DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page i #1ii iTeoriadosN umeros:umpasseiocomprimoseoutrosn umerosfamiliarespelomundointeiroFabioE.BrocheroMartinezCarlosGustavoT.deA.Moreira NicolauC.SaldanhaEduardoTengan15denovembrode2009DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page ii #2ii iiiDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page iii #3ii iPrefacioO tema deste livro e a chamada TeoriadosN umeros, que e a parte da Mate-maticaquesededicaaoestudodosn umerosinteiroseseusamigos. N aoh ad uvidas de que o conceito de inteiro e um dos mais antigos e fundamentais dacienciaemgeral, tendoacompanhadoohomemdesdeosprim ordiosdesuahistoria. Assim, edecertaformasurpreendentequeaTeoriadosN umerosseja atualmente uma das areas de pesquisa mais efervescentes da Matem aticae que, mais do que nunca, continue a fascinar e desaar as atuais gera c oes dematematicos.DiferentementedemuitasoutrasareasdaMatem atica,aTeoriadosN u-meros sedistinguemuitomenospor seus metodos mas mais simpor seusproblemas,cujotemacomumsubjacenteeoden umerointeiro. Assim, porexemplo, enquantoumanalistautiliza-sedemetodosanalticospararesol-ver seus problemas e um algebrista empregue metodos algebricos para atacarquest oesalgebricas, emTeoriadosN umerosummesmoproblemapodere-querer paraasua solu c aoautiliza c aosimult aneade metodos algebricos,analticos, topologicos, geometricosecombinatorios,alemdeumaboadosedeimagina c ao! Talvezsejaesteaspectomultidisciplinar, aliada`asimplici-dadedeseusconceitoseaoseucar aterfundamental,quetornaaTeoriadosN umerosumdosramosmais popularesemtodaaMatem atica, cativandopessoasdeforma c ao totalmentediversas.Aescolhadostemasabordadosnestelivropretendejustamenteilustrarestapersonalidadem ultipladaTeoriadosN umeros. Assim, oleitorencon-traraaqui, alemdos t opicos jaconsagrados comoproprios daTeoriadosN umeros, taiscomodivisibilidade, congruencias,primos, razesprimitivasereciprocidade quadr atica, diversos outrosnainterfacecomoutras disciplinascomoAnalise,AlgebraeatemesmoComputa c ao: porexemplo, estudamosentreoutrosocomportamentoassint oticodefun c oesaritmeticas, aaritme-tica do anel de inteiros algebricos bem como alguns dos testes de primalidademaisecientesatualmenteconhecidos.A grande maioria dos resultados sao classicos (= vistos em classe) e nossa unica contribui c ao original (alem dos erros) e quanto `a sua apresenta c ao. Na-turalmente a escolha de quais temas foram abordados e quais foram deixadosdeforaemaisumreexodogostoedaexperienciapessoal den osautoresdo que uma meticulosamente calculada amostragem dos diversos aspectos daiiiDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page iv#4ii iiv PREFACIOteoria. Aindasim, acreditamosquecadaumdosaspectosmaisrelevantestenhasidocobertoempelomenos algumtrechodolivro, demodoqueoleitorn aosesentirafrustrado, tenhaeleinclina c oesmaisparaumaareadoqueoutra!Devolerestelivro?Bem, naturalmenteestae umquest aoque sovocepode responder! Masvejamos algumas das iguarias que voce estar a perdendose decidir quen ao:1. osteoremascaracterizandoquaisnaturaissaorespectivamentesomasdedois,tresequatroquadrados perfeitos(captulo2);2. duas demonstra c oes da famosa lei dereciprocidade quadr atica, um dosresultadosfavoritos deGau(captulos2e5);3. orecentementedescobertoalgoritmo AKS,quedemonstrou queopro-blema de decidir se um n umero inteiro e ou n ao primo pode ser resolvidoemtempopolinomial(captulo6);4. o teorema de Lucas-Lehmer, que fornece uma condi c ao necessaria e su-ciente para que um n umero da forma 2p1 seja primo, e cujo algoritmocorrespondenteerespons avel pelosmaioresprimosexplicitamenteco-nhecidosatualmente(captulo6);5. autiliza c aodefra c oescontnuasparaaobten c aodasmelhoresapro-xima c oesracionaisden umerosreaiseosteoremasdeKhintchine, quequanticamestasmelhoresaproxima c oes paraquasetodon umeroreal(captulos3e7);6. o teorema da fatora c ao unica em ideais primos no anel de inteiros alge-bricosdeumaextensaonitadeQ(captulo5);7. uma introdu c ao `a teoria de curvas elpticas, que e um dos temas centraisnaTeoriadosN umeroscontemporanea (captulo8).Porfalaremprimos,inclumosoapendiceA, intitulado Oteoremadosn umerosprimos, escritoporJorgeAar ao. Esteapendiceebasicamenteasuadisserta c aodemestrado, apresentadaem1988noIMPA, sobaorienta- c aodeJoseFelipeVoloch. Nelesao provados oteorema dosn umeros primoseoteoremadosn umerosprimosemprogressoesaritmeticas(queimplicaoteoremadeDirichlet). Trata-sedeumadasmelhoresreferenciasqueconhe-cemossobreoassunto. SomosmuitogratosaoJorgeporter-nospermitidoincluiressetextoemnossolivro.Masaquemexatamentesedestinaestelivro? Naverdade,estelivrofoiescrito tendo em mente leitores com bagagens tecnicas diversas e em diversosest agios de seu desenvolvimento matematico, seja o leitor aluno de gradua c ao,DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page v#5ii ivp os-gradua c ao, matematico prossional ou apenas um curioso accionado emMatem atica. Assim, a exposi c ao n ao segue um tempo uniforme: ela pode va-riardesdeumlargoouandante, nos captulosiniciais, ateumprestssimoemcertostrechosdasegundaparte. Aindasim,zemosumgenunoesfor coparamanteraexposi c aoomaisauto-contidapossvel, mesmoquandofaze-mosusodeferramentasumpoucomaisavan cadas, queacreditamosporemacessveis`amaioriadosalunosdegradua c aoemcursosdeCienciasExatas(porexemplo).Para facilitar a ado c ao deste livro em cursos de gradua c ao e p os-gradua c ao,dividimosolivroemduaspartes: Fundamentos e T opicosadicionaisba-canas. Aprimeiracobreoprogramamaisoumenostradicional emcursosdeTeoria Elementar dos N umeros, incluindotemas como divisibilidade, con-gruencias, razesprimitivas, reciprocidadequadr atica, equa c oesdiofantinasefra c oescontnuas. Nasegundaparte, oscaptulossaomaisoumenosin-dependentesentresi, evariostrechospodemserutilizadosemseminarios,projetos de inicia c ao cientca ou como t opicos especiais em cursos. Em todocaso,excetuando-seosdoisprimeiroscaptulos,cujosresultadossaoutiliza-dos constantemente ao longo de todo o texto, a leitura n ao precisa serlinear:oleitorecompletamentelivreparaexcursionarpelosdiversostemasqueoatrarem eapreciar apaisagem nesta,esperamos,agradavel viagem.ExemploseProblemasPropostosExemplos e exerccios sao uma parte importante no aprendizado de qualquernovo assunto e n ao poderia ser diferente neste livro. Mas, como mencionamosno incio, isto e ainda mais verdade em Teoria dos N umeros, cujo pilar centralunicador saoexatamente os problemas. H amais de 80exemplos e 200exerccios, de diculdades as mais variadas, incluindo desde c alculos rotineirosateproblemasdesaantesextradosdediversasOlimpadasdeMatem aticaaoredordomundo. Para estes,utilizamosasseguintesabrevia c oes: AusPol: OlimpadaAustro-Polaca deMatem atica IMO:InternationalMathematicalOlympiad OBM:OlimpadaBrasileira deMatem atica OIbM:OlimpadaIbero-americana deMatem aticaExortamos veementemente o leitor a tentar resolver o maior n umero poss-vel de problemas. Exerccios matematicos sao de certa forma como exercciosfsicos: vocen aocara emforma sesoolhar outros fazendo. . . Ealem disso,problemas matematicos sao como esporte amador: voce n ao tem nada a per-deraotentar,alemdeserem muitodivertidos!Confessamos que n aoresolvemos cadaqual dos exerccios, assimpodehaverpequenoserrosnamaneiraemqueelessaoapresentados,enestecasoDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page vi #6ii ivi PREFACIOepartedoexerccioobterumaformula c aocorreta. Casooleitorencareistocomumlapsodapartedos autores, queremos ent aolembrar os seguintesversosdeGoethe:Irrtum verlat unsnie,dochzieheteinhoherBed urfnisImmerdenstrebendenGeistleisezurWahrheithinan.1TerminologiaFrequenteeNotacoesUtilizamos aja consagrada nota c ao N, Z,Q, R, Cpara denotar os conjuntosdos n umeros naturais (incluindo o zero), inteiros, racionais, reais e complexos.Alemdisso,aolongodetodoolivroutilizaremosaseguinteterminologia:1. CLaramente: N os n aoestamos comvontadede escrever todos ospassosintermedi arios.2. Lembre: N osn aodeveramosterquedizeristo,mas. . .3. Sem Perda de Generalidade:N os n ao faremos todos os casos, ent aovamosfazersoumedeixarvoceadivinharoresto.4. Verifique: Esta eapartechatadaprova,ent aovocepodefaze-lanaprivacidadedoseular,quandoninguemestiverolhando.5. Esbo codeprova: Estamoscommuitapregui cadefazerosdetalhes(ou n ao sabemos direito como faze-los), ent ao so listamos alguns passosquefazempartedoargumento.6. Dica: Amaneiramaisdifcil dentreasvariasmaneirasdeseresolverumproblema.7. Analogamente: Pelo menos uma linha da prova acima e igual `a provadestecaso.8. Porumteoremaanterior: N osn aonoslembramosdecomoeraoenunciado(naverdade,n aotemoscertezaseprovamosistooun ao),masseoenunciadoest acorreto, orestodaprovasegue.9. Provaomitida: Acredite,everdade.Novembro de2009 Gugu,Nicolau,FabioeET1Errosnuncanosabandonam, aindasimumnecessidademaior empurragentilmentenossosespritosalmejantesemdire c aodaverdade.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page vii #7ii iviiYoung Men should prove theorems, old men should write bo-oks.G.H.HardyTogetabookfromthesetexts, onlyscissorsandgluewereneeded.J.-P.Serre(coment arioaoreceberopremioSteeleporseulivro CoursdArithmetique)DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page viii #8ii iviii PREFACIODRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page ix#9ii iSumarioPrefacio iiiI Fundamentos 10 Princpios 30.1 PrincpiodaIndu c aoFinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 PrincpiodaCasadosPombos . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 DivisibilidadeeCongruencias 131.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 mdc,mmceAlgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 OTeoremaFundamentaldaAritmetica . . . . . . . . . . . . 211.4 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 OAneldeInteirosM odulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 AFun c aodeEulereoTeoremadeEuler-Fermat . . . . . . . 391.8 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.9 OrdemeRazesPrimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Equa c oesM odulom 612.1 Equa c oes LinearesM odulom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Congruencias deGrau2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.1 ResduosQuadr aticos eSmbolodeLegendre . . . . . 672.2.2 LeideReciprocidadeQuadr atica . . . . . . . . . . . . 692.3 Congruencias deGrauSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Equa c oesDiofantinas 813.1 TernasPitag oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 SomadeQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2.1 SomadeDoisQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2.2 SomadeQuatroQuadrados eoProblema deWaring. 903.2.3 SomadeTresQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.4 TeoremadeMinkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95ixDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page x#10ii ix SUMARIO3.3 DescensoInnitodeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.1 Equa c ao deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.2UltimoTeoremadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Fra c oesContnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4.1 ReduzidaseBoasAproxima c oes . . . . . . . . . . . . 1103.4.2 BoasAproxima c oes saoReduzidas . . . . . . . . . . . 1133.4.3 Fra c oes ContnuasPeriodicas . . . . . . . . . . . . . . 1153.5 Equa c ao dePell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.1 Solu c aoInicialdaEqua c ao dePell . . . . . . . . . . . 1213.5.2 AEqua c aox2Ay2= 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1223.5.3 Solu c oesdaEqua c ao x2Ay2= c . . . . . . . . . . . 1253.5.4 Solu c oesdaEqua c ao mx2ny2= 1 . . . . . . . . . 126II TopicosAdicionaisBacanas 1314 Fun c oesAritmeticas 1334.1 Fun c oesMultiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2 Fun c aodeMobiuseFormuladeInversao . . . . . . . . . . . 1374.3 AlgumasEstimativassobrePrimos . . . . . . . . . . . . . . . 1414.4 AFun c aodeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.5 AFun c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6 N umerosLivredeQuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.7 AsFun c oese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.8 AFun c aoN umerodeDivisoresd(n) . . . . . . . . . . . . . . 1554.9 AFun c aoCustoAritmetico(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 1575 InteirosAlgebricos 1635.1 InteirosdeGaueEisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2 ExtensoesQuadr aticas eCiclot omicas . . . . . . . . . . . . . 1695.3 AlgunsResultadosdeAlgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3.1 Polinomios Simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3.2 Extensoes deCorposeN umerosAlgebricos . . . . . . 1765.3.3 Imers oes, Tra coeNorma . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.4 InteirosAlgebricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.5 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.5.1 Fatora c aoUnicaemIdeaisPrimos . . . . . . . . . . . 1995.6 GrupodeClasseeUnidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026 Primos 2116.1 SobreaDistribui c aodosN umerosPrimos . . . . . . . . . . . 2116.1.1 Postulado deBertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.1.2 TeoremadosN umerosPrimos . . . . . . . . . . . . . . 2136.1.3 PrimosGemeosePrimosdeSophieGermain . . . . . 2156.1.4 OutrosResultadoseConjecturassobrePrimos . . . . 2216.2 FormulasparaPrimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page xi #11ii iSUMARIO xi6.3 TestesdePrimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.3.1 Trabalhos AnterioresaoAKS . . . . . . . . . . . . . . 2336.3.2 TestesdePrimalidadeBaseados emFatora c oes den 1 2346.3.3 TestedeAgrawal, Kayal eSaxana . . . . . . . . . . . 2366.4 PrimosdeMersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.5 SequenciasRecorrenteseTestesdePrimalidade. . . . . . . . 2466.6 AspectosComputacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.6.1 OAlgoritmodeMultiplica c aodeKaratsuba. . . . . . 2526.6.2 Multiplica c aodePolinomiosUsandoFFT. . . . . . . 2536.6.3 Multiplica c aodeInteirosUsandoFFT. . . . . . . . . 2576.6.4 AComplexidadedasOpera c oes Aritmeticas. . . . . . 2596.7 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607 Aproxima c oesDiofantinas 2657.1 TeoriaMetricadasAproxima c oesDiofantinas . . . . . . . . . 2657.2 Aproxima c oes N ao-Homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.3 OTeoremadeKhintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.3.1 OCasoUnidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.3.2 OTeoremadeKhintchineMultidimensional . . . . . . 2737.4 N umerosdeLiouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2778 Introdu cao`asCurvasElpticas 2818.1 CurvasElpticascomoCurvasProjetivasPlanas . . . . . . . 2818.2 ALeidaCorda-Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.3 CurvasElpticascomoRosquinhas . . . . . . . . . . . . . . . 286III Apendices 293AOTeoremadosN umerosPrimos(porJorgeAarao) 295A.1 OsConceitosBasicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297A.1.1 AFun c aoZetadeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . 297A.1.2 AFun c ao(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301A.2 TeoremasTauberianos eoTeoremadosN umerosPrimos . . . 304A.2.1 Teoremas Tauberianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304A.2.2 OTeoremadosN umerosPrimos . . . . . . . . . . . . 309A.3 CarateresdeGrupos, L-Series deDirichlet eoTeoremaemProgressoes Aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310A.3.1 AFun c ao(x; q, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310A.3.2 Carateres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311A.3.3 L-seriesdeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314A.4 OLemadeLandau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319A.5 Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page xii #12ii ixii SUMARIOB SequenciasRecorrentes 321B.1 SequenciasRecorrentesLineares . . . . . . . . . . . . . . . . 322B.2 ASequenciadeFibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323B.3 ARecorrencia xn+1= x2n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325B.4 FormulasGeraisparaRecorrencias Lineares . . . . . . . . . . 