1603_Capitulo7(triangulospitagoricos)

7. Tringulos Pitagricos

7.1 Preliminares

Neste captulo vamos calcular todos os tringulos pitagricos. Vamos tambm

responder a algumas perguntas sobre tais tringulos.

O que se pretende resolver a equao,

x2 + y2 = z2, x,y, z Z. (7.1)

Dizemos que um terno (x, y, z) Z3 soluo da equao se x2 + y2 = z2.

Note-se que (x, y, z) soluo da equao (7.1) se e s se (|x|, |y|, |z|) soluo da

mesma equao. Por outro lado, se x, y ou z igual a 0, ento a equao tem soluo

trivial. Assim, falta-nos encontrar as solues da equao,

x2 + y2 = z2, x,y, z N. (7.2)

Note-se ainda que um terno (x, y, z) N3 satisfaz x2 + y2 = z2 se e s se existir um

tringulo rectngulo cujas medidas dos catetos sejam x e y e cuja medida da hipotenusa

seja z. Estes tringulos dizem-se tringulos pitagricos.

Usaremos a notao [x, y, z] para designar a classe dos tringulos pitagricos cuja

hipotenusa mede z e x e y so a medida dos catetos. Por abuso de notao diremos: o

tringulo pitagrico [x, y, z].

115

Tringulos Pitagricos

Conhecemos j alguns desses tringulos: [3, 4, 5] e [5, 12, 13], por exemplo.

4 12

3

55

13

Figura 7.1: Os tringulos [3, 4, 5] e [5, 12, 13].

Vejamos algumas consequncias (cujas demonstraes so deixadas como exerccio)

que podemos tirar do facto de um terno [x, y, z] ser um tringulo pitagrico:

1. [x, y, z] = [y, x, z];

2. se k N, [kx, ky, kz] um tringulo pitagrico;

3. se s|x e s|y ento s|z e [xs,

ys, z

s] um tringulo pitagrico;

4. (x, y) = (y, z) = (x, z) = (x, y, z).

Um tringulo pitagrico [x, y, z] tal que (x, y) = 1 diz-se primitivo. Note-se que

todo o tringulo pitagrico [x, y, z] da forma [k x0, k y0, k z0] (ou k [x0, y0, z0]) em que

k N e [x0, y0, z0] primitivo (basta considerar k = (x, y)).

Atendendo ao que foi dito, ficamos reduzidos ao estudo da equao

x2 + y2 = z2, x,y, z N, (x,y) = 1. (7.3)

7.2 Clculo dos tringulos pitagricos

Vamos agora encontrar todos os tringulos pitagricos primitivos. Comecemos por

um resultado auxiliar cuja demonstrao deixada como exerccio.

116


Lema 7.1 Se k N e a1, a2, . . . , ak so inteiros positivos primos entre si cujo produto

a1a2 ak um quadrado perfeito, ento, para todo i, ai um quadrado perfeito.

De seguida vamos enunciar um resultado que ser usado continuamente.

Proposio 7.2 Num tringulo pitagrico primitivo a medida da hipotenusa e de um

dos catetos mpar enquanto a medida do outro cateto par.

Demonstrao: Seja [x, y, z] um tringulo pitagrico primitivo. Como (x, y) = (y, z) =

(x, z) = 1 ento apenas um dos inteiros x, y e z pode ser par.

Por outro lado, se x e y fossem ambos mpares ento z seria par e portanto

z2 0 ( mod 4) e x2 y2 1 ( mod 4)

o que contradiz a igualdade x2 + y2 = z2.

Deste modo x par e y mpar ou y par e x mpar. Em qualquer dos casos z

tem de ser mpar.

Chegamos assim ao resultado mais importante deste captulo.

Teorema 7.3 Sejam x, y, z N tais que (x, y) = 1. Ento [x, y, z] um tringulo

pitagrico primitivo se e s se existirem m,n N tais que:

x = 2mn

y = m2 n2

z = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou

x = m2 n2

y = 2mn

z = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Demonstrao: Note-se que a condio m + n 1 (mod 2) diz apenas que m e n tm

paridades diferentes.

=

117


Sejam m,n N nas condies definidas e sejam x = 2mn, y = m2n2 e z = m2+n2

(o outro caso similar). Ento

x2 + y2 = 4m2n2 + m4 + n4 2m2n2 = m4 + n4 + 2m2n2 = (m2 + n2)2 = z2.

