211048

Fluxo de Potncia Trifsico: Um Estudo

Comparativo e Uma Nova Metodologia de Soluo

Hivy Queiroz Pereira

DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS

PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS

PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA

ELTRICA.

Aprovada por:

________________________________________

Prof. Vander Menengoy da Costa, D. Sc.

(orientador)

________________________________________

Prof. Dilson Amancio Alves, D. Sc.

________________________________________

Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia, D. Sc.

JUIZ DE FORA, MG BRASIL

FEVEREIRO DE 2006

ii

PEREIRA, HIVY QUEIROZ

Fluxo de Potncia Trifsico: Um Estudo Comparativo e

Uma Nova Metodologia de Soluo [Juiz de Fora] 2006

XV, 147 p. 29,7 cm (UFJF, M.Sc., Engenharia Eltrica,

2006)

Tese Universidade Federal de Juiz de Fora.

1. Fluxo de Potncia Trifsico

2. Convencional Polar

3. Convencional Retangular

4. Formulao Injeo de Corrente

5. Matriz Jacobiana Constante

6. Condies Iniciais Desfavorreis

I. UFJF II. Ttulo (srie).

iii

A Deus,

A meus pais, verdadeiros companheiros, Heitor e Anglica,

A meu amor, Leonardo,

Ao grande e dedicado mestre, Vander.

iv

Resumo da tese de mestrado apresentada UFJF como parte dos requisitos necessrios

obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc).

Fluxo de Potncia Trifsico: Um Estudo Comparativo e

Uma Nova Metodologia de Soluo


2006

Orientador: Vander Menengoy da Costa

Programa: Engenharia Eltrica

Este trabalho apresenta um estudo comparativo das caractersticas de

convergncia das formulaes convencional polar, convencional retangular e injeo de

corrente na soluo do fluxo de potncia trifsico. As metodologias polar e retangular

utilizam as equaes de potncia injetada nas barras expressas em funo das

coordenadas polares e retangulares da tenso, respectivamente. A formulao de injeo

de corrente utiliza as equaes de corrente injetada nas barras expressas em termos das

coordenadas retangulares da tenso. As equaes no lineares referentes a cada um dos

mtodos so resolvidas atravs do processo iterativo de Newton-Raphson. Alm disto, a

manuteno da matriz Jacobiana constante durante o processo iterativo tambm

investigada.

Por outro lado, este trabalho tambm prope uma metodologia para a soluo do

fluxo de potncia trifsico sujeito a condies iniciais desfavorveis. Este mtodo baseia-

se numa caracterstica particular inerente formulao de injeo de corrente. O mtodo

simples e rpido, garantindo a convergncia do processo iterativo. Os resultados so

bastante satisfatrios, demonstrando a eficcia do mtodo proposto em situaes nas

quais as formulaes convencionais de soluo do fluxo de potncia falham na

convergncia do processo iterativo.

v

Abstract of thesis presented to UFJF as partial fulfillment of the requirements for the

degree of Master of Science (M.Sc).

Three-phase Power Flow: A Comparative Study and A

New Solution Methodology


2006

Supervisor: Vander Menengoy da Costa

Department: Engenharia Eltrica

This work presents a comparative study on convergence characteristics of some

three-phase power flow methods, namely, conventional polar, conventional rectangular

and current injection formulations. The polar and rectangular methodologies use the

injected power equations written in terms of voltage polar and voltage rectangular

coordinates, respectively. The current injection method employs the injected current

equations expressed in function of voltage rectangular coordinates. The nonlinear

equations associated with each method are solved iteratively through Newton-Raphson

approach. Moreover, the strategy of keeping the Jacobian matrix constant throughout the

iterative process is also investigated.

On the other hand, this work also proposes a new methodology for solving three-

phase power flow problems subjected to poor initial conditions. This method is based on

a particular convergence feature inherent in the power flow current injection formulation.

It is simple and fast, ensuring the convergence of the iterative process. The results are

quite satisfactory and demonstrate the effectiveness of the proposed approach on

problems where standard three-phase power flow formulations fail to converge.

vi

Simbologia

p.u. Sistema em por unidade;

n Nmero de barras do sistema;

s Elemento representativo das fases a, b e c do sistema;

h Contador de iteraes;

r + jx Impedncia do ramo k-m;

PG Potncia ativa gerada;

QG Potncia reativa gerada;

PL Potncia ativa demandada;

QL Potncia reativa demandada;

Scalc Potncia aparente calculada;

Pk Potncia ativa lquida na barra k;

Qk Potncia reativa lquida na barra k;

Pk Resduo de potncia ativa lquida na barra k; Qk Resduo de potncia reativa lquida na barra k;

rkV Componente real da tenso na barra k;

mkV Componente imaginria da tenso na barra k;

rkV Correo da componente real da tenso na barra k; mkV Correo da componente imaginria da tenso na barra k;

Ykm Elemento (k-m) da matriz admitncia nodal Ykm = Gkm + jBkm;

Y Matriz admitncia nodal;

k ngulo da tenso na barra k; k Correo do ngulo da tenso na barra k; Zkm Elemento (k-m) da matriz impedncia de barras;

Yshabc Matriz de admitncia shunt nas fases a, b e c; shkmb

Susceptncia shunt total do ramo k-m;

ykm Admitncia do ramo k-m;

vii

abckI Corrente eltrica injetada na barra k;

abcrkI Componente real da corrente eltrica injetada na barra k, fases a, b e c; abcmkI Componente imaginria da corrente eltrica injetada na barra k, fases a, b e c;

abcrkI

Resduo da componente real da corrente eltrica injetada na barra k, fases a, b e

c;

abcmkI

Resduo da componente imaginria da corrente eltrica injetada na barra k,

fases a, b e c; abccalcP Potncia ativa calculada para a barra k, fases a, b e c; abccalcQ Potncia reativa calculada para a barra k, fases a, b e c; abcespP Potncia ativa especificada na barra k, fases a, b e c; abcespQ Potncia reativa especificada na barra k, fases a, b e c;

p Conjunto das fases a, b e c; k Conjunto de barras adjacentes barra k, incluindo a prpria barra k; skE Fasor tenso na barra k, fase s;

As matrizes sero apresentadas em negrito itlico e os vetores em negrito itlico

sublinhado

viii

ndice

Captulo 1 1

Introduo 1

1.1 Consideraes Iniciais 1

1.2 Motivaes e Objetivos 2

1.3 Principais Contribuies do Trabalho 3

1.4 Publicaes Decorrentes do Trabalho 3

1.5 Estrutura do Trabalho 3

Captulo 2 5

Formulaes Trifsicas na Soluo do Problema de Fluxo de Potncia 5

2.1 Introduo 5

2.2 Modelo dos Componentes 6

2.3 Fluxo de Potncia Polar Trifsico 8

2.3.1 Equaes Polares Bsicas 8

2.3.2 Metodologia da Soluo 12

2.3.3 Algoritmo de Soluo Polar 15

2.4 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico 17

2.4.1 Equaes Retangulares Bsicas 17

2.4.2 Metodologia de Soluo 18

2.4.3 Tratamento das Barras PV 21

2.4.3.1 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico com Correo de Gerao

de Potncia Reativa 22

2.4.3.2 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico Convencional 25

2.4.4 Algoritmo de Soluo Retangular 27

2.5 Aplicao Numrica 27

2.5.1 Soluo pelo Mtodo Polar Trifsico 29

2.5.2 Soluo pelo Mtodo Retangular Trifsico com Correo de Gerao

de Potncia Reativa 39

ix

2.5.2 Soluo pelo Mtodo Retangular Trifsico Convencional 45

Captulo 3 51

Fluxo de Potncia Trifsico via Injeo de Corrente 51

3.1 Introduo 51

3.2 Metodologia de Soluo 52

3.2.1 Apresentao das Equaes 52

3.2.2 Tratamento das Barras V e PV 52

3.2.3 Atualizao das Tenses 56

3.2.4 Algoritmo de Soluo Injeo de Corrente 56

3.2.5 Aplicao Numrica 60

3.3 Proposta de uma Nova Metodologia para a Soluo do Fluxo de Potncia

Trifsico 71

3.3.1 Introduo 71

3.3.2 Fluxo de Potncia Injeo de Corrente Robusto s Condies Iniciais

RCI 72

3.3.2.1 Equaes Bsicas 73

3.3.2.2 Algoritmo Proposto RCI 74

3.3.2.3 Aplicao Numrica 75

Captulo 4 80

Resultados 80

4.1 Introduo 80

4.2 Comparao entre as Simulaes dos Fluxos de Potncia Trifsico

Convencionais Polar, Retangular e Injeo de Corrente 81

4.3 Simulaes de Sistemas com Condies Iniciais Desfavorveis 90

4.4 Metodologias Convencionais x Mtodos com Matriz Jacobiana Constante:

Comparao de Tempo Computacional e Nmero de Iteraes 94

4.5 Simulaes em Sistemas Desequilibrados 98

4.5.1 Comparao entre as Simulaes dos Fluxos de Potncia Trifsico

Convencionais Polar, Retangular e Injeo de Corrente 98

4.5.2 Mtodos com Matriz Jacobiana Constante 107

4.5.3 Simulaes de Sistemas com Condies Iniciais Desfavorveis 108

x

4.6 Outras Simulaes 110

Captulo 5 112

Concluses 112

5.1 Consideraes Iniciais 112

5.2 Sugestes para Estudos Futuros 113

Apndice I 114

Formulao Injeo de Corrente 114

AI.1 Equaes Bsicas da Soluo via Injeo de Corrente Trifsica 114

Apndice II 116

Dados dos Sistemas C37 e 215 Barras 116

AII.1 Sistema C37 116

AII.2 Sistema 215barras 122

Referncias Bibliogrficas 145

xi

Lista de Figuras

Figura 2.1 Circuito Equivalente da Linha Trifsica a Parmetros Concentrados 6

Figura 2.2 Circuito Equivalente da Linha Trifsica na Forma Matricial 6

Figura 2.3 Esquema de Ligao para Carga Ligada em Estrela-Aterrada 8

Figura 2.4 Diagrama Unifilar do Sistema 3 Barras 28

Figura AII.1 Topologia do Sistema C37 116

xii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Dados de Tenso e ngulos de Barras Sistema 3 Barras 28