326Bibliograa 339DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 1 #13ii iParteIFundamentos1DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 2 #14ii iDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 3 #15ii iCaptulo0PrincpiosNestecaptulopreliminar veremosduas propriedades b asicas dos n umerosnaturais,oPrincpiodaIndu c aoFinitaeoPrincpiodaCasadosPombos.0.1 PrincpiodaInducaoFinitaSejaP(n)umapropriedadedon umeronatural n,porexemplo: npodeserfatoradoemumprodutoden umerosprimos; 1 + 2 + +n =n(n+1)2; aequa c ao2x + 3y= nadmitesolu c aocomxeyinteirospositivos.UmamaneiradeprovarqueP(n)everdadeiraparatodonatural n n0eutilizarochamadoPrincpiodaIndu c aoFinita(PIF), queeumdosaxiomasquecaracterizam oconjuntodosn umerosnaturais. OPIFconsisteemvericar duascoisas:1. (BasedaIndu c ao)P(n0) everdadeira e2. (Passo Indutivo) Se P(n) e verdadeira para algum n umero natural n n0,ent aoP(n + 1)tambem everdadeira.Na base da indu c ao, vericamos que a propriedade e valida para um valorinicial n = n0. O passo indutivo consiste em mostrar como utilizar a validadeda propriedade para um dado n (a chamada hip otese de induc ao) para provaravalidadedamesmapropriedadeparaointeiroseguinten + 1. Umavez3DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 4 #16ii i4 CAPITULO0. PRINCIPIOSvericadosabaseeopassoindutivo,temosuma cadeiadeimplica c oesP(n0) everdadeira (base)passoindutivo=P(n0 + 1) everdadeirapassoindutivo=P(n0 + 2) everdadeirapassoindutivo=P(n0 + 3) everdadeira...demodoqueP(n) everdadeira paratodonaturaln n0.Vejamosalgunsexemplos.Exemplo0.1Demonstrarque,paratodointeiropositivon,1 + 2 + +n =n(n + 1)2.Solu c ao: Observemos que 1 =122donde a igualdade vale para n = 1 (basedaindu c ao). Agorasuponhaqueaigualdadevalhaparan = k(hip otesedeindu c ao):1 + 2 + +k =k(k + 1)2Somandok + 1aambosladosdaigualdade,obtemos1 + 2 + +k + (k + 1) =k(k + 1)2+ (k + 1) =(k + 1)(k + 2)2de modo que a igualdade tambem vale para n = k +1. Pelo PIF, a igualdadevaleparatodon umeronatural n 1.Exemplo0.2Demonstrarque,paratodon umeronaturaln,Mn= n(n2 1)(3n + 2)em ultiplode24.Solu c ao: Vejaquesen = 0ent aoM0= 0,que eumm ultiplode24(basedaindu c ao).Agora, suponhamos quepara certo inteirokon umero Mkedivisvel por24(hip otesedeindu c ao)evamosmostrarqueMk+1tambem edivisvelpor24(passoindutivo). Calculamosprimeiramenteadiferen caMk+1Mk= (k + 1)_(k + 1)21__3(k + 1) + 2_k(k21)(3k + 2)= k(k + 1)[(k + 2)(3k + 5) (k 1)(3k + 2)]= 12k(k + 1)2.Comoumdos n umeros naturais consecutivos kek+1e par, temos quek(k+ 1)2esemprepar, logo12k(k + 1)2seradivisvel por24. Comoporhipotese de indu c ao Mk e divisvel por 24, temos que Mk+1= Mk+12k(k+1)2tambem edivisvelpor24,comosequeriademonstrar.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 5 #17ii i0.1. PRINCIPIODAINDU CAOFINITA 5Uma variante do PIF e a seguinte versao (` as vezes apelidada de princpiodeinduc aoforteou princpiodeinduc aocompleta),emquesedevemostrar1. (BasedaIndu c ao)P(n0) everdadeira e2. (PassoIndutivo) Se P(k) e verdadeiraparatodo natural k tal quen0 k n,ent aoP(n + 1)tambem everdadeira.Exemplo0.3AsequenciadeFibonacci Fneasequenciadenidarecursi-vamenteporF0= 0, F1= 1 e Fn= Fn1 +Fn2paran 2Assim,seusprimeirostermoss aoF0= 0, F1= 1, F2= 1, F3= 2, F4= 3, F5= 5, F6= 8, . . .MostrequeFn=nn onde =1+52e=152s aoasrazesdex2= x + 1.Solu c ao: Temos que F0=00= 0 e F1=11= 1 (base de indu c ao).Agorasejan 1esuponhaqueFk=kkparatodokcom0 k n(hip otesedeindu c ao). Assim,Fn+1= Fn +Fn1=nn +n1n1 =(n+n1) (n+n1) =n+1n+1 pois2= +1 =n+1= n+n1eanalogamente n+1= n+n1.Observeque, nesteexemplo, comoopassoindutivoutilizaosvaloresdedoistermosanterioresdasequenciadeFibonacci, abaserequervericaraformulaparaosdoistermosiniciaisF0eF1en aoapenasparaoprimeirotermo.Exemplo0.4Demonstrar que, para quaisquer naturais n m, o coecientebinomial_nm_def=n!m!(n m)!einteiro.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 6 #18ii i6 CAPITULO0. PRINCIPIOSSolu c ao: Procederemosporindu c aosobreasomam + n. Sem + n=0ent ao m = n = 0 e_00_= 1 e inteiro (base de indu c ao). Para o passo indutivo,observeprimeiramentequepara0 3n2+ 3n + 1.0.5Mostrequeparatodonekinteirospositivos_nn_+_n + 1n_+_n + 2n_+ +_n +kn_=_n + k + 1n + 1_.0.6Demonstreaf ormuladobinomiodeNewtonparannatural:(x +y)n=_n0_xn+_n1_xn1y + +_nn 1_xyn1+_nn_yn.0.7Encontrarcomdemonstra c aoumaexpress aoparaomultin omio(x1 +x2 + +xk)nemtermosdoscoecientesmultinomiais_ni1, . . . , ik_def=n!i1!ik!ondei1 + +ik= n.0.8Considerenretasemposi c aogeral emumplano, istoe, semquehajaduasretasparalelasoutresretasconcorrentesemummesmoponto.(a) Determineemfun c aodenon umeroderegi oesemqueasretasdividemoplano.(b) Demonstrequeepossvel coloriressasregi oescomduascoressemqueduasregi oesvizinhastenhamamesmacor(duasregi oess aovizinhasseelaspossuemumsegmentoderetaemcomum).0.9Sejam x1, . . . , xnn umeros reais positivos. Neste exerccio vamosprovarquex1 + +xnnnx1 xn.Tal desigualdadeeconhecidacomodesigualdade dasmedias aritmeticaege-ometrica.(a) UtilizeoPIFparamostraradesigualdadedasmediasparan = 2k.(b) Sejamx1, . . . , xnreaispositivosxadoseA =x1++xnnamediaaritme-ticadestesn umeros. Suponhaqueadesigualdadevalhaparan+1n ume-rosreaispositivosquaisquer;aplicando-aparax1, . . . , xn, A,concluaqueadesigualdadevaletambemparaquaisquernn umerosreaispositivos.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 9 #21ii i0.2. PRINCIPIODACASADOSPOMBOS 9(c) Combinandoositensanteriores,proveadesigualdadeparatodonnatu-ral.0.10Demonstrar que para cada n umero natural n existe um n umero naturalMsatisfazendosimultaneamenteasseguintesduascondi c oes:(i) Mpossuindgitospertencentesaoconjunto 1, 2.(ii) Medivisvel por2n.0.11(IMO1987) Mostre que n aoexiste umafun c aof : N Ntal quef(f(n)) = n + 1987paratodon N.0.2 PrincpiodaCasadosPombosEintuitivamenteclaroquesecolocamosn + 1objetosemngavetasent aohaveraaomenosumagavetacommaisdeumobjeto. IstoeexatamenteoquearmaochamadoPrincpiodaCasados Pombos (PCP)ouPrincpiodas Gavetas de Dirichlet : se temos kn+1 pombos e n casinhas, ent ao existiraumacasinha ondehavera pelomenosk +1pombos. Defato,seemtodasascasas houvesse no maximo k pombos, ent ao o n umero de pombos n ao poderiaultrapassar kn.O PCP parece bastante inocente, mas tem muitas aplica c oes interessantes,especialmente em argumentos de existenciaem que n ao se determina o objetoprocuradoexplicitamente. Comoexemplosfalammaisdoque103palavras,vejamosalguns.Exemplo0.7DoconjuntoA= 1, 2, . . . , 99, 100,escolhemosaoacaso51n umeros. Demonstrarqueentreosn umerosescolhidossempreexistemdoisques aoconsecutivos.Solu c ao: Para provar isto, primeiro escolhamos gavetas adequadas ao pro-blema. Distribumososn umerosdeAem50 gavetas assimconstrudas:1, 2 3, 4 5, 699, 100Comoh a50gavetasdasquaisretiramos51n umeros, sempreexistiraumagavetadaqual escolhemosdoisn umeroseestes, gra cas`anossaconstru c ao,seraoconsecutivos. Podemosgeneralizaresteresultadoconsiderandoosn u-meros 1, 2, . . . , 2neescolhendodentreelesn + 1n umerosaoacaso.Exemplo0.8DoconjuntoA= 1, 2, . . . , 99, 100,escolhemosaoacaso55n umeros. Demonstrarqueentreosn umerosescolhidossempreexistemdoistaisquesuadiferencae9.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 10#22ii i10 CAPITULO0. PRINCIPIOSSolu c ao: Comonoexemploanterioroproblema edescobrircomoformaras gavetas. Consideremos as gavetas numeradas 0, 1, 2, . . . , 8, onde o n umeronecolocadonagavetaise,esose,orestonadivisaodenpor9 ei. Comoescolhemos 55 = 9 6 +1n umeros,peloPCPexistira umagaveta jnaqualh a7oumaisn umerosescolhidos. Masemcadagavetah anomaximo12n umeros(porexemplo,oconjunto 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100possui exatamente12elementos). Segue, comonoproblemaanterior, queexistiraodoisn umerosqueserao consecutivos emtalconjunto,istoe,doisn umeroscujadiferen ca e9.Exemplo0.9Demonstrar que qualquer conjuntode ninteiros possui umsubconjunton aovaziocujasomadoselementosedivisvel porn.Solu c ao: Sejama1, a2, . . . , anoselementosdoconjunto, edenamosassomasparciais sj=a1++ ajparaj =1, . . . , n. Sealgumdossjedivisvelpornoproblema caresolvido. Senenhum edivisvelporn,ent aoospossveisrestosnadivisaopornsao1, 2, . . . , n 1ecomoh ansomasparciaispeloPCPexistemduassjeskcomj 1 e chamado primose os unicos divisorespositivosdepsao1epeumnaturaln>1echamadocompostoseadmiteoutrosdivisoresalemde1en. Observemosque1n aoenemprimonemcomposto.Claramente, se p e primo e p a temos mdc(p, a) = 1. Usando a proposi c aoanterioreindu c aotemososeguinteresultado:Corolario1.10Sejapumn umeroprimoesejama1, . . . am Z. Sep [a1 am,ent aop [ aiparaalgumi,1 i m.Oproximolemaresumealgumaspropriedades uteisdomdc:Lema1.11Temos1. Sepeprimo,ent aomdc(a, p)e1oup.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 19#31ii i1.2. MDC,MMCEALGORITMODEEUCLIDES 192. Sekeuminteiro,ent aomdc(a, b) = mdc(a kb, b).3. Sea [ c,ent aomdc(a, b) [ mdc(c, b).4. Semdc(a, b) = 1,ent aomdc(ac, b) = mdc(c, b).Demonstra c ao: Oprimeiro item eclaro eosegundo eapenasumarefor-mula c ao do lema 1.4. Para provar o terceiro item, observe que mdc(a, b) [ a ea [ cimplicamquemdc(a, b) [ c. Comotambemtemosmdc(a, b) [ b,conclu-mosquemdc(a, b) [ mdc(b, c)porBachet-Bezout. Finalmente,paramostraro ultimoitem, noteprimeiroquemdc(c, b) [ mdc(ac, b) pois mdc(c, b) di-videsimultaneamente ace b. Reciprocamente, para mostrar quemdc(ac, b) [mdc(c, b), podemosescreverax + by=1comx, y ZporBachet-Bezout.Assim, mdc(ac, b)divideacx + bcy=cetambemdivideb, logodividemdc(c, b).Vejamos comopodemos usar as propriedades acimaparasolucionar oseguinteExemplo1.12Sejaman=100 + n2edn=mdc(an, an+1). Calculardnparatodon.Solu c ao: Aplicandoapropriedade2temosquedn= mdc(100 +n2, 100 + (n + 1)2) = mdc(100 +n2, 2n + 1).Como2n + 1e mpar, mdc(4, 2n + 1)=1epelaspropriedades4e2temosquedn= mdc(400 + 4n2, 2n + 1)= mdc(400 + 4n2(2n + 1)(2n 1), 2n + 1)= mdc(401, 2n + 1).Como401eprimo, ent aomdc(401, 2n + 1)=401se2n + 1=401k(comk = 2r + 1inteiro mpar)emdc(401, 2n + 1) = 1casocontrario, ouseja,dn=_401 sen = 401r + 200comr Z1 casocontrario.Aproxima proposi c ao conectao mdceommcdedoisinteiros epodeserutilizada, juntamentecomoalgoritmodeEuclides, paraoc alculoecientedommc.Proposi cao1.13Sejamaebdoisn umerosnaturais,ent aomdc(a, b)mmc(a, b) = ab.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 20#32ii i20 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASDemonstra c ao: Escreva d = mdc(a, b) e a = a1d e b = b1d onde a1, b1 Zsaotaisquemdc(a1, b1) = 1. Temosmmc(a, b) = alparaalguml Z; alemdisso, b [ mmc(a, b) b1d [ a1dl b1 [ a1l. Comomdc(a1, b1)=1, istoimplicaque b1[ l pelaproposi c ao1.9. Peladeni c aode mnimom ultiplocomum, temos quel deveser omnimon umerodivisvel por b1,assimconclumosquel =b1eportantommc(a, b)=b1a. Logomdc(a, b) mmc(a, b) = db1a = ab.Ademonstra c aoque demos doteoremade Bachet-Bezout n aomostracomo efetivamente encontrar uma solu c ao de ax+by = mdc(a, b). Porem, istopodeserfeitoutilizando-seoalgoritmo deEuclides,comomostraoexemploaseguir. Defato,esteexemplo podeservir como pontodepartida para umasegundademonstra c ao doteoremadeBachet-Bezout (vejaosexerccios).Exemplo1.14Encontretodososx, y Ztaisque1001x + 109y = mdc(1001, 109).Solu c ao: Fazemos as divisoes sucessivas para o c alculo de mdc(1001, 109) =1utilizandooalgoritmodeEuclides(vejaoexemplo1.5). Emseguida,iso-lamososrestos:20 =1001109 99 =10920 52 =209 21 =92 4Note que a ultima divisao permite expressar o mdc 1 como combina c ao linearde9e2:9 1 2 4 = 1.Masdapen ultimadivisao, temosque 2 = 209 2, logosubstituindoestaexpressao nacombina c ao linearacima,temos9(209 2)4 = 1 9 9 20 4 = 1eagoraexpressamos1comocombina c aolinearde20e9. Repetindoesteprocedimento, eventualmenteexpressaremos 1comocombina c aolinear de1001e109. Tomamosocuidadode lembrar quaissaoos coecientes aebnasequa c oesax + by= mdc(a, b)duranteassimplica c oes. Continuando,obtemos1 = (10920 5)9 20 4 =109 9 20 491 =109 9 (1001 109 9)49 =1001 (49) +109 450DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 21#33ii i1.3. OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 21Logo uma solu c ao da equa c ao 1001x+109y = 1 e (x0, y0) = (49, 450). Paraencontraras demais, escrevemosoladodireitodestaequa c aoutilizandoasolu c aoparticularqueacabamosdeencontrar:1001x + 109y = 1001x0 + 109y01001(x x0) = 109(y y0).Comomdc(1001, 109) = 1temospelaproposi c ao 1.9que1001dividey y0,ou seja, y y0 = 1001t para algum t Z e, portanto, xx0= 109t. Assim,assolu c oesdaequa c aodadasaotodosospontosdareta1001x + 109y=1daforma(x, y) = (x0109t, y0 + 1001t) = (49, 450) + (109, 1001)tcomt Z.Emgeral, oraciocniodoexemploacimamostraquesemdc(a, b) =1e(x0, y0)eumasolu c aodaequa c aoax + by=c, ent aotodasassolu c oesinteirassaodadasporx = x0bkey= y0 +akcomk Z.Exemplo1.15Sejama, b>0commdc(a, b)=1. Mostrequesec>ab a b,ent aoaequac aoax +by = cadmitesolu c oesinteirascomx, y 0.Solu c ao: Seja(x0, y0) umasolu c aointeira(queexistepeloteoremadeBachet-Bezout). Devemosmostraraexistenciadeuminteiroktalquex = x0bk > 1 e y= y0 +ak > 1,ouseja,y0 + 1a< k 1.1.3 OTeoremaFundamentaldaAritmeticaEstamos agora prontos para enunciar o teorema que caracteriza todo n umeronaturalemtermosdeseus constituintes primos.Teorema1.16(TeoremaFundamental daAritmetica) Seja n 2 umn umeronatural. Podemosescreverndeuma unicaformacomoumproduton = p1 pmondem 1eumnaturalep1 . . . pms aoprimos.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 22#34ii i22 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASDemonstra c ao: Mostramos a existencia da fatora c ao de n em primos porindu c ao. Seneprimon aoh aoqueprovar(escrevemosm = 1,p1= n). Senecompostopodemosescrevern = ab,a, b N,1 < a < n,1 < b < n. Porhipotese de indu c ao, a e b se decomp oem como produto de primos. Juntandoasfatora c oesdeaeb(ereordenandoosfatores)obtemosumafatora c aoden.Vamosagoramostraraunicidade. Suponhaporabsurdoquenpossuiduasfatora c oesdiferentesn = p1 pm= q1 qm ,comp1 . . . pm, q1 . . . qm equenemnimocomtal propriedade.Comop1 [q1 qm temosp1 [qiparaalgumvalordeipelocorol ario1.10.Logo, comoqieprimo, p1=qiep1 q1. Analogamentetemosq1 p1,dondep1= q1. Masn/p1 = p2 pm= q2 qmadmite uma unica fatora c ao, pela minimalidade de n, donde m = m e pi= qiparatodoi,oquecontradizofatodenterduasfatora c oes.Outraformadeescrever afatora c ao acima en = pe11. . . pemm,comp1 0. Aindaoutraformula c ao eescrevern = 2e23e35e5. . . pep. . .onde oprodutoe tomadosobre todos os primos mas apenas umn umeronitodeexpoentes emaior do quezero. Vamosnos referir a qualquer destasexpressoescomoafatora c aocan onicadenemprimos.Afatora c ao unicaemprimosseaplicaemcontextosmaisgerais, comoveremos mais tarde. Aqui, como aplica c ao imediata do Teorema FundamentaldaAritmetica,vamos mostrar aprova atribuda aEuclides para a existenciade innitos primos (uma prova com mais de 2000 anos e que ainda funciona!).Teorema1.17(Euclides) Existeminnitosprimos.Demonstra c ao: Suponhaporabsurdoquep1, p2, . . . , pmfossemtodososprimos. On umeroN=p1p2. . . pm + 1>1n aoseriadivisvel pornenhumprimopi,oquecontradizoTeoremaFundamentaldaAritmetica.Observequen aoprovamosquep1p2. . . pm + 1eprimoparaalgumcon-juntonitodeprimos(porexemplo, osmprimeirosprimos). Alias, 23 571113 + 1=30031 =59509n aoeprimo. N aoseconhecenenhumaformula simplesquegere sempre n umeros primos (vejaa sec ao 6.2 para umadiscuss aosobreesteassunto).DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 23#35ii i1.3. OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 23Embora a quantidade de primos seja innita, uma quest ao natural e saberoquao raros ou frequentes elessao. Nasegundapartedolivro, discuti-remosmaisafundoestaquest aosobreadistribui c aodosprimos. Poroutrolado, einteressantenotarqueexistemcadeiasarbitrariamente longasden u-meroscompostosconsecutivos: nasequencia(k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3, (k + 1)! + 4, . . . , (k + 1)! + (k + 1),nenhumtermoeprimo,poiselesadmitemfatoresproprios2, 3, 4, . . . , k + 1,respectivamente.Exemplo1.18(OIbM1987) Asequenciapnedenidadaseguinte forma:(i) p1= 2.(ii) Paratodon 2,pneomaiordivisorprimodaexpress aop1p2p3 pn1 + 1.Demonstrarquepnediferentede5.Solu c ao: Dadoquep1=2, p2=3, p3=7, segue-sequeparaqualquern 3, p1p2 pn1em ultiplode2ede3, portantop1p2 pn1+ 1n aoem ultiplonemde2nemde3. Alemdisso, comop1=2, ent aopne mparparatodon 2,assim p1p2 pn1n ao em ultiplode4.Suponhamos queexista n talque pn= 5,isto e,o maior divisor primo dep1p2 pn1 + 1e5. Como2e3n aodividemp1p2 pn1 + 1,temosquep1p2 pn1 + 1 = 5k.Portantop1p2 pn1= 5k1 = (5 1)(5k1+ 5k2+ + 5 + 1),donde4 [ p1p2 pn1,umacontradi c ao.Exemplo1.19Determinetodasasternas(a, b, c)deinteirospositivostaisquea2= 2b+c4.Solu c ao: Comoa2=2b+ c4(a c2)(a + c2)=2b, peloTeoremaFundamental da Aritmetica existem dois naturais m > n tais que m+n = b,a c2=2nea + c2=2m. Subtraindoasduas ultimasequa c oes, obtemosque2c2= 2m2n,assimc2= 2n1(2mn 1). Como2n1e2mn1saoprimos entre si e o seu produto e um quadrado perfeito (i.e. os expoentes daspotencias deprimosdistintos saopares), novamentepeloTeoremaFunda-mental da Aritmetica 2n1e 2mn1 devem ser ambos quadrados perfeitos,logo n 1 epar e2mn1 = (2k 1)2para algum inteiro positivo k. Como2mn= (2k 1)2+1 = 4k(k 1) +2 edivisvel por2masn aopor4,temosm n=1. Assim, fazendon 1=2t, temosquetodasassolu c oessaodaforma(a, b, c) = (322t, 4t + 3, 2t)comt Neefacilvericarquetodososn umerosdestaformasaosolu c oes.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 24#36ii i24 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASSeguedoTeoremaFundamental daAritmeticaquetododivisorden=pe11. . . pemmedaformapd11. . . pdmmcom0 di ei. Assim, obtemos ooutroalgoritmousual paracalcularomdcdedoisn umeros: fatoramososdoisn umerosemprimosetomamososfatorescomunscomosmenoresexpoentes. Estealgoritmoebemmenoseciente do que o de Euclides para inteiros grandes (que em geral n ao sabemosfatorardeformaecientecomputacionalmente)maseinstrutivosaberqueosdoisalgoritmosd aoomesmoresultado. Alemdisso, estealgoritmotemconsequenciasteoricasimportantes,comoporexemplooCorolario1.20Semdc(a, n) = mdc(b, n) = 1,ent aomdc(ab, n) = 1.Demonstra c ao: Evidenteapartirdoalgoritmodescritoacima.Paraencerrar estase c ao, vejamos aindaalgumas outras aplica c oes doTeoremaFundamentaldaAritmetica.Proposi cao1.21Sejan=pe11. . . pemmafatora c aode nempotencias deprimosdistintospiesejak(n)def=

