2 6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier Discreta2.6 Sinais de Tempo Discreto e Transformada de Fourier Discreta

Em computação numérica, os número de dados devem ser finitos, significando que o número de amostras de um sinal x(t) e de seu espectro X(f) devem ser finitos.

Deve-se trabalhar com sinais x(t) limitados no tempo e, em caso contrário, é necessário truncá-los para que tenham duração finita. O mesmo se aplica a X(f) .

O Processo de amostragemO Processo de amostragem

Embora existam outras possibilidades, o método típico de obter uma representação de tempo discreto de um sinal contínuo no tempo é através de amostragem periódica.

Considere-se um sinal x(t), de duração , começando em t = 0, conforme esboçado na figura abaixo, juntamente com seu espectro:

Conforme será discutido adiante, existem razões para considerar x(t) de duração T, onde T , tal que x(t) = 0 em < t T. ___________________________________________________Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, Oxford university Press, New York,Lathi, B. P., Modern Digital and Analog Communication Systems, 3 edition, Oxford university Press, New York, 401 0., 1998.

Tomam-se amostras de x(t) em intervalos de amostragem uniformes de Ts segundos.

Tsk)

O sistema que implementa a operação de amostragem é um conversor ideal de tempo contínuo para

O total de amostras é: N = T / Ts .k

*

discreto (conversor C/D).

s

)()( skTxkx )(tx

sendo x(t) o sinal de tempo contínuo, x(k) o sinal de tempo discreto e Ts o intervalo de amostragem.

Em um arranjo prático, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-digitalEm um arranjo prático, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico digital(A/D), o qual pode ser interpretado como uma aproximação de um conversor C/D ideal.

__________________________________________________________* O h i A V S h f R W B k J R Di t Ti Si l P i 2 d diti P ti H ll 897* Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p.,

New Jersey, 1999.

s

)(tx )()( skTxkx

Na figura abaixo mostra-se um trem de pulsos retangulares que foi amostrado na taxa fs = 1/T s,sendo t = Ts o intervalo de amostragem (distância entre amostras consecutivas).

Observe se que a sequência se repete a cada N 16 amostras sendo N o período da sequênciaObserve-se que a sequência se repete a cada N = 16 amostras, sendo N o período da sequência.

As amostras podem ser expressas por:

Se o amostrador for uma função impulso periódica:

Por simplicidade costuma se descartar T e escrever simplesmente:

?impulso discreto?

Por simplicidade, costuma-se descartar Ts e escrever simplesmente:

A t ã (k) é i l d t di t j ê i d d d úA representação x(k) é um sinal de tempo discreto, ou seja, uma sequência ordenada de números, possivelmente complexos, e consistindo de k = 0, 1, 2, ..., N1, num total de N pontos.___________________________________________________

Exemplo: A sequência impulso unitário de tempo discreto é definido por:

cujo gráfico está desenhado ao lado:

Exemplo: A sequência degrau unitário é definida por:

e seu gráfico está desenhado ao lado:

Exemplo: O degrau também pode ser descrito por:Exemplo: O degrau também pode ser descrito por:

Exemplo: A exponencial real é definida simplesmente por:

ficando implícito que n = 0, 1, 2, ...

No caso em que A e são números reais, A > 0 e 0< < 1 tem se o gráfico ao lado:A > 0 e 0< < 1, tem-se o gráfico ao lado:

Exemplo: Seja a sequência representada na figura a seguir:

A sequência pode ser especificada por:

Exemplo: Generalizando, toda sequência pode ser representada por:

k

nkkxkx )()()( k

Modelo Matemático da Amostragem

É conveniente representar matematicamente o processo de amostragem em dois estágios: um modulador por trem de impulsos e um conversor de trem de impulsos para sequência.

)(tx )()( skTxkx

*

Na figura abaixo mostra-se um sinal contínuo no tempo x(t) e o resultado da amostragem por trem de

)(tx

g p ( ) g pimpulsos, xs(t).

s s s s

Ao lado de x (t) é mostrada a sequência de saída correspondente x(k):

)(kx

)(tx

Ao lado de xs(t), é mostrada a sequência de saída correspondente, x(k):

ks s s s

A diferença básica entre xs (t) e x(k) é que xs (t) é um sinal do tipo contínuo (um trem de impulsos, que é nulo exceto em múltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequência x(k) é de tempo discreto e estáque é nulo exceto em múltiplos inteiros de Ts ), enquanto a sequência x(k) é de tempo discreto e está indexada na variável k (a qual estabelece uma normalização de tempo).

As amostras estão representadas por números finitos x(k) em vez de áreas de impulsos xs (t) .

___________________________________________________Observação:

Na referência [Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice ll 89 1999] d d ó i i i i b d i d f d d i dHall, 897 p., New Jersey, 1999], o estudo deste tópico inicia-se sob o ponto de vista da transformada de Fourier de

uma sequência (DTFT), segue para a discussão da série de Fourier discreta (DFS) de sequências periódicas, e evoluipara o conceito de transformada de Fourier discreta (DFT) aplicada a sequências de comprimento finito.

