1 . INTRODUÇÃO Há certos fenômenos (ou experimentos)

que, embora sejam repetidos muitas vezes e

sob condições idênticas, não se pode determi-

nar o seu resultado com precisão antes de ocorrê-lo. Por exemplo, no lançamento de uma

moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não

se pode determiná-lo antes de ser realizado.

Não sabemos se sairá exatamente “cara” ou “coroa”. Aos fenômenos desse tipo é dado o

nome de fenômenos aleatórios.

São exemplos de fenômenos aleatórios:

Lançamento de um dado;

Número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina;

Resultado de um jogo de roleta;

O resultado de uma extração da Mega-

Sena;

Número de chamadas telefônicas que serão

efetuadas numa cidade, no dia das mães.

Pelo fato de não sabermos o resultado

exato de um fenômeno aleatório é que busca-

mos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado

ocorrer. A teoria das probabilidades é um

ramo da Matemática que cria, elabora e pes-

quisa modelos para estudar experimentos ou fenômeno aleatórios.

2 . CONCEITOS INICIAIS 2.1 Espaço Amostral

É o conjunto formado por todos os re-

sultados possíveis de um fenômeno aleatório. É

simbolizado pela letra grega ômega .

2.2 Evento

É qualquer subconjunto de um espaço

amostral. É simbolizado por uma letra maiús-cula do nosso alfabeto.

Exemplo: No lançamento de um dado e regis-

tro dos resultados. Determine: a) O espaço amostral ;

b) O evento A: ”ocorreria de número ímpar”

Resolução:

O espaço amostral de um dado são todas as possibilidades de resultados ao lançarmos

um dado, logo = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

Evento A: “ocorrência de número ímpar” do

espaço amostral do dado, logo A = {1, 3, 5}.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) No lançamento de uma moeda, determine:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: “sair cara”.

2) No lançamento de um dado, defina:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: ocorrência de número par;

c) o evento B: ocorrência de número ímpar;

d) o evento C: ocorrência de número menor

que 4;

e) o evento D: ocorrência de múltiplo de 3;

f) o evento E: ocorrência de número menor

que 1;

g) o evento F: ocorrência de número maior

que zero e menor que 7.

3) No lançamento de um tetraedro (pirâmide de quatro faces triangulares congruentes), cu-

jas faces estão numeradas de 1 a 4, defina:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: ocorrência de número par;

c) o evento B: ocorrência do número 3;

d) o evento C: ocor-rência de número me-

nor que 4.

(Observação: Conside-

ra-se que “saiu o nú-

mero 4” se a face nu-

merada pelo 4 esta apoiada na mesa, após

o lançamento.)

4) Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 10. Defina:

a) o espaço amostral do experimento ”reti-

rar fichas ao acaso da caixa”;

b) o evento A: ocorrência de número ímpar;

c) o evento B: ocorrência de número primo; d) o evento C: ocorrência de número maior

que 4.

e) o evento D: ocorrência de número múltiplo

de 4.

f) o evento E: ocorrência de número não múl-

tiplo de 4.

g) o evento F: ocorrência de número com dois

algarismos.

i) o evento G: ocorrência de número com três

algarismos.

5) No lançamento simultâneo de duas moe-

das distinguíveis, defina:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: ocorrência de exatamente uma

cara;

c) o evento B: ocorrência de coroa em ambas;

d) o evento C: ocorrência de pelo menos uma

cara.

PROF. GILBERTO SANTOS JR

PROBABILIDADE

E. E. E. F. M.

MIN. ALCIDES CARNEIRO

Turma:

Aluno:

3

2

6) No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, determine:

a) o espaço amostral do experimento, nu-ma tabela ou diagrama da árvore;

b) o evento A: ocorrência de cara e número par;

c) o evento B: ocorrência de coroa e número múltiplo de 3;

d) o evento C: ocorrência de coroa e número

ímpar.

7) Um casal planeja ter dois filhos, usando M para filho do sexo masculino e F para filho do

sexo feminino. Determine:

a) todos os arranjos possíveis de meninos e

meninas, usando uma tabela ou um diagra-ma da árvore;

b) o evento A: todas as crianças são meninos;

c) o evento B: nenhuma criança é menino;

d) o evento C: todas as crianças são do mes-

mo sexo.

