3 3 1 ¨¸ ¨¸¨¸¨¸¨¸ 2 2 2 ©¹©¹©¹ A...

NOME DO ALUNO ___________________________________________________________________________N°_________

DISCIPLINA: Matemática DATA: CURSO: SÉRIE: 3º A

BIMESTRE: 2º PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada

Complexos - Gabarito: Resposta da questão 1:

[C]

Localizando os afixos no plano complexo, temos o triângulo da figura.

Calculando sua área:

3 3 11

2 2 2A

2

33

2A2

3. 3A

4

Resposta da questão 2:

[E]

Considerando como o módulo de z e escrevendo -2iz na forma trigonométrica, temos:

2iz 2.(cos i.sen ). cos i.sen . cos i.sen2 2 4 4

2.i.z 2 . cos i.sen2 4 2 4

7 72.i.z 2 . cos i.sen

4 4

π π π ππ π ρ

π π π πρ π π

π πρ

Logo, o argumento de z é 7

4

π.


[B]

Passando n

1 i para a forma trigonométrica temos:

CCOOLLÉÉGGIIOO AADDVVEENNTTIISSTTAA DDEE SSÃÃOO JJOOSSÉÉ DDOO RRIIOO PPRREETTOO

n nn o o o o(1 +i) 2(cos45 i.sen45 ) 2 . cos n.45 i.sen n.45

O menor inteiro que torna n

1 i real é 4, pois cos180 0 , então:

24 . cos45 i.sen45z

w 4. cos15 i.sen15

z4. cos(45 15 ) i.sen(45 15 )

w

z4. cos(30 ) i.sen(30 )

w

z 3 14. i.

w 2 2

z2. 3 i

w


[A]

Os pontos dividem a circunferência de raio 20 em 3 partes iguais, portanto, cada arco que separa

duas luminárias deverá medir 120o ou

2rad

3

π. Logo, a resposta correta é a letra A, pois os argumentos apresentados

11,

4 12

π π e

19

12

π formam uma P.A de razão

2rad

3

π.


Seja 1 2f(x) a(x x )(x x ) a lei da função quadrática descrita no enunciado, em que 1x 2 i e 2x 2 i. Como o gráfico de f

intersecta o eixo y no ponto (0, 5), segue que:

f(0) a(0 2 i)(0 2 i) 5a 5 a 1.

Logo,

1 2v

x x 2 i 2 ix 2

2 2

e

v vy f(x ) f(2) (2 2 i)(2 2 i) 1.

Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são x 2 e y 1.


[A]

o o 545 e 225

4 4 π π


a) A área de um losango é dada pelo semiproduto das diagonais. Portanto,

AC BD 6 12

(ABCD) 36 u.a.2 2

b) Para obtermos as coordenadas dos vértices do losango A'B'C'D', basta multiplicarmos os números complexos cujos afixos são os

vértices do losango ABCD por i. Assim,

A ' 3 i 3i (0, 3).

B' 6i i 6 ( 6, 0).

C' 3 i 3i (0, 3).

D' 6i i 6 (6, 0).

c) De acordo com o item (b), devemos multiplicar 6i por i para obtermos B'.


[A]

Se z x yi, então

2 2

22

zz 2Re(z) Im(z) (x yi)(x yi) 2x y

x 2x y y 0

1 5(x 1) y .

2 4

Portanto, a região que apresenta as imagens dos números complexos que satisfazem zz 2Re(z) Im(z) é um círculo de área

53,9.

4


[E]

Z2 +

2z i.z 1 0

Fazendo z = x + yi, temos:

(x + yi)2 + x

2 + y

2 + I.(x + yi) – 1 = 0

Desenvolvendo a expressão temos:

(2x2 – y – 1) + (2y + 1)x.i = 0

2

2

1(2y 1).x 0 x 0 ou y -

22x y 1 0

2x y 1 0

Para x = 0 temos y = -1 logo z1 = 0 –i

Para y = 1

2 temos x =

1

2 ou x =

1

2, logo z2 =

1

2

1

2i e z3 =

1

2

1

2i

Somando: z1 + z2 + z3 = -2i


[C]

o

2 2

2 o o

22 o o

22 o o

60

z a b

z z cos60 i.sen60

z z cos(2.60 ) i.sen(2.60 )

z z cos(240 ) i.sen(240 )

θ

Portanto, o conjugado de z2 pertence ao terceiro quadrante.


a)

4 4 0 3 1 2 2 3

0 4

4 2 3

4 4 4 4z (x 2i) x (2i) x (2i) x (2i) x (2i)

0 1 2 3

4x (2i)

4

x 24x 16 (8x 32x)i.

