Lgica x Raciocnio Lgico11 Mestre Jussilvio PenaCaptulo 01lgiCa NTRODUO A LGCA CONCETOS BSCOS SOBRE AS ESTRUTURAS LGCAS OPERAES LGCAS TAUTOLOGA, CONTRADO E CONTNGNCA AS TRS LES FUNDAMENTAS DO PENSAMENTO LGCO PROPOSES LOGCAMENTE EQUVALENTES NEGAO DE PROPOSES COMPOSTAS DAGRAMAS LGCOSMestreJussilvio PenaCaptulo 01 - LGCA12 Mestre Jussilvio PenaLgica x Raciocnio Lgico13 Mestre Jussilvio Pena1. Introduo a LgicaLgicaacinciaquetratadosprincpiosvlidosdoraciocnioeda argumentao. Seu estudo trata das formas do pensamento em geral e das operaes intelectuais que visam determinao do que verdadeiro ou no, ou seja, um encade-amento coerente de alguma coisa que obedece a certas convenes ou regras. Assim, o estudo da Lgica um esforo no sentido de determinar as condies que permitem tirar de determinadas proposies (ponto ou ideia de que se parte para estruturar um raciocnio), tambm chamadas de premissas, uma concluso delas derivada.2. Conceitos Bsicos Sobre as Estruturas LgicasProposiesDenomina-se proposio toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que exprima um juzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso. Somentessentenasdeclarativaspode-seatribuirvaloresdeverdadeiroou falso,oqueocorrequandoasentena,respectivamente,confrmadaounegada. De fato, no se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso s demais formas de sentenas como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas tambm expressem juzos. So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas: O nmero 6 par. O nmero 15 no primo. Todos os homens so mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. Alguns canrios no sabem cantar. Se voc estudar bastante, ento aprender tudo.Eu falo ingls e espanhol. Miriam quer um sapatinho novo ou uma boneca. No so proposies:Qual o seu nome? Preste ateno ao sinal.Caramba! Captulo 01 - LGCA14 Mestre Jussilvio PenaNo caso das proposies, a lgica matemtica tem como base dois princpios:Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.Princpio do terceiro excludo: Toda proposio ou falsa ou verdadeira, no existe uma terceira opo.Outros exemplos de proposies:r: O nmero 2 primo.s: Marte o planeta vermelho.t: No Brasil, fala-se espanhol.u: Toda ave voa.v: O nmero 3 par.x: O nmero 7 primo.z: O nmero 7 mpar.Percebaqueestamosutilizandoumaletraminsculaparanomearmosas proposies, desta forma, quando nos referirmos a proposio r, estamos nos referindo a O nmero 2 primo.Valores Lgicos das ProposiesValorlgicoaclassifcaodaproposioemverdadeiro(V)oufalso(F), pelos princpios da no contradio e do terceiro excludo. Sendo assim, a classifcao nica, ou seja a proposio s pode ser verdadeira ou falsa.Para as proposies utilizadas no tpico anterior, os valores lgicos so:r: O nmero 2 primo. (Verdadeiro)s: Marte o planeta vermelho. (Verdadeiro)t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso)u: Toda ave voa. (Falso)v: O nmero 3 par. (Falso)x: O nmero 7 primo. (Verdadeiro)z: O nmero 7 mpar. (Verdadeiro)Lgica x Raciocnio Lgico15 Mestre Jussilvio PenaSentenas abertasSentenasmatemticasabertasousimplesmentesentenasabertasso expresses que no podemos identifcar como verdadeiras ou falsas.Por exemplo:x + 2 = 9Essa expresso pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incgnita x.Se x for igual a 7, a sentena verdadeira, pois 7 + 2 = 9Se x for igual a 3, a sentena falsa, pois 3 + 2 no igual a 9 (3 + 2 9)Em sentenas abertas sempre temos algum valor desconhecido (incgnita), que representado por uma letra do alfabeto.Pode-se colocar qualquer letra, mas as mais usadas pelos matemticos so: x, y e z.Veja outros exemplos de sentenas abertas:x + 3 6 (desigualdade)2y - 1 < -7 (inequao)Pode-se, tambm, ter uma sentena aberta como proposio, porm nesse caso no possvel atribuir um valor lgico.Exemplos:1) Obtenha o valor lgico da sentena abaixo.b: x um y brasileiro.Nessa proposio b, o valor lgico s pode ser encontrado se soubermos quem x e y (variveis livres).NocasodexigualaRobertoCarloseyigualacantor,aproposioser verdadeira. J no caso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposio ser falsa.Portanto,muitocomumnaresoluodeproblemasmatemticos,trocar-se alguns nomes (ou todos) por variveis.2) Estude os valores lgicos da sentena aberta:Se 10x - 3 = 27 ento x - 7x = -12Sabendo-sequenaprimeiraequaoovalordexigual3,enasegunda equao os valores relacionados a x so 3 e 4.Resposta:a) Se x = 3 ento a condio se verifca (V, V);b) A condio (V, F) no se verifca;c) Se x = 4 ento a condio verdadeira (F, V);d) Se x diferente de 3 e x diferente de 4, ento a condio (F, F) verdadeira.Captulo 01 - LGCA16 Mestre