Comput adoreseRedesdeComput adores1Lui z ManoelSi l va de Fi guei r edoRio de Janeiro2 0 0 6CURSODECRI PTOGRAFI AESEGURANAEMREDESNMEROS PRI MOS E CRI PTOGRAFI A DECHAVE PBLI CAUNI VERSI DADE FEDERAL FLUMI NENSE -UFFCENTRODE ESTUDOS DE PESSOAL- CEPCopyright 2006CentrodeEstudosdePessoalTodososdireitosreservadosaoCentrodeEstudosdePessoal(CEP)Nenhumapartedestematerialpoderserreproduzida,armazenadaoutransmitidadequalquerforma ou por quaisquer meios - eletrnico, mecnico, fotocpia ou gravao, sem autorizao doCEPedoautor.C r d i t o s C r d i t o s C r d i t o s C r d i t o s C r d i t o sCapaeprojetogrfico: MariaRachelBarbosaDiagramao: MariaRachelBarbosaRafaelFonteneleRedaopedaggica: MnicaNogueiradaCostaFigueiredoVanessaMariaBarbosaReviso: Letcia Maria Lima GodinhoVanessaMariaBarbosaCentrodeEstudosdePessoal(CEP)Praa Almte. Jlio de Noronha S/ NLeme - Rio de Janeiro - RJ2 2 0 1 0 - 0 2 0Tel212295-1140Figueiredo, Luiz Manoel Silva deF4 7 5 n Nmeros primos e criptografia de chave pblica/Luiz Manoel Silva de Figueiredo. Rio de Janeiro:UFF/ CEP-EB,2006.180p. (Curso de Criptografia e Segurana emRedes).ISBN8 5 - 9 8 5 6 9 - 4 6 - 11.Criptografia.2.Nmerosprimos.CDD001.5436SUMRIOPROGRAMA DA DISCIPLINA...........................................................................................................................................5PLANO DE AULAS DA UNIDADE 1 .................................................................................................................................6PLANO DE AULAS DA UNIDADE 2 .................................................................................................................................7UNIDADE 1 .......................................................................................................................................................................9AULA 1NMEROS PRIMOS .........................................................................................................................................10Texto 1Teoria dos nmeros ...........................................................................................................................................10Texto 2Divisores ............................................................................................................................................................12Texto 3Nmeros perfeitos............................................................................................................................................... 15Texto 4Nmeros primos.................................................................................................................................................. 17Texto 5A infinitude dos nmeros primos .......................................................................................................................19Atividades ........................................................................................................................................................................21AULA 2ALGORITMO DA DIVISO ..............................................................................................................................22Texto 6Axioma de Eudoxius ..........................................................................................................................................22Texto 7O algoritmo da diviso .......................................................................................................................................23Texto 8O mximo divisor comum (mdc) ........................................................................................................................25Texto 9O mnimo mltiplo comum (mmc).......................................................................................................................29Texto 10O mdc e mmc de vrios inteiros ......................................................................................................................29Texto 11Como calcular o mximo divisor comum .........................................................................................................30Atividades ........................................................................................................................................................................ 31AULA 3ALGORITMO DE EUCLIDES ...........................................................................................................................32Texto 12Dois resultados preliminares ...........................................................................................................................32Texto 13O algoritmo de Euclides ...................................................................................................................................33Texto 14Clculo do mdc e do mmc atravs da fatorao .............................................................................................35Texto 15Relao entre mdc(a,b) e mmc(a,b) ................................................................................................................37Texto 16Convergncia do algoritmo de Euclides...........................................................................................................38Atividade........................................................................................................................................................................ . 41AULA 4TESTES DE PRIMALIDADE ............................................................................................................................42Texto 17Primeiro teste de primalidade ..........................................................................................................................42Texto 18Teorema dos nmeros primos .........................................................................................................................46Atividades ........................................................................................................................................................................48AULA 5ARITMTICA MODULAR .................................................................................................................................49Texto 19Relaes ..........................................................................................................................................................50Texto 20Congruncia mdulo n .....................................................................................................................................52Texto 21Classes de equivalncia...................................................................................................................................54Texto 22Classes de congruncia ..................................................................................................................................55Atividades ........................................................................................................................................................................58AULA 6OPERAES COM CLASSES DE CONGRUNCIA ......................................................................................59Texto 23Definio de soma e de produto de classes ....................................................................................................59Texto 24Tabelas de soma e de multiplicao ...............................................................................................................62Texto 25Divisibilidade ....................................................................................................................................................64Texto 26Potncias .........................................................................................................................................................67Atividades ........................................................................................................................................................................70AULA 7DIVISO MODULAR ........................................................................................................................................71Texto 27A inversa de uma classe de congruncia mdulo n ........................................................................................71Texto 28Quando uma classe emn tem inversa? ....................................................................................................72Texto 29A congruncia linear a x b mod n.......................................................................................................74Texto 30Como escrever o mdc de dois inteiros em combinao linear........................................................................76Atividades........................................................................................................................................................................ 81AULA 8TEOREMA DE FERMAT ..................................................................................................................................82Texto 31Fermat .............................................................................................................................................................. 82Texto 32O teorema de Fermat .......................................................................................................................................83Texto 33Aplicao do teorema de Fermat soluo de potncias ............................................................................... 87Texto 34Equaes diofantinas ....................................................................................................................................... 88Texto 35Uso das congruncias para resolver equaes diofantinas .............................................................................90Atividades ........................................................................................................................................................................92UNIDADE 2 .....................................................................................................................................................................93AULA 9TESTE DE PRIMALIDADE DE FERMAT .........................................................................................................94Texto 36Testes de primalidade....................................................................................................................................... 