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TEORIA DAS ESTRUTURAS

AULA

Prof. Cláudio Regis Gomes Leite.

Ações Atuantes nas Estruturas – Aula 2

2

Prof. Cláudio Regis Gomes Leite

AULA 2

-REVISÃO: COMPONENTES DE UMA FORÇA;

RESULTANTE DE FORÇAS

(no plano e no espaço)

-EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

-EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

-REAÇÕES NOS VÍNCULOS DE UMA ESTRUTURA


Sistema Internacional (SI) de UnidadesMetro (m); quilograma (kg), segundo (s); Newton (N).

1N é a força que imprime aceleração de 1m/s2 à massa de 1kg.Unidade de força: NUnidade de distância: mUnidade de tensão: Pascal (Pa) Pa = N/m2

Unidade de momento: N.m

Prefixos SI

Ex: 1kN = 103 N; 1MPa = 106 Pa; 1GPa = 109 Pa1Kgf = 9,82 N 10N

Fator de multiplicação Prefixo símbologiga Gmega Mquilo k

109

106

103

≅


Forças

Força representa a ação de um corpo sobre outro . É caracterizadapor seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido érepresentada por um vetor. Graficamente é dada por um segmentodefinido ao longo de sua linha de ação (reta onde a força atua) Direção: é definida por sua linha de ação

Intensidade: comprimento do segmento (módulo do vetor) Sentido: indicado pela seta

10N linha de ação

A

NF 10=ρ

NF 10=ρ

NFF 10==ρ

NF 10=ρ

Fρ

módulo


Resultante de Forças

� Resultante ( ) é uma única força que produz o mesmoefeito de 2 ou mais forças.

� Inicialmente será considerado que o tamanho e a forma dos corpos não afetam a solução dos problemas todas as forçasque atuam no corpo serão considerandas atuando em um únicoponto (ponto material).

� Na maioria das vezes um corpo não pode ser tratado como um ponto material um corpo é um conjunto de grande númerosde pontos materiais.

� Vetores obedecem à lei do paralelogramo

Rϖ


Resultante de Forças no Plano

Lei do paralelogramo: a resultante ( ) de duas forças ( e ) é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças e

Regra do Triângulo: é obtida unindo o início de com o fim de (parte superior do paralelogramo) ou unindo o início de com o fim de

.

Rϖ

Rϖ

1Fρ

1Fρ

2Fρ

2Fρ

2Fρ

1Fρ

2Fρ

1Fρ

21 FFRρρϖ

+=

Rϖ

1Fρ

2Fρ

2Fρ

1Fρ

Rϖ1F

ρRϖ

2Fρ

2Fρ

1Fρ


Resultante de Forças no Plano Subtração de 2 forças:

Soma de 3 forças:

aplica a lei paralelogramo ou regra do triângulo 2 vezes (não importa a ordem que os vetores são somados)

Soma de 4 ou mais forças coplanares (forças que estão no mesmo plano) e concorrentes (forças que passam pelo mesmo ponto):aplica a lei do paralelogramo quantas vezes for necessário (ex1 e 2)

Pρ

Qρ

Qρ

− Oposto de ) Qρ

( )QPQPρϖρϖ

−+=−

Pρ

Qρ

QPρϖ

+

Pρ

Qρ

−

QPρϖ

−

( ) SQPSQPρρϖρρϖ

++=++Pρ

Qρ

Sρ

SQPρρϖ

++

QPρϖ

+


Decomposição de uma força emcomponentes

Uma força que atua sobre um ponto pode ser substituída por 2 ou mais forças que tenham o mesmo efeito que componentes de

Há um número infinito de conjuntos de componentes

Exemplo: decomposição de em 2 componentes, segundo as direções x1 e x2.

