15

2 Revisão Bibliográfica

O desenvolvimento da robótica ocorreu em função da busca pelo homem em construir

equipamentos que pudessem substituí-lo durante a realização de determinadas tarefas. Seguindo

este objetivo, foram surgindo estruturas cinemáticas em série, ou seja, com atuadores e braços

montados um após o outro, gerando uma única cadeia cinemática aberta para movimentar o

punho. Estas estruturas na realidade procuram imitar os movimentos do braço humano e estão

presentes na maioria dos robôs industriais da atualidade.

Uma nova arquitetura, denominada paralela, vem sendo pesquisada em universidades e

por fabricantes de robôs e máquinas ferramentas, com aplicações em diversas áreas como em

simuladores de vôo, máquinas-ferramentas, robôs manipuladores e na medicina.

Na seção 2.1 deste capítulo são apresentados os principais conceitos sobre mecanismos

paralelos, além de um breve comentário sobre as vantagens e desvantagens desta arquitetura

quando comparada às seriais. A seção 2.2 apresenta os principais métodos para síntese topológica

de estruturas cinemáticas paralelas. Na seção 2.3 é abordada a análise cinemática de posição e

velocidade. A seção 2.4 trata dos procedimentos normalmente empregados para a previsão de

configurações singulares em mecanismos paralelos, enquanto que a seção 2.5 apresenta os

métodos para determinação do espaço de trabalho. Finalmente, na seção 2.6 são apresentados

comentários sobre esta revisão bibliográfica.

2.1 Mecanismos Paralelos: considerações iniciais

Segundo Tsai (2000), o desenvolvimento dos manipuladores paralelos surgiu no início

dos anos 60, quando Gough e Whitehall apresentaram o projeto de uma máquina com seis

16

atuadores para testes de pneus. Em 1965, Stewart desenvolveu uma plataforma com estrutura

paralela para simuladores de vôo com seis graus de liberdade. Segundo MERLET (1989), no

início dos anos 70 Minsky apresentou várias arquiteturas paralelas e em 1979 MacCallion e Pham

fizeram o primeiro projeto de um manipulador paralelo para montagem em estações de trabalho.

Contudo, foi a partir da década de 80 que as pesquisas para explorar o potencial das estruturas

paralelas tornaram-se mais relevantes.

O robô DELTA é um exemplo de arquitetura paralela com aplicações na medicina e em

manipuladores, como pode ser visto na figura 2.1 (DELTA, 2006; ABB, 2006).

Figura 2.1- (a) Robô DELTA aplicado como manipulador (ABB, 2006);

(b) Robô DELTA aplicado na medicina (DELTA, 2006)

17

A estrutura paralela pode ser entendida como um mecanismo de cadeia fechada onde a

plataforma móvel está conectada a uma base fixa por pelo menos duas cadeias cinemáticas

independentes (BONEV, 2005). Nos parágrafos seguintes, os principais temas desta definição são

esclarecidos.

Um mecanismo pode ser definido como um conjunto de corpos rígidos conectados para

converter movimento e transmitir esforços (BONEV, 2005). O mecanismo irá transformar um

movimento disponível, como a rotação de um motor elétrico por exemplo, no movimento

desejado para uma aplicação específica.

O termo cadeia cinemática pode ser definido como um conjunto de barras ou peças

conectadas por juntas ou pares cinemáticos. A cadeia cinemática será denominada fechada

quando suas extremidades estiverem conectadas. Caso contrário será denominada cadeia aberta

(veja figura 2.2).

Figura 2.2 - Cadeias cinemáticas: (a) aberta; (b) fechada

(a)

(b)

18

As cadeias cinemáticas de um mecanismo são dependentes se o movimento de uma for

influenciado pelo movimento da outra, caso contrário, as cadeias são denominadas

independentes.

Os atuadores que transmitem movimento às cadeias ativas (cadeias abertas que acoplam a

base à plataforma móvel) em um mecanismo paralelo normalmente encontram-se na base ou

junto a ela. A figura 2.3 apresenta os diagramas cinemáticos de mecanismos em série e paralelos.

O mecanismo paralelo aplicado na área de robótica é também conhecido como robô paralelo ou

Máquina Cinemática Paralela – PKM (BONEV, 2005).

