2-Apostila de Geometria Espacial (3º Anos, 13 páginas, 75 questões)

E. E. E. F. M. MIN.

ALCIDES CARNEIRO

Turma:

PROF. GILBERTO SANTOS JR

GEOMETRIA ESPACIAL

I-ESTUDO DO PRISMA 1 . DEFINIÇÃO Denomina-se prisma a todo sólido geométrico

limitado por dois polígonos congruentes e pa-

ralelos denominados bases do prisma e fa-

ces, chamadas faces laterais, com o formato

de paralelogramos.

A denominação de um prisma é feita de

acordo com o tipo de sua base. Prisma trian-

gular é o prisma cuja base é um triângulo;

prisma quadrangular é o prisma cuja base é

um quadrilátero; prisma pentagonal é o

prisma em que a base é um pentágono; e as-

sim por diante.

2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS

l

Lh

vértices

Aresta da base ( l ): é o lado do polígono

da base.

Aresta lateral (L): é o lado de uma face

lateral.

Altura (h): é a distância entre os planos

das bases.

Vértices: são as “quinas” (interseção en-

tre duas arestas da base).

3 . PRISMA RETO É todo prisma em que as arestas late-

rais são perpendiculares a cada base. Caso o

prisma não seja reto ele é chamado oblíquo.

No prisma reto as faces laterais são retângu-

los.

prisma reto

L = h

h

α

L

prisma oblíquo

4 . PRISMA REGULAR É todo prisma reto cuja base é um polí-

gono regular. Um prisma que a base seja um

quadrado (prisma quadrangular regular) ou

um triângulo equilátero (prisma triangular

regular), etc.

5 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 5.1 Área Lateral (Aℓ): É a soma das áreas de todas as faces

laterais do prisma. No caso de um prisma reto

essas faces serão retângulos.

área lateral (A )l

Aℓ = 3.Aretângulo = 3. ℓ h

5.2 Área da base (Ab): É a área do polígono que constitui a ba-

se.

No exemplo acima o polígono da base é

um triângulo equilátero.

Ab = ATriângulo Equilátero = 4

32l

5.3 Área Total (At): É a soma das áreas de todas as faces

do prisma. Em um prisma pode-se calcular a

área total pela soma entre a área lateral e as

áreas das duas bases:

At = Aℓ + 2.Ab

área lateral (A )l

área da base (A )b

área da base (A )b

2

5.4 Volume (V): É um número que associado a uma uni-

dade conveniente fornece a quantidade de

espaço ocupado pelo sólido. A unidade ge-

ralmente utilizada como padrão de medida é a

cubagem (m3, cm3, mm3,...). Com base na

definição fica estabelecido que o volume V de

um prisma é diretamente proporcional à sua

área da base e à sua altura. O volume é o pro-

duto da área da base Ab pela altura h.

V = Ab . h

6 . PRISMAS ESPECIAIS 6.1 Paralelepípedo É todo prisma em que as bases são pa-

ralelogramos. No caso do paralelepípedo re-

to retângulo todas as faces são retangulares. O paralelepípedo apresenta a forma que

costumamos em nosso cotidiano chamar de

caixa. É, portanto, um exemplo de sólido bas-

tante frequente em nossa vida.

Área:

At = 2ab + 2ac + 2bc

At = 2(ab + ac + bc)

Volume:

V = a.b.c

6.2 Cubo É todo paralelepípedo que apresenta

arestas iguais.

O cubo também pode

ser chamado de hexa-

edro regular (hexa =

seis e edro = face). No

cubo todas as seis faces

apresentam o formato

quadrado.

Área:

At = 6.a.a At = 6a2

Volume:

V = a. a. a

V = a3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Um tijolo tem a forma de um prisma qua-

drangular regular em que a aresta da base

mede 4 cm e a altura 10 cm. Calcule: a) a área da base;

b) a área lateral;

c) a área total;

d) o volume.

2) Um objeto de decoração tem o formato de

um prisma triangular regular. As arestas da

base medem 8 cm cada e a altura do objeto é

de 20 cm. Calcule a área total e o volume des-

se objeto. (use 3 = 1,7)

3) Num prisma triangular regular, a aresta da

base mede 4 cm e aresta lateral mede 9 cm.

Calcule a área lateral e a área total do prisma.

(use 3 = 1,7)

4) Um sólido possui bases congruentes e pa-

ralelas no formato de triângulo retângulo. Sa-

bendo que os catetos dos triângulos medem 6

m e 8 m, a altura do sólido é 10 m, calcule o

volume, a área lateral e a área total do sólido.

