Disciplina:Sistemas Fluidomecânicos

Análise de Turbomáquinas

1ª Parte

Análise de Turbomáquinas

• O método empregado para a análise de turbomáquinas depende essencialmente dos dados a serem obtidos.

• Volume de controle finito: metodologia empregada para se obter informações sobre vazão, variação de pressão, torque e potência, aplicando o princípio da quantidade de movimento angular.

• Volume de controle infinitesimal aplicado sobre elementos de pás individuais: metodologia usada para se obter informações sobre ângulos de pás e perfis de velocidade.

• Como nesta disciplina estamos trabalhando com escoamentos idealizados, será empregada a aproximação por volume de controle finito.

Princípio da Quantidade de Movimento Angular• Abaixo, a equação geral do princípio da

quantidade de movimento angular é relembrada da disciplina Mecânica dos Fluidos:

푟⃗ × 퐹⃗ + 푟⃗ × 푔⃗ 휌푑∀ + 푇 =

=휕휕푡

푟⃗ × 푉 휌푑∀ + 푟⃗ × 푉 휌푉푑퐴⃗

Eq. 4.475ª ed.

• Detalhando:

• O vetor 푟⃗ localiza cada elemento de massa ou de volume do sistema com respeito ao sistema de coordenadas.

• 퐹⃗ é a força de superfície exercida sobre o sistema.

• Primeiro termo da equação: torque exercido pelas forças de superfícies atuantes no VC.

• Segundo termo: torque devido à ação da gravidade exercido pelo fluido dentro do VC.

푟⃗ × 퐹⃗ + 푟⃗ × 푔⃗ 휌푑∀ + 푇 =

volume Torque no eixo motor

=휕휕푡

푟⃗ × 푉 휌푑∀ + 푟⃗ × 푉 휌푉푑퐴⃗

• No outro lado:

• A primeira integral estima o momento da quantidade de movimento (QM) do sistema.

• SC, índice mostrado na segunda integral, significa superfície de controle. A segunda integral é relacionada ao fluxo de momento de QM através da superfície do VC.

volume x densidade = massa

massa x velocidade = quantidade de movimento (força!)

quantidade de movimento x vetor localização = momento da quant. movimt.

Equação de Euler para Turbomáquinas• Para a análise de turbomáquinas, é

conveniente escolher um volume de controle fixo abrangendo o rotor, a fim de avaliar o torque no eixo.

• A equação 4.47 é simplificada pois não são consideradas significativas as forças de superfície nem as relativas ao campo gravitacional (desprezadas devido à simetria).

• Para um escoamento permanente:

푟⃗ × 퐹⃗ + 푟⃗ × 푔⃗ 휌푑∀ + 푇 =

=휕휕푡

푟⃗ × 푉 휌푑∀ + 푟⃗ × 푉 휌푉푑퐴⃗

= 0 (insignificante)

= 0 , pois o Volume de controle é fixo

푇 = 푟⃗ × 푉 휌푉푑퐴⃗ Eq. 10.1a5ª ed.

• Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise de quantidade de movimento angular.

VC sobre um rotor genérico de uma turbomáquina.

O eixo Z, alinhado com o eixo de rotação do rotor, é perpendicular ao plano XY

• Para um escoamento permanente:

O fluido entra no rotor com velocidade V1

O fluido sai do rotor com velocidade V2

Índice t: tangencialÍndice n: radial

• Integrando:

• ou, na forma escalar:

• A eq. 10.1c é chamada de equação de Euler para turbomáquinas.

푇 = 푟⃗ × 푉 휌푉푑퐴⃗ Eq. 10.1a5ª ed.

푇 푘 = 푟 푉 − 푟 푉 푚̇푘

푇 = 푟 푉 − 푟 푉 푚̇ Eq. 10.1c5ª ed.

• As velocidades tangenciais são convencionadas como positivas quando no mesmo sentido da rotação do rotor.