Vejamos que o tringulo [2mn,m2n2,m2+n2] primitivo. Para isso basta mostrar

que (2mn,m2 n2) = 1. Suponhamos que no e seja p um nmero primo que divide

2mn e m2 n2 = (m n)(m + n). Note-se que p no pode ser 2 porque m2 n2

mpar.

Deste modo p divide m ou n (porque p divide 2mn) e p divide m n ou m + n

(porque p divide (m n)(m + n)). Os 4 casos tm tratamento similar:

se p divide n e m n ento p divide m, porque m = (m n) + n;

se p divide m e m + n ento p divide n, porque n = (m + n)m.

se p divide n e m n ento p divide m, porque n = m (m n);

se p divide n e m + n ento p divide m, porque n = (m + n) n.

Em qualquer dos casos p divide n e m contrariando o facto de m e n serem primos

entre si.

=

Seja [x, y, z] um tringulo pitagrico primitivo.

Usando a proposio anterior podemos supor que x par e que y e z so mpares

(o outro caso seria tratado de maneira similar).

Da igualdade x2+y2 = z2 obtemos x2 = (z+y)(zy), ou seja,(

x2

)2= (z+y

2)(zy

2)

(note-se que z + y e z y so nmeros pares). Com a inteno de aplicar o Lema

7.1 vamos mostrar que (z+y2

,zy2

) = 1. Seja d = (z+y2

,zy2

). Assim

d divide z+y2

d divide zy2

e portanto

d divide z+y2

+ zy2

= z

d divide z+y2 z+y

2= y

Uma vez que (z, y) = 1 conclumos que d = 1.

118


Usando o Lema 7.1, existem m,n N tais que z+y2

= m2 e zy2

= n2. Assim

x = 2mn

y = m2 n2 subtraindo as duas igualdades acima

z = m2 + n2 somando as duas igualdades acima.

Para concluir basta notar que: m > n pois y positivo; m + n 1 (mod 2) pois

y mpar; (m,n) = 1 pois (x, y) = 1.

Como consequncia obtemos o seguinte resultado.

Corolrio 7.4 Sejam x, y, z N. Ento [x, y, z] um tringulo pitagrico se e s se

existirem k,m, n N tais que:

x = 2mnk

y = (m2 n2)k

z = (m2 + n2)k

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou

x = (m2 n2)k

y = 2mnk

z = (m2 + n2)k

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Nota 7.5 O inteiro k que aparece no corolrio anterior o mximo divisor comum

entre as medidas de dois quaisquer dos lados do tringulo pitagrico. Por outro lado,

se k mpar ento a medida da hipotenusa e de um dos catetos mpar e a medida do

outro cateto par. Note-se ainda que, m2 +n2 1 (mod 4) e que m, n, m+n e mn

so primos entre si.

Do corolrio anterior podemos concluir o seguinte.

Proposio 7.6 Num tringulo pitagrico:

a) a medida de um dos catetos mltipla de 4;

b) a medida de um dos catetos mltipla de 3;

119


c) a medida de um dos lados mltipla de 5.

Demonstrao: Usemos a caracterizao dos tringulos pitagricos dada pelo corolrio

anterior.

a) Como m ou n par, conclumos que 2kmn mltiplo de 4.

b) O resultado trivial se m ou n for mltiplo de 3. Se m e n no forem mltiplos

de 3 ento m2 n2 1 (mod 3) e portanto k(m2 n2) mltiplo de 3.

c) O resultado trivial se m ou n for mltiplo de 5.

Note-se que, se a Z ento

a2

1 ( mod 3), se a 1 ( mod 5)

4 ( mod 3), se a 2 ( mod 5)

4 ( mod 3), se a 3 ( mod 5)

1 ( mod 3), se a 4 ( mod 5)

Deste modo, se m e n no so mltiplos de 5 ento m2n2 ou m2+n2 congruente

com 0 mdulo 5. Em particular 5 divide k(m2 n2) ou k(m2 + n2).

Exemplos 7.7

Vejamos dois exemplos:

1. Vamos calcular todos os tringulos pitagricos da forma [x, y, x + 1].

Como (x, x + 1) = 1 os tringulos tm de ser primitivos. Em particular, x + 1

mpar (pois a medida da hipotenusa) e portanto x par e y mpar.

