Critérios de Critérios de divisibilidade e divisibilidade e CongruênciaCongruência

Critérios de Critérios de divisibilidade e divisibilidade e CongruênciaCongruência

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

Fundamentos de Matemática B

Andréa Ritter,

Belissa Schönardie

& Camila Rodrigues

Professores: Alvino e Professores: Alvino e LuísaLuísa

Porto Alegre, 05 de outubro de Porto Alegre, 05 de outubro de 2009.2009.

DefiniçãoSe a e b são inteiros, dizemos que a

divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c

tal que b = ac.

Se a não divide b escrevemos a b.

Proposições1.1) Se a, b e c são inteiros, a|b e b|c, então a|c.Como a|b e b|c, existem inteiros k1 e

com b= k1a e c=k2b. Substituindo o valor

de b na equação c=k2b teremos c=k2 k1a o que

implica que a|c.

1.2) Se a, b, c, m e n são inteiros, c|a e c|b então c|(ma + nb).

Se c|a e c|b então a = k1c e b = k2c. Multiplicando-se estas duas equações respectivamente por m e n teremos

ma = m k1c e nb = n k2c. Somando-se membro a membro obtemos ma+nb=(mk1c+nk2c), o que nos diz que

c|(ma + nb).

Divisibilidade por 9 Vamos considerar um número N

com 5 dígitos abcde, na base 10. Sendo assim, podemos reescrevê-lo

na forma: n = a x 104 + b x 103 + c x 10² + d x 10 + e

Façamos as seguintes substituições:

10=9+1100=99+1

1000=999+110000=9999+1

Obtemos então:N= a(9999+1) + b(999+1) + c(99+1) + d(9+1) + e=

=(9999a +999b +99c +9d) + (a+b+c+d+e) =

=9(1111a + 111b + 11c + d) + (a + b + c + d + e).

Disto concluímos que se 9|n, como 9|9(1111a + 111b + 11c + d), então

9 deve dividir (a + b + c + d + e) pela

proposição1.2 . Reciprocamente se 9| (a + b + c + d + e) , então 9|n,

uma vez que 9|9(1111a + 111b + 11c + d).

Provamos desta maneira o critério de divisibilidade por 9:“ Um número é divisível por 9 se, e

somente se, a soma de seus algarismos é divisível

por9.”

Outra forma de demonstrarmos a divisibilidadepor 9 é fazendo a utilização do critério decongruência.Dados os naturais a, b e c, dizemos que “a é congruente a b módulo c”, que denotamos por a b (mod c), se e somente se b – a é

divisível por c. No nosso caso,a b (mod 9)b-a é divisível por 9.

Seja {xN/x=anan-1...a1a0}

Podemos também escrever x como

x=an.10n + an-1.10n-1 + ... + a1.101 + a0.100

Como 10n1(mod9),temos,

x=an.1(mod9),+an-1.1(mod9),+...+a1.1(mod9)+a0.1(mod9)

x=[an+an-1+...+a1+a0](mod9)

Desta forma, 9|x an+an-1+...+a1+a0=0,ou seja,

9|x 9|(an+an-1+...+a1+a0)

Para obter um critério de divisibilidade por 11, vamos analisar o valor posicional dos algarismos.

1: para cada unidade, haverá SOBRA de uma unidade ao dividirmos por 11

10: para cada dezena, haverá FALTA de uma unidade para completar 11 (pois 10+1=11)

100: para cada centena, haverá SOBRA de uma unidade ao dividirmos por 11 (pois 100-1=99=11x9)

1000: para cada milhar haverá FALTA de uma unidade para completar 11 (pois 1000+1=1001 = 11x91)

e assim por diante...