Tabela 2.2 Dados de Potncias Sistema 3 Barras 28

Tabela 2.3 Dados de Linhas Sistema 3 Barras 28

Tabela 2.4 Resultados de Tenso e ngulos de Barras Sistema 3 Barras 38

Tabela 2.5 Resultados de Potncia Gerada Sistema 3 Barras 38

Tabela 2.6 Trajetria de Convergncia Sistema 3 Barras Polar Convencional 39

Tabela 2.7 Trajetria de Convergncia Sistema 3 Barras Polar Constante 39

Tabela 2.8 Trajetria de Convergncia Retangular com Correo de Potncia

Reativa 45

Tabela 2.9 Trajetria de Convergncia Retangular Convencional 50

Tabela 3.1 Trajetria de Convergncia em Funo dos Resduos de Potncia

Injeo de Corrente 65

Tabela 3.2 Trajetria de Convergncia em Funo dos Resduos de Corrente

Injeo de Corrente 65

Tabela 3.3 Trajetria de Convergncia em Funo dos Resduos de Potncia 66

Tabela 3.4 Trajetria de Convergncia em Funo dos Resduos de Corrente 66


PCONST 66


PCONST 67


ZCONST 71


ZCONST 71

Tabela 3.9 Dados de Tenso e ngulo de Barras Condies Iniciais

Desfavorveis 75

xiii


RCI 79


RCI 79

Tabela 4.1 Variao da Relao R/X Sistema 11 Barras QL8= -101MVAr 82





Tabela 4.6 Variao no Carregamento Sistema 11 Barras QL8= -101MVAr 83





Tabela 4.11 Variao da Relao R/X Sistema C37 85

Tabela 4.12 Variao no Carregamento Sistema C37 85

Tabela 4.13 Variao da Relao R/X Sistema C37pv 86

Tabela 4.14 Variao no Carregamento Sistema C37pv 86

Tabela 4.15 Variao da Relao R/X Sistema 43 Barras 86

Tabela 4.16 Variao da Relao R/X Sistema 215 Barras 87

Tabela 4.17 Variao no Carregamento Sistema 215 Barras 87

Tabela 4.18 Solues Mltiplas do Sistema 11 Barras 88

Tabela 4.19 Solues Mltiplas do Sistema 43 Barras 89

Tabela 4.20 Condies Iniciais Sistema 11 Barras 90

Tabela 4.21 Resultados Sistema 11 Barras 91

Tabela 4.22 Ponto de Soluo Sistema 11 Barras 91

Tabela 4.23 Condies Iniciais Sistema C37 91

Tabela 4.24 Resultados Sistema C37 92

Tabela 4.25 Ponto de Soluo Sistema C37 92

Tabela 4.26 Condies Iniciais Sistema C37pv 92

xiv

Tabela 4.27 Resultados Sistema C37pv 93

Tabela 4.28 Ponto de Soluo Sistema C37pv 93

Tabela 4.29 Nmero de Iteraes e Tempo Computacional Sistema 11 Barras 95

Tabela 4.30 Nmero de Iteraes e Tempo Computacional Sistema C37 95

Tabela 4.31 Nmero de Iteraes e Tempo Computacional Sistema C37pv 96



Tabela 4.34 Desequilbrios Propostos no Sistema 11 Barras 98

Tabela 4.35 Variao da Relao R/X Sistema 11 Barras Desequilibrado QL8=

-101MVAr 98


-120MVAr 99


-121MVAr 99

Tabela 4.38 Variao da Relao R/X Sistema 11 Barras Desequilibrado

QL8= -122MVAr 99

Tabela 4.39 Variao da Relao R/X Sistema 11 Barras Desequilibrado

QL8= -123MVAr 100

Tabela 4.40 Variao no Carregamento Sistema 11 Barras Desequilibrado

QL8= -101MVAr 100


QL8= -120MVAr 100


QL8= -121MVAr 101


QL8= -122MVAr 101


QL8= -123MVAr 101

Tabela 4.45 Desequilbrios no Sistema C37 102

Tabela 4.46 Variao da Relao R/X Sistema C37 Desequilibrado 102

Tabela 4.47 Variao no Carregamento Sistema C37 Desequilibrado 102

xv

Tabela 4.48 Desequilbrios no Sistema C37pv 103

Tabela 4.49 Variao da Relao R/X Sistema C37pv Desequilibrado 103

Tabela 4.50 Variao no Carregamento Sistema C37pv Desequilibrado 103

Tabela 4.51 Desequilbrios no Sistema 43 Barras 104

Tabela 4.52 Variao da Relao R/X Sistema 43 Barras Desequilibrado 104

Tabela 4.53 Desequilbrios no Sistema 215 Barras 104

Tabela 4.54 Variao da Relao R/X Sistema 215 Barras Desequilibrado 105

Tabela 4.55 Solues Mltiplas do Sistema 11 Barras Desequilibrado 106

Tabela 4.56 Resultados Sistema 11 Barras Desequilibrado 108

Tabela 4.57 Ponto de Soluo Sistema 11 Barras Desequilibrado 108

Tabela 4.58 Resultados Sistema C37 Desequilibrado 109

Tabela 4.59 Ponto de Soluo Sistema C37 Desequilibrado 109

Tabela 4.60 Resultados Sistema C37pv Desequilibrado 109

Tabela 4.61 Ponto de Soluo Sistema C37pv Desequilibrado 109

Tabela AII.1 Dados de Tenso e ngulo C37 116

Tabela AII.2 Dados de Carga C37 118

Tabela AII.3 Resistncias e Reatncias de Linhas C37 119

Tabela AII.4 Resistncias e Reatncias Mtuas das Linhas C37 120

Tabela AII.5 Dados de Tenso e ngulo 215 Barras 122

Tabela AII.6 Dados de Carga 215 Barras 129

Tabela AII.7 Resistncias e Reatncias de Linhas 215 Barras 137

1

Captulo 1

Introduo

1.1 Consideraes Iniciais

As sucessivas mudanas no mercado eltrico brasileiro, comeando pela mudana

do modelo de mercado de energia, fizeram com que se tornassem cada vez mais

importantes o estudo e a proposio de novas metodologias capazes de auxiliar a

operao e o planejamento do sistema eltrico de gerao, transmisso e distribuio.

Neste contexto, ganha importante relevncia o estudo de metodologias para o

clculo do fluxo de potncia, que, em linhas gerais, consistem no clculo das tenses nas

barras e dos fluxos de potncia nas linhas de um sistema eltrico dado um nvel de carga

especificado e um programa de gerao estabelecido. Tradicionalmente, o problema

abordado sob um enfoque esttico, considerando-se tanto as equaes algbricas de

potncia, expressas em coordenadas polares ou retangulares das tenses, quanto as

inequaes referentes aos limites das variveis envolvidas [1].

A anlise em regime permanente dos sistemas de transmisso simplificada, isto

, como se supe que o sistema trifsico opera em condies equilibradas, o estudo se

resume anlise de um sistema monofsico. Por outro lado, quando o sistema de

distribuio o objeto do estudo, esta simplificao no mais possvel, pois os sistemas

de distribuio operam de forma desequilibrada, uma vez que h desequilbrio entre as

cargas das fases, ocorre a assimetria das linhas sem transposio, alm da presena de

circuito monofsicos e bifsicos, sendo, portanto, indispensvel a anlise multifsica

destes sistemas.

Ao longo dos anos, vrias tm sido as contribuies no sentido de solucionar o

problema do fluxo de potncia em sistemas de distribuio [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12, 13, 14]. Uma reviso ampla e completa destes trabalhos encontra-se na referncia

[15]. Uma reviso sucinta a respeito das publicaes mais recentes apresentada a seguir.

2

Geralmente, os efeitos do neutro e do aterramento so desconsiderados, no

entanto, em [16] faz-se o estudo de sistemas de distribuio trifsicos a 4 fios, com a

explicitao do fio neutro e da terra, com o objetivo de comprovar que a implantao

deste tipo de sistema de baixo custo e que permite melhor detectar faltas do que o

sistema a 3 fios.

Em [17] apresenta-se uma metodologia que considera as caractersticas

topolgicas dos sistemas de distribuio, obtendo a soluo do fluxo de potncia

diretamente pela multiplicao de duas matrizes que so desenvolvidas sem a

necessidade de fatorao e nem do processo de substituio inversa ou direta. O objetivo

a utilizao nos processos de automao da distribuio.

Mais recentemente, foi apresentado em [18] uma nova forma de representao da

barra PV no mtodo de soluo do fluxo de potncia via injeo de corrente. A potncia

reativa gerada pela barra PV considerada como uma varivel dependente e os resduos

de corrente so calculados em funo dos resduos de potncia para cada barra.

A referncia [19] descreve uma nova metodologia de clculo do fluxo de potncia

baseada na utilizao de equaes algbrico-diferenciais, de modo a contornar o

problema encontrado pelas metodologias convencionais quando as condies iniciais do

problema so desfavorveis.

Em [20] descreve-se uma metodologia robusta para soluo do fluxo de potncia

trifsico com otimizao de passo, utilizando as equaes de injeo de corrente

expressas em coordenadas retangulares.

1.2 Motivaes e Objetivos

Frente a esta grande demanda por novas metodologias para soluo do fluxo de

potncia trifsico pelos motivos expostos, considera-se necessrio um estudo

comparativo entre as formulaes existentes e a proposio de novas metodologias.

