2( ) - Página pessoal de José Antelo...

2.5 3.87

8

log 2.8( ) tan 3 ( ) sin 0.27 ( )

2 X2 2 X 4 0 solve X

X3

12 X2 47 X 60 solve X

José Antelo Cancela

))().((

)).(2).(()(

302010

310

XXXXXX

XXXXXXXL

1

1

)(2

)(

2

)( n

n

nxfbfaf

hS

MathCad 15 Jul/2018

José Antelo Cancela www.jose.cancela.nom.br Pág .1

Índice Analítico

1. Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.1 Digitação de Textos -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.2 Digitação de Expressões -------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2. Barras de Ferramentas-------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.1 Barra de ferramentas Math ---------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.2 Barra de ferramentas Calculator --------------------------------------------------------------------------------- 5

3. Formatação --------------------------------------------------------------------------------------------------- 8

3.1 Formatação de Texto ------------------------------------------------------------------------------------------------ 8

3.2 Formatação da Precisão -------------------------------------------------------------------------------------------- 8

3.3 Formatação das Expressões ---------------------------------------------------------------------------------------- 8 3.3.1 Formatação das Constantes -------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 3.3.2 Formatação das Variáveis --------------------------------------------------------------------------------------------------- 9

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento ---------------------------------------------------------------------------- 9 3.4.1 Escolha da Posição ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 3.4.2 Escolha do Alinhamento ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 9

4. Definição de Variáveis ------------------------------------------------------------------------------------- 11

5. Definição de Funções -------------------------------------------------------------------------------------- 13

6. Solução de Equações --------------------------------------------------------------------------------------- 15

7. Operações com Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18

7.1 Soma e Subtração de Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18

7.2 Multiplicação de Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------------- 19

7.3 Multiplicação de Matriz por um Número ---------------------------------------------------------------------- 20

7.4 Divisão de Matriz por um Número ------------------------------------------------------------------------------ 21

7.5 Matriz Transposta -------------------------------------------------------------------------------------------------- 21

7.6 Matriz Inversa ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22

7.7 Determinante de uma Matriz ------------------------------------------------------------------------------------- 23

8. Sistemas de Equações -------------------------------------------------------------------------------------- 24

8.1 Função Lsolv --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24

8.2 Função Given/Find ------------------------------------------------------------------------------------------------- 26

9. Cálculo de Integrais ---------------------------------------------------------------------------------------- 28

9.1 Integrais Simples ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 28

9.2 Integrais Duplas ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 30

10. Cálculo de Derivadas --------------------------------------------------------------------------------------- 31

10.1 Derivadas de 1ª Ordem -------------------------------------------------------------------------------------- 31

10.2 Derivadas de Ordem N --------------------------------------------------------------------------------------- 32

11. Estudo de Regressões --------------------------------------------------------------------------------------- 33

11.1 Regressão Linear ---------------------------------------------------------------------------------------------- 33

11.2 Regressão Polinomial ----------------------------------------------------------------------------------------- 36

MathCad 15 Jul/2018

José Antelo Cancela www.jose.cancela.nom.br Pág. 2

12. Construção de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------ 41

12.1 Formatação de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------- 42

12.2 Gráficos de Duas Funções ----------------------------------------------------------------------------------- 44

13. Erro: Existência e Propagação --------------------------------------------------------------------------- 45

13.1 Existência do Erro -------------------------------------------------------------------------------------------- 45

13.2 Propagação do Erro ------------------------------------------------------------------------------------------ 45

14. Cálculo de Raízes ------------------------------------------------------------------------------------------- 49

14.1 Método Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------------ 49

14.2 Método da Bipartição ---------------------------------------------------------------------------------------- 50

14.3 Método de Newton-Raphson -------------------------------------------------------------------------------- 59

15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares --------------------------------------------------------- 61

15.1 Método da Eliminação de Gauss --------------------------------------------------------------------------- 62

15.2 Método de Jacobi --------------------------------------------------------------------------------------------- 73

15.3 Método de Gauss-Seidel ------------------------------------------------------------------------------------- 81

15.4 Interpolação pelo Método de Lagrange ------------------------------------------------------------------- 88

15.5 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas) ---------------------------------------- 91

15.6 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados ---------------------------------------------- 93 15.6.1 Ajuste Linear ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 93

16. Integração Numérica --------------------------------------------------------------------------------------- 96

16.1 Método dos Trapézios ---------------------------------------------------------------------------------------- 96

16.2 Método de Simpson ------------------------------------------------------------------------------------------- 98

MathCad 15 Jul/2018


Cálculo Numérico

1. Introdução

Quando se abre o MathCad é mostrado um arquivo novo, que consiste de uma folha onde serão digitados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fig. 1 abaixo.

Para iniciar a digitação basta clicar com o cursor do mouse no local da tela onde esta se localizará e então digitar o que se deseja.

1.1 Digitação de Textos

Para se digitar um texto proceda da seguinte forma:

Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início do texto

Digite “ (aspas) para informar ao MathCad que se trata de um texto

Digite o texto (Por exemplo: Introdução ao MathCad)

Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto para informar que terminou a digitação ou tecle Enter.

1.2 Digitação de Expressões

Para se digitar uma expressão matemática proceda da seguinte forma:

Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início da expressão.

Digite a expressão (Por exemplo: 2+3)

Digite o operador = para informar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado.

Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão para informar ao MathCad que terminou a digitação ou tecle Enter.

MathCad 15 Jul/2018


2. Barras de Ferramentas

O texto e a expressão digitados até agora são extremamente simples, dispensando qualquer ferramenta para sua digitação.

Para expressões mais complexas o MathCad dispõe de Barras de Ferramentas (Toolbars) para a introdução de dados e cálculo dos resultados.

Ao se criar um arquivo novo (Fig. 1) são mostradas automaticamente duas barras de ferramentas:

Standard,

Mostra os comandos básicos de operação com arquivos.

Formating

Mostra os comandos básicos de formatação de textos.

Para ocultar ou exibir estas barras durante os trabalhos,

selecione na barra de menus View e depois selecione a barra desejada (Fig. 2).

2.1 Barra de ferramentas Math

A barra de ferramentas Math é o meio de acesso as demais barras de ferramentas do MathCad, conforme mostrado na Fig.2.1.a. Estas barras serão vistas mais adiante.

Fig. 2

Calculator

Matrix

Calculus

Programming

Symbolic Keyword

Graph

Evaluation

Boolian

Greek Symbol

Fig. 1

MathCad 15 Jul/2018


2.2 Barra de ferramentas Calculator

Como visto anteriormente, expressões simples podem ser digitadas diretamente pelo teclado. Contudo, expressões mais complexas, como por exemplo as que envolvem funções trigonométricas e exponenciais, requerem o auxílio da barra de ferramentas Calculator.

Para exibir a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Calculator, que ficará conforme Fig. 2.2.a

A título de exercício, vamos calcular o valor das expressões abaixo:

a) 2.54 + 3.58 – 12.27

Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.

Digite o número 2.54

Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition).

Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de soma, informando que se deve digitar o próximo valor.


Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration)

Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de subtração, informando que se deve digitar o próximo valor.


Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado da operação.

b) 2.54 x 3.58



Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de multiplicação, informando que se deve digitar o próximo valor.


Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação.

c) 169


Clique na barra Calculator no símbolo (Square Root)

O símbolo de

decimal é o ponto

e não a vírgula.

Fig. 2.2.a

MathCad 15 Jul/2018


Aparecerá o símbolo de raiz quadrada com um quadradinho preto e com o cursor no lugar onde será digitado o número. Digite 169


d) 5 169


Clique na barra Calculator no símbolo n (Nth Root).

Aparecerá o símbolo de raiz enésima com um quadradinho preto no lugar do valor da raiz e outro no lugar do número. Clique com o cursor no lugar da raiz e digite 5

Clique com o cursor no lugar do número e digite 169


e) )7.1(3.2 sene


Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential)

Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2.3

Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.

Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition).

Clique na barra Calculator no símbolo de SIN (Sine)

Clique no quadradinho preto e digite 1.7

Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).

Clique na barra Calculator no símbolo ¶



f)

)5,3(

4

6.2

7.32

sen

e


Digite 3.7

Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a

fração com um quadradinho preto no denominador.

MathCad 15 Jul/2018


Digite 2.6


Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration).

Digite 4



Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential)

Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2

Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão e2.



Clique na barra Calculator no símbolo SIN (Sine)

Clique no quadradinho preto e digite 3.5

Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).

Clique na barra Calculator no símbolo ¶

Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao final da expressão.


MathCad 15 Jul/2018


3. Formatação

O MathCad permite a formatação diferenciada de textos, fórmulas e dos resultados numéricos. Nas fórmulas é possível formatar as variáveis de forma diferente das constantes.

3.1 Formatação de Texto

Para formatar um texto proceda da seguinte forma:

Selecione o texto que quer formatar

Selecione na barra de menu Format – Text

Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada

3.2 Formatação da Precisão

Os resultados das operações matemáticas realizadas podem ser formatados com um número fixo de casas decimais. Para isto, proceda da seguinte forma:

Selecione na barra de menu Format – Result

Na janela Result Format selecione:

Number of decimal places: .................... Número de casas decimais

Show trailing zeros: ............................... Marque esta opção se quiser que mostre zero quando não houver partes decimais.

Show expoents in engineering format: .. Marque esta opção se quiser que os valores apareçam na notação de engenharia.

3.3 Formatação das Expressões

O MathCad permite formatar as fontes das variáveis e das constantes de fórmulas e funções de maneira distinta.

3.3.1 Formatação das Constantes

Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da seguinte forma:

Selecione na barra de menu Format – Equation

Fig. 3.2.A

MathCad 15 Jul/2018


Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a opção Constants

Clique no botão Modify

Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK.

Na janela Equation Format clique OK

3.3.2 Formatação das Variáveis

Para formatação da fonte das variáveis de expressões proceda da seguinte forma:

Selecione na barra de menu Format – Equation

Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a opção Variables

Clique no botão Modify

Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK.

Na janela Equation Format clique OK

A título de exercício, construa e expressão abaixo 3 formate-a da seguinte forma:

- Resultado: ------- 2 decimais

- Constantes: ----- Times New Roman, negrito itálico, tamanho 13

- Resultado: ------- Bookman Old Style, negrito, tamanho 14

Uma vez formatada a função deverá ter a aparência abaixo.

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento

3.4.1 Escolha da Posição

Para mudar a posição de uma expressão, proceda da seguinte forma:

Selecione a expressão.

Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para a forma de uma mão.

Nesta posição, pressione o botão do mouse e, com ele pressionado, arraste a expressão para o local desejado.

3.4.2 Escolha do Alinhamento

O MathCad permite alinhar todas as expressões digitadas, tanto na horizontal quanto na vertical.

