3 - Atividades Exploratórias de Cônicas Usando o Geogebra

Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Cincias Exatas e Biolgicas

Departamento de Matemtica

Mestrado Profissional em Educao Matemtica

ATIVIDADES EXPLORATRIAS DE GEOMETRIA

ANALTICA PLANA UTILIZANDO O GEOGEBRA

Autor: Prof. Ms. Ivan Nogueira dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Frederico da Silva Reis

Ouro Preto

2011

2

Ao Professor de Matemtica dos Ensinos Superior ou Mdio

Caro(a) colega Professor(a) de Matemtica,

Este material chega at voc como uma sugesto de atividades para o ensino de

Geometria Analtica Plana com a utilizao de um software grfico.

Ele representa o resultado gerado a partir de nossa Dissertao do Mestrado

Profissional em Educao Matemtica do programa de ps-graduao da Universidade

Federal de Ouro Preto, intitulada Explorando conceitos de Geometria Analtica Plana

utilizando Tecnologias da Informao e Comunicao: uma ponte do Ensino Mdio

para o Ensino Superior construda na formao inicial de Professores de Matemtica,

sob a orientao do Prof. Dr. Frederico da Silva Reis.

As atividades aqui apresentadas foram aplicadas a alunos de uma turma da

disciplina Geometria Analtica Plana do curso de Licenciatura em Matemtica de uma

universidade pblica.

Nosso intuito oferecer a voc, professor em servio, um material estimulante a

a partir do qual seja possvel criar um ambiente capaz de proporcionar aos estudantes

algumas experincias matemticas que sejam frutos de sua interpretao, de suas

conjecturas, de sua abstrao e, por fim, de sua generalizao.

Para a aplicao das atividades, utilizamos o software GeoGebra, devido sua

interface amigvel e s possibilidades manipulativas e dinmicas. Apresentamos, na

ntegra, 5 (cinco) atividades envolvendo conceitos de Retas, Circunferncias e Cnicas

que podem ser trabalhadas tanto no 3 ano do Ensino Mdio como no Ensino Superior

de Geometria Analtica Plana.

Inicialmente, tentamos trazer uma discusso a respeito da utilizao de

tecnologias no ensino e no ensino de Geometria Analtica Plana, levando em

considerao as mudanas que devem ocorrer em sala de aula com a insero das

Tecnologias Informacionais e Comunicacionais na Educao Matemtica TICEM.

Esperamos que esse material possa contribuir de forma significativa para sua

prtica pedaggica, bem como propiciar reflexes a respeito da utilizao do

computador na sala de aula.

Prof. Ms. Ivan Nogueira dos Santos

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SUMRIO

1. O ensino de Matemtica e as TICEM ...................................................................... 4

2. O ensino de Geometria Analtica e as TICEM ........................................................ 8

3. Apresentando as atividades exploratrias ............................................................... 9

3.1. Atividade 1: Retas ................................................................................................. 10

3.2. Atividade 2: Circunferncias ............................................................................... 16

3.3. Atividade 3: Elipses .............................................................................................. 23

3.4. Atividade 4: Hiprboles ........................................................................................ 30

3.5. Atividade 5: Parbolas ......................................................................................... 38

4. Algumas recomendaes para os professores ..................................................... 45

Referncias / Bibliografia Recomendada ................................................................ 47

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1. O ensino de Matemtica e as TICEM

A utilizao das Tecnologias da Informao e Comunicao na Educao

Matemtica vem aos poucos se firmando como uma das reas mais ativas e relevantes

nessa rea de pesquisa. A disponibilidade de recursos como internet e softwares

educacionais trabalhados de forma planejada, bem orientada, capaz de abrir um leque

de possibilidades didticas, modificando inclusive as relaes entre professor e aluno.

Segundo DAmbrsio e Barros (1990), essas mudanas causam grandes impactos na

sociedade, gerando reflexos conceituais e curriculares na Educao Bsica e na

Educao Superior.

Encontramos evidncias dessa utilizao nas pesquisas desenvolvidas na

rea, nos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNS), dentre outros:

Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante hoje o

computador, exigir do ensino de Matemtica um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favorea o desenvolvimento de

habilidades e procedimentos com os quais o indivduo possa se

reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento. (PCNs, 2000, p. 41)

Borba (1999) tambm destaca:

A introduo das novas tecnologias computadores, calculadoras

grficas e interfaces que se modificam a cada dia tem levantado diversas questes. Dentre elas destaco as preocupaes relativas s

mudanas curriculares, s novas dinmicas da sala de aula, ao novo

papel do professor e ao papel do computador nesta sala de aula. (BORBA, 1999, p. 285)