8) No lançamento simultâneo de dois dados, determine:

a) o espaço amostral, utilizando uma tabela;

b) evento A: ”sair o mesmo número em ambos

os dados”;

c) evento B: ”sair soma 7”;

d) evento C: ”sair soma maior que 10”;

e) evento D: ”sair soma menor que 5”;

f) evento E: ”sair soma maior que 12”;

g) evento F: ”sair soma maior que 1 e menor

que 13”.

9) Do experimento “retirar uma carta, ao aca-

so, de um baralho de 52 cartas”, determine:

a) o espaço amostral em uma tabela;

b) o evento A: ocorrência de ás;

c) o evento B: ocorrência de ás de ouros;

d) o evento C: ocorrência de número 2.

10) Uma urna contém uma bola vermelha e

três azuis, do experimento ”retirar uma bola ao acaso“. Defina:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: retirar bola vermelha;

c) o evento B: retirar bola azul.

11) No lançamento simultâneo de 3 moedas distinguíveis (ou no lançamento de uma moeda

três vezes), determine:

a) o espaço amostral ;

b) o evento A: ”sair 3 caras”;

c) o evento B: ”sair mais do que uma cara”;

d) o evento C: ”sair exatamente 2 coroas”.

2 . CÁLCULO DE PROBABILIDADE A probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(A), é um número que mede

essa chance e é dado por:

p(A) =

Ω de elementos de nº

A de elementos de nº =

n(A)

n(Ω)

ou

p(A) =

possíveis resultados de total de nº

favoráveis resultados de nº

Exemplo: Consideremos o experimento aleató-

rio do lançamento de uma moeda perfeita.

Qual é a probabilidade de sair cara? Resolução:

Usando C para cara e K para coroa,

segue,

Espaço amostral: = {C, k} n( ) = 2

Evento A: ocorrência de cara A = {C}

n(A) = 1.

Portanto, p(A) = )n(

n(A) =

2

1.

Como 2

1 =

100

50= 50%,

temos que, no lançamento de uma moeda, a

probabilidade de sair cara é 1

2 ou 50%.

Comentário: Isso não significa que, se jogar-

mos duas vezes a moeda, numa das jogadas

sairá “cara” e, na outra, sairá “coroa”. Significa

sim que, após um grande número de jogadas,

em aproximadamente 50% (metade) delas sairá “cara”.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

12) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?

13) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:

a) um número par?

b) um número primo?

c) o número 3?

d) um número menor que 3?

e) um número menor que 1?

f) um número menor que 7?

14) Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 10. Dobre-os igualmente, de

modo que qualquer um deles tenha a mesma

“chance” de ser retirado de uma caixa. Qual é

a probabilidade de que o número retirado seja:

a) par?

b) divisível por 3?

c) um número primo?

d) maior que 8?

e) menor que 10?

f) um número entre 5 e 10?

g) múltiplo de 4?

3

15) Em certa cidade, os táxis de uma frota são numerados de 1 a 200. Uma pessoa toma

um táxi dessa frota ao acaso. a) Qual a probabilidade de o número do táxi

ser 85?

b) Qual a probabilidade de o número do táxi

ser maior que 122?

16) Qual é a probabilidade de sair um “dois”, ao retirar, ao retirar, uma carta de um baralho

de 52 cartas?

17) Em uma sala, assistindo a uma palestra, 40 pessoas estão usando crachás numerados

de 1 a 40. Uma pessoa é escolhida ao acaso e

convidada a sair da sala. Qual é a probabilida-

de de que esse número seja: a) menor que 10?

b) múltiplo de 10?

18) Nove válvulas perfeitas estão misturadas com uma válvula defeituosa. Elas são testa-das, uma a uma, até que a válvula defeituosa

seja encontrada. Qual é a probabilidade de que

a primeira válvula testada seja a defeituosa?

19) Oito válvulas perfeitas estão misturadas com duas válvulas defeituosas. Elas são testa-

das, uma a uma, até que a válvula defeituosa

seja encontrada. Qual é a probabilidade de

que:

a) a primeira válvula testada seja a defeitu-

osa?

b) a segunda seja defeituosa, sabendo-se que

a primeira retirada foi defeituosa.

20) Seis casais estão numa festa. Uma pes-soa é escolhida ao acaso. Qual é a probabilida-

de de ser mulher?

21) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao aca-

so, retirar: (Observação: para indicar o evento

“sair bola vermelha” use índices assim A =

{V1, V2, V3, V4}.)

a) uma bola vermelha?

b) uma bola branca?