Jussilvio Pena Vamos Praticar01. Identifque com F as sentenas fechadas e com A as abertasa) () 4 + 7 = 10e) () 18x + 3 = 3b) () 6 + x = 2f)() z - 6 = -10c) () 2 - 1 < 5g) () 5 - 2 = 9d) () y - 3 = 6 a) F b) A c) F d) A e) A f) A g) FConectivos Lgicos (ou Estruturas Lgicas)Existemalgunstermoseexpressesqueestofrequentementepresentesnas proposies,taiscomo:no,e,ou,ou...ou...,se...ento...e...see somente se..., aos quais denominamos conectivos lgicos ou estruturas lgicas. Os conectivos so representados por smbolos, como mostra a tabela abaixo:Conectivo Smbolono ~ oueouou... ou... se... ento......se e somente se...Proposies Simples e CompostasAs proposies so classifcadas em simples e compostas:Proposies Simples ou Atmica: so as proposies formadas por uma nica proposio, ou seja, no contm nenhuma outra como parte integrante de si mesma. Essas proposies so nomeadas por letras minsculas do alfabeto:a, b, c,...Lgica x Raciocnio Lgico17 Mestre Jussilvio PenaExemplos de proposies simples (atmicas):r: O nmero 2 primo. (Verdadeira)v: O nmero 3 par. (Falsa)x: O nmero 7 primo. (Verdadeira)z: O nmero 7 mpar. (Verdadeira)a: Todo nmero par mltiplo de 2. (Verdadeira)Proposies Composta ou Molecular: Soasproposiesformadasporcombinaesdeduasoumaisproposies simples. Taiscombinaessofeitas atravs dos conectivos.Essas proposies so nomeadas por letras maisculas do alfabeto: A. B, C,...Apartirdasproposiessimplescitadasnoexemploanterior,pode-segerar, utilizando conectivos, outras compostas como: W: O nmero 2 primo e o nmero 7 mpar.Y: O nmero 3 par ou o nmero 7 primo.D: Se o nmero 7 primo ento ele mpar.K: O nmero 3 par se e somente se for mltiplo de 2.Utilizando os smbolos que representam os conectivos tem-se que as proposies compostas acima podem ser escritas como:W: r zY: vxD: x zK: v aOs valores lgicos das proposies W, Y, D e K so respectivamente V, V, F, V.Para se formar proposies compostas utiliza-se apenas os conectivos, e, ou, se...esto, se e somente se; no se utiliza o conectivo no; basicamente, a partir de uma proposio possvel construir uma negao e com suas ou mais proposies pode-se formar estruturas conhecidas como:conjunes (re z)disjunes (rou z)condicionais ( se r, ento z)bicondicionais (rse e somente se z)Captulo 01 - LGCA18 Mestre Jussilvio PenaExemplo 1: Considerando as proposies simples:P: h nuvens hojeQ: choverR: ventarS: far bom tempo amanhTraduza as proposies moleculares abaixo.a) P Qb) P ~ Sc) ~ S (Q R)d) ~ P Se) P (Q R)f) (P Q) Rg) (P Q) (~ R S)Resoluo:a) Se h nuvens, chover.b) Se aparecerem nuvens hoje, amanh no teremos bom tempo.c) No teremos bom tempo amanh pois chover e ventar.d) Se no surgirem nuvens hoje, amanh teremos bom tempo.e) H nuvens, de modo que teremos chuva ou vento.f) Se h nuvens, chover; ou teremos vento.g)Teremosnuvenshojeseesomentesechover;masnoteremosventoe teremos bom tempo amanh.Exemplo 2: Considerando as proposies simples:P: O estudante comete erros.Q: H motivao para o estudo.R: O estudante aprende a matria.Simbolizar:a) Se o estudante no comete erros, aprende a matria.b) Se h motivao para o estudo, o estudante no comete erros.c) Se no h motivao para o estudo, ento o estudante comete erros ou no aprende a matria.Lgica x Raciocnio Lgico19 Mestre Jussilvio Penad) Se o estudante comete erros, ento, se no h motivao para o estudo, o estudante no aprende a matria.e) O estudante no comete erros ou aprende a matria se h motivao para o estudo.f)Oestudantecometeerros:almdisso,hmotivaoparaoestudoeo estudante aprende a matria.Resoluo:a) ~ P Rb) Q ~ Pc) ~ Q (P ~ R)d) P (~ Q ~ R)e) Q (P R)f) P (Q R) Vamos Praticar01. Considerando as proposies simples:P: Paulo aprovado no exame.Q: Paulo conclui a sua tese.R: Paulo recebe o ttulo de doudor.S: Paulo lecionar na faculdade.T: Paulo ensinar no colgio.Traduza as proposies moleculares abaixo:a) (P Q) ~ Rb) (~ P ~ Q) ~ Sc) (P Q R) ~ Td) R (S~T)e) R (P Q)f) ~ P (~ R S)g) S (P Q R)h) T ~ RCaptulo 01 - LGCA20 Mestre Jussilvio Pena02. Considerando as proposies simples:P: Paulo diminui os erros cometidos.Q: H motivao para o estudo.R: Paulo aprendeu a matria.S: O professor bom.Simbolizar:a) Se o professor bom, Paulo aprende a matria.b) Se o professor no bom, no h motivao para estudar.c) O professor bom, h motivao para estudar e, alm disso, Paulo aprende a matria.d) Paulo no aprendeu a matria, ele no diminuiu os erros cometidos.e) Se Paulo no diminuiu os erros cometidos, o professor no era bom ou no havia motivao para estudar.f) Paulo aprende a matria ou diminui os erros cometidos.01. a)Paulofoiaprovadonoexamepois concluiusuatese,ounorecebero ttulo de