Para efetuar este alinhamento, proceda da seguinte forma:

Fig3.3.1

2.5 3.87

8 log 2.8 tan 3 sin 0.27 5.52

MathCad 15 Jul/2018


Selecione as expressões que serão alinhadas. Depois selecione na barra de menu:

Format – Align regions – Down (para alinhamento vertical) ou Across (para alinhamento horizontal)

MathCad 15 Jul/2018


4. Definição de Variáveis

A definição de variáveis pode ser feita através do teclado ou usando a barra de ferramentas Calculator (Fig. 4.1).

Para definir variáveis através do teclado proceda da seguinte forma:

Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)

Digite : (dois pontos). O MathCad automaticamente

acrescentará = depois dos dois pontos.

Digite o valor da variável

Para definir variáveis usando a barra de ferramentas Calculator proceda da seguinte forma:

Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)

Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator

Digite o valor da variável.

A título de exercício, vamos definir as varáveis abaixo abaixo:

a) X = 5


Digite X

Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator

Digite o número 5

b) Sabendo-se que b = 3

a=

3

5.1 e que Y = (sen(2b)+cos(a)3)2 determine o

valor de Y

Como usaremos vários símbolos gregos neste exercício, vamos ativar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada na

Fig.4.2, que dispões de vários destes símbolos

Etapa 1: Definição de b

Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a primeira variável.

Clique no símbolo b da barra Greek Symbol

Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da

barra de ferramentas Calculator

Digite 3

Etapa 2: Definição de a

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a segunda

Fig. 4.1

Fig. 4.2

MathCad 15 Jul/2018


variável.

Clique no símbolo a da barra Greek Symbol


Calculator

Digite 3

*5.1

Etapa 3: Definição de Y

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável Y.

Digite Y


Calculator

Digite a expressão (sen(2b)+cos(a)3)2

Etapa 4: Cálculo do valor de Y

Uma vez definidas as variáveis b, a e Y podemos agora determinar o valor de Y

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de Y.

Digite Y


MathCad 15 Jul/2018


5. Definição de Funções

O MathCad dispõe de funções de várias categorias, tais como matemáticas, trigo-nométricas, estatísticas e muitas outras, todas elas prontas para serem utilizadas.

Para acessar estas funções proceda da seguinte forma:

Selecione na barra de menu Insert – Function

Aparecerá a janela Intert Function (Fig.5). Para selecionar a função, proceda da seguinte forma:

No quadro Function Category selecione a categoria da função ou selecione a categoria Todas.

No quadro Function Category selecione o nome da função.

Clique OK.

Além destas funções, o MathCad permite que outras funções sejam definidas para nosso uso específico, assunto este que será tratado agora.

A definição de funções é muito similar a definição de varáveis, que consiste basicamente de três etapas:

1) Escolha do nome da função

2) Colocação do sinal de atribuição de valor (Assign Value)

3) Digitação da função

A título de exercício vamos definir as funções abaixo e calcular seu valor para um determinado valor da variável.

a) Sabendo-se que F(X) = 5X2 – 3X +4, determine F(3,5)

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).

Escreva F(X)


Calculator

Escreva a função 5*X2 – 3*X +4

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(3,5).

Escreva F(3,5)

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaixo.

Fig. 5

MathCad 15 Jul/2018


b) Sabendo-se que F(X) = 3,3eX – 3sen(X) +4 X3 , determine F(0.57)

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).

Escreva F(X)

Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

Escreva a função 3,3eX – 3sen(X) +4 X3

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(0,57).

Escreva F(0.57)

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaixo.

c) Sabendo-se que F(X,Y) = 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4X

Y

5,13 , determine F(2,3;3,4)

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X,Y)

Escreva F(X,Y)


Escreva a função 2,75e2,3Y – 3sen(0,54X) +4X

Y

5,13

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(2,3)

Escreva F(2,3)


MathCad 15 Jul/2018


6. Solução de Equações

O MathCad dispõe de dois métodos para cálculo de raízes de equações: o método numérico e o método analítico. Aqui nos deteremos no método analítico.

Para calcular raízes de equações pelo método analítico precisaremos das barras de ferramentas Symbolic (Fig. 6.a) e Boolean (Fig. 6.b).

Por isso, leve o cursor do mouse até a barra de ferramentas Math e clique nos ícones destas barras para exibi-las.

Para determinar as raízes de uma equação pelo método analítico são necessários os seguintes passos:

1º) Digite a equação sendo que o sinal = a ser usado

tem que ser o = (Equal to) da barra de ferramentas Boolean.

2º) Uma vez digitada a equação clique clique na palavra Solve da barra de ferramentas Symbolic.

3º) No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite a variável que se quer determinar.

A título de exercício, determine as raízes das equações abaixo

a) 07

1

53

X

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.

Escreva 7

1

53

X

Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean

Digite o valor 0

Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation

Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo

Coloque o cursor no final da equação, conforme figura abaixo

Digite = ou tecle = na barra de ferramentas Calculator que aparecerá o resultado conforme abaixo

O sinal = a ser usado é o Equal to da barra de

ferramentas Boolean.

Fig. 6.a

Fig. 6.b

MathCad 15 Jul/2018


b) 2 X2 2 X 4 0


Escreva

Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean Toolbar

Digite o valor 0

Clique no botão Solve da barra de ferramentas Symbolic Keyword Toolbar


Para formatar o resultado com 1 casa decimal, selecione o resultado, conforme abaixo.

Selecione Format – Result

Preencha a caixa de diálogo Result Format conforme figura ao lado e tecle OK. Será mostrado o resultado como abaixo.

c)


Escreva

Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Boolean

Digite o valor 60

Clique no botão solve da barra de ferramentas Symbolic


Para formatar o resultado com uma casa decimal, proceda da seguinte forma:

Selecione o resultado, conforme Fig. a.

604712 23 XXX

MathCad 15 Jul/2018


Selecione Format – Result

Preencha a caixa de diálogo Format Result conforme Fig. b e clique OK

O resultado ficará conforme Fig. c.

Fig. b

Fig. a

Fig. c

MathCad 15 Jul/2018


7. Operações com Matrizes

Para realizar operações com Matrizes precisaremos da barra de ferramentas Matrix. Por

isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na Fig.7.a.

7.1 Soma e Subtração de Matrizes

Para se somar matrizes é necessário que elas tenham o mesmo

número de linhas e colunas

Para isto, vamos criar as matrizes MAT1 e MAT2 conforme abaixo e armazenar sua soma na matriz MATSOMA e sua subtração na matriz MATSUB..

a) Criação da matriz MAT1

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT1

Escreva MAT1


Calculator

Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix

Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK

Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números, conforme Fig.7.1.a. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.b.

b) Criação da matriz MAT2

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT2

Escreva MAT2

Clique no ícone := (Assign Value) da barra de

ferramentas Calculator



Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez

Fig. 7.1.a

Fig. 7.1.b

Fig. 7.1.c

MathCad 15 Jul/2018


concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.c.

c) Criação da matriz MATSOMA

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSOMA

Escreva MATSOMA


Digite MAT1 + MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

d) Criação da matriz MATSUB

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSUB

Escreva MATSUB


Digite MAT1 - MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

e) Impressão das matrizes MAT e MATS

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT

Escreva MAT

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MAT, que deverá estar conforme abaixo:

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATS

Escreva MATS

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATS, que deverá estar conforme abaixo:

7.2 Multiplicação de Matrizes

Para se multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira

deve ser igual ao número de colunas da segunda.

Vamos multiplicar as matrizes MAT1 e MAT2 e armazenar o produto na matriz MATX.

Para isto digite as matrizes MAT1 e MAT2 abaixo

MathCad 15 Jul/2018


Escreva MATX


Digite MAT1 * MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

Escreva MATX

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATX, que deverá estar conforme abaixo:

7.3 Multiplicação de Matriz por um Número

Vamos multiplicar a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na matriz MULT. Para isto, proceda conforme abaixo:

Digite a matriz MAT1 abaixo.

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MULT

Escreva MULT


Escreva 2.75*MAT1. A equação deverá estar conforme abaixo.

Escreva MULT

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MULT, que deverá estar conforme abaixo:

MathCad 15 Jul/2018


7.4 Divisão de Matriz por um Número

Vamos dividir a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na matriz DIV. Para isto, proceda conforme abaixo:

Digite a matriz MAT1 abaixo.

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz DIV

Escreva DIV


Escreva MAT1/2.75. A equação deverá estar conforme abaixo.

Escreva DIV

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz DIV, que deverá estar conforme abaixo:

7.5 Matriz Transposta

As linhas e colunas da matriz MATT, transposta da matriz MAT,

correspondem às colunas e linhas da matriz MAT, respectivamente, conforme abaixo:

Digite a matriz MAT abaixo.

MathCad 15 Jul/2018


Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a equação.

Escreva MATT


Escreva MAT

Clique no ícone Matrix Transpose da barra de ferramentas Matrix. A equação deverá estar conforme abaixo:

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATT

Escreva MATT

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATT, que deverá estar conforme abaixo:

7.6 Matriz Inversa

Só admitem Matriz Inversa as matrizes cujo número de linhas

seja igual ao número de colunas.


Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz inversa.

Digite a matriz MAT

Clique no ícone XY da barra de ferramentas Calculator

Digite -1

Leve o cursor do MathCad para o final da expressão teclando na barra de espaço.

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz inversa, que deverá estar conforme abaixo:

MathCad 15 Jul/2018


7.7 Determinante de uma Matriz

Só se pode calcular o Determinante das matrizes cujo número de

linhas seja igual ao número de colunas.


Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a expressão.

Digite a matriz DET


Clique no ícone Determinant da barra de ferramentas Matrix. Aparecerá um quadrado preto entre barras onde se deve digitar o nome da matriz cujo determinante se deseja calcular.

Digite MAT e tecle Enter. A expressão deverá estar conforme abaixo:

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante DET da matriz MAT.

Digite a matriz DET

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o determinante DET, que deverá estar conforme abaixo:

MathCad 15 Jul/2018


8. Sistemas de Equações

Um sistema de equações lineares é constituído por n equações com n incógnitas. Para exemplificar um sistema de três equações lineares seria do tipo abaixo:

a3 X + a2Y +a1 Z = a0

b3 X + b2 Y +b1 Z = b0

c3 X + c2 Y +c1 Z = c0

O MathCad dispõe de duas funções para solução de sistemas de equações: Função Lsolve e função Find.

8.1 Função Lsolv

O procedimento para resolver este tipo de sistema utilizando o MathCad consiste de três etapas:

Etapa 1:

Cria-se o determinante X com os coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:

a3 a2 a1

b3 b2 b1

c3 c2 c1

Etapa 2:

Cria-se o determinante Y com as constantes das equações, conforme abaixo:

ao

bo

co

Etapa 3:

Utiliza-se a função Lsolv da seguinte forma:

Escreva a variável que armazenará o resultado, por exemplo escreva R

Depois de escrever R clique no

ícone := (Assign Value) da

barra de ferramentas Calculator


Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) (Fig.8.a).