22) Um lote é formado de 12 calças perfeitas, 6 com algum defeito pequeno e 6 com defeitos

graves. Se escolhermos uma calça ao acaso,

qual será a probabilidade de que a calça: a) não tenha defeitos?

b) não tenha defeitos graves?

c) tenha defeitos?

23) Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao

acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:

a) uma carta de copas?

b) um ás?

c) um ás de copas?

d) uma carta com naipe vermelho?

e) um “três” vermelho?

24) No lançamento simultâneo de duas moe-das perfeitas e distinguíveis, qual é a probabi-

lidade de que:

a) em ambas ocorra ”cara”?

b) em uma ocorra ”cara” e na outra “coroa”?

c) não ocorra nenhuma “cara”?

d) ocorra exatamente uma “coroa”?

25) No lançamento simultâneo de dois dados perfeito e distinguíveis, qual é a probabilidade

de que: a) a soma seja 7?

b) a soma seja par?

c) a soma seja um número primo?

d) a soma seja maior que 1 e menor que 8?

e) ambos os números sejam pares?

f) ambos os números sejam iguais?

g) o primeiro número seja múltiplo do segundo?

26) Um casal planeja ter exatamente 2 crian-ças. Qual é a probabilidade de que:

a) todas as crianças sejam meninas?

b) todas as crianças sejam do mesmo sexo?

c) uma criança seja menino e a outra menina?

27) Um cardápio é composto dos itens a se-guir.

grupo I grupo II grupo III

filé de carne

maionese saladas de

frutas

filé de frango

salada mista

sorvete

filé de peixe

pudim

A pessoa escolhe um item de cada grupo para

compor sua refeição. Faça um diagrama de

árvore para mostrar todas as possibilidades de compor uma refeição com itens dos 3 grupos.

Qual é a probabilidade de que a pessoa esco-

lhe:

a) um filé de peixe?

b) uma maionese?

c) como refeição, filé de frango, maionese e pudim?

d) como refeição, filé de peixe, maionese, sor-

vete ou pudim?

e) como refeição, filé de carne ou de frango,

salada mista e sorvete?

4

EXERCÍCIO DE VESTIBULARES

28)(UEPA-2009) Texto 2

A Série Arte e Matemática na escola, que

será apresentada pela TV ESCOLA, no

Programa Salto para o Futuro, é constituída

por cinco programas que pretendem oferecer um espaço de reflexão, interação e discussão

sobre as múltiplas relações matemáticas

existentes nas diversas linguagens. (Fonte:www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2002/ame/ameimp.htm)

Utilizando o Texto 2, supõe-se que dois

programas que serão apresentados pela TV

ESCOLA estão com defeito. Ao selecionar,

aleatoriamente, um programa, a probabilidade

de que este esteja com defeito é:

(a) 50% (c) 30% (e) 10%

(b) 40% (d) 20%

3 . PROBLEMAS DE PROBABILIDADE

QUE ENVOLVE CONJUNTOS

29) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de músi-ca e esporte; 30 gostam de música e leitura;

22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam so-

mente de música; 9 gostam somente de es-

porte; e 5 jovens gostam somente de leitura.

a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso, um desses jovens, eles gostam de mú-

sica?

b) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao

acaso, um desses jovens ele não gostar de

nenhuma dessas atividades?

30) Numa enquete foram entrevistados 100 estudantes. Setenta deles responderam que

freqüentavam um curso de microcomputado-res, 28 responderam que freqüentavam um

curso de inglês e 10 responderam que fre-

quentavam ambos, microcomputadores e in-

glês. Qual é a probabilidade de um desses es-

tudantes selecionados ao acaso:

a) estar freqüentando somente o curso de mi-

crocomputadores?

b) não estar frequentando nenhum desses

cursos?

31) Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utili-

zavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Qua-

renta e dois responderam ônibus, 28 respon-deram carro e 30 responderam moto. Doze

utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e

moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utiliza-

vam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas,

selecionada ao acaso, utilize:

a) somente ônibus?

b) somente carro?

c) carro e ônibus, mas não moto?

d) nenhum dos três veículos?

e) apenas um desses veículos?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

32)(UEPA-2009) Um grupo de 12 artistas

analisou duas obras de artes, 10 deles gostaram da primeira obra; 6 deles gostaram

da segunda obra e 4 deles gostaram da

primeira e da segunda obra. A probabilidade,

ao acaso, de um desses artistas, gostar só da segunda obra é:

(a) 2

1 (b)

3

1 (c)

4

1 (d)

5

1 (e)

6

1

33)(PRISE-2004) O Professor Francisco de

Assis realizou uma pesquisa em uma de suas

turmas de 2ª série do Ensino Médio para saber

a preferência dos alunos a respeito do tema a

ser escolhido para a feira da cultura da escola. Assim, apresentou aos alunos dois temas: Ci-

dadania e Meio Ambiente, obtendo os seguin-

tes resultados:

40 alunos escolheram Cidadania

25 alunos escolheram Meio Ambiente 10 alunos escolheram ambos os temas

5 alunos não escolheram nenhum dos dois

temas.

Desta forma, selecionando um aluno da sala, a

probabilidade dele ter escolhido apenas Meio Ambiente como tema é:

(a) 2

1 (b)

3

1 (c)

4

1 (d)

5

1 (e)

6

1

3. PROBABILIDADE DE EVENTOS

COMPLEMENTARES Seja, no lançamento de um dado, o

evento A “sair número par” A = {2, 4, 6} e

o evento B “sair número ímpar” B = {1, 3,

5}. Observe que A B = e A B = , A

e B são chamados eventos complementares.

Sendo A notação para “complementar do

evento A”, segue a expressão,

p(A) + p( A ) = 1

ou

p( A ) = 1 – p(A)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

34) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o 6?

35) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é probabilidade de não sair soma 5?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

36)(UEPA-2011) Em uma pesquisa envol-vendo 120 cidades, sobre lixo doméstico, ob-

5

servou-se que em 36 dessas cidades são de-

senvolvidas ações de reciclagem. A probabili-dade de uma cidade pesquisada ser escolhida

ao acaso e nela não ser desenvolvida ação de

reciclagem, é:

(a) 3

10 (b)

4

10 (c)

5

10 (d)

6

10 (e)

7

10

37)(UEPA-2010) A economia do estado de Santa Catarina esteve, em 2002, fortemente

voltada para exportação de manufaturados com maior valor agregado. Isso exigiu, na

época, maior empenho de pesquisadores de

diversas áreas das esferas municipal, estadual,

federal e privada. A tarefa da Funcitec é

financiar Ciência & Tecnologia por meio da abertura frequente de editais abertos e com

referências competitivas claras. A figura abaixo

apresenta alguns dados que ilustram a busca

para financiamento de pesquisas de um desses editais promovidos pela Funcitec.

Fonte: NEXUS, Ciência & Tecnologia, Nº 2 , ANO

II de 2002, (p.40).Texto adaptado.

Nessas condições, afirma-se que a

probabilidade de um projeto escolhido

aleatoriamente, dentre o total dos projetos

apresentados, não ser da região sul é de:

(a) 233/433 (c) 403/433 (e) 530/433

(b) 301/433 (d) 517/433

38)(UEPA-2012) Leia o texto XVIII para res-ponder a próxima questão.

Texto XVIII

Os números alarmantes relativos à

violência doméstica levaram a Organização

Mundial de Saúde (OMS) a reconhecer a gra-

vidade que o fenômeno representa para a

saúde pública e recomendar a necessidade de efetivação de campanhas nacionais de

alerta e prevenção. No Brasil, apesar de não

haver estatísticas oficiais, algumas organiza-

ções não-governamentais de apoio às mulhe-res e crianças vítimas de maus tratos apre-

sentam números assustadores da violência

doméstica. Estima-se que, a cada 4 (quatro)

minutos uma mulher seja vítima de violência doméstica. Dos 850 inquéritos policiais ins-

taurados na 1.ª e 3.ª Delegacia de Defesa da

Mulher de São Paulo, 82% se referem a le-

sões corporais dolosas. (Fonte: http://jus.com.br/revista/texto/7753/a-violenciadomestica-como-

violacao-dos-direitos-humanos. Acesso em 9 de setembro de 2011- Texto Adaptado)

A probabilidade de ser escolhido

aleatoriamente um desses inquéritos policiais e

de ele não se referir a lesões corporais

dolosas, é de:

(a) 0,18 (c) 0,20 (e) 0,22

(b) 0,19 (d) 0,21

4 . PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Conhecendo as probabilidades de dois

eventos quaisquer A e B e procuramos a pro-

babilidade de ocorrer o evento A B, ou seja,

conhecendo p(A) e p(B) querendo encontrar p(A B), utilize a expressão,

p(A B) = p(A) + p(B) – P(A B)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

39) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é probabilidade de

se obter soma par ou soma múltipla de 3?