Logo, z é real se, e somente se,

3 28x 32x 0 8x(x 4) 0

8x(x 2)(x 2) 0

x 0 ou x 2 ou x 2.

b) Como 0z é uma das raízes quartas de z, segue que 40z z . Portanto,

4 4 2 2 4 40 0| z | | z | | z | ( 0 a ) a .


[D]

W = (1 + i)

2 – (1 +i)

Desenvolvendo, temos:

W = - 1 + i = (=1, i)

Logo, seu argumento será 135o (90

o + 45

o).


[C]

Sabendo que 5 4 2 2 2i i i (i ) i ( 1) i i,

vem

10 2 5

2 5

5

5 5

(1 i) [(1 i) ]

(1 2i i )

( 2i)

( 2) i

32i.


[E]

88cos

8.

8cos

nisen

nseni

n

Portanto

28

logo 08

nn

sen

O menor inteiro positivo deverá ser nove Resposta da questão 15:

[C]

Fazendo z = x + yi temos:

i(x + yi) + 3(x – yi) + ( x + yi + x – yi)2 = 0

(x2 + 3x - y) + (x – 3y – 1) = 0

3

1013

034 2

xyyx

yxx

6

1- ou x

2

10

3

134 2

x

xxx

)3

7arctg( argumento

18

7

6

1- z logo

18

7- y então

6

1- x Se

4

5 argumento

2

1

2

1- z logo

2

1- y então

2

1

i

ixSe

Resposta:

2

3,

4

5


[C]

20 2 10 2 10 10 2

20 2 10 2 10 10 2

20 20

(1 i) ((1 i) ) (1 2i i ) (2i) 1024.i

(1 i) ((1 i) ) (1 2i i ) ( 2i) 1024.i

logo (1 i) (1 i) 0


[A]

Raízes x1 = 2 + i (DADA) x2 = 2 – i (conjugada) x3 = r

Somando as raízes temos:

2+ i + 2 – i + r = 1

)9(

4 + r = 9 r = 5

Logo as raízes complexas escritas como pares ordenados são (2,1) : (2, -1) e ( 5,0)


[C]

A circunferência foi dividida em 8 partes iguais começando do ponto (1,0)

Concluímos então que estão representadas todas as raízes oitavas de 1.

Podemos então escrever a equação x8 = 1


[E]

Afirmação 1 (verdadeira)

P( i ) = i3 – a.i

2 + i –a = -i + a + i –a = 0


Se P (x) é divisível por x – a então P(a) = 0

P(a) = a3 –a.a

2 + a – a = a

3 – a

3 + a –a = 0


P(-2) = -10

(-2)3 – a.(-2)

2 + (-2) – a = -10

-8 – 4a – 2 – a = -10

-5a = 0

a = 0 Resposta da questão 20:

[C]

x = ii

i

iii

i

i

i

i

2

2

1

2

1

1

1

122

22

e y = 2i

(x+y)2 = (i + 2i)

2 = (3i)

2 = 9i

2 = - 9


Determinando z1 na forma trigonométrica: z1 = p(cos a + i sen a)

p3( cos (3.a) + i sen (3.a )) = 8. cos i.sen

2 2

Por comparação temos: p = 2 e a =

k.22

3

k 0 z 2 cos isen 3 i6 6

5 5k 1 z 2 cos isen 3 i

6 6

3 3k 2 z 2 cos isen 2i

2 2

Assim, z1 = - 3 + i.

• Cálculo de z2

x2 = y, obtém-se a equação y

2 + y – 12 = 0 que tem raízes y = –4 e y = 3.

Para y = –4 x = 2i e para y = 3 x = 3 .

