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Funções

1) (UFES-95) Sendo f uma função definida por f(x – 1) = 2f(x) + f(x + 1), tal que f(0) = 2 e f(1) = – 1, o valor de |f(3)| é: a) 1 b) 3 c) 16 d) 8 e) 9 2) (PUC-MG-93) O teto de um túnel parabólico, com eixo de simetria vertical, tem altura máxima igual a 6 m e largura de base igual a 4 m. Calcule a altura do teto do túnel a 1 m do eixo de simetria.

3) (ESPCEX-93) Sejam os conjuntos A = {x / x 1/2}, B = {x /

x – 1} e as funções f de A em – definidas por

f(x) = 2x – 1; g de – em +, definida por g(x) = x2 e h de + em B,

definida por h(x) = 4x – 1. Pode-se, então, afirmar que a função inversa de ho(gof) é definida por:

a) 2 1

4

x b) 16x2 – 16x + 3 c) 2 1

4

x d) 2 1

4

x

4) (ESPCEX-96) Considere as funções de domínio : f(x) = -x

2 + 6x – 5 e g(x) = 5k – k

2, onde k é uma constante real. Os

gráficos de f e g interceptam-se em um único ponto, se o módulo da diferença entre os valores de k for igual a:

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 5. 5) (ESPCEX-96) Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços,

um dos quais formará um quadrado e o outro, um triângulo equilátero. Para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja mínima, o fio deve ser cortado de forma que o comprimento do lado do triângulo seja igual:

a) 7

L3 b)

11

)34 - 9(L c)

34 9

L 3

d)

2

L3 e)

3

L 3

6) (ESPCEX-97) Sejam o conjunto A = x Z x * / 5 e a função f:

AZ, definida por f(x) = x2. Se B é o conjunto imagem da função f(x),

o número de elementos do conjunto BA é: A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 7) (ESPCEX-98) A temperatura T de aquecimento de um forno, em

oC,

varia com o tempo t, em minutos, segundo a função abaixo:

10 t se 150, 5t t

10 t se 28t,20 T(t)

2

O tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 160 oC

para 564 oC é:

a) 5 minutos b) 12 minutos c) 13 minutos d) 18 minutos e) 23 minutos. 8) (ESPCEX-98) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25 9) (FUVEST-93) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10

10) (ITA-86) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função

f: .

1. Se existe x tal que f(x) f(– x) então f não é par.

2. Se existe x tal que f(– x) = – f(x) então f é impar.

3. Se f é par e ímpar então existe x tal que f(x) = 1.

4. Se f é ímpar então fof (f composta com f) é ímpar. Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números. a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 11) (ITA-86) Sejam a, b e c números reais dados com a < 0. Suponha que x1 e x2 sejam as raízes reais da função y = ax

2 + bx + c e x1 < x2.

Sejam x3 = – b/2a e aacbbx 4/)42( 2

4 . Sobre o sinal de y

podemos afirmar que:

a) y < 0, x , x1 < x < x3 b) y < 0, x , x4 < x < x2

c) y > 0, x , x1 < x < x4 d) y > 0, x , x > x4

e) y < 0, x , x < x3

12) (IME) Sejam q e r funções cujos domínios é o conjunto dos inteiros maiores que zero. Sabe-se que q(1) = 1, r(1) = 0 e:

se r(n) < 2q(n) + 1, então r n r n

q n q n

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

se r(n) = 2q(n) + 1, então r n

q n q n

( )

( ) ( )

1 0

1 1

Determine q(5) e r(5). 13) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x – 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:

a) – 1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) – 1

14) Se f(x) = 1 – 1/x , com x 0, então determine o valor de R = 96.f(2).f(3).f(4). ... .f(14).f(15).f(16). 15) Sejam as funções reais f(x) = 3x – 5 e fog(x) = x

2 – 3. Determinar

a lei da função g. 16) Sejam as funções reais g(x) = 3x – 2 e fog(x) = 9x

2–3x+1.

Determinar a lei da função f. 17) Sejam f e g funções reais definidas por

143

142)(

2

xsex

xsexxxf e g(x) = x – 3.

Obter a lei que define fog. 18) Sejam as funções reais fog e g definidas por

134

1164))((

2

xsex

xsexxxfog e g(x) = 2x – 3

Obter a lei que define f.