Neste curso será apresentado apenas uma breve introdução sobre o assunto deixando a análise mais aprofundadaNeste curso, será apresentado apenas uma breve introdução sobre o assunto, deixando a análise mais aprofundadapara o curso de Processamento Digital de Sinais.

)(tx )()( skTxkx

A conversão de x(t) para x (t) inicia se empregando se um trem de impulsos periódico:A conversão de x(t) para xs (t) inicia-se empregando-se um trem de impulsos periódico:

o qual é modulado por x(t) resultando em:

k

skTtts )()(

o qual é modulado por x(t) resultando em:

At é d i d d d lti li ã d f ã i l (2 5 9 ) t d b i

k

ss kTttxtstxtx )()()()()(

Através da propriedade de multiplicação da função impulso (2.5.9a) mostrada abaixo:

xs (t) pode ser expressa por:

Após o conversor C/D, obtém-se

k

sss kTtkTxtx )()()(

Impulso discreto

ou , k = 0, 1, 2, ...)()()( nknxkxn

)()( skTxkx

Recorre-se a relação (2.2-4), da transformada de Fourier:Recorre se a relação (2.2 4), da transformada de Fourier:

de (k) (kT ) d ã e t e 0 e T bte :para o caso de x(k) = x(kTs), com duração entre 0 e T, para obter:

dtekTxfX skTfjs

T2

0

)()(

Como as amostras são espaçadas entre si de Ts , aproxima-se dt t=Ts na integral acima.

Além disso, como o número de amostra é discreto e limitado entre 0 e (N1), a integral é convertida em somatório:

N 1

Conforme será verificado a seguir, X(f) também é discreto, com amostras uniformemente espaçadas.

s

N

k

kTfjs

TTekTxfX s

s

1

0

2

0)(lim)(

g , (f) , p ç

Considera-se que o espaçamento entre amostras seja igual a f Hz, tal que f = nf.

Se X(n) é a n ésima amostra de X(f) isto é X(n) = X(nf) entãoSe X(n) é a n-ésima amostra de X(f), isto é, X(n) = X(nf), então

1

0

)(21

0

)(2 )()()()(N

k

kTfnjN

k

kTfnjss

ss ekxekTxTfnXnX

sendo x(k) = Ts x(k Ts) por definição, o qual é idêntico ao x(k) anterior, exceto por um fator de escala.

11

2 )()()(N

kjnN

kTfjn ekxekxnX sPortanto, , sendo = 2 f Ts por definição. 00

)()()(kk

ekxekxnXPortanto, , sendo 2 f Ts por definição.

As amostras X(n) são periódicas, com período 2/ = 2/(f Ts) amostras.s a ost as (n) são pe ód cas, co pe odo / /( f s) a ost as.

Na dedução, assumiu-se que Ts0, porém, na prática, isto não é possível porque aumentaria imensamente o número de dados a serem processados.

Isto resulta em algum erro computacional (conforme será visto adiante), e assim, deve-se esforçar para tornar Ts tão pequeno quanto for praticável.

Prosseguindo, apenas um número de 2/ amostras de X(n) podem ser independentes, e também,X(n) é determinado por apenas N valores independentes de x(k).

P t t i d õ j ú i ó d h N l d tPortanto, para que as inversas dessas equações sejam únicas, só pode haver N valores de amostras independentes de X(n) , ou seja:

ffN

N1

e2

2222

Tf

Tf

TfTfN

s

e222

ff1

e2

2

112 )()()(

Nkjn

NkTfjn ekxekxnX s

Tf

Tf e2

Então, dado que N = T /Ts ocorre: nkN

jN

T

TnkjkfTjn s

21

22

00

)()()(kk

ekxekxnX

____________________________________

e daí:

NNT

A expressão X(n) constitui a forma tradicional da transformada de Fourier discreta (DFT), denotada por DFT [x(k)].

X(n) consiste de N amostras, onde cada amostra está espaçada da outra pela frequência f :

h tsfffNfff

1 hertz.

sendo fs o número de amostras de x(t) por segundo, ou seja, a frequência de amostragem de x(t).s

ss TNN

fffNffnf

Isto significa que X(n) é N-periódica, repetindo-se a cada fs Hz.

Observe-se que, calculando X(n) para n substituído por (n+N), obtém-se:

221)(21 kkNkN

____________________________________

)()()()(221

0

)(21

0

nXeekxekxNnXNk

Njnk

NjN

k

kNnN

jN

k

2

kkNkj

pois . 1)( 22

kjkjN

j

eee

O espectro da DFT se repete a cada N amostras, ou então, a cada fs Hz (pois ) .fNffnf s

O intervalo entre n (n+1) representa Hz, e assim, a frequência discreta é:Nff s /

Basta N parcelas em (2.6-2) para se determinar X(n) .

A DFT é computada apenas para N positivo.