(a) (b)

Figura 2.3 – Diagramas cinemáticos: (a) mecanismo paralelo; (b) mecanismo serial (CRAIG, 1999)

É importante destacar a diferença entre mecanismos totalmente paralelos dos mecanismos

paralelos híbridos (BONEV, 2005). Um mecanismo totalmente paralelo é aquele que possui n

Graus de Mobilidade e cuja plataforma móvel encontra-se conectada à base por n cadeias

cinemáticas independentes, cada uma com um único atuador, como pode ser observado na figura

2.3a. Já um mecanismo paralelo híbrido possui graus de mobilidade maior do que o número de

cadeias cinemáticas independentes que conectam a plataforma móvel à base (veja figura 2.4).

Base

Junta

Plataforma Móvel

Barra

Base

Pulso

19

Nos mecanismos totalmente paralelos, o movimento da plataforma móvel é solidário ao

do órgão terminal, peça do mecanismo que atua sobre o objeto a ser movimentado. É a peça que

contém uma garra, um eletrodo de solda ou uma câmera de vídeo. Nos mecanismos paralelos

híbridos, o movimento do órgão terminal pode ser independente da plataforma móvel, como pode

ser observado na figura 2.4.

Segundo PIERROT (2001), não há uma quantidade expressiva de arquiteturas paralelas

propostas com quatro graus de mobilidade, como o mecanismo H4, mostrado na figura 2.5 ou o

mecanismo paralelo KANUK (2003), proposto para ser aplicado como manipulador industrial.

Figura 2.4 – Diagrama cinemático de um mecanismo paralelo híbrido

Uma arquitetura interessante com três graus de mobilidade foi proposta recentemente por

Gosselin (GOSSELIN et al., 2004) chamada de Tripteron (3 PRRR) onde os atuadores lineares

são posicionados ortogonalmente entre si. A plataforma móvel pode transladar em três direções

ortogonais e as equações da cinemática direta e da inversa são lineares e desacopladas. Gogu

Base

Junta

Plataforma móvel

Barra

Órgão Terminal

20

(2005) apresenta uma aplicação para robôs com movimentos de translação empregando atuadores

giratórios.

Como vantagens potenciais dos mecanismos paralelos em relação aos seriais, destacam-

se: maior rapidez dos movimentos, devido a menor massa dos elementos móveis que geram

menores forças de inércia (MERLET, 1999), maior rigidez, proporcionada pelas várias cadeias

cinemáticas e maior precisão, pelo fato dos atuadores não estarem montados em série. Souza

(1997) descreve a influência dos erros dos atuadores sobre a posição e orientação da Plataforma

de Stewart tipo 3-3.

Figura 2.5- Mecanismo H4: (a) com atuadores lineares (PIERROT, 2001);

(b) com atuadores giratórios (PIERROT, 2001)

21

Como desvantagens, podem ser citados: o elevado volume ocupado pelo mecanismo em

relação ao seu espaço de trabalho, a possibilidade de colisão entre as cadeias cinemáticas, a

necessidade de controles mais complexos, além da dificuldade para sua calibração (MERLET,

1999).

O tipo de junta utilizado como vínculo entre as peças das cadeias cinemáticas determinará

o número de graus de liberdade daquela conexão. A tabela 2.1 (SUH; RADCLIFFE, 1978; TSAI,

2000) apresenta os tipos de juntas normalmente empregadas na conexão entre as barras, bem

como o número de graus de liberdade associado ao tipo de junta, além de uma representação

esquemática de cada uma delas.

Tabela 2.1 – Tipos de juntas (SUH; RADCLIFFE, 1978; TSAI, 2000) Junta Símbolo Geometria Representação Graus de

Liberdade

Rotacional Translacional

Revolução

R

1

1

0

Prismática

P

1

0

1

Cilíndrica

C

2

1

1

Universal

U

2

2

0

Esférica

S

3

3

0

22

As cadeias que unem a base à plataforma móvel em um mecanismo paralelo costumam

ser representadas pelas notações literal e na forma de grafos. Na notação literal (BONEV, 2005),

cada cadeia é representada por letras que identificam os tipos de juntas utilizadas nas conexões

das barras presentes nesta cadeia. Como exemplo, o mecanismo Tetraglide (RASZL, 2003) de 4

graus de mobilidade (2 translações e 2 rotações) mostrado na figura 2.6 pode ser representado por

2PRS + 2PUS.

