2-Teoria Geral de Turbomáquinas 22

7/21/2019 2-Teoria Geral de Turbomquinas 22

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Equao Fundamental para

mquinas hidrulicasAs aletas do rotor impem uma variao da quantidade demovimento angular do escoamento de lquido, que reage exercendoum torque sobre o rotor. O rotor gira a velocidade angular constante (n-rpm), o que implica na existncia de uma potncia disponvel;

T o torque e a velocidade angular do rotor (radiano/tempo), igual a(2n) sendo na rotao, nmero giros na unidade de tempo.

No desenvolvimento da Equao Fundamentalpara as turbinas oubombas sero usadas "equaes idealizadas", que no representaroos processos reais do escoamento do fluido (e da transferncia de

energia) atravs do rotor.

,W T


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No desenvolvimento da Equao Fundamentalpara as turbinasou bombas sero usadas "equaes idealizadas", que norepresentaro os processos reais do escoamento do fluido (e da

transferncia de energia) atravs do rotor.

Hipteses:

No processo de transferncia de energia do rotor ao fluido detrabalho, no h qualquer tipo de perda, sejam elas, perdas

hidrulicas, volumtricas ou mecnicas.

toda a potncia de eixo do rotor da bomba potncia til, ou seja, efetivamente transferida ao fluido de trabalho.

E combinando as duas equaes tem-se:

,TW Wtil

Qm ondeHQggHmWtil

H

mg

T


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Da Equao de Conservao do Momento Angular, temos que, para umescoamento permanente, o fluxo lquido de quantidade de movimentoangular atravs de uma superfcie de controle igual a um torque, portantopara se obter uma equao para o toque T deve-se aplicar esta equao

um Volume de Controle que envolva o rotor da bomba.

O rotor da bomba formado por infinitas aletas, que tm espessuradesprezvel, isto , z = e s 0, sendo z o nmero de aletas dorotor de uma bomba e s a espessura mdia destas aletas;

A idia a de que o escoamento relativo do fluido de trabalho,sendo unidimensional, seja determinado exatamente pela curvaturadas aletas, em todo o seu percurso atravs do rotor;

Pode-se, ento, afirmar que o vetor velocidade relativa do fluidode trabalho sempre tangente aleta, em qualquer ponto do

escoamento atravs do rotor.


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Para se aplicar a Equao de Conservao do Momento Angular, necessrio conhecer a velocidade absoluta do escoamentoatravs do rotor.

A velocidade relativa do escoamento conhecida (em direo e sentido), emqualquer posio radial entre as arestas de entrada e sada do rotor, assim como a

velocidade do rotor (velocidade tangencial, u), desde que a velocidade angular sejaespecificada, assim como as dimenses geomtricas do rotor.

Consequentemente, a velocidade absoluta do fluido de trabalho, C, podeser obtida da composio vetorial das velocidades relativa w, do fluido, eabsoluta u, do rotor, em posies radiais genricas


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Onde: W a velocidade relativa do fluido de trabalho; C sua velocidade absoluta. A regio da entradado rotor est indicada pelo subscrito 4e a de sada,

pelo subscrito 5. Assim, u4, W4, e C4, so as velocidades na entrada do rotor e u5 W5, e

C5, so as velocidades na sada do rotor; o ngulo entre a velocidade relativa e a direo tangencial, medido em

sentido oposto ao giro do rotor; o ngulo entre a velocidade absoluta e a direo tangencial.

Esta composio vetorial forma os tringulos de velocidade do escoamentona entrada e sada do rotor.

w1

u1

w2

u2

u1

w1

u2

w2v2v2

w4 w4

u4 u4

w5w5

v5v5

u5 u5

4

4 5544 5

5


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Composio

As turbinas bem como as bombas hidrulicas e ventiladores socompostos de duas partes bsicas: uma fixa e outra mvel.

A parte fixa composta por elementos tais como: espiral, pr-distribuidor, sistema diretor de aletas ajustveis e tubo de suco no

caso de turbinas de reao, e injetores no caso de turbinas de ao.

No caso de bombas e ventiladores, a parte fixa compostabasicamente da voluta na sada e de pequeno tubo na entrada, para asmquinas mais simples.


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Nestas partes fixas, devido ao seu formato - injetor ou difusor -poder ocorrer a transformao de energia de presso em energia develocidade ou energia de velocidade em energia de presso.

A parte mvel da mquina formada apenas pelo rotor,o qual composto de ps, cubo (e coroa dependendo do tipo).

Este o principal rgo da turbina, responsvel pelatransformao de energia hidrulica em energia mecnica ou o contrriono caso de rotores de bombas.


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Representao

Considera-se, de maneira geral, que o escoamento emturbinas e bombas hidrulicas se processa em superfcies de

revoluo superpostas.

A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possuiento componentes tangencial ao eixo, componente radial ecomponente axial.


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Portanto, as ps (em simples ou em dupla curvatura) eoutras partes do rotor; que so desenhadas conforme oescoamento desejado do fluido no rotor; sero perfeitamentedefinidas a partir da sua projeo nos dois planos mostrados: oplano meridional e o plano normal.

