2 - Matema Tica e Racioci Nio Lo Gico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Didatismo e Conhecimento 1


1. NUMERAÇÃO

Essa imagem mostra todos os conjuntos, sendo

Números Naturais

Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem.

Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, ob-temos os elementos dos números naturais:

ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .

A construção dos Números Naturais- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem

depois do número dado), considerando também o zero.Exemplos: Seja m um número natural.a) O sucessor de m é m+1.b) O sucessor de 0 é 1.c) O sucessor de 1 é 2.d) O sucessor de 19 é 20.

- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois nú-meros juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:a) 1 e 2 são números consecutivos.b) 5 e 6 são números consecutivos.c) 50 e 51 são números consecutivos.

- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é su-cessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessi-vamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.b) 5, 6 e 7 são consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um anteces-sor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.a) O antecessor do número m é m-1.b) O antecessor de 2 é 1.

c) O antecessor de 56 é 55.d) O antecessor de 10 é 9.Subconjuntos de Vale lembrar que um asterisco, colocado junto à letra que sim-

boliza um conjunto, significa que o zero foi excluído de tal conjunto.

ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, … . }

Números Inteiros

Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:

ℤ = {… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … . }Subconjuntos do conjunto :

1)ℤ∗ = … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … . −𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜.

2)ℤ+ =0, 1, 2, 3, … . −𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜−𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

3)ℤ− =… ,−3,−2,−1 −𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 −𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

Números Racionais

Chama-se de número racional a todo número que pode ser ex-presso na forma 𝑎

𝑏 , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0

Assim, os números 5 = 51 𝑒 − 0,33333 … . (= − 1

3) são dois exemplos de números racionais.

Números Irracionais

Identificação de números irracionais

- Todas as dízimas periódicas são números racionais.- Todos os números inteiros são racionais.- Todas as frações ordinárias são números racionais.- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.- Todas as raízes inexatas são números irracionais.- A soma de um número racional com um número irracional é

sempre um número irracional.- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número

racional.-Os números irracionais não podem ser expressos na forma ,

com a e b inteiros e b≠0.



Exemplo: √5 - √5 = 0 e 0 é um número racional.- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número

racional.

Exemplo: √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional.- O produto de dois números irracionais, pode ser um número

racional.

Exemplo: √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional.

Exemplo: radicais( √2,√3) a raiz quadrada de um número natu-ral, se não inteira, é irracional.

Números ReaisA reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racio-

nais é o conjunto dos números reais.

Exercícios

1) (FCC – 2012) – Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar

(A) 18 km.(B) 20 km.(C) 24 km.(D) 26 km.

2)(Pref. Presidente Olegário-Agente Administrativo 2011) O combustível usado em automóveis numa certa cidade é composto de 3/5 de gasolina e 2/5 de álcool. Se o preço do litro de álcool é 3/4 do preço do litro de gasolina e este custa R$3,00 cada litro, o preço do litro de combustível é?

a) R$ 3,20b) R$ 2,58c) R$ 2,70d) R$ 3,28

3) (Pref. Itabaiana-PB 2010) Resolvendo a operação 3(1/2) + 5/3 – 1/8 se obtém como resultado um número real :

A) menor que 3,041. B) maior que 3,0417 C) entre 3,041 e 3,04167. D) entre 3,41 e 3,4167. E) menor que 3,0406.

4) O valor de (1/2) + (1/3) + (1/6) é:a) 1/11. b) 3/11. c) 5/11. d) 1.

Respostas1)CTotal do percurso:120

Corrida:1

10𝑥120 = 12

Bicicleta:7

10𝑥120 = 84

Corrida+bicicleta=12+84=96Nado=1200-96=24km

2)CPara achar o preço do álcool: 3

4 𝑥3 =94

O preço do álcool no combustível:94𝑥

25

=1820

=9

10

Gasolina: 35𝑥3 =

95

Portanto o preço do combustível é: 95

+9

10=

18 + 910

=2710

= 2,7

3)C

32 +

53 −

18

Tirando o m.m.c:24

3624 +

4024 −

324 =

7324 = 3,04166 …

4)D

12

+13 +

16 =

3 + 2 + 16 =

66 = 1

2. NÚMEROS NATURAIS: MÚLTIPLOS, DIVISORES, DIVISIBILIDADE E RESTOS

Múltiplos e Divisores

Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o pri-meiro pelo segundo, o resto é zero.

Exemplo

10 ÷ 2 = 512 ÷ 3 = 4

O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é in-finito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais.

M(3)={0,3,6,9,12,...}

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15.

D(12)={1,2,3,4,6,12}D(15)={1,3,5,15}



Observações:

- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.- Todo número natural é múltiplo de 1.- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múl-

tiplos.- O zero é múltiplo de qualquer número natural.

Divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras co-nhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.


Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.


Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.


Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algaris-mos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.


Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:8x2=1616592-16=16576

Repete-se o processo com este último número.6x2=121657-12=1645

Repete-se o processo com este último número.5x2=10164-10=154

Repete-se o processo com este último número.4x2=815-8=7A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente

também é divisível por 7.


Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divi-sível por 8.


Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.


Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).


Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.



Exemplos:

a) 1º 3º 5º → Algarismos de posição ímpar (Soma dos alga-rismos de posição ímpar: 4 + 8 + 3 = 15.)

4 3 8 1 3 2º 4º → Algarismos de posição par (Soma dos algarismos

de posição par:3 + 1 = 4)15 – 4 = 11 → diferença divisível por 11. Logo 43813 é divi-

sível por 11.


Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, re-sultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisi-bilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.2x4=81656+8=1664Repete-se o processo com este último número.4x4=16166+16=182Repete-se o processo com este último número.2x4=818+8=26Como a última soma é divisível por 13, então o número dado

inicialmente também é divisível por 13.

Restos das divisõesNa aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de

um número qualquer por outro, cujo caráter de divisibilidade co-nhecemos, será o mesmo resto encontrado na aplicação do caráter pelo divisor considerado.

Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11?

Solução:Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 417 – 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.

Teoria dos restos

Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número.

Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4?

Solução:Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3

na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3.

Proposição2. O resto da divisão de um produto por um núme-ro é o mesmo que o da divisão do produto dos restos dos fatores por esse número.

Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9?

Solução:Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto

6 na divisão por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6.

Exercícios

1) Qual é o menor número com dois dígitos que somando a 12345 o tornará um número divisível por 9?

2) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5?

3) Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é o maior possível. Então o dividendo é:

a) 151b) 165c) 175d) 179e) 181

4) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9?

5) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?

Respostas

1) Somando os algarismos:1+2+3+4+5=15 dividido por 9 dá resto 6

Devemos encontrar o menor múltiplo de 9 com dois dígitos, que ao ser subtraído de 6, continue com 2 algarismos.

Esse número é o 18-6=12Então o menor número para ser somado é o 12.Tirando a prova:12345+12=123571+2+3+5+7=18:9=2

2) Sabemos que se a um número é divisível por n, somar-mos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.

3) Alternativa D

O divisor equivale a 15 e o quociente a 11 e o resto o maior possível, ou seja, 14.

Portanto, 11.15+14=179



4) Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível também por 45.

O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número di-visível por 45.

61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17. Logo: Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja

divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9.

5) 25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.

Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número di-visível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 – 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.

Assim sendo:Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível

ao mesmo tempo por 3 e por 7.

3. M.D.C. E M.M.C

Máximo Divisor Comum

O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números.

Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos se-guir as etapas:

• Decompor o número em fatores primos• Tomar o fatores comuns com o menor expoente• Multiplicar os fatores entre si.

Exemplo:

15 = 3 × 524 = 2³ × 3

O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.m.d.c (15,24) = 3Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.

Para calcular devemos seguir as etapas:• Decompor os números em fatores primos• Tomar os fatores comuns e não-comuns com o maior ex-

poente• Multiplicar os fatores entre si

Exemplo:Assim, o mmc

Exercícios

1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de ven-dedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

2) (PM AC 2012 - Funcab) Sendo D o Maior Divisor Co-mum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Co-mum entre eles, determine o valor de M - 250.D.

A) 8050B) 8750C) 16000D) 16835E) 16765

3) (Funcab -2012). Determine o MDC (Maior Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), nesta ordem, dos números 60, 70 e 240.

A) 10 e 210B) 30 e 210C) 10 e 1680D) 15 e 1680E) 30 e 5040 4) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manu-

tenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máqui-nas receberão manutenção no mesmo dia.

5) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O co-meta A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 2006, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?

Respostas

1) Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.



Decomposição em fatores primos: EquipesO número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada

uma.

48 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 336 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 330 = 2 ∗ 3 ∗ 5𝑀𝐷𝐶 (30, 36, 48) = 2 ∗ 3 = 6

Determinando o número total de equipes:

48 + 36 + 30 = 114 → 114: 6 = 19 Equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

2) Alternativa A

Daí,16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050

3) alternativa C

4) Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três

máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

5)

2006+96=2102

4. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está presente em diversas situações matemáticas.

Frações EquivalentesPara encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numera-

dor e o denominador da fração ½ por um mesmo número natural diferente de zero.

Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2

Simplificando Frações

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. As-sim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza.

A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fra-ção 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos

obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½



Tipos de Frações

a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.

Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador

Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador

Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

Operações com frações

Adição e Subtração

A adição ou subtração de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que reali-zemos a soma ou a diferença de todos os numeradores e mantenha-mos este denominador comum.

13−

23 +

53 =

43

Vejamos agora este outro exemplo:

23

+12 −

16

Nesse caso, devemos achar o MMC.

O MMC(2,3,6)=6, então:

4 + 3− 16 =

66

= 1

Multiplicação

basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazen-do-se o mesmo em relação aos seus denominadores.

12 ∙

34 =

38

Divisão

A divisão de frações resume-se a inversão das frações diviso-ras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizan-do-se então a multiplicação das novas frações.

23 :

45

Para realizar essa divisão, basta inverter:

23 ∙

54 =

1012 =

56

Exercícios

1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capa-cidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório?

2) Das figurinhas que eu possuía, 3/7 eu perdi e 2/5 foram da-das ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão?

3) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mes-mo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

4) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

5) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu?



Respostas

1)13−

34

.13

=1

12

200001

12= 240000 𝑙

Temos que dividir por 1/12 porque se multiplicarmos, obte-mos o que restava.

2)

37 +

25 =

2935

1 −2935 =

635

72 ∙356 = 420

420 ∙25 = 168

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmão.

3) 121

+1

24 =5

56

Em uma hora eles conseguem assentar 5/56

1 ∙565 = 11,2

1 hora-------60 minutos0,2----------xX=12 minutosEles assentam juntos em 11 horas e 12 minutos

4)

1−13−

14 =

512

125 ∙125 = 300

O brinquedo custa R$300,00

5) 75:58 :

37

75 ∙85 ∙

73 = 280

O valor da multa é R$280,00

5. NÚMEROS DECIMAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional qp

, tal que p não seja múltiplo

de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

52

= 0,4

41

= 0,25

435

= 8,75

50153

= 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

31

= 0,333...

221

= 0,04545...

66167

= 2,53030...

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333

Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... 9x = 3 a x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 93

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717... .Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 x = 512/99Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração

99512



Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Com-postas

A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um ante período que não se repete, no caso o número 1, e um pe-ríodo formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um ante período.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dízimas Periódicas Simples0,111... período igual a 10,252525... período igual a 250,010101... período igual a 010,123123123... período igual a 123

Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas0,2333... ante período igual a 2 e período igual a 30,45222... ante período igual a 45 e período igual a 20,171353535... ante período igual a 171 e período igual a 350,32101230123... ante período igual a 32 e período igual

a 0123

Exercícios

1) A dízima periódica simples 0,024024… pode ser escrita como:

a) 24/99 b) 24/999 c) 240/299 d) 24/1000 e) 240/1000

2) Resolvendo a expressão

3) Resolva a expressão abaixo, apresentando a resposta na forma mais simples.

4) Tem-se que

5) Dada a dízima x=0,222..., então o valor da expressão

a)67/103b)65/103c)67/105d)65/104e)67/104

Respostas

1) Alternativa BX=0,024024...1000x=24,024024...Subtraindo:999x=24X=24/999



2) Alternativa AA dizima 0,333...é igual a: X=0,333...10x=3,333...9x=3X=1/30,3=3/10

Portanto

3)

4) Alternativa A

Y=0,242424...100x=24,242424...99x=24X=24/99

5) Alternativa AX=0,222...10x=2,222...9x=2X=2/9



SISTEMAS DE UNIDADE, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E BASES NÃO

DECIMAIS

Sistemas de unidade

Para a Física como ciência da Natureza, é fundamental a medição das grandezas utilizadas para descrever os aspectos do Universo que os físicos aceitam como verdadeiros.

O processo de medida de uma grandeza física qualquer está associado à ideia de comparação. Neste sentido, medir uma grandeza é estabelecer o seu valor como múltiplo de certa unidade. Por exemplo, quando dizemos que o comprimento de uma das dimensões de uma mesa é 2 m, estamos dizendo que esse comprimento equivale a duas vezes o comprimento correspondente à unidade chamada metro.

O nome da unidade é sempre escrito em letras minúsculas. Os símbolos das unidades são entes matemáticos e não abreviaturas. Por isso, eles não devem ser seguidos de ponto (exceto quando aparecem nos finais de frases) nem da letra s para formar o plural.

A tabela a seguir mostra as unidades de comprimento.

Unidades de Comprimentokm hm dam m dm cm mm

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):Ano-luz = 9,5 · 1012 km

Massa

A subunidade grama é do gênero masculino. Por isso, ao falar e escrever o quilograma ou seus múltiplos ou submúltiplos, devemos fa-zer a concordância correta. Por exemplo, escrevemos duzentos e um gramas ou trezentos e vinte e dois miligramas. Além disso, no símbolo do quilograma (kg), a letra k é minúscula.

Unidades de Massakg hg dag g dg cg mg

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

SuperfícieA medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).

Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes maior que a uni-dade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade até a desejada.

Unidades de Áreakm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

QuilômetroQuadrado

HectômetroQuadrado

DecâmetroQuadrado

MetroQuadrado

DecímetroQuadrado

CentímetroQuadrado

MilímetroQuadrado

1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2



Volume

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade.

Unidades de Volumekm3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

QuilômetroCúbico

HectômetroCúbico

DecâmetroCúbico

MetroCúbico

DecímetroCúbico

CentímetroCúbico

MilímetroCúbico

1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3

Capacidade

Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos.

Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³1L=1dm³

Unidades de Capacidadekl hl dal l dl cl ml

Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Notação Científica

A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.

Mantissa e Ordem de Grandeza

Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:

Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a or-dem de grandeza, é um número inteiro.

Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número.Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto

negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 como compensação.

Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:

Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa.



Bases não-decimais

Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, mas o mais comum e que é frequentemen-te utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal.

Neste sistema os números são representados por um agrupa-mento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.

No sistema decimal contamos com dez símbolos distin-tos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Exemplo:Podemos representar os números da seguinte maneira1300=1 milhar + 3 centenas=1.10³+3.10²45=4 dezenas+5 unidades=4.10+5.10’No entanto, ele não é a única base válida ou usada.Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binário ).Qualquer sistema de numeração pode ser representado pela

seguinte expressão geral:

…

Na expressão acima, d é o número do sistema (0,1,2,3...) e b é a base do sistema.

Tempo

A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).É usual a medição do tempo em várias unidades.

Exemplo: 4 dias 13 horas 28 minutos 17 segundos

Mudanças de unidades

Deve-se saber:1 dia=24horas1hora=60minutos1 minuto=60segundos

No exemplo dado, vamos transformar para segundos.A maneira mais simples de resolver é fazendo regra de três:

1 dia------24horas4 dias-----xX=24x4=96horas

96+13=109horas

1hora---60min109------xX=109x60=6540min

6540+28=6568 minutos

1min-----60s6568----xX=6568x60=394080s

Portanto, 394080+17=394097s

Conversão sistemas não-decimais para decimais

Como vimos anteriormente, podemos expressar um mesmo número em diferentes bases.

O número 9 na base 10 expressa-se como 1001 na base 2.Isto é:

ExemploDa mesma forma, o numeral 2345 na base dez, na base sete ou

base seis representa números distintos, mas as regras para realizar as operações não mudam com a mudança de base.

Exercícios

1) Em uma estrada havia 9km de congestionamento. Quan-tos carros estavam em uma única fila se cada carro ocupa um espa-ço de 4,5m em média?

2) Quantos litros cabem em uma caixa d’água de 0,5m³?

3) Uma tonelada de carne moída será distribuída em ban-dejas de isopor que comportam 320g cada uma. Quantas bandejas serão necessárias?

4) Um caminhão pipa carrega 3,5 kl de água. Quantos ga-lões de 5 litros são necessários para engarrafar toda a água?

