201184_161023_Apostila+Matematica+Engenharia+II (2)

8/19/2019 201184_161023_Apostila+Matematica+Engenharia+II (2)

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Faculdade de JaguariúnaEngenharia de Controle e Automação

Engenharia de Alimentos

Engenharia Ambiental

Matemática para Engenharia II[Derivadas, Integrais e Séries]

Apostila de Exercícios e Aplicações

Professor Miro Placido


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Matemática para Engenharia II – Prof. Miro

Apostila de Exercícios e Aplicações2

Esta é uma compilação de exercícios e aplicações de derivadas, integrais e sériesnuméricas (e sequências). O objetivo desse material é mostrar ao futuro engenheiro aspossibilidades de aplicação desses conceitos no cotidiano desse profissional.

Esta apostila originou-se das listas de exercícios que venho preparando para as aulasde Matemática para Engenharia desde 2006. No decorrer dos anos, surgiu a necessidades deorganizar as atividades e aplicações propostas numa compilação agrupada por assunto e por aula.

Trata-se de uma apostila contendo apenas exercícios, aplicações e gabaritos. Paratrabalhar as unidades, o aluno precisará acompanhar e registrar a teoria desenvolvida em aula. Parafacilitar o acesso às fórmulas e regras de cálculo, quando necessário, foi colocado no início dealgumas unidades as principais fórmulas e regras daquele tópico. No entanto, o aluno deve ficarciente de que existem outras regras e fórmulas além daquelas destacadas no início de algumasseções.

O objetivo dessa coletânea de atividades é otimizar o aproveitamento da disciplina,uma vez que os enunciados das questões contextualizadas são longos, o que resultaria num grandedesperdício de tempo com anotações em aula.

Para um bom aproveitamento desse material, recomenda-se fortemente que osestudantes sigam os seguintes passos de estudo: anotem a teoria desenvolvida em aula e osexercícios resolvidos, revisem em casa a teoria e refaçam os exercícios trabalhados em classe e, emseguida, resolvam os exercícios da unidade e os de revisão não trabalhados em classe.

As unidades dessa apostila estão divididas em cinco partes. Na primeira, da unidade 1à unidade 6, estão organizados por tópicos os exercícios e problemas de derivadas, sendo que daunidade 1 até a 5 está uma primeira abordagem de cada tópico. Já a unidade 6 é uma seção deexercícios de revisão e aplicações de derivadas em problemas de engenharia. As aplicações

são feitas através de exercícios, problemas ou estudos de caso. O estudante que deseja um bomaproveitamento do curso deve dedicar bastante tempo ao estudo da unidade 6, uma vez que saberaplicar os conceitos estudados é uma das competências mais valorizadas em concursos e nomercado de trabalho.

Na segunda parte da apostila, da unidade 7 a 11, estão os exercícios e aplicações deintegrais, sendo que da unidade 7 à unidade 10 está a primeira abordagem de cada tópico. Já aunidade 11 é uma seção de exercícios de revisão e aplicações de integrais em problemas deengenharia. Como na primeira parte, o aluno deve dedicar atenção redobrada para esta unidade.

Na terceira parte da apostila, unidades 12 e 13, estão os exercícios de séries. Nessasduas unidades são discutidas as propriedades das sequências mais usuais e séries mais comuns. Há

uma atenção especial para as séries de Taylor e de Maclaurin.

A quarta parte desse material, unidade 14, traz os anexos de complementosnecessários às seções usuais de aula. Na unidade 14, o aluno encontra um apêndice com a técnicade integração por partes e algumas aplicações.

A quinta e última parte contém os gabaritos de todos os exercícios, problemas,estudos de caso e aplicações apresentados ao longo da apostila.

Desejo a todos um bom curso e um excelente aproveitamento!

Valdomiro Placido dos [email protected]

Introdução


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Interpretação da derivada como inclinação da reta tangente e como taxa de variação

Obtendo a derivada através da definição

Use a definição0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f x f x

h ou

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f x f x

x

para obter a derivada nos exercícios de 1 a

5, abaixo:

1) Obtenha a derivada de2

( ) f x x .


( ) 10 f x x x .


( ) 5 2 f x x x .


( ) f x x . Lembrete:3 3 2 2 3

( ) 3 3a b a a b ab b .

5) Obtenha a derivada de3 2

( ) 5 f x x x .

A derivada como taxa de variação

O valor da derivada num ponto representa a taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da função neste ponto.

6) Qual é a taxa de variação da função2

( ) f x x no ponto 5 x ?

7) Qual é a taxa de variação da função2

( ) 10 f x x x no ponto:a) 4 x ? b) 5 x ?c) 6 x ?

8) Dada a função2

( ) 8 f x x x , calcule a taxa de variação da função f(x), nos pontos:

a) 3 x ; b) 4 x ;c) 5 x .

9) Encontre a taxa de variação da função3 2

( ) 3 2 1 f x x x x no ponto 1 x .

10) O gráfico abaixo representa a oscilação da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela função2

( ) 0,25 20 24 f x x x , onde ( ) f x é a temperatura, em0

C, e x é o tempo de aquecimento, em minutos.

10 20 30 40 50 60 70 80

50

100

150

200

250

300

350

400

x: tempo

f(x): temperatura

Fonte: QSRMC

a) Qual era a taxa de variação da temperatura no instante x = 20min? b) Qual era a taxa de variação da temperatura no instante x = 60min?

Unidade 1 – Derivada: conceito e definição


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c) Em que instante a temperatura estava aumentando 60C por minuto?d) Em que instante a taxa de variação da temperatura era zero?

Regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia

Regras de Derivação

REGRA DO PRODUTO REGRA DO QUOCIENTE REGRA DA CADEIA

FUNÇÃO ( ) ( ). ( )h x f x g x ( )

( )( )

f xh x

g x ( ) ( ( ))h x f g x

DERIVADA '( ) '( ). ( ) ( ). '( )h x f x g x f x g x 2'( ). ( ) ( ). '( )

'( )[ ( ) ]

f x g x f x g xh x

g x

'( ) '( ( )). '( )h x f g x g x

Usando as regras apropriadas de derivação, determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funções abaixo:

1)2( ) ( 3 )(5 10)h x x x x

2) 2 3

( ) ( 5 )( 2 )h x x x x x

3) 4

1( )v t

t

4) 2

10( ) 120 f t

t

5) 2 5

( )10 4

x xh x

x

6) 3 4

( )2 1

xw x

x

7) 1

( )1

xv x

x

8) 1

( )

2 4

h x

x

9) 10

( )1

v t t

10) 2

10( ) 1203

f t t

11) 2 4

( ) ( 5 )h x x x

12) 10

( ) (2 1) f x x

13)

1

3( ) f x x

14) 5( ) f x x

15) 3 7( ) f x x

16)

1

3( ) (10 6 )v t t

17) ( ) 16 f x x

18) 2( ) 16 f x x

19) 2( ) 5 20 f t t

20) Determine a derivada da função2( ) 2 8 10 f x x x x .

21) Numa indústria frigorífica, um engenheiro colocou uma peça de carne num freezer no instante t = 0 para avaliar odesempenho da máquina. Ele observou que, após t horas, a temperatura da peça F(t), em graus centígrados, era dada por

4( ) 30 5 , 0 5

1 F t t t

t

. Qual era a velocidade de redução da temperatura após 3 horas?

Unidade 2 – Teoremas e regras de derivação


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Máximos, mínimos e pontos de inflexão Ponto crítico Dizemos que um ponto c é ponto crítico de uma função derivável ( ) f x se '( ) 0 f c .

Teste da derivada segunda ''( ) f x para determinação e classificação de valores extremos da função

Um ponto crítico pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão. Dado um ponto críticoc

, temos as seguintes possibilidades:

Se ''( ) 0 f c , então c é um ponto de máximo relativo (ou local) e ( ) f c é um máximo relativo (ou local);

Se ''( ) 0 f c , então c é um ponto de mínimo relativo (ou local) e ( ) f c é um mínimo relativo (ou local); Se ''( ) 0 f c , então c pode ser um ponto de mínimo, de máximo ou um ponto de inflexão.

Máximos e mínimos absolutos:O maior valor da função num intervalo é chamado de máximo absoluto da função nesse intervalo. O menor valor dafunção num intervalo é chamado de mínimo absoluto.

1) A função3 2

( ) 6 9 10 f x x x x está representada no gráfico abaixo.

x

f(x)

a) Determine os pontos críticos de ( ) f x .

b) Classifique os pontos críticos de ( ) f x .c) Classifique os valores extremos que a função atinge nos pontos críticos.d) Quais são os valores extremos absolutos da função no intervalo [0, 4]?e) Quais são os valores extremos absolutos da função no intervalo [0.5; 3.5]?f) Quais são os valores extremos absolutos da função no intervalo [-0.5; 4.5]?

