Apostila de Trigonometria Esférica e Ortodromia by CLC Vivekananda
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POSICIONAMENTO NA TERRA SUPOSTA ESFÉRICA
Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 07
Posicionamento na Terra
suposta esférica
POSICIONAMENTO NA TERRA SUPOSTA ESFÉRICA
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A sombra da Terra projetada na Lua Cheia durante o eclipse total
Lua mostrava que a forma da Terra poderia ser um disco ou
aproximadamente esférica.
Sol TerraLua
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Primeira imagem registrada de nosso planeta do espaço foi esta
fotografia em branco e preto e granulada. Tirada em 24 de
outubro de 1946, foi produzida por uma câmera de cinema
acoplada a um míssil V2 lançado da base de White Sands no
Novo México, Estados Unidos. Revista Galileu
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Primeira imagem da Terra de TV feita do espaço
em 1 de abril de 1960
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The Blue Marble foto tirada em 7 de dezembro de 1972 pela
tripulação da missão Apollo 17 (ultima missão tripulada), a uma
distância de aproximadamente 45 000 km da Terra, a caminho da Lua.
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Mapa da Região habitada por Eratóstenes Sec. II a C.
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Sol Sol
o
SienaAlexandria
(verão)
Eratóstenes 200 A.C.
1 / 50
1 / 50
2R - 360
c -
2R =————
360c
R
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P
R
A1
A
A2
Superfície Esférica
O
A B
Círculo Máximo distância esférica.
Considerações sobre a geometria da esfera
P
Meridiano
Equador
Meridiano de
Greenwich
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Movimento de Rotação da Terra
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Pêndulo de Focault – 1851 - Panthéon de Paris – (67m)
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault0.html
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PN
PS
Pólo: é um ponto da
superfície da terra esférica
onde o eixo de rotação toca
a superfície.
Equador é um circulo
máximo perpendicular
ao eixo de rotação
Meridiano é um círculo
máximo que contem o eixo
de rotação e os pólos.Eixo de rotação
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Pólo sul geográfico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Polo_Sul
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A região do pólo norte terrestre
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Raio de um paralelo da Terrapn
ps
Rp
R
R=raio da Terra
Rp = raio de um
paralelo
Eixo de
rotação
equador
paralelo
Rp = R cos
= latitude do
paralelo
Rp
R
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Velocidade de Rotação de um ponto na Terra Esférica
ce = 2R
Latitude de Irati
Pn
Ps
q q´o
Equador Irati
R = 6372 km Rp = 5753 km
ce=40036 km cp=36146 km
ve = ce/24h vp = ce/24h
ve=1666 km/h vp=1506 km/h
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Giroscópio princípios
precessãoRigidez giroscópica
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Globo terrestre23º27´
Eixo de rotação
equador
ecliptica
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Movimento de translação da Terra
Perihélio
Janeiroafélio
Julho
Leis de Kepler
Terra
Sol
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Equinócio de
outono (21/03)
Equinócio de
primavera (23/09)
Solstício de
Inverno (21/06)
Solstício de
Verão (21/12)
Sol
Estações do ano – Movimento de translação
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Movimento de rotação associado ao movimento de translação
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Considerando o raio da Terra R=6372km, o comprimento do
equador será 2πR=40036km e equivale a 360°
Tem-se então que 360° = 40036km
1° = =111 km 1′ = = 1852m
1º na Terra suposta esférica equivale a 111km
1’ equivale a 1852m ( uma milha naútica)
1” na Terra equivale a 30m (em latitude)
0,1” equivale a 3m
0,01” equivale a 30cm
0,001” equivale a 3 cm
0,0001” equivale a 3mm
Uma milha náutica equivale a 1′ de arco na Terra.
40036
360
111000
60
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Carta 1:1.000.000 6° em longitude ou 666 km 4° em latitude 444km
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Carta 1:50000
Pontal do Paraná
λ= 48°30′W
Φ = 25° 30′S
Toda carta 15′x15′
15′ = 15 milhas
náuticas
15x1852 =27780m
Área coberta pela
carta 771,7 km2
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Pn
Z
P s
QQ'
O
A
A'
Greenwich
meridiano
do ponto A
Coordenadas Geográficas de um ponto A na Terra esférica
latitude
longitude
verticaleixo de
rotação
equador
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90°S - 0° - 90°N
180°W - 0° - 180°E
longitude
latitude
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Latitude: é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto
considerado.
convenções: positiva no hemisfério norte da Terra
varia de 0o a o
negativa no hemisfério sul da Terra
varia de 0o a o
Longitude: é o arco de equador medido desde o Meridiano de
Greenwich até o meridiano do ponto considerado
convenções: positiva a Leste de Greenwich
varia de 0o a o
negativa a Oeste de Greenwich
varia de 0o a o
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Observatório de
Greenwich
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A
BRp
sParalelo
terrestre
Eixo de rotação
s = Rp x
expresso em radianos
Distância entre dois meridianos, medida em um paralelo
Supondo a Terra esférica
R = raio da Terra
Rp = raio do paralelo
Rp = R cos
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Convergência dos meridianos aos pólos geográficos
Meridiano de
Greenwich =0º
Equador
=0º
60 milhas naúticas
52 m.n
30 m.n
paralelo
equador
meridianomeridiano
0º
30º
60º
Pn
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60 milhas naúticas
52 m.n
30 m.n
paralelo
equador
meridianomeridiano
0º
30º
60º
Pn
Apartamento: é a distância
expressa em milhas naúticas ao
longo de um paralelo terrestre.