5) No tanque de um automóvel cabe 0,57hl de combustível. Se o litro custa R$2,00, quanto se gastará para encher do tanque?

Respostas

1) 9km-9000 m

2) 1L-1dm³0,5m³=500dm³Portanto, temos 500 l.

3) 1t-1000kg-1000000gPortanto,



4) 3,5kl-3500L

5) 0,57 hl-57 l

Gastará R$ 76,00

RAZÕES E PROPORÇÕES

Razão

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:

Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

Propriedade fundamental das proporçõesNuma proporção:

Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A x D = B x C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 este-ja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

Exercícios

1) Durante um torneio uma equipe de futebol obteve o se-guinte resultado: 40 vitórias, 24 empates e 16 derrotas. Qual a ra-zão do número de vitórias para o número de partidas disputadas?

2) Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2013, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

3) Um reservatório com capacidade para 8m³ de água, está com 2000L de água. Qual a razão da quantidade de água que está no reservatório para a capacidade total do reservatório? (Lembre--se que 1dm³ = 1L).

4) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b?

5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

Respostas

1) número de partidas:40+24+16=80

2) número de partidas:26+15+11=52Razão:26/52=1/2

3)8m³=8000dm³2000/8000=1/4

4)



5)a=Pedro b=Paulo

a+b=55

b=30a=25Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos

ESCALAS

Escalas

As Escalas representam, de forma gráfica, um mapa e a reali-dade do espaço geográfico real, com isso os mapas podem utilizar duas escalas, numérica ou gráfica.

Usamos escala quando queremos representar um esboço grá-fico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas, maquetes, etc.

- Escala numérica: É representada em forma de fração 1/10.000 ou razão 1:10.000, isso significa que o valor do numerador é o do mapa e o denominador é o valor referente ao espaço real.

Ex: 1:10.000, cada 1 cm no papel (mapa) corresponde a 10.000 cm no espaço real.

- Escala Gráfica: Representa de forma gráfica a escala numé-rica.

Cada unidade da escala, ou seja, 1 cm representa 50 km no espaço real.

Exercícios

1) Um mapa está na escala 1:6000000. Se duas localidades estão representadas no mapa à distância de 14,2 cm, qual é então a distância real entre as mesmas em quilômetros?

a)8,52 b)85,2 c)852 d)8250 e)85200

2) Um terreno tem 100 metros de comprimento e está re-presentado numa planta por 10 centímetros. Então sua escala é de:

a)1:1000b)1:2000c)1:100d)1:1500e)1:10000

3) Em um mapa desenhado na escala 1: 50.000, a distância entre duas cidades é de 4 cm. Se o mesmo mapa for desenhado na escala 1: 1.250.000, a distância entre essas cidades será de:

a)0,8cm b)0,16cm c)2cm d)12cm e)15cm

4) Num mapa, cuja escala é 1:3.000.000, a estrada Belém--Brasília tem 67 cm. Calcular, em km, a distância real:

a)2100 b)2010 c)2280 d)1910 e)2233

5) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem um comprimento igual a 4m?

Respostas

1) Alternativa C1--------600000014,2----xX=85200000cm=852km

2) Alternativa A100m=10000cm10:100001:1000

3) Alternativa B1-----500004-----xX=200000cm

1----1250000x----200000x=0,16

4) Alternativa B1----300000067---xX=201000000cm=2010km

5) 1----100x----400x=4cm



DIVISÃO PROPORCIONAL

Algumas situações financeiras, ou somente casos envolvendo divisões, são satisfatoriamente resolvidas utilizando a divisão pro-porcional. Essa divisão é aplicada em situações de partilha de he-ranças, formulação de inventários, cálculo de salário proporcional aos dias trabalhados, entre outras inúmeras situações.

Diretamente Proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se mon-tar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

A solução segue das propriedades das proporções:

Exemplo Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos

entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. Caso ganhem o prêmio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de dividirem o prêmio de forma diretamente pro-porcional?

Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00.

Inversamente Proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inver-samente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assu-me que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

cuja solução segue das propriedades das proporções:

ExemploPara decompor o número 220 em três partes A, B e C inversa-

mente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

Exercícios

1) Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referen-tes ao pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia dire-tamente proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um?

2) Dois ambulantes obtiveram R$ 1.560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais a 5 e 7, respectivamente. Quanto irá receber cada um?

3) Os três jogadores mais disciplinados de um campeo-nato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores comete-ram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles respectivamente?

4) Um pai distribuiu 546 bolas de gude aos seus 2 filhos em partes diretamente proporcionais à média final na disciplina de matemática e em partes inversamente proporcionais ao nú-mero de faltas em todo o ano letivo. O primeiro filho teve média final 9 e faltou 8 vezes, enquanto que o segundo filho teve média final 8 e faltou 3 vezes. Quantas bolas de gude eles ganharam respectivamente?

5) Divida o número 124 em parcelas diretamente proporcio-nais a 11, 7 e 13.



Respostas

1) P1=2kP2=3kP3=5kP1+p2+p3=12002k+3k+5k=1200k=120p1=120.2=240p2=120.3=360p3=120.5=600Quem trabalhou 2 dias receberá R$240,003 dias-R$360,005 dias- R$600,00

2) P1=5kP2=7kP1+p2=15605k+7k=1560k=130p1=130.5=650p2=130.7=910Os ambulantes irão receber R$650,00 e R$910,00, respecti-

vamente.

3) P1=1/5kP2=1/7kP3=1/11kP1+p2+p3=3340

k=7700p1=7700.1/5=1540p2=7700.1/7=1100p3=7700.1/11=700A premiação será respectivamente R$ 1.540,00, R$ 1.100,00

e R$ 700,00.

4) P1=9/8kP2=8/3kP1+p2=546

k=144p1=9/8.144=162p2=8/3.144=384O primeiro filho ganhou 162 bolas de gude e o segundo ga-

nhou 384.

5) P1=11kP2=7kP3=13kP1+p2+p3=12411k+7k+13k=124K=4P1=11.4=44P2=7.4=28P3=13.4=52As parcelas procuradas são respectivamente 44, 28 e 52.

REGRA DE TRÊS SIMPLES OU COMPOSTA

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver pro-blemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamen-te proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h,

faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:Velocidade----------tempo400↓-----------------3↑480↓---------------- x↑

Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os nú-meros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna vai para cima

Velocidade----------tempo400↓-----------------X↓480↓---------------- 3↓



Regra de três composta

Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↑5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:Aumentando o número de horas de trabalho, podemos dimi-

nuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↓5↑------------------x↓----------------------125↓

Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:

Horas --------caminhões-----------volume5----------------20----------------------1608------------------x----------------------125

, onde os temos da última fração foram invertidos

Simplificando fica:

Logo, serão necessários 25 caminhões

Exercícios

1)Em uma hora, 4 máquinas produzem 1200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 máquinas produzirão quantos parafusos?

a) 800b) 900c) 1000d) 1100e) 1600

2) Uma torneira despeja 18 litros de água em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejará:

a) 300b) 270c) 240d) 220e) 200

3) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o nú-mero de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?

4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m3 de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?

5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?

Respostas

1)bMáquinas----------parafusos4-----------------12003---------------- xX=900

2)blitros----------minutos18-----------------9x---------------- 135X=270l

3)12gotas↑-----6horas↓ 18gotas↑-----x↓Quanto mais gotas menos horas

12↑ -----x↑18-------6↑X=4horas

4)P=pessoas V=volume D=dias

V P D12-----2-----30x-----3-------7



Ao aumentar o número de pessoas, aumenta o volumeDiminuindo o número de dias, diminui o volume.Portanto, são grandezas diretamente proporcionais

X=4,2Com 3 integrantes, a família irá consumir 4,2m³.

5) T=trabalhadoresC=caixasD=descarga

↑ T ↓C D↓ 10---210----3 25----350---x

↓T ↓C D↓ 25----210----3 10----350---x

X=2As caixas podem ser descarregadas em 2 horas.

PORCENTAGEM

Porcentagem

Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu sím-bolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de cal-cular, etc. A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 sim-ples. Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão? Equacionando e montando a regra de 3 temos:

Logo, a comissão será de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição:

Logo 3% de R$ 3.500,00 seriam

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Acréscimo

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos:

DescontoNo caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação

será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma de-cimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos:

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuí-zo. Assim, podemos escrever:

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:



Exemplo:O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O

comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00e) R$ 125,00

Resolução Ganho = lucro

Resposta: D

Exercícios

1) Ao comprar um produto que custava R$1500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

2) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

3) Ana passou a ganhar R$550,00 porque teve um aumento de 10%. Qual era seu salário antigo?

4) (PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço normal de venda desse produto é

(A) R$ 59,40.(B) R$ 58,00.(C) R$ 60,00.(D) R$ 59,00.(E) R$ 58,40.

5) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) – Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando 45% da área total do terre-no para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca e laboratórios. Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer. Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m², de

(A) 3 250.(B) 3 000.(C) 2 750.(D) 2 450.(E) 2 250.

Respostas

1)

R$1500,00-R$180,00=R$1320,00O valor do desconto é de R$180,00 e o valor do produto é

R$1320,00

2) Como é um desconto:1-0,05=0,95

O preço do guarda roupa sem desconto é R$2320,00O desconto obtido é:R$2320,00-R$1972,00=R$348,002320------100%348--------xX=15%O desconto à vista seria de 15%

3) Como é um acréscimo de 10 %:O fator de multiplicação é 1,1.Então dividindo o salário reajustado:

4) Alternativa C1-0,1=0,9

O preço de venda do produto é R$60,00

5) Alternativa E45%+15%=60%900m²=40%X----100%900—40X=2250

TEORIA DOS CONJUNTOS: CONJUNTOS NUMÉRICOS; RELAÇÕES,

Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos con-juntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.

Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra

maiúscula.



Pode ser definido de duas maneiras: • Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3,

5, 7, 9}• Simbolicamente: B={x ∈ N|x<8}, enumerando esses

elementos temos:B={0,1,2,3,4,5,6,7}

• Há também um conjunto que não contém elemento e é representado da seguinte forma: S=∅ ou S={ }.

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem tam-bém a outro conjunto B, dizemos que:

• A é subconjunto de B• Ou A é parte de B• A está contido em B escrevemos:• A⊂B• Se existir pelo menos um elemento de A que não perten-

ce a B: A⊄B

Igualdade

Propriedades básicas da igualdade• Para todos os conjuntos A, B e C,para todos os objetos x

∈ U, temos que:(1) A = A.(2) Se A = B, então B = A.(3) Se A = B e B = C, então A = C.(4) Se A = B e x ∈ A, então x∈ B.Se A = B e A ∈ C, então B ∈ C.

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exata-mente os mesmos elementos. Em símbolo:

Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos sa-ber apenas quais são os elementos.

Não importa ordem:A={1,2,3} e B={2,1,3}Não importa se há repetição:A={1,2,2,3} e B={1,2,3}

Classificação

Definição Chama-se cardinal de um conjunto, e representa-se por #, ao

número de elementos que ele possui. Exemplo Por exemplo, se A ={45,65,85,95} então #A = 4. Definições Dois conjuntos dizem-se equipotentes se têm o mesmo car-

dinal. Um conjunto diz-se a) infinito quando não é possível enumerar todos os seus ele-

mentos b) finito quando é possível enumerar todos os seus elementos c) singular quando é formado por um único elemento d) vazio quando não tem elementos

Exemplos N é um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) é

infinito (∞)); A = {½, 1} é um conjunto finito (#A = 2); B = {Lua} é um conjunto singular (#B = 1) { } ou ∅ é o conjunto vazio (#∅ = 0)

Pertinência

O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de per-tinência representada pelo símbolo ∈. As letras minúsculas desig-nam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:

V={a,e,i,o,u}A relação de pertinência é expressa por: a∈VA relação de não-pertinência é expressa por:b∉V, pois o ele-

mento b não pertence ao conjunto V.

Inclusão

A Relação de inclusão possui 3 propriedades:1. Propriedade reflexiva: A⊂A, isto é, um conjunto sempre é

subconjunto dele mesmo.2. Propriedade antissimétrica: se A⊂B e B⊂A, então A=B3. Propriedade transitiva: se A⊂B e B⊂C, então, A⊂C.

Operações

UniãoDados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro forma-

do pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B.

Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x∈B}Exemplo:A={1,2,3,4} e B={5,6}A∪B={1,2,3,4,5,6}

InterseçãoA interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos

elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B.

Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B}

Exemplo:A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}A∩B={d,e}

DiferençaUma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada

par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o comple-

mentar de B em relação a A. A este conjunto pertencem os elementos de A que não perten-

cem a B. A\B = {x : x∈A e x∉B}.



Exemplo:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A

menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Exercícios

1) Dados os conjuntos:A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6}

Calcular:a) A ∪ B b) A∩B c) A-B

2) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é:

a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

3) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estu-dam canto. O número de crianças desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é:

a) exatamente 16.b) no mínimo 6.c) exatamente 10.d) no máximo 6.e) exatamente 6.

4) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Português, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matérias. Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam apenas Português?b) Quantos alunos estudam apenas espanhol?c) Quantos alunos estudam Português ou Espanhol?d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?

5) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram ape-nas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois ro-mances, A e B, e 340 não leram o romance A. O número de estu-dantes desse grupo é igual a:

a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610

Respostas

1) a) A ∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}b) A∩B={4, 5}c) A-B ={1, 2, 3}

2)

Leem jornal A=56-21=35Leem jornal B=106-35=71Não leem o jornal B=66-35=31O valor de n é :35+21+71+31=158

3)

(16-x)+x+(20-x)=30-x=-6x=6

4)

P=350-90=260E=210-90=120

Nenhuma das duas: 630-470=160a)350-90=260b)210-90=120c)260+90+120=470d)630-470=160



5)

B=270-80=190Não A=340-190=150A e B=80A ou B=310-190=12O número de estudantes é :190+80+120+150=540

FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU

Função 1 grau

A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma ex-pressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti-tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordena-da x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja reali-zado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Estudo dos Sinais

Definimos função como relação entre duas grandezas repre-sentadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do do-mínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.

Função Crescente – a > 0

Função Decrescente – a < 0

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + by = 0ax + b = 0ax = –bx = –b/aPortanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau,

basta utilizar a expressão x = –b/a.



Função Quadrática

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma:

f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e

deve ser o maior termo.

Considerações

Concavidade

A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0

Relação do na função

Quando , a parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0

Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto

Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais a .

Se, a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0



Exemplo

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x Y-3 6-2 2-1 0

-1/2 -1/40 01 22 6

Exercícios

1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: 1.000 a parte fixa, e uma parte variável que corres-ponde a uma com comissão de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.

a)expressar a função que representa seu salário mensal.b) calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se

que vendeu 10.000 em produtos.

2) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Deter-mine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.

3) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário.

4) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)



5) (UFRGS) Para que a parábola da equação y=ax²+bx-1 con-tenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respecti-vamente,

(A) e

(B) e

(C) e

(D) e

(E) e

Respostas1) a)S=1000+0,18V b) S=1000+0,18*10000 = 2800.00

2) Função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros: f(x) = 0,70x + 3,50.

Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros. f(x) = 0,70x + 3,50

f(18) = 0,70 * 18 + 3,50 f(18) = 12,60 + 3,50 f(18) = 16,10

3) f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo)

f(x) = 12/100 * x + 800 f(x) = 0,12x + 800 f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800 f(450 000) = 54 000 + 800 f(450 000) = 54 800 O salário do vendedor será de R$ 54 800,00.

4) Alternativa Ca>0 pois a concavidade está para cima.c=-9 - onde corta o eixo yo eixo x é cortado em -3/2 e 3portanto:0=a(-3/2)²+b(-3/2)-90=9a+3b-9

Multiplicando a primeira equação por- 4:

Somando as duas equações9b+27=0b=-3 a=2y=2x²-3x-9

5)Alternativa B

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:

Somando:

NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Probabilidade

Considere os seguintes experimentos:-Lançamento de um dado-Lançamento de uma moedaMesmo se esses experimentos forem repetidos várias vezes,

nas mesmas condições, não poderemos prever o resultado.Um experimento cujo resultado, embora único, é imprevisí-

vel, é denominado experimento aleatório.A Teoria da Probabilidade surgiu para tentar medir a chance

de ocorrer um determinado resultado num experimento aleatório.

Espaço Amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral, que vamos indicar por E.

-lançamento de um dado: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}-lançamento de uma moeda:E={cara, coroa}Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.

Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos

Probabilidade de um evento A representa a chance de ocorrer um evento A. O valor p(A) é igual ao número de elementos de A, dividido pelo número de elementos do espaço amostral E.