Fig 4.2 - Planos de representao e trajetria


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Plano meridional

Fig.4.3 - Projeo meridional e normal de uma aresta

Assim, cada ponto dorotor fica representado noplano utilizando a

circunferncia que eledescreveria se dotado derotao em torno do eixo.

A representao neste plano feita pelo rebatimento dos pontosprincipais da p sobre o plano, mantendo-se a mesma distncia do ponto aoeixo no rebatimento.

O plano meridional um plano paralelo ao eixo da mquina.


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Plano normal

Para as mquinasaxiais, alm das projees

meridional e normal, pode-se representar a mquinasegundo vrios cortescilndricos desenvolvidos,em cada dimetro emestudo.

um plano perpendicular ao eixo da mquina, da mesma maneira, arepresentao feita atravs do rebatimento dos pontos necessrios da

p sobre o plano.


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Notao

Com a finalidade de identificao dos pontos principais do rotor usual adotar-se ndices que indicam suas posies no rotor.

Nesta indicao os ndices aumentam no sentido do escoamento,para todas as mquinas hidrulicas, chamada conveno de Betz.


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Elementos cinemticos (Componente meridional - Cm)

0Ad.CSC

QACmAd.C

Uma vez que a componente meridional tem a direo perpendicular rea em que o fluido escoa, utiliza-se o princpio de conservao damassa, cuja expresso na forma integral para regime permanente

para relacionar a componenteCm com a vazo em volumeQ, considerando escoamento

uniforme na superfcie decontrole e fluido incom-pressvel.

A componente meridional do escoamento, Cm, no sistemadistribuidor e no rotor, obtida atravs da projeo da velocidade

absoluta no plano meridional.


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Componente meridional - Cm

No distribuidor, acomponente

meridional radial.

No rotor axial, acomponente

meridional axial.


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Componente meridional - Cm

No distribuidor, acomponente

meridional radial.

Para mquinas diagonais acomponente meridional axialna entrada do tubo de suco(aps a passagem no rotor)


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Aplicando a equao da vazo em massa para a superfcie decontrole composta das superfcies I e II , e uma vez que no hfluxo

pelas laterais, podemos obter uma relao entre Cm1 e Cm2 ,respectivamente na entrada e na sada do sistema diretor.

Sistema diretor (distribuidor) de mquinas hidrulicas radiais

Fig.4.6 - Sistemadiretor radial

0dACmdACmI

11II

22

2

Cm2

A2

= 1

Cm1

A1

= Q (vazo em massa)


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Sistema diretor (distribuidor) de mquinas hidrulicas radiais

Sendo =1=2 : Cm2A2= Cm1A1= Q

Cm2D2b2= Cm1D1b1= Q

Ao considerarmos b1=b2 teremos para MHM:

1

2

2

1

D

D

Cm

Cm

logo Cm2> Cm1 e p2 < p1

Do mesmo modo, ao considerarmos b8=b7teremos para MHG:

7

8

8

7

D

D

Cm

Cm

logo Cm8< C7 e p8> p7

Haver uma acelerao do escoamento meridional na direo daentrada do rotor no caso de turbinas radiais e uma desacelerao doescoamento meridional aps a sada do rotor no caso de bombas eventiladores radiais.


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21 QQ

Sistema diretor de mquinas hidrulicas axiais

2211 ACmACm

Logo:

4/DiDeA 212

11

4/DiDeA 22222

Sendo:

Para uma anlise simplificada de mquinas estritamente axiaisDe1=De2=De e Di1=Di2=Di (De e Di so os dimetros externos einternos, da coroa circular por onde passa a gua na direo do rotor)

21 CmCm 87 CmCm

Da mesma maneira consideramos para mquinas axiais:


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Tringulos de velocidade no rotor

Movimento absoluto e relativo

Para um observador movendo-se com o rotor (sistema noinercial), a trajetria da partcula acompanha o perfil da p, como se orotor estivesse em repouso, resultando assim a trajetria relativa da

partcula.

A trajetria de uma partcula ou sistema de partculas atravs deum volume de controle que abrange o rotor percebida de forma

diferente, dependendo da posio em que o observador se encontre.

uWC

u

W

C


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Para um observador fora do rotor (sistema inercial), a trajetriada partcula a trajetria absoluta , resultante da composio de doismovimentos, o movimento relativo dos canais do rotor e outro derotao do rotor.

A velocidade tangente trajetria relativa denominadavelocidade relativa, e a velocidade tangente a trajetria absoluta a velocidade absoluta.

uWC


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Tringulos de velocidade:

Da mecnica geral, retiramos a relao entre as velocidadesabsoluta C, a velocidade relativa W e a velocidade do sistema no

inercial no ponto considerado, ou seja, a velocidade tangencial u dorotor.

Para qualquer ponto do rotor vale a equao vetorial:

uWC

Consideraremos inicialmente um nmero infinito de ps do rotor,infinitamente finas, assim as linhas de corrente do escoamento relativo

sero coincidentes com as ps (condio ideal do escoamento no rotor).


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Utilizando a simplificao de escoamento uniforme, o tringulode velocidades determinado para um ponto servlido para todos os

pontos localizados na mesma seo definida pelo mesmo dimetro.