2) A função3 2

( ) 2 21 60 65 f x x x x está representada no gráfico abaixo.

x

f(x)

a) Determine e classifique os pontos críticos de ( ) f x .

b) Classifique os valores extremos que a função atinge nos pontos críticos.c) Quais são os valores extremos absolutos da função no intervalo [1, 6]?

d) Quais são os valores extremos absolutos da função no intervalo [0, 7]?

3) Um engenheiro precisa fabricar embalagens em forma de caixas abertas de papelão (sem tampa) a partir de pedaços quadradosde papelão de 30 cm de lado. Para isso, ele irá retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados.Considere como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado e faça o que se pede a seguir.

Unidade 3 – Classificação de pontos críticos e valores extremos


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a) Faça um modelo matemático desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em função de x. b) Determine o domínio da função V(x), isto é, o intervalo em que ela é válida.c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja máximo. Justifique

usando propriedades de derivadas e de máximos e mínimos.d) Qual é o volume máximo que esta caixa atinge?

4) Dada a função quadrática2

( ) 2 40 f x x x , faça o que se pede:a) Determine os pontos críticos da função.

b) Classifique o valor extremo que a função atinge no ponto crítico.

5) Dada a função quadrática2

( ) 12 60 f t t t , faça o que se pede:a) Determine e classifique os pontos críticos da função. b) Classifique o valor extremo que a função atinge no ponto crítico.

6) Dada a função3 2

( ) 0,1 1,5 6,3 50 F t t t t , faça o que se pede:a) Determine e classifique os pontos críticos da função. b) Determine os valores extremos absolutos dessa função no intervalo [2, 8].c) Determine o valor máximo absoluto que esta função atinge no intervalo [0, 8].d) Determine o valor mínimo absoluto que esta função atinge no intervalo [0, 8].

e)

Faça um esboço do gráfico dessa função a partir das informações dos itens anteriores.

7) Dada a função2768( ) 6 f x x

x , faça o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos críticos de ( ) f x .

b) Considerando que o domínio da função é ]0, [ x , isto é, o intervalo 0 x , o valor que a função atinge no pontocrítico é um extremo absoluto ou relativo? Justifique.

c) Qual é o valor extremo que a função assume no intervalo 0 x ?

8) Dada a função212000( ) 6 A r r

r , faça o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos críticos de ( ) A r .

b) Considerando que o domínio da função é ]0, [r , isto é, o intervalo 0r , o valor que a função atinge no pontocrítico é um extremo absoluto ou relativo? Justifique.

c) Qual é o valor extremo que a função assume no intervalo 0r ?

9) Determine e classifique os pontos críticos da função3 2

( ) 9 27 10 f x x x x , cujo gráfico está representado abaixo.

x

f(x)

10) Determine e classifique os pontos críticos da função3 2

( ) 6 12 38 f x x x x , cujo gráfico está representado a seguir.


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x

f(x)

Tabelas de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Considere que a é um número real positivo e diferente de 1; u é uma função de x e e é o número de Euler.

DERIVADAS DE FUNÇÕES EXPONENCIA IS E LOGARÍTMICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA

DERIVADA DA FUNÇÃ O ELEMENTAR DERIVADA DA FUNÇÃ O COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

Função Der iv ada Função Der iv ada

( ) x f x a '( ) n( ) x f x a a ( ) u f x a '( ) ( n ) 'u f x a a u

( ) x f x e '( ) x

f x e ( ) u f x e '( ) 'u f x e u

( ) loga

f x x

1'( ) loga f x e

x

Ou:

1'( )

( )

f x

x n a

( ) loga

f x u

'

'( ) logau

f x eu

Ou:

'

'( )

( )

u f x

u n a

( ) ( ) f x n x

1'( ) f x

x

( ) ( ) f x n u

'

'( ) u

f xu

Determine a derivada primeira de cada uma das funções a seguir.

1) ( ) 2 x f x

2) 2 3 2

( ) 2 x x

f x

3) 2

( ) x

f x e

4) 2( ) x f x e

5) 23 6 7( ) 2 x x f x e

6)

1

1( ) x

x f x e

7) 10( ) log f x x

8) 2

3( ) log (2 7 ) f x x x

9) ( ) ( ) f t n t

10) ( ) 3 ( )h x n x

11) ( ) (3 ) f x n x

12) 2

( ) ( 3 10) f x n x x

13) 21( ) (7 4)

2 f x n x

14) 3 2

( ) . ( ) x f x e n x

15) ( )( )

t e

h t n t

16) 3 2 3

( ) ( 5 ). x

h x x x e

17) 2 2

( ) ( 5 ). ( 8)h x x x n x

Unidade 4 – Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas


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Tabelas de derivadas de funções trigonométricas

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA

FUNÇÃ O TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAR FUNÇÃ O TRIGONOMÉTRICA COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

Função Der iv ada Função Deri vada

( ) ( ) f x sen x '( ) cos( ) f x x ( ) ( ) f x sen u '( ) cos( ). ' f x u u

( ) cos( ) f x x '( ) ( ) f x sen x ( ) cos( ) f x u '( ) ( ). ' f x sen u u

( ) ( ) f x tg x

2'( ) sec ( ) f x x

( ) ( ) f x tg u

2'( ) sec ( ). ' f x u u

( ) cotg(x) f x

2'( ) cossec ( ) f x x

( ) cotg(u) f x

2'( ) cossec ( ). ' f x u u

( ) sec(x) f x

'( ) sec( ). ( ) f x x tg x

( ) sec(u) f x

'( ) sec( ). ( ). ' f x u tg u u

( ) cossec(x) f x

'( ) cossec( ). ( ) f x x cotg x

( ) cossec(u) f x

'( ) cossec( ). ( ). ' f x u cotg u u

Nos exercícios a seguir, determina a derivada primeira de cada uma das funções.

1) ( ) ( ) f t sen t

2) ( ) cos( ) f t t

3) ( ) ( ) f t tg t

4) ( ) 10 ( ) f x sen x

5) ( ) (10 ) f x sen x

6) ( ) ( ) f x sen x

7) ( ) 3 (10 ) f x sen x

8) ( ) 2. ( 2. ) f x sen x

9) 2

( ) ( ) f x sen x

10) ( ) 5 (2 3) f x sen x

11) ( ) 40 15 (2 ) f x sen x

12) 2

( ) ( 2 ) f x x x senx

13) ( )( )

x f x

sen x

14) ( )( ) sen x f x e

15) ( )( ) 3 sen x f x

16) ( ) 10cos( ) f x x

17) ( ) cos(10 ) f x x

18) ( ) 2cos(10 ) f x x

19) ( ) 5cos(2 ) f x x

20) ( ) cos(2 4) f x x

21) ( ) cos(2 / 2) f t t

22) ( ) 100 40cos(2 / 4) f t t

23) cos( )

( ) x

f x e

24) cos( )

( ) 10 x

f x

25) cos(5 )

( ) 5cos( ) x

f x x e

26) ( )

( )cos( )

sen x f x

x

27) ( ) ( ) cos( ) f x sen x x

28) ( ) 4 (5 ) 7cos(3 ) f x sen x x

29) 2

( ) ( ) f x sen x

Dica:2 1 cos(2 )( )

2

x sen x

30) 2

( ) cos ( ) f x x

Dica:2 1 cos(2 )cos ( )

2

x x

31) ( ) ( ) sec( ) f x tg x x

Unidade 5 – Derivada de funções trigonométricas


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Taxa de variação, pontos críticos e problemas de otimização usando derivadas

1) Determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funções a seguir:

a) 2( ) f x x

b) 2( ) f x x c) ( ) 2 x f x

d) ( ) 2 x

f x

e) 2( ) 2 x f x

f) 2

( ) 2 x

f x

g) 2

6 4( ) 2

x x f x

h) ( ) x f x e

i) ( ) x

f x e

j) 2( ) x f x e

k) 2

( ) x

f x e

l) 2 4 3

( ) x x

f x e

m) ( ) 2 ( ) f x sen x n) ( ) 2 ( ) f x sen x

o) ( ) (2 ) f x sen x

p) 2

( ) ( ) f x sen x

q) ( ) 2 3cos(4 ) f x x

r) 5

( ) 3cos(4 ) f x x

s) 2

3( ) 3 12

x f x x x

t)

2

2

1 2

( ) 12 g x x x x x

u) 3 2 20

( ) ( 5 )v x x x

v) 2

4( ) . (10 ) x xw x e Sen x

w) 3 8

( )2 3

xh x

x

x) ( )2

x xe eh x

y) ( )2

x xe e

h x

z) 2 6

2000( )

1 x p x

e

2) O gráfico abaixo representa a oscilação da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela

função2

( ) 0,25 24 30 f x x x , onde ( ) f x é a temperatura, em 0C, e x é o tempo de aquecimento, em minutos.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 10

100

200

300

400

500

600

x: tempo

f(x): temperatura

a) Qual era a taxa de variação da temperatura no instante x = 20min? b) Qual era a taxa de variação da temperatura no instante x = 60min?c) Em que instante a temperatura estava aumentando 40C por minuto?d) Em que instante a taxa de variação da temperatura era zero?e) Quantos minutos de aquecimento foram necessários para se atingir a temperatura máxima?f) Qual foi a temperatura máxima atingida?

