2 Princípio Variacional

Muitos problemas da natureza, aparentemente complicados, podem ser en-tendidos de forma simples. Por exemplo, vamos considerar uma corda bemflexível pendurada na parede pelos dois pontos extremos (Ver Fig.1).

Fig.1 Uma corda flexível pendurada.

Porque ela fica nesta forma particular? Existe alguma razão pela qual aforma da corda tem que ficar assim? Será que podemos expressar matem-aticamente a forma desta curva? A resposta é sim e pelo menos, a parte darazão é bem simples.Considere uma situação em que uma parte da corda seja ligeiramente

levantada ou puxada (Fig.2).No que difere esta configuração da configuraçãoanterior? Obviamente, se retirarmos a força que puxa a corda (indicada pelaseta), a corda voltará para a configuração anterior (Fig.1). Isto ocorre devidoao seu peso, ou seja, devido à força gravitacional que atua na corda.Vamos pensar em termos da energia em vez de pensar em termos de

forças. Isto porque, já vimos que na Equação de Hamilton na Mec.I, que aquantidade escalar é mais fácil de tratar.Para puxar a corda, deformando-a da sua configuração estável, precisamos

deslocar a parte da corda com a força externa. Isto é, a configuração da cordada Fig.2 ganhou um trabalho em relação a da Fig.1. Podemos considerar quea quantidade da energia dada em termos do trabalho feito da força que puxa

8

a corda fica arrumazenada na corda1 como a energia potencial gravitacional.

Fig. 2Assim, podemos concluir que a configuração da Fig.1 deve ter o valor dopotencial gravitacional menor que o da Fig.2. Também concluimos que aforça gravitacional atua sempre na direção de diminuir o valor do potencialgravitacional do sistema. Isto é sempre verdade pois, é sempre necessáriofornecer a energia para levantar um objeto contra seu peso, isto é, a forçagravitacional que atua nele.Do fato de que a configuração da Fig.1 é sempre recuperada para qualquer

outra deformação da corda, podemos concluir que a configuração da cordana Fig.1 deve corresponder ao menor valor da energia potencial gravitacionaldentro de todas as configurações fisicamente permitidas.

• Em equilíbrio, a corda assume a configuração cuja energia potencialseja a menor possível.

Podemos utilizar o fato acima como a condição de determinar a forma dacorda em equilíbrio. Isto é, podemos formular a questão como

• Qual é a forma de uma curva que tenha o menor energia possível?

Deste modo, a essência do problema é quase similar ao seguinte problemainteiramente diferente, mas mais fácil.“Considere uma corda de complimento l. Qual é o retângulo cercado por

esta corda que tem a maior área?”Para resolver um problema como este, é fundamental expressar-lo em

termos de linguagem matemática apropriada. O método variacional é muitopoderoso para vários problemas da física, não só do ponto de vista prático,

1Mais precisamente, a energia é arrumazenada no campo gravitacional e não é nacorda. Mas aqui, não consideramos o campo gravitacional como um componente dinâmicado sistema, atribuimos a carregador da energia gravitacional a corda.

9

mas também do ponto de vista formal como veremos mais adiante. Vamoscomeçar fazendo uma revisão das matérias triviais de cálculo:

2.1 Variação de funções

Vamos considerar primeiro o problema de se obter o ponto mínimo (ou máx-imo) de uma função,

y = f(x). (1)

Seja o ponto x = xm o ponto mínimo (ou máximo). Neste caso, sabemos queo mínimo (ou máximo) é dado pelo ponto onde a derivada é nula,

df

dx

¯x=xm

= 0. (2)

Isto significa que a variação de y em torno do ponto x = xm é nula até aprimeira ordem2 em δx,

δy|x=xm ≡ f(xm + δx)− f (xm)

=df

dx

¯x=xm

δx+O(δx2)→ 0. (3)

Ou seja, a Eq.(2) é equivalente a dizer que

δy|x=xm = 0 (4)

para qualquer variação infinitesimal δx. Isto é,

δy|x=xm = 0 para∀δx até primeira ordem em δx⇐⇒ df

dx

¯x=xm

= 0. (5)

2Já sabemos a expansão de Taylor de uma função em torno de um valor de x = x0:

f(x) = f(x0) + f 0(x0)δx+1

2f 00(x0)δx

2 + · · · 1n!f (n)(x0)δx

n + · · ·

= (1 + δxd

dx+ · · · 1

n!δxn

dn

dxn+ · · · )f(x)

¯x=x0

=³eδx

ddx

´f(x)

¯x=x0

onde δx = x − x0. Daqui por diante consideraremos apenas variações de uma função oufuncional até a primeira ordem, exceto quando for especificado diferentemente.

10

A Eq.(2) constitui uma equação que determina quem é xm, quando f(x) forespecificada. Por exemplo, seja

f(x) = x2 + 2x+ 5, (6)

então,df

dx= 2x+ 2 (7)

portanto, xm deve satisfazer a equação,

2xm + 2 = 0. (8)

Daí, temosxm = −1.

De fato, da Eq.(6), temos

f(x) = (x+ 1)2 + 4, (9)

que obviamente tem o mínimo em x = −1.

2.2 Função de multi-variãveis

Na Mecânica I, vimos que para uma função de duas variáveis,

y = f(x1, x2), (10)

podemor generalizar a série de Taylor como

f(x1, x2) = f(x10, x20) + δx1∂f

∂x1+ δx2

∂f

∂x2+ · · · (11)

onde δx1 = x1 − x10 e δx2 = x2 − x20.Num desenvolvimento matemático, é essencial utilizar as notações sim-

plificadores. Porisso, vamos introduzir a notação vetorial. Consideramos opar de variáveis,

(x1, x2)

como um par de coordenadas no espaço bidimensional. Então, podemosassociar o par ao vetor posição,

r =

µx1x2

¶. (12)

11

Assim, a função de duas variáveis pode ser considerada como a função deposição,

f(x1, x2) = f(r).

Da mesma forma, podemos introduzir o vetor gradiente ∇f da função f por

∇f =µ

∂f /∂x1∂f /∂x2

¶=

µ∂ /∂x1∂ /∂x2

¶f (13)

Podemos considerar o simbolo ∇ como um operador diferencial que temcomponentes, como um vetor,

∇ =µ

∂ /∂x1∂ /∂x2

¶. (14)

Com a notação vetorial, a quantidade entre [ ] na Eq.(11) pode ser escritana forma compacta,

δx1∂

∂x1+ δx2

∂

∂x2= (δx1 δx2)

µ∂ /∂x1∂ /∂x2

¶= δx ·∇ (15)

onde3

δx ≡µ

δx1δx2

¶e utilizamos o produto escalar entre dois vetores de n componentes (no casoacima n = 2),

a · b = (a1 a2 · · · · an)

⎛⎜⎜⎜⎝b1b2...bn

⎞⎟⎟⎟⎠ = aT b = a1b1 + a2b2 + · · · anbn. (16)

Assim, podemos expressar a expansão de Taylor de uma função de duasvaráveis até a primeira ordem em δr por

f(r + δr) = f(r) + δr ·∇f(r) (17)

= (1 + δr ·∇) f(r) (18)

3Note queδx ·∇

não é igual a∇ · δx .

12

A vantagem do uso da notação vetorial é que nesta forma, o resultado nãodepende de número de variáveis. Quando a função é de n variáveis, a fórmulaacima continua valendo se os vetores r e δr têm n componentes,

r =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ , δr =

⎛⎜⎜⎜⎝δx1δx2...

δxn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,

e o operador ∇ também tem n componentes;

∇ =

⎛⎜⎜⎜⎝∂/∂x1∂/∂x2...

∂/∂xn

⎞⎟⎟⎟⎠ .

A afirmação acima pode ser confirmado para n = 3 diretamente e a extensãopara n geral parece ser natural. Mas devemos provar isto. Isto é, queremosprovar que uma função de n variáveis, a variação da função em até primeiraordem de suas variáveis fica escrita como

δf ≡ f(r + δr)− f(r)

=nXi=1

δxi

µ∂f

∂xi

¶. (19)

Para mostrar isto, utilizamos a indução matemática.

1. Para n = 2, já mostrada que vale

f(r + δr) = f(r) +2X

i=1

δxi

µ∂f

∂xi

¶.

para

r =

µx1x2

¶.