Algumas pesquisas vm sendo realizadas com o objetivo de se analisar as

implicaes da insero dos computadores no ensino. Allevato (2005) relata que as

observaes, feitas nesses estudos geralmente indicam que:

O comportamento dos estudantes que usam essa tecnologia

informtica os conduz a modos de pensar e de construir conhecimento

que so tpicos do ambiente informtico e, por vezes, favorveis aprendizagem de contedos ou compreenso de conceitos

matemticos. Tais pesquisas destacam aspectos como o uso regular de

representaes mltiplas, a construo do conhecimento como rede de

significados, as discusses desses significados com os colegas e com o professor, entre outros. (ALLEVATO, 2005, p. 73)

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As mudanas decorrentes da insero no cenrio educacional desse novo ator,

o computador, seja na sala de aula, seja em laboratrios, se caracterizam por mudanas

curriculares no papel do professor, na postura do aluno perante a construo de seu

conhecimento e na relao professor-aluno.

De antemo sabemos, como afirma Richit (2005), que o uso das mdias

informticas na prtica docente gera insegurana, desconforto e estresse na medida em

que o professor, despreparado, se depara com desafios e situaes nunca antes

experimentado.

Ponte e outros (2003, p. 160), ao se referirem ao uso dessas mdias nas prticas

educativas e, de modo particular, no ensino de Matemtica, acreditam que elas possam

perspectivar o ensino da Matemtica de modo profundamente inovador, reforando o

papel da linguagem grfica e de novas formas de representao e relativizando a

importncia do clculo e da manipulao simblica. Assim, as atividades mediadas

pelo uso de softwares permitiro ao professor explorar as distintas formas de representar

um mesmo problema (grfica, algbrica e tabular).

Nesse sentido, Allevato (2005) nos assegura que:

A imagem um recurso fundamental das tecnologias disposio da Matemtica ou de qualquer outra rea do conhecimento,

considerando-a como um dos elementos que caracterizam novos

estilos de construo do conhecimento. (ALLEVATO, 2005, p. 81)

Em linhas gerais, pesquisas trazem evidncias de que a utilizao do computador

nos ambientes de ensino de Matemtica pode ser favorvel aprendizagem de

contedos ou compreenso de conceitos matemticos medida que so destacados

aspectos como o uso regular de representaes mltiplas, a construo do conhecimento

como rede de significados, as discusses desses significados com os colegas e com o

professor, entre outros (ALLEVATO, 2005).

Para tanto, a utilizao das TICEM no ensino tem de ser feita de forma criativa,

investigativa e exploratria para que, usadas como metodologia alternativa no processo

de ensino para aprendizagem da Matemtica, seja possvel transformar a sala de aula em

um ambiente de questionamentos fazendo com que professores e, principalmente,

alunos assumam na sua essncia seus verdadeiros papis no processo de ensino para

aprendizagem, conforme nos alerta Valente (1999):

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Caber ao professor saber desempenhar um papel desafiador,

mantendo vivo o interesse do aluno, e incentivando relaes sociais,

de modo que os alunos possam aprender uns com os outros e saber

como trabalhar em grupo. Alm disso, o professor dever servir como modelo de aprendiz e ter um profundo conhecimento dos pressupostos

tericos que embasam os processos de construo de conhecimento e

das tecnologias que podem facilitar esses processos. (VALENTE, 1999, p. 43-44)

Tambm Valente (1999, p. 107) destaca que, quando utilizadas de forma

questionadora, as TICEs podem ser uma poderosa ferramenta para auxiliar o aluno na

construo do seu conhecimento: A possibilidade que o computador oferece como

ferramenta para ajudar o aprendiz a construir o conhecimento e a compreender o que

faz, constitui uma verdadeira revoluo do processo de aprendizagem.

Outra contribuio interessante que refora o uso de mdias informticas no

processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemticos vem de Franchi (2007),

ao afirmar que:

A informtica facilita as visualizaes, possibilita testar mudanas

relacionadas a caractersticas algbricas de conceitos matemticos e

observar as variaes resultantes no aspecto grfico e acrescenta que a

comparao entre as representaes grficas, algbricas e numricas, a observao e a reflexo sobre o observado podem levar elaborao

de conjecturas. (FRANCHI, 2007, p. 184)

Dessa forma, acreditamos que a insero dos computadores no ensino de

Matemtica, em particular, no ensino de Geometria Analtica, trar significativas

contribuies para o ensino e tambm para a aprendizagem, como sugerem os PCNs

(1998):

