2ª Lista de Exercícios - Divisibilidade em Z
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Álgebra I – Prof. Robson Rodrigues http: www.robson.mat.br e-mail: [email protected] 2ª Lista de Exercícios – Números inteiros e divisibilidade em Z Questão 01. Decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra – exemplo. i) Se a | b, então (a + c) | (b + c), a, b, c Z. ii) Se a | b, então ac | bc, a,b,c Z. iii) Se a | (b + c), então a | b ou a | c, a, b, c Z. iv) Se a | b , a | c e a | d , então a | (bx + cy + dz), a,b, c,d, x, y,z Z. Questão 02. Utilizando o princípio da indução finita prove que 3 | (n 3 – n), n 1. Questão 03. Em uma divisão o dividendo é 320 e o quociente é 8. Determine o divisor e o resto. Questão 04. O resto da divisão de um inteiro n por 20 é 6. Qual é o resto da divisão de n por 5 ? Questão 05. Utilizando o algoritmo de Euclides determine o mdc(1128,120). Questão 06. É possível mostrar que mmc(a,b).mdc(a,b) = |ab|. Utilizando esse resultado resolva o seguinte problema: “Determinar inteiros positivos a e b tais que ab = 9900 e mmc(a,b) = 330.” Questão 07. Duas rodas gigantes começaram a girar, num mesmo instante, com uma pessoa na posição mais baixa em cada uma. A primeira dá um volta em 30 segundos e a segunda dá uma volta em 35 segundos. Depois de quanto tempo, as duas pessoas estarão juntas novamente na posição mais baixa? Questão 08. Um comerciante compra feijão de três qualidades diferentes. A primeira qualidade vem em sacas de 60 kg; a segunda em sacas de 72 kg e a terceira em sacas de 42 kg. Para vendê-las em sacas de igual peso, sem misturar qualidades, qual a massa máxima de cada saca? Questão 09. Sendo m um número ímpar, mostre que m 2 – 1 é um múltiplo de 8. Questão 10. Verifique se os números 187 e 191 são primos. Questão 11. Na divisão euclidiana de n por d, encontrou-se quociente igual a 20 e resto igual a 3. Obtenha n, dado que n – d = 79. Questão 12. Dois pilotos de fórmula 1 percorrem um circuito com velocidades médias constantes. Um deles completa um volta a cada 3 min e 40s e o outro a cada 3 min e 50s. Se eles passaram juntos num ponto P desse circuito, qual será o menor intervalo de tempo necessário para que eles passem novamente juntos neste ponto P? Gabarito 1. (i) F (ii) V (iii) F (iv) V 3. os possíveis valores para o divisor b, são: 36, 37, 38, 39, 40 e seus respectivos restos são 32, 24, 16, 8 e 0. 4. r = 1 5. 24 6. a = 30 e b = 330 ou a = 330 e b = 30. 7. 3min e 30s 8. 6 kg 10. 191 é um número primo 11. n = 83 12. 84min e 20s
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Álgebra I – Prof. Robson Rodrigues
http: www.robson.mat.br e-mail: [email protected]
2ª Lista de Exercícios – Números inteiros e divisibilidade em Z Questão 01. Decidir se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um
contra – exemplo.
i) Se a | b, então (a + c) | (b + c), a, b, c Z.
ii) Se a | b, então ac | bc, a,b,c Z.
iii) Se a | (b + c), então a | b ou a | c, a, b, c Z.
iv) Se a | b , a | c e a | d , então a | (bx + cy + dz), a,b, c,d, x, y,z Z.
Questão 02. Utilizando o princípio da indução finita prove que 3 | (n3 – n), n 1.
Questão 03. Em uma divisão o dividendo é 320 e o quociente é 8. Determine o divisor e o resto.
Questão 04. O resto da divisão de um inteiro n por 20 é 6. Qual é o resto da divisão de n por 5 ?
Questão 05. Utilizando o algoritmo de Euclides determine o mdc(1128,120).
Questão 06. É possível mostrar que mmc(a,b).mdc(a,b) = |ab|. Utilizando esse resultado resolva o seguinte
problema: “Determinar inteiros positivos a e b tais que ab = 9900 e mmc(a,b) = 330.”
Questão 07. Duas rodas gigantes começaram a girar, num mesmo instante, com uma pessoa na posição
mais baixa em cada uma. A primeira dá um volta em 30 segundos e a segunda dá uma volta em 35
segundos. Depois de quanto tempo, as duas pessoas estarão juntas novamente na posição mais baixa?
Questão 08. Um comerciante compra feijão de três qualidades diferentes. A primeira qualidade vem em
sacas de 60 kg; a segunda em sacas de 72 kg e a terceira em sacas de 42 kg. Para vendê-las em sacas de
igual peso, sem misturar qualidades, qual a massa máxima de cada saca?
Questão 09. Sendo m um número ímpar, mostre que m2 – 1 é um múltiplo de 8.
Questão 10. Verifique se os números 187 e 191 são primos.
Questão 11. Na divisão euclidiana de n por d, encontrou-se quociente igual a 20 e resto igual a 3. Obtenha
n, dado que n – d = 79.
Questão 12. Dois pilotos de fórmula 1 percorrem um circuito com velocidades médias constantes. Um
deles completa um volta a cada 3 min e 40s e o outro a cada 3 min e 50s. Se eles passaram juntos num
ponto P desse circuito, qual será o menor intervalo de tempo necessário para que eles passem novamente
juntos neste ponto P?
Gabarito
1. (i) F (ii) V (iii) F (iv) V
3. os possíveis valores para o divisor b, são: 36, 37, 38, 39, 40 e seus respectivos restos são 32, 24, 16, 8 e 0.
4. r = 1 5. 24 6. a = 30 e b = 330 ou a = 330 e b = 30. 7. 3min e 30s 8. 6 kg
10. 191 é um número primo 11. n = 83 12. 84min e 20s
