ESTUDO DE TRELIÇAS METÁLICAS PARA COBERTURAS EM DUAS ÁGUAS

ATRAVÉS DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

1. Guilherme Di Domenico Tisot, Acadêmico de Eng. Civil (Bolsista Pibic/UPF)

2. Guilherme Fleith de Medeiros, Acadêmico de Eng. Civil (Bolsista Pibic/CNPq)

3. Moacir Kripka, Professor, Dr (FEAR – UPF)

Resumo: Treliças metálicas de duas águas são largamente utilizadas em estruturas para

coberturas de pavilhões, aliando leveza e resistência. Visando a elaboração de projetos que

propiciem a obtenção de estruturas com melhor relação custo-benefício, diversos estudos

foram efetuados utilizando uma técnica conhecida como otimização topológica, que consiste

em permitir a retirada ou inclusão de elementos na estrutura. Partindo de um modelo

composto pela sobreposição de modelos usuais, após a análise da estrutura, foram retiradas

gradativamente as barras menos solicitadas até resultar em uma treliça isostática. O estudo

foi realizado para pavilhões com dimensões e inclinação da cobertura variáveis. Os

elementos foram dimensionados obedecendo a NBR 8800, utilizando perfis laminados em

forma de dupla cantoneira de abas iguais e opostas. Quanto aos resultados, o processo de

otimização de topologia foi efetivo, na maioria dos casos, em reduzir o peso da estrutura

inicial, tornando os modelos obtidos competitivos em relação às configurações usuais.

Palavras-chave: Otimização topológica, Treliças metálicas, Galpão, Pavilhão, Cobertura em

duas águas, Tesouras em aço.

1 INTRODUÇÃO

Treliças são estruturas constituídas, basicamente, por barras retas unidas apenas pelas

extremidades, através de nós articulados. Como os esforços são aplicados apenas nesses nós,

somente esforços axiais de tração e compressão atuam nas barras. Na prática, os nós

raramente são rotulados, sendo as barras conectadas através de rebites, parafusos ou soldas.

Entretanto, essa simplificação pode ser feita, pois a esbeltez das barras impede que haja

transferência de binários significantes.

CONSTRUMETAL – CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICASão Paulo – Brasil – 31 de agosto a 02 de setembro 2010

Segundo Pereira (2007), nos dias atuais é muito comum utilizar estruturas treliçadas

em projetos de grandes construções. Estas estruturas são bastante utilizadas em situações onde

deseja-se obter uma estrutura leve, mas com elevada resistência.

Para uma mesma situação de vão e carregamento, há inúmeras formas de se dispor as

barras na treliça de forma eficaz, e o projetista o fará baseado em sua habilidade, experiência

e intuição. Contudo, como ressalta Ribeiro (2008), esse processo nem sempre é o mais

satisfatório. Primeiramente, devido às falhas humanas e, conseqüentemente, por não

apresentar garantias de que a solução encontrada seja a melhor do ponto de vista econômico.

Fonseca (2007) reforça essa ideia, afirmando que encontrar a melhor solução pelo método da

tentativa e do erro é praticamente impossível.

O cenário atual da engenharia é de extrema competitividade e, para um profissional

obter vantagem no mercado, é necessário que seus projetos cumpram os requisitos de

desempenho e segurança com um custo menor que os concorrentes, buscando-se uma maior

eficiência das estruturas. No caso das treliças, que são estruturas de execução fácil e rápida, o

custo mais baixo será em função do menor peso da estrutura, proporcionado por um menor

consumo de material.

Uma maneira prática e relativamente rápida de se obter esse importante grau de

economia é lançar mão de técnicas de otimização estrutural, uma ferramenta matemática e

computacional que pode ser bastante útil para identificar as melhores soluções para um

determinado problema.

O objetivo do presente trabalho foi definir, através de métodos de otimização,

configurações alternativas de treliças para tesouras em aço de pavilhões com diferentes

comprimentos, vãos e inclinações de cobertura e compará-los com alguns modelos

tradicionais, fornecendo parâmetros para o engenheiro durante o pré-dimensionamento,

visando o projeto e execução de estruturas mais econômicas. Tal fato não é benéfico apenas

ao projetista, mas também na caminhada para uma sociedade mais sustentável, visto que o

menor consumo de material pode significar uma redução na extração de matéria prima do

meio-ambiente.