19) Seja f: N N definida por:

1000))6((

10003)(

nnff

nnnf

Então o valor de f (1992) – f

(1) é:

a) 989 b) 992 c) 1988 d) 1991 e) indeterminado

20) Seja f: função periódica com período 3, tal que

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f(x) = x2 para cada – 1 < x 2. Então f(– 4) vale:

a) –1 b) 0 c)1 d) 4 e) 16 21) Assuma que f é uma função real tal que f(x) = f(– x) e f(x + 2) = 2f(x) para todo x. Então f(5) é igual a: 22) Seja f uma função real tal que: f(2) = 3 e f(a + b) = f(a) + f(b) + ab, para todo a e b. Calcule f(11). 23) Seja f uma função definida em N0 = {0, 1, 2, 3, …} e com valores

em N0, tal que para n, m N0 e m 9, f(10n + m) = f(n) + 11m e f(0) = 0. Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995? a) Nenhuma b) 1 c) 2 d) 11 e) infinitas

24) Dados f xx

x( )

1 e a um número real. Se x0 = a,

x1 = f(x0), x2 = f(x1), ..., x1996 = f(x1995), e x1996 = 1, determine a. a) 0 b) 1/1997 c) 1995 d) 1995/1996 e) nda 25) Seja f uma função de inteiros não-negativos para inteiros não-negativos tal que: f(n.m) = nf(m) + mf(n), f(10) = 19, f(12) = 52 e f(15) = 26. Determine f(8). a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

26) Seja fi (x), i = 1, 2, 3, ... definida por fx

1

1

1

e

fi+1(x) = fi (f1(x)). Então, f1998 (1998) é: a) 0 b) 1998 c) – 1/1997 d) 1997/1998 e) nda 27) Assuma que f(1) = 0, e que para todos os inteiros m e n, f(m + n) = f(m) + f(n) + 3(4mn – 1). Determine f(19).

28) Dado que x

1

1x

1f

, então f(x) é:

a) (x – 1)– 1

b) x/(x + 1) c) (x + 1)/x d) 1/x – x

29) Suponha que )x1(

11)x(f

. Determine

f(f(f(...f(3)...))), onde existem 1998 f's na composição. a) 3 b) 3/2 c) 2/3 d) 1

30) Se 4x3

x3)x(f

e f(g(x)) = x, então g(x) = ?

a) (3x + 4)/(3x) b) (3x)/(3x + 4) c) (4x)/(3 – 3x) d) (3x + 4)/4 e) nda 31) Suponha que f(x + y) = f(x).f(y) para todos os números reais x e y. Se f(1) = 8, calcule f(2/3). a) 1/8 b) 2/3 c) 4 d) 8 e) nda 32) Uma certa função satisfaz f(x) + 2.f(6 – x) = x para todos os números reais x. O valor de f(1) é: a) 3 b) impossível determinar c) 2 d) 1 e) – 9 33) Se f(x) é uma função que satisfaz f(2x + 1) = 2f(x) + 1 para todo x, a se f(0) = 2, então f(3) = a) 5 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 34) Se f(N + 1) = (– 1)

N + 1.N – 2.f(N) para os inteiros

N 1, e f(1) = f(1989), então o valor de f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(1988) é igual a: a) – 992/3 b) – 993/3 c) – 996/3 d) – 995/3 e) – 994/3

35) Se x31

x1)x(f

, f1(x) = f(f(x)), f2(x) = f(f1(x)), e em geral fn(x) =

f(fn – 1(x)), então f1993(3) = a) 3 b) 1993 c) 1/2 d) 1/5 e) – 2

– 1993

36) Suponha que f(x) é uma função com domínio nos números reais e contra-domínio nos números reais tal que f(x + f(x)) = 4.f(x) e f(1) = 4. Qual é o valor de f(5)? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 37) Suponha que f(x) é uma função tal que para todo número real x: (i) f(x) + f(1 – x) = 11; (ii) f(1 + x) = 3 + f(x). Então f(x) + f(– x) deve ser igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 38) Se f(x) satisfaz 2.f(x) + f(1– x)=x

2 para todo x, então f(x) =

a) (x2 – 3x + 1)/2 b) (x

2 + 8x – 3)/9 c) (4x

2 + 3x – 2)/6

d) (x2 + 2x – 1)/3 e) (x

2 + 9x – 4)/9

39) Seja f uma função satisfazendo a equação f(x) + 1999.f(2 – x) = (x – 1)

3. Então o valor de f(0) é:

40) Uma função real f satisfaz, para todo x,

)(1

)(1)1(

xf

xfxf

.

Demonstre que f é periódica.