X=

Y=

Fig. 8.a

MathCad 15 Jul/2018


título de exercício vamos resolver o sistema de quatro equações abaixo:

X + 3Y + 5Z + W = 8,2

2X - 2Y + 3Z + 4W = 11,8

3X - 5Y + 2Z + W = -2,2

2X - 3Y + 4Z + 7W = 18,5

Para resolver este sistema precisaremos da barra de ferramentas

Matrix. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na Fig.7.b acima.

a) Criação da matriz MAT

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante X

Escreva MAT




Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.c.

b) Criação da matriz VET

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante Y

Escreva VET



Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 4 para linhas e 1 para colunas e clique OK

Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.d.

c) Criação da função Lsolv

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função Lsolv

Escreva RES


Selecione na barra de menu Selecione na barra de menu Insert – Function

Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) e clique OK. Será mostrado o argumento da função Lsolv com dois quadrados pretos separados por vírgulas entre os parêntesis.

No primeiro quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e

MathCad 15 Jul/2018


depois tecle Enter (Fig. 8.e)

d) Calculo das raízes

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o vetor RES com os valores de X, Y, Z e W

Escreva RES

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação (Fig. 8.f).

Aplicando a metodologia acima, determine os valores de V, X, Y, Z e W do sistema de equações abaixo:

4,5 V + 10,8 X + 6,9 Y + 4,2 Z + 2,8 W + = 19,93

0,9 V + 1,3 X + 4,2 Y + 3,2 Z + 0,6 W + = 29,19

1,2 V + 8,7 X + 10,3 Y + 9,7 Z + 8,3 W + = 76,75

4,3 V + 5,1 X + 2,3 Y + 6,4 Z + 5,7 W + = 53,87

5,3 V + 3,7 X + 0 + 7,3 Z + 5,7 W + = 61,80

A solução deverá estar conforme abaixo:

8.2 Função Given/Find

Para resolver sistemas de equações utilizando a função Given/Find proceda da seguinte forma:

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função

Escreva Given

Digite o sistema de equações

Fig. 8.c Fig. 8.d Fig. 8.e Fig. 8.f

Fig. 8.g Fig. 8.h Fig. 8.i Fig. 8.j

MathCad 15 Jul/2018


Insira a função Find

Clique na ferramenta Symbolic Evoluation da barra de ferramentas Symbolic

Utilizando o método descrito, calcule as equações do sistema abaixo:

O sinal = a ser usado é o Equal to da barra de

ferramentas Boolean.

MathCad 15 Jul/2018


9. Cálculo de Integrais

Para o cálculo de integrais precisaremos da barra de ferramentas Calculus. Por isso, leve o

cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas,

mostrada na ao lado.

O cálculo de integrais no MathCad pode ser feito pelo métodos Numérico e Analítico, conforme veremos adiante.

9.1 Integrais Simples

Para calcular Integrais simples siga as seguintes etapas:

Etapa 1:

Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e a função, conforme figura ao lado.

Etapa 2:

Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3:

a) Método Numérico:

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral.

b) Método Analítico:

Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter para calcular a Integral.

A título de exercício vamos calcular as Integrais abaixo:

a) 2/

0

)(

dXXCOS

Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral.

Quando aparecer o símbolo de Integral digite nos devidos locais os seguintes valores:

Limite inferior: ........ 0

Limite Superior: ...... ¶/2

Função: ................... Cos(X)dX

MathCad 15 Jul/2018



Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado.


Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter que será mostrado o resultado.

b) dXXXX

)175.142

(

2/3

0

23

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme figura abaixo:

c)

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme abaixo:

Método Numérico Método Analítico

Método Numérico

Método Analítico


MathCad 15 Jul/2018


9.2 Integrais Duplas

O cálculo de integrais duplas é feito da mesma maneira que no caso das integrais simples, que consiste das seguintes etapas:

Etapa 1:

Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique duas vezes no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida dupla, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e as funções, conforme figura ao lado.

Etapa 2:

Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3:


Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado.


Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter para resolver a Integral.

Exemplos:

Explo 1:

Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme abaixo.

Explo 2:

Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez terminado, o resultado do método numérico deverá estar conforme ao lado. Calcule agora o método analítico.


Método Numérico

MathCad 15 Jul/2018


10. Cálculo de Derivadas

Para o cálculo de derivadas precisaremos das barras de

ferramentas Calculus e Symbolic.

10.1 Derivadas de 1ª Ordem

Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3

Para calcular a derivada de 1ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:

Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Derivative (Fig.10.a).

Preencha a ferramenta Derivative conforme abaixo:

Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da expressão.

Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e

depois tecle Enter.

A expressão deve estar conforme abaixo:

Pode-se também usar diretamente a função, sem digita-la, como abaixo:

Pode-se também, armazenar a derivada em uma função, como abaixo:

Desta forma podemos calcular o valor da derivada da função em qualquer ponto,

como abaixo:

G X( ) 6 X3

3 X2

5 X 3

XG X( )

d

d18 X

2 6 X 5

H X( )X

G X( )d

d

H X( ) 18 X2

6 X 5

MathCad 15 Jul/2018


10.2 Derivadas de Ordem N

Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3

Para calcular a derivada de 2ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:

Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Nth Derivative (Fig.10.a)

Preencha a ferramenta Nth Derivative conforme abaixo:

Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da expressão.

Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e

depois tecle Enter.

A expressão deve estar conforme abaixo:

Pode-se também usar diretamente a função, sem digita-la, como abaixo:

Pode-se também, armazenar a derivada em uma função, como abaixo:

Desta forma podemos calcular o valor da derivada da função em qualquer ponto,

como abaixo:

G X( ) 6 X3

3 X2

5 X 3

2X

G X( )d

d

2

36 X 6

H X( )2

X

G X( )d

d

2

H X( ) 36 X 6

H X( )2

X

G X( )d

d

2

H 3.58 135

MathCad 15 Jul/2018


11. Estudo de Regressões

Os estudos de regressão tem por finalidade determinar a função que melhor representa uma série de valores conhecidos. Uma vez obtida esta função, pode-se então estimar um valor futuro, obviamente admitindo que o cenário que gerou os valores conhecidos não venha a mudar no futuro.

Os tipos de regressão mais conhecidos são o Linear, Exponencial, Polinomial, Logarítmica e Média Móvel. Nós nos deteremos exclusivamente nos métodos Linear e Polinomial.

11.1 Regressão Linear

A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta (Fig.10.1.a) que melhor representa uma séria de valores conhecidos (Fig.10.1.b).

Em resumo, queremos determinar a equação:

Y = a X + b

Onde:

a Coeficiente angular da reta

b Intercessão com o eixo das abscissas

A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conforme abaixo:

Etapa 1:

Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado.

Fig. 10.1.a Fig. 10.1.b

MathCad 15 Jul/2018


Etapa 2:

Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do batão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo:

Etapa 3:

Executar as funções conforme abaixo:

Slope(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a

Intercept(X,Y) ...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b

a:=Slope(X,Y) b:= Intercept(X,Y)

Etapa 4:

Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo:

a =

b =

Explo 1:

Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo:

X 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Y 7,150 7,850 10,850 10,800 12,650 14,700 15,000 16,100 19,800 19,525

Etapa 1: Construção da matriz MAT


Escreva MAT


Calculator



Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.10.1.c.

Etapa 2: Definição das colunas de X e Y

a) Definição da coluna de X

MathCad 15 Jul/2018


Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará X

Escreva X


Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column

Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior e digite 0 e tecle Enter.

a) Definição da coluna de Y

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará Y

Escreva Y


Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column

Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior e digite 1 e tecle Enter.

Etapa 3: Executar as funções Slope(vx, vy) e Intercept(X,Y)

a) Definição do coeficiente a

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a

Escreva a


Selecione na barra de menu Insert - Function

Na janela Insert - Function selecione a função Slope(vx, vy) e clique OK.

Aparecera o argumento da função Slope(vx, vy) com dois quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiro

quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao lado e tecle Enter.

b) Definição do coeficiente b

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b

Escreva b


Selecione na barra de menu Insert - Function

Na janela Insert - Function selecione a função Intercept(X,Y) e clique OK.

Aparecera o argumento da função Intercept(X,Y com dois quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No

primeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao lado e tecle Enter.

Etapa 3: Determinação dos coeficientes a e b

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a

Escreva a

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e

MathCad 15 Jul/2018


tecle Enter.

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b

Escreva b

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e tecle Enter.

O resultado deverá ser:

a = 2.86

b = 7.008

Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaixo:

11.2 Regressão Polinomial

A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representa uma séria de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conforme abaixo:

Etapa 1:

Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado.

Etapa 2:

Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo:

Escreva X


Escreva MAT

Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix.

Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve digitar 0, conforme abaixo.

Escreva Y


Escreva MAT



Etapa 3:

Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é

008.786.2 xy

MathCad 15 Jul/2018


feito da seguinte forma:

Escreva K (ou uma outra variável)


Escreva 3 (ou outra ordem) e tecle Enter.

Etapa 4:

Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n), conforme abaixo:

Escreva W (ou uma outra variável)



Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK.

Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados.

o No primeiro quadrado e digite X

o No segundo quadrado e digite Y

o No terceiro quadrado e digite K

o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaixo.

Etapa 5:

Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S), conforme abaixo:

Escreva F(Z)



Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK.

Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados.

No primeiro quadrado e digite W

No segundo quadrado e digite X

No terceiro quadrado e digite Y

No quarto quadrado e digite Z

Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de ordem K deverá estar conforme abaixo.

Exercício:

Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule seu valor nos pontos X=2,75 e X= 11,47

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(X) 10,470 7,273 21,089 23,606 49,729 55,519 95,443 122,175 178,008 227,857

MathCad 15 Jul/2018


Etapa 1: Construção da matriz MAT


Escreva MAT


Calculator



Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conformefigura ao lado

Etapa 2: Definição das colunas de X e Y

Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo:

Escreva X


Escreva MAT



Escreva Y


Escreva MAT



Etapa 3: Definição da ordem do polinômio

Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é feito da seguinte forma:

Escreva K (ou uma outra variável)


Escreva 6 (ou outra ordem) e tecle Enter.

Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n)

MathCad 15 Jul/2018


Escreva W



Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK.

Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados.

o No primeiro quadrado e digite X

o No segundo quadrado e digite Y

o No terceiro quadrado e digite K

o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acima.

Etapa 5: Criar o polinômio F(Z) através da função interp(W, X,Y,S)

Escreva F(Z)



Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK.

Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados.

No primeiro quadrado e digite W

No segundo quadrado e digite X

No terceiro quadrado e digite Y

No quarto quadrado e digite Z

Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de 6ª ordem e deverá estar conforme abaixo.

