SIMULADO Matemática

1

31 (UFT-TO)

Uma empresa do ramo de confecções produz e comer-cializa calças jeans. Se x representa a quantidade pro-duzida e comercializada (em milhares de unidades) e l(x) = − x2 + 48x − 10 representa o lucro (em milhares de reais) da empresa para x unidades, então o lucro máximo que a empresa poderá obter é:

a) R$ 566 000,00

b) R$ 423 000,00

c) R$ 653 000,00

d) R$ 745 000,00

e) R$ 358 000,00

2 (FGV-SP)

O gráfi co de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:• O vértice é o ponto (4, −1).• Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). O ponto de intersecção do gráfi co com o eixo das orde-nadas é:

a) (0, 14)

b) (0, 15)

c) (0, 16)

d) (0, 17)

e) (0, 18)

Resolução

Considerando a função f(x) = ax2 + bx + c, sendo a , 0, a fun-ção terá como valor máximo a ordenada do vértice da parábola que corresponde à sua representação gráfi ca. Para a função l(x) dada, teremos:

yaV

· ( ) · ( )

· ( )= − =

− − − − −

∆4

48 4 1 10

4 1

2

=− −

−=

= −−

=

2 304 40

4

2 2644

566

Portanto, o lucro máximo será R$ 566 000,00.

Resolução

Uma função quadrática f(x), de raízes x′ e x″, pode ser escrita na forma f(x) = a(x − x′)(x − x″), com a ≠ 0. Lembrando que a abscis-sa do vértice é a média das abscissas das raízes, sabendo que xV = 4 e que uma das raízes é x′ = 5, teremos:

x xX

xxV

î ì ì ì+ = ⇔ + = ⇔ =2

52

4 3

Desse modo, f(x) = a(x − 5)(x − 3).

Sabendo que (4, −1) pertence ao gráfi co da função, então f(4) = −1, ou seja:

f(4) = a(4 − 5)(4 − 3) = −1 a ⋅ (−1) ⋅ 1 = −1 −a = −1 ⇒ a = 1

A função é da forma f(x) = 1 ⋅ (x − 5)(x − 3) ou f(x) = (x − 5)(x − 3), e o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é o ponto de abscissa igual a 0. Logo:f(0) = (0 − 5)(0 − 3) = 15O ponto procurado é o ponto de coordenadas (0, 15).

SIMULADO Matemática

2

33 (UFAL)

Suponha que a estatura média H da população do litoral norte de Paripueira a Maragogi verifi ca a desigualdade

H − 1726

1< , em que H é medida em centímetros. O in-

tervalo da reta real em que essas alturas se situam está contido no intervalo:

a) [160; 175]

b) [164; 176]

c) [166; 176]

d) [166; 179]

e) [168; 180]

4 (UFTM-MG)

A função f(x) = |x + 3| − |x + 1| tem valor maior que zero, para x real obedecendo à condição:

a) x , − 3

b) − 3 , x , 3

c) x . 3

d) x , 2

e) x . − 2

Resolução

H − 1726

< 1 ⇔ −1 < H − 172

6 < 1 ⇔ −6 < H − 172 < 6 ⇔ −6 +

+ 172 < H < 6 + 172 ⇔ 166 < H < 178Portanto, 166 < H < 178, intervalo contido em [166; 179].

Resolução

|x + 3| − |x + 1| . 0 |x + 3| . |x + 1| ou |x + 1| , |x + 3|

Resolvendo I, temos:− (x + 3) , x + 1−x − 3 , x + 1−x − x , 1 + 3−2x , 4 ⇒ x . −2

Resolvendo II, temos: x + 1 , x + 31 , 3 (válida para qualquer x real)

Portanto, f(x) tem valor maior que zero para qualquer x real tal que x . −2.

SIMULADO Matemática

3

35 (UEL-PR)

Uma universidade tem 5 000 alunos e uma estimativa de crescimento do número de alunos de 10% ao ano. Com base nessas informações, o tempo previsto para que a população estudantil da universidade ultrapasse 10 000 alunos é de: (Dados: log102 = 0,30; log101,1 = 0,04)

a) 6 anos.

b) 7 anos.

c) 8 anos.

d) 9 anos.

e) 10 anos.

6 (UEPB)

Seja V o conjunto de todas as soluções reais de 5

315

2 2 2 .+ −x x

< Então:

a) V = {x ∈ R | x > −1}

b) V = {x ∈ R | x < −1 ou x > 3}

c) V = {x ∈ R | x < 3}

d) V = {x ∈ R | −1 < x < 3}

e) V = {x ∈ R | x > 0}

Resolução

A função que defi ne o número de alunos no decorrer do tempo será A(n) = 5 000 ⋅ (1 + 0,1)n, em que A(n) é o número de alunos e n é o número de anos decorridos. Assim, a universidade atingi-rá 10 000 alunos quando: 10 000 = 5 000 ⋅ (1 + 0,1)n 2 = (1,1)n log10 2 = log10 (1,1)n log10 2 = n ⋅ log10 (1,1)

0,30 = n ⋅ 0,04

n = 0 300 04,,

= 7,5 ⇒ n = 7,5 anos

Logo, o tempo previsto para que a população estudantil ultra-passe 10 000 alunos é de 8 anos.