94Texto 37Teste de Fermat ...............................................................................................................................................95Texto 38Nmeros de Carmichael ..................................................................................................................................97Texto 39Teste de Miller-Rabin .......................................................................................................................................99Atividades........................................................................................................................................................................102AULA 10TEOREMA DE EULER..................................................................................................................................103Texto 40Euler ...............................................................................................................................................................103Texto 41A funode Euler ....................................................................................................................................103Texto 42Teorema de Euler ..........................................................................................................................................108Atividades ......................................................................................................................................................................112AULA 11TEOREMA CHINS DOS RESTOS .............................................................................................................113Texto 43Exemplo com duas equaes.........................................................................................................................113Texto 44Exemplo com trs equaes........................................................................................................................... 114Texto 45Teorema chins dos restos ...........................................................................................................................117Texto 46Aplicaes criptografia: partilha de um segredo..........................................................................................120Texto 47Partilha de um segredo com o teorema chins dos restos .............................................................................122Atividades........................................................................................................................................................................125AULA 12RSA ............................................................................................................................................................... 126Texto 48A criptografia de chave pblica.......................................................................................................................126Texto 49RSA.................................................................................................................................................................128Texto 50O GP/Pari........................................................................................................................................................131Texto 51Consideraes prticas: escolha dos primos e preenchimento de bits.........................................................132Texto 52Assinatura digital............................................................................................................................................. 134Texto 53A segurana do RSA......................................................................................................................................136Texto 54Os desafios RSA ............................................................................................................................................137Atividade.........................................................................................................................................................................137AULA 13LOGARITMO DISCRETO..............................................................................................................................138Texto 55Razes primitivas mdulo n ............................................................................................................................138Texto 56Grupos e subgrupos ......................................................................................................................................140Texto 57Logaritmos discretos.......................................................................................................................................143Atividades .......................................................................................................................................................................147AULA 14APLICAES CRIPTOGRAFIA................................................................................................................148Texto 58Teste de Lucas...............................................................................................................................................148Texto 59Esquema de troca de chaves de Diffie-Hellman............................................................................................151Texto 60ElGamal..........................................................................................................................................................153Texto 61Algoritmo de assinatura digital........................................................................................................................155Atividades .......................................................................................................................................................................159AULA 15CRIPTOGRAFIA COM O USO DE CURVAS ELPTICAS............................................................................160Texto 62Curvas elpticas..............................................................................................................................................160Texto 63Corpos finitos .................................................................................................................................................161Texto 64Grupo de uma curva elptica...........................................................................................................................163Texto 65Criptografia de curvas elpticas......................................................................................................................166Atividades........................................................................................................................................................................170COMPLEMENTE SEU ESTUDO ...................................................................................................................................171SOLUES DAS ATIVIDADES.....................................................................................................................................172REFERNCIAS..............................................................................................................................................................179 Programa da disciplinaEmentaAritmtica dos inteiros:nmeros primos, algoritmo da diviso,mdc e mmc,algoritmo de Euclides. Aritmtica modular: congruncia mdulo, soma e produto declasses, inversa de uma classe mdulo n. Teoremas de Fermat, Euler e o teoremachinsdosrestos. Testes deprimalidade: testedasdivisessucessivas, testedeFermat, teste de Rabin-Miller, nmeros de Charmichael.Criptografia de chave pblica: princpios, o algoritmo RSA, assinatura digital.O problema do logaritmo discreto, teste de Lucas, esquema de troca de chaves deDiffie-Hellman, ElGamal e o algoritmo de assinatura digital. Criptografia com o usode curvas Elpticas: curvas elpticas, grupo de uma curva elptica e aplicaes.Carga horria60 horasObjetivoApresentar a rea da Matemtica chamada Teoria dos Nmeros, abordandoos resultados utilizados em criptografia.MetodologiaO contedo programtico ser apresentado na forma de textos e exemplos,com atividades a serem realizadas. Para complementar seu estudo, sero sugeridoslivros e websites. AvaliaoProva escrita ao final da disciplina e avaliao a distncia (atividades online). 5Plano de AulasUnidade 1 Teoria dos NmerosContedo Onde encontrarAula 1 Nmeros PrimosTeoria dos NmerosDivisoresNmeros perfeitosTextos 1 a 5Aula 2 Algoritmo da DivisoAxioma de EudoxiusAlgoritmo da divisoMximo divisor comum e mnimo mltiplo comum Textos 6 a 11Aula 3 Algoritmo de EuclidesClculo do mdc e do mmc atravs da fatoraoConvergncia do Algoritmo de EuclidesTextos 12 a 16Aula 4 Testes de Primalidade Primeiro teste de primalidadeTeorema dos nmeros primosTextos 17 e 18Aula 5 Aritmtica ModularRelaesCongruncia mdulo nClasses de equivalnciaClasses de congrunciaTextos 19 a 22Aula 6 Operaes com classes de congruncia Definio de soma e de produto de classesTabelas de soma e de multiplicaoDivisibilidade e potnciasTextos 23 a 26Aula 7 Diviso modular Inversa de uma classe de congruncia mdulo nMDC de dois inteiros como combinao linearTextos 27 a 30Aula 8 Teorema de FermatAplicao do teorema de Fermat Equaes diofantinasTextos 31 a 35 Carga horria: 25 h6Unidade 2 Criptografia de Chave PblicaContedo Onde encontrarAula 9 Teste de Primalidade de Fermat Testes de primalidadeTeste de FermatNmeros de CarmichaelTeste de Miller-RabinTextos 36 a 39Aula 10 Teorema de Euler Funode EulerTextos 40 a 42Aula 11 Teorema Chins dos RestosExemplo com duas e trs equaesAplicaes criptografiaPartilha de um segredo com o teorema Textos 43 a 47Aula 12 RSA Criptografia de chave pblicaGP/PariAssinatura digitalSegurana do RSATextos 48 a 54Aula 13 Logaritmo DiscretoRazes primitivas mdulo nGrupos e subgruposLogaritmos discretos Textos 55 a 57Aula 14 Aplicaes CriptografiaTeste de LucasEsquema de troca de chaves de Diffie-HellmanElGamalAlgoritmo de assinatura digitalTextos 58 a 61Aula 15 Criptografia como uso de CurvasElpticasCorpos finitosGrupo de uma curva elpticaCriptografia de curvas elpticasTextos 62 a 65 Carga horria: 35 h7UnidadeTeoria dos Nmeros Caro aluno, seja bem-vindo disciplina Nmeros primos e criptografia de chave pblica. Nesta primeira unidade, voc vai estudar os conceitos e resultados matemticos que so a base das aplicaes em criptografia de chave pblica.Bom estudo! 