O uso dessas tecnologias traz significativas contribuies para se

repensar o processo de ensino-aprendizagem da Matemtica medida

que: relativiza a importncia do clculo mecnico e da simples manipulao simblica, uma vez que por meio de instrumentos esses

clculos podem ser realizados de modo mais rpido e eficiente;

evidencia para os alunos a importncia do papel da linguagem grfica e de novas formas de representao, permitindo novas estratgias de

abordagem de variados problemas; possibilita o desenvolvimento, nos

alunos, de um crescente interesse pela realizao de projetos e atividades de investigao e explorao como parte fundamental de

sua aprendizagem; permite que os alunos construam uma viso mais

completa da verdadeira natureza da atividade matemtica e

desenvolvam atitudes positivas frente ao seu estudo. (PCNs, 1998, p. 43)

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Explorar bem todo esse imenso potencial gerado pelas possibilidades de uso

educativo de tecnologias nas situaes de ensino e aprendizagem pode trazer

contribuies tanto para os estudantes quanto para os professores. Algumas delas foram

apresentadas com mais detalhes em Grgoire e outros (1996, p. 1):

- Esses recursos estimulam os estudantes a desenvolverem habilidades intelectuais;

- Muitos estudantes mostram mais interesse em aprender e se concentram mais;

- As tecnologias estimulam a busca de mais informao sobre um assunto e de um

maior nmero de relaes entre as informaes;

- O uso das tecnologias promove cooperao entre estudantes;

- Por meio das tecnologias, os professores obtm rapidamente informao sobre

recursos instrucionais;

- Se o potencial das tecnologias estiver sendo explorado, o professor interage com os

alunos mais do que nas aulas tradicionais;

- Professores comeam a ver o conhecimento cada vez mais como um processo

contnuo de pesquisa;

- Por possibilitar rever os caminhos de aprendizagem percorridos pelo aluno, as

tecnologias facilitam a deteco pelos professores dos pontos fortes, assim como das

dificuldades especficas de aprendizagem que o aluno demonstrou

Dessa forma, esperamos ter conseguido mostrar que possvel ensinar e

aprender Matemtica com a utilizao de Tecnologias Informacionais e

Comunicacionais na Educao Matemtica.

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2. O ensino de Geometria Analtica e as TICEM

De todos os tpicos presentes nos currculos da Matemtica escolar, a Geometria

o que tem experimentado as maiores e mais profundas transformaes com a

utilizao das tecnologias, principalmente, no desenvolvimento de softwares especficos

voltados para o seu processo de ensino e aprendizagem. Zullato (2002, p. 20) afirma

que eles so freqentemente utilizados no ensino de Geometria e permitem trabalhar

com Geometria Euclidiana Plana, Geometria No-Euclidiana e Geometria Analtica.

Nesse sentido, concordamos com Zulatto (2002, p. 93) ao afirmar que os

softwares so utilizados com a inteno de mostrar as propriedades que esto sendo

estudadas. Na verdade, o que acontece o que se costuma chamar de realizar a

verificao e visualizao de propriedades.

Assim sendo, no temos dvida de que, ao utilizarmos um software de geometria

dinmica, estaremos colocando disposio da aprendizagem dos alunos como

facilitadores: a visualizao de elementos algbricos, geomtricos, a manipulao

desses elementos, as relaes e propriedades entre a lgebra e a Geometria.

Portanto, o uso do software pode modificar o carter das aulas de Geometria

Analtica, na medida em que modifica a ao dos alunos frente ao cenrio sugerido,

conferindo-lhes autonomia para planejar aes, execut-las e refletir sobre elas, o que

nos faz lembrar aes que caracterizam o ambiente construcionista de aprendizagem.

Acreditamos que, ao utilizarmos os recursos tecnolgicos como ferramenta que

potencializam o fazer matemtica, em especial no ensino de Geometria Analtica,

estamos possibilitando aos alunos trabalharem as vrias representaes de um mesmo

objeto matemtico, conforme afirmam Gravina e Santarosa (1998):

Os programas que fazem tradues entre diferentes sistemas de

representao apresentam-se como potentes recursos pedaggicos, principalmente porque o aluno pode concentrar-se em interpretar o

efeito de suas aes frente s diferentes representaes, at de forma

simultnea, e no em aspectos relativos transio de um sistema a outro, atividade que geralmente demanda tempo. (GRAVINA e

SANTAROSA, 1998, p. 1)

O ensino de Geometria Analtica, a partir da utilizao de um software de

geometria dinmica como o GeoGebra, pode favorecer a construo de significados em

Matemtica a partir da representao de conceitos, estudos de propriedades intrnsecas

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s construes realizadas, bem como pela possibilidade de explorar, a partir da

visualizao, das formas algbrica e geomtrica desses conceitos; assim, esse

dinamismo oferecido pelo GeoGebra pode favorecer a interao aluno / computador.