d|nd>0dkasomadask-esimaspotenciasdosdivisorespositivosden. Ent aok(n) =p(e1+1)k11pk1 1 . . . p(em+1)km1pkm1.Para k =0, a f ormula acima deve ser interpretada tomando-se o limitek0, de modoque aquantidade de divisores positivos de ne 0(n) =(e1 + 1)(em + 1).Demonstra c ao: Comoasomanadeni c aodek(n) percorretodososn umeros daformadk=pd1k1. . . pdmkmcom0 di ei, temos aseguintefatora c ao:k(n) = (1 +pk1 +p2k1+ +pe1k1). . .(1 +pkm +p2km+ +pemkm).Somandoasprogressoes geometricas 1 +pki+p2ki+ +peiki=p(ei+1)ki1pki1,oresultadosegue.Proposi cao1.22(FatoresdoFatorial) Seja p um primo. Ent ao a maiorpotenciadepquedividen!eponde =_np_+_np2_+_np3_+DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 25#37ii i1.3. OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 25Observequeasomaacimaenitapoisostermos_npi_saoeventualmentezero.Demonstra c ao: Noproduton!=12. . .n, apenasosm ultiplosdepcontribuem com um fator p. H a_np_tais m ultiplos entre 1 e n. Destes, os quesaom ultiplosdep2contribuemcomumfatorpextraeh a_np2_taisfatores.Dentreestes ultimos, osquesaom ultiplosdep3contribuemcommaisumfatorpeassimpordiante,resultandonaformulaacima.Exemplo1.23Determinecomquantoszerostermina1000!.Solu c ao: Oproblemaeequivalenteadeterminarqual amaiorpotenciade10quedivide1000! ecomoh amuitomaisfatores2doque5em1000!,oexpoentedestapotenciacoincidecomodamaiorpotenciade5quedivide1000!,ouseja,_10005_+_100052_+_100053_+_100054_= 249.Assim,1000! terminacom249zeros.ProblemasPropostos1.1(IMO1959) Mostrequeafra c ao21n+414n+3eirredutvelparatodonnatu-ral.1.2Encontretodososinteirospositivostaisque(a) n + 1 [ n31(b) 2n 1 [ n3+ 1(c)1n+1m=1143(d) 2n3+ 5 [ n4+n + 11.3Demonstre:(a) sem [ a b,ent aom [ akbkparatodonaturalk.(b) se f(x) e umpolin omiocomcoecientes inteiros e ae b s aointeirosquaisquer,ent aoa b [ f(a) f(b).(c) sekeumnatural mpar,ent aoa +b [ ak+bk.1.4Mostreque(a) 2151e210+ 1s aoprimosentresi.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 26#38ii i26 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIAS(b) 232+ 1e24+ 1s aoprimosentresi.1.5Demonstrarque(n 1)2[ nk1se,es ose,n 1 [ k.1.6(IMO1992) Encontrartodososinteirosa, b, ccom1 < a < b < ctaisque(a 1)(b 1)(c 1)edivisordeabc 1.Dica: Mostrarprimeiroquea 4econsiderarospossveiscasos.1.7(IMO1998) Determinetodososparesdeinteirospositivos (a, b)taisqueab2+b + 7dividea2b +a +b.Dica: mostrequeab2+b +7 [ 7a b2econsiderartrescasos: 7a b2maior,menorouigual azero.1.8Demonstrar que se mdc(a, 2n+1) =2ne mdc(b, 2n+1) =2n, ent aomdc(a +b, 2n+1) = 2n+1.1.9Demonstrarquesea,b,c,d,mens aointeirostaisquead bc = 1emn ,= 0,ent aomdc(am +bn, cm+dn) = mdc(m, n).1.10SejaFnon-esimotermodasequenciadeFibonacci.(a) Encontrardoisn umerosinteirosaebtaisque233a + 144b = 1(observeque233e144s aotermosconsecutivosdasequenciadeFibonacci).(b) Mostrequemdc(Fn, Fn+1) = 1paratodon 0.(c) DeterminexneyntaisqueFn xn +Fn+1 yn= 1.1.11Sejamaeb dois inteiros positivos edseum aximodivisor comum.Demonstrarqueexistemdoisinteirospositivosxeytaisqueax by= d.1.12Denimos asequencia de fra c oes de Farey de ordem n como o conjuntode fra c oes reduzidasabtais que0 ab1, 1 b n. Por exemploasequenciadeFareydeordem3e01,13,12,23,11.(a) Demonstrarqueseabecds aodoistermosconsecutivosdeumasequenciadeFarey,ent aocb ad = 1.(b) Demonstrar que sea1b1,a2b2,a3b3s ao tres termos consecutivos de umasequenciadeFarey,ent aoa2b2=a1+a3b1+b3.1.13Utilizeinduc aoemmina, beoalgoritmodeEuclidesparamostrarqueax + by=mdc(a, b) admitesolu c aocomx, y Z, obtendoumanovademonstra c aodoteoremadeBachet-Bezout.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 27#39ii i1.3. OTEOREMAFUNDAMENTALDAARITMETICA 271.14Sejamaebn umerosinteirospositivos. ConsidereoconjuntoC= ax +by [ x, y NLembre-sedequej amostramosnoexemplo1.15quetodon umeromaiorqueab a bpertenceaC.(a) Demonstrequeon umeroab a bn aopertenceaC.(b) Acharaquantidadeden umerosinteirospositivosquen aopertencemaC.1.15(IMO1984) Dadososinteirospositivosa, bec, doisadoisprimosentresi, demonstrarque2abc ab bc caeomaiorn umerointeiroquen aopodeexpressar-senaformaxbc + yca + zabcomx, yezinteirosn aonegativos.1.16(IMO1977) Sejama, binteirospositivos. Quandodividimosa2+ b2por a + b, oquocienteeq eorestoer. Encontrartodos os a, b tais queq2+r = 1977.1.17Demonstrarquemdc(2a1, 2b1) = 2mdc(a,b)1paratodoa, b N.1.18Encontrartodasasfun c oesf:ZZ Zsatisfazendosimultanea-menteasseguintespropriedades(i) f(a, a) = a.(ii) f(a, b) = f(b, a).(iii) Sea > b,ent aof(a, b) =aabf(a b, b).1.19Mostrequeseneumn umeronatural composto, ent aonedivisvelporumprimopcomp n.1.20(Chi1998) Encontrartodos os nparaos quais 1 +_n1_+_n2_+_n3_divide22000.1.21(IMO2002) Sejamd11tal que n [2n1.Solu c ao: Suponhamosocontrario; sejapomenordivisorprimodener =ordp 2. Sabemos que2n1(modp) ealemdisso, peloteoremadeFermat,2p1 1(modp).Portantor [ ner [ p 1, oqueimplicaquer [ mdc(n, p 1). Masmdc(n, p 1)=1poispeomenordivisorprimodeneassimosdivisoresprimosdep 1saomenoresqueosdivisoresprimosden. Istomostraquer = 1,isto e21 1(modp),dondep [ 1,umacontradi c ao.Exemplo1.68Sejama, meninteirospositivos; denamenporm=mdc(m, n)men=mdc(m, n)n, demodoquemdc(m, n)=1. Mostrequemdc(am+ 1, an+ 1) =___amdc(m,n)+ 1 semens ao mpares.2 sem +neas ao mpares.1 sem +ne mpareaepar.Solu c ao: Comomdc(am+ 1, an+ 1) = mdc_(amdc(m,n))m+ 1, (amdc(m,n))n+ 1_,oresultadonocasogeral seguiradocasoemquemdc(m, n) =1. Assim,vamos supor m e n sao primos entre si e seja d = mdc(an+1, am+1). Temos_an 1 (modd)am 1 (modd)=_a2n 1 (modd)a2m 1 (modd)=ordda [ mdc(2n, 2m) = 2.Assim,a2 1(modd). Digamosquemseja mpar(comoestamossupondomdc(m, n) = 1,n aopodemostermenambospares),demodoquea(a2)(m1)/2= am 1 (modd) =a 1 (modd)d [ a + 1.Sene mpartambem,ent aod = a + 1jaquea + 1 [ am+ 1ea + 1 [ an+ 1neste caso (utilize a fatora c ao am+1 = (a+1)(am1am2+am3 +1)ou a implica c ao a 1(moda +1) =am 1(moda +1)). Por outrolado,senepar,temos(a2)n/2= an 1 (modd) =1 1 (modd)=d = 1oud = 2Ocasod=2ocorrese, esose, am+ 1ean+ 1saoambospares, ouseja,quando a e mpar. Isto encerra a analise de casos e com isso o problema.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 55#67ii i1.9. ORDEMERAIZESPRIMITIVAS 55Umaoutracaracteriza c ao deraizprimitiva edadapelaProposi cao1.69On umeroaeraizprimitivam odulonse, esomentese,at, t N = (Z/nZ).Demonstra c ao: Paratodoa Zcommdc(a, n) = 1temos at, t N (Z/nZ). Note que at, t N = 1, a, a2, . . . , aordn a1 e um conjunto comordna elementos. De fato, para qualquer t N temos at= aronde r e o restonadivisao det por ordna;por outro lado, os elementos 1, a, a2, . . . , aordn a1saodistintospoiscasoai=ajcom0 i< j 2primo,apk(p1)= (1 +bkpk)p= 1 +_p1_bkpk+_p2_b2kp2k+= 1 +pk+1(bk +pt)paraalgumt Zeassimbk+1=bk + pttambemn aoedivisvelporppoisp bk.Vamosagora mostrarporindu c aoqueaeraizprimitivamodulopkparatodo k 2. Suponha que a seja raiz primitiva modulo pk. Como aordpk+1a1(modpk+1) =aordpk+1a 1(modpk)temospk1(p 1) = (pk) = ordpk a [ ordpk+1 a [ (pk+1) = pk(p 1).DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 57#69ii i1.9. ORDEMERAIZESPRIMITIVAS 57Portantoordpk+1 a=pk1(p 1)ouordpk+1 a=pk(p 1)=(pk+1), masoprimeirocasoeimpossvel poisapk1(p1)=1 + bkpkcomp bk. Logoordpk+1 a = (pk+1)eaeraizprimitivamodulopk+1.Por exemplo 2 e raiz primitiva modulo 5kpara todo k 1. De fato, 2 e raizprimitiva modulo 5 e, como 24= 16 , 1(mod25), 2 e raiz primitiva modulo25 =52tambem. Portanto, pelaproposi c aoanterior, 2e raiz primitivamodulo5kparatodok 1.Proposi cao1.76Se p e primo mpare a e um inteiro mpartal que a e raizprimitivam odulopk, ent aoaeraizprimitivam odulo2pk. Emparticular,seaeraizprimitivaqualquerm odulopk,ent aoaoua +pkeraizprimitivam odulo2pk(poisumdelese mpar).Demonstra c ao: Temos, como nas provas acima, (pk) = ordpk a [ ord2pk aeord2pk a [ (2pk) = (pk),logoord2pk a = (2pk).Paracompletaraprovadoteorema1.71, faltaprovarquesepeprimompar, ent aoexisteraizprimitivamodulop. Paraisto, precisamosdedoislemas.Lema1.77