40) No lançamento de um dado perfeito, de-termine as probabilidades dos eventos:

a) sair número par;

b) sair número múltiplo de 3;

c) sair número par e múltiplo de 3;

d) sair número par ou múltiplo de 3;

e) não sair par nem múltiplo de 3;

f) não sair par ou não sair múltiplo de 3.

41) Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer uma delas tem a mesma

chance de ser retiradas. Qual a probabilidade

de se retirar uma bola cujo número seja:

a) par?

b) primo?

c) par e primo?

d) par ou primo?

e) nem par nem primo?

f) par mas não primo?

6

g) primo mas não par?

42) No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou

números iguais nas faces superiores?

43) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se

obter ”cara” ou um 6?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

44)(Fuvest-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento:

retirada de uma bola. Considere os eventos:

A = {a bola retirada possui um múltiplo de 2};

B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5}.

Então, a probabilidade do evento A B é:

(a) 20

13 (b)

5

4 (c)

10

7 (d)

5

3 (e)

20

11

45)(PRISE-2002) Durante a romaria do Círio de Nossa Senhora de Nazaré, em Belém, foi

feita uma pesquisa com 1.500 romeiros sobre

as promessas que os levaram a acompanhar a

procissão na corda. As promessas foram: recu-

peração da saúde; aprovação no vestibular e emprego. Dentre os pesquisados:

200 agradeciam pela recuperação da saúde,

aprovação no vestibular e pelo emprego;

550 pela recuperação da saúde e aprovação no vestibular;

450 pela recuperação da saúde e pelo em-

prego;

400 pela aprovação no vestibular e pelo emprego;

200 só pela recuperação da saúde;

130 só pela aprovação no vestibular e

170 só pelo emprego.

Nessas condições, a probabilidade de se esco-

lher ao acaso uma das pessoas pesquisadas e

esta estar agradecendo pela recuperação da

saúde é:

(a) 15

2 (b)

5

2 (c)

30

11 (d)

3

2 (e)

15

11

5 . PROBABILIDADE CONDICIONAL Denotamos por A/B o “evento A condi-

cionado ao fato de que o evento B já ocorreu”

e por p(A/B) a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

p(A/B) =

p (A B)

p(B)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

46) Ao retirar uma carta de um baralho de 52

cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”?

47) Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabilidade de sair soma 8, sendo que

ocorreu o 3 no primeiro dado?

48) Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 ho-

mens, já que a primeira criança que nasceu é

homem?

6 . EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos A e B são eventos inde-pendentes, se a probabilidade de ocorrer um

deles não depende do fato de ter ou não ter

ocorrido o outro. Segue a expressão,

p(A B) = p(A) . p(B)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

49) São realizados dois lançamentos sucessí-veis de um dado perfeito. Qual é a probabilida-

de de ocorrer, nos dois casos, o número 5?

50)(FUVEST-SP) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado per-

feito (todas as seis fases têm probabilidades

iguais). Com relação a esse experimento con-sidere os seguintes eventos:

I - O resultado do lançamento é par.

II - O resultado do lançamento é estritamente

maior do que 4.

III - O resultado é múltiplo de 3.

a) I e II são eventos independentes?

b) II e III são eventos independentes?

Justifique suas respostas.

51) Consideramos uma cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam os eventos A: “obtenção de

pelo menos dois machos” e B: “obtenção de

pelo menos de um de cada sexo”. Os eventos A e B são independentes? Por quê?

EXERCÍCIO DE VESTIBULARES

52) (UEPA-2008) No programa de assentamento de famílias promovido pelo

Governo Federal, a distribuição de terras ocorreu por meio de sorteios. Para tanto,

utilizaram três urnas: a primeira com as

bolinhas de números 2, 4, 5 e 7; a segunda

com as bolinhas de números 0 e 2 e a terceira com as bolinhas de números 1, 2 e 8. O

sorteio ocorreu retirando-se ordenadamente

uma bolinha de cada urna, formando um

número de três algarismos que correspondeu a

uma das senhas distribuídas entre as famílias. Após cada sorteio, as bolinhas foram

devolvidas às respectivas urnas e o processo

repetido até a total distribuição das terras.