Assim, existem m,n N tais que

120


x = 2mn

y = m2 n2

x + 1 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou seja

x = 2mn

y = m2 n2

m2 + n2 = 2mn + 1

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Obtemos assim, sucessivamente

x = 2mn

y = m2 n2

(m n)2 = 1

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

x = 2n(n + 1)

y = 2n + 1

m = n + 1

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

x = 2n(n + 1)

y = 2n + 1

n N.

Como exemplos temos os tringulos: [3, 4, 5], [5, 12, 13], [7, 24, 25] e [9, 40, 41].

2. Vamos calcular todos os tringulos pitagricos da forma [x, y, x + 3].

Como (x, x + 3) = (x, 3) {1, 3} ento usando a Nota 7.5 a hipotenusa mpar

e portanto x par. Deste modo existem m,n N tais que

121


x = 2mn

y = m2 n2

x + 3 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou

x = 6mn

y = 3(m2 n2)

x + 3 = 3(m2 + n2)

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Do primeiro sistema obtemos (m n)2 = 3 que uma condio impossvel. Do

segundo sistema obtemos m = n + 1.

Deste modo as solues deste problema podem ser obtidas multiplicando por 3 as

medidas dos tringulos que so soluo do problema anterior.

3. Vamos calcular todos os tringulos pitagricos cuja medida da hipotenusa seja

100. Seja [x, y, 100] um tal tringulo. Podemos supor, utilizando o Corolrio 7.4,

que existem k,m, n N tais que:

x = 2mnk

y = (m2 n2)k

100 = (m2 + n2)k

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Uma vez que m2 + n2 mpar e 100 = k(m2 + n2), k tem de ser igual a 4, 20 ou

100. Obtemos assim os seguintes 3 sistemas:

122


x = 8mn

y = 4(m2 n2)

25 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

x = 40mn

y = 20(m2 n2)

5 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

x = 200mn

y = 100(m2 n2)

1 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Olhando para a terceira equao, em cada um dos sistemas, fcil calcular m e n:

o terceiro impossvel (porque m2 + n2 > 1); o segundo admite apenas a soluo

m = 2, n = 1; o primeiro admite apenas a soluo m = 4, n = 3.

Conclumos assim que existem dois tringulos nas condies pretendidas: [80, 60, 100],

[96, 28, 100].

7.3 Outras equaes pitagricas

Vamos de seguida demonstrar a no existncia de tringulos pitagricos em deter-

minadas condies. Concluiremos com a demonstrao do teorema de Fermat, para

n = 4:

6 x, y, z N : x4 + y4 = z4.

Ou seja, no existem tringulos pitagricos cujas medidas dos lados sejam quadrados

perfeitos.

y2

x2z2

123


Teorema 7.8 (Teorema de Fermat) Se a soma de dois quadrados perfeitos positivos

um quadrado perfeito, ento a diferena desses dois quadrados perfeitos no um

quadrado perfeito.

Ou seja, o sistema {x2 + y2 = z2

x2 y2 = t2

no tem soluo com x, y, z, t Z.

Demonstrao: Geometricamente o enunciado diz que no existe um tringulo pi-

tagrico tal que a medida de um dos catetos seja a hipotenusa de um outro tringulo

pitagrico que tenha um cateto com a mesma medida de um dos catetos do tringulo

original.

x

yz

y t

Vamos utilizar o chamado mtodo da descida infinita. Seja z N o menor inteiro

positivo tal que existem x, y e t tais que x2 + y2 = z2, x2 y2 = t2.

Seja d = (x, y). Note-se que d = (x, y) = (x, z) = (y, z) pois [x, y, z] um tringulo

pitagrico e que d = (x, y) = (x, t) = (y, t) pois [y, t, x] um tringulo pitagrico. Em

particular d divide x, y, z e t e portanto{ (xd

)2+(

yd

)2=

(zd

)2(xd

)2(

yd

)2=

(td

)2.

Pela minimalidade imposta sobre z conclumos que d = 1.

124


Recordemos agora a Proposio 7.2. Como estamos na presena de dois tringulos

pitagricos primitivos [x, y, z] e [y, t, x] podemos concluir que z e x so mpares, pois

so as medidas das hipotenusas. Daqui conclumos que y par e, portanto, t mpar.