Adição de probabilidades

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:

ExemploNo lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter

um número par ou menor que 5, na face superior?SoluçãoE={1,2,3,4,5,6} n(E)=6Sejam os eventos A={2,4,6} n(A)=3 B={1,2,3,4} n(B)=4

Probabilidade CondicionalÉ a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o

evento B, definido por:

Do exemplo anterior:E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6B={2,4,6} n(B)=3A={2}

ExemploCalcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um

número maior que 4.SoluçãoE={1, 2, 3, 4, 5, 6}Evento:A={5, 6}

Estatística DescritivaA estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada

para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma gran-de quantidade de dados e de métodos computacionais muito efi-cientes revigorou está área da estatística.

FrequênciasA primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher,

contar e classificar os dados pesquisados sobre uma população es-tatística ou sobre uma amostra dessa população.

Frequência AbsolutaÉ o número de vezes que a variável estatística assume um

valor.

Frequência RelativaÉ o quociente entre a frequência absoluta e o número de

elementos da amostra.Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:

Medidas de Tendência CentralMédia aritméticaMédia aritmética de um conjunto de números é o valor que se

obtém dividindo a soma dos elementos pelo número de elementos do conjunto.

Representemos a média aritmética por .A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na

pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritmé-tica para variáveis quantitativas.

Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre dife-rentes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber ten-dências.

Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:

Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, ob-teremos a média aritmética das alturas:

A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.



Média Ponderada A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adi-

ção e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chama-da média aritmética ponderada.

Exemplo

O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg.

a) Quantos homens frequentam a academia? b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso

médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o peso médio desses 10 alunos?

Solução

a) x=número de homens

100-x=número de mulheres

Portanto, 40 homens frequentam a academia

b) A=soma dos pesos dos 10 alunos mais pesados

A=1020

O peso médio é:

Mediana (Md)

Sejam os valores escritos em rol:

1. Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o nú-mero de termos da sequência que precedem é igual ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo médio da sequência ( ) em rol.

2. Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela mé-dia aritmética entre os termos e , tais que o número de termos que precedem é igual ao número de termos que sucedem , isto é, a mediana é a média aritmética entre os termos centrais da sequência ( ) em rol.

Exemplo 1:Determinar a mediana do conjunto de dados:{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}

Solução:Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7,

10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12

Resposta: Md=12.

Exemplo 2:Determinar a mediana do conjunto de dados:{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.

Solução: Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética

entre os dois termos centrais do rol. Logo:

Resposta:

Moda (Mo)

Num conjunto de números: , chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.

Observação:A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.

Exemplo 1:O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8,

isto é, Mo=8.

Exemplo 2: O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.

Exemplo 3:O conjunto de dados 1, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8 possui duas modas,

5 e 8, e é chamada bimodal.

Medidas de dispersãoDuas distribuições de frequência com medidas de tendência

central semelhantes podem apresentar características diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados medidas de dispersão.



Variância Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um conjunto de números em relação à sua média aritmética, e que é chamado

de variância. Esse índice é assim definido:Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se por , o número:

Isto é:

Exemplo 1:Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:

Jogo Número de pontos1 222 183 134 245 266 207 198 18

a) Qual a média de pontos por jogo?b) Qual a variância do conjunto de pontos?

Solução:

a) A média de pontos por jogo é:

b) A variância é:

Desvio padrãoDefiniçãoSeja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse conjunto, e indica-se por , o número:

Isto é:



Exemplo:As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:a) A estatura média desses jogadores.b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.

Solução:

a) Sendo a estatura média, temos:

b) Sendo o desvio padrão, tem-se:

Exercícios

1) No lançamento de um dado, determinar a probabiliade de se obter:a)o número 2b)um número parc) um número múltiplo de 3

2) Calcule a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes.

3) Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates. Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0 Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0 Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0

Sabendo que a média é 5 para todos, calcule a variância e o desvio padrão.

4) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, entãoA) X = Y < Z.B) Z < X = Y.C) Y < Z < X.D) Z < X < Y.E) Z < Y < X.



5) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a pro-babilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Respostas1)a) E={1, 2, 3, 4, 5, 6}A={2}, n(A)=1

b) B={2, 4, 6} n(B)=3

c) C={3,6} n(C)=2

2) n(E)=10n(A)=2

3) Competidor A

Competidor B

Competidor C

Desvio PadrãoÉ calculado extraindo a raiz quadrada da variância. Competidor A

Competidor B

Competidor C

4) Alternativa E0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,7 A moda é dada por zero, pois é o termo que mais aparece.Já a mediana devemos observar a quantidade de termos, que

neste caso é 20 e quando a quantidade é par devemos pegar os termos que estão no meio e tirar a sua média aritmética, o décimo e o décimo primeiro termo. Temos 10° termo => 2 e 11° termo => 2, logo a média entre eles é dada por (2+2)/2 = 2.

E por último a questão nos pediu a média, que neste caso é a média ponderada.

Então: Média = (0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1) / 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1

Média = 45 / 20Média = 2,25No enunciado ele nomeou cada um dos elementos sendo a

moda dada por Z, a mediana dada por Y e a média dada por X e assim:

X = 2,25Y = 2Z = 0Logo, Z < Y < X.

5) Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabi-lidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.Então:A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no

quarto mês é de 10,24%.

NOÇÕES DE LÓGICA

Lógica

A lógica está de tal modo incrustada na matemática que às vezes ambas se fundem numa só estrutura.



Proposição

É toda expressão que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como V(verdadeira) ou F(Falsa).

As proposições são indicadas por letras minúsculas: p, q, r,..Os símbolos V e F são chamados de valores lógicos.A negação de uma proposição é dada por : ~p(lê-se não p).

ConectivoÉ uma expressão que une duas proposições dando origem a

uma outra proposição.a) e(∧)

A proposição p∧q só será verdadeira se ambas forem.b) ou (∨)

Precisa apenas que uma das duas seja verdadeira.

c) se..,, então (→)

d) se, e somente se(↔)

Exercícios

1) Qual é a negação da proposição “nenhum homem é imortal”?

a) existem homens imortais.b) existem homens mortais.c) nenhuma mulher é imortal.d) todo homem é mortal.e) todo homem é imortal.

2) Na tabela abaixo, p e q são proposições

p q ?V V FV F VF V FF F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

a) p∧qb) p→qc) ~(p→q)d) p↔qe) ~(p∨q)

3) Considere as seguintes premissas: “Se todos os homens são sábios, então não há justiça para

todos.” “Se não há justiça para todos, então todos os homens são

sábios.” Para que se tenha um argumento válido, é correto concluir

que: (A) Todos os homens são sábios se, e somente se, há justiça

para todos. (B) Todos os homens são sábios se, e somente se, não há

justiça para todos. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos.

4)Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos li-vres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm cau-sa. Logo:

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos

livres. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há

atos livres. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não

há atos livres. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos

atos têm causa



5) A negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo” é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo. Respostas1) Alternativa A2) Alternativa C3) Alternativa B4) Alternativa C5) Alternativa D

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Matemática FinanceiraA Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual

sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplica-ções financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na es-tipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao va-lor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros.

Juros SimplesChama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo em-

préstimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.

Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.

A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C i n, onde:J = jurosC = capital iniciali = taxa de jurosn = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre,

ano...)Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação

devem ser referentes a um mesmo período. Ou seja, os dois devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinação de períodos.

Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JU-ROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.

Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser tra-balhada de várias maneiras para se obter cada um de seus valores, ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exemplo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso vale para qualquer combinação.

MontanteO Montante é a soma do Juros mais o Capital Inicial. Essa

fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões.M = C + JM = montanteC = capital inicialJ = jurosM=C+C.i.nM=C(1+i.n)

ExemploMaria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista.

Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:

(A) 5,0%(B) 5,9%(C) 7,5%(D) 10,0%(E) 12,5%Resposta Letra “e”.

O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a pri-meira foi à vista. Sendo assim, o valor devido seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45.

Aplicando a fórmula M = C + J:45 = 40 + JJ = 5Aplicando a outra fórmula J = C i n:5 = 40 X i X 1i = 0,125 = 12,5%

Exercícios

1) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Uma empre-sa foi multada por jogar resíduos tóxicos em um rio, cujo valor da multa foi de R$45.000,00 mais R$1.500,00 por dia até que a empresa se ajustasse às normas que regulamentam os índices de poluição. Sabendo que a empresa pagou R$79.500,00 de multa, o número de dias que levou para se ajustar às normas exigidas foi de

A) 10.B) 15.C) 23.D) 30.E) 35.

2) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Um emprésti-mo de R$ 50.000,00 será pago no prazo de 5 meses, com juros simples de 2,5% a.m. (ao mês). Nesse sentido, o valor da dívida na data do seu vencimento será:

A) R$6.250,00.B) R$16.250,00.C) R$42.650,00.D) R$56.250,00.E) R$62.250,00.



3) (FAPEC-2013)Para que um capital dobre no sistema de juros simples, à taxa

de 4% ao mês, será necessário quantos meses?a) 25 mesesb) 50 mesesc) 15 mesesd) 20 meses

4) Qual é o montante de um capital de R$1000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano pelo prazo de 2 anos?

5) Luana aplicou R$12000,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação?

Respostas

1) Alternativa CM=C+J79500=45000+JJ=34500

2) Alternativa DJ=CinJ=50000.0,025.5=6250M=C+JM=50000+6250=R$56250,00

3) Alternativa AM=C+J2C=C+JJ=CC=C.0,04.n

4) M=C(1+in)M=1000(1+0,10.2)M=1200O montante é de R$1200,00

5)

M=17022,23t=6 por ter 6 bimestres em 12 meses

APLICAÇÕES E OPERAÇÕES COM INEQUAÇÕES

Inequação

Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma ou mais incógnitas, que ao contrário da equação que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade:

>: maior <: menor≥: maior ou igual ≤: menor ou igual

O princípio resolutivo de uma inequação é o mesmo da equa-ção, onde temos que organizar os termos semelhantes em cada membro, realizando as operações indicadas. No caso das ine-quações, ao realizarmos uma multiplicação de seus elementos por –1 com o intuito de deixar a parte da incógnita positiva, inver-temos o sinal representativo da desigualdade.

Exemplo 14x + 12 > 2x – 24x – 2x > – 2 – 122x > – 14x > –14/2x > – 7

Inequação-Produto

Quando se trata de inequações-produto, teremos uma desi-gualdade que envolve o produto de duas ou mais funções. Portan-to, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada função e obter a resposta final realizando a intersecção do conjunto resposta das funções.

Exemplo

a)(-x+2)(2x-3)<0



Inequação-Quociente

Na inequação-quociente, tem-se uma desigualdade de funções fracionárias, ou ainda, de duas funções na qual uma está dividindo a outra. Diante disso, deveremos nos atentar ao domínio da função que se encontra no denominador, pois não existe divisão por zero. Com isso, a função que estiver no denominador da inequação de-verá ser diferente de zero.

O método de resolução se assemelha muito à resolução de uma inequação-produto, de modo que devemos analisar o sinal das funções e realizar a intersecção do sinal dessas funções.

Exemplo

Resolva a inequação a seguir:

x-2≠0

x≠2

Exercícios

1) De acordo com o conjunto dos números Reais, determine o valor de x na seguinte inequação produto: (2x + 1) (x + 2) ≤ 0.

2) Resolva, de acordo com os números Reais, a inequação quociente dada por

3) Dada a inequação 2(x + 3) ≤ 4(x - 1), qual o menor número inteiro de três algarismos que seja solução?

4) Resolva: 3 (x+1) – 3 ≤ x+4

5) Qual a solução da inequação:

Respostas

1)

2)

3)2x+6≤4x-4-2x≤-10x≥5Então o menor número de três algarismos é o 100.

4)3x+3-3≤x+42x≤4x≤2S{x∈R|x≤2}

x-3=0 x=3 x-5=0 x=5Para valores x<3, a inequação é positivaPara valores 3<x<5, negativox>5, positivoS{x∈R|x<3 ou x>5}



SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E

GEOMÉTRICAS

Sequências

Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento seja associado a uma posição, temos uma sequência.

O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o segundo por a2, e o n-ésimo por an.

Termo Geral de uma Sequência

Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos obter um termo qualquer da se-quência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo com sua posição.

Para a posição n(n∈N*), podemos escrever an=f(n)

Progressão Aritmética

Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.

ExemploA sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5:

ClassificaçãoAs progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.r<0, PA decrescenter>0, PA crescenter=0 PA constante

Propriedades das Progressões Aritméticas

-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Termo Geral da PAPodemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:



Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade.

Soma dos Termos de uma Progressão AritméticaConsiderando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).6 e 34 são extremos, cuja soma é 40

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

ExemploUma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo?

SoluçãoComo esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita.

Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:

Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.

Em notação matemática temos:

Assim sendo:O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.



Progressão GeométricaDenomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que

se obtém cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.

ExemploDada a sequência: (4, 8, 16)

q=2

ClassificaçãoAs classificações geométricas são classificadas assim:

- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.

- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.

- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.

- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.

- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.

Termo Geral da PGPelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é

obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.

Portanto, o termo geral é:

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Finita

Seja a PG finita de razão q e de soma dos termos Sn:

1º Caso: q=1

2º Caso: q≠1

Exemplo

Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:a) A soma dos 6 primeiros termosb) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja

29524

Solução

a)

b)

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita

1º Caso:-1<q<1

Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a série é convergente.

2º Caso:A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é

divergente

3º Caso: Também não possui soma finita, portanto divergente

Produto dos termos de uma PG finita



Exercícios

1) Considere a PA(100, 93, 86,...). Determine a posição do termo de valor 37.

2) O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá que produzir no total?

3) Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fe-chou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensal-mente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano.

4) A medida do lado, o perímetro e a área de um quadra-do estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?

5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?

Respostas

1) r=93-100=86-93=-7

37 é o décimo termo.

2)r=175(2000,2175, 2350,...)1 ano =12 meses

3) an = a1 + (n – 1)ra20 = 150 + (20 – 1)50a20 = 150 + 19 ∈50a20 = 150 + 950a20 = 1100O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00.

4)(L, 4L, L²)

Portanto, a área é 16⋅16=256

5)a1=100; r=2

O preço do automóvel é R$12700,00

OPERAÇÕES COM MATRIZES, LOGARITMOS, RAÍZES E RADICAIS,

FATORAÇÃO ALGÉBRICA

MatrizChama-se matriz do tipo m x n, m ∈N* e n∈N*, a toda

tabela de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Indica-se a matriz por uma letra maiúscula e colocar seus elemen-tos entre parênteses ou entre colchetes como, por exemplo, a ma-triz A de ordem 2x3.

Representação da matrizForma explicita (ou forma de tabela)A matriz A é representada indicando-se cada um de seus ele-

mentos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indi-ca a coluna a que pertence o elemento, isto é, o elemento da linha i e da coluna j é indicado por ij.

Assim, a matriz A2 x 3 é representada por:



Adição de Matrizes

Sejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a soma de A com B, e indica-se por A+B.

Dada as matrizes:

,portanto

Propriedades da adiçãoComutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + O = O + A = A Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt

Subtração de matrizes

Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, C=A+(-B).

Multiplicação de um número por uma matrizConsidere:

Multiplicação de matrizesO produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por

uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elemen-tos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos.

Dada as matrizes:

Matriz InversaSeja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é cha-

mada inversa de A se, e somente se,

Exemplo:Determine a matriz inversa de A.

Solução

Seja

Temos que x=3; y=2; z=1; t=1

Logo,

Logaritmo

Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a ≠1, existe um número c tal que:

A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a

Ainda com base na definição podemos estabelecer condições de existência:

Exemplo



Consequências da Definição

Propriedades

Mudança de Base

ExemploDados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:a)log 6b) log1,5c) log 16

Solução

a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781

b)

c)

Equações Logarítmicas

Utilizando as propriedades operatórias, podemos resolver equações que envolvem logaritmos. A resolução de equações lo-garítmicas se dá em três etapas básicas:

1. Estabelece-se a condição de existência2. Resolve-se a equação utilizando as propriedades opera-

tórias3. Faz-se a interseção entre a solução encontrada e as con-

dições de existência

Exemplo

Resolva a equação:

Condição de Existência

Da definição, temos:

Como x satisfaz a condição de existência:

Radicais

Radiciação é a operação inversa a potenciação

Casos

1. Se m é par, todo número real positivo tem duas raízes:

2. Se m é ímpar, cada número tem apenas uma raiz:

3. n = 1

Se n = 1, então 1 a = a

1 10 = 10, porque 101 = 10



4. n é par e a < 0

Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par).

Não existe raiz quadrada real de -36, porque não existe núme-ro real que, elevado ao quadrado, dê -36.

Não existe a raiz real de índice par de um número real nega-tivo.

