrea em relação ao eixo x é

IFig. 4.7

u h'y .h-y; : , u:o-bhh

Q,: lvan:JA-

bl v2-t h ' - -ht2

fo, t -y bfol rb- ; 'ay: ï l ínt- f )at

Jo ' " ' - to

.,3 'l I

?1, Q,: àbh'

(b) Ordenada do Centróide. Recordando a primeiradas Equações (A.4) e observando que Á : jbfr. te-os

Q,: Ay àbh'z : (ibh),

- t .

v: ih

A.2. DETERMTNAçÃO DO MOMENTO ESïÁflCO E CENTROTDEDE UMA AREA COMPOSTA

Considere uma iírea A, como a fuea trapezoidal mostrada na Fig. 4.9, quepode ser dividida em formas geométricas simples. Como vimos na seção ante-rior, o momento estático Q, da fuea em relação ao eixo Í é representado pela in-tegtal ! y dA, que se estende sobre toda a área A. Dividindo Á em suas partescomponentes Av Az, Á3, escrevemos

n,: Io, ^ v dA + Io,, oo * lo., oot

- l- lJo,

ou, lembrando da segunda das Equações (4.3),

Q,: AJt + Atl, + Azyz

onde y1, lze lz representam as ordenadas dos centróides das áreas compo-nentes. Estendendo esse resultado para um número arbitrário de áreas com-

726 Resistência dos Materiais

ponentes, e observando que pode ser obtida uma expressão similar para e,escrevemos

Qr: ) A,x, (A.s)

Para obter as coordenadut x e 7 do centróide c da iírea composta A, subs-tituímos Q, : AY e Qo : ÁÍ nas Equações (4.5). Temos

AV: !Z-J

i

Atyt N(:

Resolvendo parax e 7 e lembrando de que a ráreaÁ é a soma das iíreas com-ponentes Á;, oSCÍoveÍ[os

(

2 e,,,í

u:# 2 e,t,u: j ; (4.6)

Localize o centróide C da ârea A mostrada na Fig. A.10.

Dimensões em mrn

Fig. A.10

Selecionando os eixos de coordenadas mostrados na Fig.4.11, notamos que o centróide C deve estar localizado no eixoy, pois esse é um eixo de simetria; portanto Í : O.

Dividindo Á em suas partes componentes Á1 e Á2, usâmosa segunda das Equações (A.6) para determinar a ordenada Ído centróide. O cálculo é feito mais facilmente construindo umatabela.

T-20ü

ï-I

60

IIl

-T120Y

Dimensões em mm

Fig.4.11

Área, mm2 A,Y,,mmg

2 e,t,Ì : '

)a,

184 X 103 mm3

Il2 x 10372 x 103

184 x 103

4 x 103 mmz:46mm

Com referêncía a área A do Exemplo A.2, consideramos o eixohorizontal r' passando pelo centróide C. (Um eixo assim échamado de eixo central.) Chamando de A, a parte de Aloca-lizada acima daquele eixo (Fig. A.l2), determine o momentoestático de A' em relação ao eixo x'.

Fig. A.12

Solução. Dividimos aâreaA'em seus componentes Á1e A, (Fig. A.l3). Lembrando do Exemplo A.2 que C está lo-calizado 46 mm acima da borda inferior de Á, determinamosas ordenadas yl e yl de A, e A., e expressamos o momento es-tâtico Q',, de A' em relação a x' da seguinte maneira:

Q,:Aty|+Aryi: (20 x 80X24) + (14 x 40X7) : 42,3 x 103 mm3

Solução Alternativa. primeiro observamos que, comoo centróide C de A está localizado no eixo x,, o momento es-tâtìtco Q,, da órea inteira A em relação àquele eixo é zero:

Qt:Ay' :A(0):0

Chamando de A" a parte de Alocalizada abaixo do eixo x' epot Q':,seu momento estático em relação àquele eixo, temosponanto

Q,, : Q',, + Q':,, :o ou a',, : -Oi

que mostra que os momentos estáticos de A, e A,, têm o mesmovalor e sinais contriários. Referindo-nos à Fig. A.14, escreve-mos

Q'i : üyL: (40 x 46)(-23) : -42,3 x 103 mm3

e

I

Apêndice A Momentos de Áreas 727

40

Dimensões em mm

Fig. A.13

Dimensões em mm

Fig. A.14

Q',' : -Q'i : +42,3 x 103 mm3


4.3. MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM OU MOMENTODE rNÉRCtA DE UMA ÁRen; RAIO DE G|RAçÃO

Considere novamente uma área A localizada no plano ry Gig. A.l) e o ele-mento de fuea dA de coordenadas Í e y. O momento de segunda ordem, ov mo-mento de inércia, da fuea Á em relação ao eixo x, e o momento de segundaordem, ou momento de inércia, de Á em relação ao eixo y são definidos, res-pectivamente, como

(4.7)

Essas integrais são chamadas de momentos retangulares de inércia, pois elas sãocalculadas por meio das coordenadas retangulares do elemento dA. Embora cadaintegral seja realmente uma integral dupla, é possível em muitas aplicações se-lecionar os elementos de 6trea dA na forma de faixas estreitas horizontais ou ver-ticais, e assim reduzir os cálculos das integrações em uma única variável. Issoestá ilustrado no Exemplo A.4.

Definimos agora o momento polar de inércia da árreaÁ em relação ao pontoO (Fig. A.15) como a integral

' .: Ino ^ \ : [n* ae

,o: Ior'ae

: [^t*

+ yz) dA : Il

ae + [^f at

Io=

onde p é a distância de O ao elemento dA. Embora essa integral seja novamenteuma integral dupla, é possível, no caso de uma iírea circular, selecionar elemen-tos de rírea dAnaforma de finos anéis circulares, e assim reduzir os cálculos deJo a wa única integração (veja o Exemplo A.5).

Observamos com as Equações (4.7) e (A.8) que os momentos de inérciade uma iírea são valores positivos. Se forem usadas as unidades SI, os momen-tos de inércia serão expressos em mo ou mma; se forem usadas as unidades in-glesas. eles serão expressos em péa ou pola.

Pode ser estabelecida uma importante relação entre o momento polar de inér-cia Jo de uma dada área e os momentos retangulares de inércia I, e I, da mesmaiárea. Observando que p' : x2 * y2, escrevemos

1,,tturÁ. .. :

(A.8) Fis' A'15

JaàI*+Iy (A.e)

O raio de giração de uma 6rea A em relação ao eixo x é definido como ovaÌor r,, que satisfaz a relação

I " : r f ,A (4.10)

Apêndice A Momêntos de Áreas 729

onde 1, é o momento de inércia de Á em relação ao eixo Í. Resorvendo a Equfção(4.10) para r_,, temos

_\

f* : (4.11)

De maneira similar, definimos os raios de giração com relação ao eixo y e aorigem O. Escrevemos

I r : r le

Jo: r2oA'

Substituindo J6, I, e 1, em termosEquação (4.9), observamos que

t\' , : tJ o

(4. l2)

nto: Ve

(A'13)

dos raios de giração correspondentes na

,3: ,1+ ,1, (4.14)

Para a ârea retangular da Fig. A.16, determine (a) o momentode inércia I"daárea em relação ao eixo central x, (b) o raio degiração correspondente r".

(a) Momento de Inércia 1,. Selecionamos como umelemento de ârea uma faixa horizontal de comprimento à e es-pessura dy (lFig. A.17). Como todos os pontos dentro da faixaestão à mesma distância y do eixo Í, o momento de inércia dafaixa com relação àquele eixo é

dI,: ,z dA : y2(b $,)

Integrando de y : -h/2 até, y : +h/2, escrevemosFig.4.16

,.: I^f ae: [_1,,'t @ ay) : !b]y,l:i/Â

:'-(ç . +)(b) Raio de Giração r,. Da Equação (A.10), temos

r,: rlA $un3 : r|çan1

e, resolvendo para r*

ra

I-d l l

7:ilt ffircb<tosMdeÍiais

l.Para a área circular da Fig. A.18, determine (a) o momentopolar de inércia Jo, (b) os momentos retangulares de inércia 1,e Ir'

(a) Momento Polar de Inércia. Selecionamos comoum elemento de iárea um anel de raio p e espessura dp (Fig.A.l9). Como todos os pontos dentro do anel estão à mesma dis-tância p da origem O, o momento polar de inércia do anel é

dJo : p2 dA : p2(2np dp)

Integrando em p de 0 a c, escrevemos

Jo : )trca

(b) Momentos Retangulares de lnércia. Devido àsimetria da rírea circular, temos 1, : 1r. Lembrando da Equação(4.9), escrevemos

Jo: I , i I r :21,

e portanto

Inca :21,

I* : Iy:)nca

t,: [^t

ae : l,' o,{z,p dp) : zn

lo" o, ao

Os resultados obtidos nos dois exemplos anteriores, e os momentos deinércia de outras formas geométricas mais usadas, estão listados em uma tabelano Apêndice E.

A.4 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

Considere o momento de inércia 1, de uma átrea A em relação a um eixo ar-bitrrírio x (Fig. A.20). Chamando de y a distância de um elemento de rárea dA atéaquele eixo, lembramos da Equação A.3 que

,r: b'^Fig.4.20

Vamos agora traçar o eixo central.r', isto é, o eixo paralelo ao eixo r que passapelo centróide C da iírea. Chamando de y' a distância do elemento dA até aqueleeixo, escrevemos y : y' + d, onde d é a distância entre os dois eixos. Substi-tuindo y na integral que representa 1,, escrevemos

I* :

I , : dA+ +d2 (4.1s)

rlv 'Í

I v' '

ae: !o0'

+ d)zdA

zd [ot'

de I^^A primeira integral na Equação (A.15) representa o momento de inércia 1,, daárea em relação ao eixo central x'. A segunda integral representa o momento

Apêndice A Momentos de Áreas 731

estático Qi da ârea em relação ao eixo x' e é igual a zero, porque o centrófde cda área está localizado naquele eixo. De fato, lembramos da Seção A.t qu\

Q,,:Ay' :Á(o) :o

Finalmente, observamos que a última integral na Equação (A.15) é igual à ráreatotal A. Temos portanto

Ir : Ì r '+Adz (4.16)

Essa fórmula expressa o fato de que o momento de inércia I,de uma áreaem relação a um eixo x arbitriírio é igual ao momento de inércia Ì,, da fuea emrelação ao eixo central x' paralelo ao eixo x, mais o produto Adz da iírea Á e doquadrado da distância d entre os dois eixos. Esse resultado é conhecido comoteorema dos eixos paralelos. Ele permite determinar o momento de inércia deuma área em relação a um eixo, quando é conhecido seu momento de inérciaem relação a um eixo central de qresma direção. Reciprocamente, ele permitedeterminar o momento de inércia 1,, de uma fuea A em relação a um eixo cen-tral x' , quando é conhecido o momento de inércia I, de A em relação a um eixoparalelo, subtraindo de 1, o produto Ad2. Devemos notar que o teorema dos eixosparalelos pode ser tsado somente se um dos dois eixos envolvidos for um eixocenlral.

Pode ser deduzida uma fórmula similar, que relaciona o momento polar deinércia "r, {e uma área em relação a um ponto arbitriírio o e o momento polarde inércia J6' da mesma área em relação ao seu centróide c. chamando de d adistância entre O e C, escrevemos

Jo: Jc + Adz (A.r7 )

A.5. DETERMTNAçÃO DO MOMENTO DE tNÉRCtADE UMA AREA COMPOSTA

Considere uma área composta Á formada por viírias partes Á1, Á, etc. Comoa integral que representa o momento de inércia Á pode ser subdividida em inte-grais que se estendem sobre Á,, A2etc., o momento de inércia de Á em relaçãoa um eixo será obtido somando-se os momentos de inércia das iíreas A1, A2 etc.,em relação ao mesmo eixo. o momento de inércia de uma área composta porviírias formas mais usadas, mostradas no Apêndice E, pode então ser obtido pormeio de fórmulas dadas naquelatabela. No entanto, antes de somar os momen-tos de inércia das ríreas componentes, deverá ser usado o teorema dos eixos para-lelos para transferir cada um dos momentos de inércia para o eixo desejado. Issoestá ilustrado no Exemplo A.6.

732 Rsistêrrcia dos Matertais

Determine o momento de inércia I" da ârea mostrada em re-lação ao eixo central -r (Fig. A.21).

Localização do Centróide. Primeiro deve ser loca-lizado o centróide C da área. No entanto, isso já foi feito noExemplo 4.2 para a área dada. Recordamos daquele exem-plo que C estâ localizado 46 mm acima da borda inferior daárea A.

Cálculo do Momento de lnércia. Dividimos a áreaÁ nas duas áreas retangulares Á1 e A2 (Fig. A.22), e calculamoso momento de inércia de cada átrea em relação ao eixo x.