Fρ

Fρ

Fρ

Fρ

Pρ

Qρ

Fρ

1x

2x

Pρ

Qρ

e Componentes de Fρ

Fρ

Nas extremidades de passam paralelas segundo as direções x1 e x2 encontra e

Fρ

Pρ

Qρ


Decomposição de uma força emcomponentes

� Casos Comuns:a) Uma das componentes é conhecida: a outra é obtida pela

regra do triângulo. Exemplo: se é conhecida, obtém unindo a extremidade de com a de .

b) As linhas de ação das componentes são conhecidas a intensidade e sentido das componentes são obtidas pela lei do paralelogramo ou regra do triângulo

Qρ

Fρ

1x

2x

Fρ

Pρ

Pρ

Qρ

Fρ

Pρ


Componentes cartesianas de uma força no plano

� São as componentes de nas direções dos eixos de coordenadas cartesianas (x,y).

� No plano é decomposta em e

Fρ

Fρ

xFρ

yFρ

x

y

Fρ

θ

xFρ

yFρ ou

rotacionandoo sistema

x

y Fρ

xFρ

yFρ

θ

iρ

jρ

Fx e Fy componentes escalares de (Fx e Fy podem ser positivas ou negativas)

Fρ

yx FFFϖρρ

+= jFiFF yx

ρρρ+=θcosFFx

ρ= θsenFFy

ρ=

xFρ

yFρ

e componentes vetoriais de Fρ

Fy

iFF xx

ρρ= jFF yy

ρρ=

Ex3, 4 e 5222

xy FFFρρρ

+=22

xy FFFρρρ

+=


Resultante de forças no plano pela soma das componentes em x e y

� Cada força é decomposta em x e y

yRρ

xRρ

Soma das componentes em x

Soma das componentes em y

Rρ

Resultante das forças yx RRR +=ρρ

jRiRR yx

ρρρ+=

Exemplo: resultante das forças

( ) ( ) jFiFjSQPiSQPjRiRR yxyyyxxxyx

ρρρρρρρ∑∑ +=+++++=+=

SQPRρρρρ

++=Qρ

Pρ

Sρ

Qρ P

ρ

Sρ

x

y

jPy

ρ

iPx

ρ

jQy

ρ

iQx

ρ

jS y

ρ iSx

ρx

y

jRy

ρ

iRx

ρ

Rρ

Ex 6


Componentes cartesianas de uma força no espaço

� No espaço é decomposta em , e

� Se , e são os ângulos que faz, respectivamente com os

eixos x, y e z:

Fρ

xFρ

yFρ

iFF xx

ρρ= jFF yy

ρρ=

zFρ

kFF zz

ρρ=

zyx FFFFϖϖρρ

++=

kFjFiFF zyx

ρρρρ++=

xθ yθ zθ Fρ

xx FF θcosρ

=yy FF θcos

ρ= zz FF θcos

ρ=

x

y

z

xFρ

yFρ

zFρ

x

y

z

xFρ

x

y

z

xFρ

yFρ

zFρ

x

y

z

xFρ

yFρ

zFρ

iρ

jρ

kρ

Fρ F

ρ

Fρ

Fρ

A

O

xθ D

A

yθ

D

yFρ

zFρ

A

D

O

zθ

O

222

zxy FFFFρρρρ

++= Ex 7, 8 9


Seja o plano OBAC que contém o eixo y e a

força . A orientação de OBAC é definida

pelo ângulo que OBAC faz com o plano xy.

A orientação de dentro do plano OBAC é

definida pelo ângulo que faz com o eixo

y.

Componentes cartesianas de uma força no espaço (cont.)

Fρ

φ

Fρ

yθ

Fρ

x

y

z

Fρ

O

Plano xz

B

C

A

φ

Plano xy

yθ

Fρ

hFρ

yFρ

pode ser decomposta em e (contida no plano xz):

x

y

z

FρB

C

A

yθ

hFρ

yFρ

Decompondo em e xF

ρzFρ hF

ρ

x

y

z

Fρ

hFρ

yFρ

xFρ

zFρ

φO

yy FF θcosρ

=

yh senFF θρ

=

φcoshx FF =

φsenFF hz =


Forças no espaço (cont.)

� Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD:

x

y

z

Fρ

yFρ

xFρ

zFρ

φ

yθ

B

A

O

C

D

hFρ

222

hy FFFρρρ

+=OAB

222

ZXH FFFρρρ

+=OCD

Portanto:2222

zxy FFFFρρρρ

++=

222

zxy FFFFρρρρ

++=


Resultante de forças concorrentes no espaço

� Cada força é decomposta em x, y e z

yRρ

xRρ

Soma das componentes em x

Soma das componentes em y

Rρ

Resultante das forças

zyx RRRRρρρρ

++=

Exemplo: resultante das forças

( ) ( ) ( )kSQPjSQPiSQPR zzzyyyxxx

ρρρρ++++++++=

SQPRρρρρ

++=

Qρ

Pρ

Sρ

jRy

ρ

iRx

ρ

kFjFiFkRjRiRR zyxzyx

ρρρρρρρ∑∑∑ ++=++=

zRρ Soma das componentes

em z

x

y

z

kRz

ρ

Rρ

Rx Ry RzEx 10


Equilíbrio de um ponto material� Um ponto está em equilíbrio quando a resultante de todas as

forças que agem sobre ele é nula.

� Se o ponto está em equilíbrio, o efeito global de todas as forças que agem nele é nulo.

� 1a Lei de Newton: Se a forca resultante que atua em um pontomaterial tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece emrepouso (se estava em repouso) ou se move ao longo de umareta com velocidade constante ( se estava em movimento).

Exemplo 1: 2 forças de mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários(As 2 forças estão em equilíbrio)

0ρρ

=R

0∑ == xx FR 0∑ == zz FR0∑ == yy FR


Equilíbrio de um ponto material

� Exemplo 2: 4 forças agem no ponto A, cuja soma dázero (no polígono, a extremidade de coincide com o início de )

4Fρ

1Fρ

Regra do polígono 0

ρρ=R

Analiticamente:

010005001500º302000º3001001500 =−−=−−== ∑ sensenFR xx

01732866866º30cos2000º30cos1000866 =+−−=+−−== ∑ yy FR

(graficamente)

y

x

Sistema de forças em equilíbrio


EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS

� Seja um corpo sujeito a um conjunto de forças. Essas forças podem ser deslocadas para um ponto qualquer O do corpo, desde que além das forças considere também em O, os momentos dessas forças em relação a O. Se a soma de todas essas forças e a soma de todos esses momentos forem nulos, diz-se que o corpo está em equilíbrio.

( ) 0∑ ∑ =×= FrM o

ρρρ0∑ =F

ρCorpo em equilíbrio e

Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas:

Corpo em equilíbrio:0∑ =xM

0∑ =xF

0∑ =yM

0∑ =yF

0∑ =zM

0∑ =zF

O sistema de forças não provoca no corpo movimento de translação nem de rotação


Reações (forças de vínculo) numa estrutura

� Ações externas conhecidas forças ou qualquer outro tipo de ação que cause deformação na estrutura. Exemplos: peso do corpo, vento, variação de temperatura, movimento do solo sobre o qual a estrutura está apoiada (recalque), forças decorrentes do tipo de utilização da estrutura (peso de paredes, equipamentos, etc)

� Forças externas desconhecidas reações ou forças de vínculos. Através dessas forças o solo e/ou outros corpos impedem que a estrutura se translade ou sofra rotação, obrigando-a a permanecer na mesma posição. As reações ocorrem nos pontos da estrutura onde a mesma évinculada (tem contato) com o solo ou outro corpo.