Doutor.b)SePaulonofoiaprovadoeno concluiu sua tese, ento no lecionar na faculdade.c)SePauloforaprovadonoexame, concluirsuateseereceberottulode Doutor, ento, no ensinar no colgio.d) Se Paulo receber o ttulo de Doutor, ento ele lecionar na faculdade e no ensinar no colgio.e) Se Paulo recebeu o ttulo de Doutor, entoelefoiaprovadonoexamee concluiu sua tese.f)SePaulonoforaprovadono exame, ento ele no receber o ttulo de doutor e lecionar na faculdade.g)Paulolecionarnafaculdade,see somentese,foraprovadonoexame, concluirsuateseereceberottulode Doutor.h)Pauloensinarnocolgio,see somentese,noreceberottulode doutor.02.a) S R b) ~ S ~ Qc) S Q R d) ~ R ~ Pe) ~ P (~ S ~ Q) f) R PLgica x Raciocnio Lgico21 Mestre Jussilvio PenaA tabela-VerdadeDa mesma forma que as proposies simples podem ser verdadeiras ou falsas, as proposies compostas podem tambm ser verdadeiras ou falsas. O valor-verdade de uma expresso que representa uma proposio composta depende dos valores-verdade das subexpresses que a compem e tambm a forma pela qual elas foram compostas.As tabelas-verdade explicam a relao entre os valores-verdade de uma expresso composta em termos dos valores-verdade das subexpresses e variveis que a compem.Natabelaseguinte,encontra-setodososvaloresLgicospossveisdeuma proposio composta correspondente das proposies simples abaixo:p: Evandro estudioso.q: Ele passar no concurso.p q1 V V2 V F3 F V4 F FTeorema do Nmero de Linhas da Tabela-VerdadeAtabela-verdadelistatodasaspossveiscombinaesdevalores-verdadeV e F para as variveis envolvidas na expresso cujo valor lgico deseja-se deduzir. A tabela-verdade de uma proposio composta com n proposies simples componentes contm 2n linhas. Ou seja, cada proposio simples tem dois valores V ou F, que se excluem.Paranproposiosimples(atmicas)distintas,htantaspossibilidades quantossoosarranjoscomrepetiode(VeF)elementosnan.Segue-sequeo nmero de linhas da tabela-verdade 2n. Assim, para duas proposies so 4 linhas; para trs proposies so 8; etc.Ento, para se construir uma tabela-verdade procede se da seguinte maneira;1 - Determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer construir;2 - Observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema;3 - Aplicam-se as defnies das proposies Lgicas que o problema exigir.Captulo 01 - LGCA22 Mestre Jussilvio PenaExemplo:1) Construir a tabela verdade da proposio composta:Evandro estudioso e passar no concursoDenotando cada proposio simples como:p: Evandro estudioso.q: Ele passar no concurso.e utilizando o conectivo e, a proposio que deve ser analisada se torna:pqEssa tabela possuir 4 linhas, pois a proposio composta formada por duas simples (p, q), sendo assim, atravs do teorema do nmero de linhas da tabela verdade tem-se: 22 = 4.O conectivo e representa dependncia entre as proposies p e q, ou seja, o valor lgico de q p s ser verdade se ambas proposies simples (p e q) tiverem o mesmo valor lgico, assim: p q pq1 V V V2 F V F3 V F F4 F F FA primeira linha representa a informao que o Evandro estudioso, assim, deve passar no concurso, portanto ela verdadeira.A segunda linha mostra a situao em que Evandro no estudioso, portanto no pode ser aprovado no concurso, comoessa linha aprova Evandro (a proposio q verdadeira) ela s pode ser uma informao falsa.Na terceira linha Evandro estudioso, portanto deve passar no concurso; como isso no ocorre (a proposio q falsa) ela uma informao falsa.A quarta linha representa o fato do Evandro no ser estudioso, assim no deve passar no concurso, que exatamente o que ocorre, assim a informao expressa nessa linha verdadeira.O tpico a seguir apresenta a tabela verdade para todos os conectivos.Lgica x Raciocnio Lgico23 Mestre Jussilvio Pena3. Operaes LgicasSobre as Proposies e sua tabela-verdadeUma srie de operaes realizada quando se analisam as proposies e seus respectivos conectivos.Negao (~ ou) Dada uma proposio qualquer A denominamos negao de A proposio composta que se obtm a partir da proposio A acrescida do conectivo lgico no ou de outro equivalente. A negao no A pode ser representada simbolicamente como: ~ A ou aindaAPodem-seempregartambm,comoequivalentesdeno Aasseguintes expresses: No verdade que A; falso que A.Uma proposio A e sua negao no A tero sempre valores lgicos opostos. Tabela-Verdade da Negao (~A)Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar os resultados possveis da negao ~A para cada um dos valores lgicos que A pode assumir. A~ AV FF VComosepodeobservarnatabelaverdade,umaproposioqualqueresua negao nunca podero ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.Captulo 01 - LGCA24 