3. CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO - … · 2010-07-29 · Teoria da Elasticidade e da...

Teoria da Elasticidade e da Plasticidade – TEP Prof. José Divo Bressan

35

3. CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO Todo critério de escoamento plástico é uma expressão matemática que estabelece quando os diferentes estados de tensão produzirão o início das deformações plásticas (ou seja o início do escoamento plástico) no material sólido em análise.

A forma geral da função matemática do critério de escoamento é:

Para os metais dúteis e isotrópicos, podemos assumir as seguintes hipóteses simples iniciais comprovadas experimentalmente:

1. _____________________________, isto é, os limites escoamento em tração simples e em compressão são iguais.

2. ________________________, portanto o coeficiente Poisson é equivalente a 3. O escoamento plástico não depende da _____________________________ _______________________, isto é podemos mover o círculo de Mohr ao longo eixo da tensão normal de acordo com a conveniência.

Portanto, o escoamento plástico depende somente ______________________

__________________________ ______________ . Essa hipótese é razoável se o escoamento plástico depende de mecanismos de cisalhamento como deslizamento ou maclação. Então a função matemática será,

que implica que o escoamento plástico depende do tamanho do círculo de Mohr e não de sua posição no eixo das tensões normais. Existem dois enfoques simples que veremos a seguir. 3.1 Critério de Tresca : Esse foi o primeiro critério apresentado (1872) e postula que o início do escoamento plástico ocorre quando a maior tensão de cisalhamento atinge um valor crítico, ou seja:

ou para 321 σ>σ>σ Para o caso de tração simples temos,

⇒

=σ

=σ

2

1


36

Para o caso de cisalhamento puro ou torção pura, temos,

⇒

=σ

=σ

=σ

3

2

1

Portanto, =σ0 onde K é o limite de escoamento plástico no cisalhamento e 0σ é o limite de escoamento na tração simples. 3.2 Critério de Von Mises : Esse critério de escoamento (1913) postula que o escoamento se inicia quando a média das tensões de cisalhamento atinge um valor crítico, ou seja, ou, onde a constante do material C2 pode ser determinada através do ensaio de tração uniaxial, substituindo σ1 = σ0 com σ2 = σ3 = 0 , então,

τ

σN

τ

σN σ0 0

ou seja,

Círculo de Mohr do cisalhamento puro (ensaio de torção).

tração simples σ σ


37

Portanto, Tresca → =K Von Mises → =K Fig.3.1 Representação geométrica dos critérios de Tresca e Von Mises para estado plano de tensões, σ3 = 0. 3.3 Representação do Critério de Escoamento no Espaço Tridimensional de Tensões - Espaço de Haigh - WesterGard O estado de tensão num corpo pode ser representado por um ponto no espaço tridimensional cujas coordenadas são as tensões principais σ1,σ2,σ3. Esse espaço é chamado de Haigh - WesterGard. Os estados de tensões em qualquer ponto da linha ON tem:

N

σ1

σ2

σ3

• •

Q ( )

plano

54°44’

54°44’

54°44’ 0

•

0 σ1

σ2

Diferenca Tresca/Mises de ____


38

Como a reta ON tem ângulos iguais l = m = n = , então

m321

N 3σ=

σ+σ+σ=σ . Portanto, a reta ON representa o estado hidrostático de

tensões. Considerando o plano perpendicular ‘a reta ON, a equação deste plano π’ é: =σ+σ+σ 321 onde ρ = Portanto, o plano que passa pela origem, plano π, tem equação: === nml

____OQ=ρ

Projetando-se ___OP sobre a reta ON temos : nmlOQ 321

____σ+σ+σ=

=σ+σ+σ=ρ∴ 321 31

31

31

=∴

σ+σ+σ=σ=ρ→σ=ρ∴2____

2m

2m

2m

2m

2m

OQ

33

também,

=2____

OP portanto,

=

ρ−σ+σ+σ= 223

22

21

2____PQ

N ( l, m, n )

σ1

σ2

σ3

• • Q ( σm, σm, σm )

P

0

ρ Plano π

P ( σ1, σ2, σ3 )


39

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]222D2

2m3

2m2

2m1

2____

31I2

PQ

++==

=

σ−σ+σ−σ+σ−σ=

Conforme critério de Von Mises, o material escoa quando,

( ) ( ) ( )[ ] 021

213

232

2212

1σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ , isto é, quando =

____PQ

Movendo-se P ao longo de uma reta paralela ‘a ____ON , teremos uma reta PP’ em que

________Q'PPQ = , ou seja, o desviador de P’ = desviador de P. Portanto se PP’ for uma

linha de escoamento, isto gerará uma , pois o escoamento plástico só depende do tensor desviador.

