Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica EMC410029 Fundamentos da Mecânica dos Fluidos; 2014. Prof. César. J. Deschamps

Lista de Exercícios 21. O deslocamento d=x-xo de uma partícula em um escoamento unidimensional é dado por

d=xosent. Determine:

a) As coordenadas espaciais x em termos de xo e t. b) As coordenadas materiais xo em termos de x e t. c) A velocidade das partículas de fluido expressa em termos das coordenadas materiais. d) A velocidade das partículas expressa em termos das coordenadas espaciais. e) A aceleração em coordenadas materiais. f) A aceleração em coordenadas espaciais a partir da derivada da velocidade obtida em “d”. g) Transforme o resultado de “f” para coordenadas materiais e compare com “e”.

22. Um campo de velocidade é descrito por

33

22

11 e

)t1(xe

)t1(x2e

)t1(x3u

++

++

+=!

Determine: a) a aceleração em coordenadas espaciais. b) a aceleração em coordenadas materiais. c) as trajetórias das partículas de fluido. d) a posição no instante t=5 da partícula de fluido que passou pelo ponto (7,3,4) no tempo

t=2. 23. Considere o escoamento dado por,

jyixeu t += −! Determine: a) a trajetória de uma partícula de fluido que estava em (1,1) no tempo t=0; b) a linha de corrente que passa pelo ponto (1,1) no tempo t=2; c) a linha de tinta que passa por (1,1) no tempo t=2; d) se este escoamento é isocórico.

24. Mostre que, em regime permanente,

d Jdt

J u u2

2 = ∇⋅ ∇⋅! ! ! ![( ) ]

25. Vimos em sala que,

ddtdr dr u( )! ! ! !

= ⋅∇ e ddtd u d( ) ( )τ τ= ∇⋅

! !

onde dr! é um filamento material e dτ é um volume material. Mostre que,

ddtd u d u d( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! !σ σ σ= ∇⋅ − ∇ ⋅

onde d

!σ é um elemento de superfície material. Note que d d drτ σ= ⋅

! ! .

26. Considere o escoamento dado por,

i21yu

2 +=! , -1 ≤ y ≤ +1

a) Esquematize o perfil de velocidade para este escoamento; b) Obtenha o tensor gradiente de velocidade; c) Obtenha o tensor taxa de deformação; d) Esquematize o perfil de vorticidade; e) Obtenha o tensor vorticidade; f) Determine um conjunto de eixos principais para o tensor deformação e expresse as

componentes do tensor deformação nestes eixos. Interprete seu resultado; g) Expresse as componentes do tensor vorticidade nos eixos principais obtidos no item

anterior; h) Determine os invariantes do tensor gradiente de velocidade. Este escoamento é

isocórico? 27. Uma corrente de líquido escoa de uma tubulação para a atmosfera conforme indicado na

figura. O diâmetro da corrente é "d" e sua velocidade é U. Em uma dada posição a jusante a corrente se quebra em gotas esféricas de diâmetro "2d", espaçadas de uma distância "h". A razão da corrente se quebrar em gotas está associada à instabilidade do jato em se manter como tal. Como o jato se torna instável, o líquido procura outra configuração mais estável, no caso as gotas esféricas. Calcule a relação h/d.

28. Um disco é empurrado de encontro a uma superfície plana conforme mostra a figura.

A separação h(t) entre o disco e a superfície é muito menor do que o diâmetro, D, do disco e está preenchida com óleo. Obtenha uma expressão para a velocidade radial média do óleo u(r,t) sabendo que h(t) é dada por

( ) 2/1o

t1h)t(hλ+

=

onde ho é a separação entre o disco e a superfície no tempo t = 0, e λ é um parâmetro que depende da geometria e das propriedades do óleo.

d

2d

h

filme de óleo

h(t)

u(r,t)

29. Considere um tanque vertical cilíndrico de diâmetro D aberto na extremidade superior e

fechado na extremidade inferior. O tanque está parcialmente cheio de água (densidade ρ) a uma altura ho. No instante t=0, começa a chover e como a extremidade superior é aberta, a chuva entra no tanque a uma vazão volumétrica por unidade de área igual a q. Para que o tanque não transborde, um pequeno orifício de diâmetro d, existente no centro da superfície inferior do tanque, é destampado, permitindo que a água escoe pelo mesmo a uma velocidade igual a CD(2gh)1/2. Mostre em um gráfico como a altura da água no tanque varia com o tempo. Determine a expressão matemática para a altura da água no tanque em função do tempo. Qual a altura que o tanque deve ter para que a água não transborde pela extremidade superior do mesmo?

30. A chuva cai em um telhado que está inclinado de um ângulo de 60o em relação à vertical

conforme mostrado na figura. A velocidade com que a chuva cai é V. Um filme muito fino de água se forma no telhado, escoando paralelo ao mesmo. O filme escoa a uma velocidade média U = kz que depende apenas da distância vertical z do ápice do telhado, onde k é uma constante.

a) Determine a espessura h para uma condição de regime permanente; b) Se a chuva começa a cair no tempo t = 0 a uma taxa constante quando o telhado esta seco,

derive e resolva a equação diferencial que fornece a espessura h(t). Considere que para cada instante t, h é independente de x e que a velocidade U = kz;

c) Mostre que a solução do item "b" fornece o mesmo valor de h conforme determinado no item "a", para t → ∞.

Data de entrega: 14/04. -------------- ### --------------

h

z

V

U

θ

x