5) Em um prima hexagonal regular, a aresta

da base mede 3 cm e a aresta da face lateral

mede 6 cm. Calcule a área total e o volume do

prisma. (use 3 = 1,7)

6) Um sólido de 6 cm de altura tem por base

um hexágono regular que pode ser inscrito

numa circunferência de 4 cm de raio. Calcule

sua área total e seu volume.

7) É dado um prisma pentagonal regular no

qual a aresta da base mede 5 cm e a aresta

lateral mede 10 cm. Calcule a área lateral do

prisma.

8) Um cubo possui 2 m de aresta. Calcule:

a) a área de uma de suas faces;

b) área lateral;

c) área total;

d) seu volume;

e) sua diagonal.

9) Uma indústria precisa fabricar 10.000 cai-

xas de sabão com as medidas da figura abaixo.

Desprezando as abas calcule, aproximadamen-

te, quantos m2 de papelão serão necessários.

14 cm

20 cm

40 cm

a

b

c

a

a

a

3

10) Quantos cm2 de cartolina, aproximada-

mente, foram usados para montar um cubo de

10 cm de aresta?

11) Um cubo tem área total de 96 m2. Qual é

a medida da aresta do cubo?

12) Qual é o volume de concreto necessário

para fazer uma laje de 20 cm de espessura

em uma sala de 3 m por 4 m?

13) Num paralelepípedo retângulo, a área

total é de 582 cm2. As dimensões desse para-

lelepípedo estão em P.A. de razão 3. Determi-

ne as dimensões do paralelepípedo.

14) O volume de ar contido em um galpão

com a forma e dimensões dadas pela figura

abaixo é: (a altura do galpão é igual 5) (a) 288

(b) 384

(c) 480

(d) 360

(e) 768

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

15)(UNAMA-2007) Considere o texto a se-

guir para responder à questão abaixo.

O RIO AMAZONAS

O Rio Amazonas nasce no lago Laurico-

cha, no Andes do Peru, possui 5.825 km de ex-

tensão e sua bacia é a mais vasta do mundo com

5.846.100 km2. A diferença entre os níveis mí-

nimo e máximo de suas águas chega a 10,5 m e,

em alguns trechos, a distância entre as margens

mede 15 km. Em 1963, constatou-se que a va-

zão do Amazonas, num determinado trecho, é de

216.000 m3/s de água. Nos trechos de baixo e

médio curso as águas correm a uma velocidade

de 2,5 km/h, chegando à velocidade de 8 km/h

na parte mais estreita.

O volume de água despejado, por se-

gundo, na vazão em determinado trecho do

Amazonas pode ser armazenado em um recipi-

ente de formato cúbico de aresta L. Nestas

condições, o valor de L, em metros, estaria

compreendido:

(a) 10 e 36 (d) 80 e 95

(b) 35 e 65 (e) 105 e 120

(c) 65 e 80

16)(UEPA-2011)Leia o texto XVI para res-

ponder a questão.

Texto XVI

O matapi é um instrumento especialmen-

te projetado para a captura de camarão, fei-

to de talas de folha de palmeira (miriti)

amarradas com cipó titica e muito utilizada

na região amazônica. Esse é um estilo de

pesca artesanal que não agride o meio ambi-

ente. A forma do matapi é composta por dois

cones dentro do cilindro. Internamente há

abertura nos ápices dos cones, funcionando

como funis, por onde o camarão entra para

comer a isca ali colocada, ficando preso no

interior do artefato.

Considere, com as necessárias e devi-

das aproximações, que a altura do cone é 1/3

da altura do cilindro e que os raios dessas duas

figuras são iguais. Desse modo, a razão entre

o volume do cone e o volume do cilindro é:

(a) 1/9 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 3 (e) 9

17)(UEPA-2012) A ideologia dominante

também se manifesta por intermédio do acesso

aos produtos do mercado, sobretudo daqueles

caracterizados por tecnologias de ponta. O

“Cubo Magnético” é um brinquedo constituído

por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo

que esse brinquedo possa ser colocado perfei-

tamente ajustado den-

tro de uma caixa, tam-

bém no formato de um

cubo, com aresta igual

a 30 mm, a razão en-

tre o volume total das

esferas que constituem

o “Cubo Magnético” e o

volume da caixa que

lhe serve de depósito é:

(a) 6

(b)

5

(c)

4

(d)

3

(e)

2

18) (UEPA-2011) A construção da Usina de

Belo Monte, no Rio Xingu, deverá ser a terceira

maior hidrelétrica do mundo e irá inundar ter-

ras de três municípios, principalmente da Vitó-

ria do Xingu e Altamira, formando um lago com

aproximadamente 516 m2 de área. Alguns

especialistas defendem que a alteração do re-

gime do rio deve afetar a fauna e a flora da

região, enquanto outros defendem o projeto

pela importância econômica, gerando milhares

de empregos e grande oferta de energia. Con-

sidere que, hipoteticamente, a forma do lago

se assemelha a um paralelepípedo e a profun-

didade média do lago seja de 20 m. Desse

modo, o volume de água aproximado que terá

esse lago será:

(a) 1,032 Km3 (d) 1.032 Km3

(b) 10,32 Km3 (e) 10.320 Km3

4

(c) 103,2 Km3

19)(UEPA-2011) Leia o texto XV para res-

ponder a questão.