____OQ =

As componentes de ____PQ são:

σ1’ = σ1 - σm , σ2’ = σ2 - σm, σ3’ = σ3 - σm , que são as componentes desviadoras da

tensão, isto é, ____PQ é o

O critério de escoamento plástico de Von Mises é uma __________ __________. Se o ponto P estiver dentro do cilindro, o material está no campo elástico. Se P tocar a superfície do cilindro então a condição de escoamento plástico é atingida. Movimento de P ao longo de ON apresenta uma mudança na componente_______ que não afeta o escoamento.

=r

N

σ1

σ2

σ3

•

0

•

•

raio do cilindro :

σ1

σ2

σ3

0

Plano π

N

P •

Fig. 3.2 Representação do Critério de Escoamento Plástico de Von Mises no espaço de tensões principais σ1 , σ2 , σ3 ou espaço de Haigh-WesterGard.


38

Critério de Von Mises:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }

0

____20

2____

213

232

221

2m3

2m2

2m1

____

32PQ

32PQ

31

PQ

σ=∴σ=



Considerando o plano π que passa pela origem 0 e é perpendicular à ON. As projeções do cilindro e dos eixos σ1, σ2, σ3 , serão :

=r

Critério de Tresca A superfície de escoamento plástico conforme Tresca será uma superfície hexagonal inscrita dentro do cilindro:

120°

120° 120°

curva de escoamento para estado plano de tensões

σ1

σ2

σ3

0

Fig. 3.3 Representação do Critério de Escoamento Plástico de Tresca no espaço principal.


39

A projeção do critério de Tresca no plano π será: 012 σ=σ−σ

=x

3.4 Critério de Hill para Material Ansiotrópico Hill reformulou o critério de escoamento de Von Mises para material anisotrópico com simetria ortotrópica. O critério de Hill é:

onde F, G e H são constantes que definem o grau de anisotropia. Supondo σ01 o limite de escoamento na direção 1 , σ02 na direção 2 e σ03 na direção 3, as constantes acima podem ser determinadas a partir de :

203

202

201

1GF1FH1HGσσσ

=+=+=+

Para o caso de estado plano de tensões, σ3 = 0, (como é o caso de conformação de chapas ou vaso de pressão), temos:

Para Anisotropia Normal ou isotropia planar, σ01 ≅ σ02 = σ0 , portanto, Introduzindo o coeficiente de anisotropia normal R, o critério de Hill para materiais anisotrópicos será,

2021

21

21 R1

R2σ=σσ

+−σ+σ

onde: ( )R121

2

0

03 +=

σσ

σ1 σ2

σ3


40

Fig. 3.4 Representação geométrica do Critério de Hill no plano. 3.5 Critério de Edelman-Drucker : Um critério intermediário entre os critérios de Tresca e Von Mises que permite uma concordância melhor com os resultados experimentais foi proposto pelos autores Edelman e Drucker. Este critério introduz os invariantes de segunda e terceira ordem do tensor desviador, I2

D e I3D , e uma constante C que depende do material.

Este critério descreve a superfície f do início do escoamento plástico como sendo:

onde oσ é o limite de escoamento em tração simples. Este critério torna-se o critério de Von Mises quando C = 0 , e o critério de Tresca quando C = 1. 3.6 Verificação Experimental do Critério de Escoamento Plástico: Método Taylor- Quinney

As condições de tensões necessárias para ocorrer o início do escoamento plástico nos materiais podem ser estudadas empregando-se tubos de parede fina sob tração uniaxial e torção. Além disso, pode-se introduzir pressão dentro do tubo para se produzir estado triaxial de tensões. Um dos primeiros métodos utilizado na verificação experimental dos critérios de escoamento foi o método de Taylor e Quinney mostrado abaixo. Este método investiga os estados de tensões que se situam ____________________________________________.