Entre assees de

entrada e sada,o fluxo deverproduzir omnimo de

perdas com aadoo de perfisou formatos de

ps maisadequados.

Tringulos de velocidade:


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Tringulos de velocidade

Na entrada da p, paraentrada "sem choque", avelocidade relativa W4deverser tangente a p, formando ongulo 4com a direo

tangencial.Na sada a velocidade

relativa W5 tangente a p,formando o ngulo 5com adireo tangencial. Os ngulos

4e 5so chamados ngulosconstrutivos.


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Relaes importantes

Cu

Cmtg

Cuu

Cmtg

C = Velocidade absoluta do escoamento no pontou = Velocidade tangencial do rotor no pontoW = Velocidade relativa do escoamento no ponto

Cm = Componente meridional da velocidade absoluta, projeo davelocidade absoluta C sobre o plano meridional (normal s sees deentrada e sada do rotor.

Cu = Componente tangencial da velocidade absoluta, projeo davelocidade absoluta C sobre a direo tangencial.


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Relao entre vazo e a componente meridional, Cm, em mquinasradiais

5554445544 CmbDCmbDCmACmAQ

Utilizando a mesma equao pode-se determinar a componenteCm , altura do tringulo de velocidades, na entrada ou na sada do rotor,conhecendo-se a vazo em volume Q e as respectivas reas.

Para o rotor de uma turbina radial, a vazo estabelecida emfuno da rea e da componente meridional, Cm, nas sees deentrada e de sada do rotor (nmero infinito de ps - escoamentoperfeitamente guiado), atravs da equao:

A mesma equao pode ser utilizada para rotores de bombas eventiladores radiais , conforme figuras a seguir


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Relao entre rotao e a componente tangencial, u, em mquinasradiais

As componentes tangenciais u4e u5so calculadas conhecendo-

se a rotao da rotor atravs das equaes (w = rotao em [rd/s]) , nocaso de mquinas radiais :

Caso a rotao do rotor seja dada em RPM (rotaes porminuto) deve-se realizar a transformao de unidades

u4= w.r4 e u5= w.r5

w= . n / 30 (n = rotao em [RPM])

u4= . D4. n / 60 e u5= . D5. n / 60


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Tringulos de velocidadeTurbina Radial

555444

5544

CmbDCmbDQ

CmACmAQ


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Tringulos de velocidadeBomba Radial

555444

5544

CmbDCmbDQ

CmACmAQ


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522

4

22

5544 CmDiDe4CmDiDe4CmACmAQ

54 CmCm

Relao entre vazo e a componente meridional, Cm, em mquinasaxiais

Nestas condies, a componente meridional na seo deentrada igual a componente meridional da seo de sada :

A mesma equao pode ser utilizada para rotores de bombas eventiladores axiais , conforme figuras a seguir

Para o rotor axiais, a determinao da componente meridional em

funo da vazo realizada considerando que a rea da seo de entrada igual a da seo de sada. (nmero infinito de ps - escoamentoperfeitamente guiado), atravs da equao:


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Ao contrrio das mquinas radiais que possuem apenas dois

dimetros que caracterizam as sees de entrada e sada, paradefinio da componente tangencial, u, nas mquinas axiais possvelutilizar dimetros desde o dimetro interno, Di, ato dimetro externo,De.

Relao entre rotao e a componente tangencial, u, em mquinasaxiais

Utilizando o dimetro mdio Dm

= (De+Di)/2, as componentestangenciais u4e u5sero tambm calculadas conhecendo-se a rotao darotor atravs das equaes:

rm= Dm/2 u4= w.rm u5= w.rm

ou u4= u5=. Dm. n / 60

T i l d l id d


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Tringulos de velocidadeTurbina Axial

Tringulos de velocidade


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Tringulos de velocidadeBomba Axial


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4

44

u

Cmarctg

Condies particulares na entrada de bombas e sada de turbinas

para no ocorrer choques (ou incongruncia do escoamentocom a p) na entrada.

No caso de bombas o ngulo construtivo 4dever ser tal que:

Na seo de sada de turbinas (e entrada de bombas) considera-se, para a condio de ponto de projeto de mximo rendimento, que o

tringulo de velocidade um tringulo retngulo, de modo que Cu5= 0,o ngulo 5= 900, e Cm5 = C5 (Cu4= 0 , 4= 900, e Cm4 = C4 parabombas e ventiladores).


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54554454 CmCmbDbDAA

Rotor radial de seo constante

Na mquina axial as componentes Cm so necessariamente iguaise as componentes tangenciais, u, sero iguais ao considerarmos o mesmodimetro mdio, Dm.

Para rotores radiais as componentes Cm sero iguais caso assees ao longo das ps forem de sees constante, o que implica na

equao:


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est fixado a partir do momento em que se define a curvatura das ps (oprojeto do rotor) das aletas, da entrada at a sada do rotor. O ngulo , funodas caractersticas operacionais da bomba (rotao e vazo, entre outras). Isto ,se h variao de rotao da bomba, h variao do ngulo , pois a alteraoda velocidade tangencial do rotor, ou a vazo da bomba, altera o tringulo de

velocidades.Com a definio das velocidades do escoamento, e os ngulos que elas

formam, pode-se ento formular uma equao para o torque da bomba, em funodas variveis operacionais e caractersticas de projeto do rotor da bomba.