3) A pressão num determinado tambor de ar, em função do tempo de funcionamento do pressurizador, é dada pela função

quadrática2

( ) 10 400 P t t t , onde ( ) P t é a pressão, em libras, e t é o tempo de pressurização, em segundos.a) Qual é a taxa de variação da pressão após 10 segundos de funcionamento do pressurizador? b) Quantos segundos de funcionamento são necessários para a pressão atingir o valor máximo?c) Qual é a pressão máxima atingida nesse tambor?

4) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água restante no reservatório, t horas após o

escoamento ter começado, é dada por2

( ) 60 900V t t t , cujo gráfico está representado a seguir, onde ( )V t indicao volume de água, em metros cúbicos, restante no reservatório num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em horas.

Unidade 6 – Exercícios de revisão e aplicações de derivadas


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Matemática para Engenharia II – Prof. Miro Placido


5 10 15 20 25 30

100

200

300

400

500

600

700

800

900

t: tempo

V(t): Volume Rest.

a) Qual é o volume de água restante no reservatório após 5 horas de escoamento? b) Qual a taxa de variação (em metros cúbicos por hora: m

3/h) do volume de água no reservatório no instante

5t horas?c) Qual a taxa de variação (em metros cúbicos por hora: m 3/h) do volume de água no reservatório no instante 15t

horas?d) Em que instante a taxa de variação do volume de água era de -40 m3/h?e) Em que instante a taxa de variação do volume será nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.

5) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água restante no reservatório, t minutos

após o escoamento ter começado, é dada por2

( ) 4 96 576V t t t , onde ( )V t indica o volume de água, em litros,restante no reservatório num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em minutos.a) Qual era o volume de água que o reservatório continha quando começou o escoamento? b) Qual será o volume de água restante no reservatório após 2 minutos de escoamento?

c) Qual a taxa de variação do volume de água no reservatório no instante 2t ?d) Em que instante a taxa de variação do volume de água será de -16 litros/minuto?e) Em que instante a taxa de variação do volume será nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.

6) Numa indústria de alimentos, um determinado produto foi contaminado por um micro-organismo, no instante t = 0.

Sabendo que a população ( ) p t desse micro-organismo, após t horas, é dada por0,1

( ) 2000.3 t

p t , válida para

0 40t , faça o que se pede:a) Determine a derivada dessa função.

b) Determine a taxa de crescimento desse micro-organismo após 20 horas. [Use (3) 1,1n ]

7) Se uma população de micro-organismos se multiplica de acordo com a função 6( ) 1800. 2t

P t , onde t é o tempo em

horas e P(t) é a população, faça o que se pede:a) Qual é a derivada dessa função?

b) Qual é a taxa de crescimento dessa população no instante t = 6 horas? [Use (2) 0,7n ].

8) Na linha de produção de uma indústria, certo alimento precisa submetido a oscilações de temperatura durante o processode cozimento. Esta oscilação pode ser modelada pela função trigonométrica ( ) 80 60 [( / 24) ] F t Sen t , onde t é o

tempo decorrido, em minutos, e F(t) é a temperatura, em graus Celsius, no tempo t .


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12 24 36 48 60 72

20

40

60

80

100

120

140

t: tempo (min)

F(t): temperatura

a) Determine a derivada da função F(t) .

b) Qual é a taxa de variação da temperatura no instante 8t min?

c) Qual é a taxa de variação da temperatura no instante 24t min?d) No intervalo 36 60t , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura?e) No intervalo 12 36t , em que instante ocorreu a maior taxa (em módulo) de decaimento da temperatura?

Dica: faça um esboço da gráfico da derivada de F(t) para responder aos itens “d” e “e”.

9) Na linha de produção de uma indústria, certo robô executa uma tarefa repetitiva. Nesse processo, a força aplicada sobre o braço do robô oscila ao longo de períodos iguais de tempo. Esta oscilação pode ser modelada pela funçãotrigonométrica ( ) 108 36 cos[( /12) ] F t t , onde t é o tempo decorrido, em segundos, e F(t) é a força, em N, no

tempo t .

6 12 18 24 30 36

36

72

108

144

t: tempo (s)

F(t): força (N)

a) Determine a derivada da função F(t) . b) Qual é a taxa de variação da força sobre o braço do robô no instante 6t s ?c) Qual é a taxa de variação da temperatura no instante 24t min?d) No intervalo 0 12t , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura?e) No intervalo 12 24t , em que instante ocorreu a maior taxa (em módulo) de decaimento da temperatura?

Dica: faça um esboço do gráfico da derivada de F(t) para responder aos itens “d” e “e”.

10) Dada a função3 2

( ) 2 33 168 5 g x x x x , faça o que se pede:a) Determine e classifique os pontos críticos da função. b) Determine os valores extremos absolutos dessa função no intervalo [3, 8].c) Determine o valor máximo absoluto que esta função atinge no intervalo [0, 8].

d)

Determine o valor mínimo absoluto que esta função atinge no intervalo [0, 8].e) Faça um esboço do gráfico dessa função a partir das informações dos itens anteriores.


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11) A produtividade média diária de uma grande indústria, nos últimos anos, variou conforme a função3 2( ) 15 63 500 F t t t t , onde t é o tempo dado em anos (com t = 0 correspondendo ao início do ano 2000, t = 1

correspondendo ao início do ano 2001 e assim sucessivamente) e F(t) é o número médio diário de unidades produzidas no

instante t . Considere que esta aproximação seja válida no intervalo 0 8t .a) Quais são os pontos críticos dessa função?

b) Determine os valores extremos absolutos dessa função no intervalo 0 8t .c) Em que momento desse intervalo a produção média diária foi máxima?d) Qual foi a produção média diária máxima atingida nesse período?e) Em que momento desse intervalo a produção média diária foi mínima?f) Qual foi a produção média diária mínima atingida nesse período?

12) Numa indústria, são construídas caixas abertas (sem tampa) a partir de placas quadradas de papelão de 18 cm de lado. Oengenheiro de produção desta fábrica planeja retirar quadrados iguais dos quatro cantos da placa, dobrando a seguir oslados, conforme modelo matemático a seguir. No entanto, o engenheiro quer retirar quadrados de tal forma que o volumeda caixa obtida seja máximo. Considerando como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado, temos o seguintemodelo matemático do problema:

a) Expresse o volume V(x) da caixa em função da medida x do lado do quadrado. b) Determine o domínio da função V(x), isto é, o intervalo em que ela é válida.c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja máximo. Justifique


13) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas (sem tampa) a partir de pedaços quadrados de papelão de12 cm de lado. Para isso, ele irá retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados. Considere como xcm a medida do lado de cada quadrado retirado e faça o que se pede abaixo.a) Faça um modelo matemático desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em função de x. b) Determine o domínio da função V(x), isto é, o intervalo em que ela é válida.c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja máximo. Justifique


14) Uma indústria de embalagens precisa construir uma caixa fechada com base quadrada. Sabe-se que o volume da caixa

deve ser de 2 litros (2.000 cm3). O material da tampa e da base custa 3 centavos por centímetro quadrado e o material paraos lados custa 1,5 centavo por centímetro quadrado.

a) Escreva uma função que represente o custo total ( )C x da caixa (em centavos) em função do lado x da base quadrada.

b) Qual é o domínio da função ( )C x , isto é, o intervalo em que ela é válida?

c) Se você fosse o engenheiro responsável por este projeto, quais dimensões (lado da base e altura) você definiria para acaixa com o objetivo de tornar o custo total do material mínimo? Explique seu raciocínio usando os conceitos e as propriedades de derivação (diferenciação).

d) Qual é o custo total mínimo da caixa, em reais?

15) Um engenheiro precisa construir uma caixa fechada de base quadrada com 45 litros de capacidade, isto é, 45.000 cm3. O

material a ser utilizado é muito caro e precisa ser otimizado. O engenheiro sabe que o material usado na tampa e na basecusta 5 centavos por centímetro quadrado e que o material para os lados custa 3 centavos por centímetro quadrado.

a) Escreva uma função que represente o custo total ( )C x da caixa (em centavos) em função do lado x da base quadrada.

b) Qual é o domínio da função ( )C x , isto é, o intervalo em que ela é válida?

x

x

18 cm

18 cm

x

x

x

xx

x

Caixa sem tampa


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c) Se você fosse o engenheiro responsável por este projeto, quais dimensões (lado da base e altura) você definiria para acaixa com o objetivo de tornar o custo total do material mínimo? Explique seu raciocínio usando os conceitos e as propriedades de derivação (diferenciação).

d) Qual é o custo total mínimo da caixa, em reais?

16) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilíndrico com tampa e com

capacidade para 250 mL (250 cm3). Observe que se utilizarmos a aproximação 3 , este volume será de

aproximadamente 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construção do recipiente, o engenheiro irá otimizar asdimensões (diâmetro e altura) de tal forma que a área total seja mínima.

a) Sem usar a aproximação 3 , isto é, mantendo o nas expressões até ser cancelado (se possível), escreva afunção que representa a área total do recipiente em função do raio r da base;

b) Quais devem ser as dimensões (raio da base e altura) da embalagem para que a área total (custo) seja mínima?c) Qual é a área total mínima?

17) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilíndrico com tampa e comcapacidade para 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construção do recipiente, o engenheiro irá otimizar asdimensões (diâmetro e altura) de tal forma que a área total seja mínima.

a) Usando a aproximação 3 , escreva a função que representa a área total do recipiente em função do raio r da base; b) Quais devem ser as dimensões (raio da base e altura) da embalagem para que a área total (custo) seja mínima?

c) Qual é a área total mínima?

18) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir uma embalagem cilíndrica de 6 litros (6.000

cm3) de capacidade (volume obtido pela aproximação 3 ). Não tendo encontrado uma peça pronta com esse formato,ele decidiu otimizar as dimensões da embalagem a ser construída.

a) Usando a aproximação 3 , escreva a função que representa a área total da embalagem em função do raio r da base;

b) Quais devem ser as dimensões (raio da base e altura) da embalagem para que a área total (custo) seja mínima?c) Qual é a área total mínima da embalagem?

19) A curva abaixo, conhecida como sigmóide, é usada para modelar o crescimento de micro-organismos. Suponha que umdeterminado alimento foi atingido por uma bactéria. Supunha ainda que o crescimento do número de micro-organismosnas primeiras 20 horas seja dado pelo gráfico ao lado, que pode ser modelado pela função exponencial

0.5 5

12000( )

1 x f x

e

Onde x é o tempo decorrido, em horas, após a contaminação e ( ) f x é o número de micro-organismos no alimento no

tempo x .

x: tempo (horas)

f(x) : no. microorg

a) Qual é a derivada da função ( ) f x ? b) Qual é a taxa de crescimento dos micro-organismos após 10 horas de contaminação?

20) A curva de potência de um motor (em cv) varia de acordo com o número de rotações deste (em rpm). Suponha que, numcerto experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de potência abaixo (veja gráfico). No eixo x está o


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número de rotações por minuto (rpm), em milhares - isto é, a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra a potência emfunção das rotações, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funçãoexponencial

212 36

6( ) 180.

x x

F x e

Onde x é o número de rotações (rpm, em milhares), F(x) é a potência, em cv, e e é o número de Euler (base da funçãoexponencial natural).

x: Rotação(rpm)

F(x): Potência(CV)

a) Qual é a derivada da função ( ) F x ?

b) Qual é a taxa de variação da potência a 3000 rpm (isto é, no ponto 3 x )? [Use 2,7e ].c) Qual é o número de rotações que faz com que a potência seja máxima? Justifique usando derivada.d) Qual é a potência máxima que este motor atinge?

21) A curva de potência de um motor (em cv) varia de acordo com o número de rotações deste (em rpm). Suponha que, numcerto experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de potência abaixo (veja gráfico). No eixo x está o

número de rotações por minuto (rpm), em milhares - isto é, a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra a potência emfunção da rotação, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funçãoexponencial

2 8 16

4( ) 140.

x x

F x e

Onde x é o número de rotações (rpm, em milhares), F(x) é a potência, em cv, e e é o número de Euler (base da funçãoexponencial natural).

x: Rotação(rpm)

F(x): Potência(CV)

a) Qual é a derivada da função ( ) F x ?

b) Qual é a taxa de variação da potência a 2000 rpm (isto é, no ponto 2 x )? [Use 2,7e ].c) Qual é o número de rotações que faz com que a potência seja máxima? Justifique usando derivada.d) Qual é a potência máxima que este motor atinge?


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22) [Exercício adaptado da UFES - Universidade Federal do Espírito Santo] Considere uma pequenacomunidade que é abastecida com água extraída de 8 poços, cada um possuindo uma vazão de 1.800 litros deágua por dia. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de poços; porém, para cada poço adicional perfurado, estima-se que a vazão por poço diminui em 50 litros por dia. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de cada um dos 9 poços fica em 1.750 litros por dia.

a) Dê a expressão da vazão por poço ( )v x em função do número x de poços adicionais perfurados. b) Dê a expressão da vazão total ( )V x em função do número x de poços adicionais perfurados.

c) Esta comunidade possui 117 residências, cada uma consumindo 200 litros de água por dia. O chefe deobras da prefeitura, atribuindo valores aleatórios à quantidade adicional de poços, concluiu que o volumede água para atender a esse número de residências pode ser obtido perfurando-se 18 poços adicionais. Noentanto, o engenheiro ambiental responsável pelo projeto afirma que, analisando-se matematicamente o problema, é possível conseguir a mesma vazão com um número bem menor de poços adicionais. Qual éesse número?

d) Usando derivadas, determine o número de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazão totalseja a maior possível e calcule essa vazão máxima.

23)

[Exercício adaptado da UFES - Universidade Federal do Espírito Santo] Uma pequena localidade éabastecida com água extraída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de 1.100 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de poços; porém, para cada poço adicional perfurado,estima-se que a vazão por poço diminui em 25 litros por hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado,a vazão de cada um dos 7 poços fica em 1.075 litros por hora.a) Dê a expressão da vazão por poço em função do número de poços adicionais perfurados. b) Dê a expressão da vazão total em função do número de poços adicionais perfurados.c) Determine o menor número de poços que devem ser perfurados para que a vazão total seja de 9.225 litros

por hora.d) Usando derivadas, determine o número de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazão total

seja a maior possível e calcule essa vazão máxima.


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Definição Uma função ( ) F x é chamada uma primitiva da função ( ) f x em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva

de ( ) f x ), se, para todo x I , temos '( ) ( ) F x f x . A função ( ) F x também é chamada de integral indefinida de ( ) f x .

A primitiva de uma função polinomial

Se ( ) f x é uma função da forma ( ) n

f x x , a primitiva ( ) F x de ( ) f x é dada por1

( )1

n x F x c

n

, isto é:

1

( )1

nn x

x dx cn

Regra da soma: [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx (a integral da soma é a soma das integrais)

Regra da multiplicação por uma constante: ( ) ( )kf x dx k f x dx , quando k é uma constante.

Determine as integrais indefinidas (primitivas) nos exercícios a seguir:

1) 4( ) f x x

2) 3 2( ) f x x x

3) 3( ) 12 f x x

4) 2( ) 3 6 5 f t t t

5)

2

( )3

x f x

6) 2( 3 30 ) x x dx

7) 4 6 10( 5 9 ) x x x dx

8) (2 10)t dt

9) (10 )t dt

10) xdx

11) (5 ) x dx

12) 2(4 )r dr

13)

26 5

2

x xdx

14)

4 3

2

3 8 x xdx

x

Integrais que exigem manipulações básicas (expoentes racionais e integrais com radicais)

Determine as integrais listadas a seguir:

15) 2

1 dx x

16) 3

12dx

x

17) 2

6(2 )dx

x

18)

1

3 x dx

19)

2

5t dt

20)

2

3( ) x x dx

21) xdx

22) 5 3 x dx

23) x xdx

24) 2(1 ) x x dx

25) 3( ) x x dx

Unidade 7 – Integral indefinida: a primitiva de uma função


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Aplicações da integral definida: cálculo de áreas definidas por funções

Teorema Fundamental do Cálculo Se ( ) f x é uma função contínua no intervalo [ , ]a b e se ( ) F x é uma primitiva de ( ) f x nesse intervalo, então:

( ) ( ) ( )

b

a f x dx F b F a Cálculo da área sob uma curva1) Dada a função

2( ) 3 60 f x x x , faça o que se

pede a seguir:

a) Calcule10

2

5( 3 60 ) x x dx .

b) Calcule a área hachurada sob o gráfico de ( ) f x .

5 10 15 20

50

100

150

200

250

300

x

f(x)

2) Dada a função2

( ) 4 f x x , faça o que se pede aseguir:

a) Calcule2

2

2(4 ) x dx

.


-2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

x

f(x)

3) Dada a função2( ) 3 18 f x x x , faça o que se pede

a seguir:

a) Calcule4

2

2(3 18 ) x x dx .