R = R =

R =

0 •

σ1

σ2

0

τ

• • • •

•

•

σ

( )

( )

P

T

T

( ) 0)C1(274I3C)I(C27)I(4f 6

o22

oD2

2o

2D3

3D2 =−−−−−= σσσ


41

Para o círculo de Mohr das tensões no tubo visto acima, temos,

21

2yx

2xx

2

21

2yx

2xx

1

42

42

τ+

σ−

σ=σ

τ+

σ+

σ=σ

Portanto, o critério de Tresca é: e o critério de Von Mises :

Fig. 3.5 Comparação entre critérios de escoamento e pontos experimentais. Resultados experimentais : • x o 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,5 1,0

x•0 • x • 0

• • x • 0

• •x •0

x

0,7


42

3.7 Efeito de Bauschinger O material apresenta um limite de escoamento reduzido (menor) em comprensão após ter sofrido deformação plástica em tração e vice-versa.

xyτ

30σ

30σ

0 ε

σ

σ0

- σ0

Material Ideal

0 ε

σ

Efeito Bauschinger σ0’’ ≠ σ0’

0 σ0 σx

Distorção devido ao efeito

Curva inicial de

Curva subsequente de

P

T

0 σ1

σ2

•

• •

• •

•

• •

• •


43

4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS : RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO PLÁSTICA

Existe uma diferença fundamental entre tensões e deformações nas regiões elástica e plástica. O estado de tensão na região elástica é da história ou da trajetória da deformação, enquanto que na região plástica o estado de tensão e o estado de deformação da trajetória da deformação. Entretanto, para o caso particular em que todas as tensões aumentam na mesma proporção, isto é, para o caso de carregamento proporcional, temos:

3

3

2

2

1

1 dddσσ

=σσ

=σσ

e as deformações plásticas são independentes da trajetória de carregamento e dependem somente do estado final de tensão. Existem duas classes gerais de relações tensão-deformação plástica: teoria incremental ou teoria do escoamento plástico, e a teoria de deformação total. 4.1 Equações de Levy - Mises Afim de relacionarmos as tensões e deformações, devemos assumir as seguintes hipóteses: 1- As deformações elásticas são , 2- Os eixos principais de incrementos de deformação coincidem com os eixos principais de , 3- Os incrementos de deformação plástica durante qualquer incremento de carga é proporcional aos valores instantâneos das tensões desviadora: (equilíbrio instantâneo)

onde dλ é o ou constante de proporcionalidade que deve variar durante a deformação. No caso geral temos as relações :

onde:

=σ=σ

σ+σ+σ=

σ+σ+σ=σ=σ=σ

=σ=σ

z3

zyx321my2

x1

''33

:onde,''

''


44

As equações de Levy - Mises não da a deformação total. Para determinar esta, devemos empregar o critério de escoamento plástico, isto é,

13

13

32

32

21

21 dddddddσ−σε−ε

=σ−σε−ε

=σ−σε−ε

=λ

portanto,

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ){ }2

132

322

212

213

232

221

ddddddd

1ε−ε+ε−ε+ε−ε

λ=

=σ−σ+σ−σ+σ−σ

=σ∴ 2 ∴ o módulo de plasticidade é

As equações de Levy-Mises também podem ser escritas da seguinte forma:

xzxzz

yzyzy

xyxyx

2.ddd32d

2.ddd32d

2.ddd32d

τλ=γ

λ=ε

τλ=γ

λ=ε

τλ=γ

λ=ε

Comparando-se com as equações da Teoria da Elasticidade, temos:

=ε

E1

xx

e, portanto E1 corresponde a

Comparando-se com as equações de fluido ,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )zooz

z

yooy

y

xoox

x

22dt

d

22dt

d

22dt

d

σµ=µ=ε

=ε

−σµ=µ=ε

=ε

−σµ=µ=ε

=ε

&

&

&

xzoxz

yzoyz

xyoxy

xy dt

d

τµγ

τµγ

τµγ

γ

=

=

==

&

&

&

onde µo = Portanto, µo corresponde a


45

4.2 O Potencial Plástico

Proprõem-se que exista uma função escalar de σij , seja G(σij) , da qual as razões (taxas) dos incrementos de deformação plástica dεij podem ser obtidas através da derivada parcial de G(σij) com relação à σij . Portanto,

onde dβ é uma constante não negativa de modo que deformação negativa não está associada com tensão positiva. Assumindo a função escoamento plástico de Von Mises como o Potencial Plástico, isto é,

( ) ( )

=Ι=σ=σ

61FG D

2ijij

portanto, ==∂σ∂

1

F

então, βσ=β∂σ∂

=ε dd.Gd 11

1

portanto, de modo análogo, teremos: eq. de Levy-Mises Observar que ( ) 0'''dddd 321321 =σ+σ+σλ=ε+ε+ε Para a função de escoamento de Tresca, temos que para ,321 σ>σ>σ então: 1:0:1d:d:d 321 −=εεε isto é, as deformações plásticas ocorrem somente no plano σ1 x σ3 , pois dε2 = 0 , e são iguais mas de sinal oposto.

Baseado em Von Mises, temos a função escoamento plástico proposta por Hill para material anisotrópico como sendo,

obs. deduzir as equações dos incrementos de deformação.


