Conceitos primitivosOs conceitos primitivos da geometria são os

seguintes:PONTO RETA PLANO

.P

GEOMETRIA ESPACIAL - POSIÇÃO

Postulados ou Axiomas

• Os postulados são propriedades aceitas sem demonstração

• Postulados iniciais• P1 - Postulado de existência• Em uma reta, bem como fora dela, existem

infinitos pontos.

• P2 - Postulado de existência

• Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

• P3 - Por um ponto passam infinitas retas.

• P4 - Postulado de determinação• Dois pontos distintos determinam uma única

reta (retas coincidentes são uma única reta).

• P5 - Postulado da inclusão• Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a

reta está contida no plano.

• 1) se vários pontos pertencem a uma mesma reta, então• eles são ditos colineares.• 2) se vários pontos pertencem a um mesmo plano, então• eles são ditos coplanares.

Posição relativa de duas retas no espaço

• Duas retas são coplanares quando estão no mesmo plano e podem ser:

• CONCORRENTES• r e s têm um só ponto em comum.

PARALELAS DISTINTAS

• r e s não têm ponto em comum.

PARALELAS COINCIDENTES

Reversas

• São reversas quando não existe um plano que as contêm.

Resumo

POSTULADO DAS PARALELAS (EUCLIDES)

• Existe somente uma reta paralela a uma reta dada r, passando por um ponto P que não lhe pertence.

RETAS PERPENDICULARES

• Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam um ângulo reto.

RETAS ORTOGONAIS

• Duas retas reversas são ortogonais quando o ângulo formado pelas suas paralelas partindo de um mesmo ponto é reto.

Exemplo

• Para melhor entendimento, observe a situação abaixo:

• 01) as retas r e s são ortogonais.• 02) o segmento AB representa a distância entre as duas• retas reversas.• AB é a única reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.• A medida do segmento AB é, por definição, a distância entre• as retas reversas r e s.

Determinação do plano

Um plano fica determinado de quatro modos diferentes.

01) Três pontos não-colineares.

02) Uma reta e um ponto fora dela.

03) Duas retas concorrentes.

04) Duas retas paralelas.

Posições relativas de dois planosPLANOS

• PLANOS PARALELOS• Dois planos são ditos paralelos quando não têm ponto em

comum ou se coincidem.

• Observações:• Alguns autores não consideram um plano paralelo a si mesmo.

PLANOS SECANTES OU CONCORRENTES

• Dois planos são concorrentes quando possuem em comum uma única reta.

PLANOS PERPENDICULARES

• Dois planos são perpendiculares se um deles contém alguma reta perpendicular ao outro.

Posições relativas de uma reta e umplano no espaço

• RETA CONTIDA NO PLANO• Uma reta está contida em um plano quando

todos os seus pontos pertencem ao plano.

RETA SECANTE

• A reta e o plano possuem apenas um ponto em comum.

P é o traço da reta com o plano.

RETA PARALELA A UM PLANO

• Uma reta é paralela a um plano quando não possuem ponto em comum.

• Uma reta é paralela a um plano quando, não estando contida• nele, ela é paralela a alguma reta desse plano.

RETA PERPENDICULAR AO PLANO• Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é

perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto comum.

• P é o PE da perpendicular sobre o plano.• Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes,• então ela é perpendicular ao plano determinado por essas• duas retas.

• 01) (FACTUR ) Entre retas e planos no espaço, verifica-se• que:• a) uma reta paralela a um plano é paralela a uma e só• uma reta desse plano.• b) dois pontos distintos determinam infinitas retas.• c) três pontos determinam um plano.• d) uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.• e) dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.

• 02) • (UESC) Sejam uma reta r e um plano α do espaço,• concorrentes.• Com base nessa informação, pode-se afirmar:• 01) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são

reversas.• 02) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são• concorrentes.• 03) Existe uma reta r1, contida em α, que é paralela a r.• 04) Se uma reta r1 está contida em α e é ortogonal a r,• então r é perpendicular a α.• 05) Se r é perpendicular a α e uma reta r1 está contida• em α, então r é ortogonal a r1.

• 02. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre• geometria espacial, pode-se afirmar:• (01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então• toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular• ao plano α.• (02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe• um único plano passando por P, paralelo à reta s.• (04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s• é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α.• (08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma• perpendicular a α, que não está contida em β, então• r é paralela a β. • (16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta• de um deles é perpendicular ao outro.• (32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma• reta ou um ponto.

POLIEDROS

• Poliedro é o sólido limitado exclusivamente por polígonos convexos.

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES

• A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é tantas vezes 360º quantos são os vértices, menos dois.

• EXEMPLO:• Os dois poliedros representados possuem, cada um, 6• vértices. Portanto, a soma dos ângulos das faces é:• Sa = (6 - 2) . 3600 = 14400.

TEOREMA DE EULER

• No poliedro convexo é válida a relação.

• Cada aresta de um poliedro é formada pelo concurso de dois lados de duas faces. Portanto, o número de arestas de um poliedro é igual à metade do número total dos lados apresentados pelas diversas faces.

• No caso de F faces, com n lados cada uma, teremos:

EXERCÍCIOS

• 01) (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?

• a) Hexaedro d) Icosaedro• b) Dodecaedro e) Tridecaedro• c) Octaedro

• 02)• (ITA) Considere um prisma regular em que a

soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200o. O número de vértices deste prisma é igual a:

• a) 11. d) 20.• b) 32. e) 22.• c) 10.

• 03) Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que apresenta 20 arestas e 12 faces?