Aplicando-se Equao da Conservao da Quantidade de Movimento

ngular, temos que:

Como:

Ento:

cosrCcosrCmT 444555

Hmg

T

rCrCrCrC 444555444555 coscosgcoscosm

gmH

C t id li d d d l t d


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Como o escoamento idealizado, devemos mudar a nomenclatura daaltura de elevaorealpara altura de elevao terica infinita:

Onde, o subscrito t indicando um processo sem perdas (1 idealizao), eo subscrito representando o escoamento atravs do rotor com nmero infinitode aletas, com espessura muito pequena (2 idealizao).

Lembrando que + representa mquinas geradas e representamquinas motoras.

A equao acima, estabelece que a energia especfica que o rotor transfereao fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto maisrapidamente gira o rotor, maior a quantidade de energia transferida). Os doistermos entre parnteses tm sinal invertido, e suas contribuies quantidadede energia transferida so opostas assim a quantidade de energia especficatransferida ao fluido ser mxima quando o termo negativo for nulo, isto ocorre

quando o ngulo 4, for igual a 90.Geralmente no o que ocorre na regio de entrada do rotor, nos

escoamentos reais, mas o ngulo 4 , quase sempre, muito prximo de 90,fazendo com que o termo negativo, seja prximo de zero, podendo serdesprezado quando comparado ao fluxo de quantidade de movimento angular nasada do rotor

tHH

rCrCrCrCH 444555444555t coscosgcoscosm

gm


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Com 1prximo de 90, a equao simplifica-se para:

Onde Cu5 = C5 cos5(componente tangencial da velocidade absoluta do fluido

de trabalho na aresta de sada do rotor).

Assim, quanto maior a velocidade angular de rotao do rotor de uma

bomba, e quanto maior o rotor da bomba maior ser u5, e consequentemente

maior ser C5u, fazendo com que a altura de elevao da bomba seja

maior.

,g

Cu

H u55

t

tH

D f i il t b b t bi ti


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De forma similar ao que acontece numa bomba, numa turbina se tivermos5com valor prximo de 90, a equao para a turbina, simplifica-se para:

Estas so formas idealizadas e simplificadas da Equao Fundamentalde bombas, turbinas e ventiladoresem geral. Entretanto, a formulaoresultante no mostra, explicitamente, caractersticas de projeto do rotor, emesmo condies operacionais das mquinas de fluxo em geral).

A componente tangencial da velocidade absoluta, Cu5, pode ser escritaem termos da componente radial, Cm5, conforme o tringulo de velocidades,

assim como Cu4, pode ser escrita em termos da componente radial, Cm4:

,g

Cu

H u44

t

Do Tringulo de Velocidades temos que:


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Do Tringulo de Velocidades temos que:

Substituindo na Equao Fundamental torna-se:

Cm5 pode ser expressa em termos da vazo em volume que a bombadescarrega, , aplicando-se a Equao de Conservao da Massa ao mesmoVolume de Controle.

Aplicando a Equao da Conservao da Massa, a vazo dada por:

Onde b4 e b5 so as alturas na aresta de entrada e sada do rotor, e f3 e f6 soos coeficientes de estrangulamento na entrada e sada do rotor.

CuuC 5m55u55U5 ctgW

CuuCuH 5m555

u5

5

tctg

gg

Q

m5655m4344 Cfbr2Cfbr2Q

eixo da bomba

canal do rotor

aresta de entrada

largura b4

aresta de sada

5

r5

r4


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Com isso Cm4 e Cm5 podem ser expressos por:

E a Equao Fundamental ser escrita como:

Como o ngulo 5 determina a forma da dependncia: se umadependncia direta, ou uma dependncia inversa, ento se 5 > 90, a altura de

elevao aumenta linearmente com o aumento da vazo em volume; se 5


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medida em que a vazo aumenta, de se esperar que, nos escoamentosreais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidrulicas, por exemplo)aumente com o quadrado da vazo. Assim, uma parcela substancial da potnciadisponvel no eixo irreversivelmente dissipada em perdas, e a energiaespecfica transferida no pode, aumentar, ou mesmo se manter constante, como aumento da vazo.

A influncia da magnitude do ngulo 5sobre a curva caracterstica dabomba, e sobre as formas construtivas dos das aletas dos rotores, deve serobjeto de anlise.

As bombas centrfugas quase sempre apresentam rotores de aletascurvadas para trs em relao ao sentido de rotao do rotor, isto , 5 < 90, eos valores usuais esto por volta dos 30.

5

5 5

= 90

5 > 90

2 < 90

H

Q2 r5 5 u 5( ) / 5

ctg

u52

/g

too

Em entiladores por o tro lado dependendo das caractersticas


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Em ventiladores, por outro lado, dependendo das caractersticasoperacionais exigidas pela instalao, pelo porte do equipamento, pelaresponsabilidade da instalao, etc, encontram-se as mais variadasconfiguraes de aletas, curvadas para trs, curvadas para a frente, retas e

inteiramente radiais, e aletas curvadas com ngulo de sada 5 = 90.