Em decorrncia do exposto, acreditamos que para trabalhar com a utilizao

desses ambientes, no s para ensinar Geometria Analtica, mas, Matemtica de um

modo geral, necessrio que o professor acredite de fato que o processo de

aprendizagem se baseia na ao do aluno em resoluo de problemas, em investigaes

e exploraes dinmicas de situaes que o intrigam (DAMBROSIO, 1993).

As possibilidades geradas por essa ferramenta metodolgica, notadamente de

auxiliar a transio entre outras mdias como lpis e papel, pode proporcionar ao aluno a

oportunidade de verificar a validade de suas conjecturas, pois segundo Lima (2009):

Isso ocorreu com a dinamicidade proporcionada pelo computador na

construo de um grfico e com possibilidade de anim-los ao se

variar um coeficiente especfico, os alunos trabalham de forma investigativa. Ao invs de esperarem as respostas e os

encaminhamentos do professor, levantavam conjecturas que buscavam

justificar matematicamente. (LIMA, 2009, p. 45)

Almeida (2000, p. 115) observa que ao utilizarmos TICEM como ferramenta

metodolgica aumenta-se a possibilidade para que se promova a descrio-execuo-

reflexo-depurao da atividade proposta e para isso, o professor precisa ir alm de

propor uma atividade para seus alunos, devendo incit-los a refletir sobre os resultados

obtidos, assim como ele prprio deve constantemente analisar as implicaes, os

avanos e as limitaes do uso desses softwares na prtica e na investigao

pedaggica (ALMEIDA, 2000, p. 112).

Portanto, acreditamos que um ambiente composto por computador e software

dinmico seja capaz de motivar o aluno a desenvolver suas potencialidades quanto

argumentao, compreenso, comunicao, elaborao de crticas ou propostas e, acima

de tudo, ao desenvolvimento de uma atitude de permanente aprendizado.

3. Apresentando as atividades exploratrias

Passamos a apresentar as 5 (cinco) atividades exploratrias relacionadas a Retas,

Circunferncias, Elipses, Hiprboles e Parbolas.

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3.1. ATIVIDADE 1: RETAS

1.1. O caso de duas Retas Paralelas

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a condio de paralelismo entre duas

retas a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico das retas no GeoGebra:

r: 2x + 3y 5 = 0 e s: 4x + 6y + 5 = 0

b) Pela observao dos grficos, o que voc pode concluir acerca das retas?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

c) Na Janela de lgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equao da reta r, clicar com

o boto direito do mouse em Equao y = kx + d e obter a equao reduzida da reta.

Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo

aps, faamos o mesmo com a reta s.

r: ___________________________________________ mr = nr =

s: ___________________________________________ ms = ns =

d) A partir do que voc observou e analisou no item anterior, o que voc pode concluir

acerca da condio geral para que duas retas sejam paralelas?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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1.2. Construindo um Feixe de Retas Paralelas

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as principais caractersticas de um

feixe de retas paralelas.

a) Vamos criar um seletor c [ 15 , 9] com incremento 3. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao r: x 2y + c = 0. Agora, vamos

movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos clicar com o boto direito do mouse sobre a reta, selecionar Habilitar

Rastro e movimentar, para verificar a validade de suas observaes do item anterior.

c) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, um valor

positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equao geral de cada uma das

retas. Agora, vamos plot-las no GeoGebra, obter a equao reduzida e identificar o

coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma das retas.

r1: ___________________________________________ m1 = n1 =

r2: ___________________________________________ m2 = n2=

r3: ___________________________________________ m3= n3=

d) A partir do que voc observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a

equao geral do Feixe de Retas Paralelas a uma certa reta a0x + b0y + c0 = 0?

______________________________________________________________________

Justifique:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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1.3. O caso de duas Retas Concorrentes

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a condio de concorrncia entre

duas retas a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico das retas no GeoGebra:

r: 3x 4y 10 = 0 e s: x + y 1 = 0

b) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2 boto e, em seguida, em

Interseo de Dois Objetos. Agora, vamos clicar sobre o ponto de interseo na tela.

Qual o ponto de interseo das duas retas?___________________________________

c) Na Janela de lgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equao da reta r, clicar com

o boto direito do mouse em Equao y = kx + d e obter a equao reduzida da reta.

Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo

aps, faamos o mesmo com a reta s. Finalmente, verifique algebricamente qual o

ponto de interseo das duas retas:

r: ___________________________________________ mr = nr =

s: ___________________________________________ ms = ns =

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) A partir do que voc observou e analisou no item anterior, o que voc pode concluir

acerca da condio geral para que duas retas sejam concorrentes?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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1.4. Construindo um feixe de Retas Concorrentes

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as principais caractersticas de um

feixe de retas concorrentes.

a) Vamos criar um seletor m [ 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao r : y + 1 = m.(x 2). Agora, vamos

movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



c) Vamos escolher alguns valores para m no intervalo dado (por exemplo, um valor

positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equao geral de cada uma das

retas. Agora, vamos plot-las no GeoGebra e obter o ponto de interseo entre elas.

