2014-02 MecanicaClassica P3

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3a Prova - Fundamentos de Mecanica Classica201402

Questao 1) [25] Quatro esferas sao posicionadas nas extremi-dades de duas varetas de massas desprezıveis no plano xy (vejaFigura ao lado) Calcule o momento de inercia do sistema parauma rotacao em torno do eixo y

OBS O momento de inecia de uma esfera relativamente a umeixo que passa pelo seu centro de massa e

I CM = 2

5M R2

Questao 2) [25] Dois blocos de massas m1 e m2 estao conectadospor uma corda fina atraves de duas polias identicas sem atritocada qual com momento de inercia I e raio R como mostradona Figura ao lado Calcule (a) A aceleracao dos blocos (b) Astracoes T 1 T 2 e T 3 na corda (c) A velocidade angular nas polias

Questao 3) [25] Um homen esta em pe no centro de uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidadeangular de 12revs seus bracos estao abertos e ele segura um tijolo em cada mao O momento de inercia do sistemacomposto por homen tijolos e plataforma em torno do eixo vertical central da plataforma e 60kgm2 Se ao moveros tijolos para perto de seu peito o homen reduz o momento de inercia do sistema para 20kgm2 quais sao (a) Avelocidade angular resultante da plataforma e (b) a razao entre a nova energia cinetica do sistema e a energia cineticaoriginal (c) Que fonte fornece a energia adicional

Questao 4) [25] Uma pista e montada sobre uma grande rodaque pode girar livremente com atrito desprezıvel em torno de umeixo vertical (Fig ao lado) Um trenzinho de brinquedo de massam e colocado sobre a pista e com o sistema inicialmente em re-pouso a alimentacao eletrica do trenzinho e ligada O trenzinhoadquire uma velocidade de 015ms em relacao a pista Qual avelocidade angular da roda se sua massa for 11m e seu raio for043m (Trade a roda como um aro e despreze as massas dos raios

e do cubo da roda)



Gabarito

Questao 1

Esta questao esta nas listas de exercıcios resolvidosO momento de inercia total e a soma de todas as contribuicoes

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 2I m + 2I M

As massas m contribuem da mesma forma assim como as massas M Note que as esferas de masa m giram em torno do eixo que passa pelos seus centros Assim para as massasm devemos consideras apenas os momentos de inercia relativo ao seus centros de massa I m = 2

5mr2 onde

r e o raio das massas m

As massas M giram em torno de um eixo que nao passa pelo seu centro de massa Assim para as massasM devemos levar em conta o teorema dos eixos paralelos

I M =

2

5 M R2

+ M (a + R)2

O fator (a + R) corresponde a distancia do centro das esferas M ao eixo y Portanto o momento de inercia total e

I = 22

5mr2 + 2

10486162

5M R2 + M (a + R)2

1048617

Questao 2

Vou assumir uma configuracao equivalente como ilustrado na Figura abaixo Nesta configuracao consi-dero que o movimento e unidimensional com dimensao definida pela corda

Vou assumir tambem que o sentido positivo e da esquerda para a direita nesta configuracao equivalenteDe posse dos resultados os novos sentidos serao reavaliados de acordo com o caso original

Adicionalmente vou considerar que as polias oferecem uma resistencia ao movimento com massa inercialM lowast Esta massa inercial equivalente da molia (M lowast) nao e a massa da polia mas sim o efeito de resistenciacomo se fosse um objeto qualquer Vimos em aula que esta massa e dada por

M lowast = I

R2



Portanto

m2g minusm1g =1048616

m1 + 2M lowast + m2

1048617a

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + 2IR2 + m2

1048617

Note que a gt 0 se m2 gt m1 este fato representa o aumento na velocidade no sentido positivo do eixo x

Introduzindo I = M P R

2

2 temos que

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + M P + m2

1048617 onde M P =massa da polia

Para a tracao T 1 basta aplicarmos a soma das forcas sobre o bloco m1

T 1 minusm1g = m1a

T 1 = m1(g + a)

T 1 = m1

9830801 +

1048616m2 minusm1

10486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081

g

Para T 2 o procedimento e analogo Contudo devemos considerar a massa equivalente da polia M lowast =

IR 2

T 2 minus T 1 = M lowasta

T 2 = T 1 + I

R2a

T 2 = T 1 + M P R

22

R2 a

T 2 = m1983080

1 +1048616m2 minusm110486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081g + M P 1048616m2 minusm11048617g

21048616

m1 + M P + m2

1048617

OBS Bastaria parar na segunda equacao e dizer que T 1 e a foram calculados acima

Questao 3

A questao 3 foi resolvida em sala de aulas Quem faltou no dia buscar com os colegas



Questao 4



Gabarito

Questao 1

Esta questao esta nas listas de exercıcios resolvidosO momento de inercia total e a soma de todas as contribuicoes

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 2I m + 2I M

As massas m contribuem da mesma forma assim como as massas M Note que as esferas de masa m giram em torno do eixo que passa pelos seus centros Assim para as massasm devemos consideras apenas os momentos de inercia relativo ao seus centros de massa I m = 2

5mr2 onde

r e o raio das massas m

As massas M giram em torno de um eixo que nao passa pelo seu centro de massa Assim para as massasM devemos levar em conta o teorema dos eixos paralelos

I M =

2

5 M R2

+ M (a + R)2

O fator (a + R) corresponde a distancia do centro das esferas M ao eixo y Portanto o momento de inercia total e

I = 22

5mr2 + 2

10486162

5M R2 + M (a + R)2

1048617

Questao 2

Vou assumir uma configuracao equivalente como ilustrado na Figura abaixo Nesta configuracao consi-dero que o movimento e unidimensional com dimensao definida pela corda

Vou assumir tambem que o sentido positivo e da esquerda para a direita nesta configuracao equivalenteDe posse dos resultados os novos sentidos serao reavaliados de acordo com o caso original

Adicionalmente vou considerar que as polias oferecem uma resistencia ao movimento com massa inercialM lowast Esta massa inercial equivalente da molia (M lowast) nao e a massa da polia mas sim o efeito de resistenciacomo se fosse um objeto qualquer Vimos em aula que esta massa e dada por

M lowast = I

R2



Portanto


m1 + 2M lowast + m2

1048617a

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + 2IR2 + m2

1048617



2

2 temos que

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + M P + m2



T 1 minusm1g = m1a

T 1 = m1(g + a)

T 1 = m1

9830801 +

1048616m2 minusm1

10486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081

g


IR 2


T 2 = T 1 + I

R2a

T 2 = T 1 + M P R

22

R2 a

T 2 = m1983080

1 +1048616m2 minusm110486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081g + M P 1048616m2 minusm11048617g

21048616

m1 + M P + m2

1048617


Questao 3




Questao 4



Portanto


m1 + 2M lowast + m2

1048617a

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + 2IR2 + m2

1048617



2

2 temos que

a =

1048616m2 minusm1

1048617g1048616

m1 + M P + m2



T 1 minusm1g = m1a

T 1 = m1(g + a)

T 1 = m1

9830801 +

1048616m2 minusm1

10486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081

g


IR 2


T 2 = T 1 + I

R2a

T 2 = T 1 + M P R

22

R2 a

T 2 = m1983080

1 +1048616m2 minusm110486171048616

m1 + M P + m2

1048617983081g + M P 1048616m2 minusm11048617g

21048616

m1 + M P + m2

1048617


Questao 3




Questao 4



Questao 4

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