Texto XV

A construção das

eclusas de Tucuruí é

essencial para que

uma embarcação

transponha a dife-

rença de nível exis-

tente e o rio seja

navegável entre os dois lados da barragem

da hidrelétrica, permitindo o desenvolvimen-

to de atividades econômicas e sociais da po-

pulações que vivem na região. A eclusa é um

reservatório em forma de câmara, que funci-

ona como uma espécie de elevador, através

de seu enchimento e esvaziamento.

Sabendo-se que a forma da câmara das

eclusas de Tucuruí é de um paralelepípedo,

com dimensões internas de 210 m de compri-

mento, 33 m de largura e 35 m de altura, e

que a velocidade média de enchimento da é de

300 m3/s, o tempo médio de enchimento da

câmara será de aproximadamente:

(a) 2 minutos (d) 10 minutos

(b) 5 minutos (e) 13 minutos

(c) 7 minutos

20)(PROSEL-2008) O Iterpa, dando conti-

nuidade ao programa de reforma agrária do

Governo Federal, assentou certo número de

famílias em terras na região Amazônica. Para

minimizar os problemas de falta d’água, foram

construídas duas caixas d’água I e II, de um

mesmo material, com tampas e formato de

paralelepípedo retângulo. A caixa I, de base

quadrada, de lado 4m e altura 3m, e a caixa

II, de base retangular de dimensões 3m e 4m

e altura 4m. Nessas condições, afirma-se que:

(a) as quantidades de material gasto na cons-

trução das caixas I e II são iguais.

(b) o volume da caixa I é maior que o volume

da caixa II.

(c) na construção da caixa I se gastará mais

material que na caixa II.

(d) o volume da caixa II é maior que o

volume da caixa I.

(e) na construção da caixa II, se gastará mais

material que na da caixa I.

21)(PROSEL-2005) Um tipo de lata rasa

utilizada pelos ribeirinhos para o armazena-

mento do açaí tem o formato de um prisma

quadrangular regular cuja base tem área de

576 cm² e altura igual a 3

2 da aresta da base.

O volume desta lata, em cm3, é:

(a) 20.736 (d) 10.368

(b) 17.280 (e) 9.216

(c) 13.824

22)(UFRA-2004) Um criador de cavalos quer

construir um estábulo para alojar seus 50 ca-

valos, de modo que cada animal tenha para

seu conforto no recinto 240 metros cúbicos de

ar. Se a forma da construção é de um parale-

lepípedo retângulo com 25 metros de frente

por 75 metros de fundos, qual deve ser, em

metros, a altura dessa construção?

(a) 4,8 (b) 5,4 (c) 6 (d) 6,4 (e) 6,8

II - CILINDRO CIRCULAR 1 . DEFINIÇÃO Sejam e dois planos paralelos distin-

tos, uma reta S secante a esses planos e um

círculo C de centro O contido em . Conside-

remos todos os segmentos de reta, paralelos a

S, de modo que cada um deles tenha um ex-

tremo pertencente ao círculo C e o outro ex-

tremo pertencente a .

hg

O

O’

C

C’

s

A reunião de todos esses segmentos de

reta é um sólido chamado de cilindro circular

limitado de bases C e C’ ou simplesmente

cilindro circular.

2 . ELEMENTOS DO CILINDRO CIRCU-LAR Bases do cilindro: são os círculos C e C’

de centros O e O’, respectivamente;

Eixo do cilindro: é o segmento de reta

que liga os centros das bases, isto é, o

segmento oo' ;

Altura (h): é a distância entre as bases;

Geratriz (g): todo segmento de reta para-

lelo ao eixo oo' que tem extremidades

pertencentes as circunferências das bases.

5

3 . CILINDRO CIRCULAR RETO É o sólido obtido pela rotação completa

de um retângulo em torno de um de seus la-

dos. A base do cilindro de revolução é um cír-

culo.

4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS

4.1 Área Lateral (Aℓ): Para determinar a área lateral do cilin-

dro é necessário planificar sua superfície late-

ral. Fazendo-se esse processo verifica-se que a

planificação resultará em um retângulo de

mesma altura que o cilindro, e cuja base é o

comprimento da base do mesmo.