2 METODOLOGIA

A otimização estrutural é, basicamente, a busca pela solução de desempenho máximo

da estrutura, envolvendo um processo de integração de várias áreas do conhecimento. Entre

elas a Engenharia, Matemática e a Computação, procurando-se maximizar ou minimizar uma

função objetivo e satisfazendo, ao mesmo tempo, diversas restrições.

Existem três tipos de otimização que podem ser realizadas em estruturas:

Otimização de seções, quando as variáveis são as características das seções

transversais dos elementos;

Otimização geométrica, onde as coordenadas dos nós podem ser alteradas;

Otimização topológica, quando elementos desnecessários são retirados da estrutura.

Na Tabela 1, são apresentados modelos iniciais e finais para cada um destes três tipos

de otimização estrutural. Pode haver também a otimização simultânea, onde se trabalha com

todas as variáveis ao mesmo tempo. Porém, raramente esta otimização, devido ao grande

consumo de tempo e necessidade de computadores muito rápidos.

Tabela 1: Tipos de otimização estrutural: Otimização de seções, geometria ou topologia.

Tipo de

Otimização Modelo Inicial Modelo Final

Seções

Geometria

Topologia

No presente trabalho, foi realizada a otimização topológica das estruturas, permitindo-

se a retirada dos elementos de pouca importância para a estrutura como um todo. Para isso, se

fez necessária também a otimização de seções das treliças de duas águas, utilizando-se um

programa computacional desenvolvido pelo professor Moacir Kripka, baseado na técnica de

otimização Simulated Annealing (Recozimento Simulado). Para uma descrição mais detalhada

desta técnica, é possível consultar os trabalhos de Kripka (2004), Drehmer (2005) e Kripka e

Pravia (2008).

Como ponto de partida, selecionou-se três dos modelos mais tradicionais de treliças

com banzos inclinados, muito otilizados na confecção de estruturas para cobertura de

pavilhões: Howe, Pratt e Warren (Figura 1).

Figura 1: Treliças planas de duas águas que fizeram parte do estudo.

As treliças foram analisadas como partes da cobertura em aço de um galpão. Optou-se

por trabalhar com vãos de 10 e 20m, sendo o comprimento ora o dobro do vão, ora quatro

vezes o valor do mesmo, com inclinações da cobertura de 5, 10 e 15°. O pé direito foi

considerado de 6 metros, o afastamento entre pórticos foi fixado em 10 metros e a distância

entre terças no eixo x é de 1,25 metro, em todos os modelos. Na Figura 2, tem-se um desenho

esquemático de um galpão com cobertura em duas águas.

Figura 2: Esquema de um galpão com cobertura em duas águas.

Como material, foi empregado aço ASTM A36, que apresenta tensão de ruptura Fu =

400 MPa e tensão de escoamento Fy = 250 MPa. O módulo de elasticidade (E) foi adotado em

205 GPa e o peso específico () em 77 KN/m³. O dimensionamento seguiu a normatização

brasileira para o dimensionamento de estruturas de aço, através da utilização da NBR 8800. O

Howe

Pratt

Warren

cálculo da carga de vento foi efetuado a partir da NBR 6123, resultando em 7 combinações

possíveis de carregamento. Os elementos foram dimensionados com perfis laminados de aço

em forma de dupla cantoneira de abas iguais e opostas (Figura 4).

Figura 4: Perfil em forma de dupla cantoneira com abas iguais e opostas.

Após a definição dos parâmetros de projeto, deu-se a obtenção de modelos genéricos

hiperestáticos para cada um dos vãos e inclinações consideradas, os quais serviriam de ponto

de partida no processo de otimização topológica. Os mesmos foram obtidos através da

sobreposição dos três modelos usuais já citados (Howe, Pratt e Warren). Na Figura 5, tem-se

o modelo genérico para o vão de 10 m, composto por 53 elementos.

Figura 5: Modelo genérico para vão de 10 m.

A primeira etapa desenvolvida foi a otimização de seções, que constituiu-se em

verificar quais seriam as seções transversais das barras das treliças para o modelo inicial que

resultariam no menor peso próprio da estrutura, devendo sempre ser suficientes para resistir

ao carregamento. Essas seções foram retiradas de um grupo pré-estabelecido de 45 perfis

comerciais. A análise da estrutura foi feita através do software de otimização, onde cada

elemento poderia ter sua seção transversal variando de forma independente durante o

processo.

Após a análise e otimização de seções, verificou-se a estaticidade da estrutura. Se a

mesma apresentasse-se como hiperestática, a otimização topológica deveria ser realizada.