46

Círculo de Mohr para Tensões e Incrementos de Deformação Plástica : 1m 3

1σ=σ

32 dd ε=ε 1dε A componente hidrostática do estado de tensões não produz deformação plástica, e portanto, o valor de σm deve coincidir com o zero do círculo das deformações. 4.3 O Princípio da Normalidade

As componentes de ____PQ paralelas aos eixos principais são σ1 ,σ 2 e σ3 que são

as componentes do tensor desviador ____PQ . A direção da normal à superfície de

escoamento no ponto P é a direção de ____PQ . Devido a regra de escoamento,

,d'

d'

d'

d

3

3

2

2

1

1 λ=σε

=σε

=σε

a razão entre os três incrementos de deformação dε1 e dε2 dε3 estão na mesma

razão entre si como também as componentes do tensor desviador. Portanto, um vetor

tendo componente dε1, dε2 e dε3 terá a mesma direção que ____PQ e pode ser localizado

em P apontado para fora na direção da normal à superfície no ponto P ( σ1; σ 2; σ 3 ).

.totdε =ε .totd

τ

σN σ1 σ2 = σ3 = 0

0 • • •

-1 +2

Von Mises

Q

P

•

• •

σ1

σ2

σ3

0

Plano π

N

P


47

[ ]

( ) ( ) ( )[ ]2123

22

21

____

21

23

22

21

.tot

'''23PQ

23

ddd23d

d23d

σ+σ+σ==σ

ε+ε+ε=ε

ε=ε

Portanto, o incremento de deformação equivalente εd é normal à superfiície

de escoamento plástico. Para um material isotrópico as direções principais de tensão e deformação coincidem.

Para o caso de espaço plano de tensões, σ3 = 0 , temos:

1

2

2

1

∂σ∂σ

εε

−=dd

onde ∂σ ∂σ3 1/ é a inclinação da reta à curva de escoamento no ponto de interseção com a reta do carregamento. Isto é muito útil na construção experimental da curva de escoamento. Critério de Von Mises Critério de Tresca: não tem solucao unica nos cantos.

•

• 0 σ

σ

σ2

σ1

0

dε2 = - dε1

dε1 dε2 = 0

σ1

σ2

(Tração Biaxial)

(Tração Simples)

No vértice temos várias possibilidades de direção ou da trajetória da deformação.


48

4.4 Trabalho Plástico Se uma barra de comprimento inicial lo for submetida a uma força F que atua na àrea bo ho produzindo um incremento de extensão dl, o trabalho realizado será F.dl. O trabalho por unidade de volume será:

==ωd

Para o caso geral em três dimensões: ∑==ωd ou ( ) ( ) ( ) 332211 εσσεσσεσσω dddd mmm −+−+−=

3210

∑∑ −= imii dd εσεσ

Portanto, 332211 '''' εσεσεσεσω ddddd ii ++==∑

∴ εσ d.dw = =pw

εd PQ representa o vetor tensão desviadora

PR representa o vetor incremento total de deformação PQ é paralelo à PR Como a componente hidrostática OQ não realiza trabalho temos: PRPQPRPQd .. ==ω

( ) ( ) ( )[ ] σσσσ32''' 2

12

32

22

1 =++=PQ

→ Portanto a componente hidrostática não realiza trabalho.

0

Q

P

R

σ1

σ2

σ3

N

σ


49

[ ] εεεε ddddPR232

12

32

22

1 =++=

∴ εσεσω ddd .23.

32

==

4.5 Hipóteses de Encruamento : Expansão da Curva Subsequente do Escoamento Plástico Quando um metal ou liga é deformado em temperaturas abaixo da recristalização, à medida que ocorre a deformação, sua resistência a uma deformação posterior aumenta, isto é, o material encrua ou aumenta a sua dureza. Assumindo que a curva de escoamento mantém a mesma forma mas expande com o encruamento, não fica claro como a trajetória da deformação afeta o limite de escoamento corrente em cada instante (ou estado de tensão). No caso da hipótese de encruamento isotrópico temos uma expansão de curvas paralelas como visto abaixo,

isto é, ocorre σ03 ; σ02 ; σ01 → limite de

Há duas hipóteses gerais úteis sobre o encruamento dos metais: o limite de escoamento plástico corrente σ depende de:

a) b)

0

σ

σ03

σ02

σ01

ε

σ03 > σ02 > σ01 →

σ01

σ02

σ03

0

ε

σ

Wp = ε = deformação plástica


50

Desde que o limite de escoamento corrente σ = critério de Von Mises, supomos que o escoamento plástico é devido a um valor crítico de σ . Portanto, temos duas hipóteses: a - Hipótese do trabalho plástico de encruamento wp como εσω dd .= , então,