Neste contexto, este trabalho tem como principais objetivos:

Apresentao das metodologias convencionais polar, retangular e injeo de corrente;

Estudo comparativo entre as metodologias convencionais;

3

Proposta de nova metodologia derivada da formulao via injeo de corrente, propiciando um mtodo robusto a condies iniciais.

1.3 Principais Contribuies do Trabalho

Como principais contribuies do trabalho destacam-se:

O desenvolvimento e a implementao de uma nova metodologia para a resoluo de sistemas trifsicos com condies iniciais desfavorveis;

O estudo comparativo dentre as diversas formulaes de soluo do fluxo de potncia trifsico equilibrado ou no, cuja metodologia bsica a aplicao do

mtodo iterativo de Newton-Raphson;

O registro dos principais mtodos utilizados para a soluo do fluxo de potncia trifsico com a apresentao das equaes bsicas e algoritmos de soluo.

1.4 Publicaes Decorrentes do Trabalho

Uma Avaliao Crtica das Formulaes de Fluxo de Potncia para Sistemas Trifsicos via Mtodo de Newton-Raphson a ser submetido revista da Sociedade

Brasileira de Automtica.

1.5 Estrutura do Trabalho

No Captulo 2 mostrada a modelagem dos componentes para sistemas trifsicos

e so feitas algumas consideraes inicias. Alm disso, apresentam-se as expanses dos

mtodos de soluo do fluxo de potncia polar e retangular para sistemas de distribuio

trifsicos com a descrio das equaes bsicas e algoritmos de soluo. Inclusive para o

mtodo de soluo retangular so apresentadas duas propostas em funo da presena de

barras PV, uma delas utilizando a correo de potncia reativa gerada nestas barras.

4

No Captulo 3 apresenta-se a descrio do mtodo de soluo via injeo de

corrente convencional com suas equaes bsicas e algoritmo de soluo, alm da

proposio de uma nova metodologia derivada do modelo injeo de corrente,

objetivando a soluo de sistemas com condies iniciais desfavorveis.

No Captulo 4, os resultados obtidos nas diversas metodologias descritas e

propostas so apresentados, comparados e discutidos.

No Captulo 5 faz-se a apresentao das principais concluses extradas do estudo

proposto neste trabalho.

5

Captulo 2

Formulaes Trifsicas na Soluo do Problema

de Fluxo de Potncia

2.1 Introduo

Os modelos das formulaes polar e retangular trifsicas apresentados neste

captulo partem dos mesmos princpios e equaes utilizados para a resoluo

monofsica convencional, ou seja, o estudo do fluxo de potncia trifsico ser

desenvolvido a partir das equaes de potncia ativa e reativa injetadas nas barras,

expressas em termos de coordenadas polares ou retangulares conforme o caso.

Dessa maneira, o problema bsico de fluxo de potncia trifsico em um sistema

de n barras ser constitudo de 6n equaes, ou seja, cada barra ser representada por um

conjunto de 3 equaes de potncia ativa e 3 equaes de potncia reativa, uma para cada

fase. Vale ressaltar que para as barras de referncia (V) tanto as equaes de potncia

ativa nas trs fases quanto as de potncia reativa devem ser eliminadas. O tratamento

dispensado s barras PV ser apresentado nas sees subseqentes.

A necessidade da apresentao dessas formulaes surge em face da carncia de

suas descries em outras fontes e tambm em virtude dos novos desafios impostos pelo

crescente interesse em estudos sobre o sistema de distribuio.

Os resultados apresentados neste captulo para todas as aplicaes numricas so

relativos somente fase a do sistema de 3 barras apresentado na seo 2.5 deste captulo.

6

2.2 Modelo dos Componentes

Para anlise em regime permanente, as linhas trifsicas so representadas por um

circuito a parmetros concentrados, conforme ilustra a Figura 2.1. O acoplamento entre os shunts de barra pode ocorrer numa linha de potncia natural elevada (LPNE). A Figura

2.2 mostra a representao matricial para o circuito em questo.

Figura 2.1 Circuito Equivalente da Linha Trifsica a Parmetros Concentrados.

Figura 2.2 Circuito Equivalente da Linha Trifsica na Forma Matricial.

7

Os elementos do circuito da Figura 2.2 so matrizes 3x3 dadas por:

aa ab ac aa ab ac aa ab ackm km km km km km km km km

abc ba bb bc ba bb bc ba bb bckm km km km km km km km km km

ca cb cc ca cb cc ca cb cckm km km km km km km km km

Z Z Z r r r x x xZ Z Z Z r r r j x x x

Z Z Z r r r x x x

= = + (2.1)

km km km

km km km km

km km km

aa ab acsh sh sh

abc ba bb bcsh sh sh sh

ca cb ccsh sh sh

b b bY j b b b

b b b

= (2.2)

Contudo, muito comum em sistemas de distribuio a presena de derivaes

monofsicas e bifsicas. Para representar estes elementos, considera-se que a fase no

existente possui impedncia srie infinita. Matematicamente, adota-se o artifcio de

substituir a impedncia prpria da fase inexistente por um nmero de valor elevado (por

exemplo 10+15). Desta forma, para um ramo bifsico constitudo pelas fases a e b, tem-se:

15

00

0 0 10

aa abkm km

abc ba bbkm km km

Z ZZ Z Z

= (2.3)

Procedimento semelhante adotado para a matriz admitncia do circuito equivalente. Todavia neste caso substitui-se a susceptncia por zero.

Para o desenvolvimento da anlise trifsica de sistema de distribuio, deve-se

levar em considerao os diferentes tipos de conexes das cargas, alm da possibilidade

de haver cargas monofsicas ou bifsicas. Neste trabalho, as cargas so matematicamente

representadas nas expresses de soluo como conectadas em estrela-aterrada e do tipo

potncia constante. A Figura 2.3 mostra a representao esquemtica de cargas

monofsicas, bifsicas e trifsicas conectadas em estrela-aterrada.

8

Figura 2.3 Esquema de Ligao Para Carga Ligada em Estrela-Aterrada:

(a) Monofsica; (b) Bifsica; (c) Trifsica.

Caso o sistema em estudo tenha cargas ligadas em tringulo, dever ser realizada

a transformao para estrela de modo que os modelos apresentados possam ser utilizados.

2.3 Fluxo de Potncia Trifsico Polar

2.3.1 Equaes Polares Bsicas

A formulao do fluxo de potncia trifsico polar segue praticamente os mesmos

passos da metodologia monofsica convencional. Dessa forma, a potncia complexa

injetada em uma barra genrica k do sistema dada por:

*kkk IVS = (2.4)

ou

k*k

*k IVS = (2.5)

A corrente trifsica injetada na barra k, na fase s pode ser escrita da seguinte

forma:

+=p k pt

kmm t

tm

stkm

tk

stkk

sk EYEYI

(2.6)

9

onde:

, ps t { }, ,p a b c =

A expresso (2.6) pode ser colocada na seguinte forma matricial:

=

abcn

abc

abc

abcnn

abcn

abcn

abcn

abcabc

abcn

abcabc

abcn

abc

abc

V

VV

YYY

YYYYYY

I

II

#

"

#%##

""

#

2

1

21

22221

11211

2

1

||

||

||||

(2.7)

Os termos da matriz admitncia nodal na expresso (2.7) podem ser reescritos em

funo de sua condutncia e de sua susceptncia. Dessa forma, tem-se:

abc abc abc

km km kmY G jB= + (2.8)

Na forma matricial:

aa ab ac aa ab ackm km km km km km

abc ba bb bc ba bb bckm km km km km km km

ca cb cc ca cb cckm km km km km km

G G G B B BY G G G j B B B

G G G B B B

= +

(2.9)

A equao (2.6) pode ser reescrita como:

s s sk rk mkI I jI= + (2.10)

onde, utilizando-se as componentes real e imaginria tanto de tenso quanto da

admitncia obtm-se:

10

+=pkp t

tmm

stkm

trm

stkm

kmmt

tmk

stkk

trk

stkk

srk VBVGVBVGI

)()(

(2.11)

+++=pkp t

tmm

stkm

trm

stkm

kmmt

tmk

stkk

trk

stkk

smk VGVBVGVBI

)()(

(2.12)

Matricialmente:

+

=

cmk

bmk

amk

crk

brk

ark

abck

III

jIII

I (2.13)

As tenses podem ser escritas como segue:

+

=

cmk

bmk

amk

crk

brk

ark

abck

VVV

jVVV

V (2.14)

Considerando-se que kjk eVV =k , tem-se para a fase a:

ak

jak

ak IeVS

ak = * (2.15)

Expressando-se a corrente em termos da matriz admitncia nodal trifsica e do

vetor de tenses nas barras, conforme descrito pela equao (2.7), a potncia complexa

dada pela equao (2.15) pode ser reescrita da seguinte forma:

])()()([

++=kkk

ak

m

cm

ackm

m

bm

abkm

m

am

aakm

jak

*ak VYVYVYeVS (2.16)

11

Expandindo-se cada admitncia em termos de sua condutncia e susceptncia,

obtm-se:

)])(

)()([

km

kmkm

cm

ackm

ackm

bm

abkm

abkm

am

aakm

aakm

akja

k*a

k

VjBG

VjBGVjBGeVS

++

++++= (2.17)

Desenvolvendo-se a expresso (2.17) e separando-se a potncia complexa em

suas partes real e imaginria:

)]([

)]([

)]([

km

km

km

ackm

ackm

ackm

ackm

cm

ak

abkm

abkm

abkm

abkm

bm

ak

aakm

aakm

aakm

aakm

am

ak

ak

senBcosGVV

senBcosGVV

senBcosGVVP

++

+++

++=

(2.18)

)]([

)]([

)]([

km

km

km

ackm

ackm

ackm

ackm

cm

ak

abkm

abkm

abkm

abkm

bm

ak

aakm

aakm

aakm

aakm

am

ak

ak

cosBsenGVV

cosBsenGVV

cosBsenGVVQ

+

++

+=

(2.19)

As expresses (2.18) e (2.19) representam as equaes bsicas de potncia ativa e

reativa lquida injetada nas barras. Estes valores so previamente conhecidos no problema

de fluxo de potncia, sendo expressos em funo das potncias de gerao e de carga.

