2.3 MODELO ELASTOPLASTICO UNIDIMENSIONAL · 1 = − + Y f s 0 ( ) 0 2 =− − Y f s Note-se que...

UFPR-CESEC Materiais Elastoplásticos Estudo de caso: Análise elastoplástica de uma viga contínua

10

2.3 - MODELO ELASTOPLASTICO UNIDIMENSIONAL

A análise de peças submetidas a tração e compressão puras permite introduzir de

forma simples as equações de um modelo elastoplástico. O comportamento elastoplástico

fica descrito especificando os quatro elementos básicos enunciados a seguir.

i) Relação tensão—deformação elástica;

ii ) Critério inicial de plastificação ou escoamento, ou limite do comportamento

puramente elástico;

iii) Lei de endurecimento que determina a modificação do critério de plastificação

durante um processo plástico;

iv) Lei de escoamento plástico que define a taxa de deformação plástica para uma

tensão que verifique o critério de plastificação.

Estes itens do modelo matemático de plasticidade são desenvolvidos

separadamente nas seções a seguir.

1) Relação tensão-deformação elástica

Vamos excluir o comportamento elástico não linear, como geralmente se adota

nas aplicações de elastoplasticidade. Desta forma a relação considerada é

σεE

e 1=

onde E é o módulo de elasticidade (Young) do material. Para o material virgem e no

começo do processo de carga as deformações elásticas são as únicas que existem, então eεε = mas uma vez produzida alguma plastificação eεε ≠ e nesta situação definimos a

deformação plástica pela relação ep εεε −=

ou seja

σεεE

p 1−=


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a)Material com endurecimento b) Material perfeitamente

plástico

Figura 2.9 — Deformação elástica e deformação permanente

A deformação plástica calculada segundo a definição anterior coincide nos

exemplos na figura 2.9 com a deformação permanente obtida depois de remover

completamente a tensão. Esta situação é encontrada em quase todas as aplicações,

entretanto é possível que esta coincidência não aconteça se uma nova plastificação se

apresenta quando é retirada a tensão. Este último fenômeno é incomum e não deve ser

confundido com a presença de plastificação em compressão produzida na fase de retirada

do carregamento externo numa estrutura complexa.

Considere-se agora a relação elástica para variações de tensão e deformação.

Observa-se nas figuras que os processos de tipo 0? 1, puramente elásticos ou

de descarregamento local, verificam

σε dE

d e 1= pe ddd εεε += 0=pdε

Para os processos de plastificação 0? 2 define-se analogamente a componente

elástica da variação da deformação mediante σε dE

d e 1= obtendo-se assim:


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σε dE

d e 1= pe ddd εεε += 0sgn >• σε pd

com dσ e edε nulos no caso de plasticidade perfeita.

Figura 2.10 - Processos incrementais. Relação entre incrementos de tensão e

deformação.

Em geral define-se as taxas de deformação elástica e plástica mediante as

equações

.. 1σε

Ee =

... 1 σεεE

p −=

resultando obviamente ...pe εεε +=


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ii) Critério de plastificação inicial

Para materiais com ou sem endurecimento tem-se que as tensões

plasticamente admissíveis, ou seja, aquelas que são possíveis para o material,

encontram-se necessariamente contidas em um segmento do eixo das tensões no

diagrama σ−ε . Introduzindo agora uma notação cuja validade transcende o caso uniaxial

considerado, dizemos que existe um conjunto ou região A0 no espaço de tensões que define

os estados de tensão plasticamente admissíveis para o material. No caso unidimensional

{ }00 : +− ≤≤−=YY

σσσσ0A

Figura 2.11 - Região admissível inicial

Para tensões estritamente interiores a esta região somente podem ser iniciados

processos (infinitesimais) puramente elásticos e por este motivo dizemos que o interior de

A0 é a região elástica.

Para tensões na fronteira da região admissível podem ser iniciados processos

(infinitesimais) plásticos se são de carga efetiva, isto é, de tensão crescente em material

com endurecimento ou de tensão constante em material perfeitamente plástico. Para estas

tensões na fronteira de A0 também é possível iniciar processos (infinitesimais) puramente

elásticos mediante descarregamento. Por estes motivos chama-se à fronteira da região

admissível de superfície de plastificação ou superfície de plasticidade.


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Tensões exteriores ao conjunto A0 são inadmissíveis no estado inicial de historia

plástica do material, e são sempre inacessíveis no caso de plasticidade ideal.