A otimização topológica foi realizada de duas maneiras distintas:

Retirada gradativa das barras menos solicitadas;

Retirada gradativa dos elementos com a menor seção transversal.

Para ambos os casos, o processo de otimização de seções e de topologia foi repetido

até resultar em uma treliça isostática, que foi considerada a topologia ótima para cada

situação. O número de barras eliminadas corresponde a 10% do número total de barras

restantes em cada etapa.

Um fluxograma do processo de otimização efetuado é apresentado na Figura 6, para

melhor compreensão.

Figura 6: Fluxograma do processo de otimização topológica efetuado

Foi realizado, de forma independente, a otimização de seções dos modelos Howe,

Pratt e Warren para cada situação, obtendo-se o peso otimizado dessas treliças, para fins de

comparação com as novas configurações geradas a partir do processo de otimização

topológica.

3 RESULTADOS

As treliças resultantes do processo de otimização variaram entre modelos Warren ou

modelos compostos, ou seja, com elementos originários de diversos modelos tradicionais ao

mesmo tempo, formando uma configuração diferente das tradicionais. Na Tabela 2, observa-

se a evolução do modelo inicial ao modelo otimizado para o galpão 10m x 20m, com

inclinação de 15°, tanto para o processo que descartou os elementos menos solicitados, como

para o método que retirou as barras que obtiveram menor seção transversal. É possível

Modelo

Genérico

Otimização

de Seções Estrutura

Otimizada

Otimização

Topológica

Isostática?

Não

Sim

observar, através dessa comparação, que os elementos retirados, em uma mesma etapa, não

são os mesmos, dependendo do critério utilizado.

Tabela 2: Evolução da topologia para galpão 10 m x 20 m e inclinação da cobertura de 15°

Etapa Redirada dos elementos

menos solicitados

Retirada dos elementos de

menor seção transversal

A

Modelo Inicial (53 elementos)

Modelo Inicial (53 elementos)

B

Modelo Intermediário (47 elementos)

Modelo Intermediário (47 elementos)

C

Modelo Intermediário (41 elementos)

Modelo Intermediário (41 elementos)

D

Modelo Intermediário (35 elementos)

Modelo Intermediário (39 elementos)

E

Modelo Intermediário (29 elementos)

Modelo Intermediário (33 elementos)

F

Modelo Final (27 elementos)

Modelo Final (25 elementos)

Na Tabela 3, é apresentada a evolução do modelo durante o processo de otimização

topológica para o galpão 20m x 40m e inclinação de cobertura de 15°, para o método que

descartou os elementos menos solicitados.

Tabela 3: Evolução da topologia para galpão 20 m x 40 m e inclinação da cobertura de 15°

Etapa Retirada dos elementos menos solicitados

A

Modelo Inicial (117 elementos)

B

Modelo Intermediário (103 elementos)

C

Modelo Intermediário (93 elementos)

D

Modelo Intermediário (75 elementos)

E

Modelo Intermediário (65 elementos)

F

Modelo Final (61 elementos)

Na maioria dos casos, o processo de otimização topológica foi efetivo em reduzir o

peso da estrutura inicial, principalmente nas estruturas com inclinação superior a 5º, como

pode ser observado no gráfico da Figuras 7, para um galpão com vão de 10m e 40m de

comprimento. Entretanto, em algumas situações, as treliças obtidas apresentaram um peso

maior que aquelas baseadas em modelos tradicionais apresentados pela bibliografia, porém,

com valores ainda próximos. Isso se deve, principalmente, ao fato de elementos pouco

solicitados e de seção reduzida servirem como travamento de elementos mais longos. Com a

retirada desses contraventamentos, determinados elementos assumem seções com maior área,

elevando o peso total da estrutura.

Figura 7: Redução no peso ótimo para cada etapa de otimização do galpão 10m x 40m.

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

A B C D E F

Pe

so d

a Tr

eliç

a (k

N)

Etapa da otimização

Galpão de 10 m x 40 m

5º

10º

15º

Na Figura 8, tem-se um gráfico comparativo entre os pesos ótimos obtidos para os

novos modelos gerados e as configurações clássicas, também para o galpão de 10m x 40m.

Figura 8: Comparativo entre treliça resultante e modelos tradicionais para galpão 10 m x 40 m.