A seguir, vamos verificar que este ponto satisfaz equao de cada uma das retas.

r1: ________________________________ ________________________________

r2: ________________________________ ________________________________

r3: ________________________________ ________________________________

d) A partir do que voc observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a

equao fundamental do Feixe de Retas Concorrentes em um certo ponto P (x0 , y0) ?

______________________________________________________________________

Justifique:______________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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Figura 1 Construo sntese de 1.1


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3.2. ATIVIDADE 2: CIRCUNFERNCIAS

2.1. O caso da posio relativa entre uma reta e uma circunferncia

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a posio relativa entre uma reta e

uma circunferncia a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico da reta e da circunferncia no GeoGebra:

s: y = x e : x2 + y

2 = 8

b) Pela observao dos grficos, o que voc pode concluir acerca da posio relativa

entre a reta e a circunferncia?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

c) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2 boto e, em seguida, em

Interseo de Dois Objetos. Agora, clique sobre os pontos de interseo na tela. Quais

so os pontos de interseo entre a reta e a circunferncia? Anote suas coordenadas.

______________________________________________________________________

d) Agora, verifiquemos algebricamente os pontos de interseo obtidos no item anterior.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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2.2. Discutindo as posies relativas entre uma reta e uma circunferncia

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as posies relativas entre uma reta

e uma circunferncia.

a) Vamos plotar o grfico da circunferncia : x2 + y

2 = 8 no GeoGebra. A seguir,

vamos criar um seletor c [ 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao s: y = x + c. Agora, vamos movimentar o

seletor e observar a posio da reta s em relao circunferncia . O que voc

observa? _______________________________________________________________

______________________________________________________________________



c) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, c = 8, c = 4,

c = 0, c = 4 e c = 8) e anotar a equao reduzida de cada uma das retas. Agora,

vamos plot-las no GeoGebra, juntamente com a circunferncia : x2 + y

2 = 8

e identificar a posio relativa de cada uma das retas em relao circunferncia.

s1: _______________________ __________________________________________

s2: _______________________ __________________________________________

s3: _______________________ __________________________________________

s4: _______________________ __________________________________________

s5: _______________________ __________________________________________

d) A partir do que voc observou, agora vamos discutir as posies relativas entre a reta

s: y = x + c e a circunferncia : x2 + y

2 = 8 em funo de c.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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2.3. O caso da posio relativa entre duas circunferncias

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a posio relativa entre duas

circunferncias a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico das circunferncias no GeoGebra:

1: x2 + y

2 2x 3 = 0 e 2: x

2 + y

2 + 2x 4y + 1 = 0


entre as circunferncias?

______________________________________________________________________



so os pontos de interseo entre as circunferncias? Anote suas coordenadas.

______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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2.4. Discutindo as posies relativas entre duas circunferncias

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir algumas posies relativas entre

duas circunferncias.

a) Vamos plotar o grfico da circunferncia 1: x2 + y

2 12x + 32 = 0 no GeoGebra. A

seguir, vamos criar um seletor r [1 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao 2: x2 + y

2 = r

2. Agora, vamos

movimentar o seletor e observar a posio da circunferncia 2 em relao

circunferncia 1. O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos clicar com o boto direito do mouse sobre a circunferncia 2,

selecionar Habilitar Rastro e movimentar, para verificar a validade de suas

observaes do item anterior.

c) Vamos escolher alguns valores para r no intervalo dado (por exemplo, r = 2, r = 4,

r = 6, r = 8 e r = 10) e anotar a equao reduzida de cada uma das circunferncias.

Agora, vamos plot-las no GeoGebra, juntamente com a circunferncia

1: x2 + y

2 12x + 32 = 0 e identificar a posio relativa de cada uma das

circunferncias em relao circunferncia 1.

21: _______________________ ________________________________________

22: _______________________ ________________________________________

23: _______________________ ________________________________________

24: _______________________ ________________________________________

25: _______________________ ________________________________________

d) A partir do que voc observou, agora vamos discutir as posies relativas entre as

circunferncias 1: x2 + y

2 12x + 32 = 0 e 2: x

2 + y

2 = r

2, em funo de r.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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Figura 6 Construo sntese de 2.2.a/b

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Figura 7 Construo sntese de 2.2.c


22

Figura 9 Construo de 2.4.a

Figura 10 Construo de 2.4.c

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3.3. ATIVIDADE 3: ELIPSES

3.1. Explorando os elementos de uma elipse

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir os elementos de uma elipse a partir

dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico da elipse : x2 / 25 + y

2 / 16 = 1 no GeoGebra;

b) Pela observao do grfico, identifique: a = ___ ; b = ___ e, a seguir, obtenha c = ___

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Elipse. Agora, vamos selecionar como focos os pontos (3 , 0) e (3 , 0) e depois clicar

sobre o ponto (5 , 0). Qual a equao da elipse que aparece na Janela de lgebra?