2. Suponhamos que, para um número inteiro n, vale

f(r + δr) = f(r) +nXi=1

δxi

µ∂f

∂xi

¶. (20)

13

para

r =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Agora consideramos a função f acima depende não só de r = (x1, x2, ..., xn)e uma outra variável xn+1,

f(r) = f (r, xn+1) .

Pela suposição, temos

f(r + δr, xn+1) = f(r, xn+1) +nXi=1

δxi

µ∂f (r, xn+1)

∂xi

¶.

Se xn+1 desloca para xn+1 + δxn+1, temos

f(r+δr, xn+1+δxn+1) = f(r, xn+1+δxn+1)+nXi=1

δxi

µ∂f (r, xn+1 + δxn+1)

∂xi

¶Podemos considerar f(r, xn+1 + δxn+1) como função de xn+1, e ex-pandindo pela série de Taylor, temos

f(r+δr, xn+1+δxn+1) = f(r, xn+1)+δxn+1∂f (r, xn+1)

∂xn+1+

nXi=1

δxi

µ∂f (r, xn+1)

∂xi

¶(21)

até a primeira ordem em δxn+1 e δr. Definindo o vetor de n+ 1 com-ponentes,

ξ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝x1x2...xnxn+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

podemos escrever a Eq.(21) como

f³ξ + δξ

´= f

³ξ´+ δξ ·∇f

³ξ´,

provando que a Eq.(20) vale para n→ n+ 1.

14

3. De item 1 e item 2, provamos pela indução que a Eq.(20) é válida paraqualquer número inteiro positivo n.

Assim, a forma Eq.(17) vale para qualquer dimensão do vetor r.

2.3 Ordens superior

Uma vez provada nesta forma até a primeira ordem, podemos obter os termosda expansão de Taylor a ordem mais alta. Para isto, notamos que

f (r + 2δr) = f (r + δr + δr)

= (1 + δr ·∇) f (r + δr)

= (1 + δr ·∇) (1 + δr ·∇) f (r)= (1 + δr ·∇)2 f (r) ,

e podemos mostrar analogamente que

f (r +N δr) = (1 + δr ·∇)N f (r) .

DenotandoN δr = a,

temos

f (r + a) =

µ1 +

1

Na ·∇

¶N

f (r) . (22)

Isto só vale que o vetor de deslocamento

δr

é infinitesimal e, portanto,a = Nδr

deve ser também infinitesimal, quando N é finito. Entretanto, podemosescolher um a finito masN infinito, δr se torna infinitesimal. Assim, tomandoN →∞ na Eq.(22), a pode ser um vetor finito. Assim, para um deslocamentofinito a do vetor r, temos

f (r + a) = limN→∞

µ1 +

1

Na ·∇

¶N

f (r) . (23)

15

Já que

limN→∞

³1 +

x

N

´N= eX ,

Podemos escrever formalmente

f (r + a) = ea·∇f (r) ,

onde ea·∇ é definido por

ea·∇ =∞Xn=0

1

n!(a ·∇)n

= 1 + a ·∇+ 1

2!(a ·∇)2 + 1

3!(a ·∇)3 + · · ·

Finalmente, a expansão de Taylor para uma função de muitas variáveis fica

f (r + a) = f (r) + a ·∇f (r) + 1

2!(a ·∇)2 f (r) + 1

3!(a ·∇)3 f (r) + · · · (24)

Exercício: Mostre que o segundo termo na Eq.(24) pode ser expresso naforma matricial,

1

2(a ·∇)2 f(r) = 1

2aT ·H · a, (25)

onde

H =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝∂2f∂x21

∂2f∂x1∂x2

. . . ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x1∂x2

∂2f∂x22

.... . .

∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2n

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (26)

Se a função f é uma escalar em relação a transformação de variáveis,

r→ r0 = Ar,

mostre que H é um tensor de rank 2 sob esta transformação.

A matriz H acima é chamado de Hessiana da função f . A expansão deTaylor de uma função de n variáveis fica,

f(r + δr) = f(r) +nXi=1

δxi

µ∂f

∂xi

¶+1

2!

nXi=1

nXj=1

Hijδxiδxj + · · · (27)

16

Em resumo, a expansão de Taylor de uma função é para agrupar a dependên-cia da variação da função em mesmas potências de variações {δx0is} nos var-iáveis. O primeiro termo é de ordem 0, o segundo é linearmente depende em{δx0is}, o terceiro quadraticamente, e assim por diante.

Exercício: A expansão de Taylor até terceira ordem ficaria

f(r + δr) = f(r) +nXi=1

δxi

µ∂f

∂xi

¶+1

2!

nXi=1

nXj=1

Hijδxiδxj+

+1

3!

Xi

Xj

Xk

Tijkδxiδxjδxk + · · ·

Determine Tijk. Mostre que {Tijk} é um tensor de rank 3 quando f (r)é um escalar em relação a transformação de coordenadas,

r→ r0 = Ar.

2.4 Funcional

Um funcional é uma função de uma função4. Por exemplo, a área entre umafunção, y = f(x) e o eixo horizontal X no intervalo [a, b] da variável x é dadapela integral

A =

Z b

a

f(x)dx. (28)

A é um funcional de f . Isto é, o valor de A depende da forma de f . Escreve-mos então A = A [f(x)]. Como sabemos, a integral acima é o limite n→∞da soma,

A = limn→∞

nXi=1

∆x fi (29)

= ∆x {f1 + f2 + · · · fn + · · · } , (30)

ondefi = f(xi),

4Matematicamente falando, um funcional é mapeamento de um epaço vetorial ao corpo,ou seja, o conjunto de números.

17

∆x =b− a

n,

exi = a+ (i− 1)∆x.

Desta forma, podemos considerarA como uma função (neste caso, é linear) de{fi, i = 1, ...,∞}. Em geral, um funcional é nada mais do que uma função deinfinitas (contínua) variáveis. Por exemplo, a energia potencial gravitacionalda corda mencionada no início desta sessão é uma quantidade que dependeda forma da corda. Assim, a energia potencial da corda é um funcional daforma da curva. Devemos calcular a energia potencial da corda para umadada configuração.

2.5 Energia Potencial da Corda Pendurada como Fun-cional da Forma

Após estabelecido certos conceitos sobre funcional, vamos voltar o problemada corda pendurada. Para calcular a energia potencial da corda, precisamosespecificar a natureza da corda. Por simplicidade, consideramos que a cordaé totalmente flexível. Seja a forma da corda expressa por uma função,

y = f(x), xa ≤ x ≤ xb. (31)

Aqui, a forma da função f(x) é o nosso objetivo de saber e, portanto, aindanão está especificada. Mas independentemente da forma específica, podemosexpressar a energia potencial da corda como funcional da f .Vamos dividir o intervalo [xa, xb] de x em n tirinhas iguais (ver a figura

abaixo). Cada tirinha tem a largura ∆x = (xb − xa) /n.

xi xi+1

Fig. 3

18

A energia potencial total é a soma das energias potenciais dos pequenossegmentos, [xi, xi+1],

U =nXi=1

∆U[i,i+1].

Para n suficientemente grande, podemos considerar que a energia potencialgravitacional do segmento [i, i+ 1] fica

∆U[i,i+1] = σ g∆l y[i,i+1]

onde σ é a densidade linear de massa da corda, ∆l é o comprimento dosegmento ( σ∆l = a massa do segmento), g é a constante da acceralaçãogravitacional e y[i,i+1] é o valor médio da posição vertical do segmento (essen-cialmente (yi + yi+1) /2). Podemos ainda considerar que o cada segmentoda corda é considerada como uma reta. O comprimento da corda dentro dosegmento é

dl[i,i+1] =p(xi+1 − xi)2 + (yi+1 − yi)2

= |xi+1 − xi|

s1 +

µyi+1 − yixi+1 − xi

¶2= ∆x

s1 +

µdy

dx

¶2= ∆x

s1 +

µdf

dx

¶2.