Os dois critérios utilizados para retirada de elementos mostraram-se pouco eficientes

frente ao esperado. Apesar de ter-se obtido redução de peso em relação à estrutura inicial, esta

não foi significativa se comparado o peso final aos já consagrados modelos Howe, Pratt e

Warren. Uma vez que os desempenho do modelo otimizado ficou muito próximo das demais

configurações, não foi possível definir um modelo ideal de tesoura para cada dimensão de

galpão.

4 CONCLUSÕES

Comprovou-se de que as técnicas de otimização são uma ferramenta poderosa para a

engenharia, neste caso no, dimensionamento de estruturas. As técnicas utilizadas permitiram a

redução do peso próprio das treliças, resultando em maior economia de material e,

consequentemente, menor custo, sem afetar a segurança da obra.

Na otimização topológica dos modelos de tesouras para galpões com cobertura em

duas águas, verificou-se que nem sempre os elementos menos solicitados são os mais

passíveis de retirada, pois, mesmo estando submetidos a um esforço menor, são importantes

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5º 10º 15º

Pe

so d

a Tr

eliç

a (k

N)

Inclinação da cobertura

Galpão de 10 m x 40 m

Otimização

Warren

Howe

Pratt

para o travamento de elementos longos, o que se reflete em menores seções para os mesmos,

graças à diminuição do comprimento de flambagem, e consequente redução no peso total da

estrutura. Na maioria dos casos, o processo foi efetivo ao reduzir o peso da estrutura inicial,

mas não o bastante para que se pudesse encontrar um modelo ideal, visto que os valores finais

ficaram muito próximos, situação que se observou tanto para o vão de 10, quanto para o de 20

metros Porém, pode-se afirmar que os modelos obtidos são competitivos em relação às

configurações usuais.

Em relação aos três modelos tradicionais analisados, a treliça tipo Howe apresentou-se

com uma certa vantagem em relação aos modelos Warren e Pratt na grande maioria dos casos,

sendo a Pratt a que obteve o pior desempenho geral.

Também foi possível verificar que a inclinação da cobertura influencia também no

peso das estruturas. Treliças com inclinações de 15º obtiveram peso próprio menor em relação

às de 10 e15º. Inclinações menores resultam em esforços axiais maiores e, desse forma, em

perfis com maior área transversal, aumentando o peso da tesoura.

5 BIBLIOGRAFIA

BELLEI, I. H. Edifícios industriais em aço: projeto e cálculo. 2. ed. São Paulo: Pini, 1998.

DREHMER, G. A. Otimização de estruturas metálicas formadas por perfis “I” soldados.

2005. Dissertação (Mestrado) – Programa de Prós-Graduação em Engenharia, Faculdade de

Engenharia e Arquitetura, Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2005.

FONSECA, M. da. Otimização de estruturas treliçadas planas e espaciais sob carregamentos

estáticos e dinâmicos, usando Algoritmos Genéticos e Redes Neurais. 2007. Dissertação

(Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Departamento de Engenharia

Civil, Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2007.

GERDAU. Catálogo Barras e Perfis Gerdau. Disponível em:

<http://www.gerdau.com.br/produtos-catalogo-e-manuais/5023.global.pt-BR.force.axd>.

Acesso em: 15 jan. 2010.

KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI M.P. Optimization by Simulated Annealing.

Science, v. 220, n. 4598, p. 671-680, 1983.

KRIPKA, M. Discrete optimization of trusses by Simulated Annealing. J. Braz. Soc. Mech.

Sci & Eng., v. 26, n. 2, p. 170-173, abr./jun. 2004.

KRIPKA, M.; PRAVIA, Z. M. C. Dimensionamento ótimo de perfis U conformados a frio.

In: KRIPKA, M.; PRAVIA, Z. M. C. Novos estudos e pesquisas em construção metálica.

Passo Fundo: UPF Editora, 2008. p. 30-51.

NBR 6123. Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro: Associação Brasileira de

Normas Técnicas, 1988.

NBR 8800. Projeto e Execução de estruturas de aço em edifícios (método dos estados

limites). Rio de Janeiro: Associação Brasileira de Normas Técnicas, 1986.

PEREIRA, J. P. G. Heurísticas computacionais aplicadas à otimização estrutural de treliças

bidimensionais. 2007. Dissertação (Mestrado) – Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação,

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2007.

RIBEIRO, L. M. P. Otimização e dimensionamento de treliças planas de madeira

empregando o método dos algoritmos genéticos. 2008. Dissertação (Mestrado) – Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Federal de

Uberlândia, Uberlândia, 2008.