d|n(d) = nparatodon N.Demonstra c ao: Sejadumdivisorden. Aquantidadedeas taisque1 a n e d = mdc(n, a) e igual a (nd) pois d = mdc(n, a)d [ a e 1 =mdc(nd,ad). Como(nd)contajustamenteaquantidadedeinteirosentre1end(inclusive) que sao primos comnd, temos que

d|n(nd) =

d|n(d) contaaquantidadeden umerosaentre1en(inclusive),particionados segundoosvaloresdemdc(a, n).Lema1.78Sejapumprimoedumdivisordep 1. DenaN(d)comoaquantidadedeelementosa (Z/pZ)comorda = d. Ent aoN(d) (d).Demonstra c ao: Podemos supor que N(d) >0, logoexiste atal queordpa=d. Logoad=1e, para0 k1, ent ao(ak)d/r=(ad)k/r1(modp), logoordp(ak) d/r < d. Destaforma,b (Z/pZ) [ ordpb = d ak[ 0 k < de mdc(k, d) = 1,portanto N(d) (d)(na verdade, os dois conjuntos acima sao iguais, comocaraclaroapartirdademonstra c ao daproposi c ao abaixo).DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 58#70ii i58 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIASProposi cao1.79Sep eumprimo,ent aoexisteumaraizprimitivam odulop.Demonstra c ao: Para cadaa (Z/pZ),tem-seordpa [ p 1eportantop 1 =

d|p1N(d). Poroutrolado,temospelosdoislemasacimaquep 1 =

d|p1N(d)