(apartamento - designa o afastamento
ou separação)
Apart= Δ x cos ()
Δ = diferença de longitude = latitude do paralelo
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Distâncias na esfera e no plano
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Azimute da direção a-b na esfera
Navegação em loxodrômica
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Pn
P s
QQ'O
B
B’
B
B
Greenwich
meridiano
do ponto A
Azimute da direção A-B na Terra Esférica
A
AAB
G’A’
A
A
ortodrômica
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Distância esférica A-B
cos d = sen A sen B + cos A cos B cos
= B - A
D = R x d
onde d é a distância esférica expressa em radianos
Azimute esférico AB
sen
AAB = arc tg
cos A tg B - sen A cos
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PROGRAMA NAVE
PONTA DO FÉLIX
Latitude: 25° 36' 53” S Longitude: 48° 46' 56” W
Azimute PONTA-NANIBIA :105.0° Norte por leste
NANIBIA
Latitude: 25° 36' 53” S Longitude: 14° 48' 04” E
Azimute NANIBIA-PONTA :255.0° Norte por leste
Distância esférica: 6301 kilometros
3403 milhas naútica
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NANIBIA
ORIGEM
PONTA DO FÉLIX
DESTINO
Centro
da
Terra
6301 km
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Distância esférica (ortodrômica)
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São Paulo
Latitude: 23° 34'S Longitude: 46° 38'W
Azimute São Paulo-Luanda :86.2° Norte por leste
Luanda
Latitude: 8° 50'S Longitude: 13° 20'E
Azimute Luanda-São Paulo :247.8° Norte por leste
Distância esférica: 6570 kilometros
4082 milhas terrestre
3547 milhas naútica
http://www.timeanddate.com/worldclock/distance.html
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Plotagem da ortodrômica na Carta
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Pn
Ps
Q Q'
vertical
N
S
E
W
o
N
S
EW
Plano topográfico
meridiano
equador
linha norte-sul
linhaleste-oeste
Avt
v
t
linha norte-sul - Azimute de uma direção
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Pn
Z
Y
X
P s
QQ'O
GMeridiano
de Greenwich
eixo de
rotação
Sistema de coordenadas cartesianasassociado à Terra.
equador
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Meridiano de longitude
Paralelo de latitude
X
Y
Z
N
EW
P
O
R
•
meridiano
de Greenwich
=0°
•
Equador =0°
•
•
- longitude Geográfica
- latitude Geográfica
R – raio médio da
Terra
O - Geocentro
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PnZ
Y
X
Ps
QQ'O
A
A'
Greenwich
meridiano
do ponto A
Posição do ponto A na Terra no sistema
de coordenadas cartesianas polares.
A''
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Z
X
Y
A
r
zA
yA x A
A ’
r
A
A ’
O
O
zp
r ’
zA = r sen
r ‘ = r cos
O
A ‘
P “
A “
r ‘xA
yA
xA = r’ cos
yA = r’ sen
xA = r cos cos
yA = r cos sen
zA = r sen
Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais associado
a Terra Esférica
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yA
tg =
xA
zA
= arc sen [ ]
(xA² + yA²)½
r = (xA² + yA²)½
Conhecidas as coordenadas tridimensionais calcular as
coordenadas esféricas
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Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372km, um
ponto situado no quartel do Corpo de Bombeiros em
Chapecó SC, tem suas coordenadas geográficas
conhecidas:
=27 5 2,55S e =52 37 ,2W . Calcular as
coordenadas cartesianas retangulares ortogonais num
sistema dextrógiro, geocêntrico, cujo eixo X encontra-se
no meridiano de Greenwich e o eixo Z apontando para o
pólo norte terrestre.
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Solução:
xA = r cos cos
xA =6372x cos (-27 5 2,55)x cos (- 52 37 ,2)
xA =6372x 0,890317576 x 0,607105396 = 3444,172km
yA = r cos sen
yA =6372x cos (-27 5 2,55)x sen (- 52 37 ,2)
yA =6372x 0,890317576 x -0,794621318= -4507,969km
zA = r sen
zA =6372x-0,455340107 = -2901,427km
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Exercício Proposto:
Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372km,
um ponto situado na Ponta do Félix, tem suas
coordenadas geográficas conhecidas:
= 25 36 53,0S e = 48 46 56,0W
Calcular o comprimento da ortodrômica e o azimute
da direção a ser navegada para se atingir Lagos
= 6° 23' 44” N = 3° 24' 01” E
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Solução:
a) Calculo do comprimento da ortodrômica (distância
sobre o círculo máximo) que une os dois pontos da
Terra:
cos d = sen A sen B + cos A cos B cos
senA= sen(- 25 36 53,0) = -0,432317461
cos A= cos(- 25 36 53,0) = 0,901721471
sen B = sen (6° 23' 44 ) = 0,111391845
cos B = cos (6° 23' 44 ) = 0,993776562
= B - A = 3° 24' 01 –(- 48 46 56,0 )
= 52 10 57,0
cos = 0,613148364
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cos d = 0,501291535 (1º Q ou 4º Q)
Adota-se o 1º Q pois d<180 ° por definição.
d = 59,91451586° = 59 54 52,3
drad = 1,045705572 rad
D = R x d
D = 6372 x 1,045705572
D = 6663,2 km.
b) Cálculo do Azimute da direção Ponta do Féliz –Lagos
sen AAB = arc tg
cos A tg B - sen A cos
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0,789967773
AAB = arc tg = 2,157508356
0,366148187
Possível no 1º Q e no 3º Q como o numerador e o
denominador são positivos adota-se o 1º Q
AAB = 65,13238913°
AAB = 65 07 56,6