A região admissível A0 é convenientemente definida por uma função de

plasticidade (ou de plastificação) f0(σ) tal que a condição

( ) 00 <σf

caracteriza a região elástica e

( ) 00 =σf

a superfície de plastificação. Quando se consideram os modos de plastificação de tração

e compressão faz-se necessário utilizar duas funções para definir a região admissível que

são

( ) 001 +−=

Yf σσσ ( ) 00

2 −−−=Y

f σσσ

Note-se que estamos utilizando um parâmetro 0−Y

σ positivo para representar o

limite de compressão.

Pode-se generalizar a definição de 0f entendendo-a uma função de valor

vetorial com componentes 01f e 0

2f , ou seja

( ) ( ) ( )[ ]Tfff σσσ 0

20

10 =

Desta forma, a região admissível fica ainda definida pela condição

( ) 00 ≤σf

entendida por componentes.

A superfície de plastificação está neste caso constituída por tensões que

verificam uma das condições

( ) 001 =σf ( ) 00

2 <σf ou ( ) 001 <σf ( ) 00

2 =σf


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iii) Lei de endurecimento

A região de tensões plasticamente admissíveis modifica-se durante um processo

plástico e em conseqüência também a região elástica e a superfície de plastificação são

alteradas

Figura 2.12 - Modificação da região admissível para tensões

Uma lei de endurecimento determina de que maneira se produz a modificação do

limite de plastificação, e pode ser convenientemente definida especificando uma função de

plasticidade

( )pF εσ ,

que descreve a dependência da região elástica

( ) 0<σf

com respeito a pε mediante a relação

( ) ( ) cteFf p

p ==ε

εσσ ,

Temos assim definidas uma função ( )pF εσ , e infinitas funções ( )σf , uma para cada valor

de pε . Para uma determinada história de tensões e deformações que produziu uma

deformação plástica acumulada pε , todas as tensões que verificam (em componentes)

( ) 0<σf


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são elásticas no sentido de que somente processos elásticos poderão começar a partir

deste estado. Quando a tensão verifica

( ) 0=σif e ( ) 0<σjf i,j=1,2

onde ( ) 01 =σf é o limite de plastificação em tração e ( ) 02 <σf em compressão, então

acontecerão eventualmente deformações plásticas no processo iminente, caso este não

seja de descarga, e simultaneamente a função f será modificada durante o processo

plástico na forma determinada por ( )pF εσ , segundo a relação estabelecida acima para f

e F . Em particular, o critério inicial de plastificação está relacionado com F por

( ) ( ) 0,0 == p

pFfε

εσσ

Um material perfeitamente plástico tem limite de plastificação independente de pε portanto neste caso as funções F , f e 0f coincidem e são independentes de pε .

No presente modelo unidimensional podemos definir F mediante

( ) ( ) ( )[ ]Tppp FFF εσεσεσ ,,, 21=

com os modos de tração e compressão determinados por

( ) ( )pp kF εσεσ 11 , −= ( ) ( )pp kF εσεσ 22 , −−=

Uma tensão no limite de plastificação em tração verifica

( ) ( ) 0,11 == pFf εσσ ou seja ( )pk εσ 1=

donde se deduz que a função ( )pk ε1 calcula-se a partir do diagrama ( )εσ +Y do ensaio de

tração mediante as relações

( )

+= + σεσε

Ek p

Yp 1

1

( )

== +++

001

10

YYY Ek σσσ


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Analogamente

( )

+= − σεσεE

k pY

p 12

( )

== −−−

002

10

YYY Ek σσσ

iv) Lei de escoamento plástico

Em conseqüência da definição de taxa de deformação elástica adotada, o módulo

de elasticidade pode ser interpretado como

edd

Eεσ

= .. 1

σεE

e =

Analogamente, para um processo plástico como o de tração na figura 2.10(b),

define-se o módulo tangente por

εσ

dd

Et = ∴ .. 1

σεtE

=

e o módulo de endurecimento por

pp dd

Eεσ

= ∴ .. 1

σεp

p

E=

O módulo de endurecimento pE é uma função de σ sempre positiva para

materiais estáveis cuja curva εσ − é crescente sempre.

Substituindo as equações anteriores em pe ddd εεε += resulta

pt EEE111

+=

Para materiais idealmente plásticos 0=tE , 0=pE e esta última igualdade não

tem interesse.