Observe que tanto x(k) quanto X(n) são sequências ordenadas de números e, portanto, podem ser facilmente processadas por computador ou algum tipo de DSP.

Dada a relação f = 1/T , o intervalo de amostragem espectral f Hz (ou 2f rad/s) pode ser ajustado pela escolha apropriada de T : quanto maior T menor será f (ou 2f rad/s)pela escolha apropriada de T : quanto maior T, menor será f (ou 2f rad/s) .

A ideia de selecionar T agora fica mais clara: quando T é maior que espera-se ter diversas amostras nulas de x(k) no intervalo de a T.

Assim, aumentando-se o número de valores nulos de x(k), se reduz 2f e as amostras de X(n) ficam d d i d lh ( l ã ) X(f)menos espaçadas, gerando-se mais detalhes (resolução) em X(f).

Ou seja, para um dado intervalo Ts, quanto maior T maior será N.

Assim, pela escolha adequadamente grande do valor de N pode-se obter amostras de X(f) tão próximas quanto possível.

Este processo de reduzir 2f pela inserção de amostras nulas de x(k) é conhecido como técnica deEste processo de reduzir 2f pela inserção de amostras nulas de x(k) é conhecido como técnica dezero padding.

Antes de proceder ao cálculo da transformada inversa, investiga-se a propriedade de ortogonalidade do conjunto de exponenciais complexas; ou seja, mostra-se que:

(3a)

contráriocasono0

etc.,2,1,0se,1

0

nNe kjn

N

k

Prova: Lembra-se que

contráriocasono00k

21

2)2()2( TT

TfT

TTfN

ss

NN 11

_______________________________________________________________________

e assim, para n = 0, N, 2N, etc., tal que , n = 0, N, 2N, etc.

Para computar a soma para os outros valores de n (n 0, N, 2N, etc.), nota-se que a soma do lado

1kjne NeN

k

knjN

k

11

0

1

0

esquerdo de (3a) é uma progressão geométrica, com razão = exp(jn):

12221

0

1

0

1

0

...1)(

NNkN

k

knjN

k

knjN

k

eeS

sendo S o resultado da soma. Multiplicando ambos os membros por resulta:

NN aS 122 ...NSubtraindo ambos as séries, obtém-se: e, portanto,NS 1)1(

01

11

0

nj

Nnjknj

N

k e

ee

pois e para n 0, N, 2N, etc.

0k

12 njNjn ee 2N

O cálculo da transformada inversa parte-se de:

11

2 )()()(N

kjnN

kTfjn ekxekxnX s

Multiplicando-se ambos os lados por e somando-se em termos de n:

00 kk

nTfjnjm see )2(

I bi d d d ó i d l d di i

njmN

k

kjnN

n

njmN

n

eekxenX

1

0

1

0

1

0

)()(

Intecambiando a ordem do somatório do lado direito:

,

nkjNN

nkkmjNN

njmN

ekxekxenX 11

)(111

)()()( km ,

O termo entre colchetes corresponde a:

nknkn 00000

)()()( km

contráriocasono0

etc.,2,1,0se,1 nNe kjn

N

e portanto, é nulo quando 0, N, 2N, etc, em particular, se 0 , ou sejaquando m k.

km

contráriocasono00k

km q

Por outro lado, a soma é N quando = 0, N, 2N, etc, em particular = 0,ou seja, m = k.

P t t t d l d di it t á ú i t ã l ( d k) é i l

km km

Portanto, a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k), e é igual aN xk = N xm .

nkjNN

nkkmjNN

njmN

kkX 11

)(111

)()()( km

nkj

nk

nkkmj

nk

njm

n

ekxekxenX

00

)(

000

)()()(

Portanto a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k) e é igual a

km

__________________________________________

Portanto, a soma externa do lado direito terá um único termo não nulo (quando m = k), e é igual aN xk = N xm:

, = 2 f Tsnjm

N

n

enXN

mx

)(1

)(1

0

Substituindo-se , obtém-se a forma inversa da transformada de Fourier discreta (IDFT), denotada por IDFT[X(n)]:

nN 0

1

(trocando-se m por k).

Como consequência, a representação de uma sequência x(k) precisa apenas de N exponenciais complexas, ao contrário do caso de sinal contínuo x(t), o qual geralmente requer infinitas exponenciaiscomplexas relacionadas harmonicamente para representá-lo.

Mostra-se, facilmente, que: x(k) = x(k+N).

Isto significa que a sequência x(k) também é periódica, com período de N amostras (representando a g q q ( ) p , p ( pduração de tempo NTs = T segundos).

Resumo:Resumo:

1

fnXnXkTxTkx ss )()()()(

T

fT

fT

ss

s

2

22

22

NfT

T

TN s

s

22

Ambas as sequências x(k) e X(n) são periódicas com período de N amostras.

Isto resulta em x(k) repetindo-se com período T, e X(n) repetindo-se com período fs = 1/Ts , a frequência de amostragem.