d|p1(d) = p 1.Logodevemoster N(d) =(d) paratodod. Emparticular, N(p 1) =(p 1) > 0,logoexistemrazesprimitivasmodulop.Corolario1.80Sejapumprimo. Paracadad [ p 1,existemexatamente(d) elementosem(Z/pZ)comordemd. Emparticular, ppossui exata-mente(p 1)razesprimitivas.Com isto, encerramos a demonstra c ao do teorema 1.71. Vejamos algumasaplica c oes.Exemplo1.81Mostrequeexistennaturaltalqueosmil ultimosdgitosde2npertencema 1, 2.Solu c ao: Observamos inicialmente que para todo k N existe um n umeromkde k algarismos, todos 1ou2, divisvel por 2k. De fato, m1=2em2=12satisfazemoenunciado. Sejamk=2krk, rk N. Serkepar,tomemk+1= 210k+mk= 2k+1(5k+rk/2),eserke mpar,tomemk+1=10k+mk= 2k+1(5k+rk)/2.Comom1000 2(mod10), 5n aodivider1000=m100021000. Portanto,como2eraizprimitivamodulo51000pelaproposi c ao1.75,existek Ncom2kr1000(mod51000). Logo2k= b51000+r1000paraalgumb Neassim2k+1000= b101000+ 21000r1000= b101000+m1000,e as 1000 ultimas casas de 2k+1000sao as 1000 casas de m1000, que pertencemtodasa 1, 2.Observa cao1.82UmgrupoGechamadodecclicoseexisteumelementogtal queG= gn[n Z. Ofatodepne2pn, pprimo mpar, admitiremrazesprimitivasequivaleadizerqueosgrupos(Z/pnZ)e(Z/2pnZ)s aocclicos, ouaindaqueh aisomorsmos de grupos (Z/pnZ)=Z/(pn) e(Z/2pnZ) = Z/(2pn)ondeaopera c aonosgruposdadireitaeaadic ao.Oleitorn aodeveterdiculdadesparaadaptaraprovaacimaamdemostrarquetodocorpoKcomumn umeronitodeelementos(tal comooconstrudonoexemploap osoteorema1.57)admiteraizprimitiva, istoe, oseugrupodeunidadesK= K 0eumgrupocclico.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 59#71ii i1.9. ORDEMERAIZESPRIMITIVAS 59ProblemasPropostos1.60Encontrarasordensde2e5m odulo101. Encontrartambemtodososelementosdeordem20em(Z/101Z).1.61Demonstrarque2n [ (an+ 1)paratodointeiropositivoa.1.62(IMO1978) Sejammeninteirospositivoscomm 0talquegt= e. Seordgeomenortpositivocomestapropriedade, mostrequeH= gn[ n NeumsubgrupodeGcomordgelementos.(d) AplicandooteoremadeLagrangeaosubgrupodoitemanterior, provequeg|G|= eparatodog G. ObservequeistoforneceumanovaprovadoteoremadeEuler-FermatnocasoemqueG = (Z/(n)).DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 60#72ii i60 CAPITULO1. DIVISIBILIDADEECONGRUENCIAS1.67(APMO1997) Encontrar umnnoconjunto 100, 101, . . . 1997talquendivide2n+ 2.1.68Denimosafun c aodeCarmichael :N Ncomoomenorinteiropositivotal quea(n)1(modn)paratodoaprimocomn. Observeque,peloteorema1.71,(pl) = pl1(p 1) paratodopprimo mpar. Mostrarque(a) (2) = 1,(4) = 2e(2l) = 2l2paratodol 3.(b) Sen = p11 . . .pkkeafatora c aoemprimosden,ent ao(n) = mmc(p11), . . . , (pkk).1.69(IMO2000) ExisteuminteiroNdivisvel porexatamente2000pri-mosdiferentesetal queNdivide2N+ 1?1.70(IMO1990) Encontrar todos os n umeros naturais n tais que n2[ 2n+1.1.71(IMO1999) Encontrartodosospares(n, p)deinteirospositivostaisquepeprimo,n 2pe(p 1)n+ 1edivisvel pornp1.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 61#73ii iCaptulo2EquacoesModulomNestecaptuloestudaremosequa c oes dotipof(x) 0 (modm)navariavel x,ondef(x) eumpolinomiocomcoecientesinteiros.2.1 EquacoesLinearesModulomSemdc(a, m) = 1,comoaeinvertvelmodulom,aequa c aoax b (modm),temsolu c ao unicamodulom, dadaporx a(m)1b(modm)(utilizandooteoremadeEuler-Fermatparaencontraroinversodea Z/(m)). Assim,todasassolu c oesdaequa c aoacimasaodaformax=a(m)1b + kmondek Z. Nocasogeral,semdc(a, m) = d > 1temosqueax b (modm) =ax b (modd)b 0 (modd).Logo uma condi c ao necessaria para que a congruencia linear ax b(modm)tenhasolu c aoequed [b. Estacondi c aoetambemsuciente, jaqueescre-vendoa = da,b = dbem = dm,temosqueax b (modm)ax b(modm).Como mdc(a, m) = 1, h a uma unica solu c ao (a)(m)1b modulo m, isto e,h adsolu c oesdistintasmodulom,asaberx (a)(m)1b +km(modm)com 0 k < d. Note ainda que como resolver ax b(modm) e equivalentearesolveraequa c aodiofantinalinearax +my= b,poderamostambemterutilizadooteoremadeBachet-Bezout eoalgoritmodeEuclidesparaencon-trarassolu c oes destacongruencia linearcomonoexemplo1.14. Resumimosestadiscuss aonaseguinte61DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 62#74ii i62 CAPITULO2. EQUA COESMODULOMProposi cao2.1Acongruencialinearax b (modm)admitesolu c aose, esomentese, mdc(a, m) [b. Nestecaso, h aexatamentemdc(a, m)solu c oesdistintasm odulom.Agora queremos encontrar condi c oes para que um sistema de congruenciaslinearestenhasolu c ao. Oseguinteteoremanosgaranteaexistenciadetaissolu c oes.Teorema2.2(TeoremaChinesdosRestos) Seb1, b2, . . . , bks aointei-rosquaisquerea1, a2, . . . , aks aoprimosrelativosdoisadois, osistemadeequac oesx b1(moda1)x b2(moda2)...x bk(modak)admitesolu c ao,quee unicam oduloA = a1a2. . . ak.Demonstra c ao: Daremos duas provas do teorema chines dos restos. Paraaprimeira,consideremososn umerosMi=Aai. Temosquemdc(ai, Mi) = 1,logoexisteXital queMiXi 1(modai). Notequesej ,=i ent aoMjem ultiplodeaieportantoMjXj 0(modai). Assim,temosquex0= M1X1b1 +M2X2b2 + +MkXkbkesolu c aodosistemadeequa c oes, poisx0 MiXibi bi(modai). Alemdisso,sex1eoutrasolu c ao,ent aox0 x1(modai) ai [ x0x1paratodoai, ecomoosaissaodoisadoisprimos, temosqueA [x0 x1x0 x1(modA),mostrandoaunicidademoduloA.Para asegundaprova,considereomapanaturalf :Z/(A) Z/(a1) Z/(a2)Z/(ak)b mod A (b mod a1, b mod a2, . . . , b mod ak).Note que este mapaest abemdenido, istoe, ovalor de f(b mod A) in-dependedaescolhadorepresentantedaclassedeb mod A, poisquaisquerdoisrepresentantesdiferemdeumm ultiplodeA, quetemimagem(0 moda1, . . . , 0 mod ak) no produto Z/(a1)Z/(ak). Observemos agora que oteorema chines dos restos e equivalente a mostrar que fe uma bije c ao: o fatodefser sobrejetor corresponde `a existencia dasolu c ao do sistema, enquantoDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 63#75ii i2.1. EQUA COESLINEARESMODULOM 63que o fato de fser injetor corresponde `a unicidade modulo A. Como o dom-nioeocontradomniodeftemmesmotamanho(ambostemAelementos),paramostrar quefeumabije c aobasta mostrarmos quefeinjetora. Supo-nhaquef(b1mod A) = f(b2mod A),ent aob1 b2(modai)paratodoi,ecomonaprimeirademonstra c aotemosqueistoimplicab1 b2(modA), oqueencerraaprova.Porexemplo, parak=2,a1=3ea2=5, temosaseguintetabela, quemostra, paracadaiejcom0 i0econsidereasequencia(xk) denidapor x1=a,xk+1= axkpara todo k N. Demonstrar que existe N N tal que xk+1 xk(modn)paratodok N.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 66#78ii i66 CAPITULO2. EQUA COESMODULOM2.5Demonstrarqueosistemadeequac oesx b1(moda1)x b2(moda2)...x bk(modak)temsolu c aose, es ose, paratodoi ej, mdc(ai, aj) [ bi bj. (Nocasoparticular emquemdc(ai, aj)=1, oproblemasereduzaoteoremachinesdosrestos).2.6Demonstrarque, parakenn umerosnaturais, epossvel encontrarkn umerosconsecutivos, cadaumdosquaistemaomenosndivisoresprimosdiferentes.2.7Demonstrarquesea, becs aotresinteirosdiferentes, ent aoexisteminnitosvaloresdenparaosquaisa +n,b +nec +ns aoprimosrelativos.2.8Demonstrar que para todo inteiro positivom e todo n umero par2k,este ultimopodeserescritocomoadiferencadedoisinteirospositivos, cadaumdosquaiseprimorelativocomm.2.9Demonstrarqueexistemprogress oesaritmeticasdecomprimentoarbi-tr arioformadasporinteirospositivostaisque cadatermo e apotencia deuminteiropositivocomexpoentemaiorque1.2.2 CongruenciasdeGrau2Seja p > 2 um n umero primo e a, b, c Z com a n ao divisvel por p. Resolveraequa c ao quadr aticaax2+bx +c 0 (modp)eomesmoqueresolver (completandoquadrados)(2ax +b)2 b24ac (modp)(noteque2easaoinvertveismodulop). Assim, estamosinteressadosemencontrarcriteriosdeexistenciadesolu c oesdaequac aoX2 d (modp).Seaequa c aoacimaadmitesolu c ao(i.e. sedeum quadradoperfeito emZ/pZ)ent aodizemosquedeumresduoourestoquadr aticomodulop. H aexatamente(p + 1)/2resduosquadr aticos modulop,asaber02, 12, 22, 32, . . . ,_p 12_2mod pDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 67#79ii i2.2. CONGRUENCIASDEGRAU2 67jaquetodointeiroxecongruentea i mod pparaalgumitalque0 i (p 1)/2, demodoquex2econgruenteaumdosn umerosdalistaacima.Notequemodulopestesn umerossaotodosdistintos: defato,temosquei2 j2(modp) =p [ (i j)(i +j)p [ i joup [ i +ji j (modp).Mascomo0 i, j (p 1)/2 =02umn umeroprimoe auminteiroqualquer. Parasimplicarc alculosenota c oesdeniremosochamadosmbolodeLegendre:_ap_=___1 sep aeaeumresduoquadr aticomodulop0 sep [ a1 casocontrarioProposi cao2.7(CriteriodeEuler) Sejap > 2umprimoeauminteiroqualquer. Ent ao_ap_ a(p1)/2(modp).Demonstra c ao: Paraa 0(modp) oresultadoeclaro, demodoquepodemossuporp a. PeloteoremadeFermattemosqueap1 1(modp),donde(ap121)(ap12+ 1) 0 (modp)p [ ap121oup [ ap12+ 1ap12 1 (modp).Assim, devemosmostrarqueap121(modp)se, esose, aeumresduoquadr aticomodulop.Seaeumresduoquadr atico,digamosa i2(modp), novamentepeloteoremadeFermattemosqueap12 ip1 1 (modp).Assim,osresduosquadr aticos12, 22, . . . , (p12)2modulopsaorazesdopo-lin omio f(x) = xp121 em Z/(p)[x]. Mas Z/(p) e corpo, logo f(x) podeterDRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 68#80ii i68 CAPITULO2. EQUA COESMODULOMnomaximodeg f= (p 1)/2razesemZ/(p). Istomostraqueasrazesdef(x)saoexatamenteosresduosquadr aticos n aocongruentesazeromodulopeque, portanto,ap121(modp)se, esose, aeumresduoquadr aticomodulop.Corolario2.8OsmbolodeLegendrepossuiasseguintespropriedades:1. sea b(modp)ent ao_ap_=_bp_.2._a2p_= 1sep a.3._1p_= (1)p12,ouseja, 1 e resduoquadr aticom odulopse,es ose,p 1(mod4).4._abp_=_ap__bp_.Demonstra c ao: Ositens1 e2 saoimediatosapartirdadeni c aoe3seguedocriteriodeEuler:_1p_ (1)p12(modp) =_1p_=(1)p12jaquep>2eambososladosdacongruenciasaoiguaisa 1. Damesmaforma,aplicandoocriteriodeEulertemosque_abp_ (ab)p12 ap12bp12_ap__bp_(modp),o que mostra que_abp_=_ap__bp_, pois novamente ambos os lados da congruen-ciasaoiguaisa 1.Exemplo2.9Mostrequeopolin omiof(x) = x410x2+1 eirredutvelemZ[x],maseredutvelm odulopparatodoprimop.Solu c ao: Vejamos que f(x) e irredutvel emZ[x]. Observe inicialmente queasrazes def(x)sao todasirracionais: sep, q Zsao taisquemdc(p, q) = 1ef(p/q)=0 p4 10p2q2+ q4=0, temosda ultimaigualdadequeq [ p4=q= 1 e p [ q4=p = 1 ja que p e qsao primos entre si,logop/q= 1,nenhumadasquais eraizdef(x)(cujoszerossao 2 3).Logosef(x)forredutveleleeoprodutodedoispolinomiosdegrau2,que podemos supor monicos. Como o produto dos coecientes independentesdestesdoisfatoresdeveserigualaocoecienteindependentedef(x), quee1,temosapenasduaspossibilidades:f(x) = (x2+ax + 1)(x2+bx + 1) ouf(x) = (x2+ax 1)(x2+bx 1)DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 69#81ii i2.2. CONGRUENCIASDEGRAU2 69com a, b Z. Em ambososcasos, temosa +b = 0(coecientedex3). Logo,noprimeirocaso,comparandoocoecientedex2temosab + 2= 10a2= 12,oque eimpossvel. Osegundocaso eanalogo.Agora,parap = 2ep = 3temosf(x) (x + 1)4(mod2) e f(x) (x2+ 1)2(mod3).Agorasep > 3eumprimo,temosqueou_2p_= 1,ou_3p_= 1ou_6p_ = 1jaque_2p__3p_=_6p_. Noprimeirocaso,sea2 2(modp)temosf(x) (x2+ 2ax 1)(x22ax 1) (modp).Janosegundocaso,seb2 3(modp)temosf(x) (x2+ 2bx + 1)(x22bx + 1) (modp).Finalmente,no ultimocaso,sec2 6(modp)temosf(x) (x2+ 2c 5)(x22c 5) (modp).Istomostraquef(x) eredutvelmodulopparatodoprimop.2.2.2 LeideReciprocidadeQuadraticaOcriteriodeEulerjanosforneceumamaneiradeidenticarresduosqua-draticos. Entretanto, vamosprovarumresultadomuitomaisforte, queeafamosaTeorema2.10(ReciprocidadeQuadratica)1. Sejampeqprimos mparesdistintos. Ent ao_pq__qp_= (1)p12q122. Sejapumprimo mpar. Ent ao_2p_= (1)p218=_1 sep 1 (mod8)1 sep 3 (mod8)Antesdeapresentar aprova,vejamosalgumasaplica c oes.Exemplo2.11Determinar se 90e resduoquadr atico m odulo 1019oun ao.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 70#82ii i70 CAPITULO2. EQUA COESMODULOMSolu c ao:_901019_=_ 11019__21019__321019__51019_= (1)(1)1 _10195_=_45_=_225_= 1.Ouseja, 90 eresduoquadr atico modulo1019.Exemplo2.12Sejapumn umeroprimo. Mostreque1. sepedaforma4n + 1ent aop [ nn1.2. sepedaforma4n 1ent aop [ nn+ (1)n+1 2n.Solu c ao: Noprimeiroitem, 4n 1(modp), dondeelevandoanobte-mos(4n)n= 22nnn (1)n(modp).Poroutrolado,pelocriteriodeEulerepelareciprocidade quadr aticatemos22n= 2p12 (1)p218 (1)n(2n+1) (1)n(modp).Portantonn 1(modp),comoqueramosdemonstrar.Nosegundoitem,temos4n 1(modp)eassim(4n)n= 22nnn 1 (modp)mas 22n1= 2p12 (1)p218= (1)n(2n1)(modp), donde 22n 2(1)n(modp). Conclumosque2nn(1)n(modp)emultiplicandopor2neutilizando 4n 1(modp) obtemos nn 2n (1)n(modp), como desejado.Oprimeiro passo dademonstra c ao daleidereciprocidade quadr atica eoseguinteLema2.13(Gau) Sejamp > 2umn umeroprimoeauminteiropositivoprimorelativocomp. Sejason umerodeelementosdoconjunto_a, 2a, 3a, . . . ,p12 a_taisqueseurestom odulopemaiorquep12. Ent ao_ap_= (1)s.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 71#83ii i2.2. CONGRUENCIASDEGRAU2 71Demonstra c ao: AideiaeimitaraprovadoteoremadeEuler-Fermat.Comooconjunto 1, 2, . . . , p12eumsistemacompletodeinvertveismodulo p, para cada j= 1, 2, . . . ,p12podemos escrever a j jmj(modp)comj 1, 1 emj 1, 2, . . . ,p12. Temosquesei ,= jent aomi ,= mjdonde m1, m2, . . . , mp12= 1, 2, . . . ,p12. Defato, semi=mjtemosai aj (modp)ouai aj (modp); comoaeinvertvel modulope022p=22vol(). Assim,0 < a2+b2< 3p/2ea2+b2 b2(x2+ 1) (modp)a2+b2 0 (modp)Ouseja,a2+b2= p.Teorema3.20Todoprimopesomadequatroquadrados.Demonstra c ao: Pelolema3.11, temosqueexisteminteirosu, vtaisqueu2+v2+ 1 0(modp). Considereoreticuladoem R4dadopordef= (a, b, c, d) Z4[ a cu +dv (modp)eb cv du (modp).Temos que tem volume p2(xados ce d,a eb cam determinados modulop,logo contem um a cada p2pontos em Z4). A esfera de raio rem R4temvolume2r4/2. Tomandor =_19p/10, como2(19p10)2/2>24vol() =16p2peloteoremade Minkowski existe umponto(a, b, c, d) tal que0 < a2+b2+c2+d2 19p/10 < 2p. Porema2+b2+c2+d2 (c2+d2)(u2+v2+ 1) (modp)a2+b2+c2+d2 0 (modp)Logoa2+b2+c2+d2= p.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 98#110ii i98 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASProblemasPropostos3.15Encontretodosospontosracionaisdasseguintesc onicas.(a) x2+ 2y2= 3(b) x2y2= 1(c) x2+xy +y2= 2(d) 13x2xy y2= 1(e) x2+y2+ 2xy +x y= 20(f ) 3x27y2= 13.16Demonstrarqueseumn umerosepodeescrevercomosomadedoisquadrados de forma unica, a menos da ordem dos somandos, ent ao tal n umeroeprimo.3.17(Scholz) Proveaseguinte generalizac aodolemadeThue. Sejanumn umeronatural positivoee, fn umerosnaturaistaisqueef>ncome>1ef 0. Logoexisteumasolu c ao(a, b, c)naqual cemnimo. Empar-ticular, temosqueaebsaoprimosentresi, poissed=mdc(a, b)>1po-deramossubstituir(a, b, c)por(ad,bd,cd2)eobterumasolu c ao comcmenor.De(a2)2+ (b2)2=c2temosportantoque(a2, b2, c)eumatriplapitagoricaprimitivaeassimexisteminteirospositivosmenprimosrelativos taisquea2= m2n2, b2= 2mn e c = m2+n2.Temosdaprimeiraequa c ao que(a, n, m) eumatriplapitagorica primitivaeportantomempar. Assim, de b2=2mnconclumos queb, e portanton, e par. Observandoainda que b2=(2n)me umquadradoperfeito emdc(2n, m)=1, conclumosquetanto2ncomomsaoquadradosperfeitos,dondepodemosencontrar inteirospositivossettaisque2n = 4s2e m = t2.Poroutraparte,dadoquea2+ n2= m2, ent aoexistiraointeirospositivosiej,primosentresi,taisquea = i2j2, n = 2ij e m = i2+j2.Portanto s2=n2= ij,logoiejserao quadrados perfeitos,digamos i = u2ej= v2.Logotemosquem = i2+j2,i = u2,j= v2em = t2,assimt2= u4+v4,istoe,(u, v, t) eoutrasolu c ao daequa c ao original. Poremt t2= m m2< m2+n2= cet ,= 0porquem ediferentede0. Istocontradiz aminimalidadedec,oqueconcluiademonstra c ao.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 100#112ii i100 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASObservemos alem disso que, uma vez que esta equa c ao n ao possui solu c oesinteiras positivas, ent ao a equa c ao x4+y4= z4e, mais geralmente x4n+y4n=z4n,n aopossuemsolu c oesinteiraspositivas.Exemplo3.22(IMO1981) Encontrartodasassolu c oesinteiraspositivasdaequac aom2mn n2= 1.Solu c ao: Notequem2=n2+ mn 1 n2=m n, comigualdadese,esose,(m, n) = (1, 1),queeclaramenteumasolu c ao. Agoraseja(m, n)umasolu c aocomm> n. Demonstremosque(n, m n)tambemesolu c ao.Paraistoobservemos quen2n(mn) (mn)2= n2nm+n2m2+ 2mn n2= n2+nmm2= (m2nmn2) = 1,Assim, setemos umasolu c ao(m, n), podemos encontrar umacadeiades-cendentedesolu c oes, eesteprocesso parar a quando atingirmos umasolu c ao(a, b)com a = b,ouseja,asolu c ao (1, 1). Invertendo o processo, encontrare-mosportantotodasassolu c oes,istoe,se(m, n)esolu c aoent ao(m +n, m)esolu c ao. Portanto todasassolu c oespositivassao(1, 1), (2, 1), (3, 2), . . . , (Fn+1, Fn), . . .ondeFnrepresenta on-esimotermodasequenciadeFibonacci.Exemplo3.23(IMO2003) Determinetodososparesdeinteirospositivos(a, b)paraosquaisa22ab2b3+ 1euminteiropositivo.Solu c ao: Seja(a, b)umasolu c aointeira positiva. Logo 2ab2b3+1 1,eportantoa b2. Nocasoa=b2, eclaroqueobtemosumasolu c ao. Paraqualquer outra solu c ao, a >b2e nesse caso a2 2ab2b3+1 = b2(2ab)+1 >b2=a > b.Agora sea22ab2b3+1= k N,ent ao a e raiz do polinomio com coecientesinteirosx22kb2x +k(b31) = 0.Mas este polinomio possui outra solu c ao inteira a1= 2kb2a =k(b31)a 0,assim(a1, b)tambemesolu c aodoproblemaseb>1. Supondoqueaeamaiorraiz,dea a1teremosquea kb2eassima1=k(b31)ak(b31)kb2< b.