ngulos

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumrio Pgina O ngulo e seus elementos.............................................................................................. 1 Medida de um ngulo...................................................................................................... 3 ngulos congruentes ................................................................................................ 6 ngulo raso e ngulo nulo........................................................................................ 7 Operaes com medidas de ngulos ............................................................................. 13 Transformao de unidades.................................................................................... 14 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 Adio .................................................................................................................... 16 Subtrao ................................................................................................................ 16 Multiplicao por um nmero natural .................................................................... 18 Diviso por um nmero natural.............................................................................. 19 ngulos consecutivos e ngulos adjacentes ................................................................. 21 Bissetriz de um ngulo.................................................................................................. 24 Construo da bissetriz........................................................................................... 25 ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso ................................................................. 28 Retas perpendiculares............................................................................................. 29 ngulos complementares e ngulos suplementares...................................................... 30 ngulos opostos pelo vrtice ........................................................................................ 34 Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.......................................................................35 Referncias bibliogrficas............................................................................................. 38

1

ngulos

O ngulo e seus elementos Veremos como representar matematicamente um ngulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo:

Nos modelos matemticos de figuras que surgem a idia de ngulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e no-opostas, que dividem o plano em duas regies: uma convexa e outra no-convexa.

Denominamos ngulo a regio formada por duas semi-retas no-opostas que tm a mesma origem.

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No ngulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:

O o vrtice do ngulo As semi-retas OA e OB so denominadas lados do ngulo

Para identificar esse ngulo utilizamos a notaoAB ou BA :

(L-se ngulo AOB) A letra que corresponde ao vrtice deve ficar no meio

OBS.: Quando no houver dvidas quanto ao ngulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notao que indica apenas o seu vrtice.

ngulo ou AB ngulo P ou NPM Neste caso, h trs ngulos com vrtices em O: AB, BC e AC

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Medida de um ngulo

A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura, e a unidade padro utilizada o grau, que se representa pelo smbolo aps o nmero.

Vamos ver o que representa o grau.

As primeiras noes de ngulo foram desenvolvidas na Grcia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicia (sculo II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira diviso do crculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ngulos.

A cada um desses 360 arcos em que a circunferncia foi dividida associamos um ngulo cuja medida chamaremos de 1 grau.

O grau uma unidade de medida de ngulo; 1 grau corresponde medida do

ngulo (com vrtice no centro da circunferncia) associado a um arco de 3601

da

circunferncia.

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Exemplos:

Assim, para medir um ngulo, comparamos sua medida medida de um ngulo de 1. N prtica, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1.

Para medir um ngulo:

coloque o transferidor sobre o ngulo, fazendo com que seu centro coincida com o vrtice do ngulo

coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ngulo

identifique na escala do transferidor o nmero interceptado pelo outro lado do ngulo

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Exemplos:

a) A medida do ngulo AB 45, e indicamos med (AB) = 45.

b) A medida do ngulo AC 160, e indicamos med (AC) = 160.

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ngulos congruentes

Consideremos os ngulos AB e QPM abaixo:

Se transportarmos um ngulo sobre o outro, podemos notar que os vrtices e os lados dos dois ngulos coincidem:

Assim, AB e QPM possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.

Dois ngulos que tm a mesma medida so chamados ngulos congruentes, e utilizamos o smbolo para relacion-los.

Q)P(Mmed(AB)med =

usamos o smbolo = quando comparamos

medidas

QPMAB

congruente

usamos o smbolo quando comparamos

ngulos

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Na prtica, utilizamos o transferidor para determinar se dois ngulos so ou no congruentes.

med C)B(A = 56 med (DF)= 56 DFAB

ngulo raso e ngulo nulo

Quando duas semi-retas so opostas, dizemos que formam um ngulo raso ou de meia-volta.

BC um ngulo raso ou de meia-volta

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Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ngulos: o ngulo nulo e o ngulo de uma volta.

ngulo nulo ngulo de uma volta

Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ngulos abaixo:

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EXERCCIOS A (1) Considere o ngulo da figura abaixo e responda: a) Qual o vrtice desse ngulo?

b) Quais so os lados desse ngulo?

c) Qual o nome desse ngulo?

(2) Na figura abaixo, identifique todos os ngulos e nomei os mesmos.