O i t l d t dO intervalo de amostragem de x(k) é Ts segundos.

O i t l d t dO intervalo de amostragem de X(n) é f=1/T hertz, ou então, f = fs /N hertz.

Assumindo-se que x(t) é limitado no tempo, acontece que X(f) não é limitado em banda.

Portanto, a repetição periódica do espectro X(n) causará overlapping das componentes espectrais, resultando em erro (aliasing error).

O espectro de X(n) se repete a cada fs Hz.

O erro de aliasing é reduzido aumentando-se fs , a frequência de repetição.

Este erro pode ser feito tão pequeno quanto desejado aumentando se a frequência de amostragemEste erro pode ser feito tão pequeno quanto desejado, aumentando-se a frequência de amostragem fs = 1/Ts (ou reduzindo-se o intervalo de amostragem Ts ).

O erro de aliasing é o resultado direto de não de satisfazer a exigência de Ts 0.

Quando x(t) não é limitado no tempo, necessita-se truncá-lo a fim de torná-lo limitado, o que causará ainda mais erro em X(n) .

Tal erro pode ser reduzido tanto quanto desejado aumentando se apropriadamente o intervalo deTal erro pode ser reduzido tanto quanto desejado aumentando-se apropriadamente o intervalo de truncamento T.

No cômputo da transformada inversa ocorre um problema similar: se X(f) for limitada em banda, x(t) não é limitada no tempo, e as repetições periódicas das amostras x(k) sofrerão overlap (aliasing no domínio do tempo).

Pode-se reduzir este erro de aliasing aumentando-se T o período de x(k) o que é equivalente a reduzirPode se reduzir este erro de aliasing aumentando se T, o período de x(k), o que é equivalente a reduzir o intervalo de amostragem da frequência de X(f), ou seja f =1/T.

Por outro lado, se X(f) não for limitado em banda, é necessário truncá-lo, o que causa erro adicional no ô t d (k) A t d l d b d d t t d d i tcômputo de x(k) Aumentando-se a largura de banda de truncamento pode-se reduzir este erro.

Escolha de Ts , T e Ns ,

Em primeiro lugar, deve-se decidir a largura de banda essencial B de x(t) .

Da figura abaixo nota-se que ocorre overlap espectral (aliasing) na frequência f /2 (folding frequency)Da figura abaixo, nota-se que ocorre overlap espectral (aliasing) na frequência fs /2 (folding frequency)

Se a frequência de folding for escolhida tal que o espectro X(f) seja desprezível além de f /2 o aliasingSe a frequência de folding for escolhida tal que o espectro X(f) seja desprezível além de fs /2 , o aliasingnão será significativo.

Escolha de Ts , T e N (cont...)

Portanto, a frequência de folding deveria ser pelo menos igual à maior frequência significativa, isto é, a frequência acima do qual X(f) é desprezível.

Esta frequência é chamada de largura de banda essencial B.

Se X(f) é limitada em banda, então, sua largura de banda é idêntica à largura de banda essencial.

Assim: fs/2 B

Como f =1/T onde f é a resolução de frequência [separação entre amostras de X(f)] se T e T

BTs 2

1

Como f 1/T , onde f é a resolução de frequência [separação entre amostras de X(f)], se Ts e T

forem conhecidos, então :sT

TN

Também existem sinais que não são limitados nem no tempo nem em frequência, e, em tais casos, é necessário reduzir Ts e aumentar T.

Pontos de descontinuidadesPontos de descontinuidades

Se x(t) tem uma descontinuidade degrau num ponto de amostragem, o valor da amostra deve ser tomado como a média dos valores em ambos os lados da descontinuidade.

Com isso, a representação de Fourier no ponto da descontinuidade converge para o valor médio.

(k)x(k)

Exemplo: Considere-se a sequência x(k) = (1, 2, 1, 1), para N = 4. Calcular a DFT de x(k).Exemplo: Considere se a sequência x(k) (1, 2, 1, 1), para N 4. Calcular a DFT de x(k).

= 3

Escrevendo-se que: jeej

Nj

4

22

expande-se (2.6-2), obtendo-se:

, k = 0, 1, 2 e 3.kkk jjjnX 32 )(1)(1)(21)(

Portanto, X(n) = (1, 2 j3, 1, 2+j3) #

Exemplo: Calcular a DFT da sequência abaixo, sendo N =16.

= 1

2 1k

C X( ) é N iódi it d t i l d X( ) l d l í dComo X(n) é N-periódica, necessita-se determinar os valores de X(n) ao longo de qualquer período.

É costume determinar X(n) ao longo da faixa (0, N1) em vez da faixa (N/2, N/2 1).

= 16

Observação idêntica se aplica a x(k).