Assim, para uma barra genrica k, fase a, tem-se:

a

Lka

Gka

k PPP = (2.20)

aLk

aGk

ak QQQ = (2.21)

12

2.3.2 Metodologia de Soluo

A soluo das equaes no lineares (2.18) e (2.19) usualmente realizada

atravs do processo iterativo de Newton-Raphson, que por sua vez, requer a montagem

da matriz Jacobiana a cada iterao. Esta matriz composta pelas derivadas parciais de

(2.18) e (2.19) em relao s variveis de estado do problema, consideradas como sendo

os mdulos e os ngulos das tenses nas barras. Assim sendo, considerando a fase a, tem-

se as seguintes derivadas parciais da potncia ativa em relao aos ngulos das tenses:

aakk

ak

aka

k

ak BVQ

P 2)(= (2.22)

)cos( abkkabkk

abkk

abkk

bk

akb

k

ak BsenGVV

P =

(2.23)

)cos( ackkackk

ackk

ackk

ck

akc

k

ak BsenGVV

P =

(2.24)

)cos( aakmaakm

aakm

aakm

am

aka

m

ak BsenGVV

P =

(2.25)

)cos( abkmabkm

abkm

abkm

bm

akb

m

ak BsenGVV

P =

(2.26)

)cos( ackmackm

ackm

ackm

cm

akc

m

ak BsenGVV

P =

(2.27)

Da mesma forma, em relao aos mdulos das tenses tem-se:

13

aakk

aka

k

ak

ak

ak GV

VP

VP +=

(2.28)

)cos( abkkabkk

abkk

abkk

akb

k

ak senBGV

VP +=

(2.29)

)cos( ackkackk

ackk

ackk

akc

k

ak senBGV

VP +=

(2.30)

)cos( aakmaakm

aakm

aakm

aka

m

ak senBGV

VP +=

(2.31)

)cos( abkmabkm

abkm

abkm

akb

m

ak senBGV

VP +=

(2.32)

)cos( ackmackm

ackm

ackm

akc

m

ak senBGV

VP +=

(2.33)

Por outro lado, as derivadas parciais de potncia reativa em relao aos ngulos

das tenses so dadas por:

aakk

ak

aka

k

ak GVP

Q 2)(= (2.34)

)cos( abkkabkk

abkk

abkk

bk

akb

k

ak senBGVV

Q =

(2.35)

)cos( ackkackk

ackk

ackk

ck

akc

k

ak senBGVV

Q =

(2.36)

14

)cos( aakmaakm

aakm

aakm

am

aka

m

ak senBGVV

Q =

(2.37)

)cos( abkmabkm

abkm

abkm

bm

akb

m

ak senBGVV

Q =

(2.38)

)cos( ackmackm

ackm

ackm

cm

akc

m

ak senBGVV

Q =

(2.39)

Da mesma forma, as derivadas parciais de potncia reativa em relao aos

mdulos das tenses so dadas por:

aakk

aka

k

ak

ak

ak BV

VQ

VQ =

(2.40)

)cos( abkkabkk

abkk

abkk

akb

k

ak BsenGV

VQ =

(2.41)

)cos( ackkackk

ackk

ackk

akc

k

ak BsenGV

VQ =

(2.42)

)cos( aakmaakm

aakm

aakm

aka

m

ak BsenGV

VQ =

(2.43)

)cos( abkmabkm

abkm

abkm

akb

m

ak BsenGV

VQ =

(2.44)

)cos( ackmackm

ackm

ackm

akc

m

ak BsenGV

VQ =

(2.45)

15

Por analogia, facilmente so definidas as expresses referentes s fases b e c.

2.3.3 Algoritmo de Soluo Polar

A partir das expresses apresentadas nos itens 2.3.1 e 2.3.2, pode-se caminhar

para a elaborao do algoritmo para a soluo do fluxo de potncia polar trifsico,

descrito pelas seguintes etapas:

Passo 1: Determina-se a matriz admitncia nodal trifsica abcY ; Passo 2: Determinam-se os resduos de potncia ativa e reativa de todas as barras

do sistema, atravs de:

abcabcabc VYI = (2.46)

*abcabcabc

calc )(IVS = (2.47)

abccalc

abcesp

abc PPP = (2.48)

abccalc

abcesp

abc QQQ = (2.49)

Passo 3: Comparam-se os resduos com uma tolerncia pr-fixada. Se o resduo mximo de potncia for menor que esta tolerncia, o processo finalizado. Caso o

resduo mximo de potncia seja maior que esta tolerncia, ento calculam-se as

correes dos mdulos e dos ngulos das tenses atravs da soluo do sistema de

equaes (2.50). As equaes de potncia reativa nas trs fases de uma barra PV

so eliminadas deste sistema de equaes.

16

=

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

abc

V

VQ

QVP

P

QP

(2.50)

Passo 4: A atualizao dos mdulos e dos ngulos das tenses so feitas atravs de (2.51) e (2.52):

(h)s(h)s1)s(h VVV +=+ (2.51)

(h)s(h)s1)s(h +=+ (2.52)

Passo 5: Com os novos valores de tenso, os resduos de potncia so recalculados em todas as barras. Se estes ainda forem maiores que a tolerncia,

uma nova matriz Jacobiana calculada a partir dos valores atualizados. Este

passo se repete at que os resduos encontrados sejam menores que a tolerncia

estipulada.

Seguindo a linha do algoritmo anteriormente apresentado, ainda possvel

calcular a matriz Jacobiana, nos moldes da equao (2.50), somente na primeira iterao

e mant-la constante durante todo o processo iterativo. Tal procedimento visa reduo

do tempo computacional, uma vez que necessria a fatorao desta matriz uma nica

vez. Contudo, tal estratgia pode acarretar em um nmero maior de iteraes na busca da

soluo. Diferentemente da matriz Jacobiana, os resduos so calculados a cada iterao

atravs das equaes (2.48) e (2.49).

17

2.4 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico

2.4.1 Equaes Retangulares Bsicas

Para o desenvolvimento das expresses para o clculo do fluxo de potncia

retangular trifsico, buscam-se as equaes de potncia ativa e reativa expressas em

termos das coordenadas retangulares das tenses. Nestes termos, a equao (2.15) pode

ser escrita em funo das coordenadas retangulares da tenso e da corrente. Assim sendo,

para uma barra genrica k, fase a, tem-se:

))(( amkark

amk

ark

ak

ak jIIjVVjQP +=+ (2.53)

Desenvolvendo-se a equao (2.53) obtm-se:

)()( amka

rkark

amk

amk

amk

ark

ark

ak

ak IVIVjIVIVjQP ++=+ (2.54)

Igualando-se a componente real de ambos os membros de (2.54):

amk

amk

ark

ark

ak IVIVP += (2.55)

Por outro lado, igualando-se a componente imaginria obtm-se:

amk

ark

ark

amk

ak IVIVQ = (2.56)

Expressando-se a corrente em termos da matriz admitncia nodal trifsica e do

vetor de tenses na equao (2.55) obtm-se:

18

)]()([

)]()([

)]()([

)()(

crm

ackm

cmm

ackm

amk

cmm

ackm

crm

ackm

ark

kmm

ackk

crk

amk

ackk

cmk

amk

ackk

cmk

ark

ackk

crk

ark

brm

abkm

bmm

abkm

amk

bmm

abkm

brm

abkm

ark

kmm

abkk

brk

amk

abkk

bmk

ark

abkk

bmk

amk

abkk

brk

ark

arm

aakm

amm

aakm

amk

amm

aakm

arm

aakm

ark

kmm

aakk

2amk

aakk

2ark

ak

aLk

aGk

VBVGVVBVGVBVVGVVBVVGVV

VBVGVVBVGVBVVBVVGVVGVV

VBVGVVBVGVGVGVPPP

k

k

k

+++++++

++++++++

++++++==

(2.57)

De forma anloga para a potncia reativa dada por (2.56), obtm-se:

)]()([

)]()([

)]()([

)()(

crm

ackm

cmm

ackm

ark

cmm

ackm

crm

ackm

amk

kmm

ackk

crk

ark

ackk

cmk

ark

ackk

cmk

amk

ackk

crk

amk

brm

abkm

bmm

abkm

ark

bmm

abkm

brm

abkm

amk

kmm

abkk

brk

ark

abkk

bmk

ark

abkk

bmk

amk

abkk

brk

amk

arm

aakm

amm

aakm

ark

amm

aakm

arm

aakm

amk

kmm

aakk

2ark

aakk

2amk

ak

aLk

aGk



VBVGVVBVGVBVBVQQQ

k

k

k

++++

+++++

++++==

(2.58)

As expresses (2.57) e (2.58) representam as equaes bsicas de potncia ativa e

reativa lquida injetada nas barras, expressas em coordenadas retangulares das tenses.