=σ

b - Hipótese da deformação plástica total =σ como por exemplo a equação de Holomon, ( ) n

ok ε+ε=σ Na prática essas duas hipóteses dão resultados semelhantes. Geralmente, a diferença é menor que o erro experimental. Portanto, devemos utilizar a hipótese mais conveniente. A maioria dos resultados experimentais referem-se a uma trajetória linear de deformação. As investigações experimentais confirmam as equações empíricas: nK ε=σ → material recozido ( )nK ε+ε=σ 0 → material encruado Exemplo 1 O comportamento plástico de certo metal é descrito por 5.0000.100 εσ = psi (metal recozido). Se uma barra desse metal for trabalhado ‘a frio, reduzindo-se a área da secao tranversal em r = 0.3 de modo uniforme, estimar o limite de escoamento da peça após o encruamento (isto é, trefilação). Solução:

a deformação verdadeira é, =r

=

−=ε

3.011ln

o novo limite de escoamento será: ( ) ==σ=σ 5.0

0 000.100 psi Exemplo 2 Um tubo de parede fina com extremidades fechadas está sujeito à uma pressão interna máxima de 5.000 psi em serviço. O raio médio do tubo é 12in e não deve sofrer escoamento plástico em qualquer ponto. Pergunta-se :


51

a) Se o material tem o limite de escoamento de 000.1000 =σ psi, qual deve ser a espessura mi’nima h que deve ser especificado de acordo com o critério de Tresca? b) Se o limite de escoamento em cisalhamento puro 000.40K = psi, qual o valor mínimo de h?

Solução:

hR.P

1 =σ

h2R.P

2 =σ

a) =σmax , =σ=σ 3min então 0minmax σ=σ−σ → Tresca

∴ ==h

b) K2minmax =σ−σ

000.40x20hR.P

=− ∴ ==h

Exemplo 3 Corte de barras para fabricar peças após a extrusão. F =

∴ =τ =

h

P R

P = pressão

σ1 σ2

σ3 = 0

F

h

b

ferramenta

plano de cisalhamento

Tensão média de cisalhamento (escoamento)


52

Se aplicarmos uma tensão de tração T na barra como abaixo, o critério de Von Mises nos dá: ( ) 2

022 2'6T2 σ=τ+

∴ =τ'

O efeito de T é reduzir a tensão de cisalhamento τ para τ’ e portanto, a força F também é reduzida. Isso prolonga a vida da ferramenta. Entretanto, para se aplicar T seria necessário um equipamento mais complexo. T em compressão seria melhor que tração.

Para uma barra redonda, a torção seria mais efetiva, reduzindo ainda mais a forca F a ser aplicada.

Exemplo 4 : Laminação

Pelo critério de Tresca, desprezando-se o atrito,

( ) =→σ=−− PPT 0

observar que o efeito de se aplicar T (tensão de tração) é reduzir a pressão na superfície dos cilindros. Isto é benéfico. Exemplo 5 : Extrusão Matriz A aplicação de T reduz P.

•

•

T

P

Elástica Elástica

Zona de deformação plástica. P

P

T T

pressão do cilindro

P T


53

5. CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO DE MATERIAIS POROSOS A teoria da plasticidade convencional não é válida para deformações plásticas

de sólidos porosos para os quais a condição de volume constante não é válida e não satisfaz a hipótese do escoamento plástico ser independente da pressão hidrostática σm . Porosidade em um sólido – A porosidade de um sólido é caracterizado pela fração de volume de porosidades ____ ou pela densidade relativa do sólido que estão relacionadas por, (1) onde ρ e V são a densidade e o volume total do sólido poroso. ρM e VM , densidade e volume da matriz, e Vv é o volume total das porosidades. Nos estágios iniciais da deformação Cv é muito pequeno. Alguns valores de Cv são vistos a seguir: - Ensaios iniciais de deformação para materiais com ligas convencionais : Cv ≈ - Pós metálicos compactados e sinterizados : Cv ≈ - Para deformações em ligas superplásticas : Cv ≈ (alongamento até 500%) 5.1 Função do Escoamento Plástico de Gurson e sua Forma Simplificada

Materiais porosos sugerem que o critério de escoamento plástico é uma função do primeiro invariante do tensor tensão I1 e do segundo invariante do tensor desviador, I2