Logo, z2 = 2i

12

2

z 3 i 3 3 3i 33 z 3 2i 2i 2i

z 2i 2i 2 2 2

Logo, 3 i 3 1

1.2 2 4 4


[E]

4)i2(

16

])i1[(

16

i1

2z222

4

4|4||z|

πθθ

θ

04

0sen

14

4cos


[A] Resposta da questão 24:

[D] Resposta da questão 25:

[C] Resposta da questão 26:

[E] Resposta da questão 27:

t = (- 3 ) - i.



[B] Resposta da questão 30:



[A]

Se Re,z então 0b e .azaz




│ z │ = 4; θ = π/3 rad Resposta da questão 36:

[A]





A partir dos dados, encontramos:

I) z = αi e w = z2 = (αi)

2 = - α

2

Assim, o afixo de z encontra-se no semi-eixo imaginário positivo e o afixo de w encontra-se no semi-eixo real negativo.

II) | z | = α e | w |= α2

Se 0 < α <1, então α2 < α ⇔ | w | | z | . Daí, concluímos que w representa a extremidade do ponteiro das horas e z a extremidade do

ponteiro dos minutos.

Portanto, de (I) e (II), podemos afirmar que o jantar foi marcado para as 9 horas. Resposta da questão 41:














[E]














[C]

Resumo das questões selecionadas nesta atividade

Data de elaboração: 25/04/2012 às 13:18

Nome do arquivo: Complexos

Legenda:

Q/Prova = número da questão na prova

Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®

Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo

1 .................... 109413 ............... Matemática ........... Insper/2012 .................................. Múltipla escolha

2 .................... 110922 ............... Matemática ........... Ita/2012 ........................................ Múltipla escolha


4 .................... 104357 ............... Matemática ........... Ufsm/2011 ................................... Múltipla escolha

5 .................... 100123 ............... Matemática ........... Fgv/2011 ...................................... Analítica

6 .................... 104844 ............... Matemática ........... G1 - cftmg/2011 .......................... Múltipla escolha

7 .................... 100129 ............... Matemática ........... Fgv/2011 ...................................... Analítica

8 .................... 105326 ............... Matemática ........... Uesc/2011 .................................... Múltipla escolha


10 .................. 106447 ............... Matemática ........... Epcar (Afa)/2011 ......................... Múltipla escolha

11 .................. 101827 ............... Matemática ........... Unifesp/2011 ............................... Analítica

12 .................. 102047 ............... Matemática ........... Ifsp/2011 ...................................... Múltipla escolha

13 .................. 102823 ............... Matemática ........... G1 - ifal/2011 .............................. Múltipla escolha

14 .................. 91124 ................. Matemática ........... Ufrgs/2010 ................................... Múltipla escolha

15 .................. 91431 ................. Matemática ........... Ita/2010 ........................................ Múltipla escolha

16 .................. 91540 ................. Matemática ........... Fgv/2010 ...................................... Múltipla escolha

17 .................. 92208 ................. Matemática ........... Ufg/2010 ...................................... Múltipla escolha

18 .................. 92210 ................. Matemática ........... Pucrs/2010 ................................... Múltipla escolha

19 .................. 93185 ................. Matemática ........... Ufpr/2010 .................................... Múltipla escolha

20 .................. 90738 ................. Matemática ........... Mackenzie/2010 .......................... Múltipla escolha

21 .................. 93681 ................. Matemática ........... Ufba/2010 .................................... Analítica

22 .................. 86482 ................. Matemática ........... Ibmecrj/2009................................ Múltipla escolha


24 .................. 86573 ................. Matemática ........... Uel/2009 ...................................... Múltipla escolha


26 .................. 107034 ............... Matemática ........... Fgv/2009 ...................................... Múltipla escolha

27 .................. 86631 ................. Matemática ........... Ufrj/2009 ..................................... Analítica

28 .................. 77441 ................. Matemática ........... Ufc/2008 ...................................... Múltipla escolha


30 .................. 79594 ................. Matemática ........... Unesp/2008 .................................. Múltipla escolha

31 .................. 79948 ................. Matemática ........... Uft/2008 ....................................... Múltipla escolha



34 .................. 74130 ................. Matemática ........... Ufrs/2007 ..................................... Múltipla escolha

35 .................. 82094 ................. Matemática ........... Ufrrj/2007 .................................... Analítica