2.4.2 Metodologia de Soluo

A soluo das equaes no lineares (2.57) e (2.58) atravs do processo iterativo

de Newton-Raphson requer a montagem da matriz Jacobiana a cada iterao. Tal matriz

composta pelas derivadas parciais de (2.57) e (2.58) em relao s componentes real e

imaginria das tenses nas barras. Assim, as derivadas parciais de (2.57) em relao s

componentes reais das tenses so dadas por:

19

ark

aakk

amk

aakk

arka

rk

ak IBVGV

VP ++=

(2.59)

abkk

amk

abkk

arkb

rk

ak BVGV

VP +=

(2.60)

ackk

amk

ackk

arkc

rk

ak BVGV

VP +=

(2.61)

aakm

amk

aakm

arka

rm

ak BVGV

VP +=

(2.62)

abkm

amk

abkm

arkb

rm

ak BVGV

VP +=

(2.63)

ackm

amk

ackm

arkc

rm

ak BVGV

VP +=

(2.64)

Da mesma forma, em relao s componentes imaginrias das tenses tem-se:

amk

aakk

amk

aakk

arka

mk

ak IGVBV

VP ++=

(2.65)

abkk

amk

abkk

arkb

mk

ak GVBV

VP +=

(2.66)

ackk

amk

ackk

arkc

mk

ak GVBV

VP +=

(2.67)

20

aakm

amk

aakm

arka

mm

ak GVBV

VP +=

(2.68)

abkm

amk

abkm

arkb

mm

ak GVBV

VP +=

(2.69)

ackm

amk

ackm

arkc

mm

ak GVBV

VP +=

(2.70)

Por outro lado, as derivadas parciais de (2.58) em relao s componentes reais

das tenses so dadas por:

amk

aakk

amk

aakk

arka

rk

ak IGVBV

VQ +=

(2.71)

abkk

ark

abkk

amkb

rk

ak BVGV

VQ =

(2.72)

ackk

ark

ackk

amkc

rk

ak BVGV

VQ =

(2.73)

aakm

ark

aakm

amka

rm

ak BVGV

VQ =

(2.74)

abkm

ark

abkm

amkb

rm

ak BVGV

VQ =

(2.75)

ackm

ark

ackm

amkc

rm

ak BVGV

VQ =

(2.76)

21

Da mesma forma, as derivadas parciais de potncia reativa em relao s

componentes imaginrias das tenses so dadas por:

ark

aakk

amk

aakk

arka

mk

ak IBVGV

VQ +=

(2.77)

abkk

ark

abkk

amkb

mk

ak GVBV

VQ =

(2.78)

ackk

ark

ackk

amkc

mk

ak GVBV

VQ =

(2.79)

aakm

ark

aakm

amka

mm

ak GVBV

VQ =

(2.80)

abkm

ark

abkm

amkb

mm

ak GVBV

VQ =

(2.81)

ackm

ark

ackm

amkc

mm

ak GVBV

VQ =

(2.82)

Por analogia, facilmente so definidas as expresses para as fases b e c.

2.4.3 Tratamento das Barras PV

Para as barras PV possvel seguir dois caminhos diferentes, mas que levam ao

mesmo ponto final de soluo, a saber: correo da gerao de potncia reativa da barra

PV e formulao convencional. A equao adotada para a imposio da restrio da

tenso numa barra k do tipo PV, fase s, dada da seguinte forma:

22

222 )()()( smks

rks

k VVV += (2.83)

Linearizando a equao (2.83) tem-se:

)()()( 2 smks

mks

rks

rks

k V2VV2VV += (2.84)

onde:

222 )()()( skcalc

skesp

sk VVV = (2.85)

2.4.3.1 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico com Correo de Gerao

de Potncia Reativa

Neste processo ocorre a incluso de linhas e colunas na matriz Jacobiana original

e de linhas nos vetores de tenso e de resduos de potncia. O nmero de linhas e/ou

colunas adicionais o triplo do nmero de barras PV existentes no sistema em estudo. O

objetivo dessa incluso tratar a potncia reativa gerada na barra PV como uma varivel

de estado. As linhas adicionais so dadas pela equao (2.84), enquanto que as colunas

adicionais so obtidas tomando-se as derivadas da equao (2.58) com relao s

variveis aGkQ , bGkQ e

cGkQ . Facilmente, observa-se que os valores destas derivadas so

iguais a -1.

Assim, num sistema com n barras, sendo a barra k uma PV, o sistema a ser

resolvido possui a estrutura mostrada na equao (2.89). Na realidade, os termos -1, abc

rkV2 e abc

mkV2 so matrizes 3x3 cujas estruturas so as seguintes:

cmk

bmk

amk

crk

brk

ark

VV

V

VV

V

200020002

;200

020002

;100

010001

23

abcGkQ e (abcV )2 so vetores 3x1 cujas estruturas so as seguintes:

2

2

2

)()()(

;c

k

bk

ak

cGk

bGk

aGk

VVV

QQQ

sh

rksh

rksh

rk VVV)()()1( +=+ (2.86)

sh

mksh

mksh

mk VVV)()()1( +=+ (2.87)

sh

Gksh

Gksh

Gk QQQ)()()1( +=+ (2.88)

A partir das correes calculadas por (2.89) os valores das componentes real e

imaginria da tenso, bem como os valores de potncia reativa gerada na barra k so

atualizados de acordo com as equaes (2.86) a (2.88). Optou-se neste trabalho em

inicializar a varivel abcGkQ como sendo zero. Para calcular os resduos de potncia reativa

so utilizados os novos valores de potncia reativa gerada atualizados a cada iterao.

24

=

abc

Gk

abcmn

abcrn

abcmk

abcrk

abcm1

abcr1

abcmk

abcrk

abcmn

abcn

abcrn

abcn

abcmk

abcn

abcrk

abcn

abcm1

abcn

abcr1

abcn

abcmn

abcn

abcrn

abcn

abcmk

abcn

abcrk

abcn

abcm1

abcn

abcr1

abcn

abcmn

abck

abcrn

abck

abcmk

abck

abcrk

abck

abcm1

abck

abcr1

abck

abcmn

abck

abcrn

abck

abcmk

abck

abcrk

abck

abcm1

abck

abcr1

abck

abcmn

abc1

abcrn

abc1

abcmk

abc1

abcrk

abc1

abcm1

abc1

abcr1

abc1

abcmn

abc1

abcrn

abc1

abcmk

abc1

abcrk

abc1

abcm1

abc1

abcr1

abc1

2abck

abc

n

abcn

abc

k

abck

abc

1

abc1

Q

VV

VV

VV

0|00||2V2V||00

0||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

0||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

|||||

1||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

0||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

|||||

0||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

0||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

)V(

QP

QP

QP

#

#

""

""

""

#########

""

""

#########

""

""

#

#

(2.89)

25

2.4.3.2 Fluxo de Potncia Retangular Trifsico Convencional

Nesta outra metodologia tambm ocorre a incluso de linhas e colunas na matriz

Jacobiana original e de linhas nos vetores de tenso e de resduos de potncia. O nmero

de linhas e/ou colunas adicionais continua sendo o triplo do nmero de barras PV

existentes no sistema em estudo. Aqui, o objetivo da incluso reaver o controle sobre a

componente imaginria da tenso na barra PV que foi perdido ao eliminar-se a equao

de potncia reativa dessa barra. Dessa forma, as colunas adicionais da matriz aumentada

so cpias daquelas eliminadas durante o processo de soluo. No vetor de resduos de

potncia so inseridos nas posies adicionais os resduos das componentes imaginrias

da tenso nas barras PV.

Para exemplificar, num sistema com n barras, sendo a barra k uma PV, o sistema a

ser resolvido possui a estrutura mostrada na equao (2.90).

Uma vez que no se conhece a priori o valor da potncia reativa gerada para as

barras PV, ento tem-se que eliminar da matriz Jacobiana as linhas referentes a esta

varivel. Para isto, inserem-se, nesta matriz, termos diagonais elevados correspondentes

s equaes de potncia reativa. Portanto a varivel abcmkV correspondente equao eliminada fica sem efeito, devendo ento ser repetida numa linha adicional e estando

relacionada atravs de (2.84).

Vale ressaltar que os elementos abcmk

abck

VP

, abcmk

abck

VQ

, abcrkV2 e abc

mkV2 (estes dois ltimos

mostrados anteriormente) so matrizes 3x3 com a seguinte estrutura:

cmk

ck

bmk

ck

amk

ck

cmk

bk

bmk

bk

amk

bk

cmk

ak

bmk

ak

amk

ak

cmk

ck

bmk

ck

amk

ck

cmk

bk

bmk

bk

amk

bk

cmk

ak

bmk

ak

amk

ak

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

;

26

=

abcmk

abcmn

abcrn

abcmk

abcrk

abcm1

abcr1

abcmk

abcmk

abcrk

abcmk

abcn

abcmn

abcn

abcrn

abcn

abcmk

abcn

abcrk

abcn

abcm1

abcn

abcr1

abcn

abcmk

abcn

abcmn

abcn

abcrn

abcn

abcmk

abcn

abcrk

abcn

abcm1

abcn

abcr1

abcn

abcmk

abck

abcmn

abck

abcrn

abck10

abcrk

abck

abcm1

abck

abcr1

abck

abcmk

abck

abcmn

abck

abcrn

abck

abcmk

abck

abcrk

abck

abcm1

abck

abcr1

abck

abcmk

abc1

abcmn

abc1

abcrn

abc1

abcmk

abc1

abcrk

abc1

abcm1

abc1

abcr1

abc1

abcmk

abc1

abcmn

abc1

abcrn

abc1

abcmk

abc1

abcrk

abc1

abcm1

abc1

abcr1

abc1

2abck

abc

n

abcn

abc

k

abck

abc

1

abc1

V

VV

VV

VV

2V|00||2V2V||00

VQ

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

VP

||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

|||||

VQ

||

VQ

VQ

||

||

10VQ

||

||

VQ

VQ

VP

||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

|||||

VQ

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

||

||

VQ

VQ

VP

||

VP

VP

||

||

VP

VP

||

||

VP

VP

V

QP

QP

QP

#

#

""

""

""

#########

""

""

#########

""

""

#

#

)(

(2.90)

27

Aps o clculo das correes atravs da soluo do sistema (2.90), as

componentes real e imaginria das tenses so atualizadas por (2.86) e (2.87).