Figura 2.6 – Mecanismo Tetraglide: (a) Modelo em CAD; (b) seu diagrama cinemático (RASZL, 2003)

Neste caso, a notação expressa que o mecanismo é composto por 4 cadeias cinemáticas,

de dois tipos distintos. O primeiro tipo (PRS) possui um par prismático (letra P), um par de

rotação (letra R) e uma junta esférica (letra S). A primeira letra (P) identifica a junta mais

próxima à base e a última (letra S) identifica a junta que une a cadeia à plataforma móvel. A letra

P está sublinhada para identificar que há um atuador linear neste par prismático. O número 2 na

frente das letras significa que existem duas cadeias idênticas. Analogamente, o outro tipo de

(a) (b)

23

cadeia cinemática (PUS) é formado por um par prismático (letra P) com atuador linear, uma junta

universal (letra U) e uma junta esférica (letra S).

A notação na forma de grafos (PIERROT; COMPANY, 1998) segue a mesma seqüência

da notação literal. A figura 2.7 apresenta a notação na forma de grafos das cadeias cinemáticas do

mecanismo Tetraglide (RASZL, 2003). Cada retângulo azul que contém a letra P significa que há

um atuador linear nestes pares prismáticos.

Figura 2.7 - Notação gráfica das cadeias cinemáticas do mecanismo Tetraglide (RASZL, 2003)

2.2 Síntese topológica

A síntese topológica de uma arquitetura paralela consiste na determinação de um

mecanismo que realize determinados movimentos. Para tanto, foram sugeridos alguns métodos,

como o critério de Gruebler-Kutzbach (SHIGLEY, UICKER, 1980), que permite calcular a

mobilidade do mecanismo paralelo pela seguinte equação:

P R S

P

P

R S

U S

P U S

BASE PLATAFORMA

MÓVEL

24

∑−

=−−−=

1

11

λλλ

ii )i(nj)n(.M.G (2.1)

sendo que, G.M. é o número de graus de mobilidade, n é o número de peças do

mecanismo, incluindo a base fixa, λ corresponde ao número de graus de mobilidade associado à

dimensão do espaço de trabalho onde se supõe que o mecanismo deve operar (λ = 3 para um

espaço de trabalho plano e λ = 6 para um espaço de trabalho espacial), nji é o número de juntas

com grau de liberdade i.

Na aplicação deste método, o projetista define λ, o número de peças n, a quantidade e os

tipos de juntas e verifica se o G.M. calculado pela equação (2.1) atende ao desejado. Como

exemplo, pode-se determinar pela equação (2.1) os graus de mobilidade do mecanismo 3-PSP (DI

GREGORIO, PARENTI-CASTELLI, 1980), mostrado na figura 2.8:

( ) ( ) ( ) 3363166186 =−−−−−=.M.G (2.2)

Fig. 2.8 – Mecanismo 3-PSP (DI GREGORIO, PARENTI-CASTELLI, 1980)

Órgão terminal

Base

25

Um outro método mais adequado para gerar estruturas paralelas é o da enumeração das

cadeias cinemáticas ativas (HUNT, 1983), que permite calcular a conectividade de um

mecanismo pela equação (2.3). A conectividade de uma cadeia cinemática pode ser definida

como o número de graus de liberdade desta cadeia e a conectividade total do mecanismo é igual a

soma das conectividades de todas as cadeias cinemáticas.

T

m

kk CC.M.G)( ==−+ ∑

=11 λλ (2.3)

Por este método, o número de cadeias ativas m é igual ao número de graus de mobilidade

necessário para o mecanismo (G.M.). Pela equação (2.3) determina-se a conectividade total do

mecanismo CT, ou seja, a soma do número de graus de liberdade de todas as cadeias ativas. Com

este valor e o número de cadeias ativas, pode-se enumerar diversas estruturas cinemáticas de tal

forma que a soma das conectividades de cada cadeia Ck (k = 1, ... , m) seja igual a conectividade

do mecanismo CT . Como exemplo, a conectividade total CT para um mecanismo com 6 graus de

mobilidade é 36, de acordo com a equação (2.2). Se as seis cadeias do mecanismo forem

idênticas, a conectividade de cada uma delas será Ck = 6 (k = 1, ... , 6). Algumas opções são 6

UPS, 6 RUS e 6 PUS, que representa o mecanismo da figura 2.9 (BONEV; RYU, 2001) .