91Aula 1 Nmeros PrimosNesta primeira aula, voc vai conhecer os nmeros primos, que so a base para oestudo dos inteiros.A grande importncia dos nmeros primos est em que todo inteiro pode ser escritode maneira essencialmente nica como produto de primos, como veremos a seguir.Texto 1 - Teoria dos NmerosA Teoria dos Nmeros a rea da Matemtica que estuda as propriedades dos nmeros inteirose os problemas que aparecem naturalmente neste estudo. O termo aritmtica tambm utilizadopara se referir Teoria dos Nmeros.EstecampodeestudodaMatemticapossui muitosproblemasemabertoproblemasnoresolvidos fceis de serem compreendidos, mas de difcil soluo. Ao longo desta unidade vocconhecer alguns deles.A Teoria dos Nmeros se divide em seis ramos principais.1. Teoria elementar dos nmeros a parte que estuda os inteiros e suas propriedades sem utilizar tcnicas derivadas de outroscamposdaMatemtica. Incluitambmoestudodedivisibilidade, mximodivisor comum,fatorao em nmeros primos, algoritmo de Euclides e congruncia.2. Teoria analtica dos nmeros Este ramo emprega tcnicas do clculo e da anlise para o estudo de problemas de inteiros.Esta rea inclui o famoso teorema dos nmeros primos e a hiptese de Riemann.3. Teoria algbrica dos nmeros Aqui o conceito de nmero estendido para o de nmero algbrico e o conceito de inteiro parao de inteiro algbrico. Nmeros algbricos so razes de polinmios com coeficiente racionais.Muitas propriedades elementares dos inteiros no valem para os inteiros algbricos.104. Teoria combinatria dos nmeros EstudaaspropriedadesdeinteirosempregandotcnicasdareadaMatemticachamadaCombinatria. O principalfundador desta rea o matemtico hngaro Paul Erds(1913 1996).5. Teoria geomtrica dos nmeros Tambmchamadadegeometriadosnmeros, usatcnicasgeomtricasparaoestudodenmeros inteiros.6. Teoria computacional dos nmeros Estuda algoritmos computacionais na Teoria dos Nmeros. H dois grupos de algoritmos de grande importncia em criptografia:! testes de primalidade - so algoritmos que determinam se um dado inteiro ou noprimo;!algoritmosdefatoraodeinteiros-determinamafatoraoemprimosdeumdado inteiro.11Paul Erds mostrou desdecedoaptidoparaaMatemtica. Comquatro anos descobriu algumas propriedades dos nmeros primos. Feznumerosas e variadas contribuies e tinha fascnio emresolverproblemas, como os de anlise combinatria, teoria dos grafos e teoriados nmeros. Sempre queria resolv-los de forma simples e elegante. ATeoria dos Nmeros tem, talvez como nenhuma outra rea, apropriedade de incorporar mtodos de outros campos de estudo,tornando-a um belo e complexo conjunto de conhecimentos e tcnicas. Texto 2 - DivisoresAgora vamos apresentar nosso primeiro tpico em Teoria dos Nmeros: os divisores.Sejamaebinteiros. Dizemos queadividebquando existir um inteiroctal queb =a c . Usamos a notao ab ,paraindicarque a divide b eescrevemos a b quando a nodivide b . Quando ab ,dizemos tambm queb mltiplo dea .Exemplos: 612, 23115, mas 4 21.Algumas propriedades imediatas so:1. nnSignifica que todo inteiro divide a si mesmo. Isto segue da definio. Observe quen =1n .2. 1nIsto , 1 divide qualquer inteiro. Segue da definio, observando quen =n1 .3. n0Todo inteiro divisor de 0. Basta observar que0=n0 .Vamos examinar outras propriedades um pouco mais elaboradas.Proposio 1:ab e b a a =b DemonstraoComo abe b a , ento existem inteirosk1 e k2, tais quea =k1be b =k2a . 12Substituindo uma expresso na outra, resulta quea =k1k2a a =k1k2a k1k2=1Comok1 ek2so inteiros ek1k2=1 , entok1=k2=1ouk1=k2=1 . Dea =k1b , conclumos quea =b , ou seja,a =b .Proposio 2. Sejama , becinteiros. Seabeb c, entoac .Demonstrao.Comoabeb c , ento existem inteirosk1 ek2 tais queb =k1a e c =k2bSubstituindo o valor de b da primeira equao na segunda, resulta quec =k2b =k2k1a =k2k1a .Portanto, c mltiplo de a , isto ,ac .Exemplo:315e1545 , logo345 .Proposio 3.Sejam a , b e c inteiros. Se c a e c b ,ento c ma nb , paraquaisquer inteirosm e n .Demonstrao.Como c aec b , ento existem inteirosk1 e k2, tais quea =k1ceb =k2c . 13Substituindo emma nb, temos:ma nb =mk1c nk2c =mk1cnk2c=mk1nk2c .Portanto,c ma nb .Exemplo:721e714 , logo721m14n para quaisquer inteiros m e n .ChamaremosD n ao conjunto de todos os divisores de n .Exemplo:D 12 ={1,2, 3,4,6, 12 }Observe que se d divisor de n , entodtambm divisor de n , pois, sed n , entoexiste inteiro k , tal quen =k d n =k d d n.Assim, os divisores de um inteiro vm sempre em pares de inteiros simtricos.Chamamos D +n ao conjunto dos divisores positivos de n .Exemplo:D +12 ={1, 2, 3, 4, 6, 12 }eD +6 ={1, 2, 3, 6 } .Sed ned n , ento dizemos que d divisor prprio de n . Por exemplo, os divisores prprios positivos de 6 so os inteiros 1, 2e3.Observe que 6 a soma de seus divisores prprios positivos: 6=1 23 . Curioso, no? Noprximo texto voltaremos a essa questo.Veja, a seguir, mais algumas propriedades sobre divisores.Proposio 4.Sejamae b inteiros.Entoabse, e somente se,D a D b .14DemonstraoSuponha que ab . Para provar a incluso D a D b , basta mostrar quex D a x D b , isto , todo elemento deD a tambm elemento de D b .Vamos l!Se x D a ,ento x a . Mas ab por hiptese. Logo,x a e ab x b x D b .Vamos supor agora queD a D b . Comoa D a (todo inteiro divisor de si mesmo) eD a D b , entoa D b , isto ,ab .Provamos ento que ab D a D b , isto , ab o mesmo que D a D b ,mostrando que a relao de divisibilidade entre dois inteirosab equivalente relao deincluso entre os conjuntos dos divisores destes inteirosD a D b .Quandofalarmosdemximodivisor comum(mdc) emnimomltiplocomum(mmc) dedoisinteiros, retornaremos a essa analogia entre os inteiros e o conjunto de seus divisores.Texto 3 - Nmeros PerfeitosVoc viu que o inteiro 6 tem a propriedade de ser asoma de seus divisores prprios positivos:6=1 23 . Como chamado um inteiro com esta caracterstica? Um inteiro que a soma de seus divisoresprprios positivos chamado de nmero perfeito.Agora, pense em outros inteiros que so nmeros perfeitos. O prximo na lista o nmero 28.Veja:D +28 ={1, 2, 4, 7, 14, 28 } e temos que28 =12 4 714 .Os quatro primeiros nmeros perfeitos so6, 28, 496e 8128 . Estes quatro inteiros eram osnicos nmeros perfeitos que os antigos gregos conheciam.15Euclides descobriu que estes quatro nmeros so gerados pela frmula2n 12n1 para valores den =2, 3, 5 e 7 .Ento:n =2 22 1221 =2 4 1 =23 =6n =3 23 1231 =228 1 =47 =28n =5 25 1251 =2432 1 =1631 =496n =7 27 1271 =26128 1 =64127 =8128Observe que nos quatro casos, 2n1 um inteiro primo. Euclides mostrou que 2n 12n1 um nmero perfeito quando 2n1 primo.Comoosinteiros n =2, 3, 5 e 7 soexatamenteosquatroprimeirosnmerosprimos, osgregos naturalmente imaginaram que o quinto nmero perfeito seria obtido com n =11 . No entanto, o nmero 2111 no primo. De fato, 2111=2047=23 89. Logo,211 12111 no nmero perfeito. Na verdade, o quinto nmero perfeito o nmero 2122131 =33.550.336, que o inteiro2n 12n1 , para n =13 .No sculo XVIII, Euler mostrou que a frmula 2n 12n1 fornece todos os nmeros perfeitospares. Como voc viu, nem todo inteiro 2n 12n1 nmero perfeito (por exemplo, no perfeitopara n =11 ). Mas todo nmero perfeito par da forma 2n 12n1 . Este inteiro perfeitoexatamente quando 2n1 primo.16Parasaber quemfoi EuclidesdeAlexandria, leiaaseoSaiba mais ao final desta aula. Portanto, humaassociaoentrenmerosperfeitoseprimosdaforma2n1. Estessochamados primos de Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne (1588-1648). H uma busca mundial por primos grandes, em parte devido ao uso destesem criptografia. OsmaioresprimosconhecidossoosprimosdeMersenne. O42primodeMersenneomaiorprimo conhecidoatualmente, descoberto em14defevereiro de2005. Trata-sedonmero225.964.9511, que um primo com 7.816.230 algarismos.H muito ainda o que investigar nesta rea de estudo. Por exemplo, no se sabe se h infinitosprimosdeMersenne. Masvamosdeixaresteassuntoparaumaoutrahoraevoltarafalardenmeros primos e fatorao nica.Texto 4 - Nmeros PrimosOs nmeros primos desempenham um papel fundamental no estudo dos inteiros e nas tcnicasde criptografia.Um inteirop 1 um nmero primo quando seus nicos divisores so 1 e p.Exemplo:p =2,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 e 29so os 10 primeiros nmeros primos positivos.Observe que se p primo, ento p tambm . Assim, so primosp =2,3, 5, 7,11, 13, 17, 19, 23 e 29 .Um nmeroN 1que no primo chamado composto. Assim, 12 um nmero composto.Observe que1no primo nem composto. 17O francs Marin Mersenne ficou conhecido por seu trabalho na Teoriados Nmeros e por se corresponder com outros matemticos,possibilitando assim a comunicao do conhecimento pela Europa emuma poca que os jornais cientficos no existiam.Os nmeros primos sempre estiveram no centro da preocupao dos matemticos que estudamos inteiros. Como voc ver a seguir, todo inteiro fatora-se como produto de primos. Isto faz comque os primos sejam uma espcie de bloco com os quais so construdos os inteiros, assim comotodas as molculas so feitas de tomos.Veja um exemplo.Ointeiro60podeserescritocomo60 =223 5.Estaafatoraode60emprodutodeprimos. Dizemos que 2, 3 e 5 so os fatores primos de 60. Podemos, por exemplo, escrever 60 tambm como:60 =35 2260 =53 2260 =23 25.O que todas estas fatoraes tm em comum? fcil ver que todas usam os mesmos primos,apenas mudando a ordem. Em todas, o primo 2 aparece duas vezes, o primo 3 aparece uma veze o primo 5 aparece uma vez. neste sentido que dizemos que a fatorao nica: os mesmos primos aparecem o mesmonmero de vezes, apenas a ordem difere duas fatoraes de um inteiro.O fato de que todo inteiro pode ser escrito de maneira nica com produto de fatores primos umteorema muito importante,chamado Teorema da Fatorao nica ou Teorema FundamentaldaAritmtica.Teorema da Fatorao nicaDado um inteiro positivon 2, podemos escrev-lo de modo nico na forma:n =p1e1 pkek,18Vale destacar que a fatorao de inteiros em produtos de primos, essencialmente, nica. Lembre-se que fatorar um inteiro N escrev-lo como produto de primos.Mas o que significa dizer que a fatorao nica?onde1p1p2pk so primos distintos ee1,, ek so inteiros positivos.Os primosp1,, pk so chamados fatores primos de n, enquanto os expoentese1,, ek sochamados multiplicidades dos primosp1,, pk ,respectivamente, na fatorao de n.Exemplo: No caso de 72 =2332., o primo 2 tem multiplicidade 3 na fatorao de 72, e o primo3 tem multiplicidade 2.Texto 5 A infinitude dos Nmeros PrimosVoc estudou que os primos so os blocos fundamentais, os tomos, que constituem os inteiros.Uma primeira questo que se coloca naturalmente a seguinte: Euclides respondeu a esta pergunta h 2.300 anos. A resposta que existe um nmero infinito deprimos. Esta resposta aparece como a Proposio 20 do livro IX dos Elementos de Euclides.Omtodo utilizado na demonstrao o de reduo ao absurdo ou demonstrao porcontradio. Este tipo de prova feitaassumindo-se como verdade o oposto do que queremosprovar echegando-seaumacontradio.Ofatodeobter umasentenafalsamostraqueaproposio no pode ser negada, sendo por isso verdadeira.Proposio 5. Existe um nmero infinito de nmeros primos.DemonstraoVamos supor o contrrio, isto , que haja apenas um nmero finito de inteiros primos. Sejap1p2pka lista de todos os inteiros primos. Seja agora p# o produto de todos eles:p#=p1. p2. . pk.19Existe um nmero finito ou infinito de primos?ConsidereN =p#1.Nenhumdosprimos p1, p2,, pkpode serdivisordeN,pois,paratodo primopi,pip#. SepiN , entopi N p#=1,o que no pode acontecer, poispi1.Como nenhumpipode dividir N ,ento N notem nenhum divisorprimo.Portanto Ndeve ser um inteiro primo. MasN pk maior que todos os primos da listap1,, pk , o que uma contradio, pelo fato de que esta a lista de todos os primos.Nesta aula voc identificou algumas propriedades fundamentais dos nmeros primos eaprendeuqueuminteirochamadonmeroperfeitoquandoasomadeseusdivisores prprios positivos. Na prxima aula, voc estudar o algoritmo de diviso. 