Resolução

5

315

515

3

13

3

2 2

2 2

2 2

2

2

+ −

+ −

+

x x

x x

<

<

< xx x

x x

x x

−

− + −

− + −− −

2

2

3 3

1 2 2

1 2

1 2 2

2

<<

− +− −

2 0

2 3 0

2

2

x x

x x

<<

Resolvendo a equação x2 − 2x − 3 = 0, encontramos as raízes x′ = −1 ou x″ = 3. Fazendo o estudo do sinal, encontramos o conjunto verdade da inequação: V = {x ∈ R | −1 < x < 3}

SIMULADO Matemática

4

37 (UFV-MG)

Para resolver a equação exponencial 42x − 2 − 24 ⋅ 4x − 2 + + 8 = 0, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo produto vale:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

8 (Mack-SP)

Adotando-se log2 = 0,3 e log5 = 0,7, assinale, dentre as alternativas abaixo, o valor mais próximo de x tal que 200x = 40.

a) 0,3

b) 0,5

c) 0,2

d) 0,4

e) 0,7

Resolução

16 ⋅ (42x − 2 − 24 ⋅ 4x − 2 + 8) = 16 ⋅ 0 16 ⋅ 42x − 2 − 16 ⋅ 24 ⋅ 4x − 2 + 16 ⋅ 8 = 0

16 ⋅ 44

2

2

x

− 16 ⋅ 24 ⋅ 442

x

+ 16 ⋅ 8 = 0

16 ⋅ 416

2x

− 16 ⋅ 24 ⋅ 416

x

+ 16 ⋅ 8 = 8

42x − 24 ⋅ 4x + 128 = 0 (4x)2 − 24 ⋅ 4x + 128 = 0Substituindo 4x = y, teremos a seguinte equação do 2.º grau: y2 − 24y + 128 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos as raízes y′ = 8 e y″ = 16. Lembrando que y = 4x, teremos: 4x = 8 ou 4x = 16.

22x = 23 ou 22x = 24

2x = 3 2x = 4

x = 32

x = 2

Logo, o produto dos números encontrados por Aline será igual a 3.

Resolução

200x = 40 ⇔ log200x = log40 ⇔ x ⋅ log200 = log40 ⇔ x ⋅ log(2 ⋅ 100) == log(4 ⋅ 10) ⇔ x ⋅ (log2 + log100) = log22 + log10 ⇔ x ⋅ (0,3 + 2) =

= 2 ⋅ 0,3 + 1 ⇔ x ⋅ 2,3 = 1,6 ⇔ x = 162 3,,

⇔ x = 0,695652 ⇔ x q 0,7

SIMULADO Matemática

5

39 (Uespi-PI)

Se x = log1012 e y = log212, qual o valor de log610 em termos de x e y?

10 (Unifesp-SP)

A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica de-cimal das populações de grupos A, B, C, ... de pessoas.

Grupo População (p) log10(p)

A 5 6,69897

B 35 1,54407

C 1 800 3,25527

D 60 000 4,77815

E 5,54407

F 10 009 000 7,00039

Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a po-pulação do grupo E é:

a) 170 000

b) 180 000

c) 250 000

d) 300 000

e) 350 000

ay

x y

byxy

cxy

x

d

)( )

)( )

)( )

)

+ −

+

1

1

1

xxy y

ey

x y

( )

)( )

+

−

1

1

Resolução

Sendo x = log1012, pela mudança de base, temos:

x = log1012 = log

log6

6

12

10 ⇒ log610 =

log6 12

x (I)

Sendo y = log212, podemos escrever:

y = log212 = log

log6

6

12

2 ⇒ log612 = y ⋅ log62 (II)

Considerando y = log212, também podemos escrever: y = log212 = log2(2 ⋅ 6) = log22 + log26 = 1 + log26

y ylog

log log log= + = + ⇒ − =1

6

21

12

116

6 6 6 222

116log ( )⇒ =

−yIII

Portanto, de I, II e III, teremos:

loglog · log

·

66 61012 2

11= = = − =

x

y

x

yyx

yxx y· ( )− 1

Resolução

Sabendo que log35 = 1,54407, temos:

101,54407 = 35 ⇔ 101 ⋅ 100,54407 = 35 ⇔ 100,54407 = 3510

⇔ 100,54407 = 3,5

Sendo pe a população do grupo E, temos:logpe = 5,54407 ⇔ pe = 105,54407 ⇔ pe = 105 ⋅ 100,54407 ⇔ pe = = 100 000 ⋅ 3,5 ⇔ pe = 350 000Portanto, a população do grupo E é 350 000 pessoas.