Verifiquemos algebricamente que se trata da mesma elipse dos itens a / b.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) Vamos marcar um ponto qualquer na elipse. Utilizando a barra de ferramentas,

vamos clicar no 3 boto e, em seguida, em Segmento determinado por dois pontos.

A seguir, vamos clicar no ponto da elipse e em cada um dos seus focos. Na Janela de

lgebra, o que voc observa sobre a soma das medidas dos segmentos? Finalmente,

vamos movimentar o ponto sobre a elipse e observar novamente!Explique!

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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3.2. Explorando a excentricidade de uma elipse

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as propriedades da excentricidade

de uma elipse.

a) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 7 boto e, em seguida, em

Elipse. Agora, vamos selecionar como focos dois pontos quaisquer do eixo x e depois

movimentar gerando vrias elipses. O que voc observa sobre o formato dessas elipses?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos clicar com o boto direito do mouse sobre uma das elipses, selecionar

Habilitar Rastro e movimentar, para verificar a validade de suas observaes do item

anterior.

c) Tentando fazer uma conexo com o que estudamos na sala de aula, o que voc pode

concluir em relao excentricidade das elipses?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 7 boto e, em seguida, em

Elipse. Agora, vamos selecionar como focos dois pontos quaisquer do eixo y e depois

movimentar gerando vrias elipses. Vamos fazer as mesmas observaes anteriores!

25

3.3. O caso da posio relativa entre uma reta e uma elipse

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a posio relativa entre uma reta e

uma elipse a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico da reta e da elipse no GeoGebra:

r: y = x e : x2 / 25 + y

2 / 16 = 1


entre a reta e a elipse?

______________________________________________________________________



so os pontos de interseo entre a reta e a elipse? Anote suas coordenadas.

______________________________________________________________________


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______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

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______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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3.4. Discutindo as posies relativas entre uma reta e uma elipse

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as posies relativas entre uma reta

e uma elipse.

a) Vamos plotar o grfico da elipse : x2 / 25 + y

2 / 16 = 1 no GeoGebra. A seguir,

vamos criar um seletor c [ 10 , 10] com incremento 0,1. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao r: y = x + c. Agora, vamos movimentar o

seletor e observar a posio da reta r em relao elipse . O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________



c) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, c = 8; c = 6,4;

c = 0; c = 6,4 e c = 8) e anotar a equao reduzida de cada uma das retas. Agora,

vamos plot-las no GeoGebra, juntamente com a elipse : x2 / 25 + y

2 / 16 = 1

e identificar a posio relativa de cada uma das retas em relao elipse.

r1: _______________________ __________________________________________

r2: _______________________ __________________________________________

r3: _______________________ __________________________________________

r4: _______________________ __________________________________________

r5: _______________________ __________________________________________

d) A partir do que voc observou, agora vamos discutir as posies relativas entre a reta

r: y = x + c e a elipse : x2 / 25 + y

2 / 16 = 1 em funo de c.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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Figura 11 Construo sntese de 3.1.a

Figura 12 Construo sntese de 3.1.d

28

Figura 13 Construo sntese de 3.2.b


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3.4. ATIVIDADE 4: HIPRBOLES

4.1. Explorando os elementos de uma hiprbole

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir os elementos de uma hiprbole a

partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico da hiprbole : x2 / 9 y


b) Pela observao do grfico, identifique: a = ___ . Pela anlise da equao, identifique

b = ___ e, a seguir, obtenha c = ___

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


Hiprbole. Agora, vamos selecionar como focos os pontos (5 , 0) e (5 , 0) e depois

clicar sobre o ponto (3 , 0). Qual a equao da hiprbole que aparece na Janela de

lgebra? Verifiquemos algebricamente que se trata da mesma hiprbole dos itens a/b.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) Vamos marcar um ponto qualquer na hiprbole. Utilizando a barra de ferramentas,

vamos clicar no 3 boto e, em seguida, em Segmento determinado por dois pontos.

A seguir, vamos clicar no ponto da hiprbole e em cada um dos seus focos. Na Janela de

lgebra, o que voc observa sobre a diferena das medidas dos segmentos? Finalmente,

vamos movimentar o ponto sobre a hiprbole e observar novamente!Explique!

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

31

4.2. Explorando a excentricidade de uma hiprbole

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as propriedades da excentricidade

de uma hiprbole.