Propriedade dos Radicais

1ª Propriedade:

Considere o radical 5555 133

3 3 ===

De modo geral, se ,, *NnRa ∈∈ + então:

aan n =

O radical de índice n de uma potência com expoente também igual a n dá como resultado a base daquela potência.

2ª Propriedade:

Observe: ( ) 5.35.35.35.3 21

21

21

===

De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então:

nnn baba .. =

Radical de um produto Produto dos radicais

O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando.

3ª Propriedade:

Observe: 32

3

232

32

21

21

21

==

=

De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈++ então:

n

nn

ba

ba=

Radical de um quociente Quociente dos radicais

O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indica-do é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando.

4ª Propriedade:

Observe: 3 232

128

12 8 3333 ===

Então: 12 83 23 212 8 3333 == e

De modo geral, para ,,, *NnNmRa ∈∈∈ + se p *N∈, temos:

pn pmn m aa . .=

Se p é divisor de m e n, temos:

pn pmn m aa : :=

Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do ra-dicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera.

Simplificação de Radicais

1º Caso

O índice do radical e o expoente do radicando têm fator co-mum. De acordo com a 4ª propriedade dos radicais podemos divi-dir o índice e o expoente pelo fator comum.

Exemplo

Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos:

3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa ==

2º Caso

Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do índi-ce. Considere o radical ,.n pna com ,+∈ Ra *Nn∈ e .Zp∈ Temos:

pnpn

n pn aaa ==.

.

Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radican-do cujos expoentes são múltiplos do índice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o quociente entre o expoente e o índice.

Exemplo

44282482482 9..3..3..381 abbabababa ====

3º Caso

Os expoentes dos fatores do radicando são maiores que o ín-dice, mas não múltiplos deste. Transforma-se o radicando num produto de potências de mesma base, sendo um dos expoentes múltiplos do índice;

Exemplo

ababababbaaba b2242435 ....... ===



Fatoração AlgébricaFatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma

de um produto de expressões mais simples.

Casos de fatoração • Fator Comum: Ex.: ax + bx + cx = x (a + b + c) O fator comum é x. Ex.: 12x³ - 6x²+ 3x = 3x (4x² - 2x + 1) O fator comum é 3x • Agrupamento: Ex.: ax + ay + bx + by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator

comum. (ax + ay) + (bx + by) Colocar em evidência o fator comum de cada grupo a(x + y) + b(x + y) Colocar o fator comum (x + y) em evidência (x + y) (a + b)

Este produto é a forma fatorada da expressão dada • Diferença de Dois Quadrados: a² − b² = (a + b) (a − b) • Trinômio Quadrado Perfeito: a²± 2ab + b² = (a ± b)²• Trinômio do 2o Grau: Supondo x1 e x2 raízes reais do trinômio, temos: ax² + bx + c

= a (x - x1) (x - x2), a≠0

Exercícios

1) Calcule A + B sabendo que A = e B =

2) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974?

3) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual é o Log7 70?

4) Simplifique o radical .

5) Verifique se 16b² – 24b + 25 é quadrado perfeito.

Respostas

1)A + B = + =

=

2)

3)

4)

Então:

5) Existem dois termos quadrados: 16b² e 25.

e

2 . 4b . 5 = 40b → Não corresponde ao termo restante do trinômio.

Logo, 16b² – 24b + 25 não é um trinômio de quadrado per-feito.

ANOTAÇÕES

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19. RACIOCÍNIO LÓGICO: ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO:

ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES, LÓGICA SENTENCIAL (OU

PROPOSICIONAL), PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS, TABELAS-VERDADE,

EQUIVALÊNCIAS, DIAGRAMAS LÓGICOS, LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM, PRINCÍPIOS

DE CONTAGEM E PROBABILIDADE, OPERAÇÕES COM CONJUNTOS,

RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS

E MATRICIAIS.

Estruturas Lógicas – Verdade ou Mentira

Na lógica, uma estrutura (ou estrutura de interpretação) é um objeto que dá significado semântico ou interpretação aos símbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura pos-sui diferentes configurações, seja em lógicas de primeira ordem, seja em linguagens lógicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por pro-posições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/

proposição.

A base das Estruturas Lógicas é saber o que é Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos:

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e fal-sa ao mesmo tempo.

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contra-ditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou es-tudar é fácil ou estudar é difícil).

Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os conectivos lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transfor-mam numa terceira proposição. Veja:

(~) “não”: negação(Λ) “e”: conjunção(V) “ou”: disjunção(→) “se...então”: condicional(↔) “se e somente se”: bicondicional

Temos as seguintes proposições:

O Pão é barato. O Queijo não é bom.A letra p representa a primeira proposição e a letra q, a segun-

da. Assim, temos:p: O Pão é barato. q: O Queijo não é bom.

Negação (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

~p (não p): O Pão não é barato. (É a negação lógica de p)~q (não q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de q)Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação

vira falsa.Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira ver-

dadeira.

Regrinha para o conectivo de negação (~):

P ~PV FF V

Conjunção (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (p e q) forem ver-dadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será falso. Ex.: p Λ q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom). ∧ = “e”. Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P Q PΛQV V VV F FF V FF F F

Disjunção (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”. Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P Q PVQV V VV F VF V VF F F

Condicional (símbolo →): Este conectivo dá a ideia de con-dição para que a outra proposição exista. “P” será condição su-ficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”. Regrinha para o conectivo condicional (→):



P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Bicondicional (símbolo ↔): O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas ver-dadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e neces-sária para “Q”. Exemplo: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”. Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V

QUESTÕES

01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

(A) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.(B) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(C) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.(D) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o

menino é loiro.(E) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem

olhos azuis.

02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então An-gélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, por-tanto, que:

(A) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.(B) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.(C) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.(D) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.(E) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.

03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana é pia-nista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instru-mento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

(A) piano, piano, piano.(B) violino, piano, piano.(C) violino, piano, violino.(D) violino, violino, piano.(E) piano, piano, violino.

(CESPE – TRE-RJ – Técnico Judiciário)

Texto para as questões de 04 a 07.

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movi-mentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R:

P: O vereador Vitor não participou do esquema;Q: O Prefeito Pérsio sabia do esquema;R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Munici-pal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o Prefeito Pérsio não sabia do esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o Prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguin-tes, acerca de proposições lógicas.

04. Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor partici-pou do esquema”.

( ) Certo ( ) Errado

05. Parte superior do formulárioConsiderando essa situação hipotética, julgue os itens seguin-

tes, acerca de proposições lógicas. A premissa P2 pode ser correta-mente representada por R ∨ Q.


06. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logica-mente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.


07. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens se-guintes, acerca de proposições lógicas. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esque-ma.


08. (CESPE - TRE-ES - Técnico) Entende-se por propo-sição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógi-ca bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto



de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do tercei-ro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.


(CESPE - TRT-ES – Técnico Judiciário) Proposição

Texto para as questões 09 e 10.

Proposições são frases que podem ser julgadas como verda-deiras (V) ou falsas (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são cons-truídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógi-cos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposição composta da forma A ∨ B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor ló-gico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição com-posta da forma A ∧ B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos. Além disso, A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

I- Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade.II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla

não pagou o condomínio.III- Jorge não foi ao centro da cidade.

09. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.


10. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a propo-sição. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.


Respostas

01. Resposta “C”.

Proposição EquivalenteP → Q ~Q → ~PP → Q ~P ∨ QP → Q P é suficiente para QP → Q Q é necessário para P

A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro. (~P) (∨ ) (Q)

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (~P) (→) (Q)

Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e tro-car o “ou” pelo “se então”. “A menina tem olhos azuis (M) ou o menino é loiro (L)”.

Está assim: M v LFica assim: ~M → L

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

02. Parte inferior do formulárioResposta “C”.

Anamara médica → Angélica médica. (verdadeira → verdadeira)

Anamara arquiteta → Angélica médica ∨ Andrea médica. (falsa → verdadeira ∨ verdadeira)

Andrea arquiteta → Angélica arquiteta. (falsa → falsa)Andrea médica → Anamara médica. (verdadeira → verdadeira)

Como na questão não existe uma proposição simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposição composta e supor se é verdadeira ou falsa. Nesta questão analise as proposições à medida que aparecem na questão, daí a primeira proposição sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes serão, em regra, falsas. Embora nada impeça que uma pessoa tenha mais de uma profissão, o que não deve ser levado em consideração. Importante lembrar que todas as proposições devem ter valor lógico verdadei-ro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipóteses até encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. (verdadeiro) 1. V V2. F F3. F V

- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são mé-dicas. (verdadeiro)

1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos.2. V F V - A segunda sentença deu falso e a VF apareceu,

então descarta essa hipótese.3. V V F - Aqui também ocorreu o mesmo problema da 2º

hipótese, também devemos descartá-la.

- Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. (verda-deiro)

1. F F2.3.

- Se Andrea é médica, então Anamara é médica. (verdadeiro)1. V V2. 3.



03. Resposta “B”.

Ana pianista → Beatriz violinista. (F → F)Ana violinista → Beatriz pianista. (V → V)Ana pianista → Denise violinista. (F → F)Ana violinista → Denise pianista. (V → V)Beatriz violinista → Denise pianista. (F → V)

Proposições Simples quando aparecem na questão, suponha-mos que sejam verdadeiras (V). Como na questão não há propo-sições simples, escolhemos outra proposição composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

1º Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... então).

2º Passo: Fazer o teste com as hipóteses possíveis até encon-trar a resposta.

Hipótese 1

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)V V - Como já sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a

(falso) não poderá.

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)F F - Já sabemos que Ana é pianista e Bia é violinista, então

falso nelas.

- Se Ana é pianista, Denise é violinista. (verdade)V V

- Se Ana é violinista, então Denise é pianista. (verdade)F F

- Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. (verdade)V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposição será

falsa. Então descarte essa hipótese.

Hipótese 2

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)F V

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)V F - A VF apareceu, então já podemos descartá-la, pois a

nossa proposição será falsa.

04. Resposta “Certo”.

É só aplicar a tabela verdade do “ou” (v). V v F será verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas fo-

rem falsas.

A tabela verdade do “ou”. Vejam:p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

No 2º caso, os dois não podem ser verdade ao mesmo tempo.

Disjunção exclusiva (Ou... ou)Representado pelo v, ou ainda ou.Pode aparecer assim também: p v q, mas não ambos.

Regra: Só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e outra falsa.

Hipótese 1:

P1: F → V = V (Não poderá aparecer VF).P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro).P3: F → F = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito não sabia.Chefe do gabinete foi o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

Vitor participou do esquema.V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem

ser falsos.

Hipótese 2:P1: F → F = VP2: F V = VP3: F →V = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito sabia.Chefe de gabinete não era o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

Vitor participou do esquema.F V = verdade.

05. Resposta “Errado”.Não se trata de uma Disjunção, trata-se de uma Disjunção

Exclusiva, cujo símbolo é . Também chamado de “Ou Exclusivo”. É o famoso “um ou outro mas não ambos”. Só vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposições forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposição será falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposição toda será falsa.

Tabela verdade do “Ou Exclusivo”.

p q p qV V F V F VF V VF F F

Com a frase em P2 “mas não ambos” deixa claro que as duas premissas não podem ser verdadeiras, logo não é uma Disjunção, mas sim uma Disjunção Exclusiva, onde apenas uma das premis-sas pode ser verdadeira para que P2 seja verdadeira.



06. Resposta “Certo”.Duas premissas são logicamente equivalentes quando elas

possuem a mesma tabela verdade:

P R P R P → R R → P P ∨ RV V F F V V VV F F V F F FF V V F V V VF F V V V V V

Possuem a mesma tabela verdade, logo são equivalentes.

Representando simbolicamente as equivalências, temos o se-guinte:

(P → R) = (P ∨ R) = (R → P)

As proposições dadas na questão:P = O vereador Vitor não participou do esquema.R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Premissa dada na questão: P3 = Se o vereador Vitor não par-ticipou do esquema, então o chefe do gabinete não foi o mentor do esquema. Em linguagem simbólica, a premissa P3 fica assim: (P → R).

A questão quer saber se (P → R) é logicamente equivalente a proposição: “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”, que pode ser represen-tada da seguinte forma: (P ∨ R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lógica: (P → R) = (P ∨ R). Negamos a primeira sen-tença, mudamos o conectivo “→” para “∨”, e depois mantemos a segunda sentença do mesmo jeito. Assim sendo, a questão está correta. As duas sentenças são “logicamente equivalentes”.

07. Resposta “Errado”.A questão quer saber se o argumento “o Prefeito Pérsio não

sabia do esquema” é um argumento válido. Quando o argumento é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a conclusão falsa. Quando o argumento não é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Pra resolver essas questões de validade de argumento é melhor começar de for-ma contrária ao comando da questão. Como a questão quer saber se o argumento é válido, vamos partir do princípio (hipótese) que é inválido. Fica assim:

P1: P → ~Q verdadeP2: R (ou exclusivo) Q verdadeP3: P → ~R verdadeConclusão: O prefeito Pérsio não sabia do esquema. falso

Se é falso que o Prefeito Pérsio não sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Então, pode-se deduzir que as proposições ~Q e Q são, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda pre-missa: Se Q é verdadeira, R será obrigatoriamente falsa, pois na disjunção exclusiva só vai ser verdade quando apenas um dos ar-gumentos for verdadeiro. E se R é falso, significa dizer que ~R é verdadeiro. Fazendo as substituições:

P1: P → ~Q VerdadeF → F V

Por que P é falso? Na condicional só vai ser falso se a pri-meira for verdadeira e a segunda for falsa. Como “sabemos” que a premissa toda é verdadeira e que ~Q é falso, P só pode assumir valor F.

P2: R (ou exclusivo) Q VerdadeF (ou exclusivo) V V

Lembrando que na disjunção exclusiva, só vai ser verdade quando uma das proposições forem verdadeiras. Como sei que Q é verdadeiro, R só pode ser falso.

P3: P → ~R VerdadeF → V V

Se deduz que R é falso, logo ~R é verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo não válido (premissas verdadeiras e conclusão falsa). Significa dizer que a questão está errada. Não é correto inferir que o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.


Princípio da Não Contradição = Uma preposição será V ou F não podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Represen-tação: (P ∧ P). Exemplo: Não (“a terra é redonda” e “a terra não é redonda”).

Princípio do Terceiro Excluído = Uma preposição será V ou F, não podendo assumir um 3o valor lógico. Representação: P ∨ P. Exemplo: Ou este homem é José ou não é José.

Uma proposição só poderá ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poderá ser as duas coisas ao mesmo tempo.

09. Resposta “Errado”.Da proposição III “Jorge não foi ao centro da cidade” que é

verdadeira e a questão diz “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” a segunda parte é falsa como o conectivo é “e” as duas teriam que ser verdadei-ras (o que não acontece). Vamos analisar cada proposição de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lógico (V), daí tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III é (V), portanto vamos atribuir o valor lógico (V) a proposição “e” e o valor lógico (F) a proposição “B”, agora vamos separar:

A: Tânia estava no escritório (V)B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

Diante das análises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lógico (V), mas que a proposição “B” tem valor lógico (F), ou seja, A v (valor lógico F), para que essa premissa tenha o valor lógico (V), “A” tem que ter um valor lógico (V).

C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V)D: Carla não pagou o condomínio (V)



O enunciado fala para considerar todas as premissas com va-lor lógico (V), logo, a premissa C ∧ D para ter valor lógico (V), ambas proposições devem ter valor lógico (V).

E: Jorge não foi ao centro da cidade (V)

Diante das explicações, C ∧ B = (V) ∧ (F) = (F).

10. Resposta “Certo”.Considere que cada uma das proposições seguintes tenha va-

lor lógico V. Logo o que contraria essa verdade é falso.I- V + F = VII- V + V = VIII- V

Portanto se no item II diz que Carla não pagou o condomínio é verdadeiro, então o fato dela ter pago o condomínio é falso, pois está contradizendo o dito no item II. Os valores lógicos da segunda proposição não são deduzíveis, mas sim informados no enunciado.

II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Car-la não pagou o condomínio V e V. Portanto, se Carla não pagou o condomínio é Verdadeiro. Carla pagou o condomínio é Falso. Enunciado correto.

Argumentos

Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argu-mento. Podemos representar por:

p1p2p3...pn∴q

Exemplos:

01. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso________________________∴ Irei trabalhar

02. Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama.__________________________∴ Ele casa comigo.

03. Todos os brasileiros são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.__________________________∴ Todos os paulistas são humanos.

04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão

o bicho.Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores recebe-

rão o bicho.__________________________∴Todos os jogadores receberão o bicho.

Observação: No caso geral representamos os argumentos es-crevendo as premissas e separando por uma barra horizontal segui-da da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo:

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.

Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis

em água.

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes bási-cos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mun-do. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a par-tir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.Premissa: Lontras são peixes.Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a pre-missa, B é a conclusão.

Regras de ImplicaçãoPremissas Conclusão Inferência

A B A à BFalsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira



- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).

- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a infe-rência é inválida (linha 3).

- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Es-ses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a par-tir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comu-mente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “ob-viamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasio-nalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as pre-missas, o argumento procede passo a passo por meio do proces-so chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a par-tir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entre-tanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns invá-lidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que con-siste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”.

1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envol-

veu um evento.5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.

A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirma-do (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um Argumento

Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadei-ra ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedu-tivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os apartamentos são pequenos. (V)Todos os apartamentos são residências. (V)__________________________________∴ Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão ver-dadeira. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os pássaros são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os pássaros têm asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão fal-sa. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os cães são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premis-sas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo:

Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________∴ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento apro-fundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respec-tivamente e teremos:

Todos os A são B.Todos os C são A.________________∴ Todos os C são B.



Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o co-nhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quais-quer A, B e C, portanto, a validade é consequência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e Indutivos

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornece-rem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argu-mento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo:

Todo ser humano tem mãe.Todos os homens são humanos.__________________________∴ Todos os homens têm mãe.

O argumento será indutivo quando suas premissas não for-necerem o apoio completo para retificar as conclusões. Exemplo:

O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.______________________________∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui infor-mações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não vá-lidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Válidos

Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não vá-lidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos res-pectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos de-dutivos válidos importantes.

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo:

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.

José foi aprovado no concurso.___________________________∴ José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, então q,

..q

p∴

oup → q

qp

∴

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequen-te” (também conhecido como modus tollens). Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq ¬→¬ . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo:

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo:

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá in-flação.

Não há inflação.______________________________∴ Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, então q, p → q

oup

q¬∴¬

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo:

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:

Ou João passa ou não passa no concurso.Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante

dos colegas de trabalho._________________________∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com ver-

gonha dos colegas de trabalho.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q.

Se p então r

p ∨ q

p→r

soursentãopSe

∴.

ou



Argumentos Dedutivos Não Válidos

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evita-das quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós deno-minamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógi-ca, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados fala-ciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às ve-zes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, exa-minaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do conse-quente”. Exemplo:

Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________∴ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:

Se p, então q,

pq

∴ ou

p→ q

pq

∴

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo:

Se João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.________________________∴ João não engordará.

Observe que temos a forma:

Se p, então q,

.

.qNãopNão

∴

ou

p → q

qp¬∴¬

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo:

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todos os gatos são mortais. (V)___________________________∴ Todos os gatos são mamíferos. (V)

Este argumento tem a forma:

Todos os A são B.Todos os C são B._____________________∴ Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todas as cobras são mortais. (V)__________________________∴ Todas as cobras são mamíferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ...Pn é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).

Tautologia: Quando uma proposição composta é sem-pre verdadeira, então teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) =

( p ∧ q) ↔ (p V q) . Numa tautologia, o valor lógico da pro-posição composta P (p,q,s) = {(p ∧ q) V (p V s) V [p ∧ (q ∧ s)]} → p será sempre verdadeiro.

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma for-ma que há argumentos não válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produ-zirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os ar-gumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.



Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

Questões

01. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamar-quês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chi-nês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

02. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admi-te pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os diviso-res positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

03. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

04. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpa-do”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul:

“Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.

b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.

c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.

d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.

e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

05. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duque-sa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a

princesa.c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Parte superior do formulário

Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encon-travam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, en-tão, as seguintes declarações, todas verdadeiras:

Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou.Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei di-

zer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de

R$ 10,00.Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem

colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa.

Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atenta-mente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exa-tamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a

(A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo.



07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Parte superior do formulário

Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim,

(A) não viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) não vou morar em Passárgada e não viajo.(D) compro uma bicicleta e não viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.

08. (FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário) Parte superior do formulário

A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos huma-nos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma fa-culdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saú-de e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

(A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde.

(B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

(C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

(D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês.

(E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Parte superior do formulário

Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou na-tação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje

(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço.(B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o al-

moço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas

uma das modalidades esportivas.(E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o

almoço.

10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Parte superior do formulárioSe afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instru-

mento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acorda-do. Dessa forma, conclui-se que

(A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

Respostas

01.(P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débo-

ra fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade

que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.

Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa for-mada com o conectivo e.

Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francêsChing não fala chinês

Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas sim-ples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dina-marquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequen-te... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocor-rer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.



Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:

Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanholDébora não fala dinamarquêsIara não fala italianoAna fala alemão.

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas fo-ram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.

02. Resposta “B”.O número que não é primo é denominado número composto.

O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo.

Observe os seguintes números:1 2 22 (4)1 3 3² (9)1 5 5² (25)1 7 7² (49)1 11 11² (121)

Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

03. Resposta “B”.O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas

iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A valida-de de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:

Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)

Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argu-mento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 pa-tas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um sub-conjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se veri-fica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a con-clusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjun-to dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2)Artur gosta de Lógica (P3)

Observe que deveremos fazer as três premissas serem verda-deiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a ta-bela verdade do “ou exclusivo” abaixo:

p q p V qV V FV F VF V VF F F

Sendo as proposições:p: Lógica é fácilq: Artur não gosta de Lógicap v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)

Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é



falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verda-deira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que:

Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então.

Chamando:r: Geografia é difícil~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)p: Lógica é fácil(não p) ~p: Lógica é difícil

~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.

De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadei-ras) sabemos que:

Artur gosta de LógicaLógica é fácilGeografia é difícil

Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclu-são é verdadeira:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F)d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F)e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra

do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.

04. Alternativa “A”.Com os dados fazemos a tabela:

Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

“eu sou culpa-do”

“sim, ele (de ca-misa azul) é o cul-

pado”

“Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou

eu”

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, tam-bém, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de ca-misa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.

II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente.

III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afir-ma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a ver-dade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

05. Resposta “C”.Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do co-

nectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um exemplo:

Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (du-que sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conec-tivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:

→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente.

→ q será uma proposição simples que por estar depois do en-tão é também conhecida como consequente.

→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q.→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra,

ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra,

ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

Vamos às informações do problema:1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do

castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e sufi-ciente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encon-trar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quan-to o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.

4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição neces-sária é ser consequente no “se então”.



A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sor-riu = ~E (lê-se não E).

Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição ne-cessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).

Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jar-dim).

Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça).

Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo).

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.

06. Resposta “D”. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então po-

demos concluir que:1 - Basílio pagou;2 - Carlos pagou;3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou

os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então...

4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.

O único que escapa das afirmações é o Danton.

Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.

Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E.Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E.Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$

10,00. Restam A, D, e E.Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam

D, e E.Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar.


Parte inferior do formulário1°: separar a informação que a questão forneceu: “não vou

morar em passárgada”.2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadei-

ro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira.3°: destacando-se as informações seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou não caso.- vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta.

Logo:- vou morar em pasárgada (F)- não compro uma bicicleta (V)

- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- não caso (F)

Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta.

Outra forma:

c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em Passárgada

Temos as verdades:c ou bv ou ~cp ou ~b

Transformando em implicações:~c → b = ~b → c~v → ~c = c → v~p → ~b

Assim:~p → ~b~b → cc → v

Por transitividade:~p → c~p → v

Não morar em passárgada implica casar. Não morar em pas-sárgada implica viajar.


A declaração dizia:“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e

ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não te-nha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessaria-mente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.

1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui pla-no de saúde.

2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da de-claração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso.



Na alternativa C a banca fez a negação da primeira propo-sição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conec-tivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.

A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q

~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”)

A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem...

No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.


Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.

V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos:S V Q → PF V PN

Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos:

PF V PN → JeJe → ~Ja~Ja → ~C

Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa.

~Ja → ~C

Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa.

~Ja → ~C

Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sa-bemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira.

Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.

Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser ver-dadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individual-mente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premis-sas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

Representação lógica de todas as proposições:

S V Q → PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

PF V PN → Je F F

Je → ~Ja F F

~Ja → ~C F F

Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de fu-tebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.


Dê nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.

Montando as proposições:1° - A → I2° - I → T3° - ~T V S (ou exclusivo)

Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha UM”).

~T = VT = FI → T(F)

Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás.

Assim: I = FNovamente: A → I(F)

O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verda-deiro = As cordas não foram afinadas.

Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclu-são; última frase:



Não sonho acordado será VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cima

Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = VSe afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V

A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as con-clusões temos que:

Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade.Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não

soa bem.

Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dor-

mindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser que você nem sonhe).

(B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas.

(C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas.(D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o ins-

trumento não soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco

muito bem e não sonho acordado.

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mes-ma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na lingua-gem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absur-da. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simboliza-mos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns ho-mens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbo-lizamos por “nenhum S é P”.

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de EulerPara analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)



- Nenhum S é P (universal negativa – E)

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

- Algum S não é P (particular negativa – O)

Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

- Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão re-presentados da seguinte forma:

corresponde a “não”

∧ corresponde a “e” ∨ corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se” Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir

uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas senten-ças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infi-nitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2−=x , e outros são falsos, como .7+=x

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são represen-tadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sor-teio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que

)(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual pos-suirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:



1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero

12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui

como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atô-mica) ou composta (também denominada molecular). As proposi-ções simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se conside-rá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposi-ções simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as pro-posições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposi-ções simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.

(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.

(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposi-ções simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também cha-madas de átomos da linguagem. São representadas por letras lati-nas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América

do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluí-do, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determina-dos. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.



Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possí-veis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a se-gunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições sim-ples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se al-ternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a ter-ceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica--se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escreven-do: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escre-vendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Ater-ra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as se-guintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.

b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno

do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não

é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas

como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é im-par”, determine:

a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine

V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine

V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p

˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças aber-tas:

a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são ama-relos, logo nenhum pássaro é um girassol.

b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:

I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas in-formações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.



a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.

b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.

c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis propo-sicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadei-ras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somen-te quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.

b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos

europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso

que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).

b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).

c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.

d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.

e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país dife-rente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informa-ções:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está choven-

do e não está frio”.

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p

03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2),

determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F

b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[



06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira

08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-ver-

dade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, te-mos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a

proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficar-mos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.

c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.

d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.

d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar

as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:

a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa:

Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

AfirmaçãoNão vou à

França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos

à França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Ale-manha. Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete. Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Tabela Verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição com-posta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir va-mos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições.

ANOTAÇÕES

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Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p q P(p, q)V V ?V F ?F V ?F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r)

p q r P(p, q, r)V V V ?V V F ?V F V ?V F F ?F V V ?F V F ?F F V ?F F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição Composta do Tipo P(p1, p2, p3,…, pn): a tabela--verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

O Conectivo “não” e a negação

O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

p ~pV FF V

Exemplo:

a)p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar.

p ~pV F

b)q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5.

q ~qF V

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note que:

- A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não é careca”.

- A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”.

Número de linhas da Tabela Verdade

Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, se-gundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

PVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:



P QV VV FF VF F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas mo-leculares, tais como ⌐P, Q∨R, ou (Q∧R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R].

- “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois ca-sos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F).

Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que ex-pressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os áto-mos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como inter-pretá-los.

O Conectivo e “e” a conjunção

O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ver-dadeiras, e F em outros casos. O símbolo p ∧ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p∧ qV V VV F FF V FF F F

Exemplo:

a)p = 2 é par.q = o céu é rosa.p ∧ q = 2 é par e o céu é rosa.

p q p∧ qV F F

b)p = 9 < 6.q = 3 é par.p ∧ q: 9 < 6 e 3 é par.

p q p∧ qF F F

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ∧ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

p q p∧ qV V V



O Conectivo “ou” e a disjunção

O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-ver-dade:

p q p∨ qV V VV F VF V VF F F

Exemplo:

a)p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.

p q p∨ qV F V

b)p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par.

p q p∨ qF F F

c)p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil.

p q p∨ qV V V

d)p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100.p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100.

p q p∨ qF V V

O Conectivo “se… então…” e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q repre-senta a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Exemplo:

a)p: 7 + 2 = 9.q: 9 – 7 = 2.p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2.

p q p → qV V V

b)p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo.p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

p q p → qF V V

c)p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par. p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

p q p → qV F F

d)p = 25 é múltiplo de 2.q = 12 < 3. p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Exemplo:

a)p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar. p ↔ q = 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.



p q p ↔ qV F F

b)p = 25 é quadrado perfeito.q = 8 > 3. p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3.

p q p ↔ qV V V

c)p = 27 é par.q = 6 é primo.p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

p q p ↔ qF F V

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta

Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V VV FF VF F

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V V VV F VF V VF F F

b) Valores lógicos de ~p

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V V V FV F V FF V V VF F F V

c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)



p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V V V F FV F V F FF V V V VF F F V V

d) Valores lógicos de p ∧ q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V V V F F VV F V F F FF V V V V FF F F V V F

e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p ∧ q)

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)V V V F F V VV F V F F F VF V V V V F FF F F V V F F

QUESTÕES

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

(A) p v ~q(B) p → q c) ~p ∧ ~q(C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p)

02. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

(A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.(B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.(C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.(D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.(E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.(A) É falso que não está frio ou que está chovendo.(B) Se as ações caem aumenta o desemprego.(C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.(D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica.(E) Jorge estuda física mas não estuda química.

(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”)



04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ím-par”, determine:

(A) a contrapositiva (B) a recíproca

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine

V(p → r Λs).(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine

V(p), V(q) e V(r).(C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p

v r → q v r).

06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simpli-fique as seguintes proposições:

(A) (p v q) Λ ~p(B) p Λ (p → q) Λ (p →~q)(C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q(D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q))(E) ~p → (p v ~(p v ~q))

07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá--las e fazer novos esquemas.

(A)

(B)

08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade:

(A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r(B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s)(C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r(D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessá-

ria e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumen-tados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumenta-dos. Portanto, os impostos não serão aumentados.

09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças aber-tas:

(A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0(B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0

10. Dê a negação das seguintes proposições:(A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem es-

crever.(B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.(C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser

par é ser igual a 2.

Respostas

01.(A) “Não está frio e não está chovendo”.(B) “Está frio se e somente se não está chovendo”.(C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está cho-

vendo e não está frio”.

02.(A) ~(p v q)(B) p → q(C) ~(p v ~q)(D) ~p ∧ ~q(E) q ↔ ~p

03.(A) “Não está frio ou está chovendo”.(B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.(C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem

olhos azuis e não tem cabeloslouros”.(D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático

então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”.

(E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

04.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é pri-

mo”.(B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”.

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2),

determine V(p → r Λ s).Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes

resultados em (1) obtemos:V(p) = V(q) = V, logo,V(p → r Λ s) = F

(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r).

Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V.

(C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).

Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.



06. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p)

(B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q)↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F

(C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q

(D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q))(p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p(p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F

(E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔(p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q

07.(A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p

(B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q)↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r)

08. (A) Válido (B) Válido(C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.(D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados.Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido)

09.(A) R- {2} (B) [-2, 2[

10.(A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”.(B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”.(C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”.

Equivalências

Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p q.

Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana.2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.

Em símbolos:d: “Hoje é sábado”. (d → f)f: “Hoje é fim de semana”. (f → d)

Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações.



Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade.

p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.

Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔

O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com valor lógico V ou F. O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q, ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é sempre V, ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo:

A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:

p q ~q ~p p → q ~q → ~p (p → q) ↔ (~q → ~p)V V F F V V VV F V F F F VF V F V V V VF F V V V V V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p)

Equivalências NotáveisNome Propriedade Dual

Dupla Negação (DN) ~~p ↔ pIdempotente (IP) p V p ↔ p p ∧ p ↔ pComutativa (COM) p V q ↔ q V p p ∧ q ↔ q ∧ pAssociativa (ASS) p V (q V r) ↔ (p V q) V r p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ rDe Morgan (DM) ~(p V q) ↔ ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) ↔ ~p V ~qDistributiva (DIS) p ∧ (q V r) ↔ (p ∧ q) V (p ∧ r) p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r)Absorção (ABS) p ∧ (p V q) ↔ p p V (p ∧ q) ↔ pReescrita da Condicional (COND) p → q ↔ ~p V qReescrita da Bicondicional (BI) p ↔ q ↔ (p → q) ∧ (q → p)Elemento Neutro (EN) p V F ↔ p p ∧ V ↔ pElemento Absorvedor (EA) p V V ↔ V p ∧ F ↔ FComplementares (COMPLE) p V ~p ↔ V p ∧ ~p ↔ F

F = contradição V = tautologia

As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes (≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos: Mostraremos que (p V q) e p ∧ q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan. Solução:

(p V q) e p ∧ qp q (p V q) (p V q) p q p ∧ q (p V q) ↔ p ∧ qV V V F F F F VV F V F F V F VF V V F V F F VF F F V V V V V

Mostraremos que (p → q) e p V q são logicamente equivalentes. Solução:



(p → q) e p V qp q p p V q p → q (p → q) ↔ p V qV V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

QUESTÕES

01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:

(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r)(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r)(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t)(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r)(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q

02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:

(A) Exemplo: Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ q Para provarmos uma relação de implicação temos que de-

monstrar que a condicional p ∧ q → q é tautológica, ou seja, que a condicional p ∧ q → q ⇔ V

Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:p ∧ q → q ≡ (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional)~(p ∧ q) ∨ q ≡ (aplicando-se a Lei de Morgan)~p ∨ ~q ∨ q ≡ (aplicando-se lei complementar, ~q ∨ q é

uma tautologia)~p ∨ V ≡ (pela lei da identidade ~p ∨ V é um tautologia)V Portanto, está provado que p ∧ q ⇒ q é uma tautologia

(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p

03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tauto-logia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)

Respostas

01.(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) p → q ∧ r ⇔ ~p ∨ (q ∧ r) ⇔ (reescrita da condicional) (~p ∨ q) ∧ (~p ∨ r) ⇔ (distributiva) (p → q) ∧ (p → r) (reescrita da condicional)

(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) p → q ∨ r ⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ q ∨ r ⇔ (associativa) ~p ∨ ~p ∨ q ∨ r ⇔ (idempotente, adicionei um

~p, pois ~p ∨ ~p ⇔ ~p) (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (associativa) (p → q) ∨ (p → r) (reescrita da condicional)

(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t) (p ∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva) (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (distributiva)

(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) p ∧ q → r ⇔ ~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan) ~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa) ~p ∨ (q → r) ⇔ (reescrita da condicional) p → (q → r) (reescrita da condicional)

(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q ~(~p → ~q) ⇔ ~(~~p ∨ ~q) ⇔ (reescrita da condicional) ~(p ∨ ~q) ⇔ (dupla negação) ~p ∧ ~~q ⇔ (De Morgan) ~p ∧ q (dupla negação)

02.(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q p → p ∨ q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de

implicação equivale a uma tautologia) ~p ∨ (p ∨ q) ⇔ (condicional) ~p ∨ p ∨ q ⇔ (associativa) V ∨ q ⇔ (complementares ~p ∨ p) V (identidade)

(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (p ∨ q) ∧ ~q → p ⇔ V (devemos demonstrar que a rela-

ção de implicação equivale a uma tautologia) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) → p ⇔ (distributiva) (p ∧ ~q) ∨ F → p ⇔ (complementares) (p ∧ ~q) → p ⇔ (identidade) ~(p ∧ ~q) ∨ p ⇔ (condicional) ~p ∨ ~q ∨ p ⇔ (De Morgan) (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ (associativa) V ∨ ~q ⇔ (complementares) V (identidade)

(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q) ∧ p → q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação

de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ q → q ⇔ (condicional) (q ∧ ~p) ∨ (q ∧ q) → q ⇔ (distributiva) (q ∧ ~p) ∨ q → q ⇔ (idempotente) ~((q ∧ ~p) ∨ q) ∨ q ⇔ (condicional) (~(q ∧ ~p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) ((~q ∨ p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (distributiva) ~q ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (idempotente) (~q ∨ q) ∨ (~q ∧ p) ⇔ (associativa) V ∨ (~q ∧ p) ⇔ (complementares) V (identidade)

(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p (p → q) ∧ ~q → ~p ⇔ V (devemos demonstrar que a

relação de implicação equivale a uma tautologia)



(~p ∨ q) ∧ ~q → ~p ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~p) ∨ (~q ∧ q) → ~p ⇔ (Distributiva) (~q ∧ ~p) ∨ F → ~p ⇔ (Complementares) (~q ∧ ~p) → ~p ⇔ (Identidade) ~(~q ∧ ~p) ∨ ~p ⇔ (condicional) ~~q ∨ ~~p ∨ ~p ⇔ (De Morgan) q ∨ p ∨ ~p ⇔ (Dupla Negação) q ∨ V ⇔ (complementares) V

03. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

Ordem Proposição1 (p → q) → r ⇔2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)5 r ∨ (p ∧ ~q)

Diagramas Lógicos

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários pro-blemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elemen-tos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quan-to à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que re-presentam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.



Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leito-res de nenhum dos três jornais.

Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que con-ter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tama-nhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações es-paciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subcon-junto interseção e disjunção).

Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de ele-mentos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de dia-gramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as pos-síveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer rela-ções entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no cam-po da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respetivos dia-gramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a repre-sentação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 {3,4,5}, mas 4 ∈ {1,2,3,12}) e relações de conti-nência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ∈ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.

Os diagramas de Venn são construídos com coleções de cur-vas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas re-presenta, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagra-ma deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escre-ver uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as cur-vas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.



Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Even-tualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto uni-verso daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possí-veis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, am-pliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções pos-síveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha--se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círcu-los se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis per-nas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposi-ção. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem so-breposição).

- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem so-breposição).

- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).

- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora).

Essas configurações são representadas, respectivamente, pe-

las operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A

Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os ani-mais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das caracte-rísticas); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: AB



Diferença Simétrica de dois conjuntos: AB

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que pos-suem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: ABC

Intersecção de três conjuntos: ABC

A \ (B C)

(B C) \ A

Proposições Categóricas

- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os con-juntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a di-zer que Nenhum B é A.

ANOTAÇÕES

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Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao con-junto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B.- Algum A é B = Algum A não é não B.- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.- Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B.- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.- Nenhum A é B = Todo A é não B.- Todo A é B = Nenhum A é não B.- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-

-versa).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposi-ções categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira.Algum A não é B. É falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

Todo A é B. É falsa.Algum A é B. É falsa.Algum A não é B. É verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

A B A

1 2

B

A

B

A = B

3 4

Nenhum A é B. É falsa.Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em

3 e 4) – é indeterminada.

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

A B A

1 2

B

Todo A é B. É falsa.Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e

2 – é indeterminada).Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e

2 – é ideterminada).

QUESTÕES

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Conside-rando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessaria-mente verdadeira.



(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessaria-mente verdadeira.

(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verda-deira ou falsa.

(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessa-riamente verdadeira.

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instru-mentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmô-nica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:

(A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G;(D) algum G é A;(E) nenhum G é A;

05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao

número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não

praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

(A) 93(B) 110(C) 103(D) 99(E) 114

07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevista-das, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

(A) 220(B) 240(C) 280(D) 300(E) 340

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

(A) 1.430(B) 1.450(C) 1.500(D) 1.520(E) 1.600

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

(A) 50(B) 52(C) 59(D) 63(E) 65

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exa-tamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais.

(A) 40%(B) 45%(C) 50%(D) 60%(E) 65%

ANOTAÇÕES

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Respostas


livro

instrutivo

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de pro-blema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazer-mos o diagrama, este número vai no meio.

Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só

tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180

Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do proble-ma: 100 + 60 + 180 = 340

b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280

c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições cate-góricas:

- Alguns A são R- Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições ca-tegóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, en-tão teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R).

110



A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da ques-tão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenha-mos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas:Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os

desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verda-deira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.

Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os dese-nhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elemen-tos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima.

Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

06. Resposta “D”.

n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13

n(sóF) = n(sóV) = 13n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 –

30 = 15n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21-

15 = 6

Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.

07. Resposta “E”.

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois.

Leem somente A: 100 – 20 = 80Leem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.


Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.




Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.

Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

10. Resposta “A”.- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fica:

(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”.

Lógica de Primeira Ordem

O cálculo proposicional possui limitações com respeito a codificação de sentenças declarativas. De fato, o cálculo proposi-cional manipula de forma satisfatória componentes das sentenças como não, e, ou, se ... então, mas certos aspectos lógicos que apa-recem em linguagens naturais ou artificiais são muito mais ricos. Por exemplo, como expressar coisas do tipo: “Existe...” e “Para todo...” na lógica proposicional?

Exemplo: Considere a seguinte sentença declarativa: Todo es-tudante é mais jovem do que algum instrutor. Na lógica proposi-cional podemos identificar esta sentença com uma variável propo-sicional p. No entanto, esta codificação não reflete os detalhes da estrutura lógica desta sentença. De que trata esta sentença?

- Ser um estudante.- Ser um instrutor.- Ser mais jovem do que alguém.

Para expressar estas propriedades utilizaremos predicados. Por exemplo, podemos escrever estudante (ana) para denotar que Ana é uma estudante. Da mesma forma podemos escrever instrutor (marcos) para denotar que Marcos é um instrutor. Por fim, pode-mos escrever jovem (ana, marcos) para denotar que Ana é mais jovem do que Marcos. Nestes exemplos, estudante, instrutor e jo-vem são exemplos de predicados. Ainda precisamos codificar as noções de “todo” e “algum”. Para isto introduziremos o conceito de variável. Variáveis serão denotadas por letras latinas minúscu-las do final do alfabeto: u, v, w, x, y, z (possivelmente acrescidas de sub-índices x1, x2, ...). Variáveis devem ser pensadas como “lu-gares vazios” que podem ser preenchidos (ou instanciados) por elementos concretos, como João, Maria, etc. Utilizando variáveis podemos especificar o significado dos predicados estudante, ins-trutor e jovem de uma maneira mais formal:

- estudante (x): x é um estudante.

- instrutor (x): x é um instrutor.

- jovem (x, y): x é mais jovem do que y.

Note que o nome das variáveis não é importante. É equiva-lente a:

- estudante (x): x é um estudante.- estudante(y): y é um estudante.

Para que possamos finalmente expressar em detalhes a sen-tença apresentada no exemplo precisamos codificar o significado de Todo e algum em Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Os quantificadores e fazem este trabalho:

: significa para todo;: significa existe.

Os quantificadores e estão sempre ligados a alguma variável:x: para todo x;x: existe um x (ou existe algum x).

Agora podemos finalmente codificar a sentença: Todo estu-dante é mais jovem do que algum instrutor. Da seguinte forma:

x (estudante (x) → (y (instrutor (y) Λ jovem (x, y))))

Note que predicados diferentes podem ter um número distin-to de argumentos: os predicados estudante e instrutor admitem apenas um argumento e por isto são chamados de predicados uná-rios, enquanto que o predicado jovem admite dois argumentos, e portanto é um predicado binário. O número de argumentos de um predicado é chamado sua aridade. Assim, os predicados unários têm aridade 1, enquanto que os predicados binários têm aridade 2, etc. No cálculo de predicados são permitidos predicados com qualquer aridade finita.

Exemplo: Considere a sentença: Nem todos os pássaros po-dem voar. Escolhemos os seguintes predicados para expressar esta sentença:

- pássaro(x): x é um pássaro.- voar (x): x pode voar.

Esta sentença pode ser codificada da seguinte forma:

¬(x (pássaro (x) → voar(x)))

Exemplo: Uma outra maneira de expressar a mesma ideia da sentença anterior é dizer que: Existem alguns pássaros que não podem voar. Esta última sentença pode ser codificada da seguinte maneira:

x (pássaro (x) Λ ¬voar(x))

Posteriormente veremos que as duas codificações dadas são semanticamente equivalentes. De fato, existem transformações que convertem uma na outra.

O vocabulário da lógica de primeira ordem consiste de três conjuntos:

- Um conjunto P de símbolos de predicado;- Um conjunto F de símbolos de função;- Um conjunto C de constantes.



Onde cada símbolo de predicado e de função vem com sua aridade bem definida. Os predicados são casos especiais de fun-ção: enquanto as funções possuem contradomínio qualquer, os predicados têm contradomínio sempre igual a {V,F}. As constantes são funções de aridade 0.

Termos são definidos da seguinte forma:- Qualquer variável é um termo;- Se c F é uma função de aridade 0 então c é um termo;- Se t1, ... , tn são termos e f F é uma função de aridade n > 0

então f (t1, ... , tn) é um termo.- Nada mais é termo.

Em BNF (Backus Naur form) temos:

t :: = x | c | f (t, ... , t)

Onde x percorre o conjunto de variáveis V, c percorre os sím-bolos de função de aridade 0 de F e f percorre os elementos de aridade maior do que 0 de F.

Exemplo: Suponha que n, f e g são símbolos de função de aridade respectivamente igual a 0, 1 e 2. Então g (f (n), n) e f (g (n, f (n))) são termos, mas g(n) e f (f (n), n) não são termos por violarem as aridades dos símbolos. A escolha dos conjuntos P e F para símbolos de predicado e de função é definida a partir do que se pretende descrever.

Definimos o conjunto de fórmulas sobre o conjunto S = (F, P) indutivamente da seguinte forma:

- Se p P é um símbolo de predicado de aridade n > 0, e se t1, ... , tn são termos sobre F então p (t1, .... , tn) é uma fórmula.

- Se Φ é uma fórmula então (¬Φ) é também uma fórmula.- Se Φ e ψ são fórmulas então (Φ Λ ψ), (Φ V ψ), (Φ → ψ) e

(Φ ↔ ψ) são fórmulas.- Se Φ é uma fórmula e x é uma variável então (xΦ) e (xΦ)

também são fórmulas.- Nada mais é fórmula.

Em BNF temos:

Φ :: = p (t1, ... , tn) | (¬Φ) | (Φ Λ Φ) | (Φ V Φ) | (Φ → Φ) | (Φ ↔ ψ) | ((xΦ) | ((xΦ)

Onde p é um símbolo de predicado de aridade n > 0, ti são termos sobre F e x é uma variável.

Adotaremos a seguinte prioridade de operadores:1. ¬, , ;2. Λ, V;3. →, ↔.

Exemplo: Considere a seguinte sentença: Todo filho de meu pai é meu irmão. Podemos codificar esta fórmula de pelo menos duas formas distintas:

1. Representando a noção de “pai” como predicado: Neste caso escolhemos três predicados: filho, pai e irmão com os se-guintes significados e aridades:

- filho (x, y): x é filho de y.- pai (x, y): x é pai de y.- irmão (x, y): x é irmão de y.

Uma possível codificação para a sentença dada utilizando es-tes predicados é:

xy (pai (x, João) Λ filho (y, x) → irmão (y, João))

Dizendo que: “para todo x e todo y, se x é o pai de João e se y é um filho de x então y é um irmão de João”. Representando a noção de “pai” como função, que chamaremos de f: Neste caso, f(x) retorna o pai de x. Note que isto funciona apenas porque o pai de uma dado x é único e está sempre definido, e portanto f é real-mente uma função. Uma possível codificação para esta sentença é dada por:

x (filho (x, f(João) → irmão (y, João))

Significando que “para todo x, se x é um filho do pai de João então x é um irmão de João. Esta codificação é menos complexa que a anterior porque envolve apenas um quantificador.

Especificações formais em geral exigem um domínio de co-nhecimento. Muitas vezes este conhecimento não está explicitado no domínio. Sendo assim, um especificador pode desconsiderar restrições importantes para um modelo ou implementação. Por exemplo, as codificações dadas no exemplo anterior podem pa-recer corretas, mas e se x for igual a João? Se o domínio de rela-ções de parentesco não é um conhecimento comum o especificador pode não notar que uma pessoa não pode ser irmão dela mesma.

A abrangência de x (respectivamente, x) em xΦ (respectiva-mente, xΦ) é Φ. Uma ocorrência de uma variável ligada numa fór-mula, é uma ocorrência de uma variável x, dentro do campo de abrangência de um quantificador x ou x. Uma ocorrência de uma variável livre é uma ocorrência de uma variável x não ligada.

Exemplo: Na fórmula x (p(f(x), y) → q(x)), as duas ocorrên-cias da variável x são ligadas, enquanto a ocorrência da variável y é livre. Na fórmula x p(f(x), y) → q(x) a primeira ocorrência da variável x é ligada, no entanto a segunda é livre.

Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, definimos Φ [x/t] como sendo a fórmula obtida após substituir cada ocorrên-cia livre de x em Φ por t.

Exemplo: Considere novamente a fórmula x ((p(x) → q(x)) Λ s(x, y)), que chamaremos simplesmente de Φ. Temos que Φ [x/f(x, y)] = Φ. De fato, todas as ocorrências de x em Φ são ligadas, e portanto a substituição [x/f(x, y)] não tem nenhum efeito sobre esta fórmula.

Exemplo: Agora considere a fórmula (x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(x) V q(y)) que chamaremos simplesmente de ψ. Neste caso temos uma ocorrência livre de x e, portanto [x/f(x, y)] é igual a (x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(f(x, y)) V q(y)). As substituições podem pro-duzir efeitos colaterais indesejados: Considere o termo f(x, y) e a fórmula y (p(x, y)). Então (y (p(x, y))) [x/f(x, y)] resulta na fórmula (y (p(f(x, y), y))) se fizermos uma substituição “ingênua”. Observe



que o termo resultante possui uma semântica diferente da esperada porque a variável y do termo f(x, y) não corresponde a variável y quantificada universalmente na fórmula dada. Como resolver este problema?

