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Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA MAC238 - Primeira Prova - 05/11/2014 Questão 1: (3 pontos) Calcule o fluxo de F através da superfície S onde F(x, y, z )=(cos z + xy 2 , xe -z , sen y + x 2 z ), S éa superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4. Questão 2: (4 pontos) Seja F =(F 1 ,F 2 ) um campo vetorial de classe C 1 no IR 2 , exceto em (0,0), tal que, para todo (x, y) = (0, 0): ∂F 2 ∂x (x, y)= ∂F 1 ∂y +4. Sabendo que γ F 1 dx + F 2 dy =6π, onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 1, orientada no sentido anti-horário, e seja γ a elipse, orientada no sentido anti-horário, x 2 4 + y 2 25 =1 . a) Faça um esboço da região D, tal que D seja uma região de IR 2 e esteja entre as curvas γ e C . b) Calcule F 1 dx + F 2 dy, . Obs: o teorema de Green só é valido para regiões de classe C 1 para todos os pontos interior à região em que se deseja aplicar o teorema. Questão 3: (3 pontos) Seja C a circunferência de raio a, no plano 2x +2y + z = 4, centrada no ponto (1,2,-2). Se F(x, y, z )=(y - x, z - x, x - y), determine o valor de a para que: C F · dr = - 8π 3 . Duração da prova: duas horas Regras: • Não é permitida consulta a qualquer fonte. • Todo o material do aluno, com exceção de documento de identidade, lápis, caneta, régua, borracha deve ficar junto à mesa do professor. • Calculadoras, aparelhos celulares e similares devem ficar desligados na bolsa/mochila do aluno. • A prova pode ser feita com lápis e/ou caneta e todas as questões justificadas. • A prova pode ser feita individualmente ou em dupla. • A dupla poderá comunicar entre si, mas sem atrapalhar os demais colegas e apenas uma prova por dupla deverá ser entregue. • A prova possui um total de 10 pontos. Página 1 de 1 Boa prova!
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Instituto de Matemtica - IM/UFRJClculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA
MAC238 - Primeira Prova - 05/11/2014
Questo 1: (3 pontos)Calcule o fluxo de F atravs da superfcie S onde F(x, y, z) = (cos z + xy2, xez, sen y + x2z), S asuperfcie do slido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4.
Questo 2: (4 pontos)Seja F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1 no IR2, exceto em (0,0), tal que, para todo(x, y) 6= (0, 0):
F2x
(x, y) = F1y
+ 4.
Sabendo que F1dx+ F2dy = 6pi,
onde a circunferncia x2 + y2 = 1, orientada no sentido anti-horrio, e seja a elipse, orientadano sentido anti-horrio,
x2
4 +y2
25 = 1.a) Faa um esboo da regio D, tal que D seja uma regio de IR2 e esteja entre as curvas e C.b) Calcule
F1dx+ F2dy,.Obs: o teorema de Green s valido para regies de classe C1 para todos os pontos interior regioem que se deseja aplicar o teorema.
Questo 3: (3 pontos)Seja C a circunferncia de raio a, no plano 2x + 2y + z = 4, centrada no ponto (1,2,-2). SeF(x, y, z) = (y x, z x, x y), determine o valor de a para que:
CF dr = 8pi3 .
Durao da prova: duas horas
Regras: No permitida consulta a qualquer fonte. Todo o material do aluno, com exceo de documento de identidade, lpis, caneta, rgua, borracha
deve ficar junto mesa do professor.
Calculadoras, aparelhos celulares e similares devem ficar desligados na bolsa/mochila do aluno. A prova pode ser feita com lpis e/ou caneta e todas as questes justificadas. A prova pode ser feita individualmente ou em dupla. A dupla poder comunicar entre si, mas sem atrapalhar os demais colegas e apenas uma prova por
dupla dever ser entregue.
A prova possui um total de 10 pontos.
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