1ª Parte Capítulo 1: Introdução –Conceito de Tensão que a haste de ligação BD tem uma...

Capítulo 1:Introdução – Conceito de TensãoProfessor Fernando Porto

Resistência dos Materiais

1ª Parte

• O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao engenheiro os meios que o habilitam para a análise e projeto de várias estruturas de máquinas, sujeitas a carregamentos.

• A análise e o projeto de uma dada estrutura implica a determinação das tensões e deformações.

1.1. Introdução

1.2. Forças e Tensões

• Esta estrutura pode suportar a carga de 30kN com segurança?

A B

Cd = 20 mm

600 mm

500 mm

50 mm

30 kN

• Desenhando o diagrama de corpo livre do pino B, compondo as forças atuantes no polígono de forças, podemos escrever, da semelhança de triângulos:

• Entretanto, os resultados obtidos não permitem concluir que a carga pode ser suportada com segurança!

• A capacidade da barra suportar a carga não depende somente do valor do esforço interno da barra, mas também da área transversal da barra e do material com que foi construída.

• Na verdade, a força interna na barra BC representa a resultante de forças elementares que se encontram distribuídas em toda a seção transversal da barra!

• A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa seção transversal é chamada de tensão, e é indicada pela letra sigma:

Sinal positivo:Barra tracionada.

Sinal negativo:Barra comprimida

Força: N (newton)Área: m2 (metro quadrado)

Tensão: N/m2 ou Pa (pascal)

• No uso prático, porém, o pascal é uma medida muito pequena. Usa-se então múltiplos dessa unidade:

1�� = 1�

1��

• Suponha que a tensão admissível do material (sadm) da barra seja na ordem de 165 MPa:

• Conclusão: a barra BC pode ser usada para suportar a carga de 30kN.

• Para completar a análise, seria necessário estudar as tensões na barra AB, nos pinos e na estrutura de suporte.

A estrutura em treliça desta ponte é constituída por vigas que podem estar em tração ou em compressão.

• As forças que atuam na barra BC tem a direção do eixo da barra. Dizemos que a barra está sob a ação de forças axiais.

1.3. Forças Axiais Tensões Normais

A B

C

• Quando as forças internas são perpendiculares (Normais) ao plano da seção transversal, as tensões correspondentes são as tensões normais.

Letra grega “sigma”

• Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção transversal, devemos considerar uma pequena área A.

• Dividindo-se a intensidade F por A tem-se o valor médio da tensão em A.

• Fazendo A tender a zero, tem-se a tensão no ponto Q.

• É importante ressaltar que isto é uma aproximação.

• Nesta relação, srepresenta o valor médio das tensões na seção transversal e não o valor específico da tensão em um determinado ponto.

A variação é pequena nas seções distantes do ponto de aplicação.

Entretanto, a variação pode ser apreciável em seções próximas ao ponto de aplicação da força.

• Cargas aplicadas no centroide da seção transversal de uma barra são chamadas de cargas centradas.

• As tensões normais originadas de carregamentos centrados serão aqui consideradas como uniformes.

• Porém, não se deve esquecer que carregamentos excêntricos levam à tensões não uniformes.

Carregamento centrado

Carregamento excêntrico

1.4. Tensões de Cisalhamento

• As forças internas e correspondentes tensões, que foram discutidas até aqui eram normais à seção transversal.

• Entretanto, quando duas forças P e P’ são aplicadas a uma barra AB na direção transversal a barra, ocorre um tipo de tensão denominada de tensão de cisalhamento.

• Se considerada uma seção transversal C, pode-se desenhar o diagrama da parte AC.

• Assim, conclui-se que existem forças internas na seção transversal, e que sua resultante deve ser igual a P, onde P é chamada de força cortante na seção.

• Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal A, obtemos a tensão de cisalhamento média da seção.

• Mas atenção: a tensão de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida como uniforme. Trata-se de uma simplificação adequada para este momento do desenvolvimento da disciplina.

��é� =�

�Letra grega “tau”

• A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das máquinas e estruturas.

��é� =�

�=

�

�Cisalhamento simples

• No caso abaixo, os parafusos estão sujeitos a cisalhamento duplo.

��é� =�2�

�=

�

2�

1.5. Tensões de Esmagamento

• Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato.