Da definição de DFT:

][

][

1

1)(

216

2

216

2

216

2

2

5

16

2

2

5

16

2

2

5

16

2

4

16

2

516

2

16

2

eee

eee

e

eenX

nj

nj

nj

nj

nj

nj

k nj

njnkj

16

5

22

5

16

22

][1

42

4

16

2n

sene

nsenj

e

eeee

nj

nj

16216

22

nsenn

senj

16

5 nsenn

j

16

16)( 4

nsen

enXj

Portanto,

5sinc

5 nnnsen nn

X(n) pode ser simplificada para:

16sinc

16sinc

5

16

516

16

16)( 44

ne

nnsen

senenX

nj

nj

tal que, seu valor máximo ocorre em n = 0, e vale X(0)= 5 = A2 .

Exemplo 2.6-1: Monociclo de Tempo Discreto e sua DFTp p

Um monociclo é uma derivação da função gaussiana:

Usando o Matlab, gerar e plotar um pulso monociclo com N = 64 pontos, centrado em k = 32, com a = 100 constante e amostrado em fs = 1 Hz.________________________________________________________

Será assumido que o intervalo de amostragem é Ts =1 s.

O monociclo (2.6-5) está centrado na origem. Para que o pulso esteja centrado em k = 32, faz-se

O cálculo da DFT produz componentes real e imaginária:O cálculo da DFT produz componentes real e imaginária:

O espectro de potência do sinal é

O cálculo da DFT é realizado em Matlab pelo comando ‘fft’ (Fast Fourier Transform). O diagrama de barras é obtido pela função ‘stem’ semelhante ao ‘plot’de barras é obtido pela função stem , semelhante ao plot .

A listagem do programa em Matlab é apresentada abaixo:

Os gráficos de x(k), Re[X(n)], Im[X(n)] e Puu(n) estão apresentados abaixo:

Note-se que o intervalo de k para (k+1) corresponde a 1 seg, e, o intervalo de n para (n+1) corresponde a 1/64 Hz. p

Os gráficos de x(k) e X(n) se extendem por 64 seg e 64 Hz, respectivamente.

Sistema Linear invariante no Tempo

*

Sistema de tempo discreto: transformação ou operador que mapeia uma sequência de entrada x(k) numa sequência de saída y(k).

*

Ou seja, )}({)( kxTky

Sistema linear: è aquele que obedece ao princípio de superposição de efeitos

)}({)}({)}()({ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT

Sistema invariante no tempo: é aquele no qual um deslocamento no tempo (ou delay) na sequência de entrada provoca um deslocamento correspondente na sequência de saída.

O j ãOu seja, se , então, )}({}{)( kxTkykx

)()}({)}({)()()( 001101 kkykkxTkxTkykkxkx ________________________________________________________________________________* Oppenheim, A. V., Schafer, R. W., Buck, J. R., Discrete-Time Signal Processing,2nd edition Prentice Hall, 897 p.,

New Jersey, 1999.

Sistema linear invariante no tempo (SLIT)

Já foi visto que uma sequência genérica pode ser escrita como:

)()()( kxkx

Seja hn(k) a resposta de um sistema linear ao impulso em k= , ou seja, (k ): h (k) =T{(k )}

})()({)}({)(

kTkTk

Então, a resposta a uma entrada arbitrária x(k) será:

Usando o princípio de superposição:

})()({)}({)(

kxTkxTky

)()(})({)()( hxkTxky Usando o princípio de superposição:

Devido à invariância no tempo, se a entrada de um SLIT for (k) h(k)=T{(k)}, então, sua saída

)()(})({)()( hxkTxky

será: (k ) h(k )=T{(k )}.

Portanto, um sistema que seja linear e invariante no tempo apresenta como saída:

Por definição, o somatório acima corresponde a convolução linear:

)()()( khxky

)(*)()( khkxky

Exemplo: e

0para,

)()(ka

kuakxk

k )()( kukh p

Fazendo o cálculo direto da soma de convolução:

0para,0)()(

kkuakx )()(

)()()()()(*)()( kuuakhxkhkyky

Como u( ) é zero para <0 e u(k ) é zero para >k, quando k<0, então não há termos diferentes de zero na soma e tem-se y(k)=0.

P t l d k 0

aaky

k

1)(

1

Por outro lado, se k 0,

e portanto, #

aaky

1

)(

)(1

1)(

1

kua

kyk

p ,1 a

)()()( khxky

Exemplo: Calcular y(k)=x(k)*h(k) para x(k) e h(k) dadas abaixo:

)()()( khxky__________________________________________________

a) Desenhar os gráficos de x( ) e h( ) como funções de a) Desenhar os gráficos de x( ) e h( ) , como funções de .b) Inverter h( ) para se obter h( ).c) Formar o produto: x( )h( ), para k =0

d) Somando em relação a , encontra-se: y(0) = 1.

)()()( khxky

c) Deslocar de k=1 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h(1 ).

)()()( khxky

__________________________________________________

y(1)=21+11=3y(1) 21+11 3

d) Deslocar de k=2 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h(2 ).

y(2)=31+21+1 1=6

y(2) 31+21+1 1 6

e) Prosseguindo, encontram-se y(3) = 5, y(4) = 3 e y(k) = 0 para k > 4.