Etapa 6: Definição dos coeficientes

Escreva W

Digite = (igual) ou clique na barra

Calculator no símbolo = para visualizar o vetor com os coeficientes do polinômio e clique Enter. O vetor deverá estar conforme figura ao lado.

Para calcular os valores nos pontos X=2,75 e X= 11,47 proceda conforme abaixo:

Escreva F(2.75)

Digite = (igual) ou clique na barra

Calculator no símbolo = para visualizar o valor do polinômio no

Coeficiente de X5

Coeficiente de X6

Coeficiente de X4

Coeficiente de X3

Coeficiente de X2

Coeficiente de X1

Termo Independente

MathCad 15 Jul/2018


ponto X=2,75 e clique Enter.

Escreva F(11.47)

Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor do

polinômio no ponto X= 11,47 e clique Enter.

O resultado deverá estar conforme abaixo:

Exercício:

O histórico de consumo de determinada matéria em uma empresa é mostrado na

Fig. A.

Estime o consumo para os 3 meses seguintes, utilizando um polinômio de 5º grau.

Solução:

Para construir a matriz polinomial, vamos numerar os meses, conforme Fig. B.

Desta forma, uma vez construído o polinômio, calcularemos os valores futuros calculando o valor do polinômio para 13, 14 e 15, conforme abaixo.

Fig. A

Fig. B

MathCad 15 Jul/2018


12. Construção de Gráficos

Para a construção de gráficos precisaremos da barra de ferramentas Graph. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Graph Palette para ativar esta barra de ferramentas,

mostrada na ao lado.

Para a construção de gráficos de funções proceda conforme abaixo:


Digite a função F(X)

Clique na barra de ferramentas Graph no tipo do gráfico desejado. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos conforme figura ao lado.

Digite no quadrado do eixo das abscissas o nome da variável e no do eixo das ordenadas o nome da função.

A título de exercício vamos construir o gráfico da função abaixo:

Para isto, proceda conforme abaixo:


Digite a função

Clique na barra de ferramentas Graph no ícone X-Y Plot. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos e os quadrados para digitar o nome da variável e da função.

No quadrado do eixo das variáveis digite X

No quadrado do eixo das abscissas digite F(X)

Tecle Enter. O gráfico deve estar conforme abaixo.

Limite superior

de X Limite inferior

de X

Limite superior

de F(X)

Limite inferior

de F(X)

MathCad 15 Jul/2018


12.1 Formatação de Gráficos

Conforme visto no item anterior, o gráfico é gerado automaticamente pelo MathCad, sem podermos escolher os limites nem a escala. No gráfico traçado acima, os limites de X, entre -10 e +10 foram ditados pelo programa.

Isto pode gerar um gráfico que não atenda perfeitamente, principalmente quando estamos interessados em conhecer o comportamento da função dentro de certos limites da variável.

Desta forma, torna-se necessário alterar as propriedades do gráfico gerado.

A título de exercício vamos formatar o gráfico de F(X) gerado no item anterior da seguinte forma:

Limite inferior de X: ............... 0

Limite superior de X: ............. 5

Limite inferior de F(X): .......... 0

Limite superior de F(X): ........ 50

Para isto, proceda da seguinte forma:

Clique com o cursor do mouse no limite inferior de X. Apague o valor -10 e digite 0

Clique com o cursor do mouse no limite superior de X. Apague o valor +10 e digite 5

Clique com o cursor do mouse no limite inferior de F(X). Apague o valor -18.8 e digite o valor 0

Clique com o cursor do mouse no limite superior de F(X). Apague o valor 45.7 e digite o valor 50

O gráfico deve estar conforme abaixo:

Além dos limites superior e inferior do gráfico podemos formatar também outras propriedades, como linhas de grade, tipos de eixo, escala, etc.

Vamos formatar o gráfico acima com as seguintes propriedades:

a) Adicionar grades horizontal e vertical

b) Mudar a escala vertical para que os valores fiquem múltiplos de 10

MathCad 15 Jul/2018


Para isto proceda conforme abaixo

Dê um duplo clique sobre o gráfico. Aparecerá a caixa de diálogo Formating Currently Selected X-Y Plot mostrada abaixo

Selecione as opções conforme figura acima e clique OK. Formate o gráfico nas abas Traces e Label para que fique conforme abaixo.

MathCad 15 Jul/2018


12.2 Gráficos de Duas Funções

A construção de gráficos de duas ou mais funções segue os mesmo procedimento que a dos gráficos de apenas uma função.

Para informar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escritas

no eixo das abcissas separadas por , (vírgula).

Seja, por exemplo, construir os gráficos das funções abaixo, F(X) e H(X).

Uma vez formatado, o gráfico das funções ficará conforme abaixo

F X( ) 3 X2

H X( ) 3 X2

50

Digite F(X),H(X)

MathCad 15 Jul/2018


13. Erro: Existência e Propagação

13.1 Existência do Erro

O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico, pois:

Os valores, em si, não são exatos.

Isto decorre do processo de medição, do erro do medidor e da incerteza do valor verdadeiro.

Por exemplo, um valor de 50m, com uma incerteza de ±0,2, é algo no intervalo de 49,8 e 50,2

Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga.

Quando efetuamos operações com valores que carregam incertezas, ela é levada para os resultados.

Isto é chamado de Propagação do Erro.

Os métodos numéricos são, freqüentemente, aproximados

Isto realça que os métodos numéricos não são, freqüentemente, exatos. Este método procura valores aproximados, buscando diminuir o erro e cada iteração que é feita.

Arredondamento

O computador representa números reais com um número finito de dígitos, sendo abrigado e aproximá-los quando este demandarem mais dígitos do que ele está programado para usar.

Um exemplo é o número ¶ e o número e, que terão que ser arredondados, pois seus infinitos dígitos não podem ser representados no computador.

Quando representamos um valor por M ± µ, M muito maior que µ, chamamos:

µ .............. Desvio Absoluto ou Erro Absoluto

µ / |M| ..... Desvio Relativo ou Erro Relativo ( |M| é o valor absoluto de M)

13.2 Propagação do Erro

Sejam os números abaixo, a e b:

a = 60 ± 2

b = 30 ± 3

Desta forma, os valores máximos e mínimos de a e b são:

a: ....... De 58 a 62

b: ....... De 27 a 33

62 +33 95

a + b

58 + 27 85

MathCad 15 Jul/2018


A Soma a + b varia de 85 a 95

62 - 27 35

a - b

58 - 33 25

A Subtração a - b varia de 25 a 35

62 x 33 2.046

a x b

58 x 27 1.566

A Multiplicação a x b varia de 1.566 a 2.046

Seja:

ea ...... Erro absoluto de a

eb ...... Erro absoluto de b

Teremos:

a) O Erro Absoluto da Soma

(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb)

O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das

parcelas.

b) O Erro Absoluto da Subtração

(a ± ea) - (b ± eb) = a - b ± (ea + eb)

O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das

parcelas.

c) O Erro Absoluto da Multiplicação

(a ± ea) x (b ± eb) = a . b ± (a . eb + b . ea)

O Erro Absoluto da Multiplicação é a soma dos erros absolutos

das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas.

Para analisar o Erro Relativo, consideremos:

MathCad 15 Jul/2018


Esoma .... Erro Relativo da soma

Esub ...... Erro Relativo da subtração

Eprod ..... Erro Relativo da multiplicação

Ea ......... Erro Relativo d e a

Eb ........ Erro Relativo de b

d) O Erro Relativo da Soma

Esoma = esoma / (a+b) = ea / (a+b) +eb / (a+b)

ba

b

b

e

ba

a

a

eE ba

soma

..

ba

bE

ba

aEE basoma

..

O Erro Relativo da Soma é a soma dos erros Relativos de cada

parcela, ponderada pela respectiva parcela.

e) O Erro Relativo da Subtração

ba

e

ba

e

ba

ee

ba

aeE baba

subsub

)(.

ba

bE

ba

aEE basub

..

O Erro Relativo da Subtração é a soma dos erros relativos do

minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pelas

respectivas parcelas.

f) O Erro Relativo do Produto

a

e

b

e

ba

eE abprod

prod .

MathCad 15 Jul/2018


O Erro Relativo do Produto é a soma dos erros relativos dos

fatores.

g) O Erro Relativo da Divisão

b

e

a

e

b

abb

ae

b

e

E ba

ba

div

.

.

O Erro Relativo da Divisão é a soma dos erros relativos do

dividendo e do divisor.

MathCad 15 Jul/2018


14. Cálculo de Raízes

Um caso clássico de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma:

0.. 2 cxbxa

As duas raízes são dados pela fórmula:

a

cabbx

.2

..42

Contudo, existem expressões cuja solução não é tão simples, como nos casos abaixo:

0 xe x

0)cos( xx

02)( xxLn

Também os polinômios, com grau superior a 3 não tem solução simples.

Vamos ver adiante alguns métodos numéricos para cálculos de raízes destas equações, com resultados que, embora aproximados, estejam dentro de limites estabelecidos.

14.1 Método Gráfico

Um gráfico bem plotado pode nos dar uma ideia bastante acurada das raízes de equações e, dependendo da precisão requerida, pode resolver nossos problemas.

Caso a precisão requerida não seja atendida por este método, ele pode servir de entrada para outros métodos mais aprimorados, que nos levem a precisão desejada.

Seja a função:

O gráfico da função ficará conforme abaixo:

Pela análise do gráfico, constatamos que raiz da equação encontra-se entre 0,0 e 1,0.

Caso este erro não seja admissível, poderemos usar esta resposta como ponto de partida para métodos mais precisos.

G X( ) cos X( ) X3

MathCad 15 Jul/2018


14.2 Método da Bipartição

Este método tenta melhorar a precisão dos resultados obtidos por outros métodos aproximados como, por exemplo, o método gráfico.

1º Passo: Escolha de a e b

Ele parte de um intervalo entre dois pontos, a e b, onde existe apenas uma raiz, que é o

ponto onde a função muda de sinal.

Os pontos a e b são escolhidos de forma que entre eles exista

apenas uma raiz.

No gráfico acima podemos afirmar que entre os pontos abaixo existe apenas uma raiz:

Entre 2,6 e 2,8 ..... existe apenas uma raiz ............ a = 2,6 e b = 2,8

Entre 2,8 e 3,2 ..... existe apenas uma raiz ........... a = 2,8 e b = 3,2

Entre 3,4 e 3,8 ..... existe apenas uma raiz ........... a = 3,4 e b = 3,8

Vamos escolher o intervalo com a = 2,6 e b = 2,8

2º Passo: Calcular o ponto médio c

2

bac

5,55

8,5))3,3((2,12)(

32 x

xSenxf

MathCad 15 Jul/2018


3º Passo: Calcular o valor da função nos pontos a, b e c

Calcula-se F(a), F(b) e F(c). Calcula-se também F(a) x F(c)

Podemos agora montar a primeira linha na nossa planilha Excel, que ficará conforme abaixo:

4º Passo: Posição da Raiz

Agora vamos reduzir o intervalo de procura da raiz. Para isso vamos determinar se a raiz está entre a e c ou entre b e c . e descartar o intervalo que não contém a raiz.