�� =�

�=

�

�. �

t: espessura da chapad: diâmetro do parafuso

A = t.dÁrea do retângulo que representa a projeção do parafuso sobre a seção da chapa

Exercícios

1. Uma força de 45 kN está aplicada a um bloco de madeira que é suportado por uma base de concreto, e esta repouso sobre um solo considerado indeformável. Determine: a) a máxima tensão de esmagamento sobre a base de

concreto, b) o tamanho da base de concreto para que a tensão de

esmagamento média sobre o solo seja de 140 kPa.

P = 45kN

125 mm 100 mm

Resposta: a) 3,6 MPa b) 567 mm

Exercícios2. O dispositivo mostrado é empregado para determinar a resistência ao cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é 12,5 kN, qual é a tensão media de cisalhamento da junta, por ocasião da ruptura?

Obs.: 1" = 25,4 mmResposta: 12,9 MPa

P

0,5”

1,5”

Exercícios3. As peças de madeira A e B são ligadas por sobrejuntas de madeira que são coladas nas superfícies de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades A e B. Determine o valor do comprimento “L” para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

Resposta: 308 mm

8 mm

P = 240kN

P = 240kN

100 mm

Exercícios

4. Sabendo-se que uma força de 800 N está aplicada no pedal indicado, determine: (a) o diâmetro do pino em C, tal que a tensão média no pino seja de 35 MPa; (b) a correspondente tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio, em C.

P = 800 N

Resposta: a) 6,15 mm b) 33,8 MPa

Exercícios

5. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme, de área igual a 800 mm2, determine a intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa.

Resposta: 62,7 kN

P

Exercícios

6. Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme, de área igual a 800 mm2, determine a intensidade da carga P para que a tensão normal na haste BD seja 50 MPa.

Resposta: 33,1 kN

Exercícios

7. Três pranchas de madeira são unidas por uma série de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é de 12 mm, e o diâmetro interno de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os parafusos das pranchas. Sabe-se que o diâmetro externo de cada arruela é de 30 mm, e que a tensão de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa. Determine a máxima tensão normal admissível em cada parafuso.

Resposta: 23,44 MPa

12 mm

Exercícios

Resposta: a) 28,8 MPa b) -48,8 MPa

250 mm

400 mm

250 mm

300 mm

40 mm

P

8. Cada uma das quatro hastes verticais, ligadas a duas barras horizontais, tem uma seção transversal retangular uniforme de 10 x 40 mm e os pinos tem diâmetro de 14 mm. Determine o máximo valor da tensão normal média, causada pela carga de 24 kN, nas hastes conectadas pelos (a) pontos B e E; (b) pontos C e F.



2ª Parte

1.6. Tensões Admissíveis

• Nas seções anteriores aprendemos a calcular tensões em barras e pinos submetidos a condições simples de carregamento.

• Nos próximos capítulos, aprenderemos a calcular tensões em situações mais complexas.

• No entanto, dentro das aplicações de engenharia, a determinação das tensões não é o objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos.

Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança

1. A análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de prever seu comportamento sob condições de carga específicas;

2. O projeto de novas máquinas e estruturas, que deverão cumprir determinadas funções de maneira segura e econômica.

1.6. Tensões AdmissíveisTensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança

• Para encaminhar qualquer um dos dois estudos, precisamos saber como o material a ser utilizado vai atuar sob condições conhecidas de carregamento. Para cada material, isso pode ser determinado realizando testes específicos em amostras preparadas do material.

Tensão Última de Tração

• Por exemplo, podemos preparar um corpo-de-prova de aço e levá-lo a uma máquina de testes em laboratório, onde ele será submetido a uma carga axial de tração.

Esq.: Corpo de prova típico

Dir.: Máquina para ensaios

de tensão

• Enquanto fazemos a força aplicada aumentar progressivamente de intensidade, podemos medir várias modificações sofridas pelo corpo-de-prova, como por exemplo, alterações no comprimento e no diâmetro.

• Em certo instante, a máxima força que pode ser aplicada ao corpo de prova é atingida e a amostra se quebra, ou começa a perder resistência, suportando forças menores. Esta força máxima é chamada de carregamento último desta amostra, e é designada pelo símbolo PU.

Corpos de prova de material dúctil após teste de tração.