Assim, a energia potencial total da corda fica,

U = limn→∞

nXi=1

∆U[i,i+1] = gσ∆x limn→∞

y[i,i+1]

s1 +

µdy

dx

¶2

= gσ

Z xb

xa

dx f(x)

s1 +

µdf

dx

¶2. (32)

Como podemos ver, a energia potencial da corda foi expressa como um fun-cional da forma da corda y = f(x), isto é, U = U [f(x)]. Só que, neste caso, ovalor da energia não só depende de f mas também depende da sua derivada,df/dx. De qualquer modo, a derivada é a função da forma do f e, então, Ué uma função da forma da curva. Uma vez sabemos a função f(x), podemosobter o valor do U . Quando mudamos a forma de f , pode mudar o valor doU .

19

A consideração anterior indica que a forma da função f (x) da corda emequilíbrio deve ser aquela forma que a energia potencial U seja o menorpossível entre todas as formas possíveis. Esta condição deve determinar aforma da função f . No caso de mínimo de uma função, utilizamos a condiçãode que a derivada anula no ponto. No caso funcional, devemos introduzir oanalogo da derivada, o que é chamado de derivada funcional.

3 Derivada Funcional - Expansão de Taylorpara um Funcional

Consideramos um funcional I de uma função f = f(x).

I = I [f(x)] . (33)

Note que o simbolo-x na expressão acima usado para expressar a variável dafunção f é irrelevante no caso de um funcional. Ou seja, podemos escreverigualmente

I = I [f(t)] , (34)

ouI = I [f(z)] , (35)

etc. Isto porque, o valor do funcional depende da forma da função f , e nãoimporta a variável que expressar sua forma. Mais especificamente, vamosconsiderar um funcional da forma,

I = I [f(x)] =

Z b

a

F (f(x))dx (36)

onde F é uma função qualquer. Por exemplo,

I =

Z b

a

ef(x)dx, (37)

ou

I =

Z b

a

1

f(x)2 + 1dx, (38)

etc. Vejamos logo que podemos escrever também como

I = I [f(t)] =

Z b

a

F (f(t))dt. (39)

20

Assim, é usual omitimos a variável da função dentro de um funcional e es-crevemos apenas

I = I [f ] .

Aqui, é importante o uso do simbolo [ ] para indicar que I é um funcional.Por outro lado, utilizamos o símbolo ( ) para expressar a função, por ex-emplo,

L = L (f) .

Neste caso, L é uma função de só um valor de f no ponto específica davariável do f . Por exemplo,

L (f) = sin (f (x))

e portanto, L depende de x. Mas o funcional,

I [f ] =

Zdx sin (f (x)) .

já não depende de x, mas depende da forma, ou seja, depende de f paratodos os valores de x.Já que podemos considerar um funcional como o análogo de uma função

de infinitas variáveis (contínuas), podemos também perguntar se existe oanálogo da expansão de Taylor para um funcional. A resposta é sim. Paraisto, consideremos uma pequena variação na função f por

f → f + δf

onde δf é uma função com amplitide infenitesimal. A variação do funcionalé, então, definida por

δI ≡ I [f + δf ]− I [f ] . (40)

Se o funcional é suave em f , então, em analogia a Eq.(27), devemos poderescrever esta variação por

δI =

Zdx δf(x)C (x) +

1

2!

Zdx

Zdy H(x, y)δf(x)δf(y) + · · · (41)

Esta é o análogo da expansão de Taylor de uma função F de n variáveis{fα ;α = 1, ..., n},

δF (f1, f2, ..., fn) =nX

α=1

δfaCα +1

2!

nXα=1

nXβ=1

Hαβδfαδβ + · · · .

21

Vemos que a quantidade C (x) corresponde a coeficiente Cα e a variável xestá fazendo o papel do indice α. Já que

Cα =∂F

∂fα,

é razoável escrever

C (x) ≡ δI

δf(x)

e é chamada de derivada funcional (a primeira ordem). Note que C (x) éuma função de x, como a coeficiente Cα possui o indice α. Analogamente,H (x, y) corresponde a Hessiana Hαβ, e denotamos por

H (x, y) ≡ δ2I

δf(x)δf(y)

é a derivada funcional de segunda ordem. Ela é uma função de duas variáveis,x e y.

Exemplo: A derivada funcional de funcional do tipo

I[f ] =

Z b

a

dx F (f(x)). (42)

Neste caso, temos

δI = I [f + δf ]− I [f ]

=

Z b

a

dx F (f(x) + δf(x))−Z b

a

dx F (f(x))

=

Z b

a

dx {F (f(x) + δf(x))− F (f(x))}

A quantidade F (f(x) + δf(x)) − F (f(x)) para dado valor de x fixopode ser considerada como

F (f + δf)− F (f) =∂F

∂fδf +

1

2

∂2F

∂f2(δf)2 + · · · , (43)

portanto,

δI =

Z b

a

dx

½∂F

∂f(x)δf(x) +

1

2

∂2F

∂f2(x) (δf(x))2 + · · ·

¾. (44)

22

Comparando com a definição de derivadas funcionais, temos

δI

δf(x)=

∂F

∂f(x), (45)

δ2I

δf(x)δf(y)=

∂2F

∂f2(x)δ(x− y), (46)

onde δ(x− y) é a função δ de Dirac.

Exercício: Calcule as derivadas funcionais (até segunda ordem) dos fun-cionais, (28), (37) e (38).

4 Ponto estacionário de um funcional

Na física, surgem frequentemente questões para descobrir a forma de funçãoque minimiza (maximiza) um dado funcional. No caso de funções, o pontomáximo ou mínimo de uma função é determinado pela condição de a derivadada função no ponto seja nula. No caso de funcional, o máximo ou mínimode um funcional é dado pela uma forma da função para qual a derivadafuncional se anula. Vamos ver este ponto. Seja a forma da função que dá ovalor mínimo (ou máximo) fm. Então, por analogia com o argumento no casode função de muitas variáveis, a variação de primeira ordem do funcional emtôrno desta função deve ser nula, ou seja,

δI = I [fm + δf ]− I [fm] = 0,∀δf (47)

onde δf é uma função arbitrária cuja amplitude é infinitesimal para todos osvalores do seu argumento. Por outro lado, em termos de derivada funcional,temos

δI =

Zdx δf(x)

δI

δf(x)

¯f(x)=fm(x)

, (48)

portanto, temos Zdx δf(x)

δI

δf(x)

¯f(x)=fm(x)

= 0, ∀δf (x) . (49)

Aqui, a condição,∀δf (x)

(para qualquer δf arbitrária) é fundamental.

23

Exercício: Prove que se Zdx A (x)B (x) = 0,

para qualquer A (x) arbitrária, então temos que ter

B (x) ≡ 0.

Usando o resultado do execício acima, da Eq.(49), devemos

δI

δf(x)

¯f(x)=fm(x)

= 0, (50)

para todos os valores de x. Esta equação impõe uma condição para a funçãofm(x). Por exemplo, seja

I [f ] =

Z b

a

dx©f(x)2 + 2f(x)

ª. (51)

Neste caso, temos

δI

δf(x)=

d

df

©f 2 + 2f

ª(x) = 2f(x) + 2. (52)

Assim, a função que estacionariza o funcional (51) deve satisfazer

2fm(x) + 2 = 0,

oufm(x) = −1 = const. (53)

isto é, a função fm deve ser uma constante, com valor −1.

Exercício: Mostre que este tipo de resultado, fm(x) = const. sempre ocorrepara qualquer funcional do tipo (36).

Exercício: Discute estacionaridade dos funcionais, (28), (37) e (38).

Para um funcional mais geral, a condição (50) fornece uma condição nãotrivial como veremos a seguir.

24

5 Variação de um funcional que depende dederivada - Equação de Euler-Lagrange

Como calcular a derivada funcional de um funcional mais generico? Porexemplo, para o funcional tipo Eq.(32) não se aplica a fórmula, Eq.(45) ouEq.(46). Infelizmente não existe a fórmula geral para escrever a derivadafuncional diretamente para um dado funcional. Devemos aplicar a definiçãoda derivada funcional caso por caso. Mas existe uma classe de funcionaisque aparecem frequentemente nos problemas de física, para a qual, podemosobter a fórmula para derivada funcional.Vamos considerar um funcional com a forma5,

I[f ] =

Z xb

xa

L

µf,

df

dx

¶dx (54)

onde L = L(f, g) é uma função dada de duas variáveis f e g. Calculamos avariação do funcional associada a variação da função f ,

f → f + δf. (55)

A variação de I fica

δI ≡ I[f + δf ]− I[f ]

=

Z xb

xa

dx

½L

µf + δf,

d(f + δf)

dx

¶− L

µf,

df

dx

¶¾. (56)

Utilizando a relação,

d(f + δf)

dx=

df

dx+

d(δf)

dx,

e expandindo a função L nas suas variáveis, o primeiro termo da Eq.(56) fica,

L

µf + δf,

d(f + δf)

dx

¶= L

µf,

df

dx

¶+ δf

∂L

∂f+

d(δf)

dx

∂L

∂¡dfdx

¢ + · · · , (57)

e, consequentemente, temos

δI =

Z xb

xa

dx

(δf

∂L

∂f+

d(δf)

dx

∂L

∂¡dfdx

¢) . (58)

5Muitos problemas na Mecânica se reduzem a este tipo de funcional. Na Mecânica, Ié referido como ação e L é chamado de função Lagrangeana.