-1 1 2 3 4 5 6 7

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

f(x)

4) Dada a função2( ) 3 12 f x x x , faça o que se pede

a seguir:

a) Calcule6

2

2(3 12 ) x x dx .


-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-10

10

20

30

40

x

f(x)

5) Calcule a área da região hachurada sob o gráfico de3 2( ) 6 9 1 f x x x x .

1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

x

f(x)

6) Dada a função3( ) f x x , faça o que se pede a seguir.

a) Calcule

23

2 ( ) x dx.


-2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

Unidade 8 – Integral definida: integral (ou soma) de Riemann


18/36

7) Calcule a área da região hachurada sob o gráfico de3 2

( ) 10 21 f x x x x .

1 2 3 4 5 6 7

-20

-15

-10

-5

5

10

15

x

f(x)

Cálculo da área entre duas curvas

8) Calcule a área da região hachurada delimitada pela

função 2

( ) 6 14 f x x x .

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

f(x)

9) As curvas definidas por2

( ) 3 30 f x x x e por

( ) 6 21 g x x delimitam a região hachurada aseguir. Determine a área dessa região.

2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

x

y

10) As curvas definidas por2( ) 3 30 f x x x e por

( ) 3 54 g x x delimitam a região hachurada aseguir. Determine a área dessa região.

2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

x

y

11) As curvas definidas por2( ) 10h x x x e por

2( ) 10 32v x x x delimitam a região hachurada

a seguir. Determine a área dessa região.

10

10

20

30

x

y

12) As curvas definidas por2( ) 6 8u x x x e por

2( ) 6 40v x x x delimitam a regiãohachurada a seguir. Determine a área dessa região.

10

20

30

40

50

x

y

13) As curvas definidas por2

3( ) 4 24 36 20 f x x x x e por23

( ) 4 24 36 10 g x x x x delimitam a regiãohachurada a seguir. Determine a área dessa região.

1 2 3 4

10

20

30

40

50

x

y

14) As curvas definidas por2( ) 16 2 f x x x e por

2( ) 8 g x x x delimitam a região hachurada aseguir. Determine a área dessa região.

2 4 6 8

10

20

30

40

x

f(x)


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Integrais de funções exponenciais usuais

x xe dx e c 1kx kxe dx e ck

( )

x x aa dx c

n a . ( )

kxkx a

a dx ck n a

1) t e dt

2) (2 ) xe dx

3) (400. ) xe dx

4)

200

xedx

5) 2 xe dx

6) 5 xe dx

7) 3 xe dx

8) 2

x xe e

dx

9) 3 x dx

10) (200.2 ) x dx

11) 3

2 x dx

12) 460.10 t dt

13) 3 4( 2 )t t e dt

14) (10 10 ) x dx

15) 2( 2 ) x x dx

16) 1

0

xe dx

17) 10

02

xdx

Integrais de funções da forma ( ) k

f x x

(que resultam na função logaritmo neperiano ou natural)

1| |dx n x c

x | |

k dx k n x c

x

18) 1dt t

19) 2

dx x

20) 1(1 )dx x

21) 400

(1200 )dr r

22) 1( )t dt t

23)

25 7 2t t

dt t

24) A região hachurada a seguir é delimitada pela função

10( ) f x

x e pelas retas 1 x , 3 x e 0 y .

Calcule a área dessa região.

1 2 3

10

20

30

40

x

f(x)

25) A região hachurada a seguir é delimitada pelas funções

4( ) f x

x ,

4( ) g x

x

e pelas retas 4 x , 4 x ,

16 y e 16 y . Calcule a área dessa região.

-4 4

-16

16

x

f(x)

Unidade 9 – Integral de funções exponenciais


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Integrais das funções trigonométricas usuais (seno e cosseno)

( ) ( ) sen x dx cos x c 1

( ) ( ) sen kx dx cos kx ck ( ) ( )cos x dx sen x c

1( ) ( )cos kx dx sen kx c

k

Tabela de integrais que resultam nas demais funções trigonométricas

2sec ( ) ( ) x dx tg x C sec . sec x tgxdx x C

2cossec ( ) ( ) x dx cotg x C sec . cosecco x cotgxdx x C

1) 5 ( ) sen x dx

2) [10cos( )] x dx

3) [cos(2 )] x dx

4) [8cos(4 )] x dx

5) [5cos(3 )] x dx

6) [10 cos( )] x dx

7) [20 10cos( )]t dt

8) [40 20cos(2 )]t dt

9) [12 4cos(2 )]t dt

10) (4 ) sen x dx

11) [ 12 ( )] sen x dx

12) [6 (2 ) 10 (5 )]cos x Cos x dx

13) 10cos(2 ) 40 (20 ) x sen x dx


( ) ( ) f x sen x , onde x é dado em radianos. Calcule aárea dessa região.

x

f(x)


( ) 40 10 (0.25 ) f x sen x , onde x é dado emradianos. Calcule a área dessa região.

x

f(x)

Métodos de integração: substituição de variável e integração por partes, veja a unidade 14 – apêndice.

Unidade 10 – Integral de funções trigonométricas


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Cálculo do volume de um sólido de revolução

Rotação em Torno do Eixo X Rotação em Torno do Eixo Y

2

[ ( ) ]

b

aV f x dx

2

[ ( ]

b

aV g y dy

a e b são os extremos da curva no eixo x a e b são os extremos da curva no eixo y

f(x) é a função dada g(y) é a inversa da função f(x) dada (isto é: 1( ) ( ) g y f x )

1) A curva abaixo é o gráfico da função ( ) f x x , no intervalo [0,4] .

x

y

x

y

z

a) Determine o volume do sólido de revolução acima obtido pela rotação completa da curva em torno do eixo x.

b) Se rotacionarmos apenas o arco compreendido sobre o intervalo [1, 4] , qual será o volume do sólido obtido?

x

y

x

y

z

2) A curva abaixo é o gráfico da função2( ) f x x , no intervalo [0,2] . Faça um esboço do sólido de revolução obtido

pela rotação dessa curva em torno do eixo x e calcule seu volume.

x

y

Unidade 11 – Aplicações de integrais: volumes e distâncias


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3) A curva abaixo é o gráfico da função

2

( ) 24

x f x , no intervalo [0,4] . Faça um esboço do sólido de revolução

obtido pela rotação dessa curva em torno do eixo x e calcule seu volume.

x

y

4) Suponha que para se obter um copo do tipo tulipa (copo de chope) se use a curva ( ) f x x . A rotação dessa curva emtorno do eixo x , com [0,16] x , fornece o sólido desejado. Considerando que as dimensões da figura são dadas em cm,

calcule a capacidade do copo em mL. Dado:3

1 1cm m .

x

y

Cálculo de distâncias Quando é dado o gráfico da velocidade de um móvel em função do tempo de deslocamento, a área sob o gráfico davelocidade corresponde à distância percorrida (espaço percorrido) por este móvel.

5) A equação da velocidade de um móvel durante um período de tempo é dada por ( ) 2 5v t t , onde ( )v t é avelocidade, em metros por segundo, no instante t , dado em segundos. O gráfico abaixo ilustra a variação da velocidadedesse móvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distância percorrida entre os instantes 2t segundos e 5t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

6) A equação da velocidade de um móvel durante um período de tempo é dada por ( ) 5 40v t t , onde ( )v t é avelocidade, em metros por segundo, no instante t , dado em segundos. O gráfico abaixo ilustra a variação da velocidadedesse móvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distância percorrida entre os instantes 1t segundo e

4t segundos.


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t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

7) A equação da velocidade de um móvel durante um período de tempo é dada por2

( ) 10 4v t t t , onde ( )v t é avelocidade, em metros por segundo, no instante t , dado em segundos. O gráfico abaixo ilustra a variação da velocidade

desse móvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distância percorrida entre os instantes 0t segundo e 5t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

8) A equação da velocidade de um móvel durante um período de tempo é dada por2( ) 20 15v t t t , onde ( )v t é a

velocidade, em metros por segundo, no instante t , dado em segundos. O gráfico abaixo ilustra a variação da velocidade

desse móvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distância percorrida entre os instantes 0t segundo e

10t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)


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1) Escreva, usando notação de série, as seguintes somas:

a) 2 3 20

1 2 2 2 2S

b) 1 2 3 15

2 1 3 3 3 3S

c) 1 2 100

3

200 200.2 200.2 200.2S

d) 4 2 3

1 1 11

2 2 2S

e) 2 4 6

5 1S x x x

f) 6

( ) ( ) ( ) ( )( )

1! 2! 3! 4!

i ii iii iv f c f c f c f c

S f c

onde ( )n f c é a derivada enésima de f em c .