)()()( khxky

f) Deslocar de k=1 a sequência invertida de tempo e multiplicar as duas sequências x( ) e h( 1 ).

)()()( khxky

__________________________________________________

( 1) 0y(1)=0

g) De fato, y(k) = 0 para todo k < 0.

h) Resposta

Discussão:

)()()( khxky

)()()(y

a) Se x(k) tiver comprimento N e h(k) tiver comprimento N então y(k)=x(k)*h(k) terá comprimentoa) Se x(k) tiver comprimento N1 e h(k) tiver comprimento N2, então, y(k)=x(k)*h(k) terá comprimento(N1+ N21)

b) A convolução é comutativa: y(k)=x(k)*h(k) = h(k)*x(k) ) y( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c) Dados x(k)=[x(0), ..., x(N11)] e h(k)=[h(0), ..., h(N21)] , em geral, N1>>N2, e

12

)()()(*)()(N

kxhkxkhky

onde se limitou =0, ..., N2 1, porque h( ) é nulo fora desse intervalo.

0

)()()(*)()( kxhkxkhky

d) Note-se que y(k)=0 quando uma das condições ocorre:

i) para todo =0, ..., N2 ocorre para todo k < 0ii) para todo = 0, ..., N2 ocorre pata todo k > N1 1+ N2 1

0 k11 Nk

2 1 2

porque em ambos os casos.

1

0)( kx

Portanto, computa-se a sequência y(k) apenas para um número finito de pontos:o a o, co pu a se a sequê c a y(k) ape as pa a u ú e o o de po os:

, k = 0, ..., N1+N2 2.

E t l (k) t i t N N + N 1

1

0

2

)()()(*)()(N

kxhkxkhky

Em outras palavras, y(k) tem comprimento N=N1+ N21 .

x * h = y

0 N11 0 N21 0 N1+ N21

Portanto, a saída de um SLIT de tempo discreto é a convolução linear da entrada com a resposta impulsiva do sistema, ou

Onde os comprimentos de x(k) e h(k) estão limitados a N1 e N2 , respectivamente, e o comprimento de(k) tá t it N N + N 1y(k) está restrito a N=N1+ N21 .

Deslocamento circular no tempop

O circular time shift está relacionado com o fato de que a sequência finita x(k), k=0, .., N1, pode ser considerada como um período de uma sequência periódica xp(k).

De fato, escrevendo a expressão da IDFT para todo < n < +, e chamando-se de xp(k)

, < k < +

1 2

)(1

)(N kn

Nj

p enXkx

observa-se que xp(k) é periódica com período N pois

0

)()(n

p N

)()(1

)(1

)( 21 21 )(

2

kxeenXenXNkx njN kn

NjN nNk

Nj

Portanto, a sequência x(k) é apenas um período de sua extensão periódica xp(k)

k=0 N 1

)()()()(00

kxeenXN

enXN

Nkx pj

n

N

n

Np

)()( kxkx , k=0, .., N1 )()( kxkx p

Por sua vez, a sequência periódica xp(k) pode ser formada a partir de x(k) como

Uma notação útil e que especifica o fato da sequência finita x(k) ser um período da sequência infinita é

n

p nNkxkx )()(

Uma notação útil e que especifica o fato da sequência finita x(k) ser um período da sequência infinita é

para < k < +onde se define

(k)N = k módulo N.

)(])[( kxkx pN

(k)N k módulo N.

Isto significa que, se k for expresso como: , 0 < m < N1, então, .

D f l k i i á l i d ód l N

mNk mNkk N )mod()(

kNNk )(Desta forma, qualquer k inteiro está relacionado com seu módulo N como: ,com inteiro e (k)N sempre no intervalo 0 ... N1.

Exemplo:

NkNmNk )(

10,)( NmNkkm N ___________________________________

Exemplo:

a) Para k = 13 e N = 8, 0 < m < 7:

10,)( NmNkkm N

7211 m

m =(13)8= 13 8 7130 m

)!OK(51 m

032 m

Portanto (13)8 = 5.

Exemplo: 10,)( NmNkkm N p

b) Para k = 6 e N = 8, 0 < m < 7:

( 6) 6 8

,)( N

060

)!OK(21 m

7102 m

m =(6)8= 6 8

Portanto ( 6)8 = 2.

060 m

0141 m

( )8

______________________________________________________Como consequência, define-se o deslocamento circular para uma sequência finita x(k) como

d R (k) j l t l)()1()(])1[( kRkxkRkx NpNN

sendo RN(k) a janela retangular:

E t l l l i f d i t l [0 N 1] ó d l t lt d

casosdemais0

01)(

NkkRN

Em outras palavras, qualquer valor que caia fora do intervalo [0 ... N1] após o deslocamento volta do outro lado.

)()1()(])1[( kkkk 01

)(Nk

k

Qualquer valor que caia fora do intervalo [0 ... N1] após o deslocamento volta do outro lado.