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 101#113ii i3.3. DESCENSOINFINITODEFERMAT 101Destaforma, oub=1oua1=b2eneste ultimocasok=b24ea=b42 b2.Portantoassolu c oesdoproblemasao(a, b)=(l, 2l), (2l, 1)ou(8l4 l, 2l),coml N.3.3.1 EquacaodeMarkovAequa c aodeMarkov eaequa c ao diofantinaeminteirospositivosx2+y2+ z2= 3xyz.Eobvioque(1, 1, 1)e(1, 1, 2)saosolu c oesdaequa c ao. Alemdisso, comoaequa c aoesimetrica, podemosconsiderar, semperdadegeneralidade, so-menteassolu c oescomascoordenadasx y zordenadasdeforman aodecrescente.Assim suponhamos que (x, y, z) e uma solu c ao com x y zcom z> 1.Opolinomioquadr aticoT2 3xyT+ (x2+ y2)=0possui duassolu c oes,euma dela e z, assim a outra e z= 3xy z =x2+y2z Z0. Vejamos que sey>1ent aoz 1,ouy= zesubstituindonaequa c aooriginaltemosque1 + y2+ y2= 3y2,oqueimplicaquez= y= 1,oquecontradizofatodez> 1.Dofatoanterior, temos quedadaumasolu c aodaequa c aodeMarkov(x, y, z)comz 2esemprepossvelencontrarumasolu c aomenor(z, x, y)e este processosomente paraquandochegamos `asolu c ao(1, 1, 1), istoe,estamosgerando umaarvore desolu c oesdaseguinteforma:(1,1,1)[[(1,1,2)[[(1,2,5)[[(1,5,13) (2,5,29)[ [[ [(1,13,34) (5,13,194) (2,29,169) (5,29,433)DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 102#114ii i102 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINAS3.3.2UltimoTeoremadeFermatUmdosmaisfamososproblemas nahistoriadaMatem aticaetalvezumdosquemaisinspirouodesenvolvimentodenovasteoriaseochamado ultimoteoremadeFermat.Pierre de Fermat, que tinha o costume de fazer anota c oes nas margens desua c opia do livro de Diofanto, enunciou o teorema que arma ser impossvelencontrarinteirospositivosx, y, ztaisquexn+yn= zn()quandoneuminteiromaior que2: encontrei umademonstra c aoverda-deiramentemaravilhosa para isto,masamargem edemasiado pequenaparaconte-la.Para mostrarainexistenciadesolu c oesde(),bastaconsiderar osexpo-entes primos. Muitos casos particulares foram mostrados ao longo da historia,osquaissedividememdoistipos: oprimeiro,quandop xyz,eosegundo,mais difcil, quando p [ xyz. De fato, Sophie Germain provou o primeiro casoparatodoprimoptal que2p + 1tambemeprimo(vejaaproposi c ao6.5).Legendre provou o teorema para p primo quando 4p+1, 8p+1, 10p+1, 14p+1ou16p + 1 eprimo;comisto,provou o ultimoteoremadeFermatparatodop < 100. Em1849,Kummerobteveumaprovaparatodososchamadospri-mosregulares. Em1909Wieferichprovouqueseaequa c aodeFermattemsolu c aoparap, ent ao2p11(modp2); taisprimossaochamadosprimosdeWieferich. MirimanoeVandiverprovaramrespectivamentequepdevesatisfazer3p11(modp2)e5p11(modp2), eFrobeniusprovouestemesmoresultadopara11e17nolugarde3e5.Ademonstra c aodo ultimoteoremadeFermatsomentefoiobtidadepoisdemaisdetrezentosanosapossuaformula c ao. Taldemonstra c ao,devidaaAndrew Wiles e Richard Taylor ([87] e [83]), insere-se no contexto mais geralda chamada conjetura de Taniyama-Shimura-Weilsobre curvas elpticas (vejao captulo 8 para uma introdu c ao a curvas elpticas), que implica a solu c ao do ultimo teorema de Fermat, como conjeturado por G. Frey em 1985 e provadopor K. Ribet em 1986. Esta demonstra c ao envolve ideias bastante avan cadaseest amuitolongedoescopodestelivro. Paraumaintrodu c ao`astecnicasutilizadasnaprova,veja[26].Paradarumaideiadadiculdadedesteproblema, vejamosumaprovabaseadanadeLeonhardEulerparaocason=3. Ademonstra c aooriginaldada por Euler para o caso n = 3 e incompleta ja que supoe a fatora c ao unicaemirredutveisparaextensoesdeZ(vejamaisdetalhessobreestepontonoteorema5.14). Come camoscomumLema3.24Todasassolu c oesdes3= a2+3b2em inteirospositivostaisquemdc(a, b) = 1ese mpars aodadaspors = m2+ 3n2, a = m39mn2, b = 3m2n 3n3,comm +n mparemdc(m, 3n) = 1.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 103#115ii i3.3. DESCENSOINFINITODEFERMAT 103Demonstra c ao:Efacilvericarquetaisn umerosfornecemumasolu c aodaequa c ao e,alemdisso,mdc(a, b) = mdc(m(m29n2), 3n(m2n2))= mdc(m29n2, m2n2) = mdc(8n2, m2n2) = 1.Reciprocamente, suponhamosque(a, b, s)esolu c aodaequa c ao. Sejapumn umeroprimotal quep [s. Noteque, comomdc(a, b)=1ese mpar,p a,p bep > 3. Ent ao a2 3b2(modp)ecomo b einversvel modulo ptemos_3p_= 1_p3_= 1p 1 (mod6)pelalei dereciprocidadequadr atica. Peloexemplo3.8(outeorema5.14)sabemos queexisteminteiros m1en1tais quep=m21+ 3n21, eteremosquep3=c2+ 3d2ondec=m31 9m1n21ed=3m21n1 3n31. Notequemdc(p, m1) = mdc(p, n1) = 1ep >3eportantomdc(p, c) =mdc(p, d) =1,comonademonstra c ao acimadequemdc(a, b) = 1.Procederemosporindu c aosobreon umerodedivisoresprimosdes. Ses =1oresultadoeevidente. Ocasoemquestemumdivisor primoeexatamenteoresultadoanterior. Agora,suponhamosqueoresultadovalhaparatodosquetenhakfatoresprimos(naonecessariamentedistintos). Sestem k +1 fatores primos, digamos s = ptcom p primo (p > 3),observemosquet3p6= s3p3= (a2+ 3b2)(c2+ 3d2) = (ac 3bd)2+ 3(ad bc)2.Alemdissocomo(ad +bc)(ad bc) = (ad)2(bc)2= d2(a2+ 3b2) b2(c2+ 3d2)= p3(t3d2b2),ent ao p3[ (ad +bc)(ad bc). Sep divide os dois fatores, teremos quep [ ad ep [ bc. Lembrequemdc(p, c) = mdc(p, d) = 1,oqueimplicaquep [ aep [ b,oquecontradizahipotesemdc(a, b)=1. Assim, p3divideexatamenteumdosfatores,etomandoadequadamenteossinaisteremosqueu =ac 3bdp3, v =ad bcp3saointeirostaisquet3=u2+ 3v2. Comottemkfatoresprimossegueporhipotesedeindu c aoquet = m22 + 3n22, u = m329m2n22, v = 3m22n23n32.Agora, dadoquea=uc + 3vdeb= (ud vc), substituindot, u,v, cedemtermosdemieni(i=1, 2)ems, aebefazendom=m1m2 + 3n1n2,n = m1n2m2n1,obteremosoquequeramosdemonstrar.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 104#116ii i104 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASO metodo utilizado por Euler para demonstrar o caso n = 3 e basicamenteometododedescenso innito. Sejax, y, zumasolu c ao dex3+y3= z3,comxyzmnimo. Comoqualquer fator comum dedoisdestes n umeros etambemfator do terceiro, podemos armar que x, y, zsao primos relativos dois a dois.Emparticular umdetaisn umerosserapar.Notequex=yeimpossvel poiscasocontrario2x3=z3eoexpoentedamaiorpotenciade2doladodireitoseriam ultiplode3,enquantoquedoladoesquerdo n ao. Assim,sem perdadegeneralidade, podemosassumirquex > y.Suponhaprimeiroquexeysao mparesezpar, podemosescreverx=p + qey= p qcomp > 0eq> 0primosrelativos(poisxeysaoprimosrelativos) edediferenteparidade,assimx3+y3= (x +y)(x2xy +y2)= 2p((p +q)2(p +q)(p q) + (p q)2)= 2p(p2+ 3q2).Portanto2p(p2+ 3q2)eumcuboperfeito. Deigual forma, nocasoemqueze mparexouyepar,podemossuporsemperdadegeneralidade queyempar,esubstituindoz= q +pey = q pobteremosx3= z3y3= 2p((p +q)2+ (p +q)(q p) + (q p)2)= 2p(p2+ 3q2).Comop2+ 3q2e mpare2p(p2+ 3q2)eumcuboperfeitotemosquepserapar. Calculandoomaximocomumdivisorentrepep2+ 3q3,obtemosmdc(p, p2+ 3q2) = mdc(p, 3q2) = mdc(p, 3).Portantoh adoiscasos: mdc(p, 3) = 1emdc(p, 3) = 3.Noprimeiro, existemnaturaisaebtaisquea3=2peb3=p2+ 3q2.Nestecasosabemos,pelolema3.24,queexisteminteirosmendediferenteparidadeeprimosrelativos taisqueb = m2+ 3n2, p = m39mn2, q= 3m2n 3n3.Logoa3= 2m(m3n)(m+ 3n). Observemos queosn umeros2m,m3nem+ 3nsaoprimosrelativos, logoexisteminteiros e,fegtaisque2m = e3,m3n = f3e m+3n = g3. Em particular, teremos que f3+g3= e3. Comoefg = a3= 2p x +y< xyz,teremosumasolu c aomenor,oquecontradizaescolhadex, y, z.No casoemque 3[ p, ent aop =3r commdc(r, q) =1, logoz3=18r(3r2+q2) ou x3= 18r(3r2+q2) eportanto existem inteiros positivos aebtaisque18r=a3e3r2+ q2=b3. Denovo,existiriaminteirosmentaisqueb = m2+ 3n2, q= m39mn2, r = 3m2n 3n3.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 105#117ii i3.3. DESCENSOINFINITODEFERMAT 105Daquisegue que a3= 27(2n)(mn)(m+n). Deigual forma teremos que osn umeros2n, m nem + nsaoprimosrelativos,portantoexisteminteirospositivose,fegtaisque2n = e3, mn = f3, m +n = g3.Seguequee3+ f3=g3, quetambemcontradizaminimalidadedasolu c ao(x, y, z).Exemplo3.25Demonstrarqueaequac aox2+ 432 = y3n aotemsolu c oesracionaisdiferentesde(36, 12).Solu c ao: Suponhamos que a equa c ao possui uma solu c ao (a, b) comb ,= 12.Como a e b sao racionais, ent aoa36=kn ,= 1 eb12=mn ,= 1 com k, m, n Z.Sejau = n +k ,= 0,v = n k ,= 0ew = 2m. Comou3+v3w3= 2n3+ 6nk28m3ek =an36, m =bn12,substituindotemosu3+v3w3= 2n3+n3a263n3b363=n3216(432 +a2b3) = 0.o que nos gera uma solu c ao n ao trivial da equa c ao x3+y3= z3, um absurdo.ProblemasPropostos3.20Demonstrarquen aoexisteumtri anguloret angulocomladosinteirostal quesua areasejaumquadradoperfeito.3.21Encontrar todos os pares (n, m) de n umeros inteiros tais que n [ m2+1em [ n2+ 1.3.22(IMO1987) Sejanuminteiromaior ouigual a2. Mostrequesek2+k +n eprimoparatodoktal que 0 k _n3,ent aok2+k +n e primoparatodoktalque0 k n 2.3.23(IMO1988) Dados inteiros ae b tais que on umeroab+1dividea2+b2,demonstrarquea2+b2ab + 1eumquadradoperfeito.3.24Demonstrarqueaequac ao3x2+ 1=y3n aotemsolu c oesracionaisdiferentesdex = 1ey= 1.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 106#118ii i106 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINAS3.25Demonstrarqueaequac aox3+ y3+ z3=1possui innitassolu c oesinteiras.3.26Demonstrar que a equac ao x3+y3+z3= ncomn = 9k4 n ao possuisolu c oesinteiras.Observa c ao: Sen=30, desconhece-seseaequac aopossui oun aosolu c aointeira.3.27Demonstrarqueaequac aox3+y3+ z3= t3possuiinnitassolu c oesinteiraspositivasprimitivas(i.e.,commdc(x, y, z, t) = 1).3.28Demonstrarqueaequac aox3+y3= 2z3n aopossuisolu c oesinteiraspositivasn aotriviais(i.e. alemdascomx = y= z).Dica: Comox, ysaodeigual paridadeent aox=m + n, y=m n. Semdc(m, 3)=1concluirquemdc(m, m2+ 3n2)=1ecadaumdeleseumcubo. Usaracaracteriza c aodassolu c oesdaequa c aos3=m2+ 3n2parachegaraumasolu c ao menorqueainicial.3.4 FracoesContnuasAteoriade fra c oes contnuas e umdos mais belos temas daMatem aticaelementar,sendoaindahojeassuntodepesquisarecente.NasinclusoesN Z Q R, apassagemdeQparaResemd uvidaamaiscomplicadaconceitualmenteearepresenta c aodeumn umerorealest adiretamenteligada`apropria no c aoden umeroreal.Defato,oconceitoden umeronaturalequaseumconceitoprimitivonoensinomedio. Ja umn umero inteiro eum n umeronatural com um sinalquepodeser+ou ,eum n umeroracional earaz ao entre umn umerointeiro eumnaturaln aonulo. Poroutrolado,dizeroqueeumn umeroreal etarefabemmais complicada, mas h acoisas quepodemos dizer sobreeles. Umapropriedade essencial de R e que todo n umero real pode ser bem aproximadopor n umeros racionais. Efetivamente, dado x R, existe k = x Z tal que0 x k < 1. Podemosescreverarepresenta c ao decimaldex k = 0, a1a2. . . an. . . , ai 0, 1, . . . , 9,o que signica que se rn= an+10an1+100an2+ +10n1 a1, ent aorn10n xk A=xnyn>Aeanalogamentexy>A, oquecontradizxyxnyn0ey> 0.No caso em que x e par e y e mpar, fazendo yp= x21 = (x1)(x+1),comomdc(x + 1, x 1) = 1,seguequex 1ex + 1saopotenciasp-esimas,ou seja, existem inteiros s e t tais que x1 = spe x+1 = tp=tpsp= 2coms, t Zep 5. Comistoa unicasolu c aoet=1es= 1, masissoimplicaquex = 0,oquefoidescartadonashipoteses.Agora,nocasoemquexe mpareyepar,temosquex + 1ex 1saoparesemdc(x + 1, x 1)=2. Daqui podemosdividiroproblemaemdoissubcasos: nocasoemquex12seja mpar,existeminteirosweztaisquex 12= wp,x + 12= 2p2zpe y= 2wz com mdc(w, 2z) = 1.Assimwp=x + 121 = 2p2zp1 (2p21)zp,istoe,_wz_p 2p21 > 1,DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 120#132ii i120 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASportantow > z.Poroutroladow2p=_x 12_2=x2+ 6x + 9 8(x + 1)4=_x + 32_2(2z)p.Assimobtemosaequa c ao (w2)p+ (2z)p= (x+32)2. Como(w2)p+ (2z)pw2+ 2z= (w2)p1 (w2)p2(2z) + (w2)p3(2z)2 + (2z)p1 p(w2)p1(modw2+ 2z)emdc(w, 2z) = 1temosmdc_w2+ 2z, (w2)p+ (2z)pw2+ 2z_= mdc(w2+ 2z, p(w2)p1) [ p,logosepx+32temosquew2+ 2zeumquadrado. Masw23seguequep x. Deformasimilarnocasoquex+12=wpex12=2p2zp, usandoaequa c ao(w2)p (2z)p=(x32)2,conclumosanalogamente quep [x32eportantop x.Voltando`aequa c aooriginal temos que x2=yp+1p. Comop xemdc_y + 1,yp+1y+1_ [ ptemos quey+ 1=s2. Logo(s, 1) e (x, yp12) saosolu c oesdaequa c ao dePellu2yv2= 1.Observe que (s, 1) e uma solu c ao fundamental pela minimalidade da segundacoordenada,dondeexisteumnatural m Ntalquex +yp12y= (s +y)m.Desenvolvendoaanterior identidadeobtemosx = sm+_m2_sm2y +_m4_sm4y2+yp12= msm1+_m3_sm3y +_m5_sm5y2+Desta segunda equa c ao temos que y divide o termo msm1, ou seja, msm10(mody). Como yepar e s e mpar segue que m epar. Novamente usandoasegundaequa c ao, comosemcadasomando`adireitaest aelevadoaumapotencia mpar,temosques [ yp12. Masy + 1 = s2,assimy 1(mods)eelevandoap12obtemos0 yp12 (1)p12(mods),masistoimplicaques=1enestecasoy=0. Portantoa unicasolu c aodex2= yp+ 1ex = 1ey= 0.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 121#133ii i3.5. EQUA CAODEPELL 1213.5.1 SolucaoInicialdaEquacaodePellNaprovadaexistenciadesolu c oesdaequa c aodePell, n aomostramosumprocedimento para encontrar explicitamente uma solu c ao, que e o que faremosnestase c ao.Para determinar uma solu c ao da equa c ao x2Ay2= 1, vamos considerar afra c ao contnua deA+A = [a0; a1, a2, . . .]. Vamos mostrar que existemduassequenciasdeinteirospositivosbiecidemodoqueA +cibi= [ai; ai+1, ai+2. . .] ()paratodoi 0. Come camosdenindob0=1ec0= A. Emgeral,denimosrecursivamente ci+1= aibiciebi+1= (A c2i+1)/bi.Mostremosinicialmenteporindu c aoquebiecisaointeiroscombi ,=0etaisquebi [ A c2iparatodoi. Istoeclaramenteverdadeparai =0.Porhipotesedeindu c ao,temosquebiecisaointeiros,logoci+1= aibi citambemserainteiroeA c2i+1 ,= 0jaqueAn ao equadrado perfeito. Alemdisso,A c2i+1= A (aibici)2= A c2i bi(a2ibi2aici)seram ultiplodebijaquebi [ A c2iporhipotesedeindu c ao. Assimbi+1=(A c2i+1)/biserauminteiron aonulotalquebi+1 [ A c2i+1.Destaforma,temosA+cibi= ai +Aci+1bi= ai +bi+1A +ci+1= ai +1A +ci+1bi+1.demodoque()sera validapara todoi. Faltaapenasprovar que biecisaopositivos. Paraisto, vamosprovarporindu c aoquebi>0e0 0tambem. Agorasuponhaporabsurdoqueci+1 0. Nestecasoteramosbi>A ci+1 A, mascomoA>ciporhipotesedeindu c ao, teramosbi>ci, dondeci+1=aibi ci bi ci>0,oqueeumacontradi c ao. Portantoci+1>0,completandoaindu c ao.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 122#134ii i122 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASComo0 c +dA > 1Como(a + bA)(a bA)= 1 a + bA>0, defato a + bAeamaiorsolu c aopositivaquetemxnegativoeypositivo.Multiplicandoadesigualdadeanterior por a +bA,obtemos(a +bA) > (c +dA)(a +bA) = (ac +bdA) + (cb ad)A> a +bA > 0.Temosque(ac + bdA, cb ad)esolu c aodex2 Ay2= 1. Observemosque ac + bdA, cb adn aopodemsersimultaneamentepositivos, porqueistocontradizaescolhadasolu c aofundamental. Tambemn aopodemosterque ac +bdA < 0,cb ad > 0 porque a +bA ea maior solu c ao positivacom x negativo e ypositivo. Por ultimo, no caso ac +bdA > 0, cb ad < 0,istoe, bdA>ac, ad>cb, multiplicandoaprimeiradesigualdadepordeasegundaporcobtemosbd2A > acd > c2b,assim0 > b(c2 Ad2) = b,oquetambem econtraditorio. Assimconclumosque(a +bA)2= c +dA.A ultimarela c ao eequivalenteaosistemac = a2+Ab2, d = 2ab.Multiplicando a primeira equa c ao por a2, temos ca2= a4+A(ab)2= a4+Ad24,assim(a2)2c(a2) +Ad24= 0,portantoa2=c c2Ad22=c 12Vejamos agora que a condi c ao sobre os fatores primos de A n ao e sucientepara garantir a existencia de solu c ao. Por exemplo, x234y2= 1 n ao possuisolu c ao inteira. De fato, a solu c ao fundamental de x234y2= 1 e 35+634,DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 124#136ii i124 CAPITULO3. EQUA COESDIOFANTINASmas35+12=18e3512=17n aosaoquadrados, logopeloteoremaanteriorx234y2= 1n aopossuisolu c oes.No caso em que A e um primo da forma 4k +1, a equa c ao x2Ay2= 1semprepossuisolu c ao. Maisgeralmente,temososeguinteresultado,devidoaDirichlet.Proposi cao3.42(Dirichlet) SejaAprodutodenom aximotres primosdistintosdaforma4k +1taisque_pq_= 1paratodop ,= qdivisoresprimosdeA. Ent aoaequac aox2Ay2= 1possuisolu c ao.Demonstra c ao: Sejax0 +Ay0asolu c ao fundamentaldex2Ay2= 1.Como1 = x20Ay20 x20y20(mod4),ent ao x0 e mpar e y0 e par. Alem disso, do fato de que (x01)(x0+1) = Ay20e x0+1 e x01 so tem fator comum 2, segue que existem inteiros s e t primosrelativoseinteirosa, bcomA = abtaisquey0= 2st, x01 = 2as2e x0 + 1 = 2bt2eassimas2 bt2= 1. Bastaportantomostrarquea=1(demodoqueb = A). Para isto,observemos quea ,= Aporque casocontrario b = 1e(t, s)seriaumasolu c aomenordoqueasolu c aomnima(x0, y0)dex2Ay2= 1.Poroutrolado,se1 < a < Atemosdoispossveiscasos:1. aeprimo, nestecasotomamosumdivisorprimopdebetemosqueas2 1(modp). Logo_ap_= 1, mas p e da forma 4k +1 e portantoistoimplica_ap_= 1,oquecontradizahipotesedoteorema.2. aeprodutodedoisprimosebeprimo, nestecasosepeumdivisorprimodeatemosquebt21(modp), assim_bp_=1, oquedenovocontradizahipotesedoteorema.Oresultadoanterior foi generalizadopor Richaud, Tanoe outros. Oseguinteteoremacontemessencialmentetodosestesresultados.Teorema3.43(Nagell-Trotter) Sejamp1, . . . , pnn umeros primos con-gruentesa1m odulo4eA=p1p2. . . pn. Suponhaquen aoexistam ndicesdiferentes i, j, k tais que_pipj_=_pjpk_=1. Ent aox2 Ay2= 1possuisolu c ao.Demonstra c ao: Ver[84]ou[60].DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 125#137ii i3.5. EQUA CAODEPELL 1253.5.3 SolucoesdaEquacaox2Ay2= cNovamente assumimos que A n ao e quadrado perfeito. Seja (x1, y1) (N>0)2asolu c aomnimadex2 Ay2=1. Dadoc Zn aonulo, seexistealgumasolu c aodex2Ay2= ccom(x, y) N2,ent aoexistem innitas: defato,seu +vA = (x +yA)(x1 +y1A)ncomn Z,ent aou2Av2= c.Poroutrolado, nemsempreexisteumatal solu c ao. Umacondi c aone-cessariaparaaexistenciadesolu c oeseaseguinte: sepeumdivisorprimodeA, temosx2c(modp), assimparaqueexistasolu c aocdeveserres-duoquadr aticomodulopparatododivisorprimopdeA. Infelizmenteestacondi c aon aoesuciente, porexemploaequa c aox2 7y2=11n aopossuisolu c aojaqueolhandomodulo4x2+y2 x27y2= 11 1 (mod4),oque eimpossvel. Entretanto_117_=_47_= 1.Aseguinteproposi c aoajudaareduzirotrabalhonecessarioparadecidirsex2Ay2= ctemalgumasolu c ao (x, y) N2.Proposi cao3.44Seja = x1+y1A > 1 onde (x1, y1) e a solu c ao mnimade x2Ay2= 1. Dado c Z n ao nulo, se existem x, y N com x2Ay2= c,ent aoexistemu, v Ncomu+vA _[c[e u2Av2= c(emparticular,paraestasolu c ao0 u _[c[ e0 v _[c[/A).Demonstra c ao: Se=r + sAcomr, s Qdenimos =r sA,temosent aoN() = N( ) = = r2As2.Seja=x + yA > 0comN()= x2 Ay2= c. Ent aoN(k) = cparatodok Z. Emparticularpodemosescolherumk Ztalque_[c[ 0 e dita multiplicativase dados dois n umerosnaturaisaebtaisquemdc(a, b)=1ent aof(ab)=f(a)f(b), etotalmentemultiplicativase f(ab) = f(a)f(b) para todo a e b. Vejamos algumas fun c oesmultiplicativasimportantes.Proposi cao4.1Sejanumn umerointeiropositivoekumreal qualquer.Asfun c oesk(n)def=