25

Fazendo a integração por partes no segundo termo, a variação do I atéprimeira ordem em δf fica

δI =

Z xb

xa

dxδf(x)

(∂L

∂f− d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!)+ "δf(x) ∂L

∂¡dfdx

¢#¯¯x=xb

x=xa

, (59)

É bastante comum que as variações de f sejam feitas utilizando-se a condiçãode que δf = 0 em x = xa e x = xb,

δf(xa) = δf(xb) = 0. (60)

Neste caso, o segundo termo da Eq.(59) anula e temos

δI =

Z xb

xa

dxδf(x)

(∂L

∂f− d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!) . (61)

e, portanto, pela definição, a derivada funcional de primeira ordem fica,

δI

δf(x) =

∂L

∂f− d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢! . (62)

6 Equação de Euler-Lagrange: Ponto esta-cionário de um funcional

Se fm(x) é a função que corresponde ao máximo (ou mínimo) de I, entãodevemos ter

δI =

Z b

a

dxδf(x)

(∂L

∂f− d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!)f=fm

≡ 0, (63)

para qualquer variação δf . Assim, concluímos que a função fm(x) tem quesatisfazer à equação diferencial,(

∂L

∂f− d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!)f=fm

= 0. (64)

Esta é chamada de Equação de Euler-Lagrange para o funcional (54). Emgeral, a Equação de Euler-Lagrange resulta numa equação diferencial de se-gunda ordem.

26

Exercício: Considere uma função I({fi}) de n variáveis, {fi} = {f1, · · · , fn} ,tipo

I = ∆xXi

L(fi,1

∆x(fi − fi−1)), (65)

onde ∆x = (xb − xa) /n e fi = f(xi) com xi = xa + (i− 1)∆x. Obvia-mente, no limite de n→∞, (65) se recupera (54).

1. Calcule a derivada parcial (não funcional),

∂L

∂fi

2. Tomando o limite n → ∞, verifique que a expressão acima coin-cide com a derivada funcional, a menos de um fator, 1/∆x.

Exercício: Obenha a equação de Euler-Lagrange das seguintes funcionais einterprete a equação resultante.

I =

Zdt L

µx,

dx

dt

¶,

onde

1. L =1

2m

µdx

dt

¶2− V (x) ,

2. L = −m

s1− 1

c2

µdx

dt

¶2.

Exercício: O que acontece para a equação de Euler-Lagrange quando naEq.(54) a Lagrangiana L contem a dependência explicita em t, ou seja,

I[f ] =

Z xb

xa

L

µf,

df

dx; t

¶dx ?

6.1 Exemplo: Mínimo da Energia Potencial da Corda- I (Sem Vínculo)

Vamos aplicar a Equação de Euler-Lagrange (64) para a energia potencialda corda pendurada. Note que o esquema da subseção anterior corresponde

27

exatamente ao processo de procurar a configuração da corda que tenha amenor energia potencial gravitacional. O fato de que os dois extremos dacorda são fixos corresponde a condição de contorno Eq.(60). Identificamos

L = σ f

s1 +

µdf

dx

¶2, (66)

portanto,

∂L

∂f= σ

s1 +

µdf

dx

¶2, (67)

e∂L

∂¡dfdx

¢ = σf1q

1 +¡dfdx

¢2 dfdx. (68)

Assim, pela Equação de Euler-Lagrange, a função y = fm(x) deve satisfazera equação diferencial,

d

dx

⎛⎝ fq1 +

¡dfdx

¢2 dfdx⎞⎠ =

s1 +

µdf

dx

¶2. (69)

Esta constitui uma equação diferencial de segunda ordem para f (x). Àprimeira vista, parece ser muito complicada para resolver. Mas, neste caso,uma pequena mudança de variável ajuda para simplificar a equação. Lem-bramos que o pequeno elemento de comprimento da corda dl pode ser ex-presso em termos de f por

dl =pdx2 + dy2 = dx

s1 +

µdf

dx

¶2. (70)

A integral,

l(x) =

Z x

xa

dx

s1 +

µdf

dx

¶2(71)

mede o comprimento da corda medido do ponto x = xa até x = x. Podemosinverter (em princípio) esta relação

l = l(x)

28

e utilizar l como a variável em vez de x,

x = x(l).

Consequentemente, consideramos a função f(x) como a função de l. Nestecaso, temos

df(l)

dl=

df

dx

dx

dl=

1q1 +

¡dfdx

¢2 dfdx.Assim, trocando a variável independente x para l, a Eq.(69) pode ser re-escrita

d

dl

µfdf

dl

¶= 1. (72)

Esta equação diferencial é fácil de ser integrada. A primeira integral em lfica

fdf

dl= l + C, (73)

Podemos escolher, sem perder a generalidade, que a coordenada y seja 0 parax = xa, ou para l = 0,

f(l = 0) = 0. (74)

Com isto, temos C = 0. A segunda integral fica

1

2f 2 =

1

2l2 + C 0. (75)

Novamente, com a condição de f(0) = 0, temos C 0 = 0. Assim, concluimosque

f(l) = ±l. (76)

Para expressar a função em termos de variável x, derivamos dois lados destaequação em relação a x e temos

df

dx= ± dl

dx= ±

s1 +

µdf

dx

¶2(77)

onde na segunda igualdade, utilizamos a Eq.(70). A equação (77) é obvia-mente inconsistente, a menos que¯

df

dx

¯→∞ ! (78)

29

Mas, se a Eq(78) seja verdadeira, então a forma da corda seria uma linhavertical!! 6 O que significa isto? Será que algo errado no raciocínio?Na verdade, a resposta (78) é correta dentro da pergunta formulada. A

pergunta foi, “Qual é a configuração da corda que minimiza a energia po-tencial?” Nesta pergunta, não foi indicado nenhum momento que qual é ocomprimento da corda. Assim, na verdade, a pergunta foi, “Qual é a con-figuração da corda que minimiza a energia potencial independentemente docomprimento da corda?” Ou seja, foi permitido implicitamente que a cordapossa esticar livremente. Neste caso, obviamente, a configuração que temmenor energia é tal que a corda estica indefinidamente, pendurada dos pon-tos da extremidade (ver Fig.4).

Fig. 4

Assim, a resposta (78) estava correta dentro da pergunta formulada!.O que não era correto era a pergunta em si. É interessante notar que amatemática encontra a solução que se encaixa na pergunta como foi formu-lada.Agora, se quisermos a resposta para o problema inicialmente proposto,

devemos reformular a pergunta. A pergunta mais precisa é,

• “Qual é a configuração de uma corda, de dado comprimento, digamosl0, pendurada nos dois pontos, que tenha a menor energia potencialgravitacional?

6A mesma conclusão pode ser obtida diretamente da Eq.(76), pois se o valor da co-ordenada vertical y do cada ponto da corda fica identica ao comprimento da corda até oponto, a corda deve estar na direção vertical.

30

Desta forma, a função y = f(x) que representa a forma da corda não serámais tão arbitrária como antes. Da Eq.(71), o comprimento da corda totaldeve ser igual a l0, Z xb

xa

dx

s1 +

µdf

dx

¶2= l0 = const, (79)

o que não deve ser satisfeito pela fução f (x) tão artibrária. Ou seja, a Eq.(79)constitui um vínculo para o problema de princípio variacional.