Reações incógnitas do problema


� Numa estrutura bidimensional, há 3 tipos de vínculos:1. Apoio móvel (1º gênero) Impede apenas 1 movimento de

translação (a reação tem linha de ação conhecida). Exemplos


Impedem o movimento vertical

Ry Reação: Ry


2. Apoio fixo (2º gênero) Impede a translação em todas as direções, mas não impede rotação. (a reação não tem linha de ação conhecida). Exemplos

3. Engaste (3º gênero) Impede movimentos de translação e rotação


Impedem o movimento vertical e horizontal

RyRx

Ry

Rx

Reações: Rx e Ry

Reações: Rx, Ry e MZMz

ENGASTAMENTO



Representação:

a)Viga em balanço engastada na extremidade:

b)Viga bi-apoiada

engaste Apoio fixo

Apoio móvel

Ry

Rx

RyRy

Rx

M

Exemplo: dente Gerber Representa um apoio fixo (uma

viga está se apoiando na outra)

Outra representação de apoio móvel:

A B

Apoio móvel RA


Representa um apoio móvel (rolete confinado entre chapas planas)

Exemplos de apoios em estruturas

a)Pontes em viga (entre a viga e o pilar existe um aparelho de apoio)

Esquema estático: (cada pilar representa um apoio para a viga; as vigas são calculadas separadas dos pilares)

Viga com 4 apoios

vigapilar

Esquema estático: viga com 4 apoios e 2 balanços)

viga


a)Pontes em Pórtico (não há aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um único sólido)

Esquema estático: (considera as vigas junto com os pilares formando um pórtico)

Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste dependendo da rigidez do solo onde o pórtico estáapoiado

ou

Esquema estático:

PÓRTICO


Treliças Planas para Coberturas: tesourasTreliças Planas para Coberturas: tesouras

Treliça plana

Pilar que serve de apoio para a treliça

Esquema estáticoExemplos:

a)

b)


Treliças para Pontes e PassarelasTreliças para Pontes e Passarelas

a) Exemplos de esquemas estáticos

b) Exemplos de pontes treliçadas


EQUILÍBRIO DE UM CORPO BIDIMENSIONAL

� Seja uma estrutura bidimensional, definida no plano (x,y): as forças são na direção x e y; os momentos são em torno do eixo z, logo:

0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =AM

0=xM 0=yM0=zF

zA MM =

A estrutura estará em equilíbrio se:

Momento em torno do eixo z, em relação a um ponto qualquer A da estrutura

Através das equações de equilíbrio, calculam-se as reações nos vínculos, que são incógnitas.

ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio

3 equações de equilíbrio


EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio

ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Nº de reações incógnitas < Nº de equações de equilíbrio

O nº de vínculos que a estrutura possui, é apenas aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta)

O nº de vínculos que a estrutura possui é menor que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura se movimenta)

ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Nº de reações incógnitas >Nº de equações de equilíbrio

O nº de vínculos que a estrutura possui é maior que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta)

Movimento horizontal não estáimpedido!


EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

ATENÇÃO: pode acontecer do nº de vínculos ser igual ao nº de equações de equilíbrio, porém eles não serem suficientes para impedir que a estrutura se movimente. Nesse caso, diz-se que a estrutura estávinculada de forma ineficaz ( alguma das equações de equilíbrio não ésatisfeita. Exemplo:

A equação não é satisfeita (a menos que a soma das componentes em x das forças externas aplicadas se anulem). A treliça pode se movimentar horizontalmente. Uma das reações verticais não poderá ser determinada.

0∑ =xF

DIGRAMA DE CORPO LIVRE: retiram-se os vínculos da estrutura e desenha a estrutura indicando todas as forças externas atuantes e as reações incógnitas yAR

yER yBR


EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS

� Em um determinado ponto de uma estrutura tridimensional, pode-se ter 6 movimentos: 3 de translação nas direções x, y e z e 3 rotações em torno dos eixos x, y e z.

� O nº de reações incógnitas em um vínculo pode variar de 1 a 6, dependendo de quantos desses 6 movimentos estiverem impedidos. Terá uma reação incógnita na direção de cada movimento impedido. Por exemplo, em engaste (todos os movimentos são impedidos), têm-se como reações: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz.