Divisibilidade por 11

)

Portanto, é preciso que este número também seja divisível por 11

É divisível por 11

Ou seja, 102n1(mod11) e 102n+1-1(mod11), nN

Antes de generalizar, vamos ver um exemplo:O número 58322 é divisível por 11?58322 = 5x104 + 8x103 + 3x102 + 2x101 + 2x100

= 5(104-1) + 8 (103+1) +3(102-1) + 2(101+1) + 2 (100-1)+5-8+3-2+2

Assim, para saber se um número é divisível por 11, somamos

os algarismos de ordem par e subtraímos os algarismos de ordem ímpar. Se o resultado for múltiplo de 11, o número original será múltiplo

de 11.

Lembrete: a ordem das unidades é zero, das dezenas é 1, etc.

Logo, como +5-8+3-2+2 = 0 e este é

múltiplo de 11, 58322 é divisível por 11.

Generalizando...11a se a soma alternada de todos os

algarismos de a é divisível por 11. 102n1(mod11) e 102n+1-1(mod11), nN. Podemos reescrever assim:10k(-1)k (mod11) será 1 ou -1 dependendo da paridade de k.

Logo, a (-1) k ak +(-1) k-1 ak-1 +...+a2–a1 + a0 (mod 11)

Exemplos:a) 11 divide 21428, poisSoma dos algarismos de ordem par: 8 + 4 + 2

= 14Soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 1

= 3Diferença: 14 – 3 =11 De fato, 21428:11= 1948

b) 11 não divide 75893482, pois Soma dos algarismos de ordem par:

2+4+9+5 = 20Soma dos algarismos de ordem ímpar:

8+3+8+7=26Diferença: 20 – 26 = -6

Como o resultado foi negativo, isso mostra

que faltam 6 unidades para o número ser

divisível por 11. Ou seja, o resto da divisão de

75398482 por 11 é 11-6 = 5.

Divisibilidade por 7Um número é múltiplo de 7 se, e somente se,o número obtido ao calcular a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número original também o for. Exemplo: 1757 é um múltiplo de 7, pois 175 − 2 × 7 = 161 = 16 – 2 = 14, que é

divisível por 7.Por outro lado, 9178 não é divisível por7, pois 917 −2 × 8 = 901 = 90-2 = 88.

Demonstração: Seja i o dígito das unidades do número

n, que pode ser escrito como 10k + i. No procedimento anterior obtivemos um

número r do tipo k – 2i. Será suficiente provar que os números 10k + i e K - 2i são tais que, se um deles

é múltiplo de 7, o outro também é. 10k + i é múltiplo de 7 k – 2i é

múltiplo de 7.

( ) Se 10k + i é múltiplo de 7, então existeum inteiro m tal que 10k + 1 = 7m e,

portanto, k – 2i = k – 2(7m - 10k) =k – 14m + 20k = 21k – 14m = 7(3k-2m) o

que implica k – 2i ser múltiplo de 7. ( ) Se k -2i é múltiplo de 7, então existe um inteiro n, tal que k – 2i = 7n e portanto, 10k + i = 10(7n + 2i) + i = 70n + 20i + i =70n + 21i = 7(10n + 3i) o que implica 10k + i ser múltiplo de 7, concluindo a prova.

Através de congruências temos:10 =73; 10²=7 3x3 =72; 10³=73x2=76;

104 =72x2=74; 105 =72x6=75; 106=76x6=71e, para as demais potências de 10, os resultados se repetem: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...Ex.: 21861 =72x 104+1x10³+8x10²+6x10+1=

=72x4+1x6+8x2+6x3+1 =71+6+2+4+1 =714=0 ou

ainda 21861 =7 21000+861 =7 700+161=

=7140+21==70+0 =70

Seja N= 3 045 258 329 506 e consideremosn1 =506, n2=329, n3=258, n4=045 e n5=3, obtidos pela separação dos algarismos de N, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda.Sejam r1, r2 , r3 , r4 e r5 os restos das divisões desses números por sete, respectivamente. Observa-se que esses restos são facilmente determinados sem efetuar as divisões, pela subtração de múltiplos de 70 ou

7, do seguinte modo:

506-490=16, 16-14=2, logo r1=2;

329-280=49, 49-49=0, logo r2=0;

258-210=48, 48-42=6, logo r3=6;

45-42=3, logo r4=3 e r5=3

Seja agora N’= r1- r2+ r3- r4+ r5= .