Mestre Jussilvio Pena Vamos PraticarNegaes01. Passe as proposies para a negativa e simbolize-as.a) a: Joo bonito.b) b: O Brasil foi campeo.c) c: Pedro e Ana so namorados.d) d: Aline muito simptica.e) e: 2 +5 = 12.a) ~ a, Joo no bonito. b) ~ b, O Brasil no foi campeo.c) ~ c, Pedro e Ana no so namorados. d) ~ d, Aline no muito simptica.e) ~ e, No verdade que 2 + 5 = 12.Conjuno ( )Denominamos conjuno proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e. A conjuno A e B pode ser representada simbolicamente como: A BExemplo: Dadas as proposies simples: A: Elisabeth me de Cnthia.B: Elisabeth me de Maurcio.A conjuno A e B pode ser escrita como: A B: Elisabeth me de Cnthia e de Maurcio.Umaconjunoverdadeirasomentequandoasduasproposiesquea compem forem verdadeiras. Ou seja, a conjuno A B verdadeira somente quando A verdadeira e B verdadeira tambm. Lgica x Raciocnio Lgico25 Mestre Jussilvio PenaTabela-Verdade da Conjuno (A B) Natabelaapresentadaaseguir(tabela-verdade)podemosobservartodosos resultados possveis da conjuno A e B para cada um dos valores lgicos que A e B podem assumir. A B A BV V VV F FF V FF F FDisjuno ( )Denominamos disjuno proposio composta formada por duas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou. A disjuno A ou B pode ser representada simbolicamente como: A BExemplo: Dadas as proposies simples: A: Alberto fala espanhol.B: Alberto universitrio.A disjuno A ou B pode ser escrita como: A B: Alberto fala espanhol ou universitrioPara que a disjuno A ou B seja verdadeira, basta que pelo menos uma de suas proposies componentes seja verdadeira. Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, ento a disjuno A ou B ser verdadeira. Ou seja, a disjuno A ou B falsa somente quando A falsa e B falsa tambm.Tabela-Verdade da Disjuno (A B) Natabela-verdadeapresentadaaseguirpodemosobservarosresultadosda disjuno A ou B para cada um dos valores que A e B podem assumir. AB A B V V VV F VF V VF F FCaptulo 01 - LGCA26 Mestre Jussilvio PenaDisjuno Exclusiva ( )Denominamosdisjunoexclusivaproposiocompostaformadaporduas proposies quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conectivo ou... ou.... A disjuno exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como: A B(Observe o sublinhado no smbolo)Exemplo:Dadas as proposies simples:A: O nmero 19 par.B: O nmero 19 impar.A disjuno exclusiva ou A ou B pode ser escrtia como:A B: Ou o nmero 19 par ou o nmero 19 impar.Umadisjunoexclusivaverdadeirasomentequandoapenasumadas proposies que a compem for verdadeira. Ou seja, a disjuno exclusiva ou A ou B verdadeira somente quando A e B tm valores lgicos contrrios (A verdadeira e B falsa ou vice-versa). Se A e B tiverem o mesmo valor lgico (ambas ver dadeiras ou ambas falsas), ento a disjuno exclusiva ser falsa. Tabela-Verdade da Disjuno Exclusiva (A B) Natabela-verdadeapresentadaaseguirpodemosob servarosresultadosda disjuno exclusiva ou A ou B para cada um dos valores que A e B podem assumir. A B A BV V FV F VF V VF F FCondicional ()Denominamoscondicionalaproposiocompostaformadaporduas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo Se... ento... ou por uma de suas formas equivalentes. AproposiocondicionalSe A,entoBpodeserrepresentadasimboli-camente como: A BLgica x Raciocnio Lgico27 Mestre Jussilvio PenaExemplo: Dadas as proposies simples: A: Jos alagoano.B: Jos brasileiro.A condicional Se A, ento B pode ser escrita como: A B: Se Jos alagoano, ento Jos brasileiro. Na proposio condicional Se A, ento B a proposio A, que anunciada pelo uso da conjuno se, denominada condio ou antecedente enquanto a propo sio B, apontada pelo advrbio ento, denominada concluso ou consequente. Asseguintesexpressespodemserempregadascomoequivalentesde Se A, ento B: Se A, B;B, se A; Todo A B;A implica B;A somente se B;A sufciente para B; B necessrio para A.Uma condicional Se A ento B falsa somente quando a condio (A) verdadeira e a concluso (B) falsa sendo verdadeira em todos os outros casos. Isso signifca que numa proposio condicional, a nica situao inaceitvel termos uma condio verdadeira e uma concluso falsa.Natabela-verdadeapresentadaaseguirpodemosobservarosresultadosda proposio condicional Se A ento B para cada um dos valores que A e B podem assumir. A B ABV V VV F FF V VF F V Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos primeira vista. A fmdeesclarecer osignifcado de cada um dos resultados possveis numa sentena condicional, considere a seguinte situao: Captulo 01 - LGCA28 Mestre Jussilvio PenaNumatardededomingo,umcasalestsentadonosofdasaladeseu apartamento assistindo a um flme quando a