A raiz está entre b e c.

Do gráfico acima constatamos que:

A raiz está entre b e c

5,55

8,5))3,3((2,12)(

32 x

xSenxf

MathCad 15 Jul/2018


f(a) > 0 e f(c) > 0 ----- > então f(a) x f(c) > 0

f(b) < 0 e f(c) > 0 ----- > então f(b) x f(c) < 0

Concluímos então que:

f(a) x f(c) > 0 --------- > A raíz está entre b e c

f(a) x f(c) < 0 --------- > A raíz está entre a e c

5º Passo: Reduzir o Intervalo de Procura

Como vimos, a raiz está entre b e c. Desta forma, abandonamos o intervalo de procura entre a e c.

Abandonamos o intervalo entre a e c

O Gráfico fica de seguinte forma:

Na linha 2 repetimos b e a assume o valor de c

MathCad 15 Jul/2018


Este Método da Bipartição permite chegar tão próximo da raiz

quanto se queira, pois, como descrito acima, a cada iteração o

intervalo é dividido por dois e pode-se continuar até atingir a

precisão descrita.

No exercício acima foi definido um erro < 0,001. Desta forma, vamos repetir a processo

acima até que f(a), f(b) e f(c) < 0.

Uma vez terminado, a planilha estará da seguinte forma:

Encontramos a raíz na 13ª iteração, cujo valor é 2,7258

Pode-se também utilizar a função lógica SE para determinar os

valores de a e b, a partir da 2ª iteração, conforme mostrado

abaixo.

Os valores de a e b da 1ª iteração (células B4 e C4) tem que,

obrigatoriamente, ser digitados.

Colocando função SE , a planilha fica de seguinte forma:

MathCad 15 Jul/2018


Agora selecionamos as células B4:I4 e arrastamos a alça de preenchimento do Excel até entrarmos a precisão desejada.

Também podemos determinar raízes de equações pelo Método

da da Bipartição utilizando o MathCad, conforme abaixo:

F X( ) 12.2 sin 3.3 X( )2

5.8 X

3

55.5

=== 1a Iteração ===============================

a 2.6 b 2.8 Condições Iniciais

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 4.489

a 2.6 b 2.8 c 2.7

F a( ) 4.98596 F b( ) 1.88226 F c( ) 0.90032

=== 2a Iteração ===============================

a c Escolha do Intervalo

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 0.667

a 2.7 b 2.8 c 2.75

F a( ) 0.90032 F b( ) 1.88226 F c( ) 0.74065

MathCad 15 Jul/2018


=== 3a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 0.024

a 2.7000 b 2.7500 c 2.7250

F a( ) 0.90032 F b( ) 0.74065 F c( ) 0.02660

=== 4a Iteração ===============================

a c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 9.886 10 3

a 2.7250 b 2.7500 c 2.7375

F a( ) 0.02660 F b( ) 0.74065 F c( ) 0.37161

=== 5a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 4.682 10 3

a 2.7250 b 2.7375 c 2.7313

F a( ) 0.02660 F b( ) 0.37161 F c( ) 0.17600

=== 6a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 2.01 10 3

a 2.7250 b 2.7313 c 2.7281

F a( ) 0.02660 F b( ) 0.17600 F c( ) 0.07555

MathCad 15 Jul/2018


=== 7a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 6.567 10 4

a 2.7250 b 2.7281 c 2.7266

F a( ) 0.02660 F b( ) 0.07555 F c( ) 0.02468

=== 8a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 2.413 10 5

a 2.7250 b 2.7266 c 2.7258

F a( ) 0.02660 F b( ) 0.02468 F c( ) 0.00091

=== 9a Iteração ===============================

a c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 1.079 10 5

a 2.7258 b 2.7266 c 2.7262

F a( ) 0.00091 F b( ) 0.02468 F c( ) 0.01190

=== 10a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 4.989 10 6

a 2.7258 b 2.7262 c 2.7260

F a( ) 0.00091 F b( ) 0.01190 F c( ) 0.00550

MathCad 15 Jul/2018


Também podemos determinar raízes de equações pelo método da Eliminação da Bipartição através de programação conforme feito abaixo, utilizando o Pascal, conforme abaixo:

=== 11a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 2.084 10 6

a 2.7258 b 2.7260 c 2.7259

F a( ) 0.00091 F b( ) 0.00550 F c( ) 0.00230

=== 12a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 6.309 10 7

a 2.7258 b 2.7259 c 2.7258

F a( ) 0.00091 F b( ) 0.00230 F c( ) 0.00070

=== 13a Iteração ===============================

b c

ca b( )

2 F a( ) F c( ) 9.58 10 8

a 2.7258 b 2.7258 c 2.7258

F a( ) 0.00091 F b( ) 0.00070 F c( ) 0.00011

MathCad 15 Jul/2018


MathCad 15 Jul/2018


14.3 Método de Newton-Raphson

Este método seleciona um ponto da função, próximo da raiz, e calcula a derivada da função neste ponto.

Selecionamos o ponto xo, calculamos a derivada de f(x), que corta o eixo x no ponto x1

Assim temos:

Continuaremos calculando pontos xn até a diferença entre o último e o penúltimo pontos calculados esteja dentro da precisão desejada.

Assim ,temos:

Vamos calcular uma raiz da equação abaixo:

5,55

8,5))3,3((2,12)(

32 x

xSenxf

Uma vez construído o gráfico da função selecionamos um ponto qualquer próximo da raiz.

2 2.2 2.4 2.6 2.8 35

5

10

15

F X( )

X

MathCad 15 Jul/2018


Para este exercício vamos escolher o ponto 2.8 e vamos estabelecer um erro <0.001.

Assim temos:

F X( ) 12.2 sin 3.3 X 2

5.8 X

3

55.5

X0 2.8 ----- 1o Ponto --------------------------------------------

X1 X0F X0( )

X0F X0( )

d

d

X1 2.6893 X0 X1 ----- 2o Ponto --------------------------------------------

X1 2.6893

X1 X0F X0( )

X0F X0( )

d

d

Erro X1 X0 0.0341 X0 X1 ----- 3o Ponto --------------------------------------------

X1 2.7234

X1 X0F X0( )

X0F X0( )

d

d

Erro X1 X0 0.0024 X0 X1 ----- 4o Ponto --------------------------------------------

X1 2.7258

X1 X0F X0( )

X0F X0( )

d

d

Erro X1 X0 0.0000 X0 X1

Desta forma, na 4ª iteração atingimos a precisão especificada e encontramos uma raiz

X1 2.7258

MathCad 15 Jul/2018


15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Os métodos de resolução de Sistemas Lineares podem ser divididos em Métodos Diretos e Métodos Iterativos.

Independentemente do grupo escolhido, ambos visam a resolução de equações do tipo abaixo:

Na forma matricial, o sistema de equações lineares acima fica conforme abaixo:

aij Coeficientes das incógnitas, que formam a Matriz dos Coeficientes.

bij Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes.

xij São as incógnitas, que formam o Vetor das Incógnitas.

Os principais Métodos Diretos são:

Eliminação de Gauss

Fatoração LU

Os principais Métodos Iterativos são:

Jacobi

Gauss-Seidel

Devemos ter em mente que estes são Métodos Iterativos o número de iterações necessárias para atingir a solução está condicionado a precisão desejada e que pode ocorrer dos sistema não convergir.

Pode ser demonstrado que a condição suficiente, mas não necessária para haver convergência é que a matriz dos coeficientes seja Diagonalmente Dominante.

MathCad 15 Jul/2018


Em uma matriz Diagonalmente Dominante, para cada linha, o

termo da diagonal principal é, em módulo, maior ou igual que a soma

dos demais termos da linha e, pelo menos em uma linha, o módulo é

maior.

15.1 Método da Eliminação de Gauss

Considere a sistemas de equações abaixo, no qual os coeficientes das incógnitas abaixo da diagonal principal são todos zero.

A solução deste tipo de sistema de equações, em que os termos abaixo da diagonal principal são todos nulos, é imediata, pois resolvendo a terceira equação temos:

Resolvendo a 2ª equação temos:

Analogamente, resolvendo a primeira equação teremos:

O Método da Eliminação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Diretos e o objetivo é converter um dado sistema de equações para sua forma triangular (coeficientes

nulos abaixo da diagonal principal).

Portanto, este método é composto de duas fases:

1ª Fase (forward): Converter o sistema original em um sistema triangular.

Eliminar a variável X1 de todas as equações, a partir da segunda. Depois, eliminar a variável X2 de todas as equações, a partir da terceira e, assim sucessivamente.

2ª Fase (backward): Resolver o sistema, começando pela última variável, depois a penúltima, etc.

Seja o sistema de três equações abaixo:

5,233,1

33,33 X

0,292,3

369,307,172

XX

5,350,2

250,136,375,141

XXX

MathCad 15 Jul/2018


a11 2.5 a12 1.5 a13 3.6 b1 14.75

a21 4.30 a22 6.50 a23 2.50 b2 8.30

a31 3.2 a32 4.3 a33 3.70 b3 11.85

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

4.30

3.20

1.50

6.50

4.30

3.60

2.50

3.70

VET

14.75

8.30

11.85

======= 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =======

k1a21

a11

a21 a21 a11 k1 a22 a22 a12 k1

a23 a23 a13 k1 b2 b2 b1 k1

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

3.20

1.50

3.92

4.30

3.60

3.69

3.70

VET

14.75

17.07

11.85


k2a31

a11

a31 a31 a11 k2 a32 a32 a12 k2

a33 a33 a13 k2 b3 b3 b1 k2

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

1.50

3.92

2.38

3.60

3.69

0.91

VET

14.75

17.07

7.03

MathCad 15 Jul/2018


Usando solução de equações:

Pode-se usar também uma linguagem de programação e criar um

programa para determinar as raízes de um sistema pelo Método de

eliminação de Gauss.