A regra é: N é divisível por 7 se e somente se N’ é divisível por 7. No nosso caso, N’= 2 – 0 + 6 – 3 + 3= 8, que não é divisível por 7. Logo, N também não é divisível por 7.

k

ka 1

Demonstração da regra para um número natural qualquer:

Para isso, usaremos, para os naturais a e b, o conceito de congruência: dizemos que “a é congruente a b módulo 7”, que denotamos por a b (mod 7), se e somente se b – a é divisível por 7. Logo,

a b (mod 7) b-a é divisível por 7.

Pelas propriedades das congruências temos:

inteiro. 1 para 7mod então,7mod Se

.7mod e 7mod ,7mod

então ,7mod e 7mod Se

.7mod' então,7mod' e 7mod Se

.7mod então ,7mod Se

.7 mod0 então 7, de múltiplo um é Se

kbaba

bdacdbcadbca

dcba

babbba

abba

aa

kk

Usando os resultados anteriores, vamos demonstrar a regra:

Seja N um número natural e n1, n2 , ..., nm os números obtidos pela separação dos algarismos de N, por pontos, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda, como no exemplo. Sejam r1, r2, ..., rm os restos da divisão desses números por sete, respectivamente. Então,

N= n1 + n2x1000+ n3x1000²+...+ nm x1000m-1.

No exemplo inicial temos N=506 + 329x1000+258x1000²45x1000³+3x10004.

Como 1000 -1(mod 7) , pois 1001 é divisível por 7, temos 1000k (-1)k (mod7), com k=1,2,3,...

Assim, dado um número natural a, se b é o resto da divisão de a por 7, temos

a b (mod 7) , então ax1000k ax(-1)k(mod 7) bx (-1)k(mod 7).

Logo,

n1 + n2x1000+ n3x1000²+...+ nm x1000m-1 [r1+ r2 (-1) + r3(-1)²+...+ rm(-1) m-1](mod 7), ou

N N’(mod 7) .

Portanto N 0(mod 7) N’ 0(mod 7) N= 3 045 258 329 506

[2 + 0(-1) + 6(-1)²+ 3(-1)³+ 3](mod 7) 8(mod 7) 1(mod 7) e como 1 não é

divisível por 7, N também não é.

Sugestão de atividade...• Jogo “Treinando os critérios...”

Objetivos: Que o aluno seja capaz de: reconhecer os critérios de divisibilidade; desenvolver a capacidade de fazer cálculos

mentais; fixar conteúdos matemáticos; simplificar frações criar estratégias de resolução Pré-requisitos: - Simplificação de frações - Critérios de divisibilidade. N° de jogadores: 2 ou mais

jogadores/as.

Materiais: - Tabuleiro - Peões - 50 Fichas com números inteiros - 50 Fichas / perguntas Modo de Jogar: É decidido através de sorteio o jogador que inicia a partida. Este deve pegar uma carta do monte (perguntas) e tentar respondê-la. Respondendo corretamente, o jogador tem o direito de resgatar uma carta do segundo monte, para saber quantas casas irá deslocar-se no tabuleiro. O número de

casas a deslocar-se é regido pelo número de divisores (apenas segundo os critérios estudados. Deve ser lembrado ao aluno que existem outros divisores além dos trabalhados)da carta resgatada (ex.: se o jogador tirar a carta 10, poderá deslocar-se 3 casas, pois 10 pode ser dividido por 2, 5 ou 10, e estes critérios foram estudados...). Vence o jogador que primeiro chegar no final do tabuleiro.