d|ndke (n) = fun c aodeEuler133DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 134#146ii i134 CAPITULO4. FUN COESARITMETICASs aomultiplicativas. Emparticular,asfun c oesd(n)def= 0(n) = n umerodedivisoresden(n)def= 1(n) = somadosdivisoresdens aomultiplicativas.Demonstra c ao: Javimosnase c ao1.7queemultiplicativa. Poroutrolado,pela proposi c ao 1.21, sen = p11p22. . . pmmea fatora c ao canonica de nemprimosent aotemosumaformulaexplcitak(n) =p(1+1)k11pk1 1 . . . p(m+1)km1pkm1,dondeefacilprovar quekemultiplicativa.Uma fun c ao totalmente multiplicativa fca completamente determinadapor seus valores nos n umeros primos. Impondo algumas restri c oes adicionais,temososeguinteresultadoTeorema4.2Sejaf :N>0 R>0umafun c aototalmentemultiplicativaeestritamentemon otona,ent aoexiste Rtal quef(n) = n.Demonstra c ao: Trocando fpor1/f, podemos suporsem perda degene-ralidadequefeestritamentecrescente,edenamos = log2f(2). Vejamosquef(n) = n. Paraistoobservemosque,aplicandof,paratodom N>0temos2mlog2 n nm< 2mlog2 n+1=2mlog2 n (f(n))m< 2(mlog2 n+1)Assim,2mlog2nm f(n) < 2(mlog2n+1)mparatodom N>0.Maslimmmlog2nm= limm(mlog2n + 1)m= log2n,dondeconclumosquef(n) = 2log2 n= n.Exemplo4.3Encontrar condi c oes necess arias e sucientes sobre m e n paraquen(m) = m(n).DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 135#147ii i4.1. FUN COESMULTIPLICATIVAS 135Solu c ao: Sen(m) = m(n)ent aon(m) = mn