Desta forma, é correto afirmar que a probabilidade de o número sorteado ser:

(a) 222 é 12

1

7

(b) 528 é 6

1

(c) 222 é 6

1

(d) 528 é 12

1

(e) 528 ou 222 é a mesma.

53)(PRISE-2005) Para comemorar o dia dos professores, uma escola de Belém resolveu

organizar uma festa e nela distribuir CD’s de

diversos ritmos musicais para os homenageados do dia. O corpo docente da

escola é composto por 15 professores, dos

quais 10 são homens. Para organizar a entrega

dos presentes, foram distribuídas fichas com numeração de 1 a 15, sendo que as mulheres

ficaram com as fichas de 1 a 5. Para entrega

dos prêmios, procedeu-se a um sorteio no qual

foi retirada uma ficha para entrega do 1° CD. Sabe-se que a ficha sorteada foi menor que

11, então a probabilidade de que a pessoa

sorteada tenha sido um homem é de:

(a) 2

1 (b)

3

1 (c)

4

1 (d)

3

2 (e)

4

3

54)(PRISE-2006) O professor de matemáti-ca Magno, ao realizar sua prova de 4ª avalia-

ção, resolveu dar ’’uma colher de chá’’ para seus alunos. O professor propôs uma prova

que continha 12 questões, numeradas de 1 a

12, das quais cada aluno deveria escolher exa-

tamente 4 questões para serem resolvidas; destas, obrigatoriamente, deveriam ser 2 de

questões de numeração ímpar e 2 de

questões de numeração par. Considerando

todas as possibilidades de escolha das 4 ques-

tões, de acordo com o exigido, a probabilidade de se escolher apenas questões com numera-

ção menor que 7 é:

(a) 3

1 (b)

10

1 (c)

15

1 (d)

25

1 (e)

33

1

55)(PRISE-2007) Após a pintura dos quatros recipientes de coleta de resíduos sólidos, nas

quatro cores do código do QUADRO III, cada

um de uma só cor, estes foram colocados lado a lado e numerados de 1 a 4. Desta forma, a

probabilidade de se ter uma sequência de co-

res, de acordo com a figura abaixo, é:

(a) 36% (c) 25% (e) 18%

(b) 33% (d) 20%

56)(PSS-2005) Um editor de Futebol em Revista, interessado em verificar se existe apli-

cação de probabilidades iguais no futebol, con-

siderou um modelo em que três equipes jo-

guem entre si, e em que, em qualquer das par-tidas, a probabilidade de vitória de cada uma

das equipes seja igual a 1/3 e a probabilidade

de o jogo terminar empatado seja também de

1/3. Em cada partida, a equipe vencedora ga-nha 3 pontos e a equipe perdedora nenhum

ponto. Em caso de a partida terminar empata-

da, cada uma das duas equipes recebe 1 pon-

to. Analisando os confrontos entre as três equipes mais bem colocadas ao final do primei-

ro turno do Campeonato Brasileiro de 2004,

verificou-se que a equipe do Santos obteve 6

pontos; a equipe do São Paulo obteve 3 pon-tos; e a equipe da Ponte Preta 0 (zero) ponto

nos confrontos entre si, conforme a tabela:

Santos 2 x 1 São Paulo

Ponte Preta 0 x 4 Santos

São Paulo 2 x 0 Ponte Preta

Após efetuar corretamente os cálculos probabi-lísticos, o editor concluiu que num modelo de

probabilidades iguais à probabilidade de que se

termine com uma equipe com 6 pontos, outra

com 3 pontos e a terceira com 0 (zero) ponto é de

(A) 2/9 (B) 3/8 (C) 5/27 (D) 9/15 (E) 1/3

57)(PSS-2005) As últimas eleições têm sur-preendido os institutos de pesquisa, principal-

mente quando dois candidatos se encontram

empatados tecnicamente. Tentando entender essa questão, um estudante investigou a opção

de votos de seus colegas de classe e verificou

que, dos trinta investigados, 15 votaram no

candidato A e 15 votaram no candidato B. Fez-se, então, a seguinte consideração: se um

instituto de pesquisa fizesse uma sondagem,

consultando apenas quatro alunos escolhidos

aleatoriamente, a probabilidade de o instituto acertar o resultado da eleição na sala, por

