UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO CENTRO DE EDUCAO ABERTA E A DISTNCIA

LICENCIATURA EM MATEMTICA

Fundamentos de Anlise

Lista 1 Nmeros Reais

1) Prove as propriedades (a) (f) da pgina 13 do livro texto base.

a) xx =+0 , para todo x real De fato, seja Rx , como sabemos que R0 e como R corpo temos que

0=+ xx . Ento somando x em ambos os lados da igualdade temos 0)( +=+ xxxx xxx =+=+ 00 logo provamos que xx =+0 .

Pelo mesmo argumento acima temos que 0)( =+ xx aplicando a comutatividade da soma segue que 0)()( =+=+ xxxx .

b) Rxxx = ,1 e 0 e ,11 = xRxxx A primeira igualdade segue da comutatividade do produto, pois

xxxx == 11 A segunda tambm pois 11 11 == xxxx

c) Rxx = ,00 De fato, observe que 0)()(0 =+=+=+= xaxaaxaxaaxx para todo Rax , e usando a prop distributiva. Outra forma de provar observar que

xxxxxxx ==+=+=+ 1)10(100 assim podemos concluir que Rxx = ,00 .

d) Se Ryx , e 0= yx , ento 0=x ou 0=y Suponha que 0= yx e que 0y assim temos que existe Ry 1 , multiplicando em ambos os lados da igualdade, temos

0010 11 === xxyyyx , do mesmo modo supondo 0x conclui-se que 0=y .

e) i) ( ) ( ) ( )x y x y xy = = e ii) ( )( )x y xy = e iii) ( ) , ,x x x y R = . i) Observe que 0 ( ( )) ( )x x y xy x y= + = + , assim temos ( ) 0xy x y+ = , somando ( )xy em ambos os lados obtemos ( ) ( ) ( ) 0xy xy x y xy + + = + obtendo ( ) ( )x y xy = como queramos demonstrar. Com o mesmo raciocnio prova-se que ( ) ( )x y xy = .

iii) Para provar que ( )x x = , basta observar que ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0x x x x x x x x + = + + = + + = + o que mostra

que ( )x x = .

ii) Agora vamos prova que ( )( )x y xy = . De fato, observe que se usarmos a afirmao anterior teremos ( )( ) [ ( )] [ ( )]x y x y xy = = que por (iii) temos

[ ]( )xy xy = assim provamos que ( )( )x y xy = .

f) Temos que provar que 2 2x y x y= = . Como temos por hiptese que 2 2x y= somando 2y em ambos os lados obtemos 2 2 2 2 2 2 0 ( )( ) 0x y y y x y x y x y = = + = , logo podemos concluir por

(d) que 0x y x y+ = = ou 0x y x y = = , assim temos x y= .

2) Prove as propriedades O1, O2, O3 e O4 da relao de ordem x < y da pgina 14 do livro texto base.

O1) Transitividade: se x < y e y < z, ento x < z. Pela definio temos que se x y y x R+< , se y z z y R+< segue ento que ( ) ( )y x z y R z y y x R z x R+ + + + + o que mostra que x z< .

O2) Tricotomia: Dados ,x y R , ento tem-se x y= ou x y< ou x y> . Sabemos que se ,x y R ento temos que x y R e 0y x = ou y x R+ ou

( )y x R+ . Assim obtemos: Se 0y x = temos x y= , se y x R+ temos x y< e se ( )y x R x y R+ + e temos y x< ou seja x y> .

O3) Monotocidade da adio: Dados ,x y R , se x y< ento x z y z+ < + z R .

Sabemos que se x y< temos y x R+ , assim y x z z R+ + pois 0z z = . Segue ento que ( ) ( )y z x z y z x z R++ = + + o que mostra que x z y z+ < + .

O3) Monotocidade do produto: Dados ,x y R , (i) se x y< e 0z > , ento xz yz< e (ii) se x y< e 0z < , ento xz yz> . (i) Sabemos que se x y< temos y x R+ , como 0z > segue que z R+ assim ( )y x z R yz xz R+ + o que mostra que xz yz< .

(ii) Sabemos que se x y< temos y x R+ , como 0z < segue que z R+ assim ( )( ) ( ) ( )y x z R y z x z R xz yz R+ + + o que mostra que yz xz< ou seja, xz yz> .

3) Exerccios 1.6 da pgina 19 do livro texto base. a) a b a b = Como a a= ou a a= temos que ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2a a a a a a= = = = . Assim temos ( )2 2 22 2 2a b a b a b a b = = = podemos ento concluir que

( )a b a b = como o valor absoluto sempre positivo segue que a b a b = .

Outra maneira de mostrar a seguinte: Suponha que 0a e 0b ento a a= e b b= e 0a b logo temos a b a b = e a b a b = o que mostra que a b a b = .

Se 0a e 0b < ento a a= e b b= e 0a b logo temos ( )a b a b = e ( ) ( )a b a b a b = = o que mostra que a b a b = .