D . Função de Gurson – representa uma função baseada numa solução da deformação esfericamente simétrica para materiais rígidos perfeitos plásticos em torno das porosidades esféricas simples. A tensão efetiva aparente σ em função da tensão efetiva na matriz Mσ é, (2) Forma simplificada – obtida pela expansão do cosseno hiperbólico em termos da série de potência de . Em muitos processos de deformação a magnitude deste termo é menor que a unidade. (3)

A eq. (3) combinada com a definição de Hill para o limite de escoamento corrente para material com anisotropia normal R dada pela eq. 4 abaixo,

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221

2 RR1

1σ−σ+σ−σ+σ−σ

+=σ (4)

concluindo em, (5)

( )Mm 2/3 σσ

σ


54

Estados triaxiais e biaxiais aplicados a um material isotrópico, R = 1 .

A função simplificada de Gurson não pode substituir a forma original nos processos de carregamento tridimensional.

Fig. 1 – Comparação entre os critérios de escoamento plástico de Gurson, Gurson simplificado, Green e Green não-quadrático; R = 1, Cv0 = 0,05 .

Fig. 2 – Efeito da fração de volume de porosidades CV sobre o critério limite de escoamento de Gurson e Gurson Simplificado (coincidente) na condição de tensão plana; R = 1.

1. 2. 3. 4.

= =

=


55

Os incrementos de deformação plástica principais (obtido pela diferenciação da função escoamento plástico com respeito a tensão principal correspondente) são os seguintes,

[ ]

σ+σ−σ−σ++

λ=ε mv3211 C232R2)R1(2

R11dd (6)

[ ]

σ+σ−σ−σ++

λ=ε mv3122 C232R2)R1(2

R11dd (7)

[ ]

σ+σ+σ−σ−+

λ=ε mv3213 C23422

R11dd (8)

e a deformação volumétrica do sólido poroso é, =εVd (9)

Denotando o incremento da deformação equivalente ou efetiva da matriz por , então o trabalho plástico feito pela matriz do material tendo o volume (1- Cv), é expresso por:

Fig. 3 – Efeito da anisotropia normal R sobre o limite de escoamento quadrático dos modelos simplificados de Gurson para a condição do estado plano de tensão; Cv0 = 0,05.

Mε

R = R = R = R =


56

=pWd (10) Substituindo as eq. (6), (7) e (8) em (10), obtém-se o módulo de plasticidade : =λd (11) e a deformação equivalente ou efetiva da matriz é dada por:

[ ]2/1

V

32V2

2

V

2V2

132

322

212

M

1dd

)R21(R1

31d)R21(

)R1)(R1(92

Cd

94)ddR()dRd()dd(R

)R21(R1

d

−

εε

+−

+ε+

−++

+ε

+ε−ε+ε−ε+ε−ε++

=ε

(12 a) Para materiais isotrópicos , R=1 , tem-se:

2/1

V

2v2

132

322

21M Cd

94])dd()dd()dd([

92d

ε

+ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε (12 b)

5.2 Modelo não quadrático de Green Assume que o material matriz obedece o critério plástico de Von Mises. Para materiais isotrópicos: (13) δ e θ são funções da fração de volume Cv dado por: (14) Forma Simplificada de Green – assumindo que o material da matriz possui anisotropia normal R e obedece o critério plástico não quadrático proposto por Hill (1979), (15)


57

onde m é um índice determinado experimentalmente relacionado a anisotropia normal: 5.3 Modelo de Shima – Oyane (1976) Para materiais sólidos porosos e isotrópicos,

=σM (16)

onde f e f ‘ são funções de mudança da densidade relativa ou a fração volumétrica de poros. São determinados empiricamente por compressão simples e testes de tração. Para o cobre sinterizado resultaram em,

5.2V )C1('f −= e

V514.0

V C5.21

C49.21f ≅= (17)

Na forma explícita, esta equação da plasticidade é dada por:

2/12mV

2213

232

2215.2

VM C5.2])()()([

21

)C1(1

σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ

−=σ (18)

5.4 – Leis do Crescimento da Porosidade e Comparações Experimentais

Todos os modelos de mudança volumétrica dεv predizem leis para o crescimento de porosidades. Desde que o volume da matriz Vm = V-Vv = V(1-Vv) então tem-se (para um material incompreensível):

==εVVdd v (19)

Para a simplificação do modelo de Gurson (pela eq. 10),

)C1(C9

Cd2d

VVm

V

−σ=λ (20)

Mudança incremental da fração de volume dCv - substituição da eq. (20) na eq. (12) utilizando-se a eq.(5).