p|mpprimo_1 1p_= mn

q|nqprimo_1 1q_= m(n).Datemosquenemdevemterosmesmosdivisoresprimos;casocontrario,consideremos pi e qj os fatores primos de n e m respectivamente que n aosaocomunsaosdoisn umeros,ent ao

(pi1)

qj=

(qj 1)

pi.Mas,comopi qjeqj piparatodososfatoresprimos,conclumosque

pi

(pi1) e

qj

(qj 1),oqueeimpossvel. Agora,senemtemosmesmosfatoresprimosprova-sediretamentedaformulaacimaquen(m) = m(n).Oseguinteteoremanosmostraumaformadeconstruirfun c oesmultipli-cativas.Teorema4.4Sefeumafun c aomultiplicativaent aoafun c aoF(n) =

d|nf(d)etambemmultiplicativa.Demonstra c ao: Sejamaebinteirostaisquemdc(a, b) = 1ent aoF(ab) =

d|abf(d) =

d1|a,d2|bf(d1d2) =

d1|a,d2|bf(d1)f(d2)=

d1|a

d2|bf(d1)f(d2) =

d1|af(d1)

d2|bf(d2)= F(a)F(b).SeguequeFtambem emultiplicativa.Comoresultadoanterior obtemos outrometodoparademonstrar quek(n)emultiplicativa, jaquef(n)=nkeclaramenteumafun c aomultipli-cativa.Exemplo4.5Demonstrarque(n)d(n) n.Solu c ao: Se 0 ent ao para qualquer primo p temos (p) (p),logocomoemultiplicativatemosque(n) (d)paratododivisordden. Ent ao,pelolema1.77,(n)d(n) =

d|n(n)

d|n(d) = n,como queramos demonstrar. Note que a igualdade so se obtem quando n = 1oun = 2.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 136#148ii i136 CAPITULO4. FUN COESARITMETICASExemplo4.6Encontrartodososinteirosnparaosquais(n) = d(n).Solu c ao: Sep 3 eumprimo,temosque(p) = (p 1)p1 2(1 + 2)1 2_1 + 2( 1)_ + 1 = d(p),onde a igualdade so se d a quando p = 3 e = 1. Portanto, pela multiplicati-vidade das fun c oes (n) e d(n), os unicos mpares que satisfazem (n) = d(n)saon = 1en = 3. Poroutrolado,se > 3temos(2) = 21> + 1 =d(2);para = 3obtemosassolu c oesn = 18 = 8en = 38 = 24.Assim, sonosfaltaresolveroscasos(2n)=d(2n) (n)=2d(n)e(4n)=d(4n) 2(n)=3d(n)ondene mpar. Temos(5)=4=2d(5), (15)=8=2d(15)e(9)=6=2d(9), donde25=10, 29=18e215=30tambemsaosolu c oesdaequa c aoinicial. Demonstremosagoraquen aoexistemmaissolu c oes. Sen=pepotenciadeumprimo mparpent aoparap = 3e 3,ouparaparap = 5e 2,ouparap 7,temoscomoacimaque(n) = p1(p 1) > 2 + 2 = 2d(n) >32d(n).Poroutrolado, jasabemosque(n) d(n)paratodon mpar. Assim, damultiplicatividadedasfun c oes(n)ed(n),obtemosquesenedivisvelpor33, 52ouporalgumprimop 7,ent ao(n) >2d(n) >32d(n)eanalisandooscasosrestantesobtemosapenasassolu c oesapresentadas anteriormente.Emconclusao,as unicassolu c oesde(n)=d(n)sao1, 3, 8, 10, 18, 24,30.Oseguinteteoremarelaciona afun c aod(n)comafun c ao x.Teorema4.7Sejanuminteiropositivo,ent ao2n

k=1d(k) n

k=1_2nk_= n.Demonstra c ao: Sejaf(i)def=

1ki_2ik_.Observemos queparai, k > 1_2ik__2i 2k_=_1 sek [ 2iouk [ 2i 10 casocontrario.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 137#149ii i4.2. FUN CAODEMOBIUSEFORMULADEINVERSAO 137Portantoparai 2temosf(i) f(i 1) = 2i 2i 2 +

2ki__2ik__2i 2k__+_2i 2i_= 2 + (d(2i) 2) + (d(2i 1) 2) + 1= d(2i) +d(2i 1) 1,donde2n

k=1d(k) = d(2) +d(1) +n

i=2_f(i) f(i 1) + 1_= 3 +f(n) f(1) +n 1= f(n) +nqueeraoquequeramos demonstrar.4.2 FuncaodeMobiuseFormuladeInversaoDenimosafun c aodeMobius:N>0 Zpor(n) =___1 sen = 10 sea2[ nparaalguma > 1(1)kseneprodutodekprimosdistintos.Facilmente se comprova que a fun c ao de Mobius e multiplicativa. Alem dissoLema4.8Paratodointeiropositivontemos

d|n(d) =_1 sen = 10 sen > 1.Demonstra c ao: Nocason=1n aotemos nadaparaprovar. Comoafun c ao

d|n(d) e multiplicativapeloteorema4.4, bastamostraolemaparan = pkondep eumn umeroprimo. Defato,

d|pk(d) =k

j=0(pj) = 1 1 = 0comoqueramosdemonstrar.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 138#150ii i138 CAPITULO4. FUN COESARITMETICASTeorema4.9(F ormuladeinversaodeMobius) Seja f(n) uma fun c aomultiplicativaeF(n) =

d|nf(d),ent aoparatodoninteiropositivo,f(n) =

d|n(d)F_nd_.Demonstra c ao: Vejamosque

d|n(d)F_nd_=

d|n(d)

d1|ndf(d1)=

d|n

d1|nd(d)f(d1)=

d1|n

d|nd1(d)f(d1)=

d1|nf(d1)

d|nd1(d) = f(n)(1) = f(n),comoqueramosdemonstrar.Agora, observemos que paratodon umeronatural m, f e F denidascomoantes,m

n=1F(n) =m

n=1

d|nf(d) =m

d=1

d|n1nmf(d)Comof(d) esomado_md_vezes,ent aom

n=1F(n) =m

d=1f(d)_md_.No caso particular em que f(n) = (n) temos que F(n) = n pelo lema 1.77eassimm(m+ 1)2=m

n=1(n)_mn_.Sef(n) = (n),ent ao F(n) = 0sen > 1eF(1) = 1pelolema4.8,portanto1 =m

n=1(n)_mn_.Aigualdadeanterior nospermiteresolver oseguinteExemplo4.10Demonstrarque,paratodointeirom > 1,m

k=1(k)k< 1.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 139#151ii i4.2. FUN CAODEMOBIUSEFORMULADEINVERSAO 139Solu c ao: Como 1 1m

k=1(k)k2npi 1 e 2_npi 1_> 2_npi_ 2npi,somandoteremosque2 >_2npi_2_npi_> 1.Portantoesta ultimaexpressaosopodetomarosvalores1e0. Conclumosque 2 p

i=11 = p.Alemdisso,se2n3< p < nent ao = 2e= 1,logo 2= 0.Podemosagora mostraraseguinteProposi cao4.14(Chebyshev) Seja (x) a quantidade de primos menoresouiguaisax. Existemconstantespositivasc < Ctaisquecxlog x< (x) < Cxlog xparatodox 2.Demonstra c ao: Observemosinicialmenteque_2nn_=(2n)!n!n!em ultiplodetodososprimospquesatisfazem n < p 2n. Como_2nn_0peloteorema anterior, temos que existe C tal que pn< Cnlog n para todo n 2.Analogamenteseprovaaexistenciadec.Temos ainda o seguinte corol ario do teorema de Chebyshev, que deixamoscomoexerccioparaoleitor.Corolario4.16Sejaf :N [0, +)umafun c aodecrescente. Aserie

pprimof(p)DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 144#156ii i144 CAPITULO4. FUN COESARITMETICASconvergese,esomentese,aserie

n=2f(n)log nconverge. Emparticular,

pprimo1p= +.Precisaremos tambemdasseguintesestimativas:Lema4.17 1.

1jn1j=log n+ + O(1n) =log n+ O(1), onde denotaaconstantedeEuler-Mascheroni(ver[25]porexemplo).=limn_ 1jn1j_log n = 0, 577215664901532860606512 . . .2.

nj=1 log j=_n +12_log n n +O(1).3.

nj=21j log j= log log n +O(1).Demonstra c ao: Para estimativamaisprecisadaprimeirasoma,vejaporexemplo[36]. Aqui provaremosapenasasegundaestimativa, quenosserasuciente namaioriadas aplica c oes. Paraisto, observemos que afun c aog(x)=1xeestritamentedecrescenteec oncavaparacima, assimparatodointeiroj>1, nointervalo[j 1, j] aretay=1jcaembaixodey=g(x),queporsuavezcaembaixodaretaquepassapelospontos(j 1,1j1)e(j,1j). Portanto calculandoasareassobascurvastemosque1jn

j=212(log(j 1) + log j) =n

j=2log j 12 log n.Ouseja,_n +12_log n n + 1 >n

j=1log j> nlog n n +12+12n

j=11j.Assim,conclumosque_n +12_log n n + 1 >n

j=1log j>_n +12_log n n +14n+34eoresultadosegue.Aterceirasomae estimadacomparando-acomaintegral_n2dxx log x=log log n log log 2,eedeixadacomoexerccioparaoleitor.Agora,mostremosalgumasestimativassobren umerosprimos.Proposi cao4.18

pprimopnlog pp= log n +O(1).Demonstra c ao: Pelaproposi c ao 1.22,temosn! =

pprimopnpvponde vp=

k=1_npk_.Tomandologaritmos, temos

nk=1 log k=

p primopnvp log p, ecomonp 1n(d)d2= O(1n)eassimn

k=1(k) =n22n

d=1(d)d2+O_nn

d=11d_=n22

d=1(d)d2+O(nlog n)Alemdisso,notequeparatodo > 1temosque

m=11m

n=1(n)n=

k=1

d|k(d)k= 1.Emparticular

d=1(d)d2=(

d=11d2)1=62pelaproposi c ao4.20, assimsubstituindoeste valor na expressao acima temos oresultado desejado.Observemosqueaproposi c aoanteriormostraquea probabilidade dequedoisn umerosnaturaissejamprimosentresi,ouseja,limN1N2#(m, n) N2[ 1 n, m Ne mdc(m, n) = 1eiguala62 60,79%.Proposi cao4.22

nk=1(k)k=6n2+O(log n).Demonstra c ao: Comonaproposi c aoanterior,temos(k) =

d|k(d)kdeportanton

k=1(k)k=n

k=1

d|k(d)d=n

d=1_nd_

(d)d= nn

d=1(d)d2+O_n

d=11d_=62n +O(log n).Proposi cao4.230 < liminfn(n) log log nn< +.Demonstra c ao: Sejapioi-esimon umeroprimo. Se ntemk fatoresdistintos, ent aon>nkondenk=p1 p2 pkeoprodutodoskprimeirosn umerosprimos. Assim,(n)n=

pprimop|n_1 1p_

1ik_1 1pi_=(nk)nk,DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 150#162ii i150 CAPITULO4. FUN COESARITMETICASlogo(n) log log nn(nk) log log nknk. Bastamostrarqueliminfk(nk) log log nknk(0, ),maslog (nk) log log nknk=k

j=1log_1 1pj_+ log log log nk.Comolog_1 1pj_= 1pj+O(1p2j),pelaproposi c ao 4.19obtemosk

j=1log_1 1pj_= k

j=11pj+O(1) = log log pk +O(1)Mas pelocorol ario4.15, temos que kpkCk log k paraalgumC, oqueimplicalog log pk=log log k + O(1). Destamaneira, paramostrarqueliminfk(nk) log log nknk (0, ),bastavericarquelimsupk(log log k log log log nk) = 0.Temosquenk=

kj=1pk (Ck log k)k,dondelog nk k(log k + log(C log k)) < 2k log k parakgrande,eassimlog log nk< log k + log log k + log 2. Portantolimsupk(log log k log log log nk) 0.Por outro lado,certamentetemosnk> 2k,logo log nk> k log 2,log log nk>log k + log log 2,eassimlimsupk(log log k log log log nk) 0.Logoestelimsupezero,completandoaprova.Observequeoutrotipodeestimativatrivialpodeserobtidadofatoque(p) = p 1,paratodopprimo,assimcaclaroquelimsupn(n)n= 1.Resumindo os varios tipos de resultados que obtivemos sobre (n) dizemosqueaordemmediade(n)e6n2, aordemmaximade(n)eneaordemmnimade(n) eCnlog log nparaalgumaconstantepositivaC.ProblemasPropostos4.20Provequeseapartereal deemaiorouigual a2ent ao

m=1(m)m=

m=11m1_

m=11m.DRAFTET November 15, 2009ilivro2009/11/1518:07page 151#163ii i4.5. AFUN CAO 1514.21Mostrar que, paratodo 0, existeuminteirontal que(n)n < .4.22(TeoremadeSierpi nski-Schinzel) Mostrarqueoconjunto_(n + 1)(n) n N_edensonoconjuntodosn umerosreaispositivos.4.23Mostarqueparatodo 1en 0n

k=1(k)k=62(2 )n2+O(n1log n).4.24Mostrarquen

k=1(k)k2=62log n +62+O_log nn_.4.5 AFuncaoLembramosque(n)=

d|ndeumafun c aomultiplicativa. Assim, sen=p11p22 pkkeafatora c ao canonicaden,ent ao(n) =