� Equações de Equilíbrio:

0∑ =xM

0∑ =xF

0∑ =yM

0∑ =yF

0∑ =zM

0∑ =zF


Revisão

- CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE

-MOMENTO ESTÁTICO DE UMA SUPERFÍCIE


CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONAL

Seja uma placa horizontal, cujo módulo do peso é P. Pode-se dividir essa placa em n pedaços, denominados elementos, sendo:

elemento coordenadas Peso

1 (x1,y1) ΔP1

2 (x2,y2) ΔP2

i (xi,yi) ΔPi

ΔΔΔΔPi

Elemento i

xiyi

nPPPP ∆++∆+∆= .....21

Para elementos infinitesimais ∫= dPP

CG: centro de gravidade (baricentro) da placa, ponto de aplicação da resultante P

( )yx, Coordenadas do CG CG


CG

CÁLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONAL

Momento de P em relação ao ponto O ( )∑ ∆= PMPM oo )(

xPPM yo =)()( ( ) nnyo PxPxPxPM ∆++∆+∆=∆∑ ....2211)(

ΔΔΔΔPi

Elemento i

xiyi

yPPM xo =)()( ( ) nnxo PyPyPyPM ∆++∆+∆=∆∑ ....2211)(

Para elementos infinitesimais

( )∑ ∫= xdPdPM yo)(

( )∑ ∫= ydPdPM xo)(

( )∑= dPMPM xoxo )()( )(

∫= xdPxP

P

xdPx∫=( )∑= dPMPM yoyo )()( )(

∫= ydPyPP

ydPy∫=


CG DE SUPERFÍCIES HOMOGÊNEAS E ESPESSURA CONSTANTE

Para uma placa homogênea de espessura constante o módulo do peso de um elemento i da placa é dado por:

ii AtP ∆=∆ γt é a espessura da placa

é o peso específico (peso por unidade de volume) do materialγ

iA∆ é a área do elemento i

Dividindo a placa em elementos infinitesimais, o módulo do seu peso édado por:

∫ == AtdAtP γγ A é a área da placa

∫= xdPxP ( ) ( )∫= dAtxxAt γγ ∫= xdAAxA

xdAx∫=

∫= ydPyP ( ) ( )∫= dAtyyAt γγ ∫= ydAAyA

ydAy∫=

Coordenadas do CG:


CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES

Coordenadas do CG da placa homogênea:

O ponto de coordenadas também é conhecido como centróide C da superfície da placa. Se a placa não for homogênea essas equações não podem ser usadas para definir o CG, mas podem ser usadas para definir o centróide da superfície.

Centróide (C) de uma superfície de área A:

A

xdAx∫=

A

ydAy∫=

Portanto, o CG é o local onde a força peso está aplicada e o C é uma propriedade geométrica caracterizando o centro da figura.


MOMENTO DE 1ª ORDEM (MOMENTO ESTÁTICO) DE SUPERFÍCIES

A

xdAx∫=

A

ydAy∫=

Coordenadas do centróide (C) de uma superfície:

∫= xdAQy

∫= ydAQxMomento de 1ª ordem (momento estático) da superfície A em relação ao eixo x

A

Qx

y=

A

Qy x=

Coordenadas do centróide de uma superfície:

0=x

0=yQ

Momento de 1ª ordem (momento estático) da superfície A em relação ao eixo y

Obs: se o centróide estiver sobre um eixo coordenado , o momento estático em relação a esse eixo será nulo (ex: se o centróide está sobre o eixo y )

Obs: o Momento Estático é uma definição matemática e será ú til no cálculo das forças cortantes devidas a carregamentos transversais.


SUPERFÍCIES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A UM EI XO Q UAL Q UER

Uma superfície A é simétrica em relação a um eixo B B ’se a todo ponto P da superfície tiver um ponto P’ da mesma superfície, de tal modo que PP’ seja perpendicular a B B ’ e que o eixo B B ’ divida a superfície em 2 partes iguais.