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(3) Na figura seguinte, d as medidas dos ngulos indicados:

(4) Usando um transferidor, d a medida de cada ngulo:

a)

b)

11

c)

d)

e)

f)

(5) No exerccio anterior, identifique os pares de ngulos congruntes.

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(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ngulo de:

a) 42

b) 90

c) 125

d) 180

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Operaes com medidas de ngulos

Como vimos, o transferidor mede ngulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas h ngulos que no possuem como medida um nmero inteiro de graus. Como no costume utilizar decimais em medidas de ngulos, utilizamos os submltiplos do grau.

O grau tem dois submltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ngulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numerao.

minuto :smbolo

segundo :smbolo

Portanto:

Por exemplo, o ngulo de medida 18,5 pode ser escrito assim:

031803185018518 =+=+= ,,

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Transformao de unidades

Vejamos como fazer transformaes de unidades de ngulos observando os exemplos:

1) Quantos minutos tem 32?

Resposta: 32 tem 0192 .

2) Expresse 0372 em segundos.

Resposta: 0372 tem 0765 .

3) Escreva 0568 em graus, minutos e segundos.

Resposta: 0568 tem 04431 .

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Simplificando os resultados

Em algumas situaes, principalmente nas operaes com medidas de ngulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos.

1) Simplificar 0654 .

551540654 =+=

Resposta: 0654 escrito na forma simplificada 55.

2) Simplificar 61218 .

620620621860121861218 =+=++=++=

Resposta: 61218 escrito na forma simplificada 620 .

3) Simplificar 085727 .

0261280857270261127085727

02610627085727026727085727

021572708572702065727085727

085727085727

++=

+++=

+++=

++=

+++=

+++=

++=

Resposta: 085727 escrito na forma simplificada 026128 ++ .

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Adio

1) Quanto a soma de 355376 com 834547 ?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:

Resposta: A soma 1303124 .

Subtrao

1) Calcule a diferena 926138734568 .

Resposta: A diferena 88330 .

17

2) Qual o valor de 038467623105 ?

Agora calculamos a diferena:

Resposta: O valor de 038467623105 633137 .

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Multiplicao por um nmero natural

1) Qual o produto de 038117 por 6?

Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:

Resposta: O produto de 038117 por 6 15103 .

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Diviso por um nmero natural

1) Calcule o quociente ( 041382 ) : 4.

Resposta: O quociente 557320 .

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EXERCCIOS B (1) Efetue as operaes indicadas:

a) 0201412113 +

c) 3:)336327(

b) 0351100235

d) )544210(4

(2) Determine, na forma mais simplificada possvel, o valor das expresses:

a) 0315138127532115 ++

b) 5:)021550(

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(3) Na figura abaixo, AC um ngulo de meia-volta. Qual o valor de x?

ngulos consecutivos e ngulos adjacentes

Observe a figura:

Nela identificamos os ngulos AC, CB e AB. Verifique em cada uma das figuras seguintes que:

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Os ngulos AC e CB possuem: Vrtice comum: O

Lado comum: OC

Os ngulos AC e AB possuem: Vrtice comum: O

Lado comum: OA

Os ngulos CB e AB possuem: Vrtice comum: O

Lado comum: OB

Os pares de ngulos AC e CB, AC e AB, CB e AB so denominados ngulos consecutivos.

Assim:

Dois ngulos que possuem o mesmo o mesmo vrtice tm um lado comum so denominados ngulos consecutivos.

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Observe os exemplos de ngulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ngulos AC e CB no possuem pontos internos comuns

Os ngulos AC e AB possuem pontos internos comuns.

Os ngulos CB e AB possuem pontos internos comuns.

Verifique que os ngulos AC e CB so consecutivos e no possuem pontos internos comuns. Por isso eles so denominados ngulos adjacentes. Assim:

Dois ngulos consecutivos que no possuem ponto interno comum so denominados ngulos adjacentes.

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Bissetriz de um ngulo

Observe a figura abaixo:

med ( AP ) = med ( PB ) = 25

Verifique que a semi-reta OP divide o ngulo AB em dois ngulos (AP e PB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta OP denominada bissetriz do ngulo AB.