Nos tringulos de velocidade, que as componentes radiais davelocidade absoluta de sada tm aproximadamente a mesma magnitude,se a largura do rotor for a mesma para todos os casos, a vazo

descarregada por cada um deles aproximadamente a mesma.

Assim, se as grandezas geomtricas so semelhantes, e ascaractersticas operacionais (vazo e rotao) so aproximadamente iguais,a maior velocidade C5 do rotor, que tem 5 > 90, resulta somente do seu

desenho (curvatura). E quanto maior a velocidade, maior a dissipaoviscosa do escoamento, implicando em menor eficincia no processo detransferncia de energia no rotor da bomba. Consequentemente, dapotncia de eixo da bomba, uma parcela considervel ser dissipada emperdas hidrulicas se o rotor tiver 5 > 90.


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Exemplos de clculos

Distribuidor radial -

Calcule as componentes Cm na entrada e na sada de um sistema

distribuidor de turbina radial conhecendo-se: i) D1= 4[m], ii) D2= 3,6 [m] ,iii) largura constante, b1= b2= 0,25 [m] e iv) vazo = 12,5 [m3/s]. Soluo :

A1= .D1.b1= 3,1415 . 4 . 0,25 = 3,1415 [m2]

A2= .D2.b2= 3,1415 . 3,6 . 0,25 = 2,827 [m2]

Cm1= Q / A

1-> Cm

1= 12,5 / 3,14,15 = 3,98 [m/s]

Cm2= Q / A2-> Cm1= 12,5 / 2,827 = 4,42 [m/s]


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Distribuidor axial - Calcule as componentes Cm na entrada e nasada de um sistema distribuidor de turbina axial, bem como acomponente tangencial e o mdulo da velocidade do escoamento na

sada, conhecendo-se: i) dimetro externo = 500 [mm], ii) dimetrointerno = 250 [mm], iii) vazo = 0,5 [m3/s], iv) ngulo entre a componentetangencial e a velocidade do escoamento na sada = a2= 45.

A1= A2= A = .(De2 - Di2 ) / 4 = .(0,52 - 0,252 ) / 4A = 0,147 [m2]

Cm1= Cm2= Q / A ->Cm1= Cm2= 0,5 / 0,147 = 3,4 [m/s]

sen 2= Cm2/ C2-> C2= Cm2/ sen 2C2= 3,4 / sen 45o= 4,8 [m/s]

tg 2= Cm2/ Cu2-> Cu2= Cm2/ tg 2Cu2= 3,4 / tg 45o= 3,4 [m/s]

Turbina radial Determine os elementos dos tringulos de velocidade na


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i) dimetro de entrada D4= 3,4 [m],ii) dimetro de sada D5= 1,2 [m],

iii) largura na entrada b4= 0,25 [m],iv) largura na sada b5= 0,75 [m],v) vazo = 12,5 [m3/s],vi) rotao n = 150 [RPM],vii) ngulo construtivo na entrada 4= 85.

Turbina radial - Determine os elementos dos tringulos de velocidade, naentrada e na sada, de uma turbina radial com os seguintes dados:

- Clculo das reas:A4= .D4.b4= 3,1415 . 3,4 . 0,25 = 2,670 [m2]A5= .D5.b5= 3,1415 . 1,2 . 0,75 = 2,827 [m2]

-Clculo das componentes meridionais:

Cm4= Q / A4= 12,5 / 2,670 = 4,68 [m/s]Cm5= Q / A5 = 12,5 / 2,827 = 4,42 [m/s]

-Clculo das componentes tangenciais:u4= .D4.n/60 = 3,1415 . 3,4 . 150 / 60 u4 = 26,7 [m/s]

u5= .D5.n/60 = 3,1415 . 1,2 . 150 / 60 u5 = 9,42 [m/s]

-Tringulo de sada (retngulo C =Cm ):


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Tringulo de sada (retngulo C5=Cm5):

C42= Cu42+ Cm42 > C42= 26,292+ 4,682> C4= 26,7 [m/s]

-Tringulo de entrada :

tg 5= Cm5/ u5 > tg 5= 4,42 / 9,42tg 5= 0,469 > 5= 25,1

W52= u52+ C52 > W5= 10,4 [m/s]

Cu4= u4- Wu4 > Cu4= 26,7 - 0,41> Cu4= 26,29 [m/s]

tg 4= Cm4/ Wu4 > Wu4= Cm4/ tg 4Wu4= 4,68 / tg 85 > Wu4= 0,41 [m/s]

tg 4= Cm4/ Cu4 > 4= 10,1

sen 4= Cm4/ W4 > W4= 4,7 [m/s]

Turbina axial - Determine os elementos dos tringulos de velocidade, na


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Turbina axial Determine os elementos dos tringulos de velocidade, naentrada e na sada, de uma turbina axial com os seguintes dados:

i) dimetro externo De = 500 [mm],ii) dimetro interno Di = 250 [mm],

iii) vazo = 0,65 [m3/s],iv) rotao n = 500 [RPM],v) ngulo construtivo na entrada 4= 75.