Logo a tensão última de tração do material, tem valor:

�� =��

T

Tensão Última de Cisalhamento

• Muitos procedimentos para testes são usados na determinação da tensão de cisalhamento última de um material. Um procedimento usual utiliza a torção de um tubo circular.

Tensão Última de Cisalhamento

• Um método mais direto, porém não tão preciso quanto o ensaio de tração, consiste em levar uma chapa a uma ferramenta de corte e aplicar um carregamento crescente, até que a carga última PU para corte simples seja atingida.

Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte simples

• Se a extremidade livre da chapa estiver apoiada sobre as duas bordas cortantes da ferramenta, obtêm-se a carga última PU para corte duplo.

Ensaio para tensão última de cisalhamento para corte duplo

• No caso de corte simples, essa área é igual à da seção transversal do corpo de prova.

• Nos dois casos, obtém-se a tensão última de cisalhamento, dividindo-se a carga última pela área cortada.

• No caso de corte duplo, vale o dobro da área da seção transversal do corpo de prova.

Coeficiente de Segurança

• Uma peça estrutural ou componente de máquina deve ser projetada de tal forma que a carga última seja consideravelmente maior que o carregamento que esta peça ou elemento irá suportar em condições normais de utilização.

• Este carregamento menor é chamado de carregamento admissível.

• A relação entre carregamento último e carregamento admissível é chamada de coeficiente de segurança.


• Portanto:

��ç� = �� = ��Ú��

��í��

��ç� = �� = ��ã�Ú��

��ã��í��


• A determinação do valor a ser adotado para o coeficiente de segurança é um dos mais importantes problemas da engenharia.

• Por um lado, a escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar a uma possibilidade muito alta de ruptura da estrutura; por outro lado, um coeficiente de segurança muito alto leva a projetos antieconômicos ou pouco funcionais.


• A escolha do coeficiente de segurança adequado para as diferentes aplicações práticas requer uma análise cuidadosa, que leve em consideração muitos fatores, tais como:

a) Modificações que ocorrem nas propriedades do material;

b) O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou máquina;


c) O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente;

d) O modo de ruptura que pode ocorrer;

e) Métodos aproximados de análise;

f) Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido a falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis;

g) A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura.

1. Exercício

• A placa indicada na figura é presa a base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de cisalhamento última do aço é de 360 MPa.

• Utilizando um coeficiente de segurança de 3,35, determine o diâmetro do parafuso a ser utilizado.

Ex. 1.43 4ª.ed Resposta: d = 20,8 mm

2. Exercício

• A barra de ligação horizontal BC é de 6 mm de espessura e é feita de aço com tensão última detração de 450 MPa.

• Qual deve ser a largura w desta barra de ligação, se a estrutura for projetada para suportar uma carga P = 32kN, com coeficiente de segurança igual a 3?

Ex. 1.39 4ª.ed

300 mm

150 mm

Resposta: w = 30,8 mm

3. Exercício

• Duas forças são aplicadas ao suporte da figura abaixo.

Ex.R. 1.3 6ª.ed

a) Sabendo-se que a barra de controle AB é feita de aço com tensão última de 600 MPa, determinar o diâmetro da barra que o coeficiente de segurança ao seja de 3,3.

Resposta: dAB = 16,74 mm

b) O Pino do ponto C é feito de aço com tensão última a cisalhamento de 350 MPa. Determinar o diâmetro do pino C que leva a um coeficiente de segurança ao cisalhamento de valor 3,3.

Resposta: dC = 22 mm

c) Determinar a espessura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tensão admissível para esmagamento do aço utilizado é de 300 MPa.

Resposta: t = 6 mm

Vista Frontal

Vista Lateral

Vista Superior

4. Exercício

• Seja a estrutura de aço mostrada na figura abaixo.

Ex. 1.55 4ª.ed

• Na estrutura mostrada, um pino de diâmetro 6 mm é utilizado em C, enquanto que em B e D utilizam-se pinos de 10 mm de diâmetro. A tensão de cisalhamento última para todas as ligações é 150 MPa, a tensão normal última é de 400 MPa na viga BD. Desejando-se um coeficiente de segurança igual a 3, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Notar que a viga BD não é reforçada em torno dos furos dos pinos..

Resposta: 1,683 kN



3ª ParteSérie de Exercícios

1. Exercício• Um balde de 150 kg é suspenso a

partir da extremidade E da armação. Os diâmetros dos pinos em A e D são de 6 mm e 10 mm, respectivamente. Determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nestes pinos. Cada pino é submetido a cisalhamento duplo.