Área Retangular A1. Para obtermos o momento deinércia (1)r de A1 emrelaçáo ao eixo.r, primeiro calculamoso momento de inércia de A1 em relação ao seu próprio eixocentral x'. Lembrando da fórmula deduzida na parte a doExemplo 4.4 para o momento central de inércia de uma árearetangular, temos

(1,,), : +bh' :;(80 mmx20 mm)3 : 53,3 x 103 mma

Usando o teorema dos eixos paralelos, transferimos o momentode inércia deÁ1 de seu eixo central x' para o eixo paralelox:

(rJ' : (r",)' + Ad? : fi,3 x 103 + $0 x 20)(24)2

:975 x 103 mma

Área Retangular A2. Calculando o momento de inér-cia de A, em relação ao seu eixo central -/', e usando o teoremados eixos paralelos para transferi-lo para o eixo x, temos

(Í,.)r: iun' : rr1+o;1eo;3 : 720 x lo3 mma

(1,)r: (Ì,"), + ArdZ: 720 x 103 + (40 x 60x16)'z

: 1334 X 103 mma

Área Total A. Somando os valores calculados para osmomentos de inércia de Á1 e A2 em relação ao eixo x, obtemoso momento de inércia 1, da área total:

: (D' + (1,)2: 975 x lo3 + 1334 x 103

: 2,31 x 10Ó mma

Dimensões em mrrr

Fig. A.21

Dimensões em mm

Fig.4.22

Ì,

Ì,

x

\

Apêndice B Propriedades Típicas de Materiais Mais Usados na Engenharìa 733

Apêndice B. Propriedades Típicas de Materiais Mais usados na Engenharial,5(Unidades Sl)

\\

Urrrfle ie Resisifuofa

módltti deilódulo de Elactici- :

Êlqstici- dade .dadg, Transver- .GPe sât liPr lMFa sãor. lttPâ MPa

açoEstrutural (ASTM-A36)Baixa liga e aita resistência

ASTM-A709 Classe 345ASTM-4913 Classe 450ASTM-4992 Classe 345

Temperado e revenido

ASTM-4709 Classe 690'ïïÏi.i;ïË'Média Resistência .

Alta Resistência

Ferro Fundido

Ferro Fundido Cinzento

4,5Vo C, ASTM A-48

Ferro Fundido Maleável

2Vo C, lTa Si, ASTM A-47

7860

7860

7860

7860

7860. . . : '

1924792A

78607860

'72M

7300

27tO

2800

2800

?63A

27tA

2800

Cobre

Cobre livre de Oxigênio (99,97o Cu)

Recozido 8P10

Trefilado a frio 8910

'l'ffiffiïï:':'" 35% zn) 8È470

Recozido 8470

Latão Vermelto (85Ío Cu, lïVo 7-tt)

Laminado a frio 8740

Recozido 8'740

Liga (88Vo Cu,87o Sn,4Vo Zn) 8800

Liga (63% Ca,257o Zn,

67a Al,37o Mq37o Fel 8360

Liga

(8 1 7o Cu,, 44o Ni, 4Vo Fe, llTo Al) 8330

400

450

550

450

760

110

345

,1:,::.:,trQ,455:*.,9,21 { .

zffi,5?0

220

390

5i0

.32O

.5,95,:27O310

655

620

330

70.^^. . .,/.tJ ..

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I

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150

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200 11,2

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44

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16,9

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20,9 '8. l

2fi,9 ' .ó5 i

18J 3

18.7' 4s

18,0 30

45

2t,6

16,2

20

6

734 Reistência dos Materiais

Ligas de Magnésio

Liga AZ80 (Forjado)

LrgaAZ3l (Extrudado)

Liga Monel 400 (Ni-Cu)Trabalhado a frìoRecozido

Madeira, seca ao ar+

Douglas fir

Spruce, Sitka

Shortleaf pine

Wesçrn white prne

::rtqeros_â pÌft€

ìwntte oax

lì::r:ilk'[,115çy::::' ì.:::r:: ':.: ', ::::]', ]::]

Western hemlock

Shagbark hickory

Redwood

Plásticos

Nr4ilon, tipo 6/6 (composto moldado)

Policarbonato

Poliéster PBT (termoplástico)

Elastômero ternioplástico de poliéster

Poliestireno

Vinil. PVC rígido

Borracha

Granito (valores médios)

Miírmore (valores médios)

Arenito (Valores módios)

Vidro.987o Sílica

Apêndice B. Propriedades Típicas de Materiais Mais Usados na Engenharial,5(Unidades Sl)

18001770

:;:';:;;1'1;,;,

,:,41jffi

88308830

410415s00

':,'.,',: 'i90

440720415

) \ )1<)

o

I2

1t4012001340

:,:'t2oo,.'10rp:.r','144d1.

9102'17027'7023002190

' . uu

v^v

1M 50t22 110135 150

I :.1,:ì,., :,t,] ì t:ii:ri.li::. li:tì::r:500t:

t -< ' ' a

:::,l:r::Ie5::rar,r;:rt:ì::i:l:ì4S162 6001')

ln R

qo

80

I As propriedades dos metais vriam muito em função das diferenças na composição, no tratamento témico e no trabalho mecânico.2 Pma metais dúcteis, a resislência à compressão geralmente é considerada como sendo igual à resistência à tração.- LreSlOCamenÌO Oe U.l70.t As propriedades das madeiras são ptra cmegmentos pralelós às fibras.5 Veja tmbém Mark's Mechanícal Engineeríng Handbook, 10th ed., McGraw-Hill, New York, 1996 Annual Book os ASTM, American Society for Testing Materials,Philadelphia, Pa.i Metals Handbook, Ameicm Society for Metals, Metals Ptrk, Ohio; e Alumìnum Design Manual, The Americân Association, Washington, DC.*N.R.T. - Manteve-se os nomes das madeiras em inglês por se trdÍarem de mad.eiras típicas do hemisfério norÍe, com característicqs diferentes das madeíras enconÍrqdqs noBruil. Consulte a página do livro no site da McGraw-Hill parq localizar um relaçõo de madeirqs típicas brasileiras.

--I

Apêndice C Propriedades de PerÍis de Aeo Laminado 735

Apêndice C. Propriedades de PerÍis de Aço LamÍnado(Unidades Sl)

Perfis W(Perfis de Mesas Largas)

'{ ï

ï rTI-./ x--ffi-x

*ÍlI- r,,

'Fi5lv ll- br1

Área AlturaDesignaçãof Á, mm2 4 mm

MesaÊspes-sura daAlmaÍ., mm

Eixos X-X Eixos Y-YEspes-

Largura surab1, mm ÍÍ, mm í'o.,,'.,.o íó,o,'.,. f, lo..nn'o lnot,nn,. fi,.,.,

w920 x 446201

w840 x 299176

wl60 x 257141

w6g0 x 217125

v/610 x 155101

v/530 x 150a)66

w460 x 1581137452

w410 x 1148560

46,r38,8

w360 x 5512t6122to17964

51,84439

1?q

57000 93325600 903

38100 85522400 83532600 17318700 153

?7100 69516000 678

19700 61 113000 603

19200 5431 1800 5338370 525

20100 17614400 4639450 1s76630 450

14600 420* 10800 4r7?580 4015890 4034gg0 39g

70100 45t27600 37515500 36312900 3sl10100 354qH! 347

,t1na , 35s5730 3524980 3534170 349

42,1020,10

29,2018,80

21,1017,00

24,8016,30

19,0014,90

)ì qo17,3014,5010,80

19,3018,2012,801r,208,80

67,6021,1021,7018,3016,8013,50I 3,109,80

10,708,50

203ar5,6011.40

423304

400292

381265

JJ)

253

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312209165

284280190152

26r181118140140

418ìo/

2512s5205203r72t7112812'l

18,214,0

15,010,89,07,6

11,610,9

7,06,4

a)or1,31ìO

t t t ì

9,4

7,96,9

ìX

24,015 ?

16,6

15,4lt,1

12,110,51':, 1

10,28,9

8470 182003250 720047so liDoü2460 58903420 88501660 4410

2340 67301190 35101290 4220164 2530

1010 3720s5.2 2CI70351 1340

796 33405s6 2400333 14602t2 942462 2200315 1510216 1060156 174127 63',7

2260 9930112 3800365 2010302 1690227 1280178 1030161 899122 693102,0 57882,7 414

185156

]31

J24298

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,-29216105

t99t96r88179

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806l53JJ

50

484946434l

540 2550 97,394,4 621 60,1

3r2 ,1560 90,578,2 536 59.1

250 13105? q ?oo

185 104044,1 349

108 667)q 5 ?sq

103 660 73,223,8 228 44,98,57 104 32,0

91,4 644 67,463,3 452 66,316,6 r75 4r,96,34 83,4 30,9

51,2 438 62.618,0 r99 40,812,1 t36 40,05.14 73,4 29,54,04 57,7 28,5

825 3950 108283 1440 1016r,5 479 63,050,6 397 62,624,2 236 48,918,9 186 48,211,1 129 39,28,18 95,1 37,83,15 58,6 27,42,91 45,8 26,4

81,657)

81,752,5

14,047,6

fUm perÍìl de mesa larga é designado pela letra W seguida pela altura nominaì em milímetros e a massa em quiloqramas Dor meúo.


Apêndice C. Propriedades de Perfis de Aço Laminado(Unidades Sl)

PerÍis W(Perfis de Padrão Americano)

Área AlturaDesignaçãof 4mm' 4mm

MesâE$is.'Súlã:rda.trfu4'..,r'üt,'rnú,.'

Eixos Y-YEspes-

Largura . sura.Dr, flìm " Í6 ÍYlÍÌt

lvwy+í06 mma 1d mm3 mm

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21300 28g12900 264'10200 2568s80 2517420 2526250 2475120 266

JZ3

3lt310

?p33,1'83,13

719,A,fft0,5690

r43r0774

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5849,144,8

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32.7 418028,4 363022,3 2850

w200 x 86 11000]t 910059 756052 6660

qeJ 5860'4t,7 531035,9 4s8031,3 400026,6 339022,5 286019,3 2480

wl50 x 37.1 4730 16229.8 3190 15724,0 3060 160r8,0 2290 1s313,5 1730 t50

\\'130 x 28.1 3580 13123,8 3010 121

\\-100 x 19.3 2480 106

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309 22,9306 11,0205 16,3

9,110,o6,9

20,6t7,414,212,61.1,011,8lo,210,28,48,0Á5

r65102101

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154 .ì. 11,6\5tìi ,"," ' 9,3102: ,,r 10;3LQZ, .',ï,t,1ç9.: ' . , 5,5

128 10,9127 9,1

8,8103

19,211,99,4

8,98,07,47,6

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10,29,r7,9Ét,ô

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6,2' ìx

8J

14,010,9q4

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6,16,45,8

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6,96,1

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98,8 746 68.155,5 432 65,643,r 338 65.0

4,73 64.8 33,71,78 34.9 22,1r.23 24,r 20,8

2t8 51,0185 50,31s0 49,2

95,0 35,I

300 53,2247 52,8r99 51,9115 5t,1151 51,1109 4r,292,6 40,861,2 32,049,6 31,221,8 22,3) ) \ )15

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zs;A?)6

32,1?55

ilÌl,ì,:i;

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I

i*

-Lm perftl de mesa larga é designado pela letra W seguida pela altura nominal em milímetros e a massa em quilogramas por metro.