20Saiba mais: Euclides de AlexandriaEuclidesfoi ummatemticogregoqueviveuentre325e265a.C., tendolecionado em Alexandria, no Egito. Sua obra mais famosa a coleo de 13livroschamadosElementos.Nela,Euclides apresenta uma coleo dedefinies, postulados (axiomas) e proposies (teoremas) e as provas destesteoremas, abordando os campos da Geometria e da Teoria dos Nmeros. Essa obra pode ser considerada o livro-texto mais bem sucedido da histria dahumanidade: foi umdosprimeiroslivrosaseremimpressos esuperadaapenas pela Bblia em nmero de edies mais de mil j foram feitas. At oincio do sculo XX, era utilizado como livro-texto em muitas escolas. UmadasgrandesvirtudesdosElementos apresentar deformalgicaeestruturadaboapartedoconhecimentomatemticoconhecidopocadeEuclides. Embora a maior parte dos resultados no tenha sido descoberta porele, muitas das demonstraes foram feitas por Euclides. Aobra de Euclides teve umpapel importante, ao legar posteridade oconhecimento matemtico grego. A estrutura lgica de seu trabalho influenciouo desenvolvimento de toda a Matemtica. Atividades 1) DetermineD 10 e D 20 . Verifique queD 10 D 20 .2) Primos gmeos so pares de primos cuja diferena dois. Encontre os cinco primeiros paresde primos gmeos.3) Existem primos trigmeos, isto , ternos de primos do tipo p , p 2 e p 4 ?4) Mostre que todos os nmeros pares entre 4 e 40 podem ser escritos como soma de primos.21Aula 2 Algoritmo da DivisoNesta aula, voc vai conhecer o chamado algoritmo da diviso, que , na verdade,um teorema, e no propriamente um algoritmo. Texto 6 Axioma de EudoxiusInicialmente, obervequedadosdoisinteiros a e b , se a nomltiplode b , entositua-se entre dois mltiplos consecutivos de b.Exemplo:a =61 eb =5 . O inteiro 61 situa-se entre60 =125 e65 =135, queso mltiplos consecutivos de 5.Esteprincpio, muitasvezeschamadoerradamentedePrincpiodeArquimedes, aparecenosElementos de Euclides. Podemos escrev-lo da seguinte forma:Dados dois inteiros a eb 0,existe um inteiro q tal queparab 0,q b a q 1 bparab 0,q b a q 1 b.Observequeapossibilidadede a ser mltiplode b estcobertapelomenor ouigual emq b a .Exemplos:- Sea =35 e b =7 , entoq =5 :57 =35.- Sea =42 e b =13 , entoq =3 :313 42 413.- Sea =42 e b =13 , entoq =3 :3 13 42 4 13 .22Texto 7 O Algoritmo da DivisoO teorema da diviso define precisamente o quociente e o resto de dois inteiros; mostra que elesexistem e so nicos.Teorema:Dadosinteiros a e b, b 0, existeumnicopar deinteiros q e r taisquea =q b r , onde 0r b.O inteiro q chamado quociente e r o resto da diviso de a por b . Observe que seb divisor de a , ento o resto 0:a =q b.DemonstraoPelo teorema de Eudoxius, comob 0 , existe q , tal queq b a q 1 b .Subtraindoq btemos:q b q b a q b q 1 b q b0 a q b bSe definirmosr =a q b , ento: 0 r b e r =a q b a =q b r.Assimfoi demonstradaaexistnciadoquocienteedoresto. Vejaagoraademonstraodaunicidade.O truque usual para demonstraraunicidade supor que h dois e mostrar que so iguais. Nocaso em questo, vamos supor que h outro parq1,r1tal que:a =q1b r1e 0 r1 bSubtraindo a equao anterior dea =q b r ,temos:a =q b ra =q1b r10=q q1b r r1Portanto,b q q1=r r1. Logo,b r r1 , isto ,r r1 mltiplo de b . 23Mas,0 r , r1 b e a r , r1 b .Assim, o maior valor possvel der r1 b 1 (quandor =b 1 e r1=0 ) e o menorvalor possvel de r r1 b 1 (quando r =0 e r1=b 1 ). Ento, temos quer r1 mltiplo de b eb 1 r r1 b 1 .Mas o nico mltiplo de b neste intervalo o 0, logor r1=0 r =r1.Ao substituir emb q1q =0 , t e mos q1q =0 q1=q .No enunciado do teorema, colocamos a restriob 0 .No entanto, o teorema continua vlidoseb 0 . Neste caso, definimos quociente e resto como a =q b r , com 0r b .Exemplos:- a =17 e b =3 q =5 e r =2 17 =53 2 - a =15 e b =4 q =3 e r =3 15 =3 4 3 AlgunsargumentospresentesnademonstraodoteoremasocomunsemMatemtica. Porexemplo, quando queremos provar a unicidade, supomos que existam dois e provamos que soiguais. Outro ponto chave, que aparece emoutras demonstraes, o argumento de que, seb t e b t b , e nt o t =0.A demonstrao anterior usa este argumento para t =r r1.24Estasdemonstraesparecemumpoucodifceisnoincio, porm,casosintanecessidade,leiacomateno duas ou trs vezesparaque possa entend-las. Ao compreender os argumentos, voc poderutiliz-los em outros problemas, com facilidade.Texto 8 - O mximo divisor comum (mdc)O conceito de mximo divisor comum de dois inteiros simples e o algoritmo para calcul-lo temgrande importncia em vrias aplicaes.A definio de mdc :Exemplos:- mdc 15,25 =5- mdc 300,140 =20- mdc 20,35 =5- mdc 8, 28 =4Observe que o mdc de dois inteiros sempre positivo. fcil ver por que, se d divisor comumde a e b , dtambm . Assim, os divisores comuns vm em pares de simtricosd.Omaior divisor comum ser o maior dos divisores comuns positivos.Exemplo:- mdc 12,18=mdc 12,18=mdc 12, 18 =mdc 12, 18 =6.Outra maneira de definirmdc a , b atravs dos conjuntos dos divisoresD a e D b .D a =divis or e s de aeD b =divis or e s deb.Logo, D a D b =divis or e s comuns de a e b . Como mdc a , b omaior divisorcomum, ento:mdc a , b =ma x D a D b Dois inteiros a e b so ditos relativamente primos ou primos entre si semdc a , b =1.25Omximodivisor comumdedoisinteirosno-nulos a e b omaior inteiro que divide a e b . denotado pormdc a , b .Exemplo:- 20 e 27 so relativamente primos.- Se p primo, a inteiro ep a , ento p e a so relativamente primos.Isso acontece porque os nicos divisores positivos de p so p e 1. Comop a , ento pe a no tm divisores comuns alm de1,isto ,mdc a , p =1.Ou seja, p e a sorelativamente primos.Umapropriedademuitoimportantedo mdc a , b queelesemprepodeserescritocomocombinaolinear de a e b. Uminteiro n combinaolinear de a e b seexisteminteirosk1e k2 tais quen =k1a k2b . exatamente o que acontece com o mdc.Teorema:Sejam a e b inteiros no-nulos e sejad =mdc a , b . Ento,existem inteirosk1e k2 tais que d =k1a k2b .Exemplos:- mdc(60,24)=12.O inteiro 12 pode ser escrito como12 =160 224 .- mdc(50,30) = 10. O inteiro 10 pode ser escrito como10 =250 330 .Observequeatagoranofalamossobrecomocalcular efetivamenteo mdc a , b , nemcomoencontrar osinteiros k1e k2, taisque mdc a , b =k1a k2b . Falaremossobreisso em breve. Para terminar esta parte, voc vai conhecer agora uma propriedade muito importante domdc a , b .O mdc a , b mltiplo de todos os divisores comuns de a e b .Exemplos:D 30 ={1, 2, 3,5, 6,10, 15, 30 }26D 24 ={1, 2, 3,4,6, 8,12, 24 }D 30 D 24 ={1, 2,3, 6 }Observe quemdc 24,30=6. E 6 mltiplo de todos os divisores comuns: os elementos deD 30 D 24 .Vejamos a demonstrao deste resultado. Teorema: Sejam a e b inteiros no-nulos. Ento,d =mdc a , b se, e somente se,(i) d a e d b.(ii) Sed' a e d ' b e nt o d' d.Em outras palavras, o mdc a , b se caracteriza por ser um divisor comum e por ser mltiplode todos os divisores comuns.DemonstraoSejad =mdc a , b , entod a e d b, pois d divisor comum, o que prova o item (i). Sejad' um inteiro talqued' a e d ' b . Sabemos que d combinao linear de a eb , isto , existem inteirosk1e k2 tais que d =k1a k2b.Comod' a e d ' b , entod' k1a k2b , logod' d, o que prova o item (ii). Por outro lado, se um inteiro positivo d atende aos itens (i) e (ii), ento :- divisor comum pelo item (i); - o maior divisor comum, pois, pelo item(ii), se d' outro divisor comum, entod' d d' d .Portanto,se um inteiro positivod atende aositens(i) e(ii) entod=mdca , b .Veja aseguir vrios resultados referentes aomdcde dois inteiros. Estes resultados e os exemplos queaparecem em seguida so importantes para que voc compreenda como funciona o algoritmo dadiviso para encontrar o mximo divisor comum de dois inteiros.27Proposio: Para todo inteiro t,mdc t a , t b =t mdc a , b .Esta proposio, por brevidade, vai ficar semdemonstrao. Elapodeser encontrada emIntroduo Teoria dos Nmeros, de Jos Plnio de Oliveira Santos, 1998.Exemplo:mdc 150, 35 =mdc 530, 57 =5mdc 30,7 =51=5.Uma conseqncia da proposio anterior que, se a e b so divisveis por um inteiro c ,entoacebc so inteiros emdc a , b =mdc c ac, c bc =c mdc ac,bc.Ao dividir a e b pord =mdc a , b temos: d =mdc a , b =mdc dad, dbd =d mdc ad,bd,masd =d mdc ad, bd mdc ad, bd =1.Conclumos que:Proposio.Sed =mdc a , b , ento os inteirosadebd so primos entre si.Exemplo: a =35eb =75 . Temos quemdc 35,75=5.Os inteiros355 =7e 755 =15 so primos entre si.Outra proposio muito utilizada a seguinte:Proposio.Seabc e mdc a , b =1 , entoac .Demonstrao28Comomdc a , b =1 , ento 1 combinao linear de a e b , isto , existemk1e k2,tais que 1=k1 a k2 b . Ao multiplicar esta equao por c , resulta emc =k1a c k2bc .Masabc(por hiptese) eaa c , logoa k1a c k2bc =c.Exemplo. Se t inteiro qualquer e715t , ento7t,poismdc 7,15 =1.Texto 9 O mnimo mltiplo comum (mmc)Omnimomltiplocomumdedoisinteiros a e b omenor inteiropositivoquemltiplocomum de a e b . representado pormmc a , b .Exemplos:- mmc 2,3 =6- mmc 20,25 =100- mmc 1, n =n ,para todo inteiro n .- mmc 3, 5 =15.Claramente, seab , entomdc a , b =ae mmc a , b =b .Exemplo:15 divide 75, logomdc 15,75=15e mmc 15,75 =75 .Veremos na prxima aula que o mmc de dois inteiros est diretamente relacionado ao mdc, pormeio de uma frmula simples.Texto 10 O mdc e mmc de vrios inteirosOs conceitos de mdc e mmc de dois inteiros podem ser facilmente generalizados para mais dedois inteiros, da seguinte forma:29Paradadosinteirosno-nulos a 1,a 2,, at, definimos mdc a1,a2,, at comoomaiordivisor comumde a1,a2,, at, e mmc a 1,a 2,, a t comoomenor mltiplocomumdea 1,a 2,, at .Exemplos:- mdc 20,30 ,50 =10- mmc 20,30 ,50 =300Assim, mostramos que: mdc a , b , c =mdc mdc a , b , c emmc a , b, c =mmc mmc a , b , c .Exemplos:- mdc 20,30 ,50 =mdc mdc 20,30 ,50 =mdc 10,50 =10.- mmc 20,30 ,50 =mmc mmc 20,30 ,50 =mmc 60,50 =300.Texto 11 Como calcular o mximo divisor comumAgora que voc conheceu as definies do mdc e do mmc de dois ou mais inteiros positivos, vejacomo calcul-los. Umamaneiraeficientedecalcular omdcutilizar oalgoritmodeEuclides. Estudaremosoalgoritmo de Euclides na prxima aula. Como o mmc est relacionado ao mdc por uma frmulasimples, podemos calcular o mmc de dois inteiros calculando primeiro o mdc destes inteiros.No endereo http://www.maths.hscripts.com/hcf.php,huma calculadora de mdc e mmc online.Em ingls, mdc chamado GCD (Greates Commom Divisor) ou HCF (Highest Commom Factor)e mmc chamado LCD (Least Commom Multiple). Na calculadora online existe um primeiro espao onde se coloca o nmero de inteiros para osquais queremos calcular o mdc e o mmc. Em seguida, aparecem os espaos onde devem serdigitados estes nmeros e, aps apertar o boto go, aparecem os resultados. 30A imagem a seguir trata de um exemplo obtido na calculadora online.Nesta aula, voc estudou o teorema da diviso, que define precisamente quocientee resto, e mostra a unicidade destes. Estudou tambm o mximo divisor comum(mdc) e mnimo mltiplo comum (mmc) de dois ou mais inteiros e algumas de suaspropriedades.Os prximos passos sero estudar o algoritmo de Euclides para o clculo do mdc ever a relao entre o mdc e o mmc de dois inteiros. Faremos esses dois avanosna prxima aula.Atividades1) Encontre o quociente e o resto dos seguintes pares de inteiros:a) a = 35 e b = 12b) a = -30 e b = 18c) a = 315 e b = 2502) Calcule o mdc e o mmc dos pares de inteiros da questo anterior.3) Naprximaaula, vamos mostrar que, paratodopar deinteirosno-nulos, aebvalemmdc a , b mmc a , b =ab. Verifique essa frmula com os itens da questo 1. 