Mestrado em Finanas e Economia EmpresarialMicroeconomia - 7a Lista de Exerccios

Prof.: Carlos EugnioMonitor:Pedro Guimares(pedroengel@hotmail.com)

1a Questo Aspectos Conceituais em Escolha sob Incerteza

(a) Dena e d exemplo de uma loteria simples e de uma loteria com-posta.

(b) Enuncie os 4 axiomas para as preferncias do consumidor em umcontexto de escolha sob incerteza. (Lembre que agora o indivduoescolhe loterias).

(c) Qual a implicao do resultado do item anterior sobre o formato dascurvas de indiferena deste consumidor?Soluo:a)Loteria simples:L1 = (x; y; p)Loteria composta:L2 = (x; L1; q)Uma loteria composta uma loteria na qual um dos resultados outra loteria.b)Axiomas:(A.1)a.(x; y; 1) = xb.(x; y; p) = (y; x; 1 p)c.(x; z; p) = (x; y; p+ (1 p)q) se z = (x; y; q)(A.2)Existe uma relao de preferncias sob loterias que transitivae completa.(A.3)A relao de preferncias contnua.(A.4)(Independncia das alternativas irrelevantes)Se (x; y; p) e (x; z; p)so 2 loterias. Temos que y z () (x; y; p) (x; z; p)Por simplicidade conveniente assumirmos:(A.5)Existe uma melhor loteria,b, e uma pior loteria,w.c)Pelos axiomas acima enunciados, temos que existe uma utilidadesob loterias tal que:U((x; y; p)) = pu(x) + (1 p)u(y)Isto , o comportamento do consumidor sob loterias pode ser descritopela maximizao da utilidade esperada da loteria.Seja x2(x1) tal que:pu(w + x1) + (1 p)u(w + x2(x1)) = u(w)temos que:pu0(w) + (1 p)u0(w)x02(0) = 0 =) x02(0) = p1pNote que (x1; x2(x1); p) representa as loterias que o indivduo deriqueza w ca indiferente entre jogar ou no.

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pu00(w) + (1 p)u00(w)x022 (0) + (1 p)u0(w)x02(0) = 0 =) x002(0) =p

(1p)2 [u00(w)u0(w) ]

2a Questo Considere a armativa a seguir e responda verdadeiro ou falso justicando:"Um consumidor neutro ao risco prefere no fazer seguro do seu automvelporque o valor esperado em caso de perda (roubo por exemplo) menorque o valor do automvel". Para justicar de forma precisa, considere:

w0 = riqueza inicial do indivduo;

D = valor do automvel;

= probabilidade de ser assaltado;

q = prmio de risco (preo do seguro/unid monetria);

= valor monetrio assegurado

Soluo:

Falso.Se o indivduo for neutro ao risco e o seguro for atuarialmentejusto( = q), ento o indivduo car indiferente entre fazer ou no oseguro.

Note que:

U(WSemSeguro) = (w0 D) + (1 )w0 = w0 DU(WComSeguro) = w0 qDLogo, se q = , ento U(WSemSeguro) = U(WComSeguro): Alm disso, seq > , ento U(WSemSeguro) > U(WComSeguro):

3a Questo Severino economizou 10.000 reais e planeja gastar este dinheiro com umaviagem para Fernando de Noronha. A utilidade da viagem uma funo dologaritmo de seus gastos na referida ilha e dada por U = ln(gastos):Nestaviagem existe ainda uma probabilidade de 25% de que ele venha a perder1.000 reais. Para evitar esse risco de perda, ela pode fazer um seguropagando um prmio de R$250. Responda (V) ou (F) e justique:

(a) O prmio cobrado atuarialmente justo?

(b) Fazendo o seguro, a utilidade esperada da viagem ser menor do quesem faz-lo?

(c) O prmio mximo que Severino deveria pagar 240 francos.

(d) Sem seguro, a utilidade esperada da viagem aproximadamente iguala 9.Soluo:a)Note que:w = 10000; p = 0; 25; D = 1000; qD = 250:Lucro da rma: = (1 p)qD p(1 q)DCondio de Lucro zero:q = p =) qD = 0; 25 1000 = 250: Oprmio justo.

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b)Falso. u(w) = ln(w) =) u00(w) = 1w2 < 0 =)indivduo avessoao risco. Como o prmio justo, o indivduo preferir fazer o seguro.c)Falso, j vimos que o indivduo prefere pagar 250 pelo seguro. Paracalcularmos o maior valor que o indivduo est disposto a pagar peloseguro, devemos resolver:u(w x) = pu(w D) + (1 p)u(w) =) ln(10000 x) = 0; 25 ln(9000) + 0; 75 ln(10000)=) 10000 x = 90001=4 100003=4 =) x = (100001=4 90001=4) 100003=4 = (10 9; 74) 1000 = 260:d)U(wsemseguro) = pu(wD)+(1p)u(w) = u(wx) = ln(9740) =9: Verdadeiro.