)()1()(])1[( kRkxkRkx NpNN

casosdemais0

)(kRN

___________________________________

Generalizando:

sendo L o deslocamento.

)()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN

Generalizando: )()()(])[( kRLkxkRLkx Generalizando:

sendo L o deslocamento.

)()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN

___________________________________

Exemplo: Se N = 8 e x(k) = [x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)].

x(k), 9< k <N1 x(k2)8 R8(k)

x(0)

x(1)x(7)

x(6)

x(7)x(5)( )x(7) ( )x(5)

x(2)x(6) x(0)x(4)

x(3)

( )

x(5)x(1)

( )

x(3)

x(4) x(2)

Exemplo: )()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN Exemplo:

Para N=4:

)()()(])[( NpNN

x(0)x(3)

x(k)

2

x[(k1)4] R4(k)

2

x(0)

x(1)x(3)x(0)x(2)

k1

2

2 1 0 1 2 3 4 5k

1

2

2 1 0 1 2 3 4 5

x(2)x(1)

x(2) x(1)

(2)(0)

x[(k2)4] R4(k) x[(k3)4] R4(k)

k1

2

k1

2

2 1 0 1 2 3 4 5

x(3)

x(0)

x(1) x(2)

x(3)

x(0)

2 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 5( )

Exemplo: )()()(])[( kRLkxkRLkx NpNN

Para N=4:

p

2

x(0)

x(3)x(1)

x[( k)4] R4(k)x(k)

2

x(0)

x(1)x(3)

k1

2

2 1 0 1 2 3 4 5

x(2)

( )

k1

2

2 1 0 1 2 3 4 5

x(2)

( )

2 1 0 1 2 3 4 52 1 0 1 2 3 4 5

____________________________________________

Em outras palavras, se (N 1) L (N 1), verifica-se que:

10se)(

])[(NLkLkx

Lk

onde o offset N depende se L é positivo (+N) ou negativo (N).

contráriocaso)(

])[(LNkx

Lkx N

contráriocaso)(

10se)(])[(

LNkx

NLkLkxLkx N (N 1) L (N 1)

contráriocaso)( LNkx__________________________________________________________Exemplo: x(k) = (A B C D E) e zero fora, portanto N=5, N1=4, 4 L 4

k 0 1 2 3 4k 0 1 2 3 4

L = 4 E A B C D

L = 3 D E A B C

L = 2 C D E A B

L = 1 B C D E A

31410),1(

])1[(kkkx

kx

fora)3(

21420),2(])2[( 5 kx

kkkxkx

L = 0 A B C D E x(k)

L = +1 E A B C D 51410)1( kkkx

fora)4(

])1[( 5 kxkx

L 1 E A B C D

L = +2 D E A B C

fora)4(

51410),1(])1[( 5 kx

kkkxkx

fora)3(

62420),2(])2[( 5 kx

kkkxkx

L = +3 C D E A B

L = +4 B C D E A

fora)2(

73410),3(])3[( 5 kx

kkkxkx

84440),4( kkkxL +4 B C D E A

fora)1(

84440),4(])4[( 5 kx

kkkxkx

10)( NLkLk

contráriocaso)(

10se)(])[(

LNkx

NLkLkxLkx N

__________________________________________________

Exemplo: Seja x = (1, 2, 5, 3, 2), N = 5, (N 1) L (N 1) 4 L +4.

a) Calcular x[(k 1)5], L = 1>0.Quando k=0: 0 k L N 1 0 1 4 (falso) )(])[( LNkxLkx )4()15(])1[( 5 xxx Quando k 0: 0 k L N 1 0 1 4 (falso)

Portanto:

)(])[( LNkxLkx N )4()15(])1[( 5 xxx

)3,5,2,1,2()]3(),2(),1(),0(),4([])1[( 5 xxxxxkx

b) Calcular x[(k +1)5], L = 1<0.Quando k=4: 0 k L N1 0 5 4 (falso)

Portanto:

)(])[( LNkxLkx N )0()]1(54[])5[( 5 xxx

)12352()]0()4()3()2()1([])1[( xxxxxkxPortanto:

c) Calcular x[( k)5].Quando 0k4

)1,2,3,5,2()]0(),4(),3(),2(),1([])1[( 5 xxxxxkx

]5[])[( 5 kkx

Portanto: # )1,2,5,3,2()]1(),2(),3(),4(),0([])[( 5 xxxxxkx

Convolução circular

A convolução circular é baseada no deslocamento circular e é definida como:

1

0

)(])()([)()()( N

N

np kRnkxnhkxkhky

onde as sequências y(k) x(k) e h(k) têm comprimento N

1

0

0

])[()(N

nN

n

nkxnh

onde as sequências y(k), x(k) e h(k) têm comprimento N.

A convolução circular é similar a convolução linear, exceto que ambas as funções y(k) e x(k) devem ter o mesmo comprimento.

Enquanto a operação de soma da convolução linear aumente o comprimento da sequência resultante, com a convolução circular os novos termos circularão de volta ao início da sequência.