4) Na prxima aula, vamos mostrar tambm que, para todo par de inteiros no-nulos a e b, se q er so o quociente e o resto da diviso de a por b, ento valemdc a , b =mdc q, r .Verifique essa frmula com os itens da questo 1.31Aula 3 Algoritmo de EuclidesO algoritmo de Euclides utilizado para determinar o mximo divisor comum (mdc)dedois inteiros., certamente, umdos mais antigos algoritmos matemticosconhecidos. Surge, por voltade300a.C., nacoleodelivrosElementos,deEuclides. H, no entanto, indicaes de sua existncia muito antes desta data. Este algoritmo permite determinar o mdc de dois inteiros, sem que seja necessriofator-los, sendo este, em geral, um problema mais complexo.Texto 12 Dois resultados preliminaresPara demonstrar o algoritmo so necessrios dois resultados preliminares. Veja a seguir.Proposio:Dados dois inteiros no-nulos a e b , para qualquer inteiro k vale quemdc (a , b )=mdc (a , b +ka ) .DemonstraoOspares (a , b ) e (a , b +ka ) tmosmesmos divisores comuns, pois, por umlado, sed a e d b ,ento d b +ka ; por outro lado, se d a e d b +ka , entod b +ka -ka d b .Como os pares(a , b )e (a , b +ka ) tm os mesmos divisores comuns, certamente vo ter omesmo mximo divisor comum, isto ,mdc (a , b )=mdc (a , b +ka ) .Exemplo: mdc (5,5 t +1 )=mdc (5,1 )=1,para todo t inteiro.Uma conseqncia direta da proposio anterior queProposio:Se a e b so inteiros e a =qb +r , sendo q e r inteiros, entomdc (a , b )=mdc (b, r ).DemonstraoSea =qb +r , entor =a -qb. Portanto32mdc (a , b )=mdc (b, a )=mdc (b, a -qb )=mdc (b , r ).Essa ltima proposio a chave para o algoritmo de Euclides. Perceba que, para calcular o mdcde dois inteirosa >b, basta calcular o mdc dos inteiros b e r , em quer o resto dadiviso deaeb . Qual a vantagem? Simples, os inteiros so menores. Veja um exemplo:Sejaa =1725 e b =315.A diviso de a por b 1725 =5315 +150.Ento,mdc (1725,315 )=mdc (315,150 ).O segundo mdc facilmente calculado, pois os nmeros so menores. Alis, podemos aplicar omesmo processo no segundo mdc.315 =2150 +15 mdc (315,150 )=mdc (150,15 ).Como15150 , entomdc (150,15 )=15.Portanto,mdc (1725,315)=15 .Texto 13 O Algoritmo de EuclidesVamos,agora,descreveroalgoritmode ummodomaisformal. Sejama eb dois nmerosinteiros positivos. Podemos assumir que a b . Caso contrrio, invertemos a ordemdosnmeros. Sea =b , teremosd =mdc (a , b )=a =b.Vamosconsiderar a >b .Pelo Teorema daDivisode Euclides, existem nmeros q1e r1tais que:a =q1b +r1,onde 0 r1b.Ser1=0 , entoa =q1be b um dos divisores positivos dea .Nesse caso, d =mdc (a , b )=b.33Ser10,temos0r1b e a =q1b +r1 .Nesse caso,d =mdc (a , b )=mdc (b , r1).Seguimos para um novo passo do algoritmo, agora com os inteirosbe r1. Sejamq2 er2o quociente e o resto da diviso debpor r1, respectivamente.b =q2r1+r2, em que 0r2r1.Ser2=0 , temosb =q2r1 e, nesse caso, mdc (b , r1)=r1=mdc (a , b ) .Paramos o nosso algoritmo nesse estgio.Ser20 , temos0r2r1 e b =q2r1+r2. Nesse caso,d =mdc (a , b )=mdc (b , r1)=mdc (r1,r2).Como a seqncia dos restos satisfaz s condiesb >r1>r2>>rk>0,partindo de umbfixado, existir um primeiro ndicektal querk=0.Nessa etapa, paramos oalgoritmo e temos que:d =mdc (a , b )=mdc (b , r1)==mdc (rk -2, rk -1)=rk -1.Exemplo:Vamos aplicar o algoritmo de Euclides para determinar mdc (245,168 ).245 = 1168 +77168 = 277 +1477 = 5 14 +714 = 2 7+034Ento,mdc (245,168 )=mdc (168,77 )=mdc (77,14 )=mdc (14,7 )=7, pois 714. comum esse processo ser representado pelo esquema a seguir:1 2 5 2245 168 77 14 777 14 7 0Texto 14 Clculo do mdc e do mmc atravs da fatoraoUma outra maneira de calcular o mdc e mmc de dois inteiros a e b utilizar sua fatorao. Sejam:a =p1o1p2o2.pkoke b =p11p22.pkkem que escrevemos a e b com todos os primos envolvidos em a e b , usandoexpoentes nulos, caso seja necessrio. Se um primopidivide a , mas no divide b , podemos colocar pina fatorao de b ,mas com expoente 0, poispi0=1,o que no altera a fatorao.Exemplo:Sejama =12 e b =21 .Temos que a =223e b =37 .Ao escrever essasfatoraes com os mesmos primos, obtemos:a =223170e b =203171.Ao colocar os inteiros a e b com os mesmo fatores primospi , temos:mdc (a , b )=p11p22.pkk, onde i=min (oi , i).Isto , o expoente de um primopi na fatorao demdc (a , b ) o mnimo entre os expoentesdepi nas fatoraes de a e b .35Comoi=min (oi , i) , entoioie ii ,para todoi , 1i k.Assim,pii pioi epii pii.Logo,d =p11p22.pkkp1o1p2o2.pkok=a ed =p11p22.pkkp11p22.pkk=b,ou seja,d ae d b .Sed' outro divisor comum de a e b , e sepi aparece com expoenteci na fatorao ded',ento,picipioie picipii cioie cii cimin (oi , i)=ipicipii.Lembrando quei o expoente depi na fatorao de d , segue-se qued' d.Portantod divisor comum e todo divisor comumd'divide d , o que prova qued =mdc (a , b ).Ao utilizar um raciocnio anlogo ao mencionado anteriormente,pode-se deduzir a fatorao domnimo mltiplo comum de dois inteiros a e b . Sea =p1o1p2o2.pkok e b =p11p22.pkk, ento,mmc (a , b )=p161p262.pk6k,em que 6i=ma x (oi , i).Oexpoentede pinafatoraode mmc (a , b ) omximodosexpoentes de pinafatorao deaeb .36Pode parecer mais fcil obter o mximo divisor comum de doisinteiros utilizando a fatorao. O grande problema fator-los.Nas aplicaes interessantes, lidamos com inteiros muitograndes. Nessecaso, fatorar umproblemamaiscomplexoque usar o algoritmo de Euclides para obter o mdc.Exemplo.Sejaa =84eb =18. Ento a =2237 e b =232.Logo,mdc(84,8)=21. 31=6e mmc (84,18 )=22327 =252.Noentantooclculodo mmc (a , b ) noprtico, seosinteiros a e b foremgrandes,dadaadificuldadedefator-los. Paraoclculodo mmc (a , b ) , nohumalgoritmodeEuclides. O que existe uma relao direta com omdc (a , b ), permitindo o clculo de um apartir do outro. o que voc vai estudar no texto a seguir.Texto 15 Relao entremdc (a , b )emmc (a , b )Paraver arelaoentreo mdc (a , b ) eo mmc (a , b ) , percebainicialmenteque, paraquaisquer inteirosx e y,ma x (x , y )+min (x , y )=x +y .Por exemplo, sex y(o casox y anlogo), ento ma x (x , y )=y e min (x , y )=x ma x ( x , y )+min (x , y )=x +y.Sejam agoraaebinteiros ea =p1o1p2o2.pkok eb =p11p22.pkk.Voc viu que: mdc (a , b )=p11p22.pkk,ondei=min (oi , i)e mmc (a , b )=p161p262.pk6k,onde 6i=ma x (oi , i).Assim,mdc (a , b )mmc (a , b )=( p11p22.pkk)( p161p262.pk6k)=p11+61p22+62.pkk+6k,em que so agrupadas as potncias de mesma base, somando os expoentes. 37Mas, para todo i ,i+6i=min (oi , i)+ma x (oi , i)=oi+i ,portanto,p11+61p22+62.pkk+6k=p1o1+1p2o2+2.pkok+k=( p1o1p2o2.pkok)( p11p22.pkk)=ab,ou seja, mdc (a , b )mmc (a , b )=ab.Exemplo:a =84 =2237 e b =18 =232..Temosmdc (84,18 )=23=6e mmc (84,18 )=22327 =252.Ento:mdc (84,18 )mmc (84,18 )=6252 =1512 =8418 =ab.Texto 16 Convergncia do Algoritmo de EuclidesVeremos agora uma abordagem mais computacional do Algoritmo de Euclides.Paracalcular omdcdedoisinteirospositivos a e b ,podem-selistar todososdivisorespositivos comuns de a e b e determinar o mximo destes divisores.Um algoritmo desse tipo pode ser escrito da seguinte forma:Entrada: inteiros positivos a e b .Sada:mdc (a , b ) . Paratodointeiro k entre1eomnimode a e b , testese k a e k b . Emcaso afirmativo, inclua k em um conjunto D. Retorne o mximo do conjunto D.Esteumalgoritmoquesemprefunciona, poisretornaomdcdedoisinteiros a e b . Noentantoextremamentelento. Aindaquepossaser melhoradodediversasmaneiras, essealgoritmo no prtico para inteiros grandes, uma vez que so necessrias vrias divises.38O Algoritmo de Euclides pode ser escrito do seguinte modo:Entrada: inteiros positivos a e b .Sada:mdc (a , b ) . Seja r o resto da diviso de a por b . Se r =0 , ento o resultado b e paramos. Ser 0 , ento calculamosmdc (b , r )e retornamos esse valor como resposta.Este algoritmo definido por recorrncia, isto , o algoritmo cita ele mesmo vrias vezes, a fim deobter o resultado. Essa uma pergunta muito importante quando consideramos aplicaes computacionais prticasque utilizam o Algoritmo de Euclides.Para respondermos a essa pergunta, precisamos da seguinte proposio:Proposio.Sejam a e b inteirospositivos, coma b , eseja r orestodadivisodea e b . Entor a / 2 .DemonstraoComo0r b, seb a /2 , entor a / 2.Seb >a /2 , o quociente da diviso de a por b 1, logo:a =b 1+r r =a -b.39O Algoritmo de Euclides tem duas vantagens: rpido e fcil deser implementado computacionalmente.MaisquorpidoconvergeoAlgoritmodeEuclides?Por exemplo, aoiniciarcominteirosaebde1000dgitos, quantospassos, nomximo,seriam necessrios para chegarmos ao final do algoritmo?Masb >a /2 -b -a /2 a -b a -a / 2=a / 2 . Portantor a / 2 .Comessaproposiosedeterminaonmeromximo depassos necessrios paraqueoalgoritmo de Euclides termine. No algoritmo de Euclides temosmdc (a , b )=mdc (b, r )=mdc (r , r1)=mdc (r1,r2)=mdc (r2,r3)=Observequeacadadoispassostrocamososprimeiroselementosdeumpar pelorestodadiviso dos dois elementos do par. Por exemplo, no 3 passo ( mdc (r , r1) ), o primeiro elemento do par r ,que o resto dadiviso de a por b (par no 1 passo). No 4 passo ( mdc (r1,r2) ), o primeiro elemento do par r1, que o resto dos inteiros do 2passo ( mdc (b , r ) ).Assim, r a / 2 r2r / 2a / 4 r4r2/ 2r / 4a / 8. Acadadoispassos, omaiornmero do par fica reduzido a, no mximo, metade do valor.Voc podeobservar que os restosrk, para k inteiro par, satisfazem rka2k / 2+1.Na pior hiptese, vale a igualdade na frmula acima e o algoritmo para quando encontramos resto 1. Fazendork=1na frmula anterior, obtemos:a2k /2 +1=1 a =2k /2 +1Ao aplicar logaritmo de base 2 de ambos os lados, temos:log2a =k2 +1log2a -1 =k2k =2log2a -2.40Aconclusoqueonmeromximodepassos paraterminar oalgoritmo deEuclides 2 log2 a -2,em que a o maior dos inteiros que iniciaram o algoritmo.Exemplo:Se a um inteiro de mil dgitos, ento a 101000.Assim, k 2 log 2101000-2=2000 log2 10 -220003,322 -2 =6641.O algoritmo chega ao resultado em, no mximo, 6.641 passos.Nesta aula voc teve contato com muitas demonstraes, contas com fatoraesem primos e, por isso, pode ter encontrado alguma dificuldade. Algumas vezes preciso ler mais de uma vez. H detalhes que s podem ser percebidos depois queos conceitos ficam mais amadurecidos.Voc tambm estudou o algoritmo de Euclides, a expresso do mdc e do mmc, emtermos da fatorao em primos dos inteiros envolvidos, e a frmula que relaciona omdc e o mmc.Atividade1) Use o algoritmo de Euclides para calcular o mdc entre os pares de nmeros abaixo. A partir domdc, calcule o mmc destes nmeros.a) a =847 e b =91 .b) a =2475 e b =231 .41Aula 4 Testes de PrimalidadeComo afirmar se um inteiro primo? Trata-se de um problema relevante em vriasaplicaes de Teoria dos Nmeros, incluindo as aplicaes em Criptografia. Um teste de primalidade qualquer algoritmo que determina se um inteiro primo.No confunda teste de primalidade com um problema relacionado: o de fatoraode inteiros. Nesta aula, voc vai estudar um processo clssico para obter todos os primos de 1a n e a descrio de um teste de primalidade simples.Texto 17 Primeiro teste de primalidadeVamos agora descrever um mtodo simples para determinar se um inteiro n ou no primo. Se um inteiro n no primo, ento halgum fator primo menor que ele. A idia dividir npor todos os primos menores que ele. Caso no seja divisvel por nenhum, ento ser primo.No necessrio testar todos os primos menores que n ; basta avaliar os primos menores ouiguais a n .Proposio. Se n no primo, ento possui um fator primo menor ou igual a n .DemonstraoSe n composto, entoexistem n1e n2, taisque n =n1n2, emque 1n1n e1n2n.42Determinar a fatorao de um dado inteiro computacionalmentemais difcil do que determinar se esse inteiro ou no primo.Suponha quen1n2 (o cason2n1 anlogo). Assim:n =n1n2 n1n1=n12n1n .Seja p fator primode n1(caso n1sejaprimo, p =n1). Como n1n ep n1,entop n1n e, comop n1e n1n ,entop n . Logo, p fator primo de n menor ouigual a n .Exemplo: Vamos determinar se 127 primo. Como 127 umpouco maior que 11, bastatestar a divisibilidade de 127 pelos primos 2, 3, 5, 7 e 11. Como ele no divisvel por nenhumdestes nmeros, ento 127 primo.Para usar este mtodo, convm ter em mos uma lista de primos.Uma forma para obt-la, atum nmero escolhido, o conhecido