Voltando ao sistema original, obtemos sucessivamente,

2x2 = z2 + t2

2y2 = z2 t2

4x2 = (z + t)2 + (z t)2

2y2 = (z t)(z + t)

x2 =(

z+t2

)2+(

zt2

)2

2y2 = (z t)(z + t)

Como(

z+t2

, zt2

)= 1 (qualquer nmero que divida os dois nmeros divide tambm

a sua soma e a sua diferena que so z e t, dois nmeros primos entre si) e utilizando o

Teorema 7.3, podemos concluir que existem m,n N tais que

zt2

= 2mn

z+t2

= m2 n2

x = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou

z+t2

= 2mn

zt2

= m2 n2

x = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

Em qualquer dos casos e utilizando a igualdade 2y2 = (z t)(z + t) obtemos,(y2

)2=

1

2

(z t

2

)(z + t

2

)= mn(m2 n2) = mn(m n)(m + n).

Como m, n, m n e m + n so primos entre si (ver Nota 7.5) e o seu produto

um quadrado perfeito podemos concluir, usando o Lema 7.1, que so todos quadrados

perfeitos, isto ,

a, b, c, d N : m = a2, n = b2, m n = c2, m + n = d2.

Em particular {a2 + b2 = d2

a2 b2 = c2.

125


Por outro lado d d2 m + n < m2 + n2 = x < z contrariando a minimalidade de

z.

Chegamos assim a uma contradio, que foi motivado pelo facto de termos suposto

que o sistema original tinha soluo.

Corolrio 7.9 A equao x4 + y2 = z4 no admite soluo com x, y, z Z.

Ou seja, no existe nenhum tringulo pitagrico cujas medidas da hipotenusa e de

um dos catetos seja um quadrado perfeito.

Demonstrao: Suponhamos que existe um tringulo pitagrico da forma [x2, y, z2].

y

x2z2

Seja d o mximo divisor comum entre as medidas dos lados do tringulo. Ento

d = (x2, z2) e, portanto existe t N tal que d = t2. Deste modo [x2

t2,

yt2

, z2

t2] ou seja

[(

xt

)2,

y

t2,(

zt

)2] um tringulo pitagrico primitivo em que as medidas da hipotenusa e

de um dos catetos um quadrado perfeito.

Podemos assim supor que existe um tringulo pitagrico primitivo da forma [x2, y, z2].

Pelo Teorema 7.3, existem m,n N tais que

x2 = 2mn

y = m2 n2

z2 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

ou

x2 = m2 n2

y = 2mn

z2 = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2).

126


Em ambos os casos entramos em contradio com o teorema anterior:

- no primeiro caso obtemos{z2 + x2 = (m + n)2

z2 x2 = (m n)2;

- no segundo caso obtemos {m2 n2 = x2

m2 + n2 = z2.

Corolrio 7.10 (Fermat) A equao x4 + y4 = z4, com x, y, z N no admite so-

lues.

Deste modo, no existem tringulos pitagricos cujas medidas dos lados sejam qua-

drados perfeitos positivos.

Mais geralmente temos.

Teorema 7.11 No existe um tringulo pitagrico em que as medidas de dois dos lados

sejam quadrados perfeitos.

Demonstrao: Atendendo ao Corolrio 7.9 basta mostrar que no existe nenhum um

tringulo pitagrico da forma [x2, y2, z]. Seguindo os passo do que foi feito no Corolrio

7.9 basta-nos considerar o caso em que o tringulo primitivo.

Suponhamos que existe um tringulo nas condies pretendidas. Como neste caso x

e y esto nas mesmas condies podemos supor que existem m,n N de tal modo que:

x2 = 2mn

y2 = m2 n2 = (m n)(m + n)

z = m2 + n2

m > n

(m,n) = 1

m + n 1 ( mod 2)

127


Do Lema 7.1 e do facto de y2 e(

x2

)2serem produtos de dois nmeros primos entre

si (note-se que(

x2

)2= m

2n, se m par e

(x2

)2= n

2m, se n par) existem a, b, c, d N

tais que (a, b) = 1 = (c, d) e

m = 2a2

n = b2

m n = c2

m + n = d2

ou

m = a2

n = 2b2

m n = c2

m + n = d2

No primeiro caso obtemos

c2 + d2 = 2m = (2a)2

Obtemos assim um tringulo pitagrico primitivo (recorde-se que (c, d) = 1) [c, d, 2a]

em que a medida da hipotenusa par, contrariando a Proposio 7.2.