Dados um termo t, uma variável x e uma fórmula Φ, dizemos que t é livre para x em Φ se nenhuma ocorrência livre de x em Φ está no escopo de (y ou y para qualquer variável y que ocorra em t.

Exemplo: Considere a fórmula s(x) Λ y (p(x) → q(y)), que pos-sui duas ocorrências livres de x. A ocorrência de x mais a esquerda poderia, por exemplo, ser substituída pelo termo f(y, y), no entanto a outra ocorrência não poderia ser substituída por este termo por-que tal substituição acarretaria captura da variável y. Quando pre-cisamos realizar uma substituição de um termo t que não está livre para uma variável x em uma fórmula Φ, o que fazemos é renomear as variáveis ligadas para evitar capturas:

Exemplo: No caso do exemplo anterior, a substituição de x por f(y, y) em s(x) Λ y (p(x) → q(y)) pode ser resolvida renomeando a variável ligada y da fórmula para algum nome novo, por exemplo : s(x) Λ (p(x) → q()). Agora a substituição pode ser realizada sem provocar captura de variáveis.

O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encon-trado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença Φ qualquer, as novas construções xΦ e xΦ - leia “para todo x, Φ” e “para algum x, Φ”, respectivamente são introduzidas. xΦ significa que Φ é verdadeiro para todo valor de x e xΦ significa que há pelo menos um x tal que Φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refina-mento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos.

A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finitos ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmen-te que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de pri-meira ordem de maneira independente (embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano. Um cálculo de predicados consiste em:

- regras de formação (definições recursivas para dar origem a fórmulas bem-formadas ou FBFs).

- regras de transformação (regras de inferência para derivar teoremas).

- axiomas.

Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fa-zem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não--lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração. Quando o conjunto dos axiomas é infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma fórmula bem-formada dada, se ela é um axioma ou não.

Deve também haver um algoritmo que possa decidir se uma aplicação dada de uma regra de inferência está correta ou não. É importante notar que o cálculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equivalentes; não há nada canônico sobre os axiomas e as regras de inferência propostos aqui, mas toda a for-malização dará origem aos mesmos teoremas da lógica (e deduzirá os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de axiomas não-lógicos).

Alfabeto

O alfabeto de 1ª ordem, Σ, tem a seguinte constituição:Σ = X ΣC ΣF ΣR ΣL ΣP, onde

X = {x, y, z, x1, x2, ..., y1, y2, ..., z1, z2, ...} é um conjunto enu-merável de variáveis;

ΣC = {a, b, c, a1, a2, ..., b1, b2, ..., c1, c2, ...} é um conjunto de símbolos chamados de constantes;

ΣF = {F1, F2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais fun-cionais;

ΣR = {R1, R2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais rela-cionais ou predicativos;

ΣL = {¬, Λ, V, →, ↔, , } é o conjunto de símbolos ditos sinais lógicos;

ΣP = {(,),,} é o conjunto de símbolos de pontuação.

As constantes, sinais funcionais e sinais predicativos consti-tuem a coleção de sinais ditos símbolos não lógicos. Há diversas variações menores listadas abaixo:

O conjunto de símbolos primitivos (operadores e quantifica-dores) varia frequentemente. Alguns símbolos primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (p ↔ q) é uma abreviatura para (p → q) ∧ (q → p). No sentido contrário, é possível incluir outros operadores como símbolos primitivos, como as constantes de verdade ⊤ para “ver-dadeiro” e o ⊥ para “falso” (estes são operadores do aridade 0). O número mínimo dos símbolos primitivos necessários é um, mas se nós nos restringirmos aos operadores listados acima, seria neces-sário três; por exemplo, o ¬, o ∧, e o ∀ bastariam.

Alguns livros mais velhos usam a notação Φ ⊃ ψ para Φ → ψ, ~Φ para ¬Φ, Φ & ψ para Φ ∧ ψ, e uma riqueza de notações para os quantificadores; por exemplo, ∀xΦ pode ser escrito como (x)Φ. A igualdade é às vezes considerada como parte da lógica de primeira ordem; Neste caso, o símbolo da igualdade será incluído no alfabeto, e comportar-se-á sintaticamente como um predicado binário. Assim a LPO será chamada de lógica de primeira ordem com igualdade. As constantes são na verdade funções de aridade 0, assim seria possível e conveniente omitir constantes e usar as funções que tenham qualquer aridade. Mas é comum usar o termo “função” somente para funções de aridade 1. Na definição acima, as relações devem ter pelo menos aridade 1. É possível permitir relações de aridade 0; estas seriam consideradas variáveis propo-sicionais.

Há muitas convenções diferentes sobre onde pôr parênteses; por exemplo, se pode escrever ∀x ou (∀x). Às vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invés dos parênteses para criar fórmulas não ambíguas. Uma convenção interessante, mas incomum, é a “notação polonesa”, onde se omite todos os parênteses, e escreve--se o ∧, ∨, e assim por diante na frente de seus argumentos. A notação polonesa é compacta e elegante, mas rara e de leitura com-plexa.



Uma observação técnica é que se houver um símbolo de fun-ção de aridade 2 que representa um par ordenado (ou símbolos de predicados de aridade 2 que representam as relações de projeção de um par ordenado) então se pode dispensar inteiramente as fun-ções ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou as proje-ções necessitam satisfazer aos axiomas naturais.

Os conjuntos das constantes, das funções, e das relações com-põem a assinatura e são geralmente considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variáveis, os operadores lógicos, e os quantificadores são geralmente considerados para pertencer à lógi-ca. Uma estrutura dá o significado semântico de cada símbolo da assinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma constante (elemento da identidade), de uma função de ari-dade 1 (inverso), de uma função de aridade 2 (produto), e de uma relação de aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelos autores que incluem a igualdade na lógica subjacente.

Regras de Formação

As regras de formação definem os termos, fórmulas, e as va-riáveis livres como segue. O conjunto dos termos é definido recur-sivamente pelas seguintes regras:

- Qualquer constante é um termo (sem variáveis livres).- Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é

ela mesma).- Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada

argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

- Cláusula de fechamento: Nada mais é um termo.

O conjunto das fórmulas bem-formadas (chamadas geralmen-te FBFs ou apenas fórmulas) é definido recursivamente pelas se-guintes regras:

- Predicados simples e complexos: se P for uma relação de ari-dade n ≥ 1 e os ai são os termos então P (a1, ..., an) é bem formada. Suas variáveis livres são as variáveis livres de quaisquer termos ai. Se a igualdade for considerada parte da lógica, então (a1 = a2) é bem formada. Tais fórmulas são ditas atômicas.

- Cláusula indutiva I: Se Φ for uma FBF, então ¬Φ é uma FBF. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ.

- Cláusula indutiva II: Se Φ e ψ são FBFs, então (ψ ∧ Φ), (ψ V Φ), (ψ → Φ), (ψ ↔ Φ) são FBFs. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ e de ψ.

- Cláusula indutiva III: Se Φ for uma FBF e x for um variável, então ∀xΦ e xΦ são FBFs, cujas variáveis livres são as variáveis livres de Φ com exceção de x. Ocorrências de x são ditas ligadas ou mudas (por oposição a livre) em ∀xΦ e xΦ.

- Cláusula de fechamento: Nada mais é uma FBF.

Na prática, se P for uma relação de aridade 2, nós escrevemos frequentemente “a P b” em vez de “P a b”; por exemplo, nós escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma função de aridade 2, nós escrevemos às vezes “a f b” em vez de “f (a b)”; por exemplo, nós escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). É também comum omitir alguns parênteses se isto não conduzir à ambiguidade. Às vezes é útil dizer que “P(x) vale para exatamen-te um x”, o que costuma ser denotado por ∃!xP(x). Isto também pode ser expresso por ∃x (P (x) ∀y (P (y) → (x = y))). Exemplos:

A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma cons-tante 0, uma função unária −, uma função binária +, e uma relação binária ≤. Assim:

- [0, x, y são termos atômicos];- [+ (x, y), + (x, + (y, − (z))) são termos, escritos geralmente

como x + y, x + (y + (−z))];- [= (+ (x, y), 0), ≤ (+ (x, + (y, − (z))), + (x, y)) são fórmulas

atômicas, escritas geralmente como x + y = 0, x + y - z ≤ x + y,];- [(∀x ∃y ≤ (+ (x, y), z)) ∧ (∃x = (+ (x, y), 0)) é uma fór-

mula, escrita geralmente como (∀x ∃y (x + y ≤ z)) ∧ (∃x (x + y = 0))].

Substituição: Se t é um termo e Φ(x) é uma fórmula que contém possivelmente x como uma variável livre, então Φ(t) se definido como o resultado da substituição de todas as instâncias livres de x por t, desde que nenhuma variável livre de t se torne li-gada neste processo. Se alguma variável livre de t se tornar ligada, então para substituir t por x é primeiramente necessário mudar os nomes das variáveis ligadas de Φ para algo diferente das variáveis livres de t. Para ver porque esta condição é necessária, considere a fórmula Φ(x) dada por ∀y y ≤ x (“x é máximal”). Se t for um termo sem y como variável livre, então Φ(t) diz apenas que t é ma-ximal. Entretanto se t é y, a fórmula Φ(y) é ∀y y ≤ y que não diz que y é máximal. O problema de que a variável livre y de t (=y) se transformou em ligada quando nós substituímos y por x em Φ(x). Assim, para construir Φ(y) nós devemos primeiramente mudar a variável ligada y de Φ para qualquer outra coisa, por exemplo a variável z, de modo que o Φ(y) seja então ∀z z ≤ y. Esquecer desta condição é uma causa notória de erros.

Igualdade: Há diversas convenções diferentes para se usar a igualdade (ou a identidade) na lógica de primeira ordem. Esta seção resume as principais. Todas as convenções resultam mais ou menos no mesmo com mais ou menos a mesma quantidade de trabalho, e diferem principalmente na terminologia. A convenção mais comum para a igualdade é incluir o símbolo da igualdade como um símbolo lógico primitivo, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da lógica de primeira ordem. Os axiomas de igualdade são

x = xx = y → F(…, x, …) = F(…, y, …) para qualquer função Fx = y → (R(…, x, …) → R(…, y, …)) para qualquer relação R

(incluindo a própria igualdade)

A próxima convenção mais comum é incluir o símbolo da igualdade como uma das relações de uma teoria, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da teoria. Na prática isto é qua-se idêntico à da convenção precedente, exceto no exemplo inco-mum de teorias com nenhuma noção de igualdade. Os axiomas são os mesmos, e a única diferença é se eles serão chamados de axiomas lógicos ou de axiomas de teoria. Nas teorias sem funções e com um número finito de relações, é possível definir a igualdade em termos de relações, definindo os dois termos s e t como iguais se qualquer relação continuar inalterada ao se substituir s por t em qualquer argumento. Por exemplo, em teoria dos conjuntos com uma relação ∈, nós definiríamos s = t como uma abreviatura para ∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧ ∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t). Esta definição de igualdade satisfaz automaticamente os axiomas da igualdade. Em algumas teorias é possível dar definições de igualdade ad hoc. Por exemplo, em uma teoria de ordens parciais com uma relação ≤ nós poderíamos definir s = t como uma abreviatura para s ≤ t ∧ t ≤ s.



Regras de Inferência

A regra de inferência modus ponens é a única necessária para a lógica proposicional de acordo com a formalização proposta aqui. Ela diz que se Φ e Φ → ψ são ambos demonstrados, então pode-se deduzir ψ. A regra de inferência chamada Generalização Universal é carac-terística da lógica de primeira ordem:

Se ╞ Φ, então ╞ ∀xΦ

onde se supõe que Φ é um teorema já demonstrado da lógica de primeira ordem. Observe que a Generalização é análoga à regra da necessitação da lógica modal, que é:

Se ╞ P, então ╞ ∀xP

Limitações: Apesar da Lógica de Primeira Ordem ser suficiente para formalizar uma grande parte da matemática, e também ser comu-mente usada em Ciência da Computação e outras áreas, ela tem as suas limitações. Suas limitações incluem limitações em sua expressivida-de e limitações com relação aos fragmentos das línguas naturais que pode descrever.

Expressividade: O teorema de Löwenheim–Skolem mostra que se uma teoria de primeira ordem tem um modelo infinito, então a teoria também tem modelos de todas as cardinalidades infinitas. Em particular, nenhuma teoria de primeira ordem com um modelo infinito pode ser categórica. Assim, não há uma teoria de primeira ordem cujo único modelo tem o conjunto dos números naturais como domínio, ou cujo único modelo tem o conjunto dos números reais como domínio. Várias extensões da Lógica de Primeira-Ordem, incluindo a Lógica de Ordem Superior e a Lógica Infinitária, são mais expressivas no sentido de que elas admitem axiomatizações categóricas dos números naturais ou reais. Essa expressividade tem um custo em relação às propriedades meta-lógicas; de acordo com o Teorema de Lindström, qualquer lógica que seja mais forte que a lógica de primeira ordem falhará em validar o teorema da compaccidade ou em validar o teorema de Löwenheim–Skolem.

Formalizando as Línguas Naturais

A lógica de primeira ordem é capaz de formalizar vários quantificadores na lingua natural, como “todas as pessoas que moram em Paris, moram na França”. Mas existem várias características que não podem ser expressas na lógica de primeira ordem. “Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem” (Gamut 1991).

Tipo Exemplo ComentárioQuantificadores sobre as proprie-dades

Se Rafael for satisfeito consigo mesmo, então ele tem pelo menos uma coisa em comum com Roberta

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): Zj→ ∃X(Xj∧Xp)

Quantificadores sobre as proprie-dades

Papai Noel tem todos os atributos de um sadista

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): ∀X(∀x(Sx → Xx)→Xs)

Predicado adver-bial Luiz está andando rápido

Não pode ser analisado como Wj ∧ Qj; predicados adver-biais não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Adjetivo Relativo Jumbo é um elefante pequenoNão podem ser analisados como Sj ∧ Ej; predicados adje-tivados não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Modificador do predicado adver-bial

Anderson está andando muito rápido -

Modificador do adjetivo relativo Roberta é extremamente pequena

Uma expressão como “extremamente” , quando usado com um adjetivo relativo “pequena”, resulta em um novo adjeti-vo relativo: “extremamente pequena”

Preposições Alberto está sentado ao lado de Danilo A preposição “ao lado de” quando aplicada a Luiz, resulta em um predicado adverbial “ao lado de Luiz”



Axiomas e Regras

Os cinco axiomas lógicos mais as duas regras de inferência seguintes caracterizam a lógica de primeira ordem:

Axiomas:

Regras de Inferência

Modus Ponens: !":!,! → !

! !

Generalização Universal: !"#: !∀!.!

!

Estes axiomas são na realidade esquemas de axiomas. Cada letra grega pode ser uniformemente substituída, em cada um dos axiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma expressão do tipo α [t:= x] denota o resultado da substituição de x por t na fórmula α.

Cálculo de Predicados

O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicio-nal que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teo-rias matemáticas. Se o cálculo proposicional for definido por um conjunto adequado de axiomas e a única regra de inferência modus ponens (isto pode ser feito de muitas maneiras diferentes, então o cálculo de predicados pode ser definido adicionando-se alguns axiomas e uma regra de inferência “generalização universal”. Mais precisamente, como axiomas para o cálculo de predicado, teremos:

- Os axiomas circunstanciais do cálculo proposicional (A1, A2 e A3);

- Os axiomas dos quantificadores (A4 e A5);- Os axiomas para a igualdade propostos em seção anterior, se

a igualdade for considerada como um conceito lógico.

Uma sentença será definida como demonstrável na lógica de primeira ordem se puder ser obtida começando com os axiomas do cálculo de predicados e aplicando-se repetidamente as regras de inferência “modus ponens” e “generalização universal”. Se nós tivermos uma teoria T (um conjunto de sentenças, às vezes chama-das axiomas) então uma sentença Φ se define como demonstrável na teoria T se a ∧ b ∧ ...→ Φ é demonstrável na lógica de primei-ra ordem (relação de consequência formal), para algum conjunto finito de axiomas a, b, ... da teoria T. Um problema aparente com esta definição de “demonstrabilidade” é que ela parece um tanto ad hoc: nós tomamos uma coleção aparentemente aleatória de axio-mas e de regras de inferência, e não é óbvio que não tenhamos aci-dentalmente deixado de fora algum axioma ou regra fundamental.

