VI. LIMIT FUNGSI, FUNGSI KONTINUE DAN FUNGSIMONOTON

Definisi Limit Fungsi

Definisi 6.1.1

F

Y f

q

.

Р X

Keterangan:

Jika disajikan dalam bentuk notasi…

1 2 .

daerah hasil 1(p,x)

F(x)Є Y dengan d2

(f(x),q)<

Dengan ruang metrik (X,d1) dan (Y,d2), E X, dan p titik limit E.

Contoh 6.1.1

a)

Y

f

X

0

l l

Contoh 6.1.2

Y

f

1

S

0 X

-1

d2 = | |

Teorema 6.1.1 (Hubungan Limit fungsi dan Limit barisan)

Y

f

q

X

P

E

Banyaknya barisan tergantung barisan

Adanya barisan karena adanya

VI.2 Fungsi Kontinue

Terdapat suatu barisan dengan Pn P.

terdapat suatu barisan

Definisi 6.2.1

Y f

.

f(p)

.

Р X

d1 (x,p)

dengan d2

daerah jangkauan fungsi f

Teorema 6.2.1

p(x)

f(x)

P

Jarak f(x) dengan p(x)

VI.2.1 Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema 6.2.2

f(x)

f(p)

P

E

Lanjutan teorema 6.2.2

Z

g

ε g(f(p))

P Y

f(E)

Teorema 6.2.3

f

Himpunan terbuka V dibawa oleh menjadi

himpunan terbuka juga

V

Himpunan terbuka

Ilustrasi lain dari : Teorema 6.2.3

Y

V

X

Menjadi terbuka juga

terbuka

Teorema 6.2.4

f

VHimpunan tertutup V dibawa oleh menjadi

himpunan tertutup juga

Himpunan tertutup

Ilustrasi lain dari : Teorema 6.2.4

Y

V

X

Menjadi tertutup juga

tertutup

VI.2.2 Fungsi continue pada himpunan kompak

Teorema 6.2.6

f

X Y

Keterangan :

X Kompak f(x) Kompak dengan syarat f Continue

X Kompak , f tidak Continue f(x) belum tentu Kompak

f(x)

domai

kontinu

X tidak Kompak , f Continue f(x) belum tentu Kompak

Lanjutan teorema 6.2.6

Himpunan

Limit kiri & Limit kanan

Y

f

q

a b X

0 P

Limit kiri Limit kanan

Atau

Limit kiri fungsi f di p ditulis f(p-)

F(p-) untuk setiap barisan

Limit kanan fungsi f di p ditulis f(p+)

F(p+) =q untuk setiap barisan

VI.4 Titik diskontinue

Limit kiri

Y

q

a b X

0 p- P

f(x)

den

gan

l f(x

)-q l

<q

Monoton naik

f(x)

a x b

Teorema 6.5.1

Monoton naik

Teorema 6.5.2

Monoton turun

Definisi 6.5.2

Y

f

f(p+)

f(p)

f(p-)

P X