No segundo caso obtemos sucessivamente,{c2 + d2 = 2a2

c2 d2 = 4b2

{c2 + d2 = 2a2(

cd2

) (c+d2

)= b2

Assim, existem k, s N tais que cd2

= k2 e c+d2

= s2. Em particular, c = k2 + s2 e

d = s2 k2. Substituindo na primeira equao do ltimo sistema temos k4 + s4 = a2.

Assim obtivemos uma outra soluo da equao inicial. A exemplo do que foi feito

na demonstrao do Teorema 7.8 podemos utilizar o mtodo da descida infinita para

concluir que a equao x4 + y4 = z2 no tem soluo.

Como aplicao do Teorema 7.8 podemos ver que a rea de um tringulo pitagrico

nunca um quadrado perfeito. Com as notaes usais, a rea de um tringulo pitagrico

k2mn(m n)(m + n), que um quadrado perfeito se e s se mn(m n)(m + n) o

for. Pelo Lema 7.1 a rea do tringulo referido um quadrado perfeito os inteiros n,

m, m n e m + n forem quadrados perfeito, contrariando o Teorema 7.8.

Vejamos mais um exemplo, cuja resoluo essencialmente igual resoluo da

equao x2 + y2 = z2, com x, y, z N.

128


Dado r N consideremos a equao

x2 + r y2 = z2, com x, y, z N.

Por exemplo, se r = 2 temos a seguinte representao geomtrica do problema.

Comeamos por desenhar um tringulo rectngulo cujos catetos so nmeros inteiros

(x e y). Nada exigimos sobre a hipotenusa (

x2 + y2). Desenhamos de seguida outro

tringulo rectngulo no qual um dos catetos a hipotenusa do tringulo anterior e a

medida do outro cateto y. Queremos saber, em que condies a medida da hipotenusa

deste ltimo tringulo um nmero inteiro.

x

y

y

zp

x2 + y2

Figura 7.2: Representao geomtrica da equao x2 + 2y2 = z2, com x, y, z N.

Para resolver esta equao podemos seguir mais ou menos os passos que foram dados

para encontrar os tringulos pitagricos. Comecemos por notar que, (x, y) = (x, z) =

(z, y) e que toda a soluo mltipla de uma soluo da forma [x, y, z] em que (x, y) = 1.

Nestas condies (isto , se (x, y) = 1), note-se que:

(z x, z + x) = 2;

a equao pode-se escrever na forma y2 = 2

(z x

2

)(z + x

2

);

Podemos assim concluir (porqu?) que existem m,n tais que

129


zx2

= 2m2

z+x2

= n2

y = 2mn

(m,n) = 1

ou

zx2

= m2

z+x2

= 2n2

y = 2mn

(m,n) = 1.

Daqui podemos tirar o valor de x, y e z:

x = n2 2m2

z = n2 + 2m2

y = 2mn

(m,n) = 1

ou

x = 2n2 m2

z = 2n2 + m2

y = 2mn

(m,n) = 1.

Existem alguns pormenores a ter em conta!

De maneira anloga podemos resolver equaes do tipo x2 + ry2 = z2, com r N.

A interpretao geomtrica deste problema semelhante do exemplo anterior.

x

y

y

y

z

p

x2 + y2

p

x2 + 2 y2

Figura 7.3: Representao geomtrica da equao x2 + 3y2 = z2, com x, y, z N.

Comeamos por escrever r na forma r = k2s em que s o produto dos nmeros

primos que aparecem na factorizao de n com potncia mpar. Fazemos a mudana de

130


varivel, X = x, Y = ky e Z = z e obtemos a equao X2 +sY 2 = Z2. Resolvemos esta

equao utilizando um processo anlogo ao do exemplo anterior (s = 2). As solues da

equao original so assim os ternos (X, Yk, Z) em que X2 + sY 2 = Z2 e Y mltiplo

de k.