Um terceiro método, denominado de adição de uma cadeia passiva (BROGARDH, 2002),

admite que a movimentação da plataforma móvel esteja restringida por uma cadeia cinemática

passiva conectada a ela. A definição da cadeia passiva deve ser tal que sua conectividade

coincida com a mobilidade especificada para o mecanismo (G.M), enquanto que a conectividade

de cada cadeia ativa (Ck) deve ser igual ao número de graus de mobilidade associado à dimensão

do espaço de trabalho onde o mecanismo deve operar (λ).

26

Figura 2.9 – Mecanismo 6 PUS (BONEV; RYU, 2001)

2.3 Cinemática

Pretende-se com a análise cinemática, relacionar a localização do órgão terminal em

função dos deslocamentos dos atuadores. De maneira geral, admite-se que cada cadeia cinemática

da estrutura seja formada apenas por duas barras e três juntas.

Figura 2.10 – Estrutura cinemática e os sistemas de referência global (QXYZ) e local (Oxyz)

U: junta universal S: junta esférica

Atuador linear

Base

Plataforma Móvel

O

y

z

x

Q

Y

Z

X Ai

Bi

Ci

27

Para cada uma destas cadeias cinemáticas são definidas inicialmente as coordenadas de

um ponto Bi, que corresponde ao centro da junta que conecta a barra superior i à plataforma

móvel, em relação a um sistema de referência local, solidário à plataforma móvel e as

coordenadas globais de um ponto Ci, que corresponde ao centro da junta que conecta a barra

superior i à barra inferior i. A figura 2.10 ilustra um exemplo de estrutura cinemática com os

referenciais local e global.

As coordenadas globais do ponto Bi (QBi) podem ser relacionadas com as coordenadas

locais (OBi), por meio da equação (2.4).

=

11i

OQO

iQ

BT

B (2.4)

sendo TQO a matriz de transformação homogênea do sistema local O para o sistema global

Q, que pode ser definida pela equação (2.5) (CRAIG, 1989).

=

10001333

44x

Qx

QO

xQO

ORT (2.5)

sendo RQO a matriz de rotação, que pode ser obtida empregando-se os ângulos de Euler

(CRAIG, 1989). A equação (2.4) pode ser reescrita na seguinte forma:

=

11000113133313 x

Ox

Qx

QOxi

Q B.

ORB (2.6)

28

Como as coordenadas globais de um ponto Bi são função da localização da plataforma

móvel e as coordenadas globais de um ponto Ci são função do deslocamento do atuador i, e

admitindo, por hipótese, que a barra superior seja um corpo rígido, é possível relacionar as

coordenadas da localização da plataforma móvel com as coordenadas que definem os

deslocamento do atuador i, utilizando a equação (2.7):

( ) ( ) 2

iiQ

iQT

iQ

iQ

LCBCB =−− (2.7)

sendo Li o comprimento da barra superior i. Aplicando a equação (2.7) para as G.M.

cadeias do mecanismo, é possível obter um sistema de equações em que aparecem as

coordenadas da localização da plataforma móvel (definidas por um vetor xr

) e as que definem os

deslocamentos dos atuadores (definidas por um vetor qr

):

.M.G,...,i)q,x(f i 10 ==rrr

(2.8)

sendo if um sistema com o número de equações iguais ao número de cadeias cinemáticas

ativas do mecanismo. A solução deste sistema tem dois objetivos distintos: quando o vetor xr

for

especificado, e se pretende determinar o vetor qr

, (cinemática inversa) e quando o vetor qr

for

definido e o vetor xr

for desconhecido (cinemática direta). No primeiro caso, as equações são não

lineares e desacopladas, o que permite resolvê-las separadamente e encontrar cada uma das

componentes do vetor qr

.

29

No segundo caso, as equações são não lineares e dependentes. A resolução do sistema

pode ser obtida por métodos analíticos ou numéricos. Empregando métodos numéricos obtém-se,

a partir de uma estimativa inicial das incógnitas, uma solução que corresponda às coordenadas do

órgão terminal para uma dada configuração dos atuadores. Com os métodos analíticos, manipula-

se o sistema de equações com o intuito de encontrar um polinômio com uma única variável. As

raízes deste polinômio correspondem às poses do órgão terminal.