2) Dada a sequência (7, 14, 21, 28, 35, ...), faça o que se pede:a) Identifique o padrão (PA ou PG) da sequência e

determine a razão, se existir. b) Calcule o valor do vigésimo termo.c) Calcule a soma dos vinte primeiros termos.d) Escreva a expressão do termo geral da sequência.e) Represente a soma do item “c” usando notação de

série.

f) Calcule o valor da série

40

1

(7 )n

n

.

3) Dada a sequência (10, 16, 22, 28, 34, ...), faça o que se pede.a) Identifique o padrão da sequência e a razão, se

existirem. b) Escreva a expressão do termo geral da sequência.c) Calcule o valor do trigésimo termo.d) Calcule a soma dos trinta primeiros termos.

e) Calcule o valor da série

100

1

(4 6 )n

n

.

4) Calcule o valor da soma indicada pela série finita1.000

1

(8 12 )n

n

.

5) Numa arquibancada de um estádio de futebol, há 40fileiras de cadeiras. Na primeira fileira há 240cadeiras; na segunda, 244; na terceira, 248 e assimsucessivamente.a) Qual é o termo geral da sequência? b) Quantas cadeiras há na última fileira?c) Qual é o total de cadeiras nessa arquibancada?

d) Usando o termo geral, escreva a soma do item “c”em forma de série.

6) Represente, usando notação de série:a) A soma dos 200 primeiros termos da sequência

(1;1 2;1 2 2;1 3 2; ) . b) A soma dos infinitos termos da sequência

(1;1 2;1 2 2;1 3 2; ) .c) A soma dos infinitos termos da sequência

(1;10;100;1000; )

d) A soma dos infinitos termos da sequência

(1;0,1;0,01;0,001; )

7) Dada a sequência (10, 20, 40, 80, 160, ...), faça o quese pede:a) Identifique o padrão da sequência e determine a

razão, se existir. b) Calcule o valor do décimo quinto termo.c) Calcule a soma dos vinte primeiros termos.d) Escreva a expressão do termo geral da sequência.

e) Calcule o valor da série

12

1

(5.2 )n

n .

8) Dada a sequência (3, 6, 12, 24, 48, ...), faça o que se pede:a) Calcule o valor do vigésimo primeiro termo

dessa sequência. b) Calcule o valor da soma dos vinte primeiros

termos?c) Escreva a soma do item “b” em forma de série.

9) Represente, usando notação de série:a) A soma dos 100 primeiros termos da sequência

1 1 1(1; ; ; ; )

2 4 8.

b) A soma dos infinitos termos da sequência

1 1 1(1; ; ; ; )

2 4 8.

10) Represente, usando notação de série:

a) A soma dos 100 primeiros termos da sequência10 10 10

(10; ; ; ; )3 9 27

.

b) A soma dos infinitos termos da sequência

10 10 10(10; ; ; ; )

3 9 27.

c)

Unidade 12 – Sequências e séries numéricas: PA e PG


25/36



Aplicações: séries de Taylor e séries de Maclaurin

Teorema Toda série cujos termos formam uma PG infinita de razão q tal que 1 1q é convergente.

Teorema Se uma série1

n

na

é convergente, então o limite do termo geral é zero, isto é, lim( ) 0n

n a .

Obs.: observe que esta é uma condição necessária para a convergência da série, mas não é suficiente.

Teorema A série harmônica 1

1

n n

é divergente e, portanto, toda série equivalente a esta também será divergente.

1) Calcule o valor da soma infinita a seguir (limite dasoma):

3 3 312 6 3

2 4 8

2) Verifique se a série0

16

2n

n

é convergente. Emcaso afirmativo, calcule o valor para o qual a somaconverge (limite da soma).


10

3n

n

é convergente ecalcule, se existir, o limite da soma.


1

10

n

n

é convergente e

calcule, se existir, o limite da soma.

5) Verifique se a série0 2

nn

x

é convergente e



10.3n

n

é convergente e



5

n n

é convergente e calcule,

se existir, o limite da soma.

Aplicações: séries de Taylor e séries de Maclaurin

Definição Seja ( ) f x uma função que admite derivadas até a ordem n num ponto c . A série de Taylor (ou polinômio de

Taylor) de ordem n de f no ponto c , denotado por ( )n p x , é dado por:

( )2''( ) ( )( ) ( ) '( ).( ) .( ) .( )

2! !

nn

n

f c f c p x f c f c x c x c x c

n

Note que a série de Taylor é um método para aproximar uma função por um polinômio. Isso, em geral, facilita bastante oscálculos.

8) Determine o polinômio de Taylor de ordem 4 da função ( ) x f x e no ponto 0c .

9) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função ( ) x f x e no ponto 0c . Note que este é um problema de

linearização, pois estamos substituindo a função ( ) x f x e , na vizinhança do ponto 0c , por uma reta.

Unidade 13 – Limite e convergência de séries numéricas


26/36



Definição Seja :[ , ] f a b uma função definida num intervalo [a, b]. Suponha que as derivadas de f até ordem n existam

e sejam contínuas em [a, b] e que( 1)n f exista em (a, b). Seja c um ponto qualquer fixado em [a, b]. Então, para cada

[ , ] , x a b x c , existe um ponto z entre c e x tal que:( ) ( 1)

1( ) ( )( ) ( ) '( ).( ) .( ) .( )! ( 1)!

n nn n f c f z f x f c f c x c x c x c

n n

Quando 0c , a série de Taylor fica( ) ( 1)

1(0) ( )( ) (0) '(0). . .! ( 1)!

n nn n f f z f x f f x x x

n n

E é chamada de série de Maclaurin.

O último termo

( 1)1( )( ) .( )

( 1)!

nn

n

f z R x x c

n

da série de Taylor acima representa o resto (erro) na aproximação feita pelo

polinômio de Taylor e é usado para se estimar o valor máximo do erro cometido.

10) Dada a função ( ) ( ) f x cos x , faça o que pede:

a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função ( ) f x no ponto 0c .

b) Determine o polinômio de Taylor de grau 4 da função ( ) f x no ponto 0c .

c) Usando o polinômio 4( ) p x , determine um valor aproximado para6

cos

.

d) O que se pode afirmar sobre o erro cometido no item “c”?


27/36



Método da substituição ou mudança de variável para integração

Exemplo 1 Calcule2

2

1

xdx

x.

Resolução: Fazendo a mudança2

1u x , temos 2du xdx . Assim:

2

2

2 1| | (1 )

1

xdx du n u c n x c

x u

.

Determine as integrais a seguir:

1)

2

3

3

2

xdx

x. Dica: faça

32u x

2)

2

31

xdx

x.

3) ( 10) sen x dx . Dica: faça 10u x .

4) 2 cos sen x xdx . Dica: faça u senx .

5) 10(2 1)

dx

x . Dica: faça 2 1u x .

6) 8

(3 5)

dx

x

Método da integração por partes

udv uv vdu

Exemplo 2 Calcule 2 x xe dx .

Resolução: Escolhendo u x e2 x

dv e dx

, temos:u x du dx

2 2 21

2

x x xdv e dx v e dx e

Aplicando a fórmula udv uv vdu , temos:2 2 21 1( )

2 2

x x x xe dx x e e dx

. Calculando a última integral, obtemos:

2 2 21 1

2 4

x x x xe dx xe e c

Determine as integrais a seguir:

7) x xe dx

8) 3 x xe dx .

9) 510 x xe dx .

10) cos x xdx . Dica: faça u x e cosdv xdx .

11) 5 xsen xdx .

12) Aplicando o método da integração por partes, determine2 x senxdx . Dica: faça 2u x e dv senxdx . Aplique a

integração por partes duas vezes e perceba que, na segunda aplicação, surgirá a integral do exercício 10 acima.

Unidade 14 – Apêndice: métodos de integração


28/36



Unidade 1

1) '( ) 2 f x x

2) '( ) 2 10 f x x

3) '( ) 2 5 f x x

4) 2

'( ) 3 f x x

5) 2

'( ) 3 10 f x x x 6) '(5) 10 f Taxa = 107) Respostas:

a) '(4) 2 f Taxa = 2

b) '(5) 0 f Taxa = 0

c) '(6) 2 f Taxa = -2

8) Respostas:

a) '(3) 2 f Taxa = 2

b) '(4) 0 f Taxa = 0

c) '(5) 2 f Taxa = -2

9) '(1) 11 f 1110) Respostas:

a) '(20) 10 f Taxa = 100C/min.

b) '(60) 10 f Taxa = -100C/min.c) No instante x = 28 min.d) No instante x = 40 min.