- Clculo das reas:

A4= A5 = A = .(De2

- Di2

) / 4 = 3,1415 . (0,52

- 0,252

) / 4 = 0,147 [m2

]- Clculo das componentes meridionais:Cm4= Cm5= C5= Q / A =0,65 / 0,147 = 4,42 [m/s]

- Clculo das componentes tangenciais:u

4= u

5= .Dm.n/60 = 3,1415 . 0,375 . 500 / 60 = 9,82 [m/s]


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- Tringulo de sada (retngulo C5=Cm5):

tg 5= Cm5/ u5 > tg 5= 4,42 / 9,82

tg 5= 0,45 > 5= 24,2W52= u52+ C52 > W5= 10,8 [m/s]

Cu4= u4- Wu4 > Cu4= 9,82 - 1,18 > Cu4= 8,64 [m/s]

- Tringulo de entrada :tg 4= Cm4/ Wu4 > Wu4= Cm4/ tg 4

> Wu4= 4,42 / tg 75 > Wu4= 1,18 [m/s]

sen 4= Cm4/ W4 > W4= 4,57 [m/s]

C42= Cu42+ Cm42 > C42= 8,642+ 4,422 > C4= 9,7 [m/s]

tg 4= Cm4/ Cu4 > 4= 27,1

B b di l D t i l t d t i l d l id d


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Bomba radial - Determine os elementos dos tringulos de velocidade,na entrada e na sada, de uma bomba radial com os seguintes dados:

i) dimetro de entrada D4= 0,1 [m],

ii) dimetro de sada D5= 0,2 [m],iii) largura na entrada b4= 50 [mm],iv) largura na sada b5= 25 [mm],v) vazo = 150 [l/s],vi) rotao n = 1.800 [RPM],vii) ngulo construtivo na sada b

5

= 70

- Clculo das reas:A4= .D4.b4= 3,1415 . 0,1 . 0,050 = 0,0157 [m2]A5= .D5.b5= 3,1415 . 0,2 . 0,025 = 0,0157 [m2]

- Clculo das componentes meridionais:

A4= A5 > Cm4= Cm5 > Cm4= Q / A4C4= Cm4= Cm5= 0,15 / 0,0157 = 9,55 [m/s]

- Clculo das componentes tangenciais:u4= .D4.n/60 = 3,1415 . 0,1 . 1.800 / 60 = 9,425 [m/s]

u5= .D5.n/60 = 3,1415 . 0,2 . 1.800 / 60 = 18,85 [m/s]

l d d ( l )


51/73

- Tringulo de entrada (retngulo C4=Cm4):

tg 4= Cm4/ u4 > tg 4= 9,55 / 9,425tg 4= 1,01 > 4= 45,4

W42= u42+ C42 > W4= 13,42 [m/s]

- Tringulo de sada :

tg 5= Cm5/ Wu5 > Wu5= Cm5/ tg 5> Wu5= 9,55 / tg 70 > Wu5= 3,476 [m/s]

Cu5= u5- Wu5 > Cu5= 18,85 - 3,476 > Cu5= 15,374 [m/s]

C52= Cu52+ Cm52 > C52= 15,3742+ 9,552 > C5= 18,1 [m/s]

tg 5= Cm5/ Cu5 > 5= 31,84

sen 5= Cm5/ W5 > W5= 10,16 [m/s]

Bomba axial - Determine os elementos dos tringulos de velocidade na


52/73

i) dimetro externo De = 400 [mm],ii) dimetro interno Di = 200 [mm],iii) vazo = 0,68 [m3/s],iv) rotao n = 800 [RPM],v) ngulo construtivo na sada 5= 50.

Bomba axial Determine os elementos dos tringulos de velocidade, naentrada e na sada, de uma bomba axial com os seguintes dados:

-Clculo das reas: A4= A5 = A = (De2 - Di2) / 4

-A = 3,1415 x (0,42

- 0,22

) / 4 A = 0,094 [m2

]- Clculo das componentes meridionais:

Cm4= Cm5= C4= Q / ACm4= Cm5= C4= 0,68 / 0,094 = 7,23 [m/s]

-Clculo das componentestangenciais:

u = u4= u5= .Dm.n/60u= 3,1415 x 0,3 x 800/60u = 12,57 [m/s]


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- Tringulo de sada :

W42= u42+ C42 > W4= 14,5 [m/s]

- Tringulo de entrada (retngulo C4=Cm4):

tg 4= Cm4/ u4 > tg 4= 7,23 / 12,57

tg 4= 0,575 > 4= 30

tg 5= Cm5/ Wu5 Wu5= 7,23 / tg 50 Wu5= 6,07 [m/s]

Cu5= u5- Wu5 Cu5= 12,57 - 6,07 Cu5= 6,50 [m/s]

C52= Cu52+ Cm52 C52= 6,502+ 7,232 C5= 9,72 [m/s]

tg 5= Cm5/ Cu5 5= 48,0

sen 5= Cm5/ W5 W5= 9,43 [m/s]


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Tringulos de velocidade, na entrada e na sada, de uma turbina radial


55/73


56/73


57/73


58/73

Equao fundamental ou de

Euler

Hipteses


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Hipteses

Infinitas ps. Espessura das ps infinitesimal. Fluido incompressvel. Fluido ideal, sem atrito. Entrada sem choque do escoamento sobre as

ps. Escoamento permanente.