=ε

V

M

Cdd (21)

m = 1+ r (Regaard e Abbas, 1986) m = 1,14+0,86 r (Liao, 1989) m = 2 (Hill – para materiais com r ≥ 1


58

Integração da forma fechada da eq. (21) – expressa a fração de volume dos poros para qualquer deformação plástica, onde a lei do crescimento de poros fica:

−−

+

−−

α+α+

α

+−α

+−

=ε1C1C

n31

)1C(C)1C(C

n)1(R1

1R1

R1

34

V

Vo

VVo

VoV

21

21

1 ll (22)

As fórmulas derivadas que a fração corrente de poros é teoricamente dependente da fração de volume de poros inicial Cv0, do estado de carregamento, pela razão de deformação anisotrópica, e vários outros parâmetros de ajustes empíricos incorporados no critério de escoamento como, q1, q2, q ou m nos modelos de Gurson – Tvergaard, Gurson – Richmond e Green não quadrático ou Liao, respectivamente.

Fig. 6 – Comparação experimental e predita entre o crescimento de porosidades do bronze sob tensão uniaxial; Cv0 = 0,025 .


59

Fig. 7 – Comparação experimental e predita entre o crescimento de materiais isotrópicos superplásticos sob tensão uniaxial

Fig. 8 – Comparação experimental e predita entre o crescimento de porosidades de um aço poroso anisotrópico (F = 1,68) e

alumínio (F = 0,64) sob tensão equiaxial.


60

5.5 – Aplicação ao Comportamento Plástico na Tração Uniaxial de Barras com Crescimento de Porosidades. - Curvas de escoamento de metais porosos sujeitos a cargas uniaxiais - Utilização de modelos simplificados de Gurson e suas formas modificadas - A matriz material é assumida a obedecer a lei simples da potência - resistência (23) onde o subscrito M refere-se a matriz do material. KM , nM e γM são os coeficientes de resistência á deformação , de encruamento e coeficiente sensitividade da taxa de deformação. - Para cargas uniaxiais, a tensão efetiva da matriz é dada pela tensão aparente considerando-se σ2 = σ3 = 0 nos modelos de escoamento. - A deformação efetiva da matriz pode ser relacionada com a deformação aparente ε1 dos vários modelos substituindo as eq. (12) em (7); e outras respectivamente.

Fig. 9 – Comparação experimental e predita entre o crescimento de porosidades de cobre sinterizado sob compressão simples; Cv0 = 0,13 .


61

- As tensões equivalentes aparentes do sólido são obtidos por vários modelos respectivamente dados por: Gurson (24) Gurson – Tvergaard simplificado (25) Gurson – Richmond simplificado (26)

Green não quadrático (27) A construção da curava de escoamento designa um valor incremental a tensão aparente, então a fração de volume de porosidades corrente associada, é determinada utilizando a lei do crescimento das porosidades e consequentemente a correspondente tensão de escoamento de cada uma de (24) – (27) A fração de volume de poros inicial destas ligas é estimada por diferentes métodos de acordo com as várias investigações: A fração de volume inicial de partículas é tomada como a fração de volume inicial de poros do corte livre do bronze. Para materiais superplásticos, cobre sinterizado e ligas sinterizadas de Ti, Cv0 é determinado da medição da densidade


62

O expoente de sensitividade da taxa de deformação e o coeficiente de tensão da matriz material – utilizada para predizer as curvas de escoamento – são determinadas para ligas superplásticas do comportamento experimental dos estágios iniciais de deformação.

Para sinterizados compactados nM e KM são tomados como aqueles dos materiais de poros livres ou como dado em referências (Shima e Oyane, 1976; Bourcier, 1986; da Silva e Ramech, 1997, respectivamente).

Fig. 10 – Curvas de tensão de escoamento experimental e prevista do bronze para uma fração de volume inicial Cv0 = 0,025 .

Fig. 12 – Curvas de tensão de tração e compressão experimental e predita de um corpo de prova de cobre sintetizado isotrópico Cv0 = 0,205 .

1. 2.


63

Fig. 13 – Curvas de tensão de escoamento experimental e predita do bronze com uma fração de Ti sinterizado isotrópico .

Fig. 14 – Curvas de tensão de escoamento experimental e predita de Ti-6Al-4V sinterizado isotrópico .