36 .................. 76088 ................. Matemática ........... Ufsm/2007 ................................... Múltipla escolha

37 .................. 76440 ................. Matemática ........... G1 - utfpr/2007 ............................ Múltipla escolha


39 .................. 64737 ................. Matemática ........... Ufla/2006 ..................................... Múltipla escolha

40 .................. 57251 ................. Matemática ........... Ufrj/2005 ..................................... Analítica

41 .................. 57252 ................. Matemática ........... Ufrrj/2005 .................................... Múltipla escolha




45 .................. 70149 ................. Matemática ........... G1 - cftmg/2004 .......................... Múltipla escolha



48 .................. 53703 ................. Matemática ........... Unifesp/2004 ............................... Múltipla escolha






54 .................. 46978 ................. Matemática ........... Ufal/2000 ..................................... Múltipla escolha

55 .................. 46833 ................. Matemática ........... Ufal/1999 ..................................... Múltipla escolha


57 .................. 27651 ................. Matemática ........... Unirio/1998.................................. Múltipla escolha


59 .................. 27558 ................. Matemática ........... Fatec/1998 ................................... Múltipla escolha



62 .................. 7266 ................... Matemática ........... Uel/1996 ...................................... Múltipla escolha

63 .................. 7041 ................... Matemática ........... Fatec/1995 ................................... Múltipla escolha

64 .................. 732 ..................... Matemática ........... Fuvest/1995 ................................. Múltipla escolha

65 .................. 2093 ................... Matemática ........... Unitau/1995 ................................. Múltipla escolha

66 .................. 7064 ................... Matemática ........... Fei/1994 ....................................... Múltipla escolha


Polinômios Gabarito: Resposta da questão 1:

[B]

3 2

3

3 2

f 3 ( 3) ( 3) ( 3) 1 20

f(0) 0 0 2 0 1 0

f( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0

f(f( 1) f(0)) 1

Logo, f 3 f 0 f f 1 20 1 1 18 .


[D]

Se q(x) é o quociente da divisão de p por (x 2)(x 4)(x 5) e x 3 é o resto, então

p(x) q(x) (x 2)(x 4)(x 5) x 3.

Desse modo,

A p(2) 2 3 5,

B p(4) 4 3 7

e

C p(5) 5 3 8.

Portanto,

ABC 5 7 8 280.


[B]

Como o grau de S é 8 e o grau de D é 5, segue que A e B só podem ter grau 8.


[D]

3 2 3 2 2 3

22

33

x 6x mx n x 3bx 3b x b

3b 6 b 2

m 3.b 3. 2 12

n b 2 8


[E]

Fazendo a divisão, temos:

3 a 6 0 a 2

4 a 8 0 a 2

Portanto, a = 2. Resposta da questão 6:

[E]

Se o polinômio é divisível por (x – 3), pelo teorema do resto, concluímos que:

3 26 3 4 3 2 m 3 m 1 0 5m 125 m 25

Logo, 525 .


[D]

Pelo teorema do resto, temos:

P(1) = P(-1)

3.14 – 2.1

3 + m.1 + 1 = 3.(-1)

4 – 2.(-1) =m.(-1) + 1

3 – 2+ m + 1 = 3 + 2 – m + 1

2m = 4

m = 2 Resposta da questão 8:

[D]

3 2 32. 3 3 1

2

36 3 3 1

2

12 3 6 3 8

2

13 3 8

2


[C]

a 2 b 0

a 6 0

, resolvendo temos a = -6 e b = 4 logo a

2 – b

3 = (-6)

2 – 4

3 = - 28


[E]

Efetuando a divisão temos:


[E]

Dividindo p(x) por q(x) através do método da chave, obtemos:

2010 2

2010 2009 2008

2009 2008 2

2009 2008 2007

2007 2

2007 2006 2005

2006 2005 2

2006 2005 2004

2004 2

3 2

2x 5x 13x 7 ____________

2x 2x 2x

2x 2x 5x 13x 7

2x 2x 2x

2x 5x 13x 7

2x 2x 2x

2x 2x 5x 13x 7

2x 2x 2x

2x 5x 13x 7

2x 5x 1

2

2008 2007 2005 2004

3 2

2

2

x x 1

2x 2x 2x 2x 2x 7

3x 7

2x 2x 2x

7x 15x 7

7x 7x 7

8x 14

Portanto, r(x) 8x 14 e, assim, r(2) 8 2 14 2.