P

P’

Q uando uma superfície A possui um eixo de simetria B B ’, o centróide da superfície deve estar sobre esse eixo, e portanto o momento estático em relação ao eixo B B ’ será nulo

Superfície simétrica em relação ao eixo BB’

Superfície simétrica em relação ao eixo y ( )

Centróide sobre o eixo y

0=x 0=yQ


SUPERFÍCIES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A 2 EI X OS

Se a superfície possui 2 eixos de simetria, seu centróide está situado na interseção desses eixos.

B

B’

D

D’

C

Superfície simétrica em relação aos eixos BB’ E DD’

BB’

D

D’

C

Superfície simétrica em relação aos eixos BB’ E DD’


SUPERFÍCIE SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM PONTO (centro de simetria)

Uma superfície é simétrica em relação a um centro O se para cada ponto P de coordenadas (x,y) corresponder um ponto P’ de coordenadas (-x,-y). Nesse caso o centróide coincide com o centro de simetria O (. ) e portanto: 0=x 0=yQCO = 0=y 0=xQ

BB’

D

D’

C=O

Centro de simetria (O) coincidente com o centróide (C)

Se a figura tiver 2 eixos de simetria perpendiculares entre si, o ponto de interseção dos eixos será um centro de simetria


SUPERFÍCIE SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM PONTO (centro de simetria)

Uma figura que tem um centro de simetria não tem, necessariamente, um eixo de simetria. Exemplo:

P

P’

O=C

y

-y

x

-x

X e y não são eixos de simetria, porque a reta PP’ não éperpendicular a nenhum deles

Centro de simetria

Uma figura que tem 2 eixos de simetria não tem, necessariamente, um centro de simetria.

B

B’D

D’

C

Não é Centro de simetria


CENTRÓIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIES

Forma da superfície

Triângulo

Quarto de elipse

Semi-elipse

Semiparábola

Parábola

Quarto de círculo

Semicírculo


CENTRÓIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIES (cont.)

Forma da superfícieLimitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parábola do 2ºgrau

Limitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parábola de grau n

Setor circular

Áreax y


CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS COMPOSTAS

Em muitos casos uma área de forma qualquer pode ser decomposta em várias áreas de formas usuais como aquelas da tabela anterior.

( )YX ,

+∆ 11 Px

( ) nnn PyPyPyPPPY +++=+++ ......... 221121

Cálculo do CG da área composta:

Sejam P1, P2,....Pn os pesos das n áreas em que a área total pode ser decomposta

P = peso total da superfície nPPPP +++= ....21

P

CG CG1CG2

CG3

∑ xM

Sejam , ..... as coordenadas dos CG dessas n áreas( )11, yx ( )22 , yx ( )nn yx ,

( ) nnn PxPxPxPPPX +++=+++ ......... 221121∑ yM


∑∑

∑

==

= ==n

i

i

x

n

i

i

n

i

ii

A

Q

A

Ay

Y

11

1

AtP γ=

CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS COMPOSTAS

Sendo a superfície homogênea e de espessura constante: CG=C

( ) nnn AyAyAyAAAY +++=+++ ......... 221121

( ) nnn PxPxPxPPPX +++=+++ ......... 221121

( ) nnn PyPyPyPPPY +++=+++ ......... 221121

( ) nnn AxAxAxAAAX +++=+++ ......... 221121

∑∑

∑

==

= ==n

i

i

y

n

i

i

n

i

ii

A

Q

A

Ax

X

11

1

∑=

=n

i

iix AyQ1

∑=

=n

i

iiy AxQ1

∑=

=n

i

ix AYQ1

∑=

=n

i

iy AXQ1

ou

ou

AtP γ=

EX 1, 2, 3 e 4


CÁLCULO DO CENTRÓIDE POR INTEGRAÇÃO

Se o elemento infinitesimal de área dA for escolhido como sendo um retângulo (lados dx e dy), a solução de é dada por uma integral dupla (integra-se em x e y) ∫ xdA

Seja R a equação da curva que define a superfície.