crivo de Eratstenes.Leia sobre Eratstenes na seo Saiba mais ao final desta aula.O crivo de Eratstenes um mtodo muito antigo para encontrar todos os primos at um certointeiroespecfico.Apalavracrivoquer dizer peneira. Oalgoritmoatua, defato, comoumapeneira, separando os mltiplos dos primos em sucesso, deixando passar apenas os que noso divisveis por estes primos. Ao final do processo, apenas os primos passam pela peneira.O mtodo consiste em escrever todos os inteiros de 1 a N. Como 1 no primo, pode ser riscadoimediatamente. O algoritmo prossegue, seqencialmente,em passos. Em cada etapa,encontramos o primeironmeroquenofoi riscado, marcamoselecomoprimoeriscamostodososseusmltiplosprprios. Enquanto o ltimo nmero a ser avaliado no excede a raiz quadrada de N, repetimosos passos citados. Quando o algoritmo pra, os inteiros remanescentes so primos.Por exemplo, vamosescrever ocrivode1a100. Devemoseliminar osmltiplosdosprimosmenores ou iguais a 100 =10 .4344Inicialmente, escrevemos todos os inteirosde 1 a 100. Riscamos o 1, que no primo.Encontramos e marcamos como primo onmero 2. Em seguida, riscamos todos osmltiplos prprios de 2.Depois marcamos 3 como primo eriscamos seus mltiplos prprios.Conclumos que os primos de 1 a 100 so:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.Para conhecer mais sobre os crivos de Eratstenes, visite os dois endereos listados a seguir: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/Eratosthenes.shtmlNeste endereo h um aplicativo em que voc pode escolher o inteiro N. Ento, apareceemumbotooprximointeirono-riscado. Aoapert-lo, soriscados os mltiplosprprios deste inteiro e o prximo no-riscado exibido.http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/eratosiv.htmNeste outro endereo, voc encontra um aplicativo de crivo de Eratstenes montado de 1a 400. Ao clicar em um inteiro da tabela, os mltiplos prprios desse inteiro desaparecem.45O primeiro inteiro no-riscado o 7.Selecionamos 7 como primo e riscamosseus mltiplos prprios.Como o prximo nmero no-riscado 11,que maior que a raiz quadrada de 100, oalgoritmo pra e os inteiros remanescentespodem ser marcados como primos.Em seguida, o primeiro inteiro no-riscado o 5. Marcamos 5 como primo eriscamos seus mltiplos prprios.Texto 18 Teorema dos Nmeros PrimosPara responder a algumas questes, como, por exemplo, - existem infinitos primos, mas como eles se distribuem? - conforme os inteiros ficam maiores, os primos se tornam mais espaados? - a densidade dos primos diminui? necessrio definir a funox .Se x real positivo, entox o nmero de inteiros primos menores ou iguais a x .Exemplos: 10 =4(os primos 2, 3, 5 e 7 so menores que 10); 100 =25 , h 25 primos menores que 100. Confira na lista que fizemos usando ocrivo de Eratstenes; 1000=168 ; 104=1.229 ; 105=9.592 ;46Otesteapresentadoinicialmente dividir uminteiro N pelo primosmenores ou iguais a Nsempre funciona; porm, na prtica, no podeser utilizado para inteiros com fatores primos muito grandes. comum serutilizado para testar a primalidade de inteiros pequenos.Vriostestesdeprimalidadepopularessoprobabilsticos. Essestestesno permitem afirmar com certeza se um inteiro n primo, mas podemcomprovar que n provavelmente primo. Se n passa no teste,ento apresenta certa probabilidade de ser primo.A chance de erro pode ser reduzida a um valor arbitrariamente baixo, seaplicarmos o teste vrias vezes.O teste probabilstico mais simples o teste de Fermat, que ser estudadona Aula 9. 106=78.498 .Umresultado importante,supostooriginalmente por Gauss, nosculoXIX, eprovadoporHadamard e Vall-Poussin, em 1896, o chamado teorema dos nmeros primos, que afirma que: limx x xlog x =1ondelog x o logaritmo natural de x (logaritmo na base e ).Esse resultado significa que,se x muito grande, ento x deve estar prximo dexlog x , pelo menos em termos relativos.Mesmoparavaloresmuitograndesde x , oerro x xlog x bastanteelevado. Porexemplo, para x =1016, o erro da ordem de 1013.H vrios problemas no resolvidos na Matemtica, relacionados questo da distribuio dosnmeros primos. Um dos problemassem soluomais importantesa chamada hiptese deRiemann relaciona-se funox e ao teorema dos nmeros primos.Nesta aula 4, voc aprendeu o que so testes de primalidade e estudou o testemais simples, que tentardividir N portodososprimosmenoresouiguaisaN . Este mtodo nos leva ao crivo de Eratstenes, que um algoritmo antigopara elaborar tabelas de primos.Voc tambm estudou a questo da distribuio dos nmeros primos e o Teoremados Nmeros Primos.Vamos voltar questo dos testes de primalidade ao apresentarmos o pequenoteoremadeFermat, quedorigemaumtesteprobabilstico,chamadoteste deFermat.47Atividades1) Determine se os seguintes inteiros so primos:a) N = 229b) N = 1223c) N = 4812) Use o crivo de Eratstenes para determinar todos os primos at N=200. Determine200 .48Saiba mais: EratstenesEratstenes foi um matemtico, gegrafo e astrnomo grego que viveu de 276a 194 a.C. Nasceu em Cyrene (atual Lbia), mas estudou, trabalhou e morreuemAlexandria, ondeatuoucomobibliotecriodafamosabibliotecadessacidade.Eratstenes fezcontribuiesimportantes paraasreasdeMatemticaeCincias. Foi o primeiro a calcular a circunferncia da Terra, usandotrigonometria e o conhecimento do ngulo de elevao do Sol ao meio-dia, emduas cidades distantes.Hcontrovrsiassobreaunidadedemedidausadapor Eratstenes, masacredita-se que o valor obtido por ele esteja entre 39.690 Km e 46.620 Km,valor prximo ao conhecido hoje, de 40.080 Km. Eratstenes mediu tambm adistncia da Terra ao Sol, da Terra Lua e teria compilado um catlogo de675 estrelas.Eratstenes era conhecido na poca pelo apelido de beta, a segunda letra doalfabeto grego. A razo do nome que, segundo seus contemporneos, eletinhagrandeconhecimentoemvriasreas, masemcadaumadelaseraapenas o segundo melhor.Aula 5 Aritmtica ModularAritmtica modular um sistema em que as operaes entre os inteiros so feitas mdulo umoutro inteiro n . O sentido desta frase ser melhor compreendido ao longo desta aula.Para entender o sistema, pense em um relgio. Se ele marca 21 horas neste momento, daqui a 5horas marcar 2 horas da manh, certo? Isso ocorre porque, aps as 24 horas, o relgio volta a marcar 0 hora, reiniciando a contagem. Seele marca 18 horas, aps 10 horas marcar 4 horas da manh. Assim: 18 10=28 e28 24=4 .Esta aritmtica do relgio acontecer em qualquer evento cclico. semelhante ao cdigo deCsar. Usando um alfabeto de 23 letras, se trocarmos cada letra pela prxima, duas unidades frente, ento temos:A1 C 3 B 2 D 4 V 21 Z 23 X 22 A1 Z 23 B 2 Veja que V (letra 21) substituda por Z (letra 23); X (letra 22) por A (letra 1) e Z (letra 23) por B(letra 2). Em nmeros, esta substituio corresponde operaox x 2,com o detalhe de,aps o 23, voltamos ao incio. Isto uma aritmtica modular, no caso mdulo 23.Para definir exatamente essas noes, importante que voc conhea o estudo das relaes deequivalnciaevejacomoaaritmtica modular setraduz emuma relaodeequivalnciachamada congruncia mdulo n .49Como voc estudou na primeira disciplina do curso, um cdigo de Csar um mtodo em que uma chave, definida por um nmero, usada paracifrar e para decifrar a mensagem. Leia mais sobre esse mtodocriptogrfico na aula 5 do livro Introduo Criptografia. Assim, nesta aula, voc vai estudar a definio de relao e o que uma relao de equivalncia,e ainda vai aprender que congruncia mdulo n uma relao de equivalncia. Texto 19 - RelaesUma relao em um conjunto S uma maneira de comparar os elementos de S .Exemplo: So relaes: A relao de igualdade = nos inteiros. A relao nos inteiros. A relao ter a mesma idade em um grupo de pessoas. A relao ser da mesma espcie no conjunto de animais em um zoolgico.Isso lhe d uma idia do que seja uma relao. Veja a definio formal de relao no quadro aseguir. Exemplos: A relao de igualdade no conjunto{1,2 ,3 ,4 ,5 } o subconjuntoR ={1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 } . A relao no conjunto{1,2 ,3 ,4 ,5 } o subconjuntoR ={1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,3 , 3,4 ,3,5 , 4,4 , 4,5 , 5,5 }.A idia dessa representao que, para uma relao em um conjunto S, temos um subconjuntoR S S, tal quex , y R, quando x e y se relacionam.Muitas relaes interessantes obedecem s propriedades que sero destacadas a seguir.50Podemos definir uma relao em um conjunto S como um subconjuntodeS S(conjunto dos pares ordenados{x , y ; x , y S } ).Seja S um conjunto e~ uma relao em S . Dizemos que a relao~ i. reflexiva, quandoa ~apara todoa S .ii. simtrica, quandoa ~b b ~a para todoa , b S.iii. transitiva, quandoa ~b e b ~c a ~c , para todosa , b , c S.Confira alguns exemplos. A relao de igualdade nos inteiros reflexiva, simtrica e transitiva (Verifique). A relao nos inteiros reflexiva ( a a ) e transitiva ( a b e b c a c ), masno simtrica (por exemplo, sea b , ento no valea b e b a ). A relao no conjunto dos inteiros transitiva, mas no reflexiva nem simtrica. A relao "ter a mesma idade que" no conjunto dos alunos de uma sala :- reflexiva (aluno A tem a mesma idade que ele mesmo), - simtrica (se A tem a mesma idade que B, ento B tem a mesma idade que A) - transitiva (se A tem a mesma idade que B e B tem a mesma idade que C, ento A tema mesma idade que C). A relao de incluso no conjuntoP X dos subconjuntos de um conjunto X umarelao reflexiva e transitiva, mas no simtrica.H uma quarta propriedade que surge em vrias relaes importantes (inclusive) : Uma relao~ iv. anti-simtrica, quandoa ~b e b ~a a =b .A relao no conjunto dos inteiros reflexiva, anti-simtrica e transitiva.Podemos agora definir a relao de equivalncia.51Uma relao emumconjunto S chamada relao de equivalncia, se ela reflexiva,simtrica e transitiva.Exemplos. A relao de igualdade nos inteiros relao de equivalncia. Arelao"teramesmaidadeque"noconjuntodosalunosdeumasalarelaodeequivalncia.A relao no conjunto dos inteiros no relao de equivalncia, pois no simtrica, mas importante. Muitas relaes interessantes, assim como, so reflexivas, anti-simtricas e transitivas. Elastambm recebem um nome especial.So relaes de ordem: A relao no conjunto dos inteiros.A relao no conjunto dos subconjuntos de um conjunto X . A relao "a divide b" no conjunto dos inteiros.Agora, vamos voltar s congruncias mdulo n , ponto de partida desta aula.Texto 20 Congruncia Mdulo nSeja n um inteiro positivo. Dizemos quea b modn , sea b um mltiplo de n , ouseja, sea =b knpara algumk .52Uma relao reflexiva, anti-simtrica e transitiva chamada relao de ordem.Exemplos: 14 6 mod4 , pois 4 divide14 6=8 . 3 7 mod5 , porque 5 divide3 7 =10 . 