Ex. 1.44 9ª.edResposta: tA = 58,7 MPa; tD = 26,5 MPa

g = 9,81 m/s2

2. Exercício• O parafuso de ancoragem foi

arrancado do concreto. Considere que a superfície de ruptura pode ser aproximada por um tronco de cone e cilindro, indicando que a falha por cisalhamento ocorreu ao longo do cilindro BC, e a falha por tensão normal, ao longo do tronco AB. Se as tensões de cisalhamento e normais ao longo destas superfícies têm as magnitudes mostradas, determinar a força P que deve ter sido aplicada ao parafuso.

Ex. 1.58 9ª.edResposta: P = 68,3 kN

3. Exercício• A treliça abaixo é usada para suportar o carregamento

mostrado. Determinar a área da seção transversal necessária de membro BC para uma tensão normal admissível sadm = 24 kpsi.

Ex. 1.72 9ª.edResposta: 0,0356 pol2; 22,968 10-6 m2

1 lb = 4,448 N1 pol = 0,0254 m1 lb/pol2 (psi) = 6895 Pa1 pé (ft) = 0,3048 m

4. Exercício• Um vaso de 50 kg é suspenso pelos cabos AB e BC que têm

diâmetros de 1,5 mm e 2 mm, respectivamente. Se os cabos têm uma tensão normal última de 350 MPa, determine o coeficiente de segurança de cada cabo.

Ex. 1.79 9ª.edResposta: CSAB = 1,72; CSBC = 2,50

g = 9,81 m/s2

5. Exercício

• A estrutura ao lado é sujeita à carga de 4 kN que atua em D, no elemento ABD. Determinar o diâmetro exigido dos pinos em D e C, se a tensão admissível de cisalhamento para o material é de 40 MPa. O pino C é submetido a cisalhamento duplo, enquanto que o pino em D é submetido a cisalhamento simples.

Ex. 1.84 9ª.edResposta: dC = 11,3 mm; dD = 13,9 mm

6. Exercício

• As duas barras de alumínio em AB e AC têm diâmetros de 10 mm e 8 mm, respectivamente. Determinar a maior força P vertical que pode ser suportada. Considere a tensão de tração admissível para o alumínio como sadm = 150 MPa.

Ex. 1.87 9ª.edResposta: P = 7,54 kN

7. Exercício

• As vigas de madeira estão ligadas por um parafuso em B. Assumindo que as ligações em A, B, C, e D apenas exercem forças verticais sobre o conjunto, determinar o diâmetro necessário do parafuso em B e o diâmetro externo necessário de suas arruelas. Adote tensão de tração admissível de 150 MPa para aço, e 25 MPa para madeira. Assume-se que o furo nas arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso.

Ex. 1.88 9ª.edResposta: dP = 6,11 mm; dArr = 15,4 mm

8. Exercício

• Determinar a espessura t mínima exigida para o membro AB e a distância da borda b do quadro se P = 9.000 lb e o coeficiente de segurança é 2. Assume-se que a madeira tenha uma tensão normal última sU = 6 kpsi, e tensão de cisalhamento última tU = 1,5 kpsi .

Ex. 1.89 9ª.edResposta: t = 1,0 pol. (25,4 mm) b = 3,46 pol. (87,88 mm)

3 pol. 3 pol.


9. Exercício

• O suporte de alumínio A é utilizado para suportar a carga aplicada centralmente de 8 Klb. Se ele tem uma espessura constante de 0,5 pol., Determinar a menor altura h, a fim de evitar uma ruptura por cisalhamento. A tensão de cisalhamento última é tU = 23 kpsi. Use um coeficiente de segurança para cisalhamento de C.S. = 2,5.

Ex. 1.94 9ª.edResposta: h = 1,74 pol. ou 44,2 mm

8.000 lb


10. Exercício

• Seja a cruzeta abaixo, submetida a um esforço de 5kN. Determine a tensão normal média em cada barra circular, e a tensão média de cisalhamento no pino A.

Ex. 1.103 9ª.edResposta: 3,98 MPa; 7,07 MPa; 5,09 MPa

• Resistência dos Materiais• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,

E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

Fonte Bibliográfica

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