campainha toca. A mulher; que se diz sensitiva, diz: Se for uma mulher; ento ela estar trazendo um pacote nas mos. O marido, que no costuma dar muita importncia s previses da mulher resmunga Vamos ver se voc est mesmo certa! e vai abrir a porta. Emqueconjuntodesituaespoderemosdizerqueaprevisodamulher estava errada? H quatro situaes a serem analisadas: 1Quemtocouacampainhaerarealmenteumamulherqueestavamesmo trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, teremos que reconhecer que a previso da mulher era correta. (Esse caso corresponde ao que est descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 2Quemtocouacampainhaerarealmenteumamulher,maselanoestava trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, podemos dizer que a previso da mulher mostrou-se errada. (Esse caso corresponde ao que est descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 3Quemtocouacampainhanoeraumamulher,emboraestivessemesmo trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, no podemos dizer que a previso da mulher estava errada, pois ela no disse que somente uma mulher poderia estartrazendoumpacotenasmos. Acontecequetodaproposiodeve serouverdadeiraoufalsaeessanofalsa.Entoverdadeira!(Esse casocorrespondeaoqueestdescritonaterceiralinhadatabela-verdade apresentada para a condicional). 4 Quem tocou a campainha no era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mos. Nesse caso, tambm no podemos dizer que a previso da mulher estava errada, pois a previso de que a pessoa traria um pacote nas mos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Nosendoumamulher,noterianecessariamentequetrazerumpacote nas mos. Novamente, a proposio no falsa. Logo, verdadeira (esse casocorrespondeaoqueestdescritonaquartalinhadatabela-verdade apresentada para a condicional). Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentena do tipo se A ento B, esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem entre si alguma relao de causa e efeito. Nesse sentido, aceitaramos com facilidade, por exemplo, a proposio Se um nmero inteiro termina com o algarismo 8, ento esse nmero par. Lgica x Raciocnio Lgico29 Mestre Jussilvio PenaNo mesmo sentido, tenderamos a recusar proposies como: se um tringulo tem trs lados ento o nmero sete primoOu, ainda: se um quadrado tem sete lados ento fala-se o Portugus no BrasilProvavelmente recusaramos a primeira dizendo algo como: O que que tem a ver um tringulo ter trs lados com o fato de o nmero sete ser primo? Quanto segunda, quase certo que algum a recusasse alegando algo como: Para comear, um quadrado no tem sete lados, mas quatro. E mesmo que tivesse, isso no tem nada a ver com falar-se ou no o Portugus no Brasil.Essetipoderecusaparecerazovel,poisnessasafrmaesfaltaalgoque relacione a primeira parte da proposio (condio) com a segunda (concluso). No entanto, segundo as regras da Lgica, essas duas preposies so verdadeiras! Paraverifcarmosisso,bastaanalisarmoscadaumadelasseguindoas regras estudadas: Vejamos: Proposio: Se um tringulo tem trs lados ento o nmero sete primo.Essa uma proposio do tipo Se A ento B.A condio da proposio : A: Um tringulo tem trs lados.(verdade)A concluso : B: O nmero sete primo.(verdade)Comosabemos,umaproposiocondicionalondeacondioeaconcluso sejam, ambas, verdadeiras ser ela mesma, tambm, verdadeira. Confra na tabela-verdade:A B A BV VV V F F F V VF F VCaptulo 01 - LGCA30 Mestre Jussilvio PenaProposio: Se um quadrado tem sete lados ento fala-se o Portugus no Brasil A proposio do tipo Se A ento B. Condio da sentena: A: Um quadrado tem sete lados.(falso)Concluso da sentena : B: Fala-se o Portugus no Brasil.(verdade)Comosabemos,TODAproposiocondicionalcomcondioFALSA, sempre, VERDADEIRA (independentemente de a concluso ser verdadeira ou falsa). Confra na tabela-verdade:A B A BV V VV F FF V V F F V Assim,percebemosque,paraaLgica,ovalorlgicodeumaproposio composta independe da existncia de qualquer relao entre as proposies dadas. Bicondicional () Denominamosbicondicionalproposiocompostaformadaporduas proposies quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se. AproposiobicondicionalAseesomenteseBpodeserrepresentada simbolicamente como: ABExemplo: Dadas as proposies simples: A: Adalberto meu tio.B: Adalberto irmo de um de meus pais.A proposio bicondicional A se e somente se B pode ser escrita como: AB: Adalberto meu tio se e somente se Adalberto irmo de um de meus pais.Como o prprio nome e smbolo sugerem, uma proposio bicondicional A se e somente se B equivale proposio composta se A ento B e se B ento A. Podem-seempregartambmcomoequivalentesde