O programa utilizado abaixo foi o PASCALZIM, Versão 5.1.1.,

desenvolvido com finalidades educacionais e de livre utilização.

a31 a31 a21 k3 a32 a32 a22 k3

a33 a33 a23 k3 b3 b3 b2 k3

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

1.50

3.92

0.00

3.60

3.69

1.33

VET

14.75

17.07

3.33


k3a32

a22

======= RESULTADOS =======

MathCad 15 Jul/2018


O programa desenvolvido e respectivos resultados são mostrados a seguir:

MathCad 15 Jul/2018


Program Metodo_Gauss;

Var A: Array[1..3, 1..3] of Real; B: Array[1..3] of Real;

i, j: Integer; k1, k2, k3: Real; X1, X2, X3: Real;

Begin

{===== A(3X3) ---> Matriz dos coeficientes =====}

A[1,1]:=2.50; A[1,2]:=1.50; A[1,3]:=3.60;

A[2,1]:=4.30; A[2,2]:=6.50; A[2,3]:=2.50;

A[3,1]:=3.20; A[3,2]:=4.30; A[3,3]:=3.70;

{===== B(3x1)--> Vetor dos termos independentes =====}

B[1]:=14.75; B[2]:=8.30; B[311.85;

Writeln('Matriz A e vetor B');

For i:=1 to 3 do Begin {Impressão de A e B}

For j:=1 to 3 do Begin

Write (A[i,j], ' - ');

End;

Write ('--> ',B[i]);

Writeln;

Writeln;

End;

Writeln;

{===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =====}

k1:= A[2,1]/A[1,1];

For i:=1 to 3 do Begin;

A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1

End;

B[2]:=B[2]-B[1]*k1;


k2:= A[3,1]/A[1,1];


A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2

End;

B[3]:=B[3]-B[1]*k2;


k3:= A[3,2]/A[2,2];


A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3

End;

B[3]:=B[3]-B[2]*k3;

{====== Impressão de A e B ============}

Writeln; writeln;

Writeln('Matriz de Gauss');

For i:=1 to 3 do Begin


Write (A[i,j], ' - ');

End;

Write ('--> ',B[i]);

Writeln;

Writeln;

End;

{======= Impressão das Raízes ==========}

X3:= B[3]/A[3,3];

X2:= (B[2]-A[2,3]*X3)/A[2,2];

X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3)/A[1,1];

Writeln('Raízes: ');

MathCad 15 Jul/2018


Writeln (' X1= ',X1); Writeln;



Writeln('Tecle ENTER p/ Terminar');

End.

MathCad 15 Jul/2018


Determinar as raízes do sistema de equações abaixo, pelo Método de

eliminação de Gauss, utilizando o PASCALZIM.

Program Metodo_Gauss_4Eq ;

Var A: Array[1..4, 1..4] of Real; B: Array[1..4] of Real;

i, j: Integer;

k1, k2, k3, k4, k5, k6: Real;

X1, X2, X3, X4: Real;

{A(4x4) ---> Matriz dos coeficientes}

Begin

A[1,1]:=3.55; A[1,2]:=3.70; A[1,3]:=4.47; A[1,4]:=2.10;

A[2,1]:=6.41; A[2,2]:=5.34; A[2,3]:=2.93; A[2,4]:=1.47;

A[3,1]:=2.14; A[3,2]:=5.90; A[3,3]:=9.57; A[3,4]:=8.01;

A[4,1]:=2.95; A[4,2]:=3.18; A[4,3]:=8.32; A[4,4]:=0.35;

{B(4x1) ---> Vetor dos termos independentes}

B[1]:=9.6350; B[2]:=10.4600; B[3]:=2.2350; B[4]:=25.1000;

{====== Impressão de A e B =====================}

Writeln('Matriz A e vetor B');



Write (A[i,j], ' ; ');

End;

Write ('--> ',B[i]);

Writeln; Writeln;

End;

Writeln;


k1:= A[2,1]/A[1,1];


A[2,i]:= A[2,i]-A[1,i]*k1

End;

B[2]:=B[2]-B[1]*k1;


k2:= A[3,1]/A[1,1];


A[3,i]:= A[3,i]-A[1,i]*k2

End;

B[3]:=B[3]-B[1]*k2;


k3:= A[3,2]/A[2,2];


A[3,i]:= A[3,i]-A[2,i]*k3

End;

B[3]:=B[3]-B[2]*k3;

MathCad 15 Jul/2018



k4:= A[4,1]/A[1,1];


A[4,i]:= A[4,i]-A[1,i]*k4

End;

B[4]:=B[4]-B[1]*k4;


k5:= A[4,2]/A[2,2];


A[4,i]:= A[4,i]-A[2,i]*k5

End;

B[4]:=B[4]-B[2]*k5;


k6:= A[4,3]/A[3,3];


A[4,i]:= A[4,i]-A[3,i]*k6

End;

B[4]:=B[4]-B[3]*k6;

{====== Impressão de A e B =====================}

Writeln('Matriz de Gauss');



Write (A[i,j], ' ; ');

End;

Write ('--> ',B[i]);

Writeln;

Writeln;

End;

{===== Cálculo das Raízes ======================}

X4:= B[4]/A[4,4];

X3:= (B[3]-A[3,4]*X4)/A[3,3];

X2:= (B[2]-A[2,3]*X3-A[2,4]*X4)/A[2,2];

X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3-A[1,4]*X4)/A[1,1];

Writeln('Raízes: ');





Writeln('Tecle ENTER p/ Terminar');

End.

MathCad 15 Jul/2018


Podemos também aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes, primeiro zerando os elementos abaixo da diagonal principal e depois acima.

Seja o Sistema de equações abaixo:

Vamos aplicar o Método Eliminação de Gauss duas vezes para determinar as raízes:

a11 2.5 a12 1.5 a13 3.6 b1 14.75

a21 4.30 a22 6.50 a23 2.50 b2 8.30

a31 3.2 a32 4.3 a33 3.70 b3 11.85

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

4.30

3.20

1.50

6.50

4.30

3.60

2.50

3.70

VET

14.75

8.30

11.85

===== 2a Linha = 2a Linha - 1a Linha x k1 =========

k1a21

a11

a21 a21 a11 k1 a22 a22 a12 k1

a23 a23 a13 k1 b2 b2 b1 k1

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

3.20

1.50

3.92

4.30

3.60

3.69

3.70

VET

14.75

17.07

11.85

MathCad 15 Jul/2018


===== 3a Linha = 3a Linha - 1a Linha x k2 =========

k2a31

a11

a31 a31 a11 k2 a32 a32 a12 k2

a33 a33 a13 k2 b3 b3 b1 k2

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

1.50

3.92

2.38

3.60

3.69

0.91

VET

14.75

17.07

7.03

====== 3a Linha = 3a Linha - 2a Linha x k3 =========

k3a32

a22

a31 a31 a21 k3 a32 a32 a22 k3

a33 a33 a23 k3 b3 b3 b2 k3

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

1.50

3.92

0.00

3.60

3.69

1.33

VET

14.75

17.07

3.33


k4a12

a22

a11 a11 a21 k4 a12 a12 a22 k4

a13 a13 a23 k4 b1 b1 b2 k4

MathCad 15 Jul/2018


MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

0.00

3.92

0.00

5.01

3.69

1.33

VET

21.28

17.07

3.33


k5a13

a33

a13 a13 a33 k5 b1 b1 b3 k5

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

0.00

3.92

0.00

0.00

3.69

1.33

VET

8.75

17.07

3.33


k6a23

a33

a23 a23 a33 k6 b2 b2 b3 k6

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

VET

b1

b2

b3

MAT

2.50

0.00

0.00

0.00

3.92

0.00

0.00

0.00

1.33

VET

8.75

7.84

3.33

x1b1

a113.50 x2

b2

a222.00 x3

b3

a332.50

MathCad 15 Jul/2018


15.2 Método de Jacobi

Os Métodos Diretos tem o inconveniente de alterar a matriz inicial que, no caso de grandes matrizes, pode levar a erros não toleráveis.

Os Métodos Iterativos mantém inalterada a matriz principal, partindo de uma aproximação inicial, melhorando continuamente a aproximação, até alcançar uma solução aceitável.

O Método de Jacobi isola uma variável em cada equação e aplicar às outras uma aproximação inicial chegando-se assim a a outra aproximação, que, espera-se, seja melhor que a anterior.

Assim, dado um sistema de n equações e n incógnitas, teremos:

Vamos resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi

=================== 1a ITERAÇÃO ================

X1 0 X2 0 X3 0

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9680.128

A1 X1

X1 0 X2 0 X3 0

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5762.099

A2 X2

X1 0 X2 0 X3 0

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.657

A3 X3

),.....,,( 3211 nxxxfx

),.....,,( 3122 nxxxfx

.................................

),.....,,( 121 nnn xxxfx

MathCad 15 Jul/2018


=================== 2a ITERAÇÃO ================

X1 0.128 X2 2.099 X3 2.657

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.661

D1 X1 A1

A1 X1

X1 0.128 X2 2.099 X3 2.657

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.198

D2 X2 A2

A2 X2

X1 0.128 X2 2.099 X3 2.657

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.135

D3 X3 A3

A3 X3

D1 1.533 D2 0.901 D3 0.522

=================== 3a ITERAÇÃO ================

X1 1.661 X2 1.198 X3 2.135

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.288

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.661 X2 1.198 X3 2.135

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.656

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.661 X2 1.198 X3 2.135

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.603

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.373 D2 0.459 D3 0.467

MathCad 15 Jul/2018


=================== 4a ITERAÇÃO ================

X1 1.288 X2 1.656 X3 2.603

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.570

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.288 X2 1.656 X3 2.603

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.426

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.288 X2 1.656 X3 2.603

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.427

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.283 D2 0.230 D3 0.175

=================== 5a ITERAÇÃO ================

X1 1.570 X2 1.426 X3 2.427

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.456

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.570 X2 1.426 X3 2.427

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.538

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.570 X2 1.426 X3 2.427

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.530

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.115 D2 0.112 D3 0.103

MathCad 15 Jul/2018


=================== 6a ITERAÇÃO ================

X1 1.456 X2 1.538 X3 2.530

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.520

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.456 X2 1.538 X3 2.530

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.482

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.456 X2 1.538 X3 2.530

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.484

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.064 D2 0.056 D3 0.046

=================== 7a ITERAÇÃO ================

X1 1.520 X2 1.482 X3 2.484

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.490

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.520 X2 1.482 X3 2.484

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.509

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.520 X2 1.482 X3 2.484

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.508

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.029 D2 0.028 D3 0.024

MathCad 15 Jul/2018


=================== 8a ITERAÇÃO ================

X1 1.490 X2 1.509 X3 2.508

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.505

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.490 X2 1.509 X3 2.508

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.496

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.490 X2 1.509 X3 2.508

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.496

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.015 D2 0.014 D3 0.012

=================== 9a ITERAÇÃO ================

X1 1.505 X2 1.496 X3 2.496

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.498

D1 X1 A1

A1 X1

X1 1.505 X2 1.496 X3 2.496

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.502

D2 X2 A2

A2 X2

X1 1.505 X2 1.496 X3 2.496

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.502

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.007 D2 0.007 D3 0.006

========== F I M ==========

Desta forma, temos que as raízes do sistema de equações são:

X1 = -1,5

X2 = 1,5

X3 = 2,5

MathCad 15 Jul/2018


A resolução de Sistemas de Equações pelo Método de Jacobi também pode ser feito utilizando o Microsoft Excel, conforme abaixo:

=ABS(D7-D4)

MathCad 15 Jul/2018


O programa desenvolvido e respectivos resultados são mostrados abaixo:

Desenvolver um programa em PASCAL para determinar as raízes do sistema de equações pelo Método de Jacobi, com precisão de centésimos.