Note-se que, se x2 + ry2 = z2 e d = (x, z), ento d2 divide ry2 mas d no divide

necessariamente y. Por exemplo, se r = 12, 62 +1232 = 122 e (6, 12) = 6 e (6, 3) = 3.

7.4 Exerccios

7.1. Mostre que a rea de um tringulo pitagrico mltipla de 6.

7.2. Mostre que no existem tringulos pitagricos da forma [x, x, z].

7.3. Mostre que, se [x, y, z] um tringulo pitagrico e x um nmero primo, ento y

e z so inteiros consecutivos. O que pode dizer se x = pq em que p e q so primos

distintos?

7.4. Mostre, apenas a partir da definio de tringulo pitagrico que os nicos trin-

gulos pitagricos cujas medidas dos lados esto em progresso aritmtica so os

da forma [3k, 4k, 5k].

7.5. Mostre que, se [x, y, z] um tringulo pitagrico e 4 divide z ento 4 divide x e

y. Que inteiros podem substituir o 4 na afirmao anterior?

7.6. Encontre todos os tringulos pitagricos [x, y, z] tais que (recorde que m2+n2 1 (

mod 4)):

a) z = 30;

b) z = 65;

c) z = 120;

d) z = 77 e x ou y um quadrado perfeito;

e) z = 481;

f) z = 377;

131


g) z = 1885;

h) 40 z 50 e [x, y, z] primitivo;

i) um dos lados mede 18;

j) x = 187 e y um quadrado perfeito;

k) y + x = 64;

l) um dos lados mede 15;

m) (x, y) = 7 e [x, y] = 84;

n) (x, y) = 10 e [x, y] = 2 000;

o) (x, y) = 7 e y = 7(z x).

7.7. D exemplos de tringulos pitagricos (x, y, z) tais que:

a) y = 23 74;

b) x + y 1000001 e (x, y) = 5;

c) y = x + 16 e x > 50;

d) (x, y) = 7 e existe a N tal que x = 5a2.

7.8. D um exemplo de um tringulo pitagrico primitivo no qual a diferena entre a

medida do cateto maior e a medida do cateto menor seja pelo menos 500.

7.9. Encontre um tringulo pitagrico primitivo cuja soma das medidas dos catetos

seja maior do que 1000.

7.10. Calcule todos os tringulos pitagricos cujo permetro 1716.

7.11. Verifique se existem tringulos pitagricos primitivos cuja hipotenusa divisvel

por 7.

7.12. Calcule todos os tringulos pitagricos cujas medidas do permetro e da rea

sejam iguais.

7.13. Calcule todos os tringulos pitagricos cuja medida do permetro seja igual a trs

vezes a medida da rea.

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7.14. Encontre todos os tringulos pitagricos primitivos cuja medida da hipotenusa

um quadrado perfeito.

7.15. Verifique se h uma infinidade de tringulos pitagricos primitivos cuja rea

igual ao produto do permetro pelo quadrado de algum inteiro.

7.16. Mostre que, dado n 3 existe um tringulo pitagrico em que um dos lados mede

n.

7.17. Encontre um tringulo pitagrico primitivo em que a diferena das medidas dos

catetos um quadrado perfeito maior que 1.

7.18. Mostre que, se [x, y, z] um tringulo pitagrico ento xn + yn 6= zn para n 3.

7.19. Resolva a equao 81x2 + 4y4 = z4, com x, y, z N e (x, y) = (x, z) = (y, z) = 1.

7.20. Mostre, usando o mtodo da descida infinita que a equao 7x3 + y3 = 49z3, com

x, y, z N no tem soluo.

7.21. Encontre x, y, z Z tais que

4x4 + 9y2 = z2, e x 5000.

7.22. Quais os pontos de coordenadas racionais que pertencem ao crculo de equao

x2 + y2 = 1?

7.23. Mostre que a equao

x4 2y2 = 1, x, y N

no tem soluo.

7.24. Mostre que a equao

y2 = x4 + 1, x, y N

no tem soluo.

7.25. Resolva as seguintes equaes diofantinas:

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a) x2 + y2 + z2 = 8000007;

b) {x2 + 2y2 = z2

x2 2y2 = w2;

c) (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3;

d)

x + y + z = t

x2 + y2 + z2 = t2

x3 + y3 + z3 = t3.

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1603_Capitulo7(triangulospitagoricos)

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