\

Apêndice C. Propriedades de PerÍis de(Unidades Sl)

Perfis I(Pedis de Padrão Americano)

Apêndice C Propriedades de Perfis de Aço Laminad "

737

Aço Laminado

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Área AlturaDesignação+ Á, mm2 4 mm

Mesa

E$pessura daAlmaf.; mm

Elxos X-X Eixos Y-YEsPes:

Lârgura suraãi;,mm g,rìfl

l, W, rx106 mma 103 mm3 mm o6mma ïó,,,,,,.,. fi,

1610 x 180158149134119

1510 x 143r28r1298,3

1460 x 1048 1,4

1380 x 74' ,64

13l0 x 1460,75241,3

1250 x '5''37,8

22900 62220100 62219000 61017100 61015200 610

18200 51616400 5161420ü 50812500 508

13300 45710400 451

9500 3818150 381

9480 3051730 3056650 3056040 305

t' 6{t70"'' ' ' nto4820 '254

4370 2033500 203

3270 t522370 r52

1890 121

1800 1021460 lo2

1430 161070 16

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I13O X

I1OO X

I75 X

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2,5.718,6

15

14.111<

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204 27,1200 27,7184 22,1181 22,1178 22,1

183 23,4179 23,4162 20,2159 20,2

r 59 11,6152 17,6

143 15,6140 15,8

139 16,7133 16,7129 13,8121 13,8

126 12,5I 18 12,5

106 10,8102 10,8

'91 9,1,85 9,1

16 8,3't l 7,468 7,4

64 6,659 6.6

20,3I ì /

18,915,912,1

24,316;816;1,12;8

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17,4tt,110,98,9

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1q,89,11

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2,822;53

1,201,03

4240 2403950 2473260 2293080 2342880 240

21rO 7962550 2002og0 rs31950 tgg

1685 1101460 r19

1060 145971 151

826 115141 12r625 r20593 122

482 95,84AZ , 103

264 78,3235 82,6t4) 5? 5

120 ," '62, .ú

19,8 51,8

55,3 39.6'49,6 : ' 4:1,6

31,6 29,027 , t 3 1,0

34,9 341 39,032,5 321 39,920,2 215 32,319,0 206 33,0t7,9 198 34,0

2r.3 228 33.9r9.7 216 34At2.6 ï52 29,511,8 t45 30,4

10,4 t2'7 27,58,83 113 28,8

6,65 90,8 26.r6,15 85,7 27,r

6,69 93,2 26,15,13 83,6 26,84,19 63,6 24,83,91 61,1 25,3

3,5g ss,7 22,g2,86 41,5 24,r

1,83 33,8 20,21,60 30,6 21,1

1.00 2r.3 r7,20,782 18,0 18.0

0,513 r3,2 16.3

o,iai 'to,s 14,40,328 9,4t 14.8

0,254 1,12 13.10,190 6,44 13.3

tUm peúìÌ I é designado pela letra I seguida pela altura nominal em miÌímetros e a massa em quilogramas por metro.

r

738 Resistência dos Matêriais


Perfis U(Padrão Americano)

,I

_-l' t , , . | |

Área Alturatlesignação+ A, mm2 4 mm

MêÊAEspea-sura dãAlma4r, mÍÍÌ

Ëbcos,X-X Eixos:Y:Y

.Largura

;4;'mm

EsPee'gUra

Íp; rnm 106 mma 103 mm3 mmrxwxlx

í'o.,nro .l"oiu,,n, Í,.,,xmÌÍr

381381381

305305305

254254', <Á

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229229229

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203203

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102102

76,276?76,2

u380 x 74 948060 757050,4 6430

u310 x 45' 5690

30$ .3920

u250 x 45 567037 415030 378022,8 2880

u230 x 30 3800,, 22 2840,

: 19;9 2530

u200 x 27,9 356020,s 2660t],t 2170

ul80 x 18,2 23ta14;6. 1850

ul50 x 19,3 245015,6 1980r2,2 1540

ul30 I 13 l?1010,4 ' 1310

ul00 x 10,8 13708,0 1020

u?5 x, r8,9 1r3ü.:t,4 9366,1 765

948986

807774

16

6965

676361

645957

53

545148

L9.

47

4340

403l

JJ

16,516,516,5

12,712,7r2,7l1, ll1, ll1, ll1, l

10,510,510,5

9,99,99,9

9,39;3

8,78,78,7

8,18,1

6,96,96,9

t8,2

tn ?

13;o9,8- ìa

t7, l13,49,66,1

17,41' . '

r5,9

12,41,156

8,05,3

1 1,18,05,1

8,34,89.)

L '7

9,06,6

167r44t34

67,259,7ì { 4

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37,932,627,1

25,4"r1 .t

r9,8

87"7756688

4+1391350

JJÕ

298257218

86,889,392,998.1

r33138143

109t12rt7

222 81,8185 86,417\ 88.5

179 1t ,5147 75,7132 18,6

rtz 65,899,2 69,1

t8,214,913,4

10,08,83

7,rr 93,6 53,96,21 81,7 56,05,35 70,4 58,9

3,70 58,3 46,53,25 5r,2 49,8

1,90 37,3 37,21,61 3r,6 39,7

0,850 72,30,751 19,7a,671 I't,6

27,428,329,6

4,54 61,53,19 54,71?4 5n 5

2,09 '33,21,83 30,51,57 ,n.7

1,58 26,s1,38 24,0t,L4 21,20,912 18,5

a,997 1s,10,796 ,',:1:6i50,708 15;4

0,8r7 16,40,620 r3,l0,538 12,6

0,+ío ',1{ 20,400 10,2

0,420 r0,20,341 9,010,276 1,82g?264O1229

0,1720,130

0,\220,094q0,a765

21,9 20,222,4 t9,722,8 19,9

t:9,2 LlSt9;7 t7;O2ú,ú 17;4

16,7 16,311,0 15,617,4 15,3t7,8 15,8

16,2 t4,716,7 .;,Il:,9tr6,7 15,0

15,1 14,315,4 13,915,1 14,4

14;3 ' lg, t143 L3;7

t3,t 12,913,2 12,513.4 12.7

7;37.' 12,4 ",1,2;26;74 13,2 13,05,44 rr,2 tr,44,56 t l ,3 11,5

.4;25 :,,1gr* 113

.3]62: 10;1 1O;83,16 10;0r ''.10;8

;Um perfil U é designado pela ietra U seguida pela altura nominal em milímetros e a massa em quilogramas por metro.

Apêndice C Propriedades de Pêrfis de AÇo Laminado 739

Apêndice C.

Cantoneira(Abas lguais)

Propriedades de Perlis de Aço Laminado(unidadef Sl)

i,:i!ll.r.:;::,':r:i,:i:t:.].::t:.:l:::.:.1:, lii!l:r!,r:!:r lr::i;;

L203x203x25,4

.L10-2.x l0? x r9,0" ' . , l " . ' . '15,9:' '\.4'7" .'..9,5.

" "6,4 '" .

L89x89x12,19,56.4

39,740,040,4

',;':.,,ry;$,..)q7

' ,: 8,9t",,30;ü.30,?)^ '7

24,825,025,r

. 19.9r;:::;::1 .?ilil,',..::,tx;*1,:rtr:rr:,!r9.s'l,r,.lìi;iá'0$i:',::,:::l;2ii;3::ì:

t7,4l7,4l7,6

:,'..,tïa;.$:::r

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10 <

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12,612,7

:,:':$i 5,,::;:'.ìll:lì:t:9,${::ri.:,i:ìÍ0;i'

7

;1r:*&:{;ã

i"

7n *r$#rciadosMateriais


Gantoneira(Abas Desiguais)

L203.x 152 x 25,419,012,7

LI27 X 76 \.

L89x64x

L64 x 51

32,4?)1

33,0

0,54L0,5510,556

16,316,616,8

12,79,56,4

12,79,56,4

x 9,56,4

0,3550,3620,369

t3,7 0,49113,8 0,503t3,9 0,512

65,5 837050,1 638034,r 4350

3,93 47,63,06 36,62,r4 25,2

40,3 44,440,8 43,341,2 42,1

1,36 23,3 27,6 30,6r,07 18,0 28,0 29,50,759 r2,5 28,4 28,3

lIII

IÌIiI

I

Apêndice D Flechas e Inclinações de Vigas 741

Apêndice D. Flechas e Inclinações de Vigas

Viga e Carregamento Linha ElásticaFlechaMáxima

Inclinação eExtremidade

Equação daLinha Elástica

I

#l":@,F-.---!

v

oI ---------4- t \ PL3

- 3EI

PÚ* 2EI ,: h@3 - 3r.r)

2

l#l-n, :ü i t t t t i t t'@

;#'-"---lwLa_ 8EI

wL3_ 6EI

y: -:=@a - +rf + 6L2.Ê)" 24EI '

, f f i \,ffi/'s"M

ML2_ zEI

ML_E M\ ) : - - xz" 2EI

4

r;"1.mE|lHw-;M

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_ 48EI

PL2-

I6EI

Para x = )L:

, : ' (4x3-3L2x\' 48EI

r.-FiÁ@B

ry_,__ffi

Paraa ) b:

_Pb(L2 ' b2)3/2

9\f3ErL

àx^ =

Pbu] - b2\e^: -^ 6EIL

Pa(L2 - az)a - L___-_-l_-----i

6EIL

Para x 1 a:

, : *v ' - ( r ' - b ' )* l' 6EIL

Pa2b2Parax:a: y:-3EIL

61D

fl-l-ffï-il1r-ffitwffis

*&#l,- r 'ïï'"""

_ 5wLo

38481

wL3

24EI , : - f f i (xa-21'x3+L3x)

n

{Árff i f f i81

@#F.-- r----+

ML2

9Y3EI

MLfl^: 1-^ 6EI

ML9^:--

3EI

, : - * (x3-Lzx\

" 6EIL

742 Rqú#ncia dos MateÍiais

Apêndice E. Características Geométricas de Figuras Planas

Centróides de Formas Gomuns de Área e Linha

Forma t v Area

Area de triângulo

l*z**-l

LJ

bhL

Área de quarto de círculo4r3n

4rJ Ì I

rrÊ

4

Area semicircular 04r

3r

nf2

Area semiparabólica r-, -ì 3a

8

3h-)

2ah

J

Área parabólica 03h

5

4ah

3

Triângulo de hipotenusa

parabólica

a-__|

3aÂ

3h10

ah

J

Setor circular2r sena

3a0 al

Arco de quarto de círculo2r 2r 7fr

;L

Arco semicircular 02r

7rr

Arco de círculor sen0

a0 2ar

Apêndice E CaractorístÍcas e€ométÍicasde.Ftglüí€,ptarr*; 749

Momentos de Inér,cia dgFormas Çeqméhicas Comuns

Retângulol-h

I

7*: tuutf

tr, - $Ën,,: lbh3I, : lb3hrc: #bh(b2 + h2)

Triângulo

l_ 6 _*l

7.,: tbh31. = $bh3

Círculo Ì , : Í r : lnra

Jo : |trra

Semicírculo I ,= Iy: lnra

Jo: tnra

Quarto de

círculolr : Iy: hol

Jo : [rra

Elipse

Í,: f,,nab3Ì, : f,rra3b

'Jo: lrrab(a2 + b2)

7

744 Resistência dos MaterÍais

Prefixos Sl

Apêndice F. PreÍixos e Unidades Sl

Fator de Multiplicação PÍeÍixo Símbolo

I 000 000 000 000 : l0r2I 000 000 000 : 10e

I 000 000 : 10oI 000 : 103

100: 102l0: lOt

0.1 : 10- l0.01 : 10-2

0.001 : 10-30.000 001 : 10-6

0. 000 000 001 : 10 e

0.000 000 000 001 : lO-120.000 000 000 000 OQl : 1g-ts

0.000 000 000 000 000 001 : 10-18

teragigamegakilohectofdeka{deci{centi$millimicronanopicofemtoatto

TGMkhdad

mlLnpfa

* Deve-se evitar o uso desses prefixos, exceto para medidas de áreas e volumes para usosnão-técnicos do cenímetro, como altura das pessoas e medidas de roupas.

Principais Unidades Sl Usadas em Mecânica

Grandeza Unidade Símbolo Fórmula

AceleraçãoAceleração angularAnguloÁreaComprimentoDensidadeEnergiaForçaFrequênciaImpulsoMassaMomento de uma forçaPotênciaPressãoTempoTensãoTrabalhoVelocidadeVelocidade angularVolume, líquidos

Volume, sólidos

Metro por segundo ao quadradoRadianos por segundo ao quadradoRadianoMetro quadradoMetro

Quilograma por metro cúbicoJouleNewtonHertzNewton-segundoQuilogramaNewton-metroWattPascalSegundoPascalJouleMetros por segundoRadianos por segundoLitro

Metro cúbico

:;

m

JNHz

kg

;PasPaJ

m/stradf s2

m2

kg/m3N.m

kg . m/s2- ìs-

kg . m/s

N.mJ/sN/m2

N/m2N.mm/srad/sl0-3 m3

m3

L

Apêndice F PrêÍixos e Unidades Sl 745

Unidades Inglesas e Seus Equivalentes Sl

Grandeza Unidades Inglesas Equivalente Sl

Aceleração

Área

EnergiaForça

ImpuÌsoComprimento

Massa

Momento de uma força

Momento de inérciade uma iáreade uma massa

Potência

Pressão ou tensão

Velocidade

Volume, sólidos

Líquidos

Trabalho

ftl s2in.ls2tt'in2f r . lbkiplbozlb.sftin.mioz masslb massslugtonlb . f t

lb . in.

ln '

lb . f t . s2ft . lb/shprbtflllb/inz(psi)físin/smi/h (mph)mi/h (mph)ft".1tn '

galqtf t . lb

0,3048 m/s20,0254 nls20,0929 m2645,2 mÍr21,356 J4,448 kN4,448 N0,2780 N4,448 N . s0,3048 m25,40 mm1,609 km28,35 g0,4536 kg14,59 kg907,2 kg1,356 N . m0,1130 N . m

0,4162 x 106 mma1,356 kg . m21,356 V/745,7 W47,88 Pa6,895 kPa0,3048 m/s0,0254 mls0,4410 mJs1,609 km/h0,02832m316,39 cm33,785 L0,9464 L1,356 J