Se 0a < e 0b prova-se de modo anlogo. Se 0a < e 0b < ento a a= e b b= e 0a b > logo temos a b a b = e

( ) ( )a b a b a b = = o que mostra que a b a b = .

b) a b a b+ + (desigualdade triangular) Observe que a a e b b logo temos que a b a b+ + do mesmo modo tem-se a a e b b logo ( )a b a b a b+ = + assim temos que

{ }max ,a b a b a b a b+ = + +

c) a b a b De fato, pois a a b b a b b= + + assim se somarmos b em ambos os lados temos a b a b ou seja a b a b .

d) a b a b Por (c) temos a b a b e que ( )b a b a a b = , como a b b a = segue que { }max , (a b a b a b a b = , logo

provamos que a b a b .

e) x a a x a < < < + Temos que e ( )x a x a x a < < < e x a x a a x < < < e x a x a x a < < > e x a x a x a < < + > x a a x a < < < +

f) a c a b b c + Observe que ( ) ( )a c a c b b a b b c a b b c = + = + + como queramos provar.

g) a b a b < < + De fato, pois por hiptese a b < ento pela letra (C) segue que a b a b assim podemos concluir que a b a b a b < < +

4) Se mostre que .

5) Prove as propriedades de supremo e nfimo da pgina 18 do livro texto base. I) Seja ,A B R tal que , e a b a A b B , ento: i) infSupA B . Temos pela definio de supremo e nfimo que: sup ,A a a A e inf ,B b b B . Ento suponha por absurdo que sup infA B> . Logo teremos que tal que infa A B A < ento

tal que bb B a < o que um absurdo pois por hiptese , e a b a A b B o que prova infSupA B .

ii) sup inf dado 0, e A B a A b B= > tal que b a < . ( ) Suponha que sup infA B= , logo temos que

0, b tal que inf2

B b B > < + e 0, a tal que sup2

A A a > <

sup2

a A < . Logo podemos concluir que inf sup2 2

b a B A < + + ,

como temos sup infA B= segue que b a < .

( )

II) Sejam ,A B R , conjuntos limitados e c R , ento: 1) So limitados os conjuntos { }; e A B x y x A y B+ = + e { };c A c x x A = Como A limitado ento 1 1 k tal que ,R x k x A e como B limitado

2 2 k tal que ,R y k y B sendo assim segue que 1 2x y x y k k+ + + o que mostra que { }; e A B x y x A y B+ = + limitado. Tambm segue que

1c x c x c k = o que mostra que { };c A c x x A = limitado.

2) ( )sup supA B A SupB+ = + e ( )inf inf infA B A B+ = + .

Sejam infa A= , infb B= , ' supa A= e ' supb B= assim 'x a x A e 'y b b B ento ' ' ,x y a b x A y B+ + logo sup A SupB+ cota

superior de A + B. Basta mostrar que a menor das cotas inferiores. 0, e x A y B > tal que ' e ' ' '

2 2 2 2a x b y a b x y < < + < +

logo ( ' ')a b x y+ < + que pertence a A + B. Logo ( )' ' supa b A B+ = + . Alm disso x a e y b e x A y B segue que x y a b+ +

e x A y B o que mostra que a b+ cota inferior para A + B. Tambm temos 0, e x A y B > tal que e

2 2x a y b y < + < + < ento

( )x y a b + < + + . Logo ( )infa b A B+ = + .

3) Se 0c , ( )sup supc A c A = e ( )inf infc A c A = Sejam ' supa A= e infa A= ento 'x a x A e ,x a x A , ento dado

0c segue que 'c x c a e c x c a c x c A . Tambm temos que

0, e 0x A c > > tais que 'a xc

< e x a

c

< + ento 'ca cx < e

cx ca > + , o que mostra que ' sup( )ca cA= e inf( )ca cA= .

4) Anlogo a 3

6) Para cada conjunto abaixo liste trs cotas superiores:

a) [0, 1] cotas superiores: 1; 3/2; 2,5 b) (0, 1) cotas superiores: 1; 3/2; 2,5 c) {2, 7} cotas superiores: 7; 8; 9 d) {, e} cotas superiores: 4; 5; 6 e)

Nnn

/1 cotas superiores: 1; 2; 3

f) {0} cotas superiores: 1; 2; 3 g) [0, 1]U [2, 3] cotas superiores: 3; 4; 5

h) I

=

+

1

11,1n nn

= [ ] [ ]1,0...23

,

212,1 =

cotas superiores: 1; 2; 3

i)

Nnn

/311 cotas superiores: 2/3; 8/9; 26,27

j) }2/{

b) (0, 1) cotas inferiores: 0; -3/2; -2,5 c) {2, 7} cotas inferiores: 2; 1; 0 d) {, e} cotas inferiores:2; 1; 0 e)

Nnn

/1 cotas inferiores: 0; -1; -2 f) {0} cotas inferiores: 0; -1; -2 g) [0, 1]U [2, 3] cotas inferiores: 0; -1; -2

h) I

=

+

1

11,1n nn

= [ ] [ ]1,0...23

,

212,1 =

cotas inferiores: 0; -1; -2

i)

Nnn

/311 cotas inferiores: 0; -1; -2

j) }2/{

c) O conjunto dos pontos da reta real cuja distncia a 6 maior do que 3. { }; 6 3x R x >

11)Descreva geometricamente os conjuntos:

a) b) c) d)

12)Mostre que os dois conjuntos so iguais:

}4/{