• Isto faz o torque no eixo Teixo positivo para bombas, ventiladores, sopradores e compressores (consomem torque, este entra no VC), e negativo para turbinas (torque é gerado, sai do VC).

• A potência 푊̇ gerada ou consumida no eixo do rotor é dada pelo produto escalar da velocidade angular 휔do rotor pelo torque 푇 .

푊̇ = 휔푇 = 휔 푟 푉 − 푟 푉 푚̇ Eq. 10.2a5ª ed.

• A equação 10.2a pode ser escrita de duas outras formas de grande utilidade.

• Seja U = r , onde U é a velocidade tangencial do rotor no raio r :

• Dividindo por 푚̇푔, obtemos a chamada altura de carga, ou carga, adicionada ao escoamento:

푊̇ = 푈 푉 − 푈 푉 푚̇ Eq. 10.2b5ª ed.

퐻 =1푔푈 푉 − 푈 푉 Eq. 10.2c

5ª ed.

Diagramas de Velocidade

• Diagramas de velocidade são úteis para definir as componentes de velocidade do fluido e do rotor na entrada e na saída.

Perfil da pá saída

entrada

푉

푉

푉

푉

• Uma situação idealizada é mostrada na figura abaixo:

• O escoamento no rotor é idealizado entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá (modelo chamado de entrada sem choque).

• 1 e 2 são os ângulos de entrada e saída da pá, medidos a partir da direção circunferencial.

saída

entrada

• A velocidade do rotor na entrada é 푈 = 휔푟• A velocidade absoluta do fluido é a soma vetorial da

velocidade tangencial do rotor (U1 na entrada) com a velocidade do fluido em relação à pá (Vrb1).

• O diagrama de velocidades na saída é similar ao da entrada.

• Estes diagramas permitem estimar o torque e a potência ideais consumidos ou entregues pelo rotor, representando o máximo desempenho sob condições ideais de projeto (limite superior de desempenho).

푉Entrada

Exemplo 10.1• Bomba centrífuga idealizada.• Água a 150 gpm entra axialmente no impulsor de

uma bomba centrífuga, através de uma entrada com diâmetro de 1,25 pol. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de saída do impulsor é de 4 pol. O fluxo sai do impulsor a 10 pés/s em relação às pás radiais. A rotação do impulsor é de 3450 rpm.

• (a) Determinar a largura b2 de saída do impulsor, (b) o torque entregue ao impulsor e (c) a potência requerida predita pela equação de Euler para turbinas.

VC fixo푉

• Q = 150 gpm 0,0094635 m3/s (galão EUA)

• Vrb2 = 10 pés/s 3,0480 m/s• R1 = 0,625 pol. = 0,015875 m• R2 = 2 pol. = 0,0508 m• = 3450 rpm = 361,283 rad/s• água = 1000 kg/m3

VC fixo푉

• Vazão: 푚̇ = 휌푉퐴

휌푄 = 푚̇ = 휌푉 2휋푅 푏

푏 =푄

푉 2휋푅=

0,00946353,048 × 2 × 휋 × 0,0508

푏 = 0,00973푚

• Da equação da quantidade de movimento angular com fluxo de saída uniforme:

• Entretanto, na entrada não há momento angular na direção z, portanto:

• Desenvolvendo:

푇 푘 = 푟 푉 − 푟 푉 푚̇푘

푇 푘 = 푟 푉 푚̇푘 = 푟 푉 휌푄푘

푇 = 푅 휔푅 휌푄 = 0,0508 ×3450 × 2 × 휋

60 × 1000 × 0,0094635

푇 = 8,8232Nm

• Calculando a potência:

• Respostas

• a) 9,73 mm; b) 8,82 Nm; c) 3187,7 W ou 4,28 hp

푊̇ = 휔푇

푊̇ =3450 × 2 × 휋

60× 8,8232 = 3187,7W ≈ 4,28ℎ푝

Bibliografia

Robert W. Fox, Alan T. McDonaldIntrodução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada.

ISBN-10: 8521610785ISBN-13: 978-8521610786