7

Aço, especificações de projeto paru,25Acoplamento com flange, 158Alongamento, deformação percentual, 47Análise tridimensional

da deformação específica, 463-466Analogia da membrana, 177Angulo de rotação, 143Angulo de rotação, relativo, 143Angulo de torção para eixo circular

no intervalo elástico, 143no material elastoplástico, 165para barra retangular, 176

. para seção vazada de paredes finas, 181Areas de formas comuns, 561Arredondamentos, distribuição de tensões próxima de,

em barra chata: em flexão,223em placa submetida à carga axial,99

em eixos circulares, 158Articulação, 10

Barra de seção circularde seção vanáue|143deformações em, 128-131deformações de cisalhamento em, 130estaticamente indeterminado, 143fórmulas da torção no regime elástico para, 131tensões em, 126-133

Barra em forma de canal,39O-394centro de cisalhamento da,392-393tensões de cisalhamento em, 393

Barra em torção retangular, coeficiente para, I77Barras (placas) chatas, fatores de concentração

de tensões paraa força axial, 100em fTexão,223

Barras constituídas de viários materiais, 219de concreto rcforyado, 222não-prismátic a, 3 43 -346tensões de cisalhamento em, 298,364-367tensões normais em,207tensões principais em, 485-487tipos de, 297

Barras curvasflexão de, 274-280superfície neutra em, 27'7tensões em.279

Barras de paredes finassob força transversal assimétrica, 390-396sob força transversal simétrica, 379

746

Cantoneiras. 395.397Capacidade de absorção de energia, 663,682Carga Admissível,23Carga axial, 5

centrada, 7deformação específica sob, 96-98deformações plásticas sob, 101-103tensão sob,23,96-98

excêntrica, 7caso geral de,265-266

Carga crítica, 597Carga de projeto,23Carga de trabalho, 23Cargas (carregamentos)

cíclicos,24combinada. 496-498dinâmicos, 24flutuantes, 52impulsivo, 24multiaxial 77 -79por impacto, 658, 681-682repetidas, 52transversal, 360-396

Cargas flutuantes, 52Carregamento axial,42Carregamentos cíclicos, 24Carregamento dinâmico, 24Carregamento multiaxial

lei de Hooke generalizada para, 78Carregamento por impacto, 681-682

proeto para, 683-684Carregamento simétrico, flecha de vigas com, 559-560Carregamentos combinados, tensão sob, 496-498Carregamentos impulsivos, 24Carregamentos repetidos, 52Castigliano, Alberto, 699Centro de cisalhamento, 380, 391

de cantoneira, 395de forma de canal.392de perfil Z,396

Centróideda seção transversal, 206

Ciclos de carregamento, 52Círculo de Mohr

na análise tridimensional da tensão, 436-437para análise tridimensional da deformação, 463-466para carga axial centrada, 429paÍa carga torcional, 429para momentos e eixos principais de inércia,268

para plano de deformação, 46I-462,465para plano de tensão, 424-429, 436-437 , 464-466para tensões: em vasos de pressão cilíndricos,452

Cisalhamento. 7. 300duplo, 8simples, 8

Clebsch. 4.336Coefiçiente de dilatação térmiça, 66Coeficiente de impacto, 693Coeficiente de influência, 697Coeficiente de Poisson, 76Coeficiente de segurança, 24Colunas, 595-642

carregamento excêntrico de, 613-617força (carga) axial centrada em, 595-605projeto de: submetidos a uma força centrada,624-629projeto de: submetidos a uma força excêntrica,640-642

Colunas biarticuladas, 598-601Colunas de aço, projeto de,626-628Colunas de alumínio, projeto de, 628Colunas de madeira, projeto de,629Componentes de tensões, 20Compressibilidade, módulo de, 80Comprimento de flambagem

para viírias condições de extremidade, 605Comprimento de referência, 44Comprimento real da coluna, 602Concreto, especificações de projeto parc,25Condições de contorno

para vigas estaticamente determinadas, 522para vigas estaticamente indeterminadas, 529

Condições de extremidade para colunas, 605Convenção de sinais

para deformação de cisalhamento, 82para força cortante, 300para momento fletor, 201, 300para tensão, 21

Coulomb, Charles Augustin de,442Critério da deformação específica normal máxim4442Critério da energia de distorção máxima

para estado plano de tensão, 670para plano de tensão, 440

Critério da tensão de cisalhamento máxima , 439Critério da tensão normal máxima, 441-442Critério de Coulomb, 442Critério de escoamento para materiais dúcteis, 439-441Critério de fratura para materiais frágeis, 441-443Critério de Mohr. 442-443Critério de Saint-Venarft, 442Critério de von Mises, 440Critério real de falha, 439-443Curvatura anticlástica, 210Curvatura

anticlástica, 210da seção transversal, 210da superfície neutra, 208de uma barra de material compósito, 221

índice Anatítico 747

Deformação de cisalhamento máxima no plano,462Deformação de cisalhamento, 8l-82

em uma bana circular, 130Deformação específica normal

sob carregamento axial, 42-43,96Deformação específica térmica, 66Deformação específica, 76Deformações

em barra de seção circular, 128-132em flexão, 203-208em seção transversal de uma viga,2l0pelo método do trabalho e da energia, 686-687pelo teorema de Castigliano, 700-703pelo teorema do momento de área,557-576por integração, 518-549por superposição, 519-549sob carregamento axial, 53

Deformação(ções) específica(s)eixos principais de, 46I,463lateral,'16medida da,466principal, 461,463térmiça,66transformações de, 458-466verdadeiras, 66

Deformação, percentual de, 47Deformações específicas, 46I, 463Deformações permanentes, 50-5 1, 103

em torção, 168Deformações plásticas, 50

em eixos circulares. 163-169para barras chata em flexão pura,223

com um único plano de simetria, 239e de seção transversal retangular, 235-237em um plano de simetria horizontal e vertical, 233-238feitas de um material elastoplástico e de seção

transversal não retangular, 237 -238sob carregamento axial, 101

Deformações verdadeiras, 48Densidade de energia de deformação

para estado geral de tensão, 668-670para tensões de cisalhamento, 665para tensões normais, 660-662

Desvio tangencial, 558Diagrama de cisalhamento, 300-302Diagrama do momento fletor, por partes, 562-564Diagrama tensão-deformaçáo, 43, 46Diagrama(s) de corpo livre, 3Dilatação, 80Dilatação térmica, coeficiente de, 66Ductilidade, 47, 49

Efeito Bauschinger, 51Eixo que passa pelo çentróide

linha neutra, 260Eixos circulares

concentração de tensões em, 158


deformações plásticas em, 165-169feitos de um material elastoplástico, 165-169tensõ€s residuais em, 167-169

Eixos de transmissão, 124projeto de, 156-157, 488-489

Eixos estaticamente indeterminados, I44Eixos principais de deformação específi ca, 461-463Eixos vazados de paredes finas, 179-181Elasticidade, módulo de, 49-50Elementos, seçundiírios, 24Empenamento, seção transversal, 176Energia de deformação, 658-660

para estado geral de tensão, 668-670para tensões de cisalhamento, 665-667

na torção, 666-66'7para forças transversais, 667

paÍa tensões normais, 662-665na flexão, 664pÍÌra carregamento axial, 663

Energia de deformação, 659Ensaìo de fração,44Escoamento, 45Escorregamento, 50Especificações de projeto, 25Estabilidade

de colunas, 595-642de estruturas, 596-598

Estricção, 45Estruturas simples, análise de, 8Estruturas. análise de. 9Euler. Leonhard. 600

Fadiga, 24,52Fator de forma,237Fatores de concentração de tensão

eixos circulares, 158para barras chatas

momento f7etor,223sob carregamento axial, 99

Flambagem,24Flecha máxima de viga

pelo teorema do momento de 6rea,572-573,577Flexão assimétrica, 259-264Flexão pura, 199

deformações em, 203 -209Flexão, 199

assimétrica, 259-264barras curvas,274-280de elementos feitos de viírios materiais,2l9deformações em, 203 -208no plano de simetria, 199-240

Fluência, 50Fluxo de cisalhamento

na parede da barra de seção vazada, 180sob força cortante transversal, 363

em barras de paredes finas, 378Força assimétrica

flecha de viga sob, 570-572

Força axialcírculo de Mohr para,429de colunas, 595-605, 613-618, 624-631deformação de componentes sob, 53no plano de simetria, 249-25I

Força cortante horizontal, 363, 476Força cortante, 297, 360, 390Força crítica, 600Força de impacto, 660Força distribuída,297Força estática, 682, 686Força interna, 53Forças (cargas),22-24

çrítica. 597 - 600estâtica,682

Forças concenÍradas, 297Forças distribuídas, 4Forças estaticamente indeterminadas, 41Formas comuns, tabelas de iíreas e centróides de, 561Fórmula da interação, 691Fórmula da secante, 616Fórmula de Euler, 600Fórmulas da f\exáo,207Fórmulas da flexão elásÍica,207Fórmulas da torção, l3lFórmulas de torção no regime elástico, 131Frequência, 156Funções de singularidade

definição de,334para cisalhamento e momento fletor em vigas, 332-347para inclinação e flecha de vigas, 537-546programação de computador para, 337

Furo circular, distribuição através do centro do furo, 99

Gigapascal, 4Gráfico tensão-deformação de cisalhamento, I 65

Hexágono de Tresca, 440Hooke. Robert.49Hp, 156Inclinação de vigas

pelo método de integração, 522, 526pelo teorema de Castigliano, 701pelo teorema do momento de área,551-558,570

Índice de esbeltez, 600da coluna, 602

Joule (unidade), 659

Lâmina, 50Laminado, plano, 50Lei de Hooke,49

generalizada para carregamentopara força multiaxial

de um material isotrópico homogêneo, 78para tensão e deformação de cisalhamento

de um material isotrópico, 82de um material ortotrópico, 88

Limitede proporcionalidade, 49de resistência à fadiga, 52elástico, 50

Limite de resistência,23, 45Limite de tensão, 23Limite elástico, 50Linha elástica, equações da, 521-52'lLinha neutra

para carregrìmento axial excôntrico em plano desimetria, 261

paÍa o caso geral de carregamento axialexcêntrico, 265-266

para flexão assimétrica, 263para plano de simetria, 204

no momento plâstico, 239no regime elástico, 206

Macaulay, V/. H., 336Madeira, especifìcações de projeto para,25Máquina de teste de torção, 141Máquina para ensaio, 44Materiais compósitos reforçados com fibra, 50, 87-90Materiais compósitos, 49, 87-90Materiais dúcteis. 45. 133

critério de escoamento paÍa, 439-441Materiais frágeis, 45, 133

critério de fratura para,44I-443Materiais ortotrópicos, 88Material anisotrópicos, 49Material elastoplástico, 101

carregamento axial de elementos feitos de, 101-104eixos circulares feitos de, 165-169flexão, barras feita de,235-240

Material isotrópico, 49,76,78, 82Marerial(is)

anisotrópicos, 49compósitos reforçado com fibras, 49,87-90dúcteis, 45,133

critério de escoamento para materiais, 439,441frágeis, 45,133

critério de fratura para materiais, 441-443isotrópicos, 49,78,82ortotrópicos, 88

Máxima força,23Maxwell, James Clerk, 698Megapascal,4Método da interação, 641Método da superposição, 63-64

para deflexão de vigas, 546-549Método da tensão admissível, 640-641Método do desvio,47Método trabalho-energia para flecha sob uma força

simples, 687Métodos de energia, 658-705

análise de estruturas estaticamente indeterminadaspelos, 704-705

deformações pelos, 686-689, 7 00-7 03

índice Anatítico 749

Módulode compressibilidade volumétrica, 80de elasticidade transversal, 82de elasticidade, 49de resistência, 661de resistência: regime eIâstico, 207

de seção plástica,23lde ngidez,82de ruptura: em flexão, 232

em torção, 165de tenacidade. 661de Young, 49

Mohor, Otto,424, 442Momento da seção transversal, estático, 206Momento de inércia

da seção transversal, 207de seção transversal de barra circular, 131polar, 131

Momento elástico máximo. 233Momento fletor, 201

convenção de sinais para,2Ollim|te,234

Momento plástico,236Momento polar de inércia

da barra de seção circular vazada, l3lda seção transversal, 131

Momento torçor elástico, mráximo, 165Momento torçor plástico, 166Mudanças de temperatura, 66-68