Unidade 2

1) 2'( ) 15 50 30h x x x

2) 4 3 2

'( ) 5 20 6 20h x x x x x

3) 5

4'( )v t

t

4) 3

20'( ) f t

t

5)

2

2

10 8 20

'( ) (10 4)

x x

h x x

6) 2

5'( )

(2 1)w x

x

7) 2

2'( )

( 1)v x

x

8) 2

2'( )

(2 4)h x

x

9) 2

10'( )

( 1)v t

t

10) 2 2

20'( )

( 3)

t f t

t

11) 2 3

'( ) (8 20)( 5 )h x x x x

12)

9

'( ) 20(2 1) f x x 13)

2/3

1'( )

3 f x

x

14) 4/5

1'( )

5 f x

x

15)

4/37

'( )3

x f x

16) 2/3

2'( )

(10 6 )v t

t

17) 2

'( ) f x x

18) 2

'( )16

x f x

x

19) 2

5'( )

5 20

t f t

t

20) 2

1 5'( )

2 8 10

x f x

x x x

21) '(3) 5,25 F , ou seja, a temperatura estava caindo 5,250C/hora.

Unidade 3

1) Respostas:a) {1, 3}.

b) 1 x é ponto de máximo relativo e 3 x é ponto de mínimo relativo.c) (1) 14 f é máximo relativo e (3) 10 f é mínimo relativo.d) O mínimo absoluto é 10 e o máximo absoluto é 14.e) O mínimo absoluto é 10 e o máximo absoluto é 14.f) O mínimo absoluto é 3.875 e o máximo absoluto é 20.125.

2) Respostas:

a) 2 x é ponto de mínimo relativo e 5 x é ponto de máximo relativo. b) (2) 13 f é mínimo relativo e (5) 40 f é máximo relativo.c) O mínimo absoluto é 13 e o máximo absoluto é 40.

Gabarito


29/36



d) O mínimo absoluto é -12 e o máximo absoluto é 65.

3) Respostas

a) 3 2

( ) 4 120 900V x x x x b) 0 15 x c) 5 x cm

d) 32000 2000 2cm m litros

4) Respostas:

a) 10 x é ponto de máximo absoluto. b) (10) 200 f é valor máximo absoluto dessa função.

5) Respostas:

a) 6t é ponto de mínimo absoluto. b) (6) 24 f é valor mínimo absoluto dessa função.

6) Respostas:

a) 3 x é ponto de máximo relativo e 7 x é ponto de mínimo relativo. b) O valor máximo absoluto da função é 58,1 e o mínimo absoluto é 54,9.

c) 58,1.d) 50.e) Gráfico

t

F(t)

7) Respostas:

a) O ponto crítico 4 x é um ponto de mínimo relativo da função. b) No intervalo 0 x , o valor extremo assumido em 4 x é um mínimo absoluto, pois "( ) 0 f x para todo 0 x ,

ou seja, a concavidade do gráfico é voltada para cima em todo o intervalo 0 x .

c) O mínimo absoluto da função no intervalo 0 x é 288.

8) Respostas:

a) O ponto crítico 10r é um ponto de mínimo relativo da função. b) No intervalo 0r , o valor extremo assumido em 10r é um mínimo absoluto, pois "( ) 0 A r para todo 0r ,

ou seja, a concavidade do gráfico é voltada para cima em todo o intervalo 0r .c) O mínimo absoluto da função no intervalo 0r é 1800.

9) O ponto crítico 3 x é um ponto de inflexão da função.

10) O ponto crítico 2 x é um ponto de inflexão da função.


30/36



Unidade 4

1) '( ) 2 . n(2) x

f x

2) 2 3 2'( ) 2 . n(2).(2 3) x x f x x

3) 2'( ) 2. x f x e

4) 2

'( ) 2 . x

f x x e

5) 23 6 7'( ) (12 12). x x f x x e

6)

( 1) /( 1)

2'( ) 2.

( 1)

x xe

f x x

7) 10

1'( ) log ( ) f x e

x , ou

1'( )

. (10) f x

x n

8) 32

4 7'( ) log ( )

2 7

x f x e

x x

, ou

2

4 7'( )

(2 7 ). (3)

x f x

x x n

9) 1

'( ) f t t

10) 3

'( )h x x

11) 1

'( ) f x x

12) 2

2 3'( )

3 10

x f x

x x

13) 27

'( ) 7 4

x f x x

14) 3 2 2'( ) . 3 ( ) x f x e n x

x

15)

2

1( )

'( ) .( )

t

n t t

h t en t

16) 2 3 3 2

'( ) .(2 3 10 5) x

h x e x x x

17)

3 22

2

2 10'( ) (2 5). ( 8)

8

x xh x x n x

x

Unidade 5

1) '( ) cos( ) f t t

2) '( ) ( ) f t sen t

3) 2

'( ) sec ( ) f t t 4) '( ) 10cos( ) f x x

5) '( ) 10cos(10 ) f x x

6) '( ) cos( ) f x x

7) '( ) 30cos(10 ) f x x

8) '( ) 2cos( 2. ) f x x

9) 2

'( ) 2 .cos( ) f x x x

10) '( ) 10cos(2 3) f x x

11) '( ) 30cos(2 ) f x x

12) 2'( ) (2 2). ( ) ( 2 ).cos( ) f x x sen x x x x

13) 2

( ) .cos( )'( )

( )

sen x x x f x

sen x

14) ( )

'( ) cos( ). sen x

f x x e

15) ( )

'( ) cos( ).3 . (3) sen x

f x x n

16) '( ) 10 ( ) f x sen x

17) '( ) 10 (10 ) f x sen x

18) '( ) 20 (10 ) f x sen x

19)

'( ) 10 (2 ) f x sen x 20) '( ) 2 (2 4) f x sen x

21) '( ) 2 (2 / 2) f t sen t

22) '( ) 80 (2 / 4) f t sen t

23) cos( )

'( ) ( ). x

f x sen x e

24) cos( )

'( ) ( ).10 . (10) x

f x sen x n

25) cos(5 )'( ) 5. ( ) (5 ). x f x sen x sen x e

26) 2

2

1'( ) '( ) sec ( )

cos ( ) f x f x x

x

27) '( ) cos( ) ( ) f x x sen x

28) '( ) 20cos(5 ) 21 (3 ) f x x sen x

29) '( ) (2 ) f x sen x

30) '( ) (2 ) f x sen x

31)

2'( ) sec ( ) sec( ). ( ) ou

'( ) sec( ).[sec( ) ( )]

f x x x tg x

f x x x tg x


31/36



Unidade 6

1) Respostas

a) '( ) 2 f x x

b) 3

'( ) 2 f x x

c) '( ) 2 . (2) x

f x n

d) '( ) 2 . (2) x

f x n

e)

2'( ) 2.2 . (2)

x f x n

f) 2

'( ) (2 ).2 . (2) x

f x x n

g) 2 6 4

'( ) (2 6).2 . (2) x x

f x x n

h) '( ) x

f x e

i) '( ) x

f x e

j) 2

'( ) 2 x

f x e

k) 2

'( ) (2 ). x

f x x e

l) 2 4 3'( ) ( 2 4). x x f x x e

m) '( ) cos( ) f x x

n) '( ) 2cos( ) f x x

o) '( ) 2cos(2 ) f x x

p) 2

'( ) (2 ).cos( ) f x x x

q) '( ) 12 (4 ) f x sen x

r) 4 5'( ) 60 . (4 ) f x x sen x

s) 2

'( ) 9 1 f x x x

t) 2 3

1 4'( ) 2 12 g x x x x

u) 2 3 2 19

'( ) (60 200 ).( 5 )v x x x x x

v) 2 4'( ) [(2 4) (10 ) 10cos(10 )] x xw x e x sen x x

w) 2

7'( )

(2 3)h x

x

x) ( )2

x xe e

h x

y) ( )2

x x

e eh x

z) 2 6

2 6 2

4000.'( )

(1 )

x

x

e p x

e

2) Respostasa) 140C/min b) -6

0C/minc) Após 40 mind) Após 48 mine) 48 minf) 6060C

3) Respostasa) 200 libras/seg b) 20 segundosc) 4000 libras

4) Respostas

a) 625 m3

b) -50m3/hc) -30m3/hd) Após 10he) Após 30h; A água acaba , pois V(30) = 0.

5) Respostasa) 576 litros b) 400 litrosc) -80 litros/mind) Após 10 mine) Após 12 min; A água acaba, pois V(12) = 0.

6) Respostasa)

0,1'( ) 200.3 . (3)t p t n b) 1980 micro-organismos/h

7) Repostas

a) /6'( ) 300.2 . (2)t p t n

b) 420 micro-organismos/h

8) Respostas

a) '( ) [( / 24) ]5

.cos2

F t t

b) (5 / 4) 0C/min 3,90C/min

c) (5 / 2) 0C/min 7,8 0C/mind) No instante t = 48 mine) No instante t = 24 min

9) Respostasa) '( ) 3 . [( / 12) ] F t sen t

b) 3 N/s 9,4 N/sc) 0d) No instante t = 6 sege) No instante t = 18 seg

10) Respostas:

a) 4 x é ponto de máximo relativo e 7 x é ponto de mínimo relativo.

b) O valor máximo absoluto da função é 277 e omínimo absoluto é 250.

c) 277.d) 5.e) Veja gráfico a seguir


32/36



x

g(x)

11) Respostasa) {3, 7} b) Máx. Abs. = 581 e Mín. Abs. = 500c) No início de 2003.d) 581 unidades/diae) No início de 2000.f) 500 unidades/dia.