Escoamento irrotacional. Escoamento mono-dimensional .

Consideraes


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Consideraes Escoamento unidimensional (apenas a componente x da fora).

Vazo dQ.

aplicando o principio das quantidades de movimento na linha mdiaLL(momento angular).

Figura

dt

dVdmFd X

x

eixo da bomba

canal do rotor

aresta de entrada

largura b1

aresta de sada

b2

r2

r1


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Desenvolvimento da frmula 1-Aps substituir m= Vvol e dQ= dVvol /dt o volume ser dado por

dVvol =dQ dt.Portanto a massa ser dm = dQ dt

2-Integrando esta equao com relao velocidade desde ospontos 4 e 5, onde ela passar a se chamar de C4 e C5, tem-se

3-Aplicando o momento angular da quantidade de movimentoem relao ao eixo do rotor

4-Integrando-se novamente

)CdQ(CdVdQFd 455

4xx

dt

dVdtdQ

dt

dVdmFd XXx

)CLCdQ(LLFddM 4455x

)CLCQ(LM 4455t

P bt t i lti li l l id d l


62/73

Para se obter a potncia multiplicamos pela velocidade angular.

)CLCQ(Lww.MP 4455tt


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A partir da figura , L5= r5cos5 e L4= r4cos4

C5.cos5= Cu5 C4.cos4= Cu4wr5 = u5 wr4 = u4

Finalmente a equao de Euller onde o sinal de + paramquinas motoras e o sinal de menos para geradoras.(vale paramquinas axiais e radiais.

)rcosCrcosQ(Cw)CLCQ(LwP 4445554455t

)uCuQ(C)rcosCrcosQ(CwP 4u45u5444555t

t4u45u5t QH)uCuQ(CP

)CuC(ug

1H u44u55t


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Maquinas Hidrulicas Motoras Procura-se tender o Cu5 a zero e 5=90

Maquinas Hidrulicas Geradoras Procura-se tender o Cu4 a zero e 4=90

(quando utilizamos aletas direcionais naentrada, o 4 pode ser diferente de 90)

Htg

u Cu1

4 4

Htg

u Cu1

5 5

2

WW

2

uu

2

CC

g

1Ht

2

4

2

5

2

5

2

4

2

5

2

4

2

WW

2

uu

2

CC

g

1Ht

2

5

2

4

2

4

2

5

2

4

2

5


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Utilizando Bernoulli

Sinal + para mquinas geradoras e - para mquinasmotoras.

COMPARANDOa equao de Bernoulli com a de Euller efazendo Z4=Z5 temos:

452gg

ZZCCpp

H

2

4

2

545

t

Hest

g

pp45

2

WW

2

uu

g

12

5

2

4

2

4

2

5

Hdin

2

CC

g

12

4

2

5


66/73

A forma do rotor e o grau de reao

A forma do rotor e suas aletas influi diretamente no grau de reao. O grau de reao ( representa a frao da energia total que

transferida no rotor sob a forma de variao de presso.

Rearranjando a equao para Z4=Z5 tem-se:

Hest(altura de presso) , Hdin(altura dinmica)

Dividindo-se todos os termos da equao acima por Hte

rearranjando temos o grau de reao.

Para maquinas geradoras Para maquinas motoras

HHCCppH dinest

2

4

2

512

t 2gg

2U

C-11

2U

C-11

4

U4

t

din

t

estt

5

U5

t

din

t

estt

HH

HH

HH

HH


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Mquinas de Ao e Reao

Utilizando a equao da altura de presso

Para mquinas Geradoras : O grau de reao varia 0 t1

Hest =0 p5 = p4 mquina de ao (sem aplicao) Hest 0 mquina de reao (bombas axiais e radiais)

Para mquinas Motoras : O grau de reao varia 0 t 1

Hest =0 p5 = p4 mquina de ao (turbina pelton)

Hest 0 p5 p4 mquina de reao (turbina francis/kaplan)

Hest gpp 45


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Diferena quadrtica das velocidades

Desenvolvendo a equao do grau de reao, e expressando emtermos das caractersticas geomtricas do rotor temos:

Considerando b4 = 90 , Cu4 = 0 (mquinas de fluxo)

Mantendo-se a velocidade meridional constante ou canais de seo

transversal do rotor constantes (Cm4 = Cm5)

ccCCCC2

m4

2

u4

2

m5

2

u5

2

4

2

5

cCCCC2

m4

2

m5

2

u5

2

4

2

5

CCC2

u5

2

4

2

5


69/73

Desenvolvendo a equao do grau de reao chegamos a umanova equao.(para Cm4 = Cm5 , b4 = 90 e Cu4 = 0)

Desde que podemos reescrever a equao daseguinte forma:

ANLISE: Quanto maior (cm5/u5 ) e menor o ngulo 5, maior ser o grau

de reao da bomba. Quanto menor o ngulo 5maior ser a taxa de transferncia de

energia cintica, ocasionando maiores velocidades na sada dorotor, o que gera perdas viscosas reduzindo a eficincia.Neste casoo grau de reao da bomba reduzido.