R(x,y) : se R é dada em função das coordenadas cartesianas x e y;

R(r,θ): se R é dada em função das coordenadas polares r e θ

∫= xdAAx ∫= ydAAyCoordenadas do centróide (C) da superfície:

dx

dA

y x

x

y

R(x,y)

O

dy

∫∫∫ = xdxdyxdA



Para evitar o cálculo da integral dupla, quando se tem R(x,y) escolhe dA como um retângulo estreito e para R(r,θ) escolhe dA como um setor fino circular solução de uma integral simples em x ou y ou θsimplifica o cálculo

R(r,θθθθ)

dA

( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA

y

x

x

y

dy

a

a-x dA

ely

elx

R(x,y)

O

dx

dA

y

x

x

y

elx

ely

R(x,y)

O

Fazendo-se o momento estático de toda a área igual à soma (ou integral) dos momentos estáticos de cada elemento de área:

∫== dAxAxQ ely ∫== dAyAyQ elx


A

dAxx

el∫=A

dAyy

el∫=

Coordenadas do centróide (C) da superfície:


∫== dAxAxQ ely ∫== dAyAyQ elx

∫= dAAObs: se a área não for conhecida, pode-se calculá-la:

Integrais simples (em x, y ou θ) para elementos retangulares ou em forma de setor circular

y

x

x

y

dy

a

a-x dA

ely

elx

R(x,y)

O

dx

dA

y

x

x

y

elx

ely

R(x,y)

O

Momentos Estáticos:

( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA


Centróide do retângulo: no seu centro; Centróide do setor fino: à distância (2/3)r de seu vértice.

R(r,θθθθ)

dA (triângulo)


ydxdA = ( )dyxadA −=

xxel =

( ) θθ drrdrbhdA 2

2

1

2

1

2

1===

yyel = θcos3

2rxel =2

yyel = θsen

ryel 3

2=2

xaxel

+=

( )elel yx ,Cálculo das Coordenadas do centróide do elemento de área dA

y

x

x

y

dy

a

a-x dA

ely

elx

R(x,y)

O

dx

dA

y

x

x

y

elx

ely

R(x,y)

O

Ex 5 e 6


CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGAS

Cargas distribuídas em vigas: devido ao peso próprio da viga, ao peso de materiais apoiados sobre ela ou devido à água, ao vento.....

Seja uma carga distribuída p (carga por unidade de comprimento ex: N/m) que age sobre a viga OB. A força concentrada (dP) exercida sobre um elemento de viga dx é: pdxdP =

dPp

p dPpdxdA ==

Carga Concentrada total P (em N) suportada pela viga:

∫∫∫ ====LLL

AdApdxdPP000

A: área total sob a curva definida pela carga p

)( nxfp =

AP =A carga concentrada P é igual à área definida pela carga distribuída p

A


CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGASA que distância do ponto O deve estar uma carga concentrada P (de mesmo módulo da resultante da carga p) que produza as mesmas reações de apoio que a carga distribuída p?

Igualando o momento (em relação ao ponto O) da carga concentrada P ao momento devido à carga distribuída p:

∫==L

xdPODPM0

0

AxQxdAxdP z

LL

=== ∫∫00

D: ponto de aplicação de P

Mas:

Qz: Momento estático em relação ao eixo z (perpendicular ao plano da figura), da área A

x : Coordenada x do centróide C da área AAP =

Portanto: AxODA = xOD =

dPp

P

O B D

OD

A

?=ODdPdA =

∫=L

xdPODP0

ODAODP =


CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGAS

xOD = a linha de ação de P passa pelo centróide da área A

Portanto, para determinar as reações da viga, pode substituir a carga distribuída p por uma carga concentrada P de módulo igual à área A (P = A) e cuja linha de ação passa pelo centróide da área A.

P=A

O B D x

Rv Rv

RH =

p

O B

A

Rv Rv

RH

x : Coordenada x do centróide da área A

A: área definida pela carga p

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