2001_02_probest_t2_gabarito

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ELE 1829 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - SEMESTRE 2001.02 TESTE # 2 - 06/11/2002 GABARITO PROBLEMA 1 (10 pontos)

O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória R com

função de probabilidade dada abaixo :

r -5 % 0 % 5 % 10 % 15 %

Pr(R = r) 0.40 0.15 0.20 0.20 0.05

a) Calcule o retorno esperado (em %) do investimento e sua variância, desvio padrão e

função geradora de momentos.

b) Considere agora a variável aleatória X , onde X = 0 se houve retorno negativo ou zero, e X =1

("sucesso") se houve retorno positivo. Suponha que você aplica o seu dinheiro por 12 meses

consecutivos, e que as aplicações em meses subsequentes são independentes e com a

mesma probabilidade de "sucesso" . Qual a probabilidade de obter retorno positivo em 7 ou

mais meses?

SOLUÇÃO

a) Média 1.75%E(R2) 0.00463 variância 0.00432 d.padrão 6.57%

tttttR eeeeeeEtM 15.010.005.0005.0 05.020.020.015.040.0)()( +++− ++++==

b) A variável X é Bernoulli com probabilidade de sucesso p = 0.20 + 0.20 + 0.05. Seja Y = ∑ .

Então Y tem distribuição Binomial (n = 12, p = 0.45). Desejamos calcular Pr( Y > 7) = Pr( Y = 8 ) + Pr( Y = 9 ) + ... + Pr( Y = 12) =

=

12

1iiX

y prob8 7.62%9 2.77%

10 0.68%11 0.10%12 0.01%

Pr( Y > 7) 11.17%

Probabilidade e Estatística - Profa. Mônica Barros

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PROBLEMA 2 (15 pontos) Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em km) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade:

≤<

<≤−

=150 100 se

2500-150

100x50 se 2500

50

)(xx

x

xf

Existem duas opções de diárias de aluguel:

1) Opção 1: R$ 70 + R$0.35 por km rodado; 2) Opção 2: R$ 90 se rodar até 120 km e R$ 130 se rodar mais de 120 km num dia.

Qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel? SOLUÇÃO Seja C o custo diário de aluguel. Na primeira opção: C = 70 + 0.35X e então o custo esperado é E(C) = 70 + 0.35.E(X) Na 2a. Opção:

≤<≤≤

=150120 se 130

12050 se 90XX

C

E(C) = 90.Pr(50 < X < 120) + 130.Pr( 120 < X < 150) Mas,

1006

3506

2502500

1502500

50)(.)(150

50

150

100

100

50

=+=

−

+

−

== ∫ ∫∫ dxxxdxxxdxxfxXE

Então, na 1a. Opção o custo esperado é: E(C) = 70 + 0.35(100) = R$ 105 Para o cálculo do custo sob a 2a. Opção precisamos calcular Pr(50 < X < 120) e Pr( 120 < X < 150). Note que: Pr(50 < X < 120) = Pr( 50 < X < 100) + Pr( 100 < X < 120) = ½ + 8/25 = 0.820 Também,

Pr( 120 < X < 150) = 18.0509

2500150150

120

==−

∫ dxx

Logo, o custo esperado sob a 2a. Opção é: E(C) = 90(0.82) + 130(0.18) = R$ 97.2 Logo, a 2a. Opção é mais econômica.


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PROBLEMA 3 (25 pontos)

Considere a seguinte densidade conjunta: ( ) xyxekyxf y >>= − ,0 ,., 4/

a) Ache a constante k que faz desta expressão uma densidade.

b) Ache a densidade marginal de X.

c) Ache a densidade marginal de Y.

d) Calcule Pr( X > 2)

e) Calcule Pr( X > 2 Y ≤ 6)

f) X e Y são independentes? Por que? (Justifique !)

u e du ea

ua

auau

. .= −

∫

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SOLUÇÃO a) Precisamos de:

( )∫ ∫ ∫∞ ∞

−− =⇒==Γ=⇒=0 0 0

4/4/ 16/11.162..16..1.y

yy kkkdyeykdxdyek

b) A densidade marginal de X é:


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PROBLEMA 4 (25 pontos) Todo final de semana você vai para a sua casa de campo. Você é meio apressado e gosta de ultrapassar o limite de velocidade na estrada. A probabilidade do radar pegar você acima da velocidade permitida é 10 %. Se você é pego pela polícia tem que pagar uma multa de R$ 250,00 (por que além de tudo você sempre esquece os documentos do carro em casa ....). Suponha que cada ida para o campo no fim de semana seja uma repetição independente. O custo associado a cada viagem é R$ 25,00 (gasolina e pedágio). Você continua dirigindo em alta velocidade até receber a primeira multa. a) Qual o custo esperado deste procedimento (viajar em alta velocidade até ganhar a primeira multa) ? b) Suponha que você tenha disponível R$ 300,00 no banco. Qual a probabilidade de você estourar o seu orçamento com este procedimento? c) Suponha agora que você programou exatamente 12 viagens para os próximos 3 meses e em cada uma delas você dirige acima do limite de velocidade. A probabilidade de você ser multado em cada viagem é 10% e os custos associados a multas, pedágio e gasolina são os mesmo que antes. Qual a probabilidade de você ser multado menos que duas vezes nas 12 viagens? a) Na situação do ítem c), qual o custo esperado das 12 viagens? SOLUÇÃO PROBLEMA 5 (15 pontos) Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade: f(x) = q.px-1 , x = 1, 2, 3, .... e q = 1-p onde 0< p <1. a) Calcule a função geradora de momentos de X. b) A partir da função geradora de momentos, encontre a média e variância de X.