2.4.4 Algoritmo de Soluo Retangular

A partir das expresses apresentadas nos itens 2.4.2 e 2.4.3 e utilizando qualquer

dos mtodos apresentados em 2.4.3, pode-se caminhar para a elaborao do algoritmo

para a soluo do fluxo de potncia retangular trifsico, descrito pelas seguintes etapas:

Passo 1: Determina-se a matriz admitncia nodal trifsica abcY ; Passo 2: Determinam-se os resduos de potncia ativa e reativa de todas as barras

atravs das expresses (2.46) a (2.49);

Passo 3: Comparam-se os resduos com uma tolerncia pr-fixada. Se o resduo mximo de potncia for menor que esta tolerncia, o processo finalizado. Caso o

resduo mximo de potncia seja maior que esta tolerncia, ento calculam-se as

correes das componentes real e imaginria das tenses atravs das expresses

(2.89) ou (2.90) dependendo da metodologia escolhida.

Passo 4: Com os novos valores de tenso, os resduos de potncia so recalculados em todas as barras. Se estes ainda forem maiores que a tolerncia,

uma nova matriz Jacobiana calculada a partir dos valores atualizados. Este passo

se repete at que os resduos encontrados sejam menores que a tolerncia

estipulada.

2.5 Aplicao Numrica

Para uma melhor compreenso do leitor, a seguir ser analisado pelos trs

mtodos descritos neste captulo, um sistema eltrico de potncia constitudo de trs

barras, cujos dados esto apresentados nas Tabelas 2.1, 2.2 e 2.3 e cuja topologia

mostrada na Figura (2.4). Todos os valores apresentados esto em p.u.. A tolerncia

adotada para a convergncia do processo iterativo 10-5p.u..

28

Tabela 2.1 Dados de Tenso e ngulo de Barras Sistema 3 Barras

Nmero

da

Barra

Tipo

Mdulo

Tenso

Fase a

Mdulo

Tenso

Fase b

Mdulo

Tenso

Fase c

ngulo

Fase a

ngulo

Fase b

ngulo

Fase c

1 V 1 1 1 0 -120 120 2 PQ 1 1 1 0 -120 120 3 PV 1 1 1 0 -120 120

Tabela 2.2 Dados de Potncias Sistema 3 Barras

Nmero da Barra abcGP abcGQ abcLP

abcLQ

1 0 0 0 0

2 0 0 0,05 0,10

3 0 0 0,10 0,20

Tabela 2.3 Dados de Linhas Sistema 3 Barras

Barra

De

Barra

Para rabc xabc

bshabc

por

Barra

1 2 0,02 0,5 0,1

2 3 0,02 0,5 0,1

Figura 2.4 Diagrama Unifilar do Sistema 3 Barras

29

2.5.1 Soluo pelo Mtodo Polar Trifsico

Em funo da topologia apresentada e dos dados de linhas correspondentes,

monta-se a matriz admitncia de barras trifsica, cuja estrutura a seguinte:

=

333231

232221

131211

YYYYYYYYY

Y

Cada elemento dessa matriz na realidade um bloco 3x3, apresentando as

seguintes configuraes:

=

cc11

cb11

ca11

bc11

bb11

ba11

ac11

ab11

aa11

11

YYYYYYYYY

Y

onde:

=

896811098727000896811098727000896811098727

2

2

2

, -j,, -j,

, -j,

11Y

=

cc12

cb12

ca12

bc12

bb12

ba12

ac12

ab12

aa12

12

YYYYYYYYY

Y

onde:

++

=

996811098727000996811098727000996811098727

2

2

2

,j ,-,j ,-

,+j,- -

12Y

30

=

cc13

cb13

ca13

bc13

bb13

ba13

ac13

ab13

aa13

13

YYYYYYYYY

Y

onde:

3x3]0[=13Y

=

cc21

cb21

ca21

bc21

bb21

ba21

ac21

ab21

aa21

21

YYYYYYYYY

Y

onde:

1221 YY =

=

cc22

cb22

ca22

bc22

bb22

ba22

ac22

ab22

aa22

22

YYYYYYYYY

Y

onde:

=

, -j, , -j,

, -j,

-

-

-

793631059741000793631059741000793631059741

1

1

1

22Y

=

cc23

cb23

ca23

bc23

bb23

ba23

ac23

ab23

aa23

23

YYYYYYYYY

Y

onde:

1223 YY =

31

=

cc31

cb31

ca31

bc31

bb31

ba31

ac31

ab31

aa31

31

YYYYYYYYY

Y

onde:

3x3]0[=31Y

=

cc32

cb32

ca32

bc32

bb32

ba32

ac32

ab32

aa32

32

YYYYYYYYY

Y

onde:

2332 YY =

=

cc33

cb33

ca33

bc33

bb33

ba33

ac33

ab33

aa33

33

YYYYYYYYY

Y

onde:

11YY33 =

As matrizes de condutncia e susceptncia so:

=

333231

232221

131211

GGGGGGGGG

G

=

333231

232221

131211

BBBBBBBBB

B

Cada elemento das matrizes G e B tambm so blocos 3x3, semelhantes aos

descritos para a matriz admitncia nodal. Neste exemplo os blocos so:

32

=

2

2

2

109872700010987270001098727

-

-

-

,,

,

11G

=

2

2

2

109872700010987270001098727

-

-

-

,-,-

,-

12G

[ ] 3x30=13G

1221 GG =

=

1

1

1

105974100010597410001059741

-

-

-

,,

,

22G

2123 GG =

[ ] 3x30=31G

2332 GG =

1133 GG =

=

8968,1-0008968,1-0008968,1-

11B

33

=

9968,10009968,10009968,1

12B

[ ] 3X30=13B

1221 BB =

=

7936,3-0007936,3-0007936,3-

22B

1223 BB = [ ]3x331 0B =

2332 BB = 1133 BB =

O clculo das correntes feito atravs da expresso (2.46):

Para o clculo das potncias e de seus resduos so utilizadas as expresses (2.47)

a (2.49), obtendo-se os seguintes valores:

=

+

+

+

=

05010660380501066038

10101073211

10107321120

05010660380501066038

10

106603850106603850

1106603850106603850

1106603850106603850

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

,j,,j,

,j,j,

,j,,j

,j,,j,

, j

,j,,j,

,j,,j,

,j,,j,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

abcYI

34

=

1,01,01,02,02,02,0

3

3

3

2

2

2

jjjjjj

SSSSSS

c

b

a

c

b

a

=

000000

c3

b3

a3

c2

b2

a2

PPPPPP

=

20,020,020,0

c2

b2

a2

QQQ

=

10,010,010,005,005,005,0

c3

b3

a3

c2

b2

a2

PPPPPP

=

10,010,010,0

c2

b2

a2

QQQ

Como os valores obtidos para os resduos so maiores que a tolerncia de 10-5,

deve-se partir para a primeira iterao do processo, que requer a montagem da matriz

Jacobiana e a soluo de um conjunto de equaes lineares. Eliminando as equaes

referentes potncia ativa para a barra 1 (V) e aquelas referentes potncia reativa para

as barras 1 e 3 (PV), tem-se o seguinte sistema de equaes:

35

=

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c2

b2

a2

c3

c3

b3

c3

a3

c3

c2

c3

b2

c3

a2

c3

c2

c3

b2

c3

a2

c3

c3

b3

b3

b3

a3

b3

c2

b3

b2

b3

a2

b3

c2

b3

b2

b3

a2

b3

c3

a3

b3

a3

a3

a3

c2

a3

b2

a3

a2

a3

c2

a3

b2

a3

a2

a3

c3

c2

b3

c2

a3

c2

c2

c2

b2

c2

a2

c2

c2

c2

b2

c2

a2

c2

c3

b2

b3

b2

a3

b2

c2

b2

b2

b2

a2

b2

c2

b2

b2

b2

a2

b2

c3

a2

b3

a2

a3

a2

c2

a2

b2

a2

a2

a2

c2

a2

b2

a2

a2

a2

c3

c2

b3

c2

a3

c2

c2

c2

b2

c2

a2

c2

c2

c2

b2

c2

a2

c2

c3

b2

b3

b2

a3

b2

c2

b2

b2

b2

a2

b2

c2

b2

b2

b2

a2

b2

c3

a2

b3

a2

a3

a2

c2

a2

b2

a2

a2

a2

c2

a2

b2

a2

a2

a2

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c2

b2

a2

VVV

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

Q

Q

Q

VQ

VQ

VQ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

VQ

VQ

VQ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

VQ

VQ

VQ

Q

Q

Q

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

P

P

P

VP

VP

VP

P

P

P

PPPQQQPPP

Substituindo-se os valores numricos correspondentes obtm-se:

36

=

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c2

b2

a2

2

2

2

21

21

21

1

1

1

VVV

996810010987270099681000996810010987270099681000996810010987270099681

109872700593630010597410001098727005936300105974100010987270059363001059741996810010597410099363000996810010597410099363000996810010597410099363

10,010,010,0

10,010,010,005,005,005,0

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,

-

-

-

-

-

-

Portanto, resolvendo o sistema tem-se:

=

1

1

1

2

2

2

2-

2-

-2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

102520,1102520,1102520,1

107222,2107222,2107222,2107.6209107.6209

017.6209

c

b

a

c

b

a

c

b

a

VVV

37

Os valores de tenso corrigidos so:

++

+

=

11

11

11

11

11

2

1

1

1021689108794310968171004236

102487110921791026129104439410479181079855

108208702421106603850106603850

1

,j.,,j.,

,j.,,j.,,j.,

,j,,j,,j,

VVVVVVVVV

-

-

-

-

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c1

b1

a1

Com os novos valores de tenso e ngulo, os resduos de potncia so calculados

pelas expresses (2.46) a (2.49):

+++

==

12

31

12

22

32

22

21

12

11

1051861106524910660171079781105952110325681020508106426510841071092709109891810284541062415101105210108921068175

10546511054231

,j,,j,,j,

,,,j,,j,,j,,j,

,+j,

-

--

abcabcabc VYI

=

=

1025,01025,01025,00509,00509,00509,0

1479,01025,01479,01025,01479,01025,00887,00509,00887,00509,00887,00509,0

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

PPPPPP

jjjjjj

SSSSSS

=

0887,00887,00887,0

c2

b2

a2

QQQ

38

=

3

3

3

4

4

4

3

3

3

2

2

2

10.5244,210.5244,210.5244,210.1346,910.1346,910.1346,9

c

b

a

c

b

a

PPPPPP

=

0113,00113,00113,0

c2

b2

a2

QQQ

Como o maior dos resduos de potncia ainda maior que a tolerncia de 10-5, o

processo iterativo continua. Aps 3 iteraes, obtm-se os resultados mostrados nas

Tabelas (2.4) e (2.5). A trajetria de convergncia do processo iterativo, em termos dos

resduos mximos de potncia, est mostrada na Tabela (2.6).