12) Respostas

a) 3 2

( ) 4 72 324V x x x x b) 0 9 x c) 3 x cm

d) 3432 cm

13) Respostas

a) 3 2

( ) 4 48 144V x x x x b) 0 6 x

c)

2 x cm d)

3128 cm

14) Respostas

a) 2 12000( ) 6C x x

x

b) 0 x c) 10 x cm (lado da base); 20 y cm (altura)d) 1800 centavos = R$18,00

15) Respostas

a) 2 540000( ) 10C x x x

b) 0 x c) 30 x cm (lado da base); 50 y cm (altura)d) 27000 centavos = R$270,00

16) Respostas

a) 2 500( ) 2 A r r

r

b) 5r cm (raio da base); 10h cm (altura)

c) 2150 cm

17) Respostas

a) 2 1500( ) 6 A r r

r


c) 2450 cm

18) Respostas

a) 2 12000( ) 6 A r r

r


c) 21800 cm

19) Respostas

a)

0,5 5

0,5 5 2

6000.'( )

(1 )

x

x

e f x

e

b)

0

0 2 26000. 6000'(10) 1500(1 ) (2)

etaxa f e

Isto é, 1500 micro-organismos por hora.

20) Respostas

a)

212 36

6'( ) 30. .( 2 12)

x x

F x e x

b) 40,16 cv/1000rpmc) 6 x 6000 rpmd) 180 cv

21) Respostas

a)

28 16

4'( ) 35 ( 2 8)

x x

F x e x

b) 51.85 cv/1000rpmc) 4 x 4000 rpmd) 140 cv

22) a) ( ) 1800 50v x x

b)2

( ) 50 1400 14400V x x x c) 10 x poços adicionaisd) 14 x poços adicionais; 24.200 litros/dia

23) a) ( ) 1100 25v x x

b)2( ) 25 950 6600V x x x

c) 3 x d) 19 x poços adicionais; 15.625 litros/hora


33/36



Unidade 7

1)

5

( )5

x F x c

2) 4 3

( )4 3

x x F x c

3) 4( ) 3 F x x c

4) 3 2( ) 3 5 F t t t t c

5)

3

( )9

x F x c

6) 3 2

( ) 15 F x x x c

7)

5 7 115 9

( )5 7 11

x x x f x dx c

8) 2( ) 10 f t dt t t c

9) 2( ) 5 f t dt t c

10)

2

2

x xdx c

11)

255

2

x xdx c

12) 34

( )3

r f r dr c

13)

3 23 5

( )6 2 2

x x x f x dx c

14) 3 2( ) 4 f x dx x x c

15) 1

( ) f x dx c x

16) 2

6( ) f x dx c

x

17) 6

( ) 2 f x dx x c x

18)

4/33( )

4

x f x dx c

19)

7/55

( )7

t f t dx c

20) 2 5/33

( )2 5

x x f x dx c

21)

3/22

( )3

x f x dx c

22)

8/55

( )8

x f x dx c

23)

5/22

( )5

x f x dx c

24)

3/2 7/22 2

( )3 7

x x f x dx c

25)

3/2 4/32 3

( )3 4

x x f x dx c

Unidade 8

1) Respostas:

a) 10

5( ) 1375 f x dx

b) 10

5( ) 1375 . . A f x dx u a

2) Respostas:

a) 2

2

32( )

3 f x dx

b)

2

2

32( ) . .3 A f x dx u a

3) Respostas:

a) 4

2( ) 52 f x dx

b) 4

2( ) 52 52 . . A f x dx u a

4) Respostas:

a) 6

2( ) 16 f x dx

b) 4 6

2 4( ) ( ) 16 32 48 . . A f x dx f x dx u a

5) 8,25 . .u a

6) ) 0 ; ) 8 . .a b u a

7) 937 /12 78.08 . .u a 8) 36 . .u a

9) 108 . .u a

10) 171,5 . .u a

11) 72 . .u a 12) 333,33 . .u a

13) 40 . .u a

14) 85,33 . .u a


34/36



Unidade 9

1) t t e dt e c

2) (2 ) 2 x xe dx x e c

3) (400. ) 400. x xe dx e c

4) 200 200

x xe e

dx c

5)

22

2

x x ee dx c

6)

55

5

x x ee dx c

7)

33

3

x x e

e dx c

8)

2 2

x x x xe e e edx c

9) 3

3(3)

x x dx c

n

10) 200.2

(200.2 )(2)

x x dx c

n

11)

33 22

3 (2)

x x dx c

n

12)

44 15.1060.10

(10)

t t dt c

n

13)

3 43 4 2( 2 )

3 4 (2)

t t t t ee dt c

n

14) 10

(10 10 ) 10(10)

x x dx x c

n

15)

32 2( 2 )

3 (2)

x x x x dx c

n

16)

1

0 1 1,72 x

e dx e

17) 10

0

1.0232 1.475,88

(2)

x dxn

18) 1

| |dt n t ct

19) 2

2 | |dx n x c x

20) 1

1 | |dx x n x c x

21) 4001200 1200 400 | |dr r n r cr

22)

21| |

2

t t dt n t c

t

23)

2 25 7 2 57 2 | |

2

t t t dt t n t c

t

24) 10 (3) 10,99 . .n u a

25) 16 16[ (4) (1/ 4)] 60,36 . .n n u a

Unidade 10

1) 5 ( ) 5cos sen x dx x c 2) [10cos( )] 10 x dx senx c

3)

(2 )

[cos(2 )] 2

sen x

x dx c

4) [8 cos(4 )] 2 (4 ) x dx sen x c

5) 5 (3 )

[5cos(3 )]3

sen x x dx c

6) [10 cos( )] 10 x dx x senx c 7) [20 10cos( )] 20 10 ( )t dt t sen t c 8) [40 20cos(2 )] 40 10 (2 )t dt t sen t c

9) 2 (2 )

[12 4cos(2 )] 12 sen t

t dt t c

10) cos(4 )

(4 )4

x sen x dx c

11) [ 12 ( )] 12 cos( ) sen x dx x c 12) ( ) 3 (2 ) 2 (5 ) f x dx sen x sen x c 13) ( ) 5 (2 ) 2cos(20 ) f x dx sen x x c 14) 2 . .u a

15) 320 . .u a


35/36



Unidade 111) Respostas:

a) 8 . . 25,13 . .u v u v

b) 7,5 . . 23,56 . .u v u v

2) 6,4 . . 20,11 . .u v u v

3) 157,50 . .u v

4) 402,12 m

5) 36 m

6) 82,5 m

7) 103,33 m

8) 816,67 m

Unidade 121) Respostas:

a)

20

1

2n

n

b)

15

0

3n

n

c)

100

0

200.2n

n

d) 0

12

nn

e) 2

0

n

n

x

f)

( )

0

( )

!

n

n

f c

n

2) Respostas:a) PA de razão 7. b) 140c) 1470

d) 7na n

e)

20

1

[7 ]n

n

f) 5.740

3) Respostas:a) PA de razão 6.

b) 4 6na n c) 184d) 2.910e) 30.700

4) 6.014.000

5) Respostas:

a) 236 4na n b) 396c) 12.720

d)

40

1

[236 4 ]n

n

6) Respostas:

a)

199

0

1 2n

n

b)

0

1 2

n

n

c) 0

10n

n

d) 0 0

110

10

n

nn n

7) Respostas:a) PG de razão 2.

b) 155.2 163.840

c) 2010(2 1) 10.485.750

d) 5.2nn

a

e) 1210(2 1) 40.950

8) Respostas:

a) 203.2 3.145.728

b) 20

3(2 1) 3.145.725

c)

201

1

3.2n

n

9) Respostas:

a)

100

0

1

2n

n

b) 0

1

2n

n

10) Respostas:

a)

100

0

10

3nn

b) 0

10

3nn

Unidade 13

1) 24 2) Converge, pois é uma PG infinita com | | 1q .

0

1632

2n

n

3) Converge, pois é uma PG infinita com | | 1q .

0

1015

3nn


0

1 10

10 9

n

n


0

22

nn

x x

6) Não converge, pois é uma PG infinita com | | 1q .

7) Não converge, pois equivale à série harmônicamultiplicada por 5.


36/36


8)

2 3 4

4 ( ) 12! 3! 4!

x x x P x x

9) 1( ) 1 P x x

10) Resposta

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