_______________________________________ 2

Exemplo: Seja x = (1,2,5) e h = (2, 1, 2), N=3:

0

3])[()()()()(n

mkxmhkxkhky

1)1()2()2()1()0()0(])2[()2(])1[()1()0()0()0( 33 xhxhxhxhxhxhy

10)0()2()1()1()2()0()2(

15)2()2()0()1()1()0(])1[()2()0()1()1()0()1( 3

xhxhxhy

xhxhxhxhxhxhy

Portanto: y = (1,15, 10) #.

Propriedades da DFT

Sendo X(n) a FDT de x(k), ou seja, X(n) ) = DFT[x(k),], então:

Circular time shift2

Lj

P P 0 L N 1

1,...,0),(]})([{

NnnXeLkxxDFTnL

Nj

N

1 21 2

)()(]})([{N nk

NjL nk

Nj

LkNLkLkDFT___________________________________

Prova: Para 0 L N1

Substituindo m por m=kL+N na primeira e m=kL na segunda soma:

0

)()(]})([{Ln

N

n

NN eLkxeNLkxLkxxDFT

22

Como então

1

0

)(21 )(

2

)()(]})([{LN

m

LmnN

jN

LNm

NLmnN

j

N emxemxLkxxDFT

1)(

2

nN

Nj

Como , então 1 Ne

N

m

LmnN

jLN

m

LmnN

jN

LNm

LmnN

j

N emxemxemxLkxxDFT

1

0

)(21

0

)(21 )(

2

)()()(]})([{

a partir da qual se obtém a resposta

nLN

jN

m

nmN

j

mmLNm

eemx

21

0

2

00

)(

a partir da qual se obtém a resposta.

Teorema da convolução circular

1,...,0),()()}()({ NnnXnHkxkhDFT

Prova: usando o teorema circular time shift

]})[({)(]})[()({)}()({11

kxDFThkxhDFTkxkhDFT N

N

N

N

___________________________________

)()()()(21

0

00

nXnHnXehk

NjN

NN

________________________________

Portanto, se , então

Multiplicação por exponencialMultiplicação por exponencial

P

])[(})({2

N

kMN

j

MnXekxDFT

222

___________________________________

Prova:

onde o deslocamento circular em frequência leva em consta que o índice de X está no intervalo

])[()(})({221

0

2

N

knN

jkMN

jN

k

kMN

j

MnXeekxekxDFT

Multiplicação no tempo

o de o des oca e o c cu a e equê c a eva e co s a que o d ce de es á o e va o0,...,N1.

Multiplicação no tempo

)()(1

)}()({ nYnXN

kykxDFT ___________________________________

Prova: Usando o teorema da multiplicação,

})({)(1

})()({1

)}()({211 2

ekxDFTYN

eYkxDFTN

kykxDFTk

NjNN k

Nj

)()(1

])[()(1 1

0

00

nYnXN

nXYN

NN

N

N

O desafio agora é usar a propriedade de convolução da DFT para computar a sequência de saída y(k), uma vez que existem dois obstáculos:

i) A convolução definida com a DFT é circular (não linear);i) A convolução definida com a DFT é circular (não linear);ii) As sequências devem ter o mesmo comprimento.

Pode-se resolver esses problemas estendendo-se as sequências h(k) e x(k) com zeros suficientes, tal que tenham o mesmo comprimento: L N+M1.Neste caso define-se:

]0,...,0,0),1(),...,1(),0([ Nxxxxe

LN1 zeros

]0,...,0,0),1(),...,1(),0([ Mhhhhe

LM1 zeros

e computa-se a convolução circular entre sequências

])[()()()()(1M

khkkhk

onde, novamente, limita-se (em vez de L1) porque he é nulo fora daquela faixa.

])[()()()()(0

Leeeee kxhkxkhky

1,...,0 M

Devido as sequências serem zero padded, pode-se verificar queDevido as sequências serem zero padded, pode se verificar que

para todo n = 0,..., L1 e , desde que L N+M1.

)(])[( Lkxkx Le

1,...,0 M

zeros zeros

x h y

0 N1 N+M1 0 M1 N+M1 0 N+M2

Consequentemente, y(k) = ye(k) para n = 0,..., L1 e, portanto,

onde

}1,...,0),()({)( LnnXnHIDFTky ee

onde}1,...,0),({)( LkkhDFTnH ee

}1,...,0),({)( LkkxDFTnX ee

Concluindo, se forem restringidos os comprimentos para N1 = N2 e N > (2N1 1), então a convoluçãoConcluindo, se forem restringidos os comprimentos para N1 N2 e N (2N1 1), então a convoluçãoé igual à convolução circular:

Os comprimentos de x1(k) e x2(k) podem ser feitas iguais acrescentando-se zeros à sequência com i tcomprimento menor.

Portanto, assim como a TF contínua substitui a convolução em sistemas de tempo contínuo, a DFT pode ser usada para substituir a convolução linear para sistema de tempo discreto.p p ç p p