Material utilizado para confecção do jogo:

O baralho pode ser confeccionado em papel cartaz e protegido com Papel

Contact. O tamanho de cada carta pode ser do tamanho do baralho normal ou,

aproximadamente, de 5cmx8cm.

Modelo do tabuleiro:

Modelo das cartas:

CongruênciaUma congruência é a relação entre dois números que,divididos por um terceiro (módulo de congruência) deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 10 é congruente ao número 3, módulo 7,pois ambos deixam resto 3, ao serem divididos por 7.Representamos essa congruência do exemplo por 103 (mod7).Diferentes códigos numéricos de identificação, como códigos de barras, números dos documentos deidentidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia,calendários e diversos fenômenos periódicos estão diretamente ligados ao tema.

Aplicação na escola básica: Banco de questões da OBMEP: A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que

uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?

Fios A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23

... ... ... ... ... ... ... ...

Observando que os fios se repetem a cada oito números conclui-se que os números de cada fio formam uma sequência que aumenta de oito em oito. Sendo assim, cada fio pode ser representado a partir dos múltiplos de 8. O fio A corresponde aos números que são múltiplos de 8 (divididos por 8 deixam resto zero; 8.n, com n natural.). O fio B corresponde aos números que são múltiplos de 8, mais 1 (divididos por 8 deixam resto 1; 8.n + 1, com n natural). O fio C corresponde aos números que são múltiplos de 8, mais 2 (divididos por 8 deixam resto 2; 8.n + 2, com n natural). Essa lógica se mantém até o fio H, definido pelos números que divididos por oito deixam resto 7.

No caso do 118, temos: 118 : 8 = 14. 8 + 6, pertence à família dos números que estão no fio G.

AplicaçõesSistemas de identificação1) ISBN -International Standard Book Number Código numérico onde as publicações são identificadas através de 10 algarismos, sendo que o último (dígito de controle) é calculado através da aritmética modular envolvendo operações matemáticas com os outros nove dígitos. Esses nove primeiros dígitos são subdivididos em 3 partes, de tamanho variável, separadas por hífen, que transmitem informações sobre o país, editora e sobre o livro em questão. Ex: Língua inglesa:algarismo 0, Editora McGraw-Hill código de 2 algarismos -07-restam 6 algarismos paraidentificação de suas publicações, havendo pois a possibilidade de 1 000 000 de títulos.

Vejamos como se processa o cálculo do dígito

final do ISBN (controle).Representando por a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a10 deve ser o menor valor possível, tal que ao ser acrescentado à soma obtida, deve gerar um múltiplo de 11, isto é, se

a soma obtida é S, o número S + a.10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S+a.10 0 (mod11)

Código do livro A Matemática do Ensino Médio, Volume 1, da Coleção Professor de Matemática: ISBN: 85-85818-10-7Cálculo do dígito de controle que, como estamos observando, é igual a 8. 8 5 8 5 8 1 8 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2Efetuando as multiplicações correspondentes e somando os produtos obtidos, teremos:8x10 + 5x9 + 8x8 + 5x7 + 8x6 + 1x5 + 8x4 + 2x3+ 9x2 = 80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 3 + 0=312. E 312 :11 = 28.11+4, ou seja, apresenta resto 4.

Para acrescentarmos o décimo algarismo deveremos encontrar um múltiplo de 11.O menor valor que atende a condição estabelecida, será o número 7, pois 11–4=7. Assim, com o valor apresentado no código, temos 312 + 7 = 319 é um múltiplo de 11, ou ainda, que 319 0 (mod 11). No ISBN, se o dígito for igual a 10 (resto dadivisão por 11 ser igual a 1), é usada a representação do 10 em algarismos romanos,

ou seja usa-se um X.

A partir de janeiro de 2007 os códigos do ISBNestão sendo representados com 13 dígitos. No caso dos livros editados no Brasil há um acréscimo dos dígitos 978 antes do 85.