Normas técnicas, 25Núcleo cenffal,274Núcleo elástico

em barras, 235em eixo circular, 166

Parafusos. tensão em. 8Pascal (unidade), 4Perfil V/360, tensões em,367Perfi l2,396Pinos. tensão em. 8Plano de deformação, estado, 93

transformação de, 458-462Plano de tensão, estado, 93,465

transformação de, 4I3 -429Planos principais de tensão, 4I7, 435Poisson. Siméon Denis. 76Pontes rodoviiírias, especificações de projeto para 25Ponto de escoamento, 46

inferior, 46superior, 46

Potência, 156Precisão. numérica. l2Pressão hidrostática, 80Principais tensões, 417, 435

em uma viga, 485487sob uma dada força" 497

r


Princípio da superposição, 78Princípio de Saint-Venant, 98Problemas estaticamente indeterminados, 62Programação de computador, funções de singularidade,337Projeto, 5

de colunas: submetidas à força centrada, 624-629de eixos de transmissão. 156-157.488-489de vigas, 297-351de vigas prismáticas, 321-323para caÍregamento por impacto, 683-696

Quilopascal, 4

Raiode curvatura de superfície neutra para vigaprismática, 208,231

de seção transversal de coluna, 600de superfície neutra de varias formas de seçãotransversal, 278

Rasgo da chaveta, 158Reação redundante

para uma viga, 548, 574sob carregamento axial, 63

Redução percentual da ârea,4'7Região plástica

em barra em flexão pura,233em eixos circulares, 165

Regime elástico,207Relações

entre cisalhamento e momento fletor.312-313entreE veG.84-87entre força e cisalhamento, 311

Resistênciaà ruptura, 45-46ao escoamento, 45limite de. 23. 45

Resistência constante, vigas de, 343-344Rigidez

à flexáo, 522módulo de, 82

Roseta de deformação, 467Rotação, angulo de,143Ruptura, 47, módulo de

em flexáo,234em torção, 164

Saint-Venant, Adhémar Bané de, 98Seção circular variável

eixos de, 143Seção não-circular

de eixos vazados de paredes finas, 179torção de elementos, 176-178

Seção transformadade viga de concreto reforçado,222em barra de material compósito, 220

Seçoes. distribuição de tensões nas,223

Segurança, fator de,23Superfície neutra

centro de curvatura, 2JBda barra curvada,275de um elemento prismático,204raio de curvatura de,208,236

Suporte, 11Suporte e conexões, em uma estrutura, 9

Tangente de referência, 559, 570Tenacidade, modulo de, 661Tensão, 4

admissível, 23biaxial, 93carregamento multiaxial, 77-78circunferencial, 450componentes de, 20convenção de sinais para,2lcrítica, 600de esmagamento, 9, 11de flexão,207distribuição uniforme da, 7em parafusos, 9, 10em pinos, l0em rebites, 10em vasos de pressão de paredes finas,450-452estado geral de, 434-435l imite, 23longitudinal, 450planos principais de, 4ll, 435sob carregamentos combinados, 496-498transformação de, 41 1-438verdadeiras, 48

Tensão(ões) de cisalhamento, l, 361devido a força axial,20,22devido a forças combinadas, 496-498devido a força cortante: de cantoneira, 397

de barra retangular estreita, 366-369de barras de paredes finas, 378-380,390-396de perfi l 2,396devigasSevigasW366em viga,364-369em forma de canal, 393

em torção: em barra de seção circular, 121, I29,163-161na parede da barra de seção vazada, 180seção transversal quadrada, 176

máxima. 418.436máxima, em viga, 298máxima, no plano, 418,437

Tensão Admissível, 23Tensão biaxial.92Tensão circunferenci al, 450Tensão de cisalhamento máxima, no plano, 418,43'7Tensão e deformação de cisalhamento,

Lei de Hooke para,82Tensão longitudinal em vasos de pressão cilíndricos,450-4sl

Tensão normaldevido a força (canegamento) axial centrada (o),

23.96-98em flexão

de barra prismáticaem barras curvadas, 2'79no momento elâstico, 202

em torção, 133máxima, em vigas, 298sob carregamentos combinados, 496-498

Tensão verdadeira, 48Tensões de esmagamento, 9, 11Tensões reais,24Tensões residuais

em eixos ciruclares, 161-169em flexão, 239-240sob carregamento axial, 105-106

Tensões, carregamento multiaxial, 7 7Teorema da reciprocidade de Maxwell, 698Teorema de Castigliano, 699-7 13

análise de estruturas estaticamente indeterminadas.pelo,704-705

deformações, pelo, 700-703Teorema de reciprocidade, 698Teorema do momento de área para inclinação de

vigas, 557-576Teoremas do momento de área.55'7-559Torção

de barras retangulares, 177de eixos de transmissão, 124-126de eixos vazados de paredes finas, 179-181de elementos de seções não-circulares, 17 6-178

Torção ou esforço interno, 132Torque (momentos de torçáo), 124

elástico. máximo. 165interno, 132limite, 164plástico, 165

Torque-limite, 164Trabalho

de um único conjugado, 684de uma força, 658-660, 684-685de viirias cargas, 691-699

índice Analítico 751

Trabalho elementar. 658Trajetória de tensão, 487Transformação

do estado plano de deformação, 458-462do estado plano de tensão, 413-414,430tridimensional de deformação, 463-466

Tresca. Henri Edouard. 440Trincas macroscópicas, 443Trincas microscópicas, 47, 443

Vasos de pressão cilíndriços, 450Vasos de pressão de paredes finas, tensões em,45O-452Vasos de pressão, tensões em paredes delgadas, 450-452Vasos de raio esféricos, 452Viga biapoiada,29"IYiga caixão,379Viga de mesa larga, 208Viga em balanço, 291,522

análise de, 559-560Vigas, 360

de resistência constante, 343-344projeto de,297-351

Vigas de concreto reforçado,222Vigas de mesa larga em aço, 208

projeto de,322Vigas de padrão americano, 208Vigas estaticamente determinadas, condições de

contorno pan,522Vigas estaticamente indeterminadas

análise depelo teorema de Castigliano, 104-'705pelo teorema do momento de fuea,5'74-575por integração, 528por superposição, 548-549

Vigas de material compósito, 219Vigas não prismáticas, 343-344Vigas prismáticas, projeto de, 321 -323

von Mises. Richard. 440

V/atts (unidade), 156

Young, Thomas,49

F

Os problemas cujas respostas estão listadas neste apêndice estdo identificados no lívro sem itálico

CAPíTULO 1

1.1 (a) 35,7 MPa. (Ò) 42,4 MPa.1.2 ú : 25,2 mm; d2 : 16,52 mm.1.7 62,7 kN.1.9 k) 101,6 MPa. (á) -2r,7 MPa.1.13 @) 12,73 MPa. (á) -4,77 MPa.1.14 (a) 17,86 kN. (b) -4r,4MPa.1.15 5,93 MPa.1.18 9.22 kN.1.19 178,6 mm. ì1.20 (a) 3,33 MPa. (b) b : 525 mm.1.23 k) 3,97 MPa. (ó) 202 mm. (c) 20,8 MPa.1.27 (a) 80,8 MPa. (á) 127,0 MPa. (c) 203 MPa.1.29 o:489 kPa; r :489kPa.1.30 (a) 13,95 kN. (á) 620 kPa.1.33 o: -37,1 MPa; r :17,28MPa.1.34 337 kN.1.38 2,35.1.41 (a) 181,3 mm2. çbÌ 213 mm2.1.42 (a) 3,97. (b) 265 mm2.1.43 20,8 mm.1.44 2,50.1.53 3,72 kN.1.54 3,97 kN.1.55 r ,683 kN.1.56 2,06 kN.1.58 (a) 362 kg. (á) 1,718.1.59 60,0 MPa.1.61 60,2 mm.1,67 2,42.1.68 L^tn: ou6^d/4 r^,,,-1.C2 (c) 16 mm < d < 22 mm. (d) 18 mm < d = 22mm.'t .C5 (b) Fis. P 1.29, para a : 45":

(l ) 489 kPa; (2) 489 kPa; (3) 2,58; (4) 3,07; (5) 2,58,1.C6 (.d) Pud^: 5,79 kN; a tensão na barra é crítica.

CAPíTULO 2

2.2 (a) 6,91mm. (ó) 160,0 MPa.2.4 (a) 81,8 MPa. (b) r,712.2.6 (a) 17,25 MPa. (b) 2,82 mm.2.8 (a) 817 mm. (ó) 15,28 mm.2.9 10,70 mm.2.10 160,0 kN.2.15 @) 0,'794 mm. (b) 0,484 mm.2.16 16,52 mm.2.23 @) 1,222 mm. (b) 1,910 mm.2.24 0,1095 mm J.2.25 @) -0,0302 mm. (D) 0,01783 mm.2.26 ,r ( 92,6 mm.

752

2.29 pgh'l4E2.30 (a) pgL2l2E.2.35 (a) 140,6 MPa. (à) 93,75 MPa.2.36 (a) 15,00 mm. (&) 288 kN.2.39 (a) 62,8 kN <- no pontoÁ; 37,2 kN <- no ponto E.

(b) 46,3 pm --+.2.4O (a) 45,5 kN <- no ponto A,' 54,5 kN <- no ponto E.

(b) 48,8 Írm -+.2.41 (.a) 0,0762 mm.

(b) oen : üct>: 30,5 MPa; a'r : 38,1 MPa.2.42 (a) rubo, 67,9 MPa; bana, -55,6 MPa.. (b) tubo,0,2425 mm; bara, *0,1325 mm.2.48 -47,OMPa.2.49 -6.72MPa.2.53 (a) -44,4 MPa em AB; - 100,0 MPa em BC. \

(b) 0.500 mm J.2.54 tubo, 63,0 MPa; bana, -51,6 MPa.2.55 (a) -116,2 MPa. (ó) 0,363 mm.2.60 (a) -122,8 MPa. (à) 108,5 MPa.2.61 (a) 0,205 mm. (à) -0,00905 mm.2.62 (a) 0,0358 mm. (b) -0,00258 mm.

(c,l 0,0003437 mm. (.1) -0,00825 mm2.2.67 -0.0518%.2.68 (a) 0,0754 mm. (ó) 0,1028 mm. (c) 0,1220 mm.2.75 1,091 mm J.2.76 302 kN.2.79 (a) 262 mm. (b) 2l,4mm.2.8O G: 1.080 MPar r : 43i kPa.2.87 3,00.2.88 16.46 kN.2.91 (a) 0,0303 mm.

(b) o, : 40,6 MPa; or, : c,: 5,48 MPa.2.92 (a) o" : 44,6 l|i4Pa1. ou : 0i o, : 3,45 MPa

(D) -0,0129 mm.2.93 41,7 kN.2.94 (a) 10,1MPa. (D) 92,2MPa.2.99 (a) 12 mm. (r) 62,1 kN.2.100 (a) 134,7 MPa. (&) 135,3 MPa.2.105 13.97 kN: 3.39 mm.2.106 10.12 kN: 2.46 mnr.2.11'l (a) 310 MPa. (b) 6,20 mm J. 1.) 0.2.112 (a) 310 MPa. (b) 6,20 mm J. 1c; 2,20 mmI.2.114 (a) -250 MPa. (á) 0,0930 mm <-.2.115 b) 30,8 MPa. (b) 0,0462 mm <-.2.116 (a) AD, 250 MPa; BE 124,3 MPa. (b) 0,622 mm I.2.117 (a) AD, 233 llúPa: BE, 250 MPa.

Itot r :zz mm +.2.12O (a) O,1O+Z**. (b) _ '65,2MPa.

2.121 (a) 0,00788 mm. (b) -6,06 MPa.2.124 4-67"C.

2.131 Pt: Pe : 397 N; P. : 105,3 N.2.133 (at -57.7"C. (bt) 0,0329 mm -+ emÁ,.

0,0263 mm -> em B.2.135 (a) Aoy/1t"g. (b) EAIL.2.C1 Prob. 2.18: (a) 0,01819 mm. (b) -0,0909 mm.2.C6 (a) -0,40083. (D) -0,10100. (c) -0,00405.

CAPíTULO 3

3.3 133,8 kN . m.3.4 89.7 MPa.3.5 (a) 117,9 MPa (Ò) 69,8 mm.3.6 (a) 125,7 N'm. (b) 181,4 N . m.3.11 (a) 75,5 MPa. (á) 63,7 MPa.3.13 (a) 81,2 MPa. (b) 64,5 MPa. (c) 23,0 MPa.3.15 das : 42,0 mm duç: 33,3 mm.3.17 (a) 1,473 kN.m. (b) 43,7 mm.3.19 754 N .m.3.20 (a) 35,8 mm. (b) 42,4mm.3.21 (a) 45,1mm. (à) 65,0 mm.3.22 1,129 kN. m.3.25 (a) 30,1 mm. (b) 21,7 mm.3.26 118,5 N. m.3.29 (a) r-(cl + czr)/2pg c2. (b) (T/us)/11 + (c,/cr)21.3.30 1,000; 1,025; 1,120; 1,200; 1,000.3.31 (a) 199,5 N .m. (b) 10,40'.3.36 (a) r,384". (b) 3,22'.3.37 6,02".3.38 5,85..3.39 12,22".3.40 13,23".3.46 36,1 mm.3.49 GdL/21Ã.3-54 (a) 17,45 MPa. (ü) 2'7,6 MPa. (c) 2,05'.3.55 (a) 688 N . m. (ó) 2,35".3.56 (a) To : 1105 N . mi Tc: 295 N . m.