meio dessa amostra, seria, de, aproximada-

mente,

(A) 27% (C) 50% (E) 92%

(B) 40% (D) 78%

58)(PSS-2006) No Estado do Pará, 94% dos estudantes do Ensino Médio estão matriculados

em escolas públicas. Se a probabilidade de

esses estudantes serem negros (pretos +

pardos) é de 75%, então a probabilidade de o

estudante do Ensino Médio estar matriculado em escola pública e ser negro é de

(A) 23,5% (C) 55,5% (E) 70,5%

(B) 45,5% (D) 67,5%

59)(PSS-2007) Alguns estudantes estavam se preparando para realizar o PSS da UFPA e

resolveram inventar um jogo de dados a fim de

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testar os seus conhecimentos em Teoria das

Probabilidades. O jogo possuía as seguintes regras:

I. O jogador faz o primeiro lançamento do

dado. Se sair o número 5 o jogo termina e o

jogador vence.

II. Se na primeira jogada não sair o número 5,

o jogador deve lançar o dado pela segunda e

última vez. Se sair um número maior do que 3,

o jogador vence. Caso contrário perde.

A probabilidade de o jogador vencer esse jogo

é:

(A) 13

9 (C)

5

3 (E)

13

10

(B) 12

7 (D)

7

4

60)(PSS-2008) De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes da marca A, 4

refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da

marca C, retiram-se dois refrigerantes sem

observar a marca. A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma marca é:

(A) 1/6 (C) 19/66 (E) 3/11

(B) 5/33 (D) 7/22

61)(PSS-2008) No Concurso da Mega-Sena são sorteados 6 números de 01 a 60. Por

exemplo, o concurso 924 teve como números

sorteados 02, 20, 21, 27, 51 e 60, ou seja, houve um par de números consecutivos, 20 e

21. A probabilidade de que no jogo da Mega-

Sena haja um par de números consecutivos

sorteados é:

(A) 54!/60! (D) 1-(54!53!)/(48!60!)

(B) 53!/59! (E) 1-(55!54!)/(49!60!)

(C) 1-(56!55!)/(49!60!)

62)(PSS-2009) Um tabuleiro quadrado tem nove casas. Uma peça sobre o tabuleiro pode

mover-se para as casas lateral esquerda,

lateral direita, lateral acima ou lateral abaixo,

se não for obstruída em um ou dois destes movimentos estando sobre a borda do

tabuleiro. Considere que a peça inicialmente

está no centro do tabuleiro e é movida

aleatoriamente na superfície deste. A probabilidade de que, após 10 movimentos, a

peça esteja de volta ao centro é:

(A) 2/3 (C) 1/3 (E) 1/6

(B) 1/2 (D) 1/4

63)(PSS-2009) Quatro pássaros pousam em uma rede de distribuição elétrica que tem

quatro fios paralelos. A probabilidade de que em cada fio pouse apenas um pássaro é:

(A) 3/32 (C) 1/24 (E) 3/4

(B) 1/256 (D) 1/4

64)(PRISE-2004) Os Professores Adolfo Henrique, Newton, Bosco, Dalva, Patrícia,

Mônica e Socorro vão se reunir para estrutu-

rarem a feira da cultura da escola em que tra-

balham. Para tanto, resolveram criar uma co-missão organizadora do evento, que será

composta por três deles. Verificando todas as

possibilidades, a probabilidade de esta comis-

são ser formada apenas por mulheres é:

(a) 7

1 (c)

21

1 (e)

35

1

(b) 1

14 (d)

28

1

65) (PROSEL-2004) Os cursos ofertados pela UEPA no PROSEL e PRISE, no município

de IGARAPÉ-AÇU, com as respectivas vagas,

constam na tabela abaixo:

CURSOS OFERTADOS PROSEL PRISE

Licenciatura em Letras 20 20

Licenciatura em Matemática 20 20

Supondo que todas as vagas serão preenchi-

das, a probabilidade de sortearmos, ao acaso,

um aluno do Curso de Licenciatura em Mate-mática ou um aluno aprovado no PRISE é de:

(a) 25% (c) 60% (e) 100%

(b) 50% (d) 75%

Nunca deixe que lhe digam:

Que não vale a pena

Acreditar no sonho que se tem

Ou que seus planos

Nunca vão dar certo

Ou que você nunca

Vai ser alguém...

Renato Russo

“Você constrói a sua vitória.”

“A perseverança alimenta a esperança.”

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Um grande abraço!