Hiprbole. Agora, vamos selecionar como focos dois pontos quaisquer do eixo x e

depois movimentar gerando vrias hiprboles. O que voc observa sobre o formato

dessas hiprboles?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos clicar com o boto direito do mouse sobre uma das hiprboles,

selecionar Habilitar Rastro e movimentar, para verificar a validade de suas

observaes do item anterior.


concluir em relao excentricidade das hiprboles?

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______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 7 boto e, em seguida, em

Hiprbole. Agora, vamos selecionar como focos dois pontos quaisquer do eixo y e

depois movimentar gerando vrias hiprboles. Vamos fazer as mesmas observaes

anteriores!

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4.3. O caso da hiprbole equiltera

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir os elementos de uma hiprbole

equiltera a partir dos grficos / equaes.





______________________________________________________________________


concluir em relao excentricidade da hiprbole? Como podemos classific-la?

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______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) Agora, vamos criar uma equao de uma hiprbole equiltera cujo eixo real est

contido no eixo y. A seguir, vamos determinar os seus elementos e verificar que a

hiprbole , de fato, equiltera pela definio. Agora, vamos plotar o grfico da

hiprbole no GeoGebra e observar seu grfico.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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4.4. Apresentando as assntotas de uma hiprbole

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as assntotas de uma hiprbole.





______________________________________________________________________

c) Vamos plotar os grficos das retas t1: y = (5/4)x e t2: y = ( 5/4)x. Agora, vamos

mover os eixos para cima na direo dos dois ramos da hiprbole e depois, para baixo

tambm na direo dos dois ramos da hiprbole. O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

d) As retas acima so chamadas de assntotas da hiprbole. Agora, vamos tentar

generalizar! Dada uma hiprbole : x2 / a

2 y

2 / b

2 = 1, quais so as equaes das suas

assntotas t1 e t2?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

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3.5. ATIVIDADE 5: PARBOLAS

5.1. Explorando os elementos de uma parbola

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir os elementos de uma parbola a

partir dos grficos / equaes.

a) Vamos plotar o grfico da parbola P: y2 = 16x no GeoGebra;

b) A partir de uma anlise algbrica da equao, identifique: o vrtice V (____,____);

o parmetro p = ____ ; o foco F (____,____) e a equao da diretriz d: _____________ .


Parbola. Agora, vamos selecionar como foco o ponto (4 , 0) e como diretriz, vamos

digitar no campo de entrada de dados do GeoGebra, a equao x = 4. Qual a

equao da parbola que aparece na Janela de lgebra? Verifiquemos algebricamente

que se trata da mesma parbola P dos itens a e b._______________________________

d) Vamos marcar um ponto qualquer na parbola. Utilizando a barra de ferramentas,

vamos clicar no 8 boto e, em seguida, em Distncia, Comprimento ou Permetro. A

seguir, vamos clicar no ponto da parbola e no seu foco. Agora, vamos clicar no no

ponto da parbola e na diretriz. Na prpria tela e/ou Janela de lgebra, o que voc

observa sobre as medidas dos segmentos? Finalmente, vamos movimentar o ponto sobre

a parbola e observar novamente! Explique!

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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5.2. Explorando parbolas com diretrizes no paralelas aos eixos coordenados

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir as propriedades de parbolas com

diretrizes no paralelas aos eixos coordenados.


Parbola. Agora, vamos selecionar como foco o ponto (2 , 2) e como diretriz, vamos

digitar no campo de entrada de dados do GeoGebra, a equao y = x. Qual a

equao da parbola que aparece na Janela de lgebra?

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos verificar que se trata da mesma equao obtida para a parbola em sala

de aula. ________________________________________________________________


Parbola. Agora, vamos selecionar como foco o ponto (1, 1) e como diretriz, vamos

digitar no campo de entrada de dados do GeoGebra, a equao y = x. Qual a equao

da parbola que aparece na Janela de lgebra?

______________________________________________________________________

d) Agora, vamos obter algebricamente a equao da parbola utilizando a definio de

parbola enquanto lugar geomtrico de pontos e comparar com a equao obtida acima:

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

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5.3. Explorando a variao do parmetro de uma parbola

OBJETIVO: Explorar / argumentar / inferir a variao do parmetro de uma

parbola a partir dos grficos / equaes.

a) Vamos criar um seletor p [1 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de

dados do GeoGebra, vamos digitar a equao P: y = (1/2p)x2. Agora, vamos

movimentar o seletor e observar o formato da parbola P. O que voc observa?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Agora, vamos clicar com o boto direito do mouse sobre a parbola P, selecionar

Habilitar Rastro e movimentar, para verificar a validade de suas observaes do item

anterior.

c) Vamos escolher alguns valores para p no intervalo dado (por exemplo, p = 2, p = 4,

p = 6, p = 8 e p = 10) e anotar a equao reduzida de cada uma das parbolas. Agora,

vamos plot-las no GeoGebra e observar o formato de cada uma delas.