De maneira geral, os métodos numéricos apresentam como vantagens a convergência

mais rápida e maior facilidade para implementação e como desvantagens, a sensibilidade da

resposta em relação ao valor inicial estimado, a obtenção de uma única raiz (que corresponde a

uma única configuração do mecanismo) para um dado posicionamento dos atuadores, a

dificuldade de convergência quando próximo de descontinuidades e soluções que podem não

corresponder à pose atual do órgão terminal (MERLET, 1999). Um método bastante empregado é

o de Newton-Raphson. Outros métodos alternativos, como o da continuação polinomial são

descritos por RAGHAVAN e ROTH (1995).

Os métodos analíticos, por sua vez, permitem obter todas as poses para uma dada

configuração dos atuadores, porém, pode haver dificuldade para obter a expressão analítica do

polinômio. Além disso, encontrar a raiz do polinômio, normalmente de ordem elevada, que

corresponde à configuração do mecanismo pode gerar grande trabalho computacional (KIM et

el., 2001). Isto normalmente impossibilita a determinação da pose da plataforma móvel em tempo

real (MERLET, 2002). Como exemplo de método analítico, pode ser citada a eliminação

dialítica, empregado em (KIM et el., 2001) para resolução da cinemática direta do mecanismo

Eclipse. Maiores detalhes do método da eliminação dialítica podem ser encontrados em

(RAGHAVAN; ROTH, 1995).

30

Segundo PARENTE-CASTELLI (1998, 1999), uma possibilidade interessante para

auxiliar na localização da plataforma móvel em tempo real a partir da cinemática direta é utilizar

um número de sensores maior do que o número de graus de mobilidade da plataforma móvel.

Se as equações do sistema (2.8) forem derivadas em relação ao tempo e escritas na forma

matricial, vem:

0r

&r&r =+ qJxJ qx (2.9)

sendo x&r

o vetor das velocidades do órgão terminal, q&r

é o vetor das velocidades dos

atuadores e xJ e qJ são as matrizes jacobianas. A equação 2.9 permite relacionar as velocidades

dos atuadores com a velocidade do órgão terminal. Com a análise do determinante das matrizes

jacobianas podem ser obtidas as configurações singulares do mecanismo.

2.4 Singularidades

As configurações singulares são poses onde o mecanismo pode perder ou ganhar graus de

mobilidade. Se o vetor q&r

for calculado a partir da equação 2.10, obtém-se:

xJ)J(qJ xT,

qq&r&r =− det (2.10)

Quando o determinante de Jq for nulo, e o vetor 0≠q&r

, não é possível realizar um

movimento infinitesimal da plataforma móvel em determinadas direções, e o mecanismo perde

graus de mobilidade. Estas configurações singulares ocorrerão nos limites do espaço de trabalho.

31

A figura 2.11 (HESS-COELHO, 2005a) mostra uma configuração singular da cinemática inversa

de um mecanismo paralelo planar RRRRR. O alinhamento das barras caracteriza uma

singularidade da cinemática inversa, cuja ocorrência limita o espaço de trabalho do mecanismo.

Figura 2.11 – Configuração singular da cinemática inversa para o mecanismo RRRRR (HESS-COELHO, 2005a)

Se o vetor x&r

for calculado a partir da equação 2.9, obtém-se:

qJ)J(xJ qT,

xx&r&r =− det (2.11)

Quando o determinante de Jx for igual a zero, e o vetor 0≠x&r

, a plataforma móvel pode

adquirir um movimento infinitesimal mesmo com todos atuadores parados, ou seja, o mecanismo

adquire graus de mobilidade adicionais caracterizando um tipo de singularidade dentro dos

limites do espaço de trabalho e distinta daquela determinada quando o determinante de Jq é nulo.

A figura 2.12 (HESS-COELHO, 2005a) mostra uma configuração singular da cinemática direta

de um mecanismo paralelo planar RRRRR. A plataforma móvel pode girar ainda que os

atuadores não estejam em movimento.

Plataforma móvel

Atuador Atuador

32

Figura 2.12 – Configuração singular da cinemática direta para o mecanismo 3 RRRRR (HESS-COELHO, 2005a)

Em arquiteturas cinemáticas particulares, é possível que os determinantes de Jq e Jx sejam

ambos nulos (TSAI, 1999). Esta condição pode indicar uma situação de travamento ou

incontrolabilidade do mecanismo.