,tg12

1

21 uC

uC

HH

55

m5

5

u5

t

est

2gH

C

-1t

u52

t

est

t HH

CuC 5m55u5 ctg

N t t i l id d d


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Neste caso, tem-se maiores velocidades doescoamento na sada do rotor, o que implica emmaiores perdas viscosas, e menor eficincia do

equipamento, como j se discutiu (volte aos tringulosde velocidade caractersticos de cada forma do rotor ecurvatura das aletas)

ngulo de sada, 2 Grau de reao,Hp/Ht

90 1/2= 90 = 1/2

90

1/2

O grau de reao de uma mquina de fluxo est assimassociado forma do rotor, e eficincia no processo

de transfernciade energia:


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1) Uma bomba radial gira a 3.600 [RPM] e possui: i) dimetro de entrada = 7 [cm], ii)dimetro de sada = 16 [cm], iii) largura da p na entrada = 2 [cm], iv) nguloconstrutivo na entrada = 30oe v) ngulo construtivo na sada = 45o. Considerando quese trata de uma bomba radial de rea constante, calcule a vazo e as componentes W

4,

W5e Cu5.

2) Um exaustor (ventilador axial) foi construdo com as seguintes dimenses: i)dimetro externo = 1 [m], ii) dimetro interno = 0,2 [m], iii) ngulo construtivo na

entrada = 30o. iv) ngulo construtivo na sada = 50o. Para uma vazo de ar de 3.000[m3/h] qual dever ser a rotao para uma entrada sem choque? Determine tambm ascomponentes W4 , W5e Cu5.

3) Um ventilador radial possui as seguintes dimenses: i) dimetro na sada = 0,8 [m], ii)dimetro na entrada = 0,16 [m], iii) largura na entrada = 6 [cm], iv) largura na sada = 3[cm] , v) ngulo construtivo na entrada = 20o, vi) ngulo construtivo na sada = 50o, vii)vazo de 1.440 [m3/h]. Determine a rotao da mquina e as componentes W4, W5eCu5


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4) Um ventilador radial possui as seguintes dimenses: i) dimetro do rotor na sada =0,5 [m], ii) largura da p na sada = 0,1 [m], iii) dimetro na entrada = 0,2 [m], iv)ngulo construtivo na entrada 4= 35o, v) ngulo construtivo na sada 5= 55o. Consi-derando entrada sem choque, rotor de seo constante e rotao de 1.800 [RPM],calcule a vazo, a altura de elevao e a potncia efetiva utilizando rendimento hidru-lico de 75% e rendimento mecnico de 90%.

5) Um exaustor (ventilador axial) possui as seguintes dimenses: i) dimetro externo =0,2 [m], ii) dimetro interno = 0,1 [m], iii) ngulo construtivo na entrada 4= 45o, iv)

ngulo construtivo na sada igual a 90oe rotao de 900 [RPM]. Considerando entradasem choque, calcule a vazo, a altura de elevao e a potncia efetiva utilizandorendimento hidrulico de 80% e rendimento mecnico de 92%.

6) Determinar a vazo e a altura de queda com que est trabalhando uma turbina axial,da qual so conhecidos os seguintes dados: i) potncia efetiva no eixo: 288 [CV], ii)rendimento total: 84 %, iii) rendimento hidrulico: 88 %, iv) dimetro externo: 500[mm], v) dimetro interno: 200 [mm], vi) ngulo 4: 150, vii) rotao: 800 [RPM].


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7) Uma bomba hidrulica axial, cujo corte cilndrico no dimetromdio representado ao lado, deve girar a 3.600 [RPM]. Qualdever ser a vazo para que no ocorra choque na entrada ?

Dados: i) Dext = 200 mm, ii) Dint = 100 mm, iii) S = 3 mm, iv)Z = 8 ps.

9) Calcule H para 5= 800na bomba do exerccio 8, considerando a=1,3 e o mesmorendimento hidrulico.

10) Calcule Pefpara o exerccio 8 e para o exerccio 9 adotando m= 90%. Pode-se usar Pef = .g.Q.Ht-/ (a.m)

11) Em uma turbina radial so conhecidos os seguintes dados: i) D4= 1,6 [m], ii) b4 =0,15 [m] , iii) b5 = 0,26 [m] , iv) n = 400 [RPM] , v) espessura da p: S = 12 mm , vi)nmero de ps: Z = 15 ps , vii) 4= 870 , viii) 5= 250. Calcule a vazo nominaldesprezando a espessura da p na sada, a altura de queda terica e 3, considerandoreas iguais na entrada e na sada (A3= A6)

8) Qual ser a altura de elevao, da bomba do problema 7, seadotarmos em 80% o rendimento hidrulico e a (fator decorreo) igual a 1,25 , e 5= 60o?

2-Teoria Geral de Turbomáquinas 22

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