Dica: use a série geométrica.

SOLUÇÃO

a) ( ) t

t

xt

t

x

xtxtxtX

peqe

pepepqpepqpqeeEtM

−=

−

==== ∑ ∑∞

=

−∞

=

−−

11....)()(

1

1

1

11

b) A primeira derivada da fgm é:

( ) ( ) qqq

pq

tdtdMXE

peqe

dtdM

t

t 110

)(1 222 ==

−=

==⇒

−=

A segunda derivada é: ( )

( )( )( ) 232

22

32

2 110

)(1

.1qp

qpq

tdtMdXE

peepqe

dtMd

t

tt +=

+=

==⇒

−

+=

Logo, a variância é:

222

11)(qp

qqpXVAR =−

+=


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PROBLEMA 6 (10 pontos) Numa agência bancária localizada numa área privilegiada de uma grande cidade brasileira, verificou-se que um cliente pessoa física mantém, em média, um volume de R$ 4800,00 aplicados no banco. A dispersão entre os volumes de recursos, medida pelo desvio padrão, é R$ 1600,00. Além disso, pode-se encarar os saldos dos correntistas como independentes entre si e Normalmente distribuídos. O banco pretende abrir uma nova agência e seus executivos imaginam que o poder aquisitivo nesta nova área é semelhante ao dos clientes da agência descrita acima. a) Para estar entre os 5% com maior volume de recursos, quanto uma pessoa deveria manter no banco? b) O banco pretende cobrar tarifas mais altas dos clientes que têm um baixo volume de recursos aplicados na instituição. Os clientes cujos volumes de recursos estão entre os 10% mais baixos terão de pagar esta tarifa mais alta. Abaixo de qual volume um cliente será alvo desta tarifa diferenciada? SOLUÇÃO Seja X o volume total de recursos de um cliente. Sabe-se que X é uma variável Normal com

média R$ 4800 e desvio padrão R$ 1600. Logo, a variável:1600

4800−=XZ tem distribuição

N(0,1). Da tabela da N(0,1) segue que Pr(Z < 1.645) = 95% e assim Pr(Z > 1.645) = 5%. Logo, para estar entre os 5% mais ricos, é necessário que o seu saldo seja superior a: R$ 4800 + 1.645(1600) = R$ 7432 b) Por simetria, o ponto da distribuição N(0,1) tal que a probabilidade de estar abaixo dele é 10% é -1.2816, e portanto, você será um cliente que deverá pagar tarifa se o seu saldo for inferior a: R$ 4800 + ( -1.2816).(1600) = R$ 2749.44


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Tabela – Função de Distribuição N(0,1)

z Φ(z) z Φ(z) 0,0000 50,00% 1,2816 90,00%0,0499 51,99% 1,3000 90,32%0,0500 51,99% 1,3333 90,88%0,1000 53,98% 1,3333 90,88%0,2000 57,93% 1,4000 91,92%0,2236 58,85% 1,4468 92,60%0,2500 59,87% 1,5000 93,32%0,3000 61,79% 1,6000 94,52%0,3475 63,59% 1,6450 95,00%0,3492 63,65% 1,6667 95,22%0,4000 65,54% 1,7000 95,54%0,4307 66,67% 1,8000 96,41%0,4472 67,26% 1,9000 97,13%0,5000 69,15% 1,9600 97,50%0,6000 72,57% 2,0000 97,72%0,6667 74,75% 2,0125 97,79%0,6708 74,88% 2,1000 98,21%0,7000 75,80% 2,2000 98,61%0,7500 77,34% 2,2361 98,73%0,8000 78,81% 2,3000 98,93%0,8500 80,23% 2,3262 99,00%0,8944 81,45% 2,3333 99,02%0,9000 81,59% 2,4000 99,18%0,9500 82,89% 2,5000 99,38%1,0000 84,13% 2,6000 99,53%1,0500 85,31% 2,6667 99,62%1,1000 86,43% 2,6833 99,64%1,1180 86,82% 2,7000 99,65%1,1475 87,44% 2,8000 99,74%1,1500 87,49% 2,9000 99,81%1,2000 88,49% 3,0000 99,87%


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