Tabela 2.4 Resultados de Tenso e ngulo de Barras Sistema 3 Barras

Nmero

da

Barra

Tipo

Mdulo

Tenso

Fase a

Mdulo

Tenso

Fase b

Mdulo

Tenso

Fase c

ngulo

Fase a

ngulo

Fase b

ngulo

Fase c

1 V 1 1 1 0 -120 120 2 PQ 1,0244 1,0244 1,0244 -4,28 -124,34 115,78 3 PV 1 1 1 -7,03 -127,09 113,03

Tabela 2.5 Resultados de Potncia Gerada Sistema 3 Barras

Nmero da Barra abcGP abcGQ

1 0,15074 -0,1491

2 0 0

3 0 0,0577

39

Tabela 2.6 Trajetria de Convergncia Sistema 3 Barras Polar Convencional

Iterao Mximo P Barra Mximo Q Barra 0 0,1000 3 0,1000 2

1 2,5244.10-3 3 1,1281.10-2 2

2 5,5198.10-6 3 3,5649.10-5 2

3 3,4722.10-11 3 3,4323.10-10 2

Utilizando-se a matriz Jacobiana constante desde a primeira iterao, chega-se a

esta mesma soluo, levando para tanto 5 iteraes e com a trajetria de convergncia

distinta, conforme mostrada na Tabela 2.7.

Tabela 2.7 Trajetria de Convergncia Sistema 3 Barras Polar Constante

Iterao Mximo P Barra Mximo Q Barra 0 0,1000 3 0,1000 2

1 2,5244.10-3 3 1,1281.10-2 2

2 3.5270.10-4 3 1,0383.10-3 2

3 3,4366.10-5 3 1,1222.10-4 2

4 3,6257.10-6 3 1,1532.10-5 2

5 3,7692.10-7 3 1,2038.10-6 2

2.5.2 Soluo pelo Mtodo Retangular Trifsico com Correo de Gerao

de Potncia Reativa

O processo de soluo atravs do mtodo retangular trifsico segue os mesmos

passos do polar trifsico descrito em 2.5.1. Os valores iniciais das potncias injetadas nas

barras e dos resduos de potncia so idnticos queles calculados na seo 2.5.1. Assim,

como os resduos de potncia so maiores que a tolerncia pr-definida de 10-5, deve-se

iniciar o processo iterativo de soluo das equaes do fluxo de potncia trifsico.

Considerando-se a gerao de potncia reativa na barra PV como varivel de estado, tem-

se ento o seguinte conjunto de equaes a ser resolvido a cada passo do processo

40

iterativo. Observa-se que so acrescentadas linhas e colunas adicionais devido presena

de uma barra PV e que as equaes referentes s potncias ativa e reativa da barra de

referncia so eliminadas.

41

=

cG3

bG3

aG3

cm3

bm3

am3

cr3

br3

ar3

cm2

bm2

am2

cr2

br2

ar2

cm3

cr3

bm3

br3

am3

ar3

cm3

c3

bm3

c3

am3

c3

cr3

c3

br3

c3

ar3

c3

cm2

c3

bm2

c3

am2

c3

cr2

c3

br2

c3

ar2

c3

cm3

b3

bm3

b3

am3

b3

cr3

b3

br3

b3

ar3

b3

cm2

b3

bm2

b3

am2

b3

cr2

b3

br2

b3

ar2

b3

cm3

a3

bm3

a3

am3

a3

cr3

a3

br3

a3

ar3

a3

cm2

a3

bm2

a3

am2

a3

cr2

a3

br2

a3

ar2

a3

cm3

c3

bm3

c3

am3

c3

cr3

c3

br3

c3

ar3

c3

cm2

c3

bm2

c3

am2

c3

cr2

c3

br2

c3

ar2

c3

cm3

b3

bm3

b3

am3

b3

cr3

b3

br3

b3

ar3

b3

cm2

b3

bm2

b3

am2

b3

cr2

b3

br2

b3

ar2

b3

cm3

a3

bm3

a3

am3

a3

cr3

a3

br3

a3

ar3

a3

cm2

a3

bm2

a3

am2

a3

cr2

a3

br2

a3

ar2

a3

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cr3

c2

br3

c2

ar3

c2

cm2

c2

bm2

c2

am2

c2

cr2

c2

br2

c2

ar2

c2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cr3

b2

br3

b2

ar3

b2

cm2

b2

bm2

b2

am2

b2

cr2

b2

br2

b2

ar2

b2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cr3

a2

br3

a2

ar3

a2

cm2

a2

bm2

a2

am2

a2

cr2

a2

br2

a2

ar2

a2

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cr3

c2

br3

c2

ar3

c2

cm2

c2

bm2

c2

am2

c2

cr2

c2

br2

c2

ar2

c2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cr3

b2

br3

b2

am3

b2

cm2

b2

bm2

b2

am2

b2

cr2

b2

br2

b2

ar2

b2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cr3

a2

br3

a2

ar3

a2

cm2

a2

bm2

a2

am2

a2

cr2

a2

br2

a2

ar2

a2

2c3

2b3

2a3

c3

b3

a3

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c2

b2

a2

QQQ

VVVVVVVVVVVV

000|2V002V00000000000|02V002V0000000000|002V002V000000

100||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

010||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

001||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

000||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

000||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

000||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

000||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

)V()V()V(

QQQPPPQQQPPP

42

onde a matriz Jacobiana dada por:

000|7321,100100000000000|07321,10010000000000|000002000000

|100|5960,1008292,0007692,1009292,000

010|05161,1009676,0006893,1000676,10001|000799,0007968,1000799,0009968,1000|9292,0007692,1009292,0007692,100000|00676,1006893,1000676,1006893,10000|009968,1000799,0009968,1000799,0000|7692,1009292,0001920,3006585,100000|06893,1000676.1000323,3009351,10000|000799,0009968,1001597,0005936,3000|9292,0007692,1008585,1005384,300000|00676,1006893,1001351,2003787,30000|009968,1000799,0009936,3001597,0

43

Portanto, resolvendo o sistema obtm-se:

=

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

109556410955641095564

10260061026006102520110084311008431

0101680610452911062097

102388510961071072222

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

cG3

bG3

aG3

cm3

bm3

am3

cr3

br3

ar3

cm2

bm2

am2

cr2

br2

ar2

,,,

,,,-,,-

,,,-

,,-,

QQQ

VVVVVVVVVVVV

As tenses e potncias reativas corrigidas so:

+

+

+

=

11

11

1

11

11

2

1

1

1028639109157310034381008436

102520111027709104761410515081079615

106209702721106603850106603850

1

,j,,j,

,j ,j,,j,

,j , ,j,,j,

VVVVVVVVV

-

-

-

-

-

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c1

b1

a1

=

2

2

2

109556,4109556,4109556,4

cG3

bG3

aG3

QQQ

44

Com os novos valores das componentes real e imaginria, os resduos de potncia

so calculados pelas expresses (2.46) a (2.49):

++++

+

==

12

41

12

22

22

22

21

12

1

1050981106549810376851074031

1050441107480810737971045086

107176110926791045569104758310968241013952

101013210394961060441150

,j,,j,,j,,j,

,j,,j,,j,,j,

,j,

abcabcabc VYI

=

=

1063,01063,01063,00429,00429,00429,0

1395,0j1063,01395,0j1063,01395,0j1063,00945,0j0429,00945,0j0429,00945,0j0429,0

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c3

b3

a3

c2

b2

a2

PPPPPP

SSSSSS

=

1395,01395,01395,00945,00945,00945,0

c3

b3

a3

c2

b2

a2

QQQQQQ

=

3

3

3

3

3

3

103156,6103156,6103156,6100896,7100896,7100896,7

vPPPPPP

c3

b3

a3

c2

b2

a2

=

2

2

2

3

3

3

100952110095211009521105193510519351051935

,,,,,,

QQQQQQ

-

-

-

c3

b3

a3

c2

b2

a2


processo iterativo continua. Aps 3 iteraes obtm-se os mesmos resultados mostrados

nas Tabelas (2.4) e (2.5) e uma trajetria de convergncia diferente conforme mostrada

na Tabela (2.8).

45

Tabela 2.8 Trajetria de Convergncia Retangular com Correo de Potncia Reativa

Iterao Mximo P Barra Mximo Q Barra Erro Mximo 0 0,1000 3 0,1000 2 0,1000

1 7,0896.10-3 2 1,0952.10-2 3 1,5675.10-2

2 3,6673.10-5 2 3,9127.10-5 3 6,4221.10-5

3 9,0226.10-10 2 1,1647.10-9 2 1,1647.10-9

2.5.3 Soluo pelo Mtodo Retangular Trifsico Convencional

Considerando-se agora a abordagem retangular convencional, tem-se o seguinte

conjunto de equaes a ser resolvido a cada passo do processo iterativo. Observa-se

novamente que so acrescentadas linhas e colunas adicionais devido presena de uma

barra PV e que as equaes referentes s potncias ativa e reativa da barra de referncia

so eliminadas.