Assim:

Bissetriz de um ngulo a semi-reta de origem no vrtice desse ngulo que determina, com seus lados, dois ngulos adjacentes congruentes.

25

Construo da bissetriz

Com o compasso e a rgua, podemos facilmente traar a bissetriz de um ngulo dado, como veremos a seguir.

Traar a bissetriz de um ngulo AB

Com o centro no vrtice O, traamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B.

Com centro nos pontos C e D traamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E.

A semi-reta a bissetriz do ngulo AB.

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EXERCCIOS C (1) Em cada figura, escreva os pares de ngulos adjacentes:

a)

b)

c)

(2) Com o transferidor, desenhe os ngulos abaixo, traando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso.

a) 60

27

b) 110

c) 90

d) 77

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ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso

Podemos classificar um ngulo em agudo, obtuso ou reto.

ngulo reto o ngulo cuja medida 90.

ngulo agudo o ngulo cuja medida menor que 90.

ngulo obtuso o ngulo cuja medida maior que 90.

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Retas perpendiculares

Se traarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), possvel obter 4 ngulos congruentes, ou seja, de mesma medida.

fcil verificar que cada um desses ngulos mede 90.

a = b = c = d

Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ngulos retos, dizemos que as retas so perpendiculares e utilizamos o smbolo para representar esse

perpendicularismo.

Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ngulos retos; ento sr .

Smbolo: (perpendicular a)

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ngulos complementares e ngulos suplementares

Observe os ngulos BOA e COB na figura abaixo:

Verifique que:

med ( BOA ) + med ( COB ) = 90

Nesse caso, dizemos que os ngulos BOA e COB so complementares.

Assim:

Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas 90.

Para calcular a medida do complemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 90 e a medida do ngulo agudo dado.

Medida do ngulo Complemento x 90 x

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Observe os ngulos BOA e COB na figura abaixo:

Verifique que:

med ( BOA ) + med ( COB ) = 180

Nesse caso, dizemos que os ngulos BOA e COB so suplementares.

Assim:

Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas 180.

Para calcular a medida do suplemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 180 e a medida do ngulo agudo dado.

Medida do ngulo Suplemento x 180 x

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Exemplos:

a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ngulo de 46. Complemento: 444690 =

Suplemento: 13446180 =

Resposta: O complemento do ngulo de 46 mede 44 e o suplemento 134.

b) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

Como os ngulos so adjacentes complementares:

35x2

70x

702x2090x290202x

9010x30x

=

=

=

=

=+

=++

Resposta: O valor de x 35.

c) Na figura abaixo, determinar as medidas CBA e DBC .

Como os ngulos so adjacentes suplementares:

42x4

168x

6814x12081x4180124x

18012x3x

=

=

=

=

=+

=++

Resposta: CBA mede 126 e DBC mede 54.

33

EXERCCIOS D (1) Nas figuras abaixo, determine x:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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ngulos opostos pelo vrtice

Observe os ngulos AB e CD na figura abaixo:

Verifique que: OA e OC so semi-retas opostas OB e OD so semi-retas opostas

Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ngulo AB so opostas, respectivamente, s semi-retas OC e OD que formam os lados do ngulo CD .

Neste caso, podemos tambm afirmar que os lados do ngulo AB so formados pelos prolongamentos dos lados do ngulo CD , e vice-versa.

A esses dois ngulos damos o nome de ngulos opostos pelo vrtice.

Dois ngulos so chamados opostos pelo vrtice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.

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Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.

Na figura ao lado, os ngulos AD e BC so opostos pelo vrtice. Indicamos por: x = med ( COB ) y = med ( DOA ) m = med ( BOA )

Como BOA e DOA so adjacentes suplementares:

180ym =+ (I)

Como BOA e COB so adjacentes suplementares:

180xm =+ (II)

Comparando (I) e (II), temos:

180xm180ym

=+

=+

xy xmym

=

+=+

Podemos enunciar a seguinte propriedade:

Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes, ou seja, tm a mesma medida.

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Exemplo:

Determinar os valores de x e y na figura abaixo.

o.p.v. ngulos 30x = ressuplementa adjacetes ngulos 18030y =+

150y30180y

=

=

Resposta: O valor de x 30 e de y 150.

EXERCCIOS E (1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b:

a)

37

b)

c)

d)

38

Referncias bibliogrficas

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39

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