10 0 mod 5 , pois 5 divide10 0=10 .Observe quea 0 modn na 0 na , ou seja, os inteiros que so congruentes a 0mdulo n so exatamente os mltiplos de n .Sejam a inteiroe n inteiropositivo, q e r oquocienteeorestodadivisode a porn . Temos que:a =q n r a r =q n a rmodn .Ento, por exemplo, todos os inteiros que tm resto 1 pela diviso por n so congruentes a 1mdulo n . Encontrar oresto da diviso de a por n equivalenteaacharum inteiror , 0 r n ,talque a r modn . Esta observao importante porque veremos diversas frmulas quepermitem encontrar facilmente um inteiro pequeno que seja congruente mdulo n a uma dadapotncia. Agora, vamos estabelecer o fato de que a relao de congruncia mdulo n uma relao deequivalncia.Proposio. Para todos a , b e c inteiros e n inteiro positivo, vale que:1. a a mod n(propriedade reflexiva)2. a b mod n b a mod n(propriedade simtrica)3. a b mod n e b c mod n a c mod n (propriedade transitiva)Como exerccio, prove as afirmaes 1 e 2 da proposio. Depois, siga e veja a demonstrao daafirmao 3. Ao final, junto com a resposta dos exerccios, veja as demonstraes feitas.53Demonstrao.Quanto afirmao 3, sea b mod n e b c mod n , ento, na b e nb c na b b c =a c a c mod n .Esta proposio mostra que a relao de congruncia mdulo n uma relao de equivalncia.No prximo texto, voc vai aprender que uma relao de congruncia em um conjunto cria umapartio desse conjunto, que dada pelas classes de equivalncia.Aps voc estudar estas classes,voltaremos relao de congruncia mdulon .Texto 21 - Classes de EquivalnciaUma relaodecongrunciaemum conjunto S induznaturalmentea uma classificaodosobjetos do conjunto. Por exemplo, a relao de equivalncia dada por "ter a mesma idade que" no conjunto dos alunosde uma escola classifica-os em um subconjunto de alunos de mesma idade. Todos os alunos de15 anos, por exemplo, so equivalentes por esta relao, e ficam dentro da mesma "classe".Esta classificao expressa pelo conceito de classe de equivalncia.Dada uma relaode equivalncia ~emumconjunto S , aclasse de equivalncia deumelementox S formada pelos elementos que so equivalentes a x por~. Denotamos a classe de equivalncia de x por x assim: x = {y S y ~x }Observe que, se y x , ento x y , o que apenas outra forma de dizer que, sey ~x , e nt o x ~y , que a propriedade de simetria de uma relao de equivalncia.Por outro lado, sex y ,ento x = y , pois,sez x ,ento z ~x .Comox y ,entox ~y; logoz ~x e x ~y z ~y z y .Desta forma,z x z y , o que mostra que x y .54Podemos mostrar de forma anloga que y x , provando assim que x = y, quandox y .Isso permite concluir que, se x y ,ento x = y , pois se z x y ,entoz x e z y z = x e z = y x = y .Em outras palavras, duas classes de equivalncia ou so iguais, ou so disjuntas.Observe ainda que, comox x , todo elemento de S est em alguma classe de equivalncia. Essas observaes podem ser resumidas em duas propriedades muito importantes das classesde equivalncia:i. Duas classes distintas so disjuntas.ii. A unio de todas as classes de equivalncia todo o conjunto S.Desse modo, o conjunto das classes de equivalncia emumconjunto S formado porsubconjuntosno-vaziosdisjuntosdeS, cujaunioS. Esteconjuntochamadoespaoquociente da relao de equivalncia~ e algumas vezes denotado porS / ~ .Uma partio de um conjunto S uma coleo de subconjuntos no-vaziosSi, disjuntos doisa dois ( SiSj= sei j ), tal que S a unio dosSi. O que foi mostrado anteriormente que, dada uma relao de equivalncia em um conjunto S ,o conjunto de suas classes de equivalncia forma uma partio de S .Reciprocamente, no difcil mostrar queTexto 22 Classes de CongrunciaA relao de congruncia mdulo n uma relao de equivalncia. 55Dada uma partio de S, existe uma relao de equivalncia talque suas classes de equivalncia so os conjuntos da partio.Vamos a um exemplo: quais so as classes mdulo 5?Primeiro, vamos obter a classe do 0:x 0x 0 mod 55x 0 5xPortanto, 0 formado pelos mltiplos de 5:0={5k k } = {... ,10, 5,0 ,5 ,10 , ... }Qual a classe de 1?x 1x 1 mod 55x 1 x 1=5k x =5k 1, pa r a a lgum k .Assim, 1 formado pelos mltiplos de 5 somados a 1:1={5k 1 k } = {... , 9,4,1 ,6 ,11 , ... }Continuando, obtemos:2={5k 2 k } = {... , 8,3,2 ,7 ,12 , ... }3={5k 3 k } = {... , 7,2,3 ,8 ,13 , ... }4 ={5k 4 k } = {... ,6, 1,4 ,9 ,14 , ... }E o 5 ? Como5 0 , temos 5=0 .Asclasses0 ,1 ,2 ,3 ,4 sotodasasclassesmdulo5.Observeque, paraqualquer ainteiro,existeminteiros q e r ,talquea =5q r ,onde0r 5 (divisode n por5).Logoa r mod 5 a r .Assim,{0 ,1 ,2 ,3 ,4 } o espao quociente (conjunto das classes de equivalncia) da relaode congruncia mdulo 5. Chamamos este conjunto de5.56Quais so as classes de equivalncia para congruncia mdulo n ?Podemos generalizar esta observao. Veja a seguir.Proposio.Seja n inteiropositivo. Oconjuntodetodasasclassesdecongrunciamdulon o conjunto{0 ,1 , ... , n 1 } .Demonstrao Dado qualquer inteiro a , existem inteiros q e r , tais que:a =q n r , s e ndo 0 r n.Portantoa r mod n a r . Desta forma, todos os inteiros esto em alguma das classes0 ,1 , ... , n 1 .Por outrolado, asclasses0 ,1 , ... , n 1 sotodasdistintas, poisdoisinteirosentre 0 en 1 s podem ser congruentes mdulo n se forem iguais.Representamos porn o conjunto de todas as classes de congruncia mdulo n . Ento: n={0 ,1 , ... , n 1 }Cada classe a um conjunto infinito. O inteiro a um representante da classe a . Veja que,para uma classe, podemos escolher qualquer elemento dela como representante. Por exemplo: para mdulo 5, qualquer inteiro da forma5k 1 representante da classe 1 .Nestaaula, vocestudouasrelaesdecongrunciamdulo n . Paraisso,aprendeu as relaes emgeral, conheceu algumas propriedades e viu, emparticular, que as relaes reflexivas, simtricas e transitivas so chamadasrelaes de equivalncia. 57Uma relaodeequivalnciaemumconjuntoparticionaesteconjunto em classes de equivalncia. Outropontoestudadofoi arelaodecongrunciamdulo n , queumarelaodeequivalncia. Oconjuntodasclassesdecongrunciamdulo n denotado porn. Voc viu ainda a demonstrao de que:n={0 ,1 , , n 1 }.A congruncia mdulo n uma poderosa ferramenta na Teoria dos Nmeros. Evocver, aolongodadisciplina, queessaferramentautilizadaquasequeuniversalmente.Atividades1) SejaS ={1,2 ,3 ,4 } . Considere as seguintes relaes em S:R1={1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 }R 2={1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 }R 3={1,1 , 1,2 , 2,2 , 2,3 , 3,3 , 4,4 }R 4={1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,3 }R5={1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 , 4,4 }Para cada uma das relaes anteriores, indique se reflexiva, simtrica ou transitiva.2) Determine se as afirmaes a seguir so verdadeiras ou falsas: a) 25 1 mod 12b)5 14 mod 3c) 12 2 mod3d) 57 t 5 mod 7, pa r a t odo t e)x217 y =3 mod 17 x23 mod1758Aula 6 - Operaes com Classes de CongrunciaA Matemtica a rainha das cincias e a Aritmtica a rainha da Matemtica.Carl Friedrich Gauss Como voc estudou na primeira aula, a aritmtica, termo utilizado para se referir Teoria dos Nmeros,temcomo objetivo estudar os nmeros inteiros, suasoperaes e representaes.Agora voc vai estudar as operaes com classes de congruncia. Neste prximopasso, vai aprender a definio de soma e de produto de classes mdulo n . Vocselembraqueaaulaanterior, sobreAritmticaModular, inicioucomaaritmtica das horas de um relgio? Vamos ver mais sobre esse exemplo.Texto 23 Definio de Soma e de Produto de ClassesA aritmtica do relgio uma aritmtica mdulo 24. Por exemplo, se o relgio marca 23 horas,aps 5 horas vai marcar 4 horas da manh. Isso acontece porque23 524 =4(aps s 24horas, o relgio volta a marcar 0 hora). Para uma aritmtica mdulo 24, temos a soma23 5=4 . Mais precisamente, em24, temos23 5=4 .Aoperaodesomaemndefinidanaturalmentepor a b =a b . Oproblemadestadefinioque a e b sorepresentantesdasclasses a eb , respectivamente.Nessecaso, se fossem utilizados outros representantes, seria obtido o mesmo resultado? Vamos ver umexemplo. Em8,65 =11 3 mod 8.Logo, 65=6 5=11 =3 .Mas 14 6 mod 8 e 21 5 mod 8 , logo 14 =6 e 21 5 mod 8 . Se somarmos65 , usando os representantes 14 e 21, vamos obter o mesmo resultado? Verificamosfacilmente que sim, pois14 21 =1421 =35 =3 .59 claro que este apenas um exemplo. Para que a definio a b =a bfaa sentido, temosde provar que, para qualquer inteiro positivo n , a soma a b nodependedosrepresentantes escolhidos nas classes aeb .Naprxima proposio, vamos provar que tanto asoma como o produto declasses nodependem da escolha dos representantes.Proposio. Emn, se a ' = aeb ' =b , ento 1. a ' b ' =a b2. a ' b ' =abDemonstraoa ' = a a ' a modn a ' =a k1n , para algumk1.b ' =b b ' bmod n b ' =b k2 n , para algumk2.Logo, a ' b ' =a k1 n b k2 n =a b k1k2 n a ' b ' a bmod n, o que mostra quea ' b ' =a b .a ' b ' =a k1 n b k2 n =a b a k2 n b k1 n k1 k2 n2=a b n bk1a k2k1 k2 n .Portantoa 'b ' a b modn a ' b ' =a b .Umaformaequivalentedeveraproposioanterior somar emultiplicarduascongrunciasmdulo n .Sea a 'modneb b 'modn, ento a b a ' b ' mod n a b a 'b 'modn60Seja k uminteiropositivo. Aomultiplicarumacongruncia a b modn porelamesmak vezes, obtemos:a b modn akbkmodnEm particular, sea 1 modn , ento ak1 mod npara todo k inteiro positivo.Pelo exposto, podemos, com toda a segurana, definir soma e produto de classes por a b =a b ab =abAssim, podemosagorasomar emultiplicar classesemn. Este, agora, nomaissumconjunto, mas um conjunto com operaes de soma e multiplicao.Essas operaes herdam diversas propriedades da soma e da multiplicao dos inteiros: Propriedades da soma a b c = a b c a b =b a a 0 = a a a =0 Propriedades da multiplicao ab c = ab c ab =b a a1= a Distributividade ab c = ab a cUmconjuntocomoperaesdesomaedemultiplicaoquesatisfazemsoitopropriedadeslistadas anteriormente chamado um anel. Podemos ento falar no Aneln.61Texto 24 Tabelas de Soma e de MultiplicaoUmamaneiradevisualizar asoperaesdesomaedemultiplicaodeclassesemnatravs de tabelas. Nelas, listamos todas as classes na primeira linha e na primeira coluna. Cadaentradanatabelacorrespondeoperaodoselementosindicadosnaprimeiralinhaenaprimeira coluna.Como exemplo, vamos fazer as tabelas de soma e de multiplicao de5:Vejaquealtimaentrada(direitaeabaixo) databelasoma3=44 . Natabelademultiplicao, a ltima entrada 1=44 . 62+01234 01 4230000011111222223333344444012341 42340301112223334440000000012Analisecuidadosamentetodasasentradasdessastabelas. Confiracadaumadelasparatercerteza de que voc entendeu a construo.Tabelas de soma e de multiplicao de4:Vamos continuar o estudo da estrutura den na prxima aula. Agora, vamos trabalhar algumasaplicaes da congruncia, iniciando pelas regras de divisibilidade.63+012312310102112223333000012312300122330100000022Texto 25 DivisibilidadeAs regras de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 11 so bemconhecidas. Como exerccio decongruncia, vamos entend-las.Observe inicialmente que, como usamos um sistema de numerao de base 10, se um inteiroa escrito comoa =a ka k 1... a 1a 0 , ento:a =a k10ka k 110k 1... a 110 a 0.Por exemplo, se a=257 , ento a =21025107=200 50 7.A seguir, veja os casos de divisibilidade:Divisibilidade por 3 e 9Como 10 1 mod 3 , ento10i1 mod3para qualquer expoente i . Assim, sea =akak 1 ... a1a0 , entoa =a k10ka k 110k 1... a 110 a 0 a ka k 1a 1a 0 mod 3 .O inteiro a divisvel por 3 se, e somente se, 3a a 0 mod3akak 1a1a00 mod 3ou seja, a divisvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisvel por 3.Omesmovalepara9. Como 10 1 mod 9 , ento10i1 mod9paraqualquer expoentei .Nesse caso o mesmo raciocnio se aplica. Vale que um inteiro a divisvel por 9 se, esomente se, a soma de seus algarismos for divisvel por 9.Voc deve ter percebido, nesse primeiro exemplo, que o artifcio para deduzir regras dedivisibilidade por n verificar a classe de congruncia de 10 e suas potncias mdulo n . 