41) Dado f(11) =11 e

1)(

1)()3(

xf

xfxf

para todo x, determine f(1979).

42) Seja F uma funcão real decrescente definida para todo os valores

de x com 0 x 1 e verificando:

a) 2

)(

3

xFxF

b) F(1 – x) = 1 – F(x).Calcular F1

13

.

43) Suponha que f satisfaça a equação:

801002

2923)(2

x

x

xfxf . Calcule f(3).

44) Seja f: Z+Z

+ uma função satisfazendo às seguintes condições:

i. f(a.b) = f(a) + f(b);

ii. f(x) = 0 se o algarismo das unidades de x é 4, x Z+.

Encontre f(2008). 45) Seja f uma função definida no conjunto dos números inteiros positivos por f(3n) = 1, se n = 1 f(3n) = n + f(3n – 3), se n > 1. Encontre o valor de f(1998).

46) (ITA-76) Considere g: {a,b,c}{a,b,c} uma função tal que g(a)=b e g(b)=a. Então, temos: a)g(x)=x tem solução se,e somente se,g é injetora b) g é injetora, mas não é sobrejetora ; c) g é sobrejetora, mas não é injetora ; d) se g não é sobrejetora, então g(g(x))=x para todo x em {a,b,c}; e)n.d.a.

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47) (ITA-83) Sejam três funções f,u,v : tais que

f xx

f xf x

( ) ( )( )

1 1 para todo x não nulo e (u(x))

2+(v(x))

2=1 para

todo x real. Sabendo-se que x 0 é um número real tal que u(x 0 ).v(x 0

)0 e f

u x v x(

( ) ( )) ,

1 12

0 0

o valor de

fu x

v x(

( )

( ))

0

0

é :

a)–1; b)1; c)2; d)1

2; e)–2.

48) (IME-79) Admita Y = (a,b,c) e seja a função h: Y x Y Y

definida por:

h(a,a) = a h(b,a) = b h(c,a) = c

h(a,b) = b h(b,b) = c h(c,b) = a

h(a,c) = c h(b,c) = a h(c,a) = b

Considere a função f: ZY tal que:

f(0) = a

f(1) = b

n,m, f(n+m) = h(f(n),f(m)).

Sabe-se que n, f(3n) =a.

a) Determine yY, tal que h(y,f(52)) = f(45).

b) Encontre um H , tal que f(H) = {c}.

49) (ITA-88) Seja f: uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com x<y tem-se f(x) > f(y). Dadas as afirmações: I- f é injetora. II- f pode ser uma função par. III-se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que: a) Apenas I e III são verdadeiras; b) Apenas II e III são falsas; c) Apenas I é falsa; d) Todas são verdadeiras; e) Apenas II é verdadeira.

50) (ITA-89) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B

mais de um elemento. Dada uma função f: AB, definimos L: A

(AxB) por L(A) = (a,f(a)), para todo aA. Podemos afirmar que : a) A função L sempre será injetora; b) A função L sempre será sobrejetora; c) Se f for sobrejetora, então L também o será; d) Se f não for injetora, então L também não o será; e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora.

51) (ITA-89) Sejam f, g: duas funções tais que :

a) gof: é injetora. Verifique se f é injetora e justifique a sua resposta.

b) gof: é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique a sua resposta. 52) (VEST-RIO) A função f está definida no conjunto dos inteiros positivos por f(n) = n / 2 se n é par, e f(n) = 3n +1 se n é ímpar. O número de soluções da equação f(n) = 25 é: (A) zero (B) um (C) dois (D) quatro (E) infinito 53) (PUC) A função f está definida no conjunto A = {1, 2, 3, ... ,

10} e associa a cada elemento x A, o número f(x) de subconjuntos de A, aos quais x pertence e que possuem x elementos. O valor máximo de f(x) é: (A) 36 (B) 45 (C) 84 (D) 112 (E) 126

54) (EN-84) O conjunto imagem da função

f x x x( ) 2 24 4 é:

a) 0x x b) 2 2x x

c) 0 d) 2x x ou x 2 e) +

55) (EN-84) É dada uma função tal que:

I) f(x).f(y) = f(x+y) II) f(1) = 2 e f( 2 ) = 4

Podemos concluir então, que f(3 + 2 ) é igual a :

a) (3 + 2 )2

b) 16 c) 24 d) 32 e) 64

56) (CBERJ-88) Se f(a)= a-2 e F(a,b)=b

2 +a, então F(3,f(4)) é:

a) a2 - 4a + 7 b) 28 c) 7 d) 8 e) 11

57) (EN-88) Seja x {-1, 0, 1}. Se f xx

x1

3

1( )

e

f x f f xn n 1 1( ) para todo n natural, então f1988(x) igual a:

a) x

x

3

1 b) x c)

x

x

3

1 d)