(b) 45,0 MPa. (c) 27,4MPa.3.57 (a) Te : 1090 N . mt Tc: 310 N . m.

(b) 47,4 MPa. (c) 28,8 MPa.3.62 (a) r^a^: T/2ntr? em p : 11.3.63 (a) 82,5 MPa. (à) 0,273".3.65 (a) 2O,l mm. (b) 15,94 mm.3.66 (a) 46,9 MPa. (b) 23,5 MPa.3.69 (a) 11,84 Mw. (ú) 8,91".3.71 2,64 mm.3.72 (a) 47,5 MPa. (á) 30,4 mm.3.73 t :8mm.3.78 d=74,0mm.3.83 47,2H2.3.86 5,1 mm.3.87 42,6H2.3.90 (a) 203 N . m. (à) 165,8 N . m.3.92 (a) 111,4 MPa; 19 mm. (á) 145 MPa; 15,50 mm.3.93 314 MPa.3.97 (a) 8,17 mm. (b) 42,r".3.99 (a) 1,126 ôE. @) 1,587 ôp. (c) 2,15 óu.3.101 (a) 5,96 kN . m; l '1,94". (b) 7,31 kN . m; 26,9".3.1O2 (a) 43,0". (b) 7,61 kN .m.3.108 (a) aprox. 1,876 kN .m. (b) 17,19".3.109 (a) 1,900 kN .m. (b) 17,19' .3.110 81,2 MPa.3.112 14,62".3.114 (a) 33,5 MPa em p : 16 mm. (b) 1,032".3.116 (b) 0,2209 ruc3.

Bespostas dos problemas Selecionados 753

3.121 (a) 74,0MPa;9$6. (b) 61,5 MPa; 6,95..3.122 (a) 189,2 N.m;9,05". (b) 228 N.m;7,91..3.127 TA/TB: 1,356.3.128 óB/ôA: 1,198.3.129 b :2,20 mm.3.135 (a) 52,5MPa. (ó) 31,5 MPa.3.137 (a) 8,47 MPa. (b) 8,4't MPa.3.138 8,45 N.m.3.141 (a) ToQ * e/t).(b) 107o;5OVa;907o.3.142 (a) 12,76MPa. (b) 5,40 kN.m.3.'145 (b) 0,25Vo; 1Va;4Vo.3.148 (a) 283 N .m. (ó) 12,91 mm.3.149 (c) t6,02H2. (b) 27,2H2.3.150 (a) 50,3 mm. (b) 63,4mm.3.152 12,24MPa.3.155 0,944.3.C1 Prob. 3.157: 56,9 MPa; 3.41'.3.C2 Prob.3.44:2,21".3.C5 (a) -3,282%. (b) -0,853Ec. (c) -0.1387o.

U) -0.0055Vo.3.C6 (a) -r,883%. (b) -0,484%. (c) -0.078vc.

(d) -0,0031%.

CAPíTULO 4

4.1 (a) -61.6 MPa. (b) 91,7 MPa4.3 80.2 kN. m.4.4 24,8 kN. m.4.5 5.28 kN . m.4.6 4.51 kN.m.4.9 73,2lr{Pa'. -102.4MPa.4.10 (a) 79,8 MPa. (b) -136,5 MPa (c) 14,87 MPa.4.15 3.79 kN .m.4.22 (a) 965 MPa. (ó) 20,5 N . m.4.26 (a) 53,6 MPa; 379 m, (b) 158,9 MPa; 127,5 m.4.27 0,950.4.28 0.949.4.31 (a) 139,6 m. (b) 481 m.4.32 (n) (oJ.r-(y' - c2)/2pc.4.33 1,092 kN . m.4.34 887 N .m.4.39 (a) 45,1MPa. (b) -81,1 MPa.4.40 (a) 5r,9 MPa. (ú) -121,0 MPa.4.43 15,53 m.4.44 72,15 m.4.47 (a) 330 MPa. (b) -26,0 MPa.4.48 (a) 292 MPa. (b) -27,3MPa.4.54 (a) 1674 mm2. (b) 90,8 kN . m.4.57 (a) 52,3 MPa. (b) 132,1 MPa.4.58 (a) 40,8 MPa. (b) 145,2MPa.4.59 (a) 6,15 MPa. (b) -8,69 MPa.4.65 (a) 1,25 kN.m. (b) 1,53 kN.m.4.66 (a) 147 MPa. (à) ll9 MPa.4.69 (a) 38,4 N . m. (b) 52,8 N .m.4.70 (a) 57,6 N.m. (á) 83,2 N.m.4.73 (a) 19,44 kN. m. (b) 28,1kN .m.4.74 (a) 19,08 kN.m. (b) 27,0 kN.m.4.77 (a) 29,2 kN.m. (b) 1,500.4.82 19,01 kN.m.4.86 48,6 kN .m.

4.87 120 MPa.4.88 106.4 MPa.

r754 Resistência dos Materiais

4.91 (a) 106,7 MPa. (á) +31,15 mm; 0. (c) 24,1m.4.95 (a) 292 MPa. (b) 7,01 mm.4.99 (a) -2P/rrr2. (b) -5P/rr2.+.103 (c) 112,8 MPa. (á) -96,0 MPa.4.106 14,40 kN.4.107 16,04 mm.4.108 (a) -79,6À{Pa. (b) -139,3 MPa. (c) -152,3 MPa.4.113 96,0 kN.4.114 (a) 52,7 MPa. (b) -67,2MPa.

(c) 11,20 mm acima de D.4.117 (a) 40,3 kN. (b) 56,3 mm da face esquerda.4.118 (a) 69,6 kN. (b) 41,9 mm da face esquerda.4.121 (a) 30,0 mm. (b) 94,5 kN.4|124 (a) 75,0 mm. (b) 40,0 MPa.4.127 (a) -2,80 MPa. (b) 0,452 MPa. (c) 2,80 MPa.4.131 (a) 57,8 MPa. (b) -56,8 MPa. (c) 25,9 MPa.4.134 (a) 19,16". (b) 77,7 MPa.4.135 (a.) 10,03'. (r) 54,2}l{Pa4.139 113,0 MPa.4.14O (a) 633 kPa. (b) -233 kPa. (c) 146,2mmparaA.4.144 17,11mm.4.146 733 N'm.4.147 1,323 kN ' m.4.151 900 N. m.4.156 (a) -77,3 MPa. (á) -55,7 MPa.4.160 -148,6 MPa.4.164 (a) -82,4 MPa. (b) 36,6MPa.4.165 (a) -64,1MPa. (b) 65,2MPa.4.166 (c) -106,1 MPa. (b) 38,9 MPa.4.171 (a) -45,2MPa.(b) 17,40MPa.4.172 (a) -43,3 MPa. (b) 14,43 MPa.q.173 (a) -5,96 MPa. (b) 3,61 MPa.4.175 84,7 MPa.4.176 (a) 63,9 MPa. (b) -52,6MPa.4.186 (c) -8,33 MPa; -8,33 MPa.

(b) -15,97 MPa;4,86 MPa.4.189 (a) -56,0MPa. (b) 66,4MPa.4.190 (a) 56,7 kN . m. (á) 20,0 m.4.195 5,22 MPa; -12,49 MPa.4.Cl a : 4 mm: o.: 50,6 MPa, o, : 107,9 MPa;

a : 14 mm: oa: 89,7 MPa, o, : 71,8 MPa.(a) 111,6 MPa. (b) 6,61 mm.

4.C4 4/h : 0,529 para 507o acima de o.6*.

CAPíTULO 5

5.1 (à) 0 < x3a:V: PblL; M: PbxlL;a I x 3 L: V : -Pa/L; M : Pa(L - x\L.

5.22 136.0 MPa.5.26 14,29 MPa.5.27 (a) 12,00 kN.(á) 10,71MPa.5.29 (a) 866 mm. (á) 5,74MPa.5.30 17,19 MPa.5.32 (a) 33,3 mm. (b) 6,66 mm.5.45 (a) 140,0 N. (à) 33,6 N.m.5.47 10,89 MPa.5.50 (a) V : (u;oI-/n)cos(nx/L);

M : (w;Lz / ln2) sen(rr x/ L).(b) wú2/7r2.

5.52 (a) V: - lDú+wft tZt+wü3:u: -wfftz + wof/6L + wd.x/3.

(b) O,06al5 wot?.5.54 156,6 MPa.5.55 73,5 MPa.5.60 136,4 MPa.5.61 38,7 MPa.5.62 (b) 62,5 MPa.5.65 h:173,2mm.5.69 á:48.0mm.5.7O h:203 mm.5.73 W530 x 66.5.74 W250 x 28,4.5.75 13l0 x 47,3.5.76 I5r0 x 98,3.5.79 U230 x 19,9.5.80 U180 x 14,6.5.84 W6l0 x 101.5.87 7,48 kN.5.88 7,32 kN.5.90 (a) r,485 kN/m. (ó) 1,935 m.5.91 (a) 4,or kN. (b) 3,27 m.5.96 383 mm.5.97 336 mm.5.98 (a) v:2P/3- P(x-a\o:

M : -2Px/3 - P\* - a). (b) Pa/3.5.99 (a) V = -wu,c + ws\x - 2a) + 3wsa/2;

M : -wox2l2 + wk - 2a)2/2-t 3w0ax/2.(b) 't,oaz/z.

5.'t00 (a) V : -ro| - ) - 3w0a/4 + ríwp(x' Zalot+;, : -wo? -

"ftz - 3woax/4 t

l5w6t\x - 2a)/4.(b) -woa2/2.

5.101 (a) V: -wvic + tttç\x * a);n ' t=-woÌt2+.06-of tz.

(b) -3woa2/2.51O4 (a) v : -P(* - a)o; M : -P\x - a) - P"Q -

"lo(ò -Pa.5.105 (a) V : -P - r(x - zuzf;

M - -Px + PI-/3 - P(x - 2LB\t -PLG - zu3\o/3.

(b\ -4PU3.5.107 (a) V: -r,5x + 3(x - 0,t)0 + 3(x - 3,2)0kN;

M : -0,7sf + 3(-r - o,a) + :(; * 3,2) kN . m.(b) 600 N .m.

5.109 (a) v: 40 - 48<, - 1,5)0 - 60(x - 3,0)0 -0o(' - r.o)o tN;

M : 40x - 48(, - 1.5) - 600 - 3.0) +6ú - 3,6) kN.m.

(b) 60,0 kN . m.5.113 (a) 184,0 kN . m em x : 1,950 m. (b) 137,3 MPa.

5.25.35.45.5

5.75.85.115.135.185.20

(b) V : ut(U2 - x); M : wx(L - x)/2.(b) V = -ur*tZf; M = -wox3/6L.

(b) V = w(L - x); M : -w(L - x)2/2.(b) 0 = x 3 a: V : w(L - 2a)/2;

M:w(L-2a)x; a3x3L-a:V : w(Ll! - x); M = wl(L - 2a)x - (x - a)2112;L-a=x<L:V:w(L-2a)12;M:w(L-2a)(L-x)12.

(b) O = x 3 a: V : w(a. - x); M = w(ax - f/2);a 3 x 3 L - a: V : O; M -- wa'/2;L-a=x<L:V:ID(L-x-a);M : wla(L - x) - (L - x)2/21,

(a) 68,0 kN. (á) 60,0 kN'm.(a) 42,0 kN. (b) 27,0 kN ' m.(a) 85,0 N. (b) 21,25 N .m.

(a) 18,00 kN. (b) 12,15 kN . m.139,0 MPa.51,6 MPa.

5.116 (a) 0,872 kN . m. em x : 2,09 m.(b)h- l30mm.

5.118 IYI*á. = 35,6 kN at x -- 1,2 m;lMl^a*: 24,96 kN . m at Í : 3,6 m.

5.119 YÁ : 89,0 kN; Vo : -85,0 kÌ{;lMl^t": 178,0 kN . m no ponto B.

5.122 VA:10,20 kN; Vr: -13,80kN;

lMl^*: 16,16 kN .m em x:2,84 m;o*6* : 83.3 MPa.

5.123 lVl.á- : 40,0 kN; lMl^â*: 30,0 kN . m;o-1 : 40,0 MPa.

5.128 (a) h: ho6/L)r/2; (b) 167,7 mm.5.131 (a) h:ho(2x/L)t /2 para0= x=L/2.