Caso a precisão não seja alcançada na centécima iteração, o programa deve ser encerrado.

Ao final, apresentar o resultado, o erro e o número de iterações.

MathCad 15 Jul/2018


Program JACOBI;

var

X1, X2, X3: real; {Raízes das equações}

D1, D2, D3: real; {Diferença entre a raíz N e a N-1}

A1, A2, A3: real; {Armazena o valor da N-1 iteração}

B1, B2, B3: real;

I: integer;

Begin

X1:=0; X2:=0; X3:=0;

D1:=1; D2:=1; D3:=1;

B1:=0; B2:=0; B3:=0;

I:=0; {Número de iterações} I:=0; {Número de iterações}

while (D1>=0.001) and (D2>=0.001) and (D3>=0.001) and (I<100) do

begin

X2:=B2;

X3:=B3;

X1 := (30.226-0.882*X2-2.762*X3)/5.996; {Calcula X1 na 1a equação}

A1:=X1;

D1:=abs(X1-B1); {Diferença entre a iteração atual e a anterior}

X1:=B1;

X3:=B3;


A2:=X2;


X1:=B1;

X2:=B2;


A3:=X3;


B1:=A1;

B2:=A2;

B3:=A3;

I:=I+1; {Contador de Iterações}

end;

writeln('Número de iterações: ',I);

writeln;

writeln('X1 = ', X1);



writeln;

writeln('D1 = ', D1);



writeln;

writeln('Tecle <ENTER> para Terminar');

End.

MathCad 15 Jul/2018


15.3 Método de Gauss-Seidel

O Método de Gauss-Seidel é uma variação do Método de Jacobi. Ele também parte de uma aproximação inicial, geralmente (0, 0, 0, ...,0), porém à medida que as raízes são determinadas, elas são usadas desse ponto em diante nas iterações seguintes.

Este método tende a convergir mais rápido que o Método de Jacobi.

Vamos resolver o mesmo sistema pelo Método de Gauss-Seidel.

=================== 1a ITERAÇÃO ================

X1 0 X2 0 X3 0

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9680.128

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5762.122

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.130

A3 X3

=================== 2a ITERAÇÃO ================

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.421

D1 X1 A1

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.615

D2 X2 A2

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.458

D3 X3 A3

A3 X3

D1 1.293 D2 0.507 D3 0.329

MathCad 15 Jul/2018


=================== 3a ITERAÇÃO ================

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.498

D1 X1 A1

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.514

D2 X2 A2

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.496

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.077 D2 0.101 D3 0.038

=================== 4a ITERAÇÃO ================

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.500

D1 X1 A1

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.502

D2 X2 A2

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.500

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.003 D2 0.013 D3 0.004

MathCad 15 Jul/2018


=================== 5a ITERAÇÃO ================

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.500

D1 X1 A1

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.500

D2 X2 A2

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.500

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.000 D2 0.001 D3 0.000

=================== 6a ITERAÇÃO ================

X10.636 0.731 X2 2.288 X3

4.9681.500

D1 X1 A1

A1 X1

X29.604 0.827 X1 1.592 X3

4.5761.500

D2 X2 A2

A2 X2

X315.695 0.905 X1 1.523 X2

5.9072.500

D3 X3 A3

A3 X3

D1 0.000 D2 0.000 D3 0.000

========== F I M ==========

Desta forma, temos que as raízes do sistema de equações são:

X1 = -1.5

X2 = 1.5

X3 = 2.5

MathCad 15 Jul/2018


Neste caso em particular do Método de Gauss-Seidel, é alcançada uma precisão de centésimos na 5ª iteração.

Comparando o Método de Gauss-Seidel com o Método de Jacobi,

verificamos que, neste caso particular, a precisão atingida pelo Método

de Jacobi na 9ª iteração é atingida pelo Método de Gauss-Seidel na

6ª iteração.

A resolução de Sistemas de Equações pelo Método de Gauss-Seidel também pode ser feita utilizando o Microsoft Excel, conforme abaixo:

Analogamente ao que foi feito no Método de Jacobi, podemos desenvolver um programa em Pascal para determinar as raízes do sistema de equações pelo medo de Gauss-Seidel.

=(-0,636-0,731*F3-2,288*H3)/4,968 =(9,604-0,827*D4-1,592*H3)/4,576

=(15,695-0,905*D4-1,523*F4)/5,907 =ABS(D7-D4)

MathCad 15 Jul/2018


Program GAUSS_SEIDEL ;

var

A: Array[1..3, 1..3] of Real;

B: Array[1..3] of Real;

n: Integer;

X1, X2, X3: real; {Raízes do Sitema}

D1, D2, D3: real; {Diferença entre a n-éssima iteração e a anterior}

A1, A2, A3: real; {Armazena o valor do n-éssima iteração}

I: integer; {Contador de iterações}

Begin

A[1,1]:=5.996; A[1,2]:=0.882; A[1,3]:=2.762; B[1]:=30.226;

A[2,1]:=0.998; A[2,2]:=5.523; A[2,3]:=1.922; B[2]:=22.716;

A[3,1]:=1.092; A[3,2]:=1.838; A[3,3]:=7.130; B[3]:=22.130;

X1:=0; X2:=0; X3:=0;

D1:=1; D2:=1; D3:=1;

I:=0;

while (D1>=0.001) and (D2>=0.001) and (D3>=0.001) and (I<50) do

begin

A1:=X1;

A2:=X2;

A3:=X3;

X1:= (B[1]-A[1,2]*X2-A[1,3]*X3)/A[1,1]; {Calcula X1 na 1a equação}



D1:=abs(A1-X1); {Diferença entre a iteração atual e a anterior}

D2:=abs(A2-X2);

D3:=abs(A3-X3);

I:=I+1;

end;

writeln;

writeln('Número de iterações: ',I);

writeln;

writeln('Raízes:');

writeln(' X1 = ', X1);



writeln;

writeln('Erro:');

writeln(' D1 = ', D1);



writeln;

writeln('Tecle <ENTER> para Terminar');

End.

Desenvolver um programa em PASCAL para determinar as raízes do sistema de equações pelo Método de Gauss-Seidel, com precisão de centésimos.

Caso a precisão não seja alcançada na quinquagésima iteração, o programa deve ser encerrado.

Ao final, apresentar o resultado, o erro e o número de iterações.

MathCad 15 Jul/2018


Interpolação Polinomial

Seja a tabela abaixo, formada por n+1 pontos (Xi, Yi).

X X0 X1 X2 X3 .......... XN

Y Y0 Y1 Y2 Y3 .......... YN

O objetivo da Interpolação Polinomial é passar por n+1 pontos um polinômio de grau n, P(x):

P(x) = an xn + an-1 xn-1 +…….+ a2 x2 + a1 x1 +a0

Trata-se, então de calcular os n+1 coeficientes de P(x), an , an-1 , , a2 , a1 , a0 , de modo que o polinômio passe pelos n+1 pontos da tabela.

Temos, então:

P(x0 ) = y0

P(x1 ) = y1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

P(xn ) = yn

P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0 n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0



……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

P(xn ) = an xn n + an-1 xn n-1 + … + a2 xn 2 + a1 xn + a0 = yn

Temos, então, um sistema de n equações e n incógnitas, onde as incógnitas são os coeficientes an , an-1 , , a2 , a1 , a0 do polinômio.

Sob a forma matricial, o sistema ficaria como abaixo:

Uma vez mais, recordemos o significado de cada elemento do sistema acima:

X0, Y0 .... Par de coordenadas por onde passará o Polinômio.

MathCad 15 Jul/2018


ai ......... Coeficientes do Polinômio, que são as incógnitas do sistema.

Demonstra-se que o determinante da matriz dos pontos Xi , DETX, cujo nome é

Determinante de Valdemonde, é dado por:

DETX = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )

Pode ser demonstrado, também, que a solução existe e é única.

Desta forma, existe um único polinômio de grau n que passa pelos

n+1 pontos dados.

Existe um tipo de sistema que tem um valor de determinante muito pequeno

quando comparado ao valor de seus elementos e uma pequena alteração em um dos

elementos acarreta uma grande variação no resultado.

Este tipo de sistema é chamado de Sistema Mal Condicionado.

O Determinante de Valdemonde é um Sistema Mal Condicionado.

MathCad 15 Jul/2018


15.4 Interpolação pelo Método de Lagrange

X X0 X1 X2 X3 .......... XN

Y Y0 Y1 Y2 Y3 .......... YN

Deseja-se passar um polinômio de grau n pelos pontos acima.

O Método de Lagrange constrói n+1 polinômios de grau n, que são:

L0(X), L1(X), L2(X), L3(X),...... Ln(X).

Estes polinômios são construídos conforme fórmula abaixo:

O Polinômio de Lagrange, construído a partir dos n polinômios acima, é dado por:

A título de exercícios, vamos determinar o Polinômio de Lagrange que

interpola os pontos.

i 0 1 2 3

Xi 0 1 2 4

Yi 4 11 20 44

Como vimos acima, os n polinômios e o polinômio interpolador de Lagrange são:

)).....()().....().((

))......()()......().(()(

1110

1110

niiiiiii

niii

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXL

)(........)(.)(.)(.)( 22110 XLYXLYXLYXLYXL nno

))().((

)).(2).(()(

302010

310

XXXXXX

XXXXXXXL

))().((

)).(2).(()(

312101

301

XXXXXX

XXXXXXXL

))().((

)).().(()(

321202

3102

XXXXXX

XXXXXXXL

))().((

)).().(()(

231303

2103

XXXXXX

XXXXXXXL

)(.)(.)(.)(.)( 3322110 XLYXLYXLYXLYXL o

MathCad 15 Jul/2018


Passando para o MathCad, temos a solução:

Fazendo a verificação dos resultados, temos abaixo o valor do polinômio nos pontos dados e respectivo gráfico.

A divergência verificada entre os valores reais e os valores polinomiais deve-se a erros de arredondamento.