Aℓ = 2 R.h

4.2 Área da Base (Ab):

Área de cada base é a área do círculo

do raio r:

Ab = r2

4.3 Área Total (At): É a soma entre a área lateral e as áreas

das duas bases do cilindro.

At = Aℓ + 2.Ab

4.4 Volume (V): Como o cilindro circular reto possui du-

as bases paralelas e congruentes, como o

prisma, calcula-se o seu volume pela mesma

expressão do prisma, o produto da área da

base pela altura:

V = Ab . h

Observações: Secção meridiana: é o retângulo que se

obtém ao cortar o cilindro com um plano

que contenha o seu eixo.

Caso a medida da altura do cilindro seja

igual à medida de seu diâmetro (h = 2R),

será chamado de cilindro equilátero.


23) Um cilindro circular reto possui raio da

base igual a 2 m e altura igual a 5 m. Calcule

o volume desse cilindro. (use = 3,1)

24) Uma lata de refrigerante tem raio igual a

4 cm e altura de 10 cm. Quantos cm3 de lí-

quido podem ser colocados dentro dessa lata? (use = 3,1)

25) Um cilindro equilátero possui volume igual

a 16 cm3. Calcule a área desse cilindro. (use = 3,14)

26) A área lateral de um cilindro é 20 dm2.

Se o diâmetro mede 4 dm, calcule o volume e a área total desse cilindro em cm. (use =

3,1)

27) Qual a área lateral do cilindro equilátero

de 54 cm3 de volume.

28) Um cilindro de revolução tem 16 m2 de

área total. Sabendo que o raio é a terça parte

da altura, a área lateral mede:

29) Um produto é embalado em recipientes

com formato de cilindros retos. O cilindro A

tem altura 20 cm de raio da base 5 cm. O

cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10

cm. (considere = 3,1)

a) Em qual das embalagens se gasta menos

material?

b) O produto embalado no cilindro em A é

vendido a R$ 4,00 a unidade e o do cilindro B

a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual

a embalagem mais vantajosa?


30)(UEPA-2010) Uma das máximas utiliza-

das nas pesquisas para o desenvolvimento do

“produto perfeito” é que ele deve possuir o

menor número de componentes, de tal modo

6

que possa conseguir um justo equilíbrio entre

forma, produção e custo. Uma fábrica de leite

em pó investe na produção de duas embala-

gens para a comercialização de um novo lan-

çamento. O modelo A é um cilindro reto de

raio R e o modelo B é um prisma reto de base

quadrada cujo lado mede L. Fonte: Limites do design, Dijon de Moraes – 2 ed., São Paulo, Studio Nobel, 1999.Texto adaptado.

Sabendo-se que os dois modelos devem ter o

mesmo volume e que a altura do modelo B é

duas vezes a altura de A, então, a razão R/L,

nessas condições, é:

(a)

2 (c)

2 (e)

2

(b) 2 (d) 2

31)(PROSEL-2003) Os profissionais da área

de nutrição tem orientado a população de que

uma boa alimentação deve ser balanceada em

elementos nutritivos, ocasionando maior resis-

tência física, vida mais saudável e mais longa

aos cidadãos. Portanto, adquirir hábitos ali-

mentares salutares, é hoje uma prática indis-

pensável para aqueles que desejam obter uma

boa saúde. Um desses hábitos, segundo os

nutricionistas, é beber água somente entre as

refeições, 6 a 8 copos diariamente, jamais du-

rante.

A quantidade aproximada de água, em

litros, ingerida por um indivíduo que bebe dia-

riamente 8 vezes os 4

3 do copo indicado na

figura abaixo é: (dado = 3,14)

(a) 1,0 l

(b) 1,3 l

(c) 1,5 l

(d) 2,0 l

(e) 2,5 l

III-ESTUDO DA PIRÂMIDE 1 . DEFINIÇÃO Uma pirâmide pode ter por base qual-

quer tipo de polígono. E define-se pirâmide a

conjunto de todos os segmentos de reta que

partem dessa base e convergem para um pon-

to V do espaço, situado fora do plano do polí-

gono da base. O ponto V é chamado ”o vértice

da pirâmide”, e a distância desse ponto à base

é a altura da pirâmide.

2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS

A

l

L

V

O

h

M

Aresta da base ( l ): é o lado do polígono

da base;

Aresta lateral (L): é o lado de uma face

lateral;

Altura (h): é a distância entre o vértice e

o plano da base, isto é, V O;

Apótema da pirâmide (A): é a altura do

triângulo da face lateral;

Apótema da base da pirâmide: é o apó-

tema do polígono regular da base, na figu-

ra, o segmento O M;

Pirâmide regular: é toda pirâmide cuja

base é um polígono regular e cuja projeção

do vértice da pirâmide, coincide com o cen-

tro da base.