A se e somente se B as seguintes expresses: Lgica x Raciocnio Lgico31 Mestre Jussilvio PenaA se e s se B; Todo A B e todo B A; Todo A B e reciprocamente; Se A ento B e reciprocamente; A necessrio e sufciente para B; A sufciente para B e B sufciente para A; A necessrio para B e B necessrio para A. AproposiobicondicionalAseesomenteseBverdadeirasomente quando A e B tm o mesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsa quando A e B tm valores lgicos contrrios. Natabela-verdadeapresentadaaseguirpodemosobservarosresultadosda proposio bicondicional A se e somente se B para cada um dos valores que A e B podem assumirA B A BV V VV F FF V FF F V Vamos Praticar01. Determine o valor verdade de cada qual dos seguintes compostos:a) 2 + 2 = 5 e 3 + 4 = 10.b) O dobro de 3 6 ou o triplo de 4 10.c) Se 2 + 2 = 4, ento 3 + 3 = 9.d) Se 2 + 2 = 4, ento 5 + 5 = 10.e) 3 + 3 = 6 e o triplo de 5 15.f) 3 + 5 igual a 12 ou 3 + 55 diferente de 12.g) 3 + 5 = 10 ou 5 + 3 = 10.h) Se 2 + 2 = 4, ento a Lua cilndrica.i) 6 + 6 = 8 se e somente se a Lua cilndrica.j) 5 o dobro de 2 se e somente se 9 o triplo de 3.a) F b) V c) F d) V e) V f) V g) F h) F i) V j) FCaptulo 01 - LGCA32 Mestre Jussilvio Pena4. Tautologia, Contradio e ContingnciaTautologia Uma proposio composta uma tautologia se e so mente se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies que a compem. Dessemodo,quandoumaproposiocompostaforumatautologia,altima coluna de sua tabela-verdade ser o valor lgico V (verdadeiro) em todas as suas linhas. Exemplo:A proposio Se (A e B) ento (A ou B) uma tautologia, pois sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: ABA e BA ou B(A e B) (A ou B) VVVVV VFFVV FVFVV FFFFV Melhor explicando:Etimologicamente,apalavratautologiaformadapordoisradicaisgregos: taut (o) - que signifca o mesmo e logia que signifca o que diz a mesma coisa j dita. Para a lgica, a tautologia uma proposio analtica que permanece sempre verdadeira,umavezqueoatributoumarepetiodosujeito,ouseja,ousode palavras diferentes para expressar uma mesma idia; redundncia, pleonasmo.Exemplo: O sal salgadoUma proposio composta P (p, q, r, ...) uma tautologia se P (p, q, r, ...) tem valor lgico V quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes p, q, r, ..., ou seja uma tautologia conter apenas V na ltima coluna de sua tabela-verdade.Exemplo:A proposio p ou no p, isto , p (~p) uma tautologia.De fato, a tabela-verdade de p (~p) :p ~pp(~p)V F VF V VLgica x Raciocnio Lgico33 Mestre Jussilvio PenaContradio Umaproposiocompostaformadaporduasoumaisproposiesuma contradioseesomenteseelaforsemprefalsa,independentementedosvalores lgicos das proposies que a compem. Portanto,quandoumaproposiocompostaforumacontradio,altima coluna de sua tabela-verdade ser o valor lgico F (falso) em todas as suas linhas. Exemplo: AproposioAseesomenteseno Aumacontradio,poissemprefalsa, independentemente dos valores lgicos de A e de no A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: A ~ A A ~AV F FF V FO exemplo acima mostra que uma proposio qualquer A e sua negao, ~A, nunca sero ambas verdadeiras nem ambas falsas. Relao entre Tautologia e Contradio Sabemos que uma tautologia sempre verdadeira enquanto uma contradio, sempre falsa, da pode-se concluir que: A negao de uma tautologia sempre uma contradio. A negao de uma contradio sempre uma tautologia. Captulo 01 - LGCA34 Mestre Jussilvio PenaContingncia Umaproposiocompostaformadaporduasoumaisproposiesuma contingncia se e somente se for possvel que ela seja verdadeira tanto quanto que ela tambm seja falsa, dependendo dos valores lgicos das proposies que a compem. Assim, quando uma proposio composta for uma contingncia, a ltima coluna de sua tabela-verdade dever apresentar o valor lgico V (verdadeiro) pelo menos uma vez e, tambm, o valor lgico F (falso) pelo menos uma vez. Exemplo: AproposioSeAentoBumacontingncia,poisserFalsaquandoAfor Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos. Melhor explicando:Chama-secontingnciatodaaproposiocompostaemcujaltimacoluna desuatabela-verdadefguramasletrasVeFcadaumapelomenosumavez.Em outrostermos,contingnciatodaproposiocompostaquenotautologianem contradio. As contingncias so tambm denominadas proposies contingentes ou proposies indeterminadas.Exemplo:A proposio sep ento ~p, isto , p (~p) uma contingncia.De fato, a tabela-verdade de p (~p) :p ~p p (~p)F V VV F FresuMidaMente, teMos:tautologia contendo apenas V na ltima coluna da sua tabela-verdade;contradio contendo apenas F na ltima coluna de sua tabela-verdade;contingncia contendo V e F na ltima coluna de sua tabela-verdade.Tautologia VContradio FContigncia V / FLgica x Raciocnio Lgico35 Mestre Jussilvio PenaExerccios Resolvidos01.