7 Vínculo e Método de Constante Multipli-cadora de Lagrange

Frequentemente temos que incluir alguns vínculos entre variáveis para de-terminar o mínimo de uma quantidade. Por exemplo, vamos considerar oproblema de encontrar o retângulo que tem o maior área possível, formadode um fio de comprimento 2a. A área desta retângulo, com largura x e alturay é

S = S(x, y) = xy. (80)

Queremos maximizar esta área. Mas aqui x e y não pode ser arbitrária, mastêm que satisfazer a condição

x+ y = a. (81)

Se o vínculo for simples como este, poderíamos eliminar uma das variáveis, xou y da Eq.(81) e procurar o mínimo de S. Entretanto, nos problemas maisgeral, o vínculo poderia ter uma forma mais complicada do que a Eq.(81)e a eliminação de uma das variáveis pode se tornar complicada ou até nãoé possível fazer analiticamente. Um método muito eficiente e, portanto, éfrequentemente usado é o método da constante multiplicadora de Lagrange.Vamos ver no caso acima mais simples. Escrevendo o vínculo (81) na

formaφ(x, y) = 0, (82)

onde obviamenteφ(x, y) = x+ y − a

31

as variações de x e y devem satisfazer

δφ = 0, (83)

onde, como já sabemos,

δφ =∂φ

∂xδx+

∂φ

∂yδy = δx ·∇φ. (84)

Isto é, temos queδx ·∇φ = 0. (85)

Esta equação mostra que o vetor de variação δx tem que ser ortogonal aovetor ∇φ. Isto significa que as variações compatíveis com o vínculo (82) têmque estar no plano perpendicular ao vetor ∇φ. Por outro lado, em torno doponto máximo da área, sua variação é nula para qualquer δr que satisfaça àEq.(83),

δS = 0, (86)

onde novamente,

δS =∂S

∂xδx+

∂S

∂yδy = δx ·∇S, (87)

ou seja,δx ·∇S = 0. (88)

Quer dizer que, o vetor ∇S tem que ser perperndicular ao vetor arbitrárioδx no plano perperndicular ao ∇φ. Isto é, o vetor ∇S é perpendicular aoplano. Isto implica que os dois vetores, ∇φ e ∇S são paralelos,

∇S = λ∇φ, (89)

onde λ é uma constante arbitrária.Por outro lado, se a Eq.(89) é válida, a equação

δr · (∇S − λ∇φ) = δr ·∇(S − λφ) = 0, (90)

é sempre verdade, para qualquer δr, mesmo fora do plano perpendicular aoao ∇φ. Mas, neste caso, a Eq.(90) é equivalente a dizer que

δ(S − λφ) = 0, (91)

32

para qualquer δr, agora sem nenhum vínculo. Isto é, o problema de procuraro máximo da função S(x, y) sob o vínculo dado pela Eq.(82) é equivalente aprocurar o máximo da função,

S − λφ,

sem nenhum vínculo, onde λ é uma constante. O valor de λ deve ser de-terminado utilizando a equação de vínculo posteriormente. Este é o métododa constante multiplicadora de Lagrange o qual incorpora o vínculo numproblema de princípio variacional.Vejamos um exemplo de como funciona. Vamos aplicar o método para o

caso de procurarmos o máximo da área de rectângulo com circuferência fixo.Neste caso,

S = xy,

φ = x+ y − a,

e, portanto, deve existir um constante λ tal que

δ[xy − λ(x+ y − a)] = 0

para qualquer δx e δy. Tomando independentemente as derivadas em relaçãoa x e y, temos

y − λ = 0,

x− λ = 0.

Daí, eliminando λ e utilizando o vínculo, temos os valores de x e y que dãoo máximo de S como

x = y = a/2.

O valor máximo de S é, portanto, (a/2)2.

Exercício: Qual é a forma de um paralelepipido que tem o maior volume,sendo a área de superfície constante?

Exercício: Duas variáveis, x e y satisfazem a relação,

2x2 + y2 = 1.

Determina os valores de x e y que máximize a função,

z = x2 + y2 + 2(x+ y).

33

O método de constante multiplicadora de Lagrange pode ser fácilmentegeneralizado para casos de muitos variáveis, inclusive existam mais do queum vínculo entre as variáveis. Sejam

φ1(x1, x2, ..., xn) = 0,

...

φm(x1, x2, ..., xn) = 0,

m(< n) vínculos entre as variáveis, x1, ..., xn. Um máximo (ou mínimo) localde uma função f (x1, ..., xn) é dado pela condição

δF = δ

"f −

mXi=1

λiφi

#= 0, (92)

para qualquer {δxi}.

Exercício: Demonstre a Eq.(92).

Exercício: Tres variáveis, x, y e z satisfazem as relações,

2x2 + y2 = 1,

x+ y + z = 1.

Encontre o máximo da função,

F = x2 + y2 + z2 + 2x+ 3y + z.

8 Vínculo Funcional

No problema de procular máximo (mínimo) de um funcional, quando existiralguns vínculos para a função, podemos trata-los em termos do método deconstantes multiplicadoras de Lagrange. Seja I = I[f ] um funcional que deveser maximizado (minimizado) e Φ[f ] = 0 o vínculo para a função f , dado naforma funcional. Neste caso, a função f deve ser obtida pela variação,

δ[I − λΦ] = 0, (93)

onde λ é uma constante. Em termos da derivada funcional, podemos expres-sar esta condição por

δI

δf− δ (λΦ)

δf= 0.

34

A justificativa deste método é completamente análoga ao caso das funções.Vamos aplicar o método para resolver o problema da corda pendurada. Nestecaso,

I = σg

Z xb

xa

dx f(x)

s1 +

µdf

dx

¶2, (94)

e

Φ =

Z xb

xa

dx

s1 +

µdf

dx

¶2= l0 (95)

Assim, o princípio variacional fica,

δ[I − λΦ] = 0, (96)

ou, podemos escrever na forma,

δ

Z xb

xa

dx L

µf,

df

dx

¶= 0, (97)

onde, agora,

L = σg (f − ζ)

s1 +

µdf

dx

¶2, (98)

com ζ = λ/σg. Desta forma, poder aplicar a equação de Euler-Lagrange eobtemos,

d

dx

⎛⎝(f − ζ)1q

1 +¡dfdx

¢2 dfdx⎞⎠ =

s1 +

µdf

dx

¶2. (99)

Damesma forma que foi feita anteriormente, introduzimos uma nova variável,

dl =pdx2 + dy2 = dx

s1 +

µdf

dx

¶2. (100)

Assim, a Eq.(99) pode ser re-escrita por

d

dl

µ(f − ζ)

df

dl

¶= 1. (101)

A primeira integral em l fica

(f − ζ)df

dl= l + C1, (102)

35

onde C1 é uma constante de integração e a segunda integral fica

(f − ζ)2 = (l + C1)2 + C2. (103)

(C2 = constante). Ou seja,

f − ζ = ±q(l + C1)

2 + C2, (104)

Esta é a relação entre a altura do ponto de corda y = f(l) em função docomprimento l medido do ponto x = xa. Para saber a forma da corda,queremos saber a função y = f(l(x)). Para isto, devemos eliminra a variávell da Eq.(104) usando a equação,

dl

dx=

s1 +

µdf

dx

¶2. (105)

Tomando a derivada dos dois lados da Eq.(104) em relação a x, temos

df

dx= ± l + C1q

(l + C1)2 + C2

dl

dx(106)

= ±

q(f − ζ)2 − C2

f − ζ

dl

dx(107)

Substituindo a Eq.(105), temos

df

dx= ±

q(f − ζ)2 − C2

f − ζ

s1 +

µdf

dx

¶2. (108)

Esta é uma equação algebrica em relação a dfdx. Resolvendo, temos

df

dx= ±

s(f − ζ)2 − C2

C2, (109)

que constitui uma equação diferencial de primeira ordem em relação a f .Temos

dfq(f−ζ)2−C2

C2

= dx,

36

e integrando ambos lados, temos

f(x) = ±pC2 cosh

1√C2(x− x0) + ζ, (110)

onde x0 é uma constante de integração.

Exercício: Verifique que a Eq.(110) satisfaz a equação (99).

Exercício: Esboce a forma de função (110) e discute o significado de con-stantes, x0, ζ e

√C2. Qual dos sinais ± deve ser escolhido como a

solução do problema?