64Vamos a outro caso.Divisibilidade por 2 e 4Como10 0 mod 2 , ento 10i0 mod2, para todoi 0 .Assim, sea =a ka k 1... a 1a 0 , ento a =a k10ka k 110k 1... a 110 a 0 a0mod 2 .Logo, a divisvel por 2 se, e somente se,a0 for divisvel por 2, isto , quando a par.Com relao divisibilidade por 4,10 2 mod4 , mas10 0 mod4; logo10i0 mod4para todo i 2 .Portanto, sea =a ka k 1... a 1a 0 , entoa =a k10ka k 110k 1... a 110 a 0 a 110 a0mod4 .Assim, a divisvel por 4 se, e somente se, o nmeroa1cdota0 (nmero formado por seus doisltimos algarismos) for divisvel por 4.Exemplo:99.875.320 divisvel por 4, pois o nmero 20 .Divisibilidade por 5 e 10Como10 0 mod 5 , ento 10i0 mod5, para todoi 1 . Assim, sea =a ka k 1... a 1a 0, ento:a =ak10kak 110k 1... a110 a0 a0mod10 .Portanto, a divisvel por 5 se, e somente se,a0=0oua0=5 . Como 10 0 mod 10 , valeomesmoraciocnio, euminteiro a divisvel por 10se, esomente se,a0 for divisvel por 10, isto , quandoa0=0 .65Divisibilidade por 11Observe as classes mdulo 11 das potncias de 10. 10 1 mod11 . 1021 2mod11 1021 mod111031 3mod11 1031 mod 11Em geral, ao elevar10 1 mod11 potncia i , temos: 10i1 imod 11.Mas1 i={1 s e i pa r1 s e i mpa r}, logo10i {1 mod11 s e i pa r1 mod 11 s e i mpa r}.Assim,a =a k10ka k 110k 1... a110a 0 a k1 ka k 11 k 1...a2a 1a0 mod11Temos aquiuma soma alternada dos algarismos de a . O inteiro a divisvel por 11 se, esomente se,a 0 mod 11 a0a1a2a3... 1 ak0 mod11 .Ou seja, a divisvel por 11 se, e somente se, a0a1a2a3...1 ak for divisvel por11.Exemplo:a=28.435 divisvel por 11, pois53 4 8 2=0 , que divisvel por 11.Noprximotexto, vamos mostrar outraaplicaodascongruncias: oclculodepotnciasmdulo n .66Texto 26 PotnciasOutra aplicao muito til da congruncia determinar o resto da diviso de uma potncia akpor um inteiro n . A idia encontrar algum s , tal que as seja um inteiro pequeno, e fazer adiviso do expoente k pelo inteiro s .Sek =q s r , com0r s , ento a k=a q s r=asqar.Sea scongruentemdulo n auminteiropequeno, entopodemosreduzirakaumapotncia menor. Se, por exemplo, as1 modn, ento:a k=a sqar 1 1ararmod n , com 0r s .Veja a seguir alguns exemplos que vo facilitar a compreenso destas tcnicas.Exemplos:1) Calcule o resto da diviso de 1033por 99. Vamos usar o fato de que 1021 mod 99.Como33 =216 1 , ento: 1033=10216 1=10216101110 mod99 10 mod 99Portanto, 10 o resto da diviso de 1033 por 99.2) Calcule o resto da diviso de 234 por 15.Inicialmente, vamos determinar se alguma potncia de 2 pode facilitar a soluo. Veja:21=2, 22=4, 23=8, 24=16 1 mod15.Agora, utilizamos a potncia 24.Sendo343 =4 853, temos:2343=24t ime s 853=248523 1 8523mod15 8 mod15.67Portanto, o resto da diviso de 2343 por 15 8.3) Calcule o resto de 3125por 7.Vamos tentar as potncias de 3:31=3, 32=92 mod7, 33=27 1 mod7Podemos usar tanto 32 como 33 para resolver o problema. Para ilustrar, vamos fazer das duasmaneiras. Usando 322 mod7 e sendo125 =262 1 , temos 3125=32621=32623 2623 mod7.Agora, vamos tentar uma potncia de 2 adequada. Como 23=8 1 mod7, a diviso de 62 por3 resolve o problema. Sendo62 =203 2 , temos:31252623 mod7232023 mod7232023 mod 7 1223 mod 7ou seja, 312512 mod 7 5 mod7.Portanto, o resto de 3125 por 7 5. A outra soluo usa 331 mod7. Temos que125 =41 32 , logo3125=334132 1 4132 9 mod7 5 mod7,o que confirma que o resto da diviso de3125 por 7 5.Esses trs exemplos demonstram o uso de congruncia para encontrar restos de potncias. Valedestacar que a potncia exata a ser usada em cada caso depende do problema. Como vimos noltimo exemplo, nem sempre uma potncia a nica ou a melhor escolha. Outra questo que, dados inteiros positivos a e n , nem sempre h uma potncia de aque seja congruente a 1 mdulo n . Vamos voltar a esse assunto nas prximas aulas.68Nesta aula, definimos soma e produto de classes emn. Com estas operaes,n deixa de ser s um conjunto e passa a ser um anel, isto , um conjunto comoperaesdesomaedeprodutoquesatisfazemsoitopropriedadeslistadasnesta aula.Nas prximas aulas vamos aplicar as tcnicas de congruncia a dois problemas: odos testes de divisibilidade e o de determinao do resto pela diviso de potnciasgrandes de um inteiro por n .69Noendereohttp://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htmhuma discusso interessante sobre aritmtica modular e arte. Voctambmencontraumaplicativoqueconstri dinamicamentetabelasdesoma e de multiplicao modulares.Saiba mais: MduloA palavra mdulo foi introduzida na Matemtica pelo alemo Carl FriedrichGauss, em 1801, no seu famoso livro Disquisitiones Arithmeticae. Este umlivro-texto de Teoria de Nmeros; nele o matemtico Gauss rene osresultados obtidos anteriormente por Fermat, Euler, Lagrange, Legendre epelo prprio autor. Antesdolivro, aTeoriadosNmeroseraconsideradaumacoleoderesultados isolados e de conjecturas. Gauss, ento com 24 anos, deu umaestrutura lgica aos resultados conhecidos, corrigiu demonstraes falhas,preencheu as lacunas e ampliou vrios resultados. Atividades1) Elabore as tabelas de soma e de multiplicao de6.2) Determine um teste de divisibilidade para 8.3) Calcule o resto da diviso de:a)2303por 15.b)7250por 48 .c)561por 7 .70Aula 7 Diviso ModularNaltimaaula, vocestudouasdefiniesdeoperaesdesoma, diferenaemultiplicao emn .Agora, vamos apresentar a diviso mdulo n .Nestaparte, vocvai aprender tambmcomoescrever omdcdedoisinteiroscomo combinao linear deles, utilizando o algoritmo de Euclides. Texto 27 A inversa de uma classe de congruncia mdulo nPara iniciar o estudo, vamos a uma questo:Sec =a / b , entoa =b c . Podemos assim entender que dividir a por b encontrar umxtal queb x =a .Emn, seria a operao de encontrar uma classe x tal que b x = a ,ou seja, encontrar x de modo quebx a modn.Assim, dividir a por b equivalente a resolver a equao de congruncia anterior.Uma outra forma de entender a diviso vera / bcomo a1 / b =ab 1, isto , a diviso dea e b o produto de a pela inversa de b . J a inversa de b o nmero quemultiplicado por b resulta em 1, isto , b b 1=1.Emn, a inversa de b uma classe b ', tal que b b ' =1 . Assim, o problema de encontrara inversa de b equivalente a encontrar um inteirob 'tal que:b b ' 1 mod n.Perceba que neste ponto temos duas dificuldades: nem sempre uma classe emn tem inversa,71O que significa dividir a por b ?assimcomonemsempreaequao bx a modn temsoluo. Emconseqncia, nemsempre possvel dividir duas classes emn.. Exemplos: Em10, a classe 3 tem inversa, que a classe 7 , pois 37 =21 =1 . Por outrolado, a classe 2 no tem inversa em10. Note que, se voc tentar encontrar umaclasse xtal que 2 x =1 , no vai obter a soluo. Em5, todas as classes no-nulas tm inversa: 11 =1 , 23 =1 e 44=1 .De acordo com o que foi apresentado anteriormente, somos levados seguinte questo: quais asclasses que possuem inversa emn?Texto 28 Quando uma classe emn tem inversa?Seja a n. Se atem inversa a ' , ento: aa ' =1aa ' 1 mod n n aa ' 1 .Logo, existek , tal que: a a ' kn =1.Seja agorad =mdc a , n .Comod a ed n , ento:d a a ' kn d 1 d =1.Provamos, assim, que, seumaclasse a nteminversa, ento mdc a , n =1. Portanto,mdc a , n =1 uma condio necessria para que a classe apossua inversa. 72Mas ser essa uma condio suficiente?De fato, semdc a , n =1 , ento existemk1 e k2, tais quea k1nk2=1 . Logoa k11=nk2 mltiplo de n , ou seja, a k11 mod n ak1=1o que mostra que atem inversa emn .Provamos, desta forma, o seguinte:Proposio:A classe aemn tem inversa se, e somente se,mdc a , n =1.Exemplos: As classes que tm inversa em12 so{1 ,5 , 7 , 11 }. As classes que possuem inversa em10 so{1 ,3 , 7 , 9 }. As classes que tm inversa em5so{1 ,2 , 3 , 4 }.Uma conseqncia da proposio que se p primo, ento todas as classes no-nulas emppossuem inversa. Isto acontece porque, sendo p primo e 1a p 1 , entomdc a , p =1. o caso de5 , no exemplo anterior.Chamamos den* o subconjunto den formado pelas classes que tm inversa. Assim: 12* ={1 ,5 , 7 , 11 }. 10* ={1 ,3 , 7 , 9 }. p * ={1 , , p 1 }=p * {0 }.O conjunton *no fechado para a soma, isto , a soma de dois elementos que tm inversamdulo n pode no ter inversa mdulo n . Por exemplo, em12* , as classes1e5 tminversa, mas 15=6no possui inversa.No entanto, vale que:73DemonstraoSejam a eb duas classes em n * que tminversa. Sejamsuas inversas e ,respectivamente. A inversa de ab classe , pois: ab = a b = 11 = 1 .Texto 29 A congruncia lineara x b modnVamos voltar seguinte questo: a congruncia lineara x b modntem soluo? Com o quevimos anteriormente, podemos indicar uma situaoemqueacongrunciatenhasoluo:quandomdc a , n =1 .Semdc a , n =1 , ento o inteiro a tem inversamdulo n . Logoa x b modn a x b mod n 1x b mod n x b modn ,o que mostra quea x b modntem uma soluo quandomdc a , n =1 .E o que acontece quandomdc a , n 1 ? Neste caso, a equaoa x b modn pode tervrias solues ou nenhuma. Veja os exemplos: 2x6 mod 8 tem duas solues: x 3 mod8 e x 7 mod8 , pois23 6 mod 8 e 27 6 mod 8 , respectivamente. Observeque no h outrasoluo mdulo 8 (teste todos os inteiros entre 0 e 7). A congruncia2x7 mod 8 no tem soluo, poismdc 2,8 =2 7. Voc podecomprovar que isto verdade, testando os inteiros de 0 a 7.74Lema:o conjunton * fechado para a multiplicao. Assim, o produtode duas classes que possuem inversa sempre tem inversa. A soluo completa para o problema sobre o nmero de solues da equao de congruncialineara x b modn o seguinte Teorema, cuja demonstrao omitiremos.Teorema: A equao de congrunciaa x b modn tem soluo se, e somente se,b for mltiplo ded =mdc a , n .Alm disso, sed b ,a equao possui exatamente d solues mdulo n . Sex0 umasoluo qualquer, ento as d solues mdulo n so dadas por:xk=x0ndk, k =0 d 1 .Uma demonstrao do teorema pode ser encontrada em Introduo Teoria dos Nmeros, deJos Plnio de Oliveira Santos, 1998.Retornando aos dois exemplos anteriores: 2x6 mod 8tem duas solues, poismdc 2,8 =2e 2divide s 6 O valorx 3 mod 8 uma soluo bvia, pois23 =6 . A outra soluo x 382 7 mod8. 2x7 mod 8no tem soluo, porque mdc 2,8 =2e 2 7 .Observe que, quando dizemos que h d solues mdulo n , queremos mostrar que h dclasses mdulo n distintas que so solues da equao. H infinitos inteiros que so soluode a x b modn . No entanto, estes inteiros representam exatamente d classes decongruncia mdulo n .Por exemplo, a equao2x6 mod 8tem soluesx 3 mod 8ex 7 mod 8 , que soas classes 3 e7 em8. O inteirox =11 tambm soluo, mas11 3 .Observequex =15 tambm soluo, mas15 7 .Confira outro exemplo a seguir.75Determine todas as solues para a equao6 x 9 mod21 .Inicialmente, observamos que d =mdc 6,21 =3 e3divide9; logoaequaotemtrssolues mdulo 21. Tentando valores de x a partir de 0, encontramos a soluox0=5 . ( 65 =309 mod 21 ).A partir desta, encontramos todas as solues:xk=x0ndk, k =0 d 1 xk=5 7k , k =0,1 e 2.Portanto, as solues sox 5 mod 21 ,x 12 mod 21ex 19 mod 21 .Neste exemplo, a primeira soluo no era totalmente bvia, mas conseguimos encontr-la compoucas tentativas. claro que para nmeros maiores vamos precisar de outras tcnicas.Uma tcnica que sempre funciona escrever d =mdc a , n emtermos de a e n .Sabemos que existem inteirosx0ey0, tais qued =x0a y0 n .Comod b , entob /dum inteiro. Ao multiplicar a equao anterior por este inteiro, o resultado :bdd =bdx0a bdy0 n b =bx 0d a by0d n bx 0d a b modn.Vale destacar que a aplicao dessa tcnica depende de saber escrever o mdc de dois inteiroscomo combinao linear desses inteiros. Ser o assunto do prximo texto. Texto 30 - Como escrever o MDC de dois inteiros em combinao linear A soluo para o problema est no algoritmo de Euclides, o mesmo utilizado para determinar omximo divisor comum de dois inteiros. Uma pequena modificao no algoritmo permite