[E]

P(x) = a(x - (-1)).(x - 1).(x -3)

P(x) = a(x + 1).(x – 1).(x – 3)

Como P(0) = 2 temos:

a.(1).(-1).(-3) = 2

3.a = 2

a = 2

3

e P(x) = 2

3. (x + 1).( x - 1).(x – 3)

logo P(5) = 2

3. (5 + 1).( 5 - 1).(5 – 3)

P(5) = 32 Resposta da questão 13:

[D]

Utilizando a soma das raízes (Girard):

a + b + (-3) = 5

1

a + b – 3 = -5

a + b = -2 Resposta da questão 14:

[D]

Utilizando o teorema do resto, temo, vamos encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x)

Resto = P(1)

Resto = 14 – 1 = 0

Logo, P(x) = D(x).Q(x) + resto

X4 – 1 = (x -1) . Q(x) + 0

Logo, Q(x) = 1

14

x

x

Concluindo q (-1) = 0 Resposta da questão 15:

[C]

a – 1 = 0, logo: a = 1

b+2 = 4, logo: b = 2

Portanto, a + b = 3 Resposta da questão 16:





[A]

2)( qp e 2 p implica em ,0q pois .)( qpqp



[D]





















[C]

Resumo das questões selecionadas nesta atividade

Data de elaboração: 25/04/2012 às 17:05

Nome do arquivo: Polinomios

Legenda:

Q/Prova = número da questão na prova

Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®

Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo

1 .................... 106321 ............... Matemática ........... G1 - ifsc/2011 .............................. Múltipla escolha

2 .................... 102820 ............... Matemática ........... G1 - ifal/2011 .............................. Múltipla escolha

3 .................... 107815 ............... Matemática ........... Ufjf/2011 ..................................... Múltipla escolha

4 .................... 103192 ............... Matemática ........... Uel/2011 ...................................... Múltipla escolha

5 .................... 103193 ............... Matemática ........... Uel/2011 ...................................... Múltipla escolha

6 .................... 104554 ............... Matemática ........... Upe/2011 ..................................... Múltipla escolha

7 .................... 101500 ............... Matemática ........... Uftm/2011 ................................... Múltipla escolha

8 .................... 104756 ............... Matemática ........... G1 - cftmg/2011 .......................... Múltipla escolha


10 .................. 105611 ............... Matemática ........... G1 - utfpr/2011 ............................ Múltipla escolha

11 .................. 102193 ............... Matemática ........... G1 - col.naval/2011 ..................... Múltipla escolha



14 .................. 96753 ................. Matemática ........... Unemat/2010 ............................... Múltipla escolha

15 .................. 99403 ................. Matemática ........... Ibmecrj/2010................................ Múltipla escolha

16 .................. 86457 ................. Matemática ........... Fuvest/2009 ................................. Múltipla escolha


18 .................. 86664 ................. Matemática ........... Unifesp/2009 ............................... Múltipla escolha

19 .................. 79356 ................. Matemática ........... Uece/2008 .................................... Múltipla escolha




23 .................. 69724 ................. Matemática ........... Ufpr/2007 .................................... Múltipla escolha



26 .................. 75475 ................. Matemática ........... Ufu/2007 ...................................... Múltipla escolha




30 .................. 69032 ................. Matemática ........... Ufjf/2006 ..................................... Múltipla escolha




34 .................. 23569 ................. Matemática ........... Pucmg/1997 ................................. Múltipla escolha



37 .................. 9394 ................... Matemática ........... Uece/1996 .................................... Múltipla escolha

38 .................. 3874 ................... Matemática ........... Fuvest/1996 ................................. Múltipla escolha

39 .................. 7039 ................... Matemática ........... Fatec/1995 ................................... Múltipla escolha


41 .................. 20025 ................. Matemática ........... Cesgranrio/1992 .......................... Múltipla escolha

42 .................. 20087 ................. Matemática ........... Cesgranrio/1990 .......................... Múltipla escolha

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