(à) 60,0 kN.5.132 1,800 m.5.133 1,900 m.5.136 d : dolax(L - x)/L2f1/3.5.14O (a) 155,2 MPa. (b) 142,4 MPa.5.141 114,0 kN.5.144 (a) 152,6MPa. (Õ) 133,6 MPa.5.'145 ,(a) 4,49 m. (b) 2ll mm.5.148 (a) 0,240 m de cada extremidade. (b) 149,3 kN/m.5.152 (a) 600 N. (b) 180,0 N .m.5.161 (a) 3,45 kN. (á) 1125 N .m.5.C1 Prob.5.18: Emx = 2m'.V = 0,M: 104,0kN.m,

o : 139,0 MPa.

CAPíTULO 6

6.3 (a) r,387 kN. (b) 380 kPa.6.4 (a) 155,8 N. (b) 329 kPa.6.5 193,5 kN.6.6 2r7 kN.6.13 2r0 kN.6.14 (a) 206 kN.(b) 195,3 kN.6.19 (b) h : 225 mm; b : 61,7 mm.6.20 (b) h : 320 mm; b : 97,7 mm.6.21 (a) 3r,0 MPa. (b) 23,2MPa.6.23 32,7 MPa.6.26 (a) linha neutra. (b) 2.00.6.28 (a) meia altura. (b) 1.500.6.29 728 N.6.34 (a) 12,27 MPa. (b) 58,9 MPa.6.35 (a) 101,6MPa. (b) 79,9MPa.6.36 (a) 4r,4 MPa. (&) 4r,4MPa.6.39 (a) 4,55 MPa. (b) 3,93 MPa.6.40 (a) 41,3 mm. (b) 3,98 MPa6.45 255 kN.6.46 83.3 MPa.6.48 (a') 50,9 MPa. (b) 62,4 MPa.6.49 (a) 23,2 MPa. (b) 35,2MPa.6.53 (a) 2,25. (b) 2,r2.6.54 (a) 2,08. (b) 2,r0.6.55 proof.6.61 0,345 a.6.62 O;714 a.6.63 1,250 a.6.64 z(u2 - a)t(aa + 6b + h).6.67 (a) 10,22 mm. (b) 81,1 MPa (máximo).6.68 (a) 9,12 mm. (ó) 88,6 MPa (máximo).6.70 20,2 mm.6.71 6,14 mm.6.77 40,0 mm.

Respostas dos Probtemas Setecionados 755

6.78 0 ou 40,0 mm.6.81 (a) 144,6 N . m. (à) 65,9 MPa.6.82 (a) 144,6 N . m. (b) 106,6 MPa.6.87 P(Za - y)(0,750y - 0,500a)/a3t.6.88 P(a - x)(3,00x + r,000a)/a3t.6.89 738 N.6.94 (a) 239 N. (á) 549 N.6.95 (a) 239 kPa. (b) 359 kPa.6.100 (a) 50,6 mm. (b) 2,61MPa (máximo).6.Cl (a) h : l'13,2 mm. (b) h = 379 mm.6.C3 Prob. 6.10: (a) 920 kPa (b) 765 kPa.

CAPíTULO 7

7.17.47.77.87.117.13

7.177.227.257.267.287.307.537.547.60

:225"<0=278.1".7.62 -141,4 MPa para 141,4 MPa.7.66 (a) 100,0 MPa. (ó) 110,0 MPa.7.67 (a) 94,3 MPa. (b) 105,3 MPa.7.68 (a) 55,0 MPa. (b) 50,0 MPa.7.69 (a) 50,0 MPa. (b) 62,5 MPa.7.74 56,9 MPa; -130,0 MPa.7.79 -60,0 MPa para 60,0 MPa.7.8O (a) 45,7 MPa. (á) 92,9MPa.7.83 (a) 1,228. (à) 1,098. (c) escoa.7.87 717 N. m.7.89 ruptura.7.90 sem ruptura.7.95 196,9 N.m.7.96 50,0 MPa.7.98 83,1 MPa;41,8 MPa.7.102 (a) 1,290MPa. (D) 0,0852 mm.7.105 l,676MPa.7.107 103,8 MPa;52,5 MPa.7.11O 3.29 MPa.7.111 3.80 MPa.7.116 56,8. .7.117 (a) 419 kPa. (b) 558 kPa.7.118 45,1 MPa; 9,40 MPa.7.123 17,06 kN . m.7.126 115,0 p.;285 t-t; -5.72 1t.7.127 36,7 p.;283 p.;227 p".7.129 35'7 tt; -157,1 p; -613 p..7.130 115,0 t t ;285 t t ; -5.7 t - r .7.131 36,7 p.;283 p.;227 p..7.133 357 p.; -157,1 p.; -613 p..7.134 (a) -21,6";68,4";2'19 p.; 16O p..

14,19 MPa; 15,19 MPa32,9 MPa:71,0 MPa.(a) -37,0";53,0'. (b) -13,60 MPa; -86,4 MPa.(a) -31,0"; 59,0'. (b) 52,0 MPa; -84,0 MPa.(a) 8,0'; 98,0". (b) 36,4 MPa (c) -50,0 MPa.(a) -56,2 MPa; 86,2 MPa; -38,2 MPa.(b) -45,2MPa:'75,2 MPa;53,8 MPa(a) -0,300 MPa. (á) -292MPa.(a) 399 kPa. (á) 186,0 kPa.35,4 MPa; -35.4 MPa; 35,4 MPa.12,18 MPa; -48,7 MPa; 30,5 MPa.205 MPa.(a) -2,89 MPa. (D) 12,77 MPal' 1,226 MPa.(a) -8,66 MPa. (b) 17,00 MPa; -3,00 MPa.24,6 ; 114,6 ; 145,8 MPa; 54,2 MPa.-45" =0 < 8,1 ' ; 45" < 0 < 98,1o; 135" = 0 = 188,1'

{


(b) 877 p.. (c) 8"t'7 p..7.136 (a) -26,6';64,4";750 p; -150 p; -300 p,.

(á) 900 p.; (c) l05O p..7.137 (a) -30,1'; 59,9"; -298 tL; -702 p.; 5Q0 p..

(b) 403 p.. (c) r2O2 1t.7.14O (a) 37,0";121,0;512,5 p.; 87,5 tL"; 0.

(b) 425 p.; (c) 512,5 p..2.141 (a) 7,8";97,8";243,4 t t ;56,6 p. ; 0.

(r) 186,8 p.. (c) 243,4 tt.7.144 (a) -300 g.. (b) 435 p.; -315 p.;750 p..7.148 (a) -22,5";67,5";426 p.; -952 p.; -224 p..7.152 l,421MPa.7.158 (a) -0,250MPa. (b) -2,43MPa.7.164 (a) 4'1,9 MPa. (b) 102,7 MPa.7.166 (a) 97,5 MPa. (b) 85,0 MPa. (c) 120,0 MPa.7.C1 Prob.7.l4: (a) 24,0 MPa, -104,0 MPa, -1,50 MPa.

(b) -19,51MPa, -60,5 MPa, -60,7 MPa.7.C5 Prob. 7.128: e,' = -653 p, er, : 303 p',

e,' : -829 tt"7.C6 Prob.7.135: op: -33.7 ' ; €o : 100 F, er, : -420 p' ,

e. : 160.0 p..y^u* : 520 micro radianos (no plano); 7*6" : 580micro radianos.

7.C7 Prob. 7.138: ap : 37,9"; eo : -57,5 p',er, : -382 p,, e, = O.y^u, : 325 micro radianos (o plano); 7.u* : 383 microradianos.Prob. 7.139: op: 11,3"; ea: 310 P', eu: 50 P',€":0 'y^6*: 260 micro radianos (no plano); y-6* : 310micro radianos.

CAPíTULO S

(a) 195,1MPa. (b) 193,5 MPa. (c) aceitável.(a) 195,1 MPa. (D) 201,6 MPa. (c) não aceitável.(a) W360 x 32,9.(b) 146,1MPa;27,6 MPa; 118,4 MPa.(a) W690 x 125.(b) 128,2 MPa; 47,3 MPa; 124,0 MPa.(a) r3r,3 MPa. (à) 135,5 MPa.(a) 123,3 MPa. (á) ll9,0MPa.37,3 mm.39.5 mm.(a) 64,1MPa; 62,4 MPa; (b) 69,1 MPa; 65,0 MPa.37,0 mm.43,9 mm.41,3 mm.44,8 mm.(a) 116,3 MPa;0. (b) -4,4'l MPa; 13,42 MPa.(c) -125,2 MPa; 0.(a) -129,7 MPa;0. (b) -8,94 MPa;6,71 MPa.(c) 111,8 MPa;0.

8.39 (a) 20,4 MPa; 14,34 MPa.(b) -21,5 MPa; 19,98 MPa.

8.40 -20,2MPa; 2,82MPa.8.41 65,5 MPa; -21,8 MPa; 43,7 MPa.8.42 55,0 MPa; -55,0 MPa; -45"; 45";55,0 MPa.8.45 (a) 18,39 MPa; 0,391 MPa.

(b) 21,3 MPa; 0,293 MPa. (c) 24,1MPa;0.8.46 (a) -798 MPa; 0,391 MPa.

(b) -5,11 MPa; 0,293 MPa. (c) -2,25 MPa; O.8.49 (a) 30,1 MPa; *0,62 MPa; -8,2'; 81,8'.

(á) 15,37 MPa.8.50 (a) 0,12 MPa; -51,4 MPa'2,8':92,8".

(b) 25,8 MPa.8.53 86,5 MPa; 0; 57,0 MPa; 9,47 MPa.8.54 42,2 MPa; 2,83 MPa; 12,74 MPa 0.8.60 (at 6Pl GosBlh - senBlb)lbh. út ïg t(b/h).

8.63 12,20 MPal' -12,20 MPa; 12,20 MPa.8.66 41,2 mm.8.7O -14,98 MPa: 17,29 MPa.8.73 PQR+4rl31lnl .8.76 (a) 7,50 MPa. (b) 11,25 MPa. (c) 56,3'; 13,52 MPa.8.C6 Prob. 8.34: (a) -37,9 MPa; 14,06 MPa.

(b) -131,6 MPa; 0.

CAPíTULO 9

9.1 (a) Y : -rx2(3L - x)/6 EI.(D PL3B Er I. k) PL2/2 Er=\.

9.2 (a) Y = Mof/2 EL@) MoL2/2 Erï. k) MüEr ã..

9.3 (a) y: -wo(f - 5Lax + 4Ls)/l2oEL(D wüL4Bo EI I. G) woLLtz+ at a..

9.4 (a) y : -w (*u - 4L3x + 3L4)/24 EL(D wL4/8 Er J.. k) wL3/6 Er ã..

9.6 (a) y : u) ellf - x4)/24 H.(b) 11wL4B84 EIÌ. G) 51.t)L3/48 EI ã.

9.8 (a) y: w(l2r.f - 5xa - 6L2* - I lx)/r2\EL(b) t3wL4/p208lJ. t r t wL3/ l2O EI\ .

9.9 (a) 2,77 x 10-3 rad S. (b) 1,156 mm J.9.11 (a) y^:0,01604 M0L2/H J e-

". : 0,211 L.

(b) 6,09 m.9.15 (a) y:Mo(f - Lx+ a2)/281.

(D) 3.05 mm l.9.17 (a) y: wo(ru - zti + 5L3x3 - 3L5x)/9oEIL2.

@) woL33o E1T. (c) 6lwú4/5760 EI L9.18 (a) y: -wo(5L2x4 - ui + x6 - 5r4f)/r20nn2.

(b) woLa/ao EI I.I lwol- /401.l lwoL/40Ï.14,44 kN 1.9Mo/8Lï; M6/8 em A; -7Ms/16 próximo à esquerdade C; 9MdI6 próximo à direita de C; 0 em B.5P/16ï; Me : -3PL/16 M, = 5Pl,/32; Mn: 0.4lwL/128I; Me: 0, M^: 0,0513 utL2;Mn: -0,0547 utL2.

9.28 9woIJ640l; M^ = O,OO8L4 wol];Me : -0.0276 w&'.

9.29 7u;L/128f; Bwr4/6wq et 1..9.30 riwL/64f ; wr4nozq u I.9.33 wU2f ; uL2/12\; tt : wL (6xL - 6* - L2)/12.9.34 Pb2(3a + b)/L3Ï; Pab2/L2\: Mt: -Pab2/I];

Mo : 2Pa2b2/ L3; M u : - Pazbl L3.9.35 (a) y: Molr ' -3L\x- a)2

+ (3b2 - IJ)x)/6 EIL.(b) MoQb2 - L2)/6E1rX.(c) Mnab(b - a)/3 EILÏ.