3.1 Área Lateral (Aℓ): É a soma das áreas de todas as faces

laterais da pirâmide. No caso da pirâmide es-

sas faces serão triângulos.

3.2 Área Total (At): É a soma das áreas de todas as faces

da pirâmide. Em uma pirâmide calcular-se a

área total pela soma entre a área lateral e a

área da base:

At = Aℓ + Ab

3.3 Volume (V): O volume V de uma pirâmide é direta-

mente proporcional à sua área da base e à sua

altura. O volume da pirâmide pode-se deduzir

é 1/3 do produto da área da base Sb pela altu-

ra h.

V = 3

.hAb


32) Uma pirâmide quadrangular regular, onde

a aresta da base mede 6 cm e a altura da pi-

râmide é igual a 4 cm. Calcule: a) a área da base;

b) o apótema da pirâmide;

c) a área lateral;

7

d) a área total; e) o volume.

33) Determine a área total de uma pirâmide

regular cuja altura é 15 cm e cuja base é um

quadrado de 16 cm de lado.

34) Calcule a área lateral de uma pirâmide

regular triangular cuja aresta lateral mede 13

cm e o apótema da pirâmide mede 12 cm.

35) Uma pirâmide regular hexagonal tem 10

cm de altura e a aresta da sua base mede 4

cm. Considerando 3 = 1,7, calcule:

a) o apótema da base;

b) o apótema da pirâmide;

c) a aresta lateral;

d) a área da base;

e) a área lateral;

f) a área total.

36) Numa pirâmide hexagonal regular, a ares-

ta da base mede 3 cm e a altura mede 2

cm. Obter:

a) a área total b) o volume

37) Uma pirâmide triangular regular possui

aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 10

cm. Calcule o volume dessa pirâmide.

38) Uma pirâmide quadrangular regular pos-

sui todas as suas arestas iguais a 4 m. Calcule

a área total dessa pirâmide.

39) Uma pirâmide triangular regular possui 6

cm de aresta da base e 5 cm de altura. Calcu-

le seu volume e sua área lateral.

40) Uma pirâmide triangular regular possui

todas as suas arestas iguais a a. Calcule: (essa

pirâmide recebe o nome de tetraedro regu-

lar) a) a sua altura;

b) sua área lateral;

c) sua área total;

d) seu volume.

41) Em uma pirâmide regular hexagonal, a

altura mede 12 m e o apótema da base vale 5

m. A área total é:

(a) 130 3 m2 (d) 180 3 m2

(b) 130 m2 (e) 210 3 m2

(c) 180 m2


42)(Enem-2012) Maria quer inovar em sua

loja de embalagens e decidiu vender caixas

com diferentes formatos. Nas imagens

apresentadas estão as planificações dessas

caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria

obterá a partir dessas planificações?

(a) Cilindro, Prisma de Base Pentagonal E

Pirâmide.

(b) Cone, prisma de base pentagonal e

pirâmide.

(c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

(d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

(e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

IV-CONE CIRCULAR 1 . DEFINIÇÃO

Sejam um círculo C contido em um pla-

no , e um ponto V (vértice) não pertencente a

. Consideremos todos os segmentos de reta

que possuem um extremo pertencente ao cír-

culo e o outro extremo é V. A reunião de todos

esses segmentos de reta é um sólido chamado

de cone circular limitado de base C e vértice

V ou simplesmente cone circular.

2 . ELEMENTOS DO CONE CIRCULAR Dado o cone a seguir, consideramos os

seguintes elementos:

C

h

r

g

V

o

Altura (h): distância do vértice V ao plano

.

Geratriz (g): segmento com uma extremi-

dade no ponto V e outra num ponto do cír-

culo C.

Raio da base: raio r do círculo C.

Eixo de rotação: reta determinada pelo

centro do círculo e pelo vértice do cone.

8

C

h

r

g

V

3 . CONE RETO Todo cone cujo eixo de

rotação é perpendicular à base

é chamado cone reto, tam-

bém denominado cone de

revolução. Ele pode ser gera-

do pela rotação completa de

um triângulo retângulo em

torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teo-

rema de Pitágoras, temos a

seguinte relação:

g2 = h2 + r2

3.1 Secção Meridiana:

É o triângulo isósceles

resultante da intersecção do

cone com um plano que passa

pelo eixo de rotação.