O teorema da completude de Gödel nos assegura de que este não é realmente um problema: o teorema diz que toda sentença ver-dadeira em todos os modelos é demonstrável na lógica de primeira ordem. Em particular, toda definição razoável de “demonstrável” na lógica de primeira ordem deve ser equivalente à definição aci-ma (embora seja possível que os comprimentos das derivações difira bastante para diferentes definições de demonstrabilidade).

Há muitas maneiras diferentes (mas equivalentes) de definir provabilidade. A definição acima é um exemplo típico do cálculo no estilo de Hilbert, que tem muitos axiomas diferentes, mas pou-cas regras de inferência. As definições de demonstrabilidade para a lógica de primeira ordem nos estilos de Gentzen (dedução natural e cálculo de sequentes) são baseadas em poucos ou nenhum axio-mas, mas muitas regras de inferência.

Algumas Equivalências

Algumas Regras de Inferência

∀!"(!) → !(!) !(se c for uma variável, então não deve ser quantificada em P(x)).

!(!) → ∃!"(!) ! (x não deve aparecer livre em P(c)).

QUESTÕES

01. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do for-mulário

Dadas as sentenças A e B da lógica de primeira ordem, onde A é a sentença e B é a sentença , tem-se que

(A) A é consequência da lógica de B.(B) B é consequência da lógica de A.(C) A é consequência da lógica de B.(D) B é consequência da lógica de A.(E) B é consequência da lógica de A.

02. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do for-mulário

Considere o conjunto de conectivos lógicos da lógica sen-tencial. Por definição, um conjunto de operadores B é completo se somente se todos os operadores de A podem ser expressos em função do(s) operador(es) de B. Analise as afirmativas a seguir:

I- é um conjunto de operadores completo.II- é um conjunto de operadores completo.III- é um conjunto de operadores completo.IV- é um conjunto de operadores completo.V- é um conjunto de operadores completo.

Conclui-se que

(A) uma das afirmativas acima é verdadeira e quatro são falsas.(B) duas das afirmativas acima são verdadeiras e três são falsas.(C) três das afirmativas acima são verdadeiras e duas são falsas.(D) quatro das afirmativas acima são verdadeiras e uma é falsa.(E) todas as afirmativas acima são verdadeiras.



03. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do for-mulário Considere as premissas:

Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras.Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a

outra, falsa.Premissa 3: as premissas 1 e 4 são ambas verdadeiras ou am-

bas falsas.Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas.

Sabendo-se que cada premissa acima é exclusivamente verda-deira ou exclusivamente falsa, são verdadeiras APENAS as pre-missas:

(A) 1 e 2.(B) 1 e 3.(C) 2 e 3.(D) 2 e 4.(E) 3 e 4.

04. (CESPE - TRE-MG – Técnico Judiciário) Considere as sentenças apresentada a seguir.

G - O preço do combustível automotivo é alto.M - Os motores dos veículos são econômicos.I - Há inflação geral de preços.C - O preço da cesta básica é estável.

Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (M ∨ G) → (C ∧ I), I → (C ∧ G), G → M e C ∨ M são verda-deiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas propo-sições, os símbolos ∨ e ∧ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬ denota o modificador negação.

(A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços.

(B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços.

(C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos.

(D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da ces-ta básica não é estável.

(E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto.

05. (FCC - TRE-PI - Técnico Judiciário) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe--se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente,

(A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X.

(B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados.

(C) todos os advogados formados na universidade X traba-lham nessa cidade.

(D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advo-gados formaram-se na universidade X.

(E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X.

06. (CESPE - SECONT-ES - Auditor do Estado) Se a proposi-ção simbolizada por A ∧ B → C for um argumento válido, então a proposição A ∧ B ∧ (C) será falsa.


07. (CESPE - TRE-MA – Técnico Judiciário) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à ne-gação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico”.

(A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. (C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.

08. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) São dadas as afirmações:

- Toda cobra é um réptil.- Existem répteis venenosos.

Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que

(A) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil.(B) toda cobra é venenosa.(C) algum réptil venenoso é uma cobra.(D) qualquer réptil é uma cobra.(E) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra.

09. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) No pró-ximo domingo, Dona Marieta completará 100 anos de idade e sua bisneta Julieta resolveu presenteá-la construindo a árvore genea-lógica de seus descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informações:

- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos;

- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deu 5 bisnetos;

- Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram fi-lhos e cada um dos outros teve 2 filhos;

- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos.

Nessas condições, é correto afirmar que o total de descenden-tes de Dona Marieta é:

(A) 277(B) 272(C) 268(D) 264(E) 226

10. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) x ↔ y possui a mesma tabela verdade que:

(A) x → y(B) x → y (C) (x → y) ∨ y (D) (x → y) ∧ (y → x)(E) (x → y) ∨ (y → x)



Respostas

01. Resposta “A”.Sentenças:

Para saber qual sentença manipular, é preciso lembrar algu-mas regras:

(1) ¬∃xp(x) = ∀x¬p(x)(2) ¬∀xp(x) = ∃x¬p(x)

Para a sentença A ser “transformada”, seria necessário intro-duzir uma negação dupla (¬¬). Observando a regra (1), percebe-se que a sentença B pode ser “transformada” sem a necessidade de utilização de uma negação dupla. Com isso, selecionamos a sen-tença B para efetuar a manipulação. Manipulando a sentença B:

¬∃x¬p(x) ∨∀xq(x)∀x¬¬p(x) ∨∀xq(x)∀x(¬¬p(x) ∨q(x))∀x(¬¬p(x) ∨q(x))

Obs.: (¬p(x) ∨ q(x) = p(x) → q(x))∀x (¬p(x) → q(x))

Logo, a sentença A é consequência da lógica de B. É importante mencionar que não foram introduzidos elementos adicionais (negação dupla, por exemplo) na sentença original para se chegar ao resultado. Com isso, podemos afirmar que a sentença A é consequência da lógica (manipulação direta) de B.

São equivalências lógicas, ou seja, elas são bidirecionais. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa correta é a “A”, (B → A).


Dizemos que um conjunto de operadores é completo se com eles pode exprimir as operações conjunção, disjunção e negação, que são: ∨, ∧,¬ e nand (não é).

I - Verdadeiro;II - Verdadeiro;III - Falso;IV - Verdadeiro;V - Falso.

Na lógica, um grupo de conectivos tem a propriedade da com-pletude funcional se todos outros conectivos possíveis podem ser definidos em função dele. Os conjuntos {nand}, {nor}, {∨, ¬ }, {∧, ¬} e {→, ¬ } possuem a propriedade da completude funcio-nal. Demonstração da completude funcional em um conjunto:

Utilizando apenas a negação (¬) e a implicação (→) podemos gerar todas as outras operações.


Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. FALSO (ape-nas a premissa 2 é verdadeira a 3 é falsa);

Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. VERDADEIRA (a premissa 3 é falsa e a 4 é verda-deira);

Premissa 3: as premissas 3 e 4 são ambas verdadeiras ou am-bas falsas. FALSO (premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira);

Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. VERDA-DEIRA.

Normalmente ler as premissas em ordem inversa facilita a res-posta.

Premissa 4: afirma que 1 e 3 são falsas, portanto 2 deverá ser verdadeira.

Premissa 3: contraditória com a P4 - Falsa.Premissa 2: até aqui a 4 é verdadeira e a 3 falsa – Verdadeira.Premissa 1: contraditória com a P4 – Falsa.

04. Resposta “A”.

- Atribui-se verdadeiro para todas as sentenças simples, ou seja, G, M, I, C - são a princípio (V).

- Comece pela primeira sentença composta: M ∨ ~G então C ∧ G - Por essa sentença conclui-se que atribuindo à sentença I como verdadeira essa sentença composta seria falsa e como a questão afirma que todas as compostas são verdadeiras, então I = Falsa e ~I = V, daí a sentença seria verdadeira, ou seja: Não há inflação geral de preços.

- Na segunda sentença composta: I então ~C ∧ G - consi-derando I (falsa) o resultado era verdadeiro para a sentença inde-pendente de ser Falso ou Verdadeiro a 2ª parte - por isso não tinha ainda argumento válido.

- Na terceira sentença: G então M - se considerar M verdadeira então G pode ser falso ou Verdadeiro.

- Na quarta sentença: ~C ∨ M - se considerar M verdadeira então ~C pode ser falso ou verdadeiro (mas como na primeira sen-tença já considera C como verdadeira), ou seja: Os motores dos veículos são econômicos.

O enunciado da questão diz:1) Se (M ∨ ~G) então (C ∧ ~ I) que equivale a: Se (Se G

então M ) então ~(Se C então I);2) Se I então (~C ∧ G) que;3) Se G então M;4) ~C ∨ M que.

Precisa-se somente das proposições 1 e 3. Inicia-se pela pro-posição 3. Supunha que o G era verdadeiro, desta forma o M só poderia ser verdadeiro. Caso contrário a proposição se tornaria falsa.

Então para a proposição 1: Como a primeira parte é verdadeira a segunda só poderia ser verdadeira, ou seja ~(se C então I) tam-bém tinha que ser verdadeira.



Como tem o “~” na frente, Se C então I tem que ser falsa. E para ser falsa I deve ser falso e C deve ser verdadeira. Desta forma descobre-se o valor real de cada proposição.


Quando temos a expressão “Todo” e “Todo”, a resposta tem que obrigatoriamente ter a expressão “Todo” e não pode aparecer a expressão comum. Ex.: Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Ex-pressão comum: bronquite. Logo: Todo indivíduo que fuma costu-ma faltar ao trabalho.

Quando temos as expressões “Todo” e “Algum”, na resposta prevalece o “Algum” e não pode aparecer a expressão comum. Na questão acima, descartamos a “B” e a “C”, pois começam com “Todo”. Depois descartamos “D” pois aparece a expressão comum “advogados”. Depois descartamos a “E” pois aparece uma nega-ção “não se formaram na universidade x”. Resumo:

Todo e Todo = TodoTodo e Nenhum = NenhumAlgum e Todo = AlgumAlgum e Nenhum = Algum Não

Se todos os advogados são formados na universidade X e se existem funcionários da prefeitura que são advogados, logo, cer-tamente existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. Com relação a letra “E”, temos que não neces-sariamente os outro funcionários que não são advogados não se formaram na universidade X, pois nada garante que eles tenham se formado nesta universidade ou não, como deixa dúvida, esta não pode ser necessariamente correta.


Um argumento válido considere todas as premissas verdadei-ras, e a conclusão terá que ser verdadeira.

V ∨ VA ∧ B → C (Argumento válido)A ∧ B ∧ (~C)V ∧ V ∧ (~V)V ∧ F = F (Falsa)

Nota-se que na proposição composta que a alternativa diz ser falsa só foi usado o conectivo E (∧), isto torna a questão fá-cil, ou seja, tanto o A, o B e a negação de C têm que ter valores verdadeiros para a proposição ser verdadeira (regra do conectivo E). Se a negação de C tem que ser verdade, logo, o C é falso. Se o C é falso, A ∧ B não pode ser verdadeiro, pois V então F, que é o argumento válido trazido pela questão, é falso. Se a questão diz que o argumento é válido, ele realmente é válido, temos que acreditar nisso, logo, o valor de A ∧ B tem que ser falso obrigato-riamente, senão o argumento não é válido. Se A ∧ B tem que ser falso, significa que ou o A ou o B tem que ser falso (regra do E, um falso tudo falso). Sendo ou o A ou o B falso, torna a proposição A ∧ B ∧ ~C falsa.


A negativa de uma conjunção pode ser:- uma condicional - afirma a 1ª parte e nega a 2ª parte = P

então não Q.

- uma disjunção - Não P ou Não Q.

Mário é contador e Norberto é estatístico.P e Q = P e não Q, portanto:Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

Considerando:P: “Mário é contador”.Q: “Norberto é estatístico”.A negação de P ∧ Q é ~P “ou” ~Q.

A partir daí basta transformar ~P “ou” ~Q em sua proposição equivalente: P “se então” ~Q.


(A) Verdade, toda cobra é um réptil.Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza,

também é verdade que- Se existe uma cobra venenosa (P), então ela é um réptil (Q).

(P → Q = V). Obs: segundo as afirmações “dadas” não se pode determinar se P é V ou F, no entanto isto não altera a correção da assertiva.

(B) Falsa = nem toda cobra é venenosa.(C) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos ve-

nenosos, répteis e não são cobras).No contexto geral, esta afirmação poderia ser considerada

verdadeira, mas segundo as afirmações “dadas” pela questão ela é falsa, pois não é mencionada qualquer ligação entre o grupo das cobras e dos répteis venenosos; A cobra é um réptil; Alguns répteis são venenosos; mas embasando-se somente nestas duas afirmações não há como se garantir que Algum réptil venenoso é uma cobra.

(D) Falsa = nem todo réptil é uma cobra (Jacaré é réptil).(E) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos ve-

nenosos, são répteis e não são cobras).

Um grande conjunto é o dos répteis, obrigatoriamente o con-junto das cobras, que é menor, estará totalmente dentro do conjunto dos répteis. Já o conjunto dos Venenosos existem 3 possibilidades:

1 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do con-junto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, são dois conjuntos dentro do grande conjunto que é o dos répteis;

2 - o conjunto dos venenosos estar parcialmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das co-bras, ou seja, um conjunto (cobras) dentro do conjunto dos répteis e outro (venenosos) parcialmente dentro e fora (como na figura).



3 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do con-junto dos répteis, e parcialmente, também, dentro do conjunto das cobras.

4 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do con-junto dos répteis e totalmente dentro do conjunto das cobras.

Logo, a única coisa que conseguimos garantir dentre as al-ternativas é que “todas as cobras são répteis”, elas podem ser ou não venenosas e os venenosos podem ou não ser répteis e podem ou não ser cobras.


Dona Marieta teve 10 filhos = 7 férteis e 3 inférteis.Sete férteis tiveram 21 filhos = 17 férteis e 4 inférteis.Dezessete férteis tiveram 85 filhos = 76 férteis e 9 inférteis.Setenta e seis férteis tiveram 152 filhos = 152 férteis.Descendentes = férteis + inférteis = 252 + 16 = 268 descen-

dentes.

Seguindo os passos:- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram

netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; dos 10 filhos de Dona Marieta 3 não lhe deram netos, enquanto que 7 lhe deram 3 netos “cada”, então fazemos o seguinte cálculo: 7. 3 = 21 netos.

- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deram 5 bisnetos; Sabemos que Dona Marieta teve 21 netos, mas, desses 21, quatro não tive-ram filhos, enquanto que os outros 17 lhe deram 5 bisnetos cada: 17. 5 = 85 bisnetos.

- Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram fi-lhos e cada um dos outros tiveram 2 filhos; Dona Marieta teve 85 bisnetos, e desses 85 nove não tiveram filhos, o que implica que 76 tiveram 2 filhos “cada”: 76 . 2 = 152 tataranetos.

- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Como os tataranetos não tiveram filhos, então somamos os filhos, netos, bisnetos e tataranetos: 10 + 21 + 85 + 152 = 268.


Segundo Sérates (1997), a conjunção da sentença x → y com a sentença y → x resulta na sentença x y. Assim, (x → y) ∧ (y → x) equivale a x y.

x se e somente se y: somente admite resposta verdadeira quan-do ambas possuem o mesmo sinal. Tabela verdade: tabela verdade de x-y e y-x:

x se e somente se y é equivalente a y, se x e x, se y.

ProbabilidadePonto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, to-dos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.

Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocor-rência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o núme-ro de elemento S. Representando:

! ! =!(!)!(!)!

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:

- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6}

C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

! ! = !(!!)!(!)

= !!= !

!

!Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 -

P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:



União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É re-presentada por P(B/A).

Veja: !(!/!) =!(! ∩ !)!(!)

!

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a represen-tação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tenta-tiva ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.



Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o

evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k ve-zes o evento A.

- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade de-sejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se reti-rar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorati-va. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ím-pares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a pro-babilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, aba-caxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laran-jas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.



Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilida-de de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 452+

452 =

852 =

213!

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois núme-ros ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

! ! ∪ ! = ! ! + ! ! − ! ! ∩ ! =936+

636−

336 =

1236 =

13

!

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que

a1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =

41 e p(AB) = 41/500

Por fim, p(A.B) = 401500+

50500−

41500 =

4150 = 82%!

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,

V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como AB = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(AB) = P(A) + P(B) = ) = !

!+ !

!= !

!→ ! ! ∪ ! = !

!≅ 67,0%

!07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os

seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:

P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

08. Sendo A e B eventos independentes, P(AB) = P(A) . P(B) e

como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Temos: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos:

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possí-vel fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo clien-te, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

ANOTAÇÕES

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2 - Matema Tica e Racioci Nio Lo Gico

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