(TRT-9R-2004-FCC)Considereaseguinteproposio:naeleioparaa prefeitura, o candidato A ser eleito ou no ser eleito. Do ponto de vista lgico, a afrmao da proposio caracteriza:a) um silogismo.b) uma tautologia.c) uma equivalncia.d) uma contingncia.e) uma contradio.Resoluo: Com a fnalidade de montarmos a tabela verdade para verifcar se a proposio apresentada no enunciado da questo uma tautologia ou uma contradio, defniremos a seguinte proposio simples:p: o candidato A ser eleitoEnto, a sentena o candidato A ser eleito OU no ser eleito passar ser representada simbolicamente como p ~p.Construindo a tabela-verdade, teremos que:p ~pp~pV F VF V VComoaltimacolunadestatabela-verdadesapresentaovalorlgico Verdadeiro, temos uma tautologia. Ento, a alternativa correta a letra b.02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia :a) se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordob) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordoc) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordod) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordoe) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordoResoluo: Para simplifcar e facilitar esta resoluo, assumi-se as seguintes proposies simples:p: Joo alto.q: Guilherme gordo.Captulo 01 - LGCA36 Mestre Jussilvio PenaDa,utilizandoessasdefniesfeitasacimaparaasproposiespeq,as alternativas da questo podero ser reescritas, simbolicamente, como:a) p (p q) (= se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo)b) p (p q) (= se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo)c) (p q) q (= se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo)d) (p q) (p q) (= se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo)e) (p ~p) q (= se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo)O que resta ser feito agora testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma Tautologia.Para isso, constri-se a tabela-verdade de cada opo de resposta.Teste da alternativa a:p (p q)p q(p q) p (p q)V V V VV F V VF V V VF F F VJ chegamos resposta!Observequealtimacolunadatabela-verdadeacimasapresentouvalores lgicos verdadeiros. Com isso, conclumos: a proposio da opo a - Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo - uma tautologia.Resposta: letra a Vamos PraticarTeste - Estilo CESPE/UnBConsidere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos, , e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e signifcam no, e, ou e ento, respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 01. ( ) Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) (Q) tambm verdadeira. Lgica x Raciocnio Lgico37 Mestre Jussilvio Pena02. ( ) Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa. 03.()SeasproposiesPeQsoverdadeiraseaproposioRfalsa,entoa proposio (P R) ( Q) verdadeira. Considere as sentenas abaixo. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.I. Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade.II. Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido.III. Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, entoIV. fumar deve ser proibido. Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso que fumar deve serV. proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir. P Fumar deve ser proibido.Q Fumar deve ser encorajado.R Fumar no faz bem a sade.T Muitos europeus fumam.Combasenasinformaesacimaeconsiderandoanotaointroduzidanotexto, julgue os itens seguintes. , , e 04. ( ) A sentena I pode ser corretamente representada por P ( T). 05. ( ) A sentena II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 06. ( ) A sentena III pode ser corretamente representada por R P. 07. ( ) A sentena IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 08. ( ) A sentena V pede ser corretamente representada por T (( R) ( P)). 09. ( ) Um exemplo de tautologia :A (B A) 10. ( ) Um exemplo de contradio : (P P) 11. ( ) Um exemplo de contingncia : (C D) D 12. () Uma proposio composta que possui como resultado de sua tabela verdade apenas valores lgicos falsos uma tautologia. 