Note que a solução, Eq.(110) contém 3 constantes incognitas. Entretanto,estas devem ser determinadas pelas condições,

ya = f(xa),

yb = f(xb),

e

l0 =

Z xb

xa

dx

s1 +

µdf

dx

¶2=pC2

∙sinh

1√C2(xb − x0)− sinh

1√C2(xa − x0)

¸.

Exercício: Expresse x0,√C2 e ζ em termos de xa, xb, yD e l0 quando dois

extreminades da corda tem a mesma altura, yD.

Um fato importante para notar é que estas constantes são determinadaspuramente as condição geométricas, e não entra nenhuma propriedade físicada corda (densidade de massa, σ). Isto é, qualquer corda flexível, indepen-dente da material (seja a corrente de aço, a linha de algodão, etc), desdeque tenha mesmo comprimento, terá mesma forma quando pendurada dedois pontos na parede. Isto fato pode ser fácilmente verificado experimental-mente.

37

9 A Primeira Ingegral

Uma das vantagens da abordagem variacional é que podemos extrair algumaspropriedades da solução do problema do ponto de visat banstante genério,sem resolver a equação diferencial. Como vimos o princípio variacional paraum funcional da forma,

I =

Z xb

xa

dx L(f,df

dx), (111)

resulta a equação de Euler-Lagrange,

d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!− ∂L

∂f= 0, (112)

que é, em geral, a equação difrencial de segunda ordem para f(x). A soluçãode uma equação diferencial de segunda ordem contém 2 constantes de inte-gração. No caso da equação de Euler-Lagrange acima, Eq.(112), podemosmostrar que a primeira integral é obtida por

H(f,df

dx) ≡ ∂L

∂¡dfdx

¢ dfdx− L = const. (113)

De fato, tomando a derivada desta quantidade, temos

dH

dx=

d

dx

"∂L

∂¡dfdx

¢ dfdx− L

#

=d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢! df

dx+

∂L

∂¡dfdx

¢ d2fdx2− dL

dx. (114)

Por autro lado, já que L é uma função de f e dfdx, temos

dL

dx=

∂L

∂f

df

dx+

∂L

∂¡dfdx

¢ d2fdx2

. (115)

Substituindo esta expressão em Eq.(114), temos

dH

dx=

d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢! df

dx− ∂L

∂f

df

dx

=

"d

dx

̶L

∂¡dfdx

¢!− ∂L

∂f

#df

dx(116)

38

Mas a quatidade dentro do chave [ ] acima é exatamente o lado esquerdoda Equação de Euler-Lagrange, Eq.(112). Assim, se a equação de Euler-Lagrange é satisfeita, temos

dH

dx= 0.

Consequentemente, para a solução da equação de Euler-Lagrange, é sempreverdade que

∂L

∂¡dfdx

¢ dfdx− L = const. (117)

Vamos aplicar este resultado ao problema de corda que estudamos. TomandoL como na Eq.(98), temos

H =∂L

∂¡dfdx

¢ dfdx− L

= −σg f − ζq1 +

¡dfdx

¢2 . (118)

Segundo o argumento geral, esta quantidade deve ser constante, ou seja,

σgf − ζq1 +

¡dfdx

¢2 = C, (119)

Daí, temosdf

dx= ±

rσg

C(f − ζ)2 − 1, (120)

que é exatamente igual a Eq.(109) com a idendificação,

σg

C=

1√C2

. (121)

Desta forma, a primeira integral do nosso problema é sempre obtida de formaimmediata. Na sessão anterior, sabendo este fato, poderiamos ter abreviadotodas as contas entre a Eq.(98) e a Eq.(109).

10 Vínculos Locais

Um funcional pode depender de mais de uma função. Por exemplo, no prob-lema anterior da corda, poderiamos ter considerado a forma da corda em

39

termos de função de seu comprimento l,

x = x(l)

y = y(l).

As duas funções, x(l) e y(l) determinam a forma da corda, expressa para-metricamente. Porém, as duas funções não devem ser independente, pois ocomprimento da corda está relacionado com as duas funções por,

dx2 + dy2 = dl2,

ou

1 =

sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2, (122)

A Eq.(122) é um vínculo entre as duas funções x = x(l) e y = y(l) para todosos valor de l. Em contraste ao vínculo integrado como a Eq.(95), este vínculoé “local” no sentido de que a Eq.(122) tem que ser satisfeita localmente (cadavalor de l). Para aplicar o método de constante multiplicador de Lagrange,podemos expressar a Eq.(122) na forma ingegrada,Z l0

0

dl λ(l)

⎡⎣sµdxdl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎤⎦ = 0, ∀λ(l). (123)

Exercício: Verifique que a exigência que esta equação vale para qualquerλ(l) é equivalente a Eq.(122).

A energia potencial da corda fica mais simples nesta representação,

U = σg

Z D

0

y(l)dl (124)

pois σgdl = dm é a massa da corda correspondente ao pequeno comprimentodl. O principio variacional agora pode ser expresso por

δ

Z l0

0

dl

⎧⎨⎩σgy + λ(l)

⎡⎣sµdxdl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎤⎦⎫⎬⎭ = 0 (125)

onde a variação é em relação a quaisquer variações das duas funções, x(l)→x(l) + δx(l) e y(l)→ y(l) + δy(l).

40

Para facilitar a visão geral, vamos considerar o funcional

I [x, y] =

Z lb

la

dl L(x(l), y(l),dx

dl,dy

dl; l),

e o principio variacional,

δI = δ

Z lb

la

dl L(x(l), y(l),dx

dl,dy

dl; l) = 0. (126)

Agora o funcional depende de duas funções (e suas derivadas). No problemaacima, obviamente

L = σgy + λ(l)

⎡⎣sµdxdl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎤⎦ . (127)

Fazendo os procedimentos análogos no caso de uma função, temos

δI = I [x+ δx, y + δy]− I [x, y]

=

Z lb

la

dl

∙L(x+ δx, y + δy,

d(x+ δx)

dl,d(y + δy)

dl; l)− L(x(l), y(l),

dx

dl,dy

dl; l)

¸=

Z lb

la

dl

"δx(l)

(∂L

∂x− d

dl

∂L

∂¡dxdl

¢)+ δy(l)

(∂L

∂y− d

dl

∂L

∂¡dydl

¢)# . (128)

Se δI = 0 para qualquer δx e δy, então, concluimos que

∂L

∂x− d

dl

∂L

∂¡dxdl

¢ = 0,∂L

∂y− d

dl

∂L

∂¡dydl

¢ = 0. (129)

41

Assim, obtemos a equação de Euler-Lagranges para cada uma das funções,x e y. No caso da corda, Eq.(127), temos

∂L

∂x= 0,

∂L

∂¡dxdl

¢ = λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dxdl∂L

∂y= σg,

∂L

∂¡dydl

¢ = λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dydl ,portanto as equações de Euler-Lagrange fica,

d

dl

⎡⎣ λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dxdl⎤⎦ = 0,

d

dl

⎡⎣ λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dydl⎤⎦ = σg.

Integrando as duas equações em l, temos

λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dxdl = C1,

λ(l)q¡dxdl

¢2+¡dydl

¢2 dydl = −σgl + C2.

Eliminamos λ pela divisão da segunda equação pela primeira, temos

dy

dx=

σgl + C2C1

.

Derivando os dois lados em termos de x (não l), temos,

d2y

dx2=

σg

C1

dl

dx=1

C

s1 +

µdy

dx

¶2.

42

onde C = −C1/σg é uma constante a ser determinada. Chamando dy/dx deφ(x), a equação acima fica na forma

dφ

dx=1

C

q1 + φ2, (130)

que fácilmente integrada. Temos

φ = sinh(x− x0C

) (131)

onde x0 é a constante de integração. Assim,

dy

dx= sinh(

x− x0C

). (132)

Integrando, temos,

y = C cosh(x− x0C

) + y0 (133)

que é novamente a solução obtida anteriormente.

Exercício: Deduza as equações de Euler-Lagrange para 3 funções f, g e hcuja Lagrangiana é

L = L(f, g, h,df

dx,dg

dx,dh

dx).

10.1 A primeira integral no caso de duas variáveis

Podemos verificar fácilmente a primeira integral correspondente a Eq.(113)no caso de ter duas variáveis é dada por

H(x, y,dx

dl,dy

dl) =

dx

dl

∂L

∂¡dxdl

¢ + dy

dl

∂L

∂¡dydl

¢ − L.