Caso se deseje, pode-se fazer a solução algébrica para comparar

os resultados, conforme abaixo;

X0 0 X1 1 X2 2 X3 4

Y0 4 Y1 11 Y2 20 Y3 44

L0 X( )X X1

X0 X1

X X2

X0 X2

X X3

X0 X3

L1 X( )X X0

X1 X0

X X2

X1 X2

X X3

X1 X3

L2 X( )X X0

X2 X0

X X1

X2 X1

X X3

X2 X3

L3 X( )X X0

X3 X0

X X1

X3 X1

X X2

X3 X2

P X( ) Y0 L0 X( ) Y1 L1 X( ) Y2 L2 X( ) Y3 L3 X( )

MathCad 15 Jul/2018


Temos então que o Polinômio é:

Desenvolvendo no MathCad, temos:

))().((

)).(2).(()(

302010

310

XXXXXX

XXXXXXXL

)40)(20).(10(

)4).(2).(1(

XXX

1.750,1.875,0.125,0)( 23

0 XXXXL

))().((

)).(2).(()(

312101

301

XXXXXX

XXXXXXXL

)41)(21).(01(

)4).(2).(0(

XXX

XXXXL .667,2.2.3333,0)( 23

1

))().((

)).().(()(

321202

3102

XXXXXX

XXXXXXXL

)24)(14).(04(

)2).(1).(0(

XXX

XXXXL 0833,0.125,0.0417,0)( 23

2

))().((

)).().(()(

231303

2103

XXXXXX

XXXXXXXL

)42)(12).(02(

)4).(1).(0(

XXX

XXXXL 23

3 .25,1.25,0)(

)(.)(.)(.)(.)( 3322110 XLYXLYXLYXLYXL o

)(.44)(.20)(.11)(.4)( 3210 XLXLXLXLXL

49989,5.001,0)( 23 XXXXL

MathCad 15 Jul/2018


15.5 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas)

Seja o conjunto de pontos (Xi, Yi) de uma função Y = F(X).

Define-se Operador Diferença Dividida de Primeira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi) e (Xi+1,Yi+1) como:

Note-se que Dyi é na verdade uma aproximação da primeira derivada da função nesse

ponto.

As Diferenças Divididas das ordens superiores também são aproximações das derivadas dessa ordem.

Define-se Operador Diferença Dividida de Segunda Ordem sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Terceira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) e (Xi+3, Yi+3) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem r sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem Zero sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:

1,.....,2,1,0,)()(

1

1

1

1

nixx

yy

xx

xFxFDy

ii

ii

ii

iii

2,...,2,1,0,2

12

nixx

DyDyyD

ii

iii

3,....,2,1,0,3

2

1

23

nixx

yDyDyD

ii

iii

ni ,....,2,1,0

rnr ,....,2,1,0iri

i

r

i

r

i

r

xx

yDyDyD

1

1

1

niyyD ii ,....,2,1,0,0

MathCad 15 Jul/2018


O Polinômio Interpolador com Diferenças Divididas é um polinômio da forma:

Seja o conjunto de pontos abaixo:

i 0 1 2 3

xi 1 2 4 8

yi 120 94 75 62

Os valores das diferenças divididas são:

i xi yi Dyi D2yi D3yi

0 1 120 (94-120)/(2-1)= -26 (-9,5+26)/(4-1)= 5,5 (1,04-5,5)/(8-1)= 0,64

1 2 94 (75-94)/(4-2)= -9,5 (-3,25+9.5)/(8-2)= 1,04

2 4 75 (62-75)/(8-4) = -3,25

3 8 62

P(X)=120+(X-1).DY0+(X-1).(X-2) D2Y0 +(X-1).(X-2).(X-4) D3Y0

P(X)=120+(X-1).(-26)+(X-1).(X-2) (5,5) +(X-1).(X-2).(X-4) (0,64)

01100

2

10000 ).).......().(().).(().()( yDxxxxxxyDxxxxDyxxyxP n

n

1325.3364,0)( 23 XXXxP

MathCad 15 Jul/2018


15.6 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados

O Teorema dos Mínimos Quadrados estabelece que, se um número de

medidas é realizado de um mesmo evento físico, onde existe probabilidade

de erro, então o valor mais provável do valor da medida é aquele que

torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.

15.6.1 Ajuste Linear

Este teorema pode ser aplicado ao caso em que se deseja passar uma linha reta por um conjunto de pontos.

Considere o conjunto de pontos abaixo:

X X0 X1 X2 X3 .......... XN

Y Y0 Y1 Y2 Y3 .......... YN

Existe, então, uma reta, da forma abaixo, que representa o valor mais provável para esses pontos com um valor de erro mínimo.

O quadrado dos somatório dos erros é dado por:

Para determinar os valores de a e b que tornam o erro mínimo, calcula-se a derivada e iguala-se a zero.

Evidenciando e e dividindo por 2n a expressão 1, temos:

xbay .

2

1 1

2 )).( i

n n

ii xbay

niii

a

xbay

a 1

22].[

n

ii bxay1

0][2

niii

b

xbay

b 1

22].[

n

iii bxayx1

0][2

1

2

nn

bx

n

a

n

yn

i

nn

i

2

0

2

2

2

2

2

2111

0111

n

bx

n

a

n

yn

i

nn

i

0__

xbay

MathCad 15 Jul/2018


Levando este valor para expressão 2, temos:

O Coeficiente de Determinação R2 determina o quanto a reta está próxima dos pontos dados. Este coeficiente varia entre 0 e 1 e, quanto mais próximo de 1, melhor é o ajuste.

A título de exercício, vamos ajustar o conjunto de pontos abaixo por uma reta.

__

xbya

n

iii bxxbyyx1

__

0)(2

n

iiii xxbxyyx1

__

0)]()([2

n n

iiii xxxbyyx1 1

__

0)()(

n

i

ii

n

i

ii

xxx

yyx

b

1

_

1

_

)(

)(

4954,06,671.15

4,764.7b

n

i

i

n

i

i

x

R

1

1

2

2 1

MathCad 15 Jul/2018


69,522,108.4954,03,106 a

69,524954,0 xy

98,00,955.118

7,525.112 R

MathCad 15 Jul/2018


16. Integração Numérica

Neste capítulo vamos calcular, empregando métodos numéricos, os valores, aproximados, de integrais definidas, do tipo abaixo:

Lança-se mão deste método quando não se consegue calcular analiticamente o valor das integrais, como a do tipo abaixo, que não tem solução analítica exata:

16.1 Método dos Trapézios

O Método dos Trapézios consiste em aproximar a função por uma reta entre os limites inferior e superior de integração, formando assim um trapézio cujas bases são f(a) e f(b) e a altura é (b-a), conforme figura abaixo.

Desta forma, o valor da integral da função entre os pontos a e b é calculada da seguinte forma:

Este método pode apresentar erro significativo, dependendo da curvatura da função entre os intervalos de integração.

Para diminuir o erro, em vez de usar apenas um trapézio, pode-se dividir a função em n

trapézios entre os intervalos de integração, conforme figura abaixo.

Desta forma, obtem-se n intervalos de amplitude como abaixo:

b

adXXFI )(

1

0

2dxeI

abh hbfaf

S .2

)()(

n

abh

MathCad 15 Jul/2018


A área de cada intervalo é dada por:

Como Xo corresponde ao limite inferior de integração (ponto a) e Xn ao superior (ponto_b), temos a fórmula da integral pelo Método dos Trapézios é:

Á título de exercício, calculemos a integral abaixo pelo Método dos

Trapézios, dividindo o intervalo de integração em 2 (dois) intervalos.

Usando a função Integral do MathCad, calculamos o valor da integral para compara-lo com o valor obtido pelo Método dos Trapézios

Calculando pelo Método dos Trapézios, temos:

4

0

)( dxXFI3)( 75,0 XeXF

2

)()(....

2

)()(

2

)()( 12110 nn xfxfxfxfxfxfhS

1

1

)(2

)(

2

)( n

n

nno xf

xfxfhS

1

1

)(2

)(

2

)( n

n

nxfbfaf

hS

MathCad 15 Jul/2018


O erro entre os dois métodos foi:

Calcule, agora, o valor da mesma integral, pelo Método dos Trapézios,

dividindo o intervalo de integração em 3 (três) intervalos.

Conforme previsto, constata-se que o erro diminui à medida que se aumenta o número de intervalos.

16.2 Método de Simpson

O Método Simpson consiste em dividir o intervalo de integração (a, b) em n intervalos

iguais de amplitude h, sendo n par.

Desta forma, obtém-se n intervalos de amplitude h, como abaixo:

F X( ) e0.75 X

3

F 0 4.000 F 2 7.482 F 4 23.086

H4 0

22.000

S HF 0

2

F 4

2 F 2

S 42.049

I S

I100

12.29 %

F X( ) e0.75 X

3

H4 0

31.33

SF 0 F 4

2F 1.333 F 2.667

H

S 39.54

I S

I100

5.57 %

n

abh

MathCad 15 Jul/2018


A seguir, construímos a tabela com os n+1 pontos (Xi, Yi):

X X0 =a X1 X2 . . . . . Xn-1 Xn=b

Y Y0 Y1 Y2 . . . . . Yn-1 Yn

O passo seguinte é:

Passar por cada dois intervalos consecutivos (a cada 3 pontos) uma equação do segundo grau (haverá então n/2 equações).

Acha-se a integral de cada equação.

Somam-se todas as n/2 integrais e têm-se a integral total.

Trabalhando com os dois primeiros intervalos da tabela, (X0 , Y0 ) e (X1 , Y1 ):

X X0 =a X1 X2

Y Y0 Y1 Y2

Mudando-se o eixo Y para x=x1, fica:

X -h 0 h

Y Y0 Y1 Y2

Seja a equação que passa pelos 3 pontos:

CBXAXY 2

CBhAhchBhAyo 22 )()(

CBAy )0()0( 2

1

CBhAhchBhAy 22

2 )()(

Cy 1

h

hdxCBXAXI )( 2

1

h

hCXBXAX

I ]23

[23

1

3

)422(2

32

23

1

hCCAhCh

hAI

CAhyy 22 2

20

3

)4( 1201

hyyyI

)4(3

2101 yyyh

I

MathCad 15 Jul/2018


A fórmula acima calcula a integral da equação de segundo grau

que passa pelos três pontos y0, y1 e y2.

Seja calcular a integral abaixo pelo Método de Simpson:

Vamos definir n=4.

X 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

Y 1,000 1,284 1,649 2,117 2,718

Tomemos o intervalo 0,500 – 1,000

Tomemos o intervalo 0 – 0,500

1

0

dxeI x

)649,1284,14000,1(3

250,01 I

)718,2117,24649,1(3

250,02 I

718,121 III

250,04

01

h

MathCad 15 Jul/2018


Bibliografia:

http://www.raymundodeoliveira.eng.br

http://www.Wikipedia.org

http://www.iceb.ufop.br

http://www.mat.ufrgs.br

Mathcad 12 - Guia Prático

de Marcello Nitz, Rodrigo Galha

Edição/reimpressão: 2005

Páginas: 248

Editor: Erica

ISBN: 9788536500614

http://www.wikipedia.org/

http://www.wook.pt/authors/detail/id/16525

http://www.wook.pt/authors/detail/id/16526

2( ) - Página pessoal de José Antelo...

Documents

Transcript of 2( ) - Página pessoal de José Antelo...