Vimos que durante o processo plástico de tração verifica-se (não se considera o

modo de compressão):

( ) ( ) 0, =−= pp kF εσεσ

Esta igualdade derivada em relação a pε resulta em


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pp ddk

Eε

=

donde pode ser calculado o módulo de endurecimento a partir função k deduzida do ensaio

de tração.

A descrição fenomenológica do comportamento elastoplástico discutida nas

seções 2.1 e 2.2 mostrou que a relação constitutiva deve ser necessariamente incremental

(em taxas) e não linear em razão da irreversibilidade dos processos plásticos. A equação

constitutiva deve ser uma relação entre .

σ e .ε , ou com

.pε apenas pois a componente

elástica foi relacionada por Ee..

σε = ; relação esta que depende do valor presente da

tensão e dos parâmetros de história lembrada que no caso unidimensional podem ser

substituídos pela própria deformação plástica acumulada ( )ph ε= . Ou seja, a relação

constitutiva é da forma

+=

= ppp

Eεσσεσεσσεε ,,

1,,

......

Esta relação ~ explicitada a seguir admitindo por simplicidade que o material somente

plastifica em tração e não em compressão

iv.1) material com endurecimento:

( )

( )

( )

>

=

<

=

<

=

local) carga de (processo 0

de)plasticida de limite no (tensão e 0 para 1

local) elástica descarga de (processo 0

de)plasticida de limite no (tensão e 0

elástica) região na (tensão 0 para 0

.

.

..

σ

σσ

σ

σ

σ

ε

fE

fou

f

p

p

onde f e pE dependem da história lembrada, por exemplo:

( ) ( )pkf εσσ −= e pp d

dkE

ε=


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iv.1) material idealmente plástico:

( )

( )

( )

>

=≥

<

=

<

=

plástico) escoamento de (processo 0

de)plasticida de limite no (tensão e 0 para ado,indetermin 0



elástica) região na (tensão 0 para 0

.

.

..

σ

σλ

σ

σ

σ

ε

f

fou

f

p

onde f é uma função independente da história ( e coincidente com F )

Na relação para plasticidade ideal foi utilizado um parâmetro de plasticidade

.λ positivo para impor a condição de que durante o escoamento plástico em tração somente

ocorrem deformações de alongamento e cuja intensidade não é proporcional à variação de

tensão, nula neste caso. A taxa de deformação plástica é indeterminada nesta situação no

sentido que qualquer deformação é admissível com respeito à relação constitutiva, o que

não impede que quando se considera a peça submetida às restrições cinemáticas e de

equilíbrio do problema esta indeterminação seja levantada.

A observação do diagrama εσ − idealmente plástico mostra que ainda que .ε não

seja determinado por .

σ como mencionado, a correspondência inversa está bem

determinada, isto é, dado .ε se deduz o valor de

.σ associado. Consequentemente a forma

inversa da relação constitutiva enunciada acima não apresenta indeterminações e pode ser

escrita para materiais com ou sem endurecimento mediante

+=

= ppp E εσεεεεσεσσ ,,,,

......

onde esta relação representa a plasticidade ideal quando 0=pE e f é independente da

história. Em geral


20

( ) ( )pkf εσσ −= pp d

dkE

ε=

Esta forma da relação constitutiva

= pεσεσσ ,,

...

pode também ser escrita como

( )

( )

( )

>

=

≤

=

<

=

local) carga de (processo 0

de)plasticida de limite no (tensão e 0 para



elástica) região na (tensão 0 para

.

.

.

.

.

ε

σε

ε

σ

σε

σ

fE

fou

fE

t

com

p

pt EEE

EE

+=

nulo em plasticidade perfeita

Como exemplo vamos estabelecer as equações correspondentes a um

material com endurecimento linear

( ) pp bak εε +=

Os coeficientes a e b são interpretados considerando as condições ( ) 00 Yk σ= que implica

em 0Ya σ= e

pp ddk

Eε

= que conduz a pEb = . Desta forma

( ) ( )( )p

pY

ppYp

E

EF

εσσ

εσσεσ

−−

++

−−−

+−= 0

0 ,

A figura 2.13 mostra o caso particular em que −+ =pp

EE no qual a região admissível

somente translada durante o processo de plastificação, mantendo a sua forma

(comprimento) original. Este é o chamado endurecimento isotrópico. Note-se que o efeito

Bauschinger está representado neste modelo matemático.


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Figura 2.13 - Endurecimento linear

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