2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13Código de barras constituído de 13 algarismos

sendo que o último é o dígito de controle. Nesse caso é usada a congruência módulo 10 e os fatores que compõem a base de multiplicação são os dígitos 1

e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita.

Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9a10a11a12 a seqüência

formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Vamos representar por S a soma obtida. O dígito que está faltando, que vamos representar por a13 deve ser tal que ao

ser somado com S, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, ou seja, S+a13 0(mod 10).

Numa embalagem de chá instantâneo, da Polônia, temos o seguinte código de barras:

Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito 4). 5 9 0 0 9 0 9 0 0 0 0 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 (esta é a base de multiplicação, nesse caso)

5+27+0+0+9+0+9+0+0+0+0+6= 56:10 = 5.10+6, ou

seja, apresenta resto 6.Para acrescentarmos o décimo terceiro algarismo, deveremos encontrar um múltiplo de 10.Logo, o dígito de controle será igual a 4 (10 – 6). Note que 56 + 4 = 60 (múltiplo de 10). No código de barras com 13 algarismos, os três primeiros dígitos do código representam o país de registro do produto (produtos filiados no Brasil apresentam os dígitos 9, 8 e 7); os quatro dígitos seguintes identificam o fabricante; os próximoscinco dígitos identificam o produto e o último é o dígito verificador ou de controle.

3) Cadastro das pessoas físicas na Receita Federal – CPF

O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro

bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são os dígitos de controle ou de verificação . No CPF, o décimo dígito ( primeiro dígito verificador) é o resultado de umacongruência, módulo 11 de um número obtido

por uma operação dos primeiros nove algarismos.

Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9 é a seqüência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessaordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, quevamos representar por a10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida S, deve gerar um múltiplo de 11 (o número S - a10 deve ser múltiplo de 11),

S - a10 0 (mod 11).Este número será opróprio resto da divisão por 11 da soma obtida.

O CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros dígitos: 661 386 120 , o primeiro dígito de controle será obtido da seguinte maneira:Escrevemos os nove primeiros e, abaixo deles, a

base de multiplicação com os dígitos de 1 a 9. 6 6 1 3 8 6 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Efetuando as multiplicações correspondentes, teremos:6x1 + 6x2 + 1x3 + 3x4 + 8x5 + 6x6 + 1x7 + 2x8 + 0x9 = =153. 153:11 = 13x11 + 10

Se o resto da divisão for 10 (número obtido écongruente a 10, módulo 11) utiliza-se, o dígito

zero.Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo zero.A obtenção do segundo dígito de controle é similar

a anterior. Agora o décimo dígito é acrescentado e utiliza-se uma base de multiplicação de 0 a 9. 6 6 1 3 8 6 1 2 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 96x0 + 6x1 + 1x2 + 3x3 + 8x4 + 6x5 + 1x6 + 2x7 + 0x8

+ +0x9= 99. 99:11=9x11 + 0 .Sendo assim, o segundo dígito de controle é zero.O CPF será então 661 386 120 00.

ReferênciasDANTE, Luiz R. Restos , congruências e divisibilidade, In:RPM, n.10, 1º semestre de 1987.

FREIRE,Benedito T. V. Congruência, divisibilidade e adivinhações, In:RPM, n. 22, 1992.

JURKIEWICZ, Samuel. Divisibilidade e Números Inteiros: Introdução àAritmética Modular. Iniciação Científica OBMEP 2006. Rio de Janeiro: Imprinta Express Gráfica e Editora Ltda, 2006.

SÁ, Ilydio P. de. Aritmética modular e algumas de suas aplicações,p. 1 a 16. Disponível em : http://www.magiadamatematica.com/diversos/eventos/20-congruencia.pdfAcesso em 24 set. 2009.

SANTOS, José P. O. Introdução a teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 2006.

UMBELINO JR., Arnaldo. Divisibilidade por 7, In: RPM, n.43, 2000.