Se o triângulo AVB for

equilátero, o cone será chama-

do cone equilátero:

2R 2R

2R

h

4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 4.1 Área Lateral (Aℓ):

A superfície lateral de um cone de revo-

lução é equivalente a um setor circular de raio

g e comprimento de arco 2πr, veja figura a

seguir:

montado planificado ou‘desmontado’

h

r

g

V

gg

2 r

V

árealateral

Fazendo uma regra de três (área lateral Aℓ está para o comprimento 2πr, assim como,

a área de todo o círculo gerado pela área late-ral πg2 está para o comprimento de todo do

círculo gerado pela área lateral 2πg), temos:

g2

g

r2

A 2

π

π

πl Aℓ = πrg

4.2 Área da Base (Ab):

Área da base é a área do círculo da ba-

se de raio r:

Ab = r2

4.3 Área Total (At):

É a soma da área lateral com a área da

base:

At = Aℓ + 2.Ab

4.4 Volume (V): É um terço do produto da área da base

pela medida da altura:

V = 3

h . Ab

Observação: A medida do setor circular

equivalente a superfície lateral do cone é tal

que:

g2

360

r2

=

g

360º.r ou = rad

g

r2.


43) Calcule a medida da altura de um cone

circular reto cujo raio da base mede 5 cm e

uma geratriz mede 13 cm.

44) Um cone tem 10 cm de altura e raio da

base igual a 4 cm. Calcule a: a) medida da sua geratriz;

b) área lateral;

c) área da base;

d) área total. (use π = 3,14 e 29 = 5,38.)

e) medida do ângulo do setor circular. (use π

= 3,14.)

45) A geratriz de um cone circular reto mede

10 cm e o raio da base é igual a 4 cm. Calcu-

le: a) a altura do cone;

b) a área lateral;

c) a área da base;

d) a área total;

e) a medida do ângulo do setor circular.

46) Quantos cm2 de car-

tolina serão gastos para

fazer o chapéu de palhaço

cujas medidas estão na

figura ao lado?

47) Um tanque cônico tem 4 m de profundi-

dade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro.

Qual é o volume máximo, em litro, que esse

tanque pode conter de líquido?

V

o

A

B

20 cm

30 cm

9

48) Quantos cm2 de vidro são

necessários para fabricar uma

ampulheta cujas dimensões

estão na figura ao lado?

49) Desenvolvendo a superfície lateral de um

cone, obtemos um setor circular de raio 6 cm

e ângulo central de 60°. Calcule a área lateral

do cone.

50) Há um pirulito em forma de guarda-

chuvinha, com 7 cm de altura e 2 cm de diâ-

metro. Qual é o volume desse pirulito?

51) Observe a ampulheta cu-

jas dimensões estão indicadas

na figura. Qual é o volume de

areia necessário para encher

completamente um dos cones

dessa ampulheta?

52) O volume de um cone circular reto é 18π

cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro da

base. Quanto mede a altura desse cone?

53) Calcule a área total e o volume de um

cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm2.


54)(UFRA-2004) Três cones equiláteros

idênticos em forma e peso, têm juntos volume

igual a 8 3 cm3. Calcule, em centímetros, a

altura de cada um deles.

(a) 2 3 (b) 3 (c) 3 2 (d) 3 (e) 4

5-TRONCO DE PIRÂMIDE Consideremos um plano paralelo a

base de uma pirâmide separando-a em dois

poliedros. Um desses dois poliedros é uma pi-

râmide, e o outro é um tronco de pirâmide de

bases paralelas.

Note que o volume VT do tronco é igual à dife-

rença entre os volumes VP, das pirâmides P e

P’, respectivamente, isto é:

VT = VP - VP’

6-TRONCO DE CONE Consideremos um plano paralelo a

base de um cone separando-a em dois polie-

dros. Um desses dois poliedros é uma cone, e

o outro é um tronco de cone de bases parale-

las.

8 cm

20 cm

12 cm

30 cm

10

O volume de tronco de cone se calcu-

la do mesmo modo que o tronco de pirâmide,

ou seja, a medida do volume de tronco de

cone é a diferença do volume do cone

maior pela medida do volume do cone

menor gerado.

VT = Vc – VC’

Para cálculo de volume do tronco de

cone também se utiliza a seguinte expressão:

V = 3

Κ (r2 +rR + R2)

Sendo, K-altura do tronco;

R-o raio da base menor e

R-o raio da base maior.


55) A altura de uma pirâmide regular qua-

drangular mede 18 cm, e cada aresta da base

12 cm. Um plano , paralelo à base e distan-

te 9 cm do vértice, intercepta a pirâmide. cal-

cular o volume do tronco de pirâmide assim

determinado.

56) Os raios das bases de um tronco de cone

são 3 m e 2 m. A altura do tronco é 6 m. Cal-cule o seu volume. ( = 3,14)

57) O copo da figura tem a

forma da figura dad. Suas me-

didas são: 10 cm e 8 cm de

diâmetro nas bases e 9 cm de

altura. Qual é o volume máxi-

mo de água que esse copo po-de conter em lm ?