4a Questo Um indivduo possui funo utilidade esperada denida por u(w) =pw,

onde w representa sua riqueza. Seja A uma loteria que paga R$36; 00 comprobabilidade 1=6 e zero com probabilidade 5=6 e B outra loteria que pagaR$100; 00 com probabilidade 0,01, R$25; 00 com probabilidade 0,2 e zerocom probabilidade 0,79. Ento, podemos armar:

a. Este indivduo prefere a loteria B Loteria A;

b. Este indivduo indiferente entre a loteria B e receber R$1,21 com certeza;

c. Um outro indivduo com utilidade esperada v(w) = 2pw+3 mais averso

ao risco que o indivduo acima.

Soluo:

a)U(LA) = 16p

36 + 56p

0 = 1

U(LB) =1100

p100 + 20100

p25 + 79100

p0 = 1; 1

U(LB) > U(LA): Verdadeiro.

b)U(1; 21) =p

1; 21 = 1; 1 = U(LB):Verdadeiro.

c)Falso. V (:) = + U(:) representa uma utilidade VNM e possui amesma relao de preferncias com relao ao risco.

Para notar que V (:) uma utilidade VNM, temos que

V ((x; y; p)) = + U((x; y; p)) = + (pu(x) + (1 p)u(y)) = p( +u(x)) + (1 p)(+ u(y)) = pv(x) + (1 p)v(y)Para notar que U(:) e V (:) representam as mesmas preferncias com re-lao ao risco, note que:

rA = u00(w)u0(w) = u

00(w)u0(w) = v

00(w)v0(w)

5a Questo Para as funes utilidade abaixo calcule os coecientes de averso absolutae relativa ao risco.

a. u(x) = x1; 6= 1:

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b. u(x) = erxSoluo:

a)u(x) = x1 =) u0(x) = (1 )x; u00(x) = (1 )x1 =) rA =x1; rR = xrA =

b)u(x) = erx =) u0(x) = rerx; u00(x) = r2erx =) rA = r; rR =xrA = xr

6a Questo Considere um indivduo estritamente avesso ao risco que tem uma rendainicial W mas corre o risco de perda de D dlares. A probabilidade deperda . Uma unidade de seguro custa q dlares e paga 1 dlarse a perda ocorre. Se unidades de seguro so compradas, a renda doindivduo W q se no h perda e W Dq+ se h perda. Noteque o problema do indivduo escolher o nvel timo de .

(a) Calcule a riqueza esperada do indivduo caso o mesmo compre unidades de seguro;

(b) Mostre que se o preo do seguro for atuarialmente justo o indivduose assegurar completamente.Soluo:a)U(Wseguro) = u(W D q + ) + (1 )u(W q)b)Problema do indivduo:Max u(W D q + ) + (1 )u(W q)CPO: u0(W D + (1 q))(1 q) (1 )u0(W q)q = o=) u0(WD+(1q))u0(Wq) = (1) q(1q)Se o seguro for atuarialmente justo(q = ), temosu0(W D + (1 q)) = u0(W q)Como o indivduo avesso ao risco, temos u00(:) < 0=)W D + (1 q) = W q =) = D:

7a Questo Considere um indivduo com funo utilidade Bernoulli u(w) =pw, onde

w sua riqueza. Este indivduo possui $50.000 em ativos sem risco euma casa localizada em uma rea onde a probabilidade de enchente 1%.Uma enchente faria com que sua residncia, que avaliada em $200.000,passasse a valer apenas $40.000. Pede-se:

(a) Calcule a utilidade esperada deste indivduo.

(b) Calcule o equivalente de certeza deste indivduo.

(c) Suponha que existe um seguro contra fenmenos da natureza (enchente)que custa $1 por $100 segurado. Portanto, para cada unidade mon-etria de seguro comprada o indivduo recebe $100 caso ocorra enchente.Resolva o problema do indivduo para escolha da quantidade timade seguro a ser comprada.

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(d) Podemos armar que o indivduo se assegurar completamente?Justique.Soluo:a)Note que: w = 50000 + 200000 = 250000; D = 200000 40000 =160000; p = 0; 01

U(w) = pu(w D) + (1 p)u(w) = 0; 01p90000 + 0; 99p250000 =0; 01(300) + 0; 99(500) = 3 + 495 = 498

b)x tal que resolve:u(x) = pu(w D) + (1 p)u(w) =) px = 498 =) x = 248004c) e d)prmio do seguro:q = 0; 01 = p. Logo, o seguro atuarialmentejusto.u(w) =

pw =) u00(w) = 14w3=2 < 0 =)indivduo avesso ao risco.

Como o seguro atuarialmente justo e o indivduo avesso ao risco,temos que ele vai escolher se segurar completamente, ie, escolher = D = 160000:

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