9.36 (a) y: plbx3 - rG - o)t - b(L'- b'?)l/6ErL.(b) pb(Lz - b2)/6E1rs. 1c7 pa2b2/3 ErLL

9.37 (a) y: Pl-f/6 - k - a)3rc + 5a2x/2 - 7a3/21/EI.(b) 5Pa2/2 EI ã . (c) 7 pa3/2 EI L

9.38 (a) y:_Plx3/3 -/ç- a)3te -3ai/21/EI.(b\ 5Pa'/2 EI ã..k) 7Pa3/2 EI L

8.18.28.7

9.219.229.249.25

9.269.27

8.98.108.158.168.228,278.288.298.308.31

8.32

ì

tt

i

9.459.489.499.509.519.529.539.569.579.589.599.629.659.669.679.689.719.729.739.749.799.809.819-829.859.889.899.92

9.41 (a) y : ?oltftzt - (x - uzftz4 - 7L3n/2431/EI.(b) 7wL'/243 El 3.k) 2wL4/243 EI I.

9.42 (a) y: wl-3L2i /16+ t f t tz- (x- Ltz)otz+1tm.(b) 7u)L4/192 Er J..k) 4twL4B84 EI I.(a) 0,873 x 10-3radT. (b) 1,641 mmJ.(a) 9,51 x 10-3 rad X. (b) 5,80 mm J.(a) eMdsLÏ. (b) Mür:/125 Er I.(a) 5P/r6I. (D tpr3trcs u I.(a) 3Ml4Lï. @) |.UoL,tsr2Err.(a) 2P/3 ï. @) Spr't+Se il I.(a) rr,54 kN 1. (b) 4,18 mm .f.(a) 33,3 kN 1. (à) 3,19 mm J.(a) 3Md2LÏ; Mo/4\.(b) MoL/r6 EI ã.(a) 3wL/32Ì;5wr2/1-c/2\. (b) u)L4/768 EI l.1,648 mm J e*, : 2.86 m.5.80 mm J em x : 0.991 m.3Pr:/4 Er à; BPL3/24 Er t.1t)L3/48 EI à; uL4B84 EIÌ.wL3/48 EI\; uL4/384 EI I.l3wa3 / 6 EI \; 29waa /24 EII.(a) pa3(L - a)/6 ErLÌ. @) p"'(zt - a)/6 ErL à..(a) wL4/128 EI I. (b) wL3/i2 EIs,.6,30 X 10-3 rad T; 5,53 mm v.5,56 x l0-3 rad S; 2,50 mm +.(a) 7 wtl t28 ï. @) st wu t2t f ; Swtlt tztS.(a) 4Pl3 ï;PL/3 \ . (b) 2PB I.Ra:2MdLt; rRr : 3M/LI; Rc: MJL| .Re : 3P/8 t; Rc : 7P/8Ì; Ro : P/4 t.121,5 N/m.(a) 5,94 mm J. (a) 6,75 mm J.43,9 kN.(a) 10,86 kN ï ; 1,942 kN.m ì .(b) r,r44 kN 1; 0,286 kN . m J.

Respostas dos Problemas Selecionados 757

9.134 (a) wL3/4BE1s. (b) wr4/D8HI.9.139 (a) 3Mü16 Ers-'. (b) MouB Er 2. (c) Mor:/24 Er I.9.140 (c) 9wL3/256u1x. (b) 7wL3/256Erà.

\c) 5trL4/512 EI 1,.9.142 0.006i7 ?L3/EI em x: 0,433L.9.143 1,511 mm em x:2,81 m.9.147 sPlrcr.9.148 eMlsLï.9.149 7u;Ur28ï.9.15O rrwU4\Ì.9.153 65,3 kN t; 58,7 kN . m em D,. -82,8 kN . m em B.9.155 48 EI/lL3.9.156 144 Ei l r : .9.157 12,75 mm t.9.159 (a) y : (2woLa/n4gl)l-8cos(nx/2L) +

r2f/L2 + 2n(n - 2)x/L + n@ - n)1.(b) 0,1473 r0&3/Er ã.. (c) 0,1089 woÚtU I.

9.160 0,0642 M*L2|EII em.r : 0,57'7 L.9.163 (a) 0,714 x 10-3 rad 2.. (b) 1,071mm. 1.9.164 (a) 3,125 x 10-3 rad t. (Õ) 1,016 mm 1.9.C3 x : 1,6 m: (a) 7,90 x 10-3 rad S, 8,16 mm J;

(D) 6,05 x 10-3 rad S, 5,79 mm J;(c) 1,021 x 10 3 rad S, 0,314 mm J.

9.C5 (á) a -- 1,0 m: 0,293 x 10 3 rad X; 0,4i9 mm*.9.C6 Prob. 9.77: (a) 0,601 x 10-3 rad X. (Õ) 3,67 mm J.9.C7 x:2.5 m:5,31mmJ; x: 5,0m: 12,28mm-.

CAPíTULO 10

10.1 kL.1O.2 r(/L.10.3 ML.10.4 2kLt9.10.5 ka2/21.10.6 d>392mm.10.9 487 N.10.11 1,421.10.12 @) 7,48 mm. (b) 58,8 kN; 84,8 kN.10.19 4,00 kN.10.20 2,27.10.23 (a) 0,500. (b) 28,3 mm; 14,15 mm. ,10.24 657 mm.10.28 2,64 kN; 0,661 kN; 10,57 kN; 5,39 kN; 2,64 kN.10.32 (a) 1,552 mm. (á) 47,8 MPa.10.34 (a) 6,37 mm. (Õ) 68,7 MPa.10.37 (a) 368 kN. (ó) 103,8 Mpa.10.38 (a) 223 kN. (b) 62,8 MPa.10.41 37,2 "C.10.42 5,81 mm.10.45 (a) r89 kN. (b) 229 kN.10.46 (a) r47 kN. (á) 174 kN.10.49 2, t1 m.10.50 1.337 m.10.53 56 mm.10.54 64 mm.10.58 (a) 218 kN. (b) 8s9 kN.10.60 (a) 1568 kN. (á) 633 kN.10.62 (a) 26,4 kN. (à) 32,2 kN.10.64 45,4 kN.10.65 (a) 66,3 kN. (á) 243 kN.10.67 898 kN.10.74 @) a. (b) 3.

9.93 (a) 3r,2 m- J. (r) 17,89 mm t.9.95 (a) PL2/2 Er z-. (b) PL3B Er J.9.96 (al MvL/EI\. (b\ MoL2/2 EII.9.97 (a) 5pa2/2 EIX. (b) 7pa3/2EII.9.98 (a) wL3/6 EI ã. (b) wt4/B nI L9.101 (a) 5,22 x 10 3 rad ã.. (á) 10,88 mm l.9.104 (a) 2,55 x 1O-3 rad ã. (b) 6,25 mm I.9.106 25 Mra2/12 EIÏ; 11 Msa/6 EI5q..9.108 tal 6.10 x l0- j radt . (b) 6.03 mm J.9.109 (a) PL2/rc813.(D PL3/48ErI.9.110 (a) Pa(L- a)/2813.(b) pa(3L2 - +a2)tZ+uJ..9.111 (a) Mo(L - 2a)/2 EI\,. (b) M^(I] - +a2)n u I.9.112 (a) 5?.D&3/L92EIx. (b) wrranZOuI.9.113 (a) wa2(3L - 2a)/12 Er\.

(b) wa2(3IJ - za2)t+t at I.9.114 (a) PrlB2 Er3. (D PL3/n8 Er I.9.117 (a) 5,17 x l0-3radX. (á) 21,0mmJ.9.118 (a) 4,72 x l0-3 rad S. (á) 5,85 mm J.9.119 (a) 4,50 x l0-3 rad X. (b) 8,26 mm l.9.120 3,84 kN/m.9.123 0,211 L.9.124 0,223 L.9.125 (a) 4pL3/243 Er L (b) 4pL2/81 Er3.9.126 (a) 3MoL2/64 Er 1,. (b) 5MoI-/32 EI\.9.127 (a) 5pL3/768 Er !. (b) 3pL2/128 Er 3.9.129 (a) 8,70 x 10-3 rad =S. (b) 15,03 mm J.9.131 1a) 7.48 x l0 3 rad S. 1ó) 5.35 mm J.9.133 (a) Pa(2r + 3a)/6 EI\. (b) Pa2(L + a)B EI I.


10.76 d: l ,2 l mm.10-77 W250 x 67.10.80 (a) 3O,I mm. (ô) 33,5 mm.10.8íì L89 x 64 x 12,7.10.84 L89 x 64 x 12,7.10.85 (a) 409 kN; 303 kN. (á) 846 kN; 627 kN.10.87 W310 x 74.10.89 35,1 kN.10.90 28,2 kN.10.95 1,016 m.10.96 1,159 m.10.97 5,48 m.10.98 4,81 m.10.103 140 mm.10-104 140 mm.10.105 87,6 mm.10.106 83.9 mm.10.115 l2 mm.10.116 15 mm.'f0.117 n?b2/tztla.10.118 8 K/L.10.121 2,77 kN.10.126 W200 x 46,1.10.C1 r :8mm:9,07kN.

r : 16 mm:70,4 kN.10.C3 h- 5,0m:9819k9.

h : 7,0 m: 13255k9.

CAPíTULO 11

11.2 (a) 21,6 kym3. (b) 323 kllm3. (c) 160,7 Wlm3.11.3 (a) 177,9 kJ/m3. (b) 7l2kJlm3. (c) 160.3 kJ/m3.11.5 (a) 1296 kym3. (b) 90 MJ/m3.11.8 (a) 150 kvm3. (b) 63 MJ/m3.11.10 (a) 12,18 J. (á) 15,83 kJ/m3;38,6 kJ/m3.11.13 13,73 mm.1 1.16 0,24856 PzrJEAnín; -0,575Y".11.18 r ,500 PUEA.11.20 1.398 P2\/EA.11.23 Pa2(a + L)/6 EI. -11.24 tt8@. + b3)/6Err:.11.25 w2L5/40 EI.11.29 1048 J.11.30 662 J.11.33 12,701.11.38 (a) não escoa. (à) escoa.Í1.41 2M'zoL$ + 3 E*/rO Gr])/Ebê.11.42 24,7 mm.11.46 4,76 kg.11.49 2,55 mls.11.50 3,68 m/s.11.52 (a) 15,63 mm. (á) 83,8 N.m. (c) 208 MPa.11.53 (a) 23,6 mm. (á) 64,4 N . m. (c) 157,6 MPa11.55 (b) 7,r2.

11.57 Pa2b2/3 EIL +.11.58 Pa2(a + L)B EI I.11.59 Ms(a3 + b3)/3 Err] s.11.62 3Pa3/4i l I .11.63 5Mür6ErS,1í .64 3Mür6Er\ .11.65 59,8 mm.11.68 11,57 mm J.1i.71 3.375 PUEA--+.11.72 2,375 PUEA ->.11.76 3,19 mm J.11.77 (a) e (b) PÊrc u + pMoI]/2 EI + M2ü2 EL11.79 (a) e(b) trtlgaqr - pMoL2/l6Er + M2ü6EL11.80 h\ 5P2L3/t62EL11.81 (ò 7PL3/248r.11.82 (a) M2ü28r.1 1 .83 PL3/96 Er Ì.11.84 Prj/48 Er ã..11.85 5PL3/48 Er L11.87 Pab (31^a - 2a2 + 2b2)/6 EIL2 \.11.88 MoIl6 EIx.11.89 PaL2/t6 Et Ï.11.90 wr4nzg u Ì.11.92 wL3/192 EI .4_.11.95 7,25 mm L11.98 6,98 x 10-3 rad S.11.101 3,19 mm l .Í 1 .105 irPR3/2 EI J..11.106 (ò pR3/2 EI --+. (b) ítPR3/4 EI +.11.107 5PL3/6 EI -+.11.111 Rs = 3Ms/2LI; Uo : ïM,11.112 Rn : 5P/l6f ; Me = -3 PUl6; Mc: 5 PL/32.11.114 Ro = 3Mob(L + a)/2Úf ; Me : 0'.

Mo: 3Moab(L + a)/2L3; Ml: Mõ - Mo;Mn: ReL - Mo'

11.116 Re : 14 p/2'7 Ì; Mo : 01728 PL;

11.11711.11811.11911.12111.12211.12311.12411.12711.13411.C3

11.C4

11.C5

Mn: -0,1481 PL'P/(I + 2 cos34).3 Pt4.7 P/8.0,583 P2 Pt3.5,08 mm {.256 kJ.136,6 J.14,70 J.(a) L:200mm:h:2,27mm

L:800mm:h:1,076mm.(b) L:440mm:h:3,23mm.a : 300 mm: 1,795 mm, l'79,46MPa;a : 600 tnm: 2,87 mm, 179,59 MPa.a : 2 m: (a) 30,0 I; (b) 7,57 mm, 60,8 J.a : 4 m: (a) 21.,9 J; (b) 8,87 mm, 83,4 J.

12. Apêndices e Respostas

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