58) Um depósito de combustível tem a forma

de um tronco de cone. Suas dimensões são

dadas na figura. Se apenas 30% de sua capa-

cidade estão ocupados por combustível, qual é

a quantidade, em litros, de combustível exis-

tente no depósito? (1 dm3 = 1 l )

59) A garrafa da figura contém

líquido até onde começa o gar-

galo. Abaixo dele, aparte inferi-

or é um cilindro e a parte supe-

rior é um tronco de cone. Qual é

o volume do líquido contido na

garrafa, em ml?

60) Qual é o volume de madeira usado para

fazer um carretel cujas dimensões estão na

figura?


61)(UEPA) A figura abaixo representa uma

pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da

base mede 6 cm e a altura 10 cm. Calcule:

11

a) o volume da pirâmide;

b) a área da secção transversal feita a 4cm do

vértice;

c) o volume do tronco obtido.

Definição: Secção transversal de uma pirâmide

é qualquer intersecção não-vazia e não-

unitária da pirâmide com um paralelo à sua

base.

V-ESFERA 1 . DEFINIÇÃO

Chamamos de esfera de centro O e

raio R o conjunto de pontos do espaço cuja

distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

O = centro da

esfera;

O P = raio da

esfera;

PQ = diâmetro

da esfera;

R = medida do

raio da esfera.

A “casquinha” ou a fronteira da esfera

chama-se superfície esférica.

Considerando a rotação completa de um

semicírculo em torno de um eixo, a esfera é o

sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é

limitada por uma superfície esférica e formada

por todos os pontos pertencentes a essa super-

fície e ao seu interior.


2.1 Área Superfície Esfera: A superfície esférica de centro O e raio

R é o conjunto de pontos do espaço cuja dis-

tância ao ponto O é igual ao raio R.

A área da superfície esférica é dada por:

A = 4 R2

2.2 Volume(V): O volume da esfera de raio R é dado

por:

V = 3R3

4


62) Determine a área da superfície esférica

cujo raio é 6 cm.

63) Numa esfera, o diâmetro é 10 cm. Qual é

a área da superfície dessa esfera?

64) Quantos m2 de

plástico aproximadamen-

te são gastos para fazer

o balão da figura ao la-

do?

65) Quanto de borracha (em cm2) se gasta

para fazer a bola cuja medida está na figura?

30 cm

66) Qual é o volume de uma bola de basquete

cujo diâmetro mede 26 cm?

67) O diâmetro de esfera de ferro fundido é 6

cm. Qual é o volume dessa esfera?

68) Considere uma laranja como uma esfera

composta por 12 gomos exatamente iguais. Se

a laranja tem 8 cm de diâmetro, qual é o vo-

lume de cada gomo?

69) A soma de todas as

arestas de um cubo é 36 cm.

Uma esfera está inscrita nes-

se cubo (figura ao lado). Qual

é a área da superfície dessa

esfera?

Desafio) Você sabia que:

Três quartos da superfície da Terra são co-

bertos de água?

A linha do Equador mede, aproximadamen-

te, 40000 km?

Pense agora nas seguintes questões,

relativas ao planeta Terra:

Qual é o volume e qual a área de sua

superfície?

QR

Po

12 cm

12

Qual é a área coberta de água (em km2)

em sua superfície? (Obs.: considere π = 3,14)

MAIS EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

Questões Analíticas discursivas

70)(PRISE-2001) Uma fábrica de azeite usa,

para embalar sua produção, latas de 2.240 ml

com a forma de um paralelepípedo reto-

retângulo cujas dimensões estão em progres-

são aritmética (P.A.) e somam 42 cm. Decide

mudar a embalagem, passando a usar latas

cilíndricas com 3 dm de altura e 1 dm de diâ-

metro. Entre as duas latas, uma de cada tipo,

calcule qual a mais vantajosa para essa indús-

tria, levando em consideração o material gasto

para a confecção e a capacidade das mesmas (use π = 3,14).

71)(PRISE-2004) “Os vasos sanitários re-

presentam cerca de um terço do consumo de

água em uma casa. O Brasil tem hoje 100 mi-

lhões de bacias sanitárias antigas, que gastam

em média 40 litros por descarga” (Fonte:

Galileu, nº140, março de 2003).

Visando à economia de água, foi ideali-

zada uma caixa de descarga de bacia sanitária

com formato de um paralelepípedo reto retân-

gulo, cuja base possui 32 cm de comprimento

e 10 cm de largura, sendo o consumo por des-

carga, em média, 20% do volume de água

consumido na descarga das bacias antigas.