46

=

cm3

bm3

am3

cm3

bm3

am3

cr3

br3

ar3

cm2

bm2

am2

cr2

br2

ar2

cm3

cm3

cr3

bm3

bm3

br3

am3

am3

ar3

cm3

c3

bm3

c3

am3

c310

bm3

c3

am3

c3

cr3

c3

br3

c3

ar3

c3

cm2

c3

bm2

c3

am2

c3

cr2

c3

br2

c3

ar2

c3

cm3

b3

bm3

b3

am3

b3

cm3

b310

am3

b3

cr3

b3

br3

b3

ar3

b3

cm2

b3

bm2

b3

am2

b3

cr2

b3

br2

b3

ar2

b3

cm3

a3

bm3

a3

am3

a3

cm3

a3

bm3

a310

cr3

a3

br3

a3

ar3

a3

cm2

a3

bm2

a3

am2

a3

cr2

a3

br2

a3

ar2

a3

cm3

c3

bm3

c3

am3

c3

cm3

c3

bm3

c3

am3

c3

cr3

c3

br3

c3

ar3

c3

cm2

c3

bm2

c3

am2

c3

cr2

c3

br2

c3

ar2

c3

cm3

b3

bm3

b3

am3

b3

cm3

b3

bm3

b3

am3

b3

cr3

b3

br3

b3

ar3

b3

cm2

b3

bm2

b3

am2

b3

cr2

b3

br2

b3

ar2

b3

cm3

a3

bm3

a3

am3

a3

cm3

a3

bm3

a3

am3

a3

cr3

a3

br3

a3

ar3

a3

cm2

a3

bm2

a3

am2

a3

cr2

a3

br2

a3

ar2

a3

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cr3

c2

br3

c2

ar3

c2

cm2

c2

bm2

c2

am2

c2

cr2

c2

br2

c2

ar2

c2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cr3

b2

br3

b2

ar3

b2

cm2

b2

bm2

b2

am2

b2

cr2

b2

br2

b2

ar2

b2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cr3

a2

br3

a2

ar3

a2

cm2

a2

bm2

a2

am2

a2

cr2

a2

br2

a2

ar2

a2

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cm3

c2

bm3

c2

am3

c2

cr3

c2

br3

c2

ar3

c2

cm2

c2

bm2

c2

am2

c2

cr2

c2

br2

c2

ar2

c2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cm3

b2

bm3

b2

am3

b2

cr3

b2

br3

b2

am3

b2

cm2

b2

bm2

b2

am2

b2

cr2

b2

br2

b2

ar2

b2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cm3

a2

bm3

a2

am3

a2

cr3

a2

br3

a2

ar3

a2

cm2

a2

bm2

a2

am2

a2

cr2

a2

br2

a2

ar2

a2

2c3

2b3

2a3

c3

b3

a3

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c2

b2

a2

VVV

VVVVVVVVVVVV

2V00|2V002V0000000002V0|02V002V0000000002V|002V002V000000

VQ

VQ

VQ

||

10VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

||

VQ

10VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

||

VQ

VQ

10VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VQ

VQ

VQ

||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

||

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VQ

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

||

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

VP

)V()V()V(

QQQPPPQQQPPP

47

onde a matriz Jacobiana dada por:

7321,100|7321,10010000000007321,10|07321,10010000000000|000002000000

|5960,100|10008292,0007692,1009292,00005161,10|010009676,0006893,1000676,10000799,0|0010007968,1000799,0009968.,19292,000|9292,0007692,1009292,0007692,10000676,10|00676,1006893,1000676,1006893,10009968,1|009968,1000799,0009968,1000799,07692,100|7692,1009292,0001920,3006585,10006893,10|06893,1000676.1000323,3009351,10000799,0|000799,0009968,1001597,0005936,3

9292,000|9292,0007692,1008585,1005384,30000676,10|00676,1006893,1001351,2003787,30009968,1|009968,1000799,0009936,3001597,0

10

10

10

48

Portanto, resolvendo o sistema tem-se:

=

2

2

1

12

12

12

1

1

2

2

2

2

2

2

102600610260061025201

100444,5100444,5100444,510084311008431

0101680610452911062097

102388,5109610,7107222,2

-

-

-

-

-

-

cm3

bm3

am3

cm3

bm3

am3

cr3

br3

ar3

cm2

bm2

am2

cr2

br2

ar2

,,,-

,,

,,

,

VVV

VVVVVVVVVVVV

Observa-se que a dcima, a dcima primeira e a dcima segunda posies do

vetor de correes correspondem s variveis sem efeito, obtidas devido incluso do

nmero elevado nas diagonais. Por outro lado, as ltimas trs posies deste vetor

referem-se realmente aos valores das correes da componente imaginria de tenso na

barra 3, relativos s trs fases.

Os valores corrigidos das tenses so:

+

+

+

=

11

11

1

11

11

2

1

1

1028639109157310034381008436

102520111027709104761410515081079615

106209702721106603850106603850

1

,j,,j,

,j ,j,,j,

,j , ,j,,j,

VVVVVVVVV

-

-

-

-

-

c3

b3

a3

c2

b2

a2

c1

b1

a1

49

Com os novos valores das componentes real e imaginria da tenso, os resduos

de potncia so calculados pelas expresses (2.46) a (2.49):

++++

+

==

12

41

12

22

22

22

21

12

1

105098,1106549,8103768,5107403,1

105044,1107480,8107379,7104508,6

107176,1109267,9104556,9104758,3109682,4101395,2

101013,2103949,6106044,115,0

jj

jj

jjjj

j

VYI abcabcabc

=

=

1063,01063,01063,00429,00429,00429,0

1395,01063,01395,01063,01395,01063,00945,00429,00945,00429,00945,00429,0

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

PPPPPP

jjjjjj

SSSSSS

=

0945,00945,00945,0

c2

b2

a2

QQQ

=

3

3

3

3

3

3

103156,6103156,6103156,6100896,7100896,7100896,7

c3

b3

a3

c2

b2

a2

PPPPPP

=

3

3

3

105193510519351051935

-

-

-

c2

b2

a2

,,,

QQQ


processo iterativo continua. Aps 3 iteraes, obtm-se os mesmos resultados mostrados

nas Tabelas (2.4) e (2.5) e com uma trajetria de convergncia diferente conforme

mostrada na Tabela (2.9).

50

Tabela 2.9 Trajetria de Convergncia Retangular Convencional

Iterao Mximo P Barra Mximo Q Barra Erro Mximo 0 0,1000 3 0,1000 2 0,1000

1 7,0896.10-3 2 5,5193.10-3 3 1,5675.10-2

2 3,6673.10-5 2 3,7275.10-5 3 6,4221.10-5

3 9,0226.10-10 2 1,1647.10-9 2 1,1647.10-9

Os resultados mostrados nas Tabelas (2.4) a (2.9) referentes a este sistema de

pequeno porte, evidenciam que os trs processos de soluo do fluxo de potncia

apresentados geram o mesmo resultado final de tenses, apresentando um desempenho

similar em termos do nmero de iteraes necessrio para a convergncia. Resultados

mais conclusivos sero obtidos no Captulo 4.

51

Captulo 3

Fluxo de Potncia Trifsico Via Injeo de

Corrente

3.1 Introduo

Os sistemas de distribuio so caracterizados por uma relao alta R/X e

operao com cargas desequilibradas. Na busca por melhores mtodos de soluo do

fluxo de potncia para esses casos, inmeras metodologias tm sido apresentadas,

destacando-se a formulao via equaes injeo de corrente.

O fluxo de potncia via injeo de corrente monofsico apresentado em [21]

prope que sejam utilizadas 2n equaes de correntes injetadas, escritas em coordenadas

retangulares, tanto para barras PQ quanto para PV. Uma nova varivel independente (Q)

introduzida para cada barra PV juntamente com uma equao adicional impondo a

restrio de variao igual a zero na tenso desta barra. Exceto pelas barras PV, a matriz

Jacobiana possui os elementos (2x2) fora dos blocos diagonais iguais queles da matriz

admitncia nodal expandida em coordenadas real e imaginria. Os elementos (2x2) dos

blocos diagonais precisam ser atualizados a cada iterao de acordo com o modelo de

carga a ser considerado. Novos desenvolvimentos baseados nesta formulao tm sido

apresentados [22, 23].

Este modelo apresentado em [21] foi expandido para sistemas trifsicos de

potncia desequilibrados em [24]. Considerando as metodologias em [21] e [24], o

problema bsico de fluxo de potncia ser constitudo de 6n equaes. Vale ressaltar que,

diferentemente dos mtodos polar e retangular, nenhuma equao referente a barras PV

ser eliminada.

Diferentemente de [21] e [24], as modificaes necessrias na matriz Jacobiana

devido presena de barras PV, sero efetuadas acrescentando-se para cada barra PV

52

mais 3 linhas e 3 colunas Jacobiana primitiva, ao invs de inseri-las nas colunas

referentes cada barra PV. Alm disso, com os valores obtidos das variveis

independentes, as potncias reativas geradas nas barras PV so atualizadas a cada

iterao. Apesar da matriz Jacobiana apresentar uma dimenso maior, essa estratgia tem

uma implementao mais simples e no influencia negativamente o tempo computacional

de soluo.

3.2 Metodologia de Soluo

3.2.1 Apresentao das Equaes

Enquanto as metodologias apresentadas no captulo 2 utilizam expresse

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