Exercício: Prove quedH

dl= 0

para as funções x, y que satisfazem as equações,

∂L

∂x− d

dl

∂L

∂¡dxdl

¢ = 0,∂L

∂y− d

dl

∂L

∂¡dydl

¢ = 0. (134)

43

10.2 Exemplo 2. Uma Mola Homogênea

Vamos aplicar as ideias discutidas acima para tratar um problema analogo dacorda pendurada, mas agora no lugar de uma corda, consideramos uma molaelástica. No caso de uma mola, o próprio peso faz com que a mola estica, ediferentemente do caso de uma corda, não podemos saber o comprimento damola, apriori. Por outro lado, o princípio que determina a configuração damola deve ser igual ao caso da corda. Isto é, no equilíbrio, a mola deve atingira configuração cuja energia total seja mínima. A diferença é que quando amola estica, a energia interna da mola aumenta. Assim, na medida quea mola pendura e estica, a redução da energia potencial gravitacional acabaequlibrando com o aumento da energia interna da mola pela sua elasticidade.Como sabemos, se a mola estica homogeniamente, a energia interna da

mola associada a sua estensão é dada por

Uint(Homog.) =k

2(l∗ − l0)

2 (135)

onde l0 é o comprimento da mola no estado natural e l∗ o comprimento es-tendida da mola. Agora, quando a mola fica pendurada, a estenção da molanão é homogênea. Assim, devemos subdividir a mola em pequenos pedaços,e calcular a energia como a soma das energias internas dos estes pequenaspedaços. Para isto, temos que lembrar que, quando subdividir uma mola empequenos pedaços, a constante da mola para cada pedaço não é igual a dacorda como todo. Isto é fácil de ver de seguinte forma. Considere que a molano estado natural como uma sequência dos n pedaços iguais (Fig.5).

44

dl

Fig.5 Dividindo a mola em segumentosCada segumento tem o comprimento dl = l0/n. Quando a mola estica ho-mogeniamente por um fator, digamos α, então cada pedaço estica propor-cionalmente,

dl→ dl∗ = αdl.

A energia da mola de cada pedaço fica

dUint =1

2k0(dl∗ − dl)2

=1

2k0dl2(α− 1)2,

e a energia interna total da mola fica

Uint =X 1

2k0dl2(α− 1)2

= ndlk0dl

2(α− 1)2

=k0/n

2(α− 1)2 l2 = k0/n

2(l∗ − l0)

2

45

Comparando esta expressão com a Eq.(135), temos

k0 = nk = kl0dl. (136)

Quanto maior que subdividimos a mola, a constante da mola de cada pedaçofica maior, ou seja, a mola pequena fica mais dura.Uma vez calculado o valor da constante da mola do pequeno segumento

da mola, podemos agora calcular a eneriga interna da mola mesmo quando agrau da estensão for inhomogenia. Suponhamos que a mola estende de formainhomogênia de forma que

dl∗ = dl∗(l),

onde l é o comprimento até o segumento medodo de um dos extremidadesquando a mola não esteja esticada. A energia interna da mola fica

Uint =X 1

2k0(dl∗ − dl)2

=X 1

2kl0dl(dl∗

dl− 1)2dl2

=1

2k

Z l0

0

dl

µdl∗

dl− 1¶2

.

Na representação da forma da mola pendurada em termos de duas funções,x = x(l) e y = y(l), temos

dl∗ =pdx2 + dy2 (137)

e, portanto,

dl∗

dl=

sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2. (138)

A energia total da mola é a soma da energia potencial gravitacional e aenergia interna da mola. Assim, temos

Utot = Ugrav + Uint

= σg

Z l0

0

dl y(l) +1

2k

Z l0

0

dl

⎛⎝sµdxdl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠2

(139)

46

Agora podemos aplicar o princípio variacional para obter a forma do equi-líbrio da mola. A configuração de equilíbrio da mola deve satisfazer o princí-pio,

δUtot = 0, (140)

para qualquer variações δx e δy das duas funções x(l) e y(l) em torno da suaforma equilíbrio,

x(l)→ x(l) + δx(l),

y(l)→ y(l) + δy(l), (141)

A energia total, Eq.(139) tem a forma que a equação de Euler-Lagrange édiretamente aplicável. Assim, temos

d

dl

⎡⎣k⎛⎝sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠ dxdlq¡

dxdl

¢2+¡dydl

¢2⎤⎦ = 0, (142)

d

dl

⎡⎣k⎛⎝sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠ dydlq¡

dxdl

¢2+¡dydl

¢2⎤⎦ = −σg, (143)

As primeras integrais são fácilmente feitas e temos⎡⎣k⎛⎝sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠ dxdlq¡

dxdl

¢2+¡dydl

¢2⎤⎦ = C1, (144)

⎡⎣k⎛⎝sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠ dydlq¡

dxdl

¢2+¡dydl

¢2⎤⎦ = σgl + C2. (145)

Estas formam um sistema de equações algébricas em relação a dx/dl e dy/dl.Para resolver o sistema, tomamos quadrados dos dois lados de cada equaçãoe somando os dois lados, temos

k2

⎛⎝sµdxdl

¶2+

µdy

dl

¶2− 1

⎞⎠2

= C21 + (σgl + C2)

2 ,

ou sµdx

dl

¶2+

µdy

dl

¶2=1

k

qC21 + (σgl + C2)

2 + 1.

47

Substituindo esta expressão nas equações (144) e (145), temos

dx

dl=

C1k+

C1q(σgl + C2)

2 + C21

,

dy

dl=

σgl + C2k

+σgl + C2q

(σgl + C2)2 + C2

1

,

Podemos integrar facimente e temos

x(l) = x0 +C1kl +

C1σgsinh−1

σg

C1

µl +

C2σg

¶, (146)

y(l) = y0 +σgl2/2 + C2l

k+

sµl +

C2σg

¶2+

µC1σg

¶2. (147)

No limite de que a constante da mola fica infinito (k →∞)7, temos

x(l) = x0 +C1σgsinh−1

σg

C1

µl +

C2σg

¶,

y(l) = y0 +

sµl +

C2σg

¶2+

µC1σg

¶2.

A eliminação do variável l destas equações resulta em

y − y0 =C1σgcosh

σg

C1(x− x0)

que coincide com o resultado da corda.

Exercício: Utilizando os recursos númericos adequados, obtenha graficosy = y(x) para a configuração da mola partindo Eqs.(146,??).

7a mola rígido para estensão, mas flexível = a corda

48

11 Princípio Variacional na Mecânica

Muitos problemas de Física podem ser formulados em termos de PrincípioVariacioal. Por exemplo, na ótica geométrica, a trajétoria de raio de luzno meio da matéria pode ser obtida pelo Princípio de Huygens: a luz es-colhe o caminho que custa o menor tempo para chegar. Do ponto de vistamatemática, podemos escrever o Princípio de Huygens na forma de Princí-pio Variacional. Para simplificar, consideramos o caso bidimensional ( a luzpropaga num plano). A trajetória da luz pode ser expressa pela função,

y = f(x), (148)

onde

ya = f(xa),

yb = f(xb),

são as coordenadas dos pontos de partída e chegada da luz, respectivamente.No meio da matéria, a velocidade da luz não necsssarriamente é constantemas uma função da posição, dependendo da propriedade da matéria (índicede difração n). Assim, escrevemos

v = cn(x, y), (149)

onde c é a velocidade da luz no vácuo. O Princípio de Huygens pode serescrita como

δT [f ] = 0, ∀δf (150)

onde

T [r] =

Z xb

xa

q1 +

¡dfdx

¢2cn(x, y)

dx. (151)

Exercício: Escreva o Princípio de Huygens para o caso 3-dimensional.

Independentemente de saber o porque deste Princípio, a formulação varia-cional acima é, sem dúvida, útil para determinar o caminho da propagaçãoda luz na matéria. Este princípio de Huygens deve ser naturalmente ex-plicado em termos de propagação da onda eletromagnetica, o que viremosposteriormente.É interessante é que, a trajetória de uma partícula sob ação de uma

força conservativa também pode ser formulada em termos de um princípiovariacional. Vejamos em seguida.