Nestas condições, pede–se: a) A altura da caixa de descarga atual.

b) Quantos litros de água são economizados

em 30 dias, em uma residência com 5 pessoas

que acionam, em média, a descarga 4 vezes

ao dia, considerando que as bacias antigas

foram substituídas pelas atuais?

72)(PROSEL-2003) Um empresário paraen-

se, querendo aproveitar o estoque de caixas de

papelão existente no almoxarifado, contratou

uma empresa para produzir embalagens cilín-

dricas de tal forma que cada caixa contivesse

12 unidades do produto, conforme secção reta

abaixo. Sabendo-se que a altura das caixas de

papelão é de 30 cm e que a altura das emba-

lagens deve coincidir com a altura dessas cai-

xas, pergunta-se:

a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser

produzida?

b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a

ser produzida?

73)(PRISE-2005) As questões de 01 a 03

referem-se ao texto abaixo:

O LIXO ELÉTRICO E ELETRÔNICO

Os detritos gerados por equipamentos

elétricos e eletrônicos representam uma

das questões ambientais mais graves do

planeta. Um dos centros mais modernos de

reciclagem, localizado na Suíça, reciclou

30.000 toneladas desse tipo de lixo em

2003 e tem como previsão aumentar, li-

nearmente, a quantidade reciclada em

12.000 toneladas anuais. Como exemplo

podemos citar que, para produzir um com-

putador, são usados combustíveis fósseis e

substâncias químicas pesadas, além de 3

toneladas de água, recurso natural es-

casso em várias partes do planeta. Em

2003, o número de refrigeradores e ce-

lulares que foram descartados atingiu a

marca de 5 milhões de aparelhos. Estima-

se que, em 2004, o número de refrigera-

dores descartados aumente em 10% e o

de celulares aumente em 20%, totalizan-

do 5,7 milhões de aparelhos. Todos os

esforços de governos, fabricantes e socie-

dade ainda não são suficientes para dar um

fim apropriado a esse tipo de lixo que pre-

judica a melhoria da qualidade de vida da

humanidade. (Texto adaptado da revista EXAME de 24/11/2004)

01. Tomando como base o ano de 2003 e se-

guindo as previsões (linhas 03 a 06), em que

ano a produção de lixo reciclado será de

150.000 toneladas?

02. De acordo com as linhas 06 a 08, qual

deve ser o raio de um reservatório de formato

cilíndrico reto e altura igual a π

30 m, que irá

armazenar o volume de água gasto na fabrica-

ção de 1.000 computadores?

(considere: 1 litro de água igual a 1kg) R: raio = 10m.

03. A partir das informações contidas nas li-

nhas 08 a 11, qual o número de celulares des-

cartados em 2003?

74)(PRISE-2003) Devido às mudanças cli-

máticas e à poluição ambiental, o manancial de

água doce do planeta está reduzindo. Um pro-

grama de combate ao desperdício de água tra-

tada mostra, na televisão, uma torneira que

13

vaza 1,5 cm3 a cada 6 segundos. Nestas con-

dições, pergunta-se:

a) Quantos m3 de água tratada será desperdi-

çado em 30 dias, por 1.000 torneiras iguais à

mostrada na televisão?

b) Qual deve ser a altura do tanque de forma-

to de um prisma retangular reto, cuja base

possui 6 m de largura por 9 m de comprimen-

to, de modo a conter exatamente a água des-

perdiçada pelas 1.000 torneiras nos 30 dias?

ARMAZÉM DE FÓRMULAS

A = π r2 V = ABh

A = 2πrh V = ABh /3

A = πrg V = 4 πr3 /3

A = 4πr2 V = 2πr2h /3

AT = AL + AB

V = h (B1 + 21 B B +

B2) /3

AT = AL + 2AB

V = π h (r 12 + r1 r2 +

r22) /3

75)(UFPA-2003) É comum nos campi da

UFPA existirem espaços em forma de “maloca”,

geralmente utilizados para atividades de lazer.

Os atalhos desses espaços têm a forma de um

cone circular reto. Se desejarmos cobrir um

desses cônicos, de 3 metros de altura e 8 me-

tros de diâmetros, com telhas que distribuem à

razão de 30 delas por m2, quantas telhas, no

mínimo, serão necessárias para cobrir o telha-do? (usar π = 3,14)

“A perseverança alimenta a esperança.”

Nunca deixe que lhe digam:

Que não vale a pena

Acreditar no sonho que se tem

Ou que seus planos

Nunca vão dar certo

Ou que você nunca

Vai ser alguém... Renato Russo

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2-Apostila de Geometria Espacial (3º Anos, 13 páginas, 75 questões)

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