2.5 Espaço de trabalho

O espaço de trabalho de um mecanismo pode ser definido como a região dentro da qual o

órgão terminal pode movimentar-se (PAZOS, 2002).

Como o mecanismo paralelo pode atingir até 6 graus de mobilidade (3 translações e 3

rotações do órgão terminal), certa dificuldade para representá-lo por completo. Por isso é comum

dividir o espaço de trabalho de um mecanismo paralelo em subconjuntos: espaço de trabalho de

orientação constante, que é o volume que pode ser alcançado por um ponto da plataforma móvel,

mantida em uma orientação constante (BONEV; RYU, 2001a) e espaço de trabalho de

orientação, definido como o conjunto das orientações atingíveis pela plataforma móvel em torno

de um ponto pertencente à plataforma (BONEV; RYU, 2001b).

Atuador Atuador

Plataforma móvel

33

As limitações do espaço de trabalho são decorrentes principalmente do curso máximo dos

atuadores, da amplitude da juntas, da interferência entre as cadeias cinemáticas, do comprimento

das barras das cadeias cinemáticas e das configurações singulares (BONEV; RYU, 2001a).

Uma maneira simples de determinar o espaço de trabalho de um manipulador paralelo é

utilizando um método de discretização (FICHTER, 1986), onde o limite do espaço de trabalho é

determinado, por exemplo, pelo sistema de coordenadas esféricas, discretizando-se os ângulos de

azimute e de zênite. Para cada par destes ângulos, o raio da esfera é incrementado até que uma

das equações restritivas seja violada, o que é verificado resolvendo-se o problema da cinemática

inversa. Este método pode ser facilmente aplicado a qualquer tipo de arquitetura paralela,

levando-se em conta as restrições mecânicas de cada mecanismo. Como desvantagens, demanda

um grande esforço computacional e fornece pouca informação sobre o limite exato do espaço de

trabalho.

Outra forma para determinação do espaço de trabalho é pelo método geométrico,

apresentado inicialmente por GOSSELIN (1990). Por este método, o limite do espaço de trabalho

é definido por superfícies obtidas pela intersecção de figuras geométricas primitivas, como

planos, esferas, cilindros, que representam restrições físicas e singularidades (BONEV; RYU,

2001a). Comparado com o método da discretização, o método geométrico é rápido e exato,

porém, não permite generalização para diferentes tipos de arquiteturas paralelas (BONEV; RYU,

2001b).

2.6- Comentários sobre a revisão bibliográfica

Nesta seção, são apresentados comentários sobre a revisão bibliográfica, destacando

temas que vem sendo pesquisados atualmente:

34

� a maioria das arquiteturas já estudadas possuem três ou seis graus de mobilidade,

portanto, não existem muitas arquiteturas propostas com mobilidade quatro ou cinco.

Estas arquiteturas são topologicamente assimétricas, exigindo um tratamento

matemático diferenciado para cada cadeia presente;

� resolver a cinemática direta de forma a encontrar, em tempo real, a pose atual da

plataforma móvel;

� análise das singularidades em relação ao espaço de trabalho disponível e ao planejado

da trajetória. Um outro campo interessante de estudo são os robôs paralelos que estão

sempre em uma configuração singular. Estes robôs podem ser de interesse prático,

mas foram estudados somente em um nível teórico (MERLET, 2002);

� a otimização dos parâmetros de projeto para que o espaço de trabalho disponível atinja

o necessário para a aplicação do mecanismo;

� as juntas têm forte influência sobre o espaço de trabalho. Por isso uma grande

contribuição seria o desenvolvimento de juntas com maior amplitude de movimento e

capacidade de carga, com folga e atrito reduzidos, onde seja possível adicionar

sensores para medir a amplitude de movimento. Outro campo promissor para pesquisa

são as juntas flexíveis, especialmente para os micro-robôs (MERLET, 2002);

� outro campo interessante para pesquisa é desenvolvimento de um programa de

computador para simulação de robôs paralelos, cuja iniciativa já foi lançada pelo

Computacional Kinematics Technical Committee of IFToMM (MERLET, 2002).