____________ P 1:____________________________________________________

____________ P 2: ___________________________________________________

____________ P 3: ___________________________________________________

____________ P 4:____________________________________________________

____________ P 5: ____________________________________________________

d) A partir do que voc observou, agora vamos tentar refinar suas observaes sobre o

formato da parbola P: y = (1/2p)x2 em funo de p.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

41

5.4. Criando uma atividade exploratria com parbolas

OBJETIVO: Investigar / conjecturar / deduzir caractersticas e/ou propriedades

de parbolas a partir de atividades exploratrias criadas pelos prprios alunos.

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43



44



45

4. Algumas recomendaes para os professores

A partir de nossa experincia docente de Geometria Analtica e de nossa

experincia de pesquisa realizada, ousamos fazer algumas recomendaes para os

professores que quiserem utilizar nossas atividades em sua prtica pedaggica:

- Rever sua concepo de ensino e aprendizagem, pois esses processos no devem ser

resumidos a um mero processo de transmisso-recepo de informao, mas devem

ser pensados como um processo de construo cognitiva que estimulado pela

investigao dos alunos;

- Alterar padres nos quais o professor usualmente desenvolve sua prtica, repensando a

dinmica das aulas, as relaes professor / alunos e a reorganizao do currculo;

- Estar consciente de que nesse ambiente de aprendizagem, por vezes, os alunos sabero

mais sobre o uso do computador do que o professor;

- Ter clareza de que nesse ambiente de aprendizagem caber ao professor promover a

aprendizagem dos alunos propondo atividades que os desafiem e os motivem para a

explorao, a reflexo e a descoberta;

- Promover a participao ativa dos alunos, de modo que eles se tornem autores e

condutores do seu processo de aprendizagem e possam compartilhar com o professor e

com os demais colegas, os resultados explicitamente descritos na tela do computador;

- Ter conscincia de que o processo de explorao, de construo do conhecimento deve

complementar o processo de formalizao dos conceitos matemticos;

- Saber que a prtica docente em Geometria Analtica deve priorizar aspectos que

podem levar o aluno a uma maior compreenso dos contedos, tais como a ampliao

das possibilidades de visualizao de conceitos e propriedades, a realizao de

experimentao e nfase na interpretao de construes geomtricas e grficas e

principalmente, a interao entre as abordagens geomtricas e grficas.

46

- Acreditar que os softwares de geometria dinmica contemplam as caractersticas de

ambientes informatizados que contribuem para os processos de ensino e aprendizagem

tornando o aluno mais ativo na construo do seu conhecimento;

- Por fim, crer que a aprendizagem de Geometria favorece trs diferentes formas de

processos cognitivos com funes epistemolgicas especficas: a visualizao, a

construo de figuras e o raciocnio.

47

Referncias / Bibliografia recomendada

ALMEIDA, M. E. Proinfo: Informtica e Formao de Professores. Braslia:

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Geocincias e Cincias Exatas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2005.

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DAMBROSIO, U.; BARROS, J. P. D.. Computadores, Escola e Sociedade. So Paulo:

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FRANCHI, R. H. O. L. Ambientes de aprendizagem fundamentados na Modelagem

Matemtica e na Informtica como possibilidades para a Educao Matemtica. In:

BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAJO, J. L. (Orgs.). Modelagem Matemtica

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Sociedade Brasileira de Educao Matemtica, p. 177-193, 2007.

GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. A Aprendizagem da Matemtica em

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2011.

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Documentary Review. Laval University and McGill University, 1996.

LIMA, L. F. Grupo de estudos de professores e a produo de atividades matemticas

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aula. Belo Horizonte: Autntica, 2003.

48

RICHIT, A. Projetos em Geometria Analtica usando software de Geometria Dinmica:

repensando a formao inicial docente em Matemtica. Dissertao (Mestrado em

Educao Matemtica). Instituto de Geocincias e Cincias Exatas. Universidade

Estadual Paulista. Rio Claro, 2005.

SANTOS, I. N. Explorando conceitos de Geometria Analtica Plana utilizando

Tecnologias da Informao e Comunicao: uma ponte do Ensino Mdio para o Ensino

Superior construda na formao inicial de Professores de Matemtica. Dissertao

(Mestrado Profissional em Educao Matemtica). Universidade Federal de Ouro Preto.

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VALENTE, J. A. Anlise dos diferentes tipos de software usados na Educao. In:

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3 - Atividades Exploratórias de Cônicas Usando o Geogebra

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