49

Exercício: O dono de um parque de diversão quer construir uma montanharussa econômica. Qual é a curva da montanha russa y = f(x) (ysendo a alutura da trilha) para que a carroça chega mais rápido aoponto final (xb, yb), saindo do ponto de partída (xa, ya)? Suponha quenão há nenhum atrito. (dica: O tempo total que a carroça gasta é aintegral do inverso da velocidade da carroça alongo ao trajétória. Usea conservação de energia para determinar a velocidade em função dealtura da carroça.)

12 Equação de Newton para Uma Partícula

Como vimos, a equação de Euler-Lagrange para a função8 x = x(t), derivadado funcional do tipo

I [x] =

Zdt L(x,

dx

dt), (152)

é dada pord

dt

̶L

∂¡dxdt

¢! = ∂L

∂x, (153)

o que é uma equação diferencial de segunda ordem. Como mencionamosantes, L é chamada de função Lagrangiana (ou simplesmente Lagrangiana).Note que (ver o exercício anterior), se escolhemos

L =1

2m

µdx

dt

¶2− V (x), (154)

então, a equação de Euler-Lagrange resulta em

md2x

dt2= −dV

dx. (155)

Isto tem a forma de equação de movimento de uma partícula unidimensionalsob a força derivada do potencial,

F = −dVdx

. (156)

8Nesta sessão, utilizamos a variável t como o parâmetro para especificar a função e éidentficado como o tempo.

50

Por exemplo, considere uma massa m que movimenta alongo ao eixo x livre-mente, ligada numa mola com massa disprezivel. Neste caso, a equação demovimento de Newton fica

md2x

dt2= −kx, (157)

onde k é a constante da mola. Esta equação pode ser obtida pela Equaçãode Euler-Lagrange com a Lagrangiana,

L =1

2m

µdx

dt

¶2− 12kx2. (158)

O primeiro termo desta função é a energia cinética da partícula, e o segundotermo é a energia potencial da mola. Isto é, se colocamos a Lagrangianacomo

L = T − V, (159)

então, o Princípio Variacional,

δI = 0, ∀δx = δx(t) (160)

com

I =

Z tb

ta

Ldt, (161)

resulta a equação de movimento de Newton para uma partícula sob a forçagerada do potencial V = V (x). Aqui, o funcional I é chamado de açao, e asvariações δx deve satisfazer a condição de contorno,

δx(t)|t=ta,tb = 0.

O argumento pode ser fácilmente generalizado para o caso de uma partículaem movimento tridimensional. A energia cinética de uma partícula commassa m é

T =1

2m

õdx

dt

¶2+

µdy

dt

¶2+

µdz

dt

¶2!=1

2m

µdr

dt

¶2, (162)

e a energia potencial fica

V = V (x, y, z) = V (r). (163)

51

Colocando

L = L(r,dr

dt) = T − V

=1

2m

µdr

dt

¶2− V (r). (164)

Como tem 3 funções, x = x(t), y = y(t) e z = z(t), a equação de Euler-Lagrange para cada função fica

d

dt

̶L

∂¡dxdt

¢! = −∂V∂x

, (165)

d

dt

̶L

∂¡dydt

¢! = −∂V∂y

, (166)

d

dt

̶L

∂¡dzdt

¢! = −∂V∂z

. (167)

ou,

d

dt

µ∂L

∂x

¶= −∂V

∂x, (168)

d

dt

µ∂L

∂y

¶= −∂V

∂y, (169)

d

dt

µ∂L

∂z

¶= −∂V

∂z. (170)

onde x = dx/dt, etc. Verificamos que estas resultam em

md2x

dt2= −∂V

∂x,

md2y

dt2= −∂V

∂y,

md2z

dt2= −∂V

∂z,

ou

md2r

dt2= −∇V. (171)

52

Isto é a equação de movimento de uma partícla sob a força derivada dopotencial V .É importante notar que a quantidade,

∂L

∂x

é igual a componente x do momento linear da partícula. Isto é,⎛⎝ ∂L∂x∂L∂y∂L∂z

⎞⎠ =

⎛⎝ pxpypz

⎞⎠ , (172)

ou∇v L = p, (173)

onde introduzimos a notação,

∇v =

⎛⎝ ∂∂x∂∂y∂∂z

⎞⎠ , (174)

que é o análogo da gradiente, mas a derivada é em relação a velocidade,v = dr/dt.

Exercício: Escreva a Lagrangiana para o movimento da Terra em torno doSol, considerando apenas a força gravitacional do Sol, fixo na origim.

O lado direito da equação de Euler-Lagrange é a negativa do gradiente dopotencial, ou seja a força. A estrutura da equação de Euler-Lagrange entãotem a forma

d

dtp = f. (175)

• A derivada da Lagrangiana em relação a derivada temporal da coorde-nada é o momento, e a derivada da Lagrangeiana em relação a coor-denada própria é a força.

53

Vimos que a equação de movimento de Newton sob a força conservativapode ser obtida pelo Princípio Variacional para o ação, Eq.(161). O Princí-

pio Variacional aplicado para Mecânica é chamado o Princípio de MínimaAção (ou Princípio de Hamilton). A generalização do Princípio de MínimaAção para sistemas que contem muitas partículas é trivial. Introduzimos aLagrangiana,

L = L

µr1, r2, · · · , rn;

dr1dt

,dr2dt

, · · · , drndt

¶=

nXi=1

Ti − U(r1, r2, · · · , rn), (176)

onde U (r1, ..., rn) representa a energia potencial do sistema para a configu-ração de partículas representada pela coordenadas de n partículas, {r1, r2, · · · , rn} ,e Ti é a energia cinética de i−esima partícula,

Ti =mi

2

µdridt

¶2. (177)

O princípio de Mínima Ação leva as seguintes 3×n-equações de movimento,

md2xidt2

= −∂V∂xi

,

md2yidt2

= −∂V∂yi

, (178)

md2zidt2

= −∂V∂zi

,

para i = 1, ..., n.Consideramos que este Princípio de Mínima Ação (Princípio de Hamil-

ton) como o princípio que substituir as leis de Newton. Nesta posição, esta-mos considerando que todos os movimentos da Natureza devem ser dirigidopor este princípio. Ou seja, existe sempre uma quantidade chamada de La-grangiana, expressa em termos de coordenadas e suas derivadas temporais,de tal forma que a trajétoria que se realiza na Natureza é aquela que fazo mínimo da ação, a integral da Lagrangiana no tempo. Então, o que ésignificado deste princípio variacional? O que é “ação”? As respostas para

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estas perguntas não são simples. Se a lei da dinâmica é obtida pelo Princípiode Mínima Ação, então, nos nunca podemos observar movimentos que nãocorresponde o ponto mínimo da ação I. Ou seja, o ação como funcional depossíveis trajetórias nunca seria mensurável em natureza. Assim, pode separecer que o conceito da ação é apenas uma coisa virtual, o conceito apenasmatémático. Por ser equivalente, o todo que pode se obter pelo Princípio deMínima Ação também pode ser obtido em termos de Equação de Newton.Neste sentido, pode se pensar que o formalismo não acrecenta nenhuma coisanova do ponto de vista física e, que é puramente um jogo matemático.Naturalmente devemos evitar de brincar com apenas mero formalismos,

só para ser pedante sem ter nenhum utilidade prática. Mas, no caso doPrincípio de Mínima Ação, é mais do que comprovado que o formalismofornece uma visão esclarecedora para compreensão da estrutura da lógicada Mecânica Clássica, além de ser um ferramento extremamente útil pararesolver problemas práticos. Podemos citar alguns pontos como:

• Sendo a Lagrangiana uma escalar, é fácil efetuar qualquer transfor-mação de variáveis.

• A conservação da energia é imediata.

• É fácil de generalizar para sistemas de muitos partículas, ou até o meiocontínuo.

• Certas leis de conservação (constantes de movimento) podem ser de-duzido da forma da Lagrangiana. Isto dá uma interpretação da razãode existência destas constantes de movimento. Por exemplo, a conser-vação de momento linear tem como origim a homogenidade do espaço.A conservação do momento angular está associada com a isotropia dosistema, etc.

• Para certos sistemas, em particular, quando existe vínculos entre var-iáveis, é muito mais fácil identificar a Lagrangiana do que construir aequação de movimento.

• O formalismo serve para generalizar a Mecânica, introduzindo novosconceitos, como vejamos em teoria dos campos.

• Foi fundamental para formular a Macânica Quântica.

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