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C07. C 08. E 09. C 10. C 11. E 12. ECaptulo 01 - LGCA38 Mestre Jussilvio Pena5. As trs Leis Fundamentais do Pensamento LgicoAlgunsautorescitamtrsprincpioscomosendofundamentaisparao pensamento lgico.Princpio da Identidade Se uma proposio qualquer verdadeira, ento ela verdadeira. Em smbolos: P PPrincpio da No-Contradio Nenhuma proposio pode ser verdadeira e tambm ser falsa. Em smbolos: ~ ( P ~ P )Princpio do Terceiro Excludo Uma proposio ou verdadeira ou falsa. Em smbolos: ou P ou ~ P6. Proposies Logicamente EquivalentesDizemos que duas proposies so logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando satisfazem s duas condies seguintes: 1 - so compostas pelas mesmas proposies simples; 2 - tm tabelas-verdade idnticas. Umaconsequnciaprticadaequivalncialgicaque,aotrocarumadada proposio por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de diz-la. Aequivalncialgicaentreduasproposies,AeB,podeserrepresentada simbolicamente como: ABLgica x Raciocnio Lgico39 Mestre Jussilvio PenaRegras de Equivalncia Dadefiniodeequivalncialgicapodem-sedemonstrarasseguintes equivalncias: Leis de comutatividade: 1. AB BA 2. AB BA 3. AB BA4. A B B A Leis de associatividade: 5. (AB) C A(BC)6. (AB) C A(BC)Leis de distributividade: 7. A(BC) (AB) (AC)8. A(BC) (AB) (AC)Lei da dupla negao:9. ~ (~ A) AEquivalncias da Condicional: 10. A B ~ AB11. A B ~ B ~ AEquivalncias da Bicondicional:12. A B (A B) (B A) 13. A B (A B) (~ B ~A) 14. A B ~ (AB) Captulo 01 - LGCA40 Mestre Jussilvio Pena7. Negao de Proposies CompostasUmproblemadegrandeimportnciaparaalgicaodaidentifcao deproposiesequivalentesnegaodeumaproposiodada.Negaruma proposio simples uma tarefa que no oferece grandes obstculos. Entretanto, podemsurgiralgumasdifculdadesquandoprocuramosidentifcaranegaode uma proposio composta. Como vimos anteriormente, a negao de uma proposio deve ter sempre valor lgico oposto ao da proposio dada. Desse modo, sempre que uma proposio A for verdadeira, a sua negao no A deve ser falsa e sempre que A for falsa, no A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negao de uma proposio deve ser contraditria com a proposio dada. Atabelaabaixomostraasequivalnciasmaiscomunsparaasnegaesde algumas proposies compostas:ProposioNegao direta Equivalente da NegaoA e B No (A e B) No A ou no BA ou BNo (A ou B)No A e no B Se A ento B No (Se A ento B)A e no B A se e somente se B No (A se e somente se B) Ou A ou BTodo A B No (todo A B) Algum A no BAlgum A B No (algum A B) Nenhum A BLgica x Raciocnio Lgico41 Mestre Jussilvio Pena8. Diagramas LgicosIntroduo Um diagrama lgico um esquema que busca representar as relaes existentes entre as diversas partes que compem uma proposio. Omodelomaiscomumparadiagramaslgicosodosdiagramasde Venn-Euler, s vezes denominados, impropriamente, como diagramas de Venn. Nestecapitulo,aprofundaremosnossosestudossobreosdigramaslgicos, estudandoumavariaodomodelodeVenn-Euler,quenospermitiruma representao mais precisa.Universo de Discurso ( U )Denomina-se universo de discurso ao conjunto de tudo o que se admite como possvel num dado contexto. Desse modo, qualquer proposio possvel ser um subconjunto do universo de discurso. O universo de discurso ser sempre indicado pela regio interna de um retngulo. Cadaproposioindicadaporumaregiodelimitadadentrodouniversode discurso. U = universo de discursoA = proposioCaptulo 01 - LGCA42 Mestre Jussilvio PenaUma proposio verdadeira em qualquer ponto dentro de sua regio, sendo falsa em todos os demais pontos do universo de discurso.Na regio 1, a proposio A verdadeira.Na regio 2, a proposio A falsa. Na regio 1, A e B so falsas.Na regio 2, A verdadeira e B falsa.Na regio 3, A e B so verdadeiras.Na regio 4, A falsa e B verdadeira.Diagrama Lgico da Negao Num diagrama de conjuntos, se a proposio A for representada pelo conjunto A, ento a negao no A corresponder ao conjunto complementar de A. Lgica x Raciocnio Lgico43 Mestre Jussilvio PenaDiagrama Lgico da Conjuno Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a conjuno A B corresponder interseo do conjunto A com o conjunto B, A B. Diagrama Lgico da Disjuno SeasproposiesAeBforemrepresentadascomoconjuntosatravsdeum diagrama, a disjuno AB corresponder unio do conjunto A com o conjunto B. Diagrama Lgico da Disjuno Exclusiva Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjuno exclusiva A B corresponder unio da parte do conjunto A que no est em B (A - B) com parte do conjunto B que no est em A (B - A).(A - B) (B - A)Observequeissoequivalediferenaentreaunioeainterseodos conjuntos A e B(A B) - (B A)Captulo 01 - LGCA44 Mestre Jussilvio PenaDiagramas Lgicos da Condicional A BSe as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama,aproposiocondicionalSe AentoBpoderserindicadacomoa incluso do conjunto A no conjunto B (A est contido em B).Diagramas Lgicos da Bicondicional SeasproposiesAeBforemrepresentadascomoconjuntosatravsde umdiagrama,aproposiobicondicionalAseesomenteseBcorresponder igualdade dos conjuntos A e B.