3

1

x

x e)

x

x

3

1

58) (ITA-89) Os valores de ,0 e

2

, para os quais

a função f: dada por f(x) = 4x2 - 4x - tg

2 , assume seu valor

mínimo igual a (-4), são.

a)

4 e

3

4

b)

5 e

2

5

c)

3 e

2

3

d)

7 e

2

7

e)

2

5

e

3

5

59) (EN-88) Para todo x real,

3

2

12

2

2

x ax

x x se e só se:

a) -3 < a < 2 b) -1 < a < 2 c) -6 < a < 7 d) -1 < a < 7 e) -6 < a < 2 60) (ITA-67) Em qual dos casos a seguir vale a desigualdade

x ax a

x a x a

2 2

2

2

2 20

( )?

a) a<0; x<2a b) a=0, x>-a c) a>2, 2<x<a d) a>2, -a<x<2 e) a>2, x>2a 61) (EN) Determine o maior valor inteiro de m de modo que x

2 - 7x +

28 - 4m seja positivo para todo x negativo. 62) (EN) Dado o trinômio 9x

2 - 6x + m - 3 determine m para que:

I) o trinômio tenha sempre o mesmo sinal; II) o número I fique compreendido entre as raízes. 63) (EN) Determine m para que o número 2 seja exterior às raízes da equação: (m-1)x

2 + (1-2m)x - 3 = 0

64. (CBERJ-87) Seja xxx

xf

2

1, então f(x) é definida por:

a) x / (1-x) b) x / (1-x)2

c) x2/ (1-x)

2

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d) (x2 + x) / (1-x)

2 e) x

2/ (1 + x)

2

65. O gráfico abaixo representa o conjunto:

a) ]1,3] x {1,2,3} b) [1,3] x ]1,3]

c) {2,3} x ]1,3] d) {1,2,3} x {2,3} e) {1,2,3} x [1,3] 66) Seja f uma função real de variável real que verifica as condições: (i) f(10 + x) = f(10 – x); (ii) f(20 + x) = – f(20 – x) para todos os valores reais de x. Demonstre que f é uma função ímpar e periódica. 67) A função f satisfaz a equação funcional: f(x) + f(y) = f(x + y) – xy – 1 para todo par x, y de números reais. Se f(1) = 1, então o número de

inteiros n 1 para os quais f(n) = n é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinito

68) Uma função f : satisfaz: f(2 + x) = f(2 – x) e f(7 + x) = f(7 – x), para todo número real x. Se x = 0 é uma raiz da equação f(x) = 0, qual é o menor número de raízes dessa equação no intervalo

– 100 x 100? Gabarito: 1. E 2. 4,5 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10.A 11.C 12. r(5) = 1; q(5) = 2 13.A 14.6 15. g(x) = (x

2 + 2)/3

16. f(x) = x2 + x - 3

17. 2 4 7 4( ( ))

3 5 4

x x se xf g x

x se x

18. 2 3 1 1( )

2 9 1

x x se xf x

x se x

19. B 20.D 21.0 22.66 23. A - Nenhuma, pois as imagens são múltiplas de 11, e 1995 não é múltiplo de 11. 24. B 25. C 26.B 27. 4188 28. B 29. A 30. C 31. C 32. A 33. C 34.E 35.D 36. A 37. A 38. D 39. f(0) = 2000 / (1999

2-1)

40. p=4 41. f(1979) = 11 42. 1/9 43. 1996 44. f(2008) = 0 45. 222111 46. A 47.B

48.

a) y = c

b) H = {h / h=3n+2, nZ}

49.A 50.A 51. a) Sim; Se f não fosse injetora, para quaisquer x e y, f(x) = f(y) então g(f(x)) = g(f(y)) e gof não seria injetora. b) Sim. Como g(f(x)) é sobrejetora, então a Imagem de g(f(x)) também

é , logo a imagem de g(y) também é . 52. B 53. E 54.C 55.D 56.C 57.C 58. C 59. B 60. D 61. m =7 62. I. m<4 II. m>4 63. m<1 ou m>3 64. B 65. E 66. Fazer x igual a x-10 na primeira expressão.

67. C ( 1 e -2) 68. 21, pois f(x) = f(x+10)