64

CONCLUSÃO Dos quatro modelos constitutivos básicos de deformação plástica de sólidos porosos, os modelos de Gurson simplificados e o modelo não quadrático de Green, possuem maior preferência nos tratamentos analíticos em problemas planos sem prejuízo na precisão dos resultados. As regras de escoamento associadas são apresentadas juntamente com as leis que governam o crescimento dos poros com tensões acumuladas. Os fatores de ajuste incorporados nestas leis capacita predizer o crescimento dos poros para ligas metálicas satisfatoriamente comparados a experimentos com materiais convencionais, superplásticos e materiais sinterizados. Também deve-se relevar que os parâmetros introduzido nos modelos de Gurson modificado são somente parâmetros de ajuste, onde estes não podem ser tratados como propriedades do material ou ao nível de porosidades inicial.

Fig. 15 – Curvas de tensão de escoamento compressivo experimental e predita do aço poroso sinterizado .


65

6. TEORIA DA ELASTICIDADE

As equações gerais da elasticidade que relacionam as deformações com as tensões, incluindo as tensões térmicas são :

5.1 Estado Plano de Tensões :

Para os casos de estado plano de tensões temos σz = , e portanto as equações acima ficam, assumindo uma variação nula da temperatura,

5.2 Estado Plano de Deformações : Para os casos de estado plano de deformações temos εz = , e portanto as equações acima para variações zero de temperatura, se tornam,

[ ]

[ ]

[ ] xzxzzz

yzyzyy

xyxyxx

G;TE1

G;TE1

G;TE1

γ=τ∆α+=ε

γ=τ∆α+=ε

γ=τ∆α+=ε

[ ]

[ ]

[ ] 0;E1

zw

0;E1

yv

xv

yuGG;

E1

xu

xzz

yzy

xyxyx

=τ=∂∂

=ε

=τ=∂∂

=ε

∂∂

+∂∂

=γ=τ=∂∂

=ε

[ ]

[ ]

[ ] =τ=

=τ=ε

γ=τ=ε

xz

yzy

xyxyx

;E10

;E1

G;E1


66

e, rearranjando a última equação, vem,

Substituindo esta na primeira equação εx teremos,

Reagrupando os termos,

Isto é, onde:

De modo análogo, obteremos ,

Portanto, estado plano de deformações tem uma certa equivalência com o estado plano de tensões. A deformação angular ou de cizalhamento é dada por,

E devem obedecer a equação da compatibilidade,

=σz

[ ]y2

x2

yxx E1

σν−σν−σν−σ=ε

( )

σ

ν−ν

−σν−

=ε yx

2

x 1E1

.planadeformaçãoparaPoissondeecoeficient

.planadeformaçãoparadeelasticidademóduloE

*

*

→=ν

→=

[ ]x*

y*y E1

σν−σ=ε

xyxy τ=γ


67

5.3 Equação Biharmônica : A equação geral da elasticidade para problemas de estado plano de deformação ou estado plano de tensões é dada pela equação diferencial biharmônica,

onde Ψ é a Função Tensão de Airy. Encontrando-se Ψ(x,y) que satisfaz a equação biharmônica, teremos,

Teormas Sobre a Equação Biharmônica : 1o Teorema : Se U1 e U2 são funções harmônicas (isto é, ∇2U = 0), então, isto é, ou seja, “qualquer função biharmônica pode ser escrita da forma : xU1 + U2 . 2o Teorema : Qualquer função biharmônica pode ser escrita da seguinte forma : , onde r2 = x2 + y2 (coordenadas polares). Exemplo 1 : seja a função harmônica Zn = rn (cos nθ + i sen nθ) . Também são Harmônicas : Exemplo 2 : ( Ar4 + Br2 + C + Dr –2) cos 2θ é uma função biharmônica. Resumindo, → equação de Laplace e φ(x,y) é função harmônica. → equação de Poisson-Laplace e φ(x,y) é função biharmônica.

ensionaldimBiouPlanadeElasticidadaGeralEquação04 →=Ψ∇

2

2

y

2

xy2

2

x

x

yx;

y

∂Ψ∂

=σ

∂∂Ψ∂

−=τ∂Ψ∂

=σ

São Biharmônicas

ensionaldimBiouPlanadeElasticidadaGeralEquação→


68

Estado Plano de Tensões : Considerando as condições de equilíbrio de forças nas direções OX e OY de um elemento do solido em estado plano de tensões, isto é σz = 0 , de acordo com a figura abaixo, temos as seguintes equações diferenciais de equilíbrio :

Onde X e Y são forças de campo como gravitacional, centrífuga, etc.. Assumindo que as forças de campo são nulas, temos,

Supondo que as tensões podem ser dadas pela função tensão de Airyes Ψ, isto é,

Y

X

σy

σy + dyy

y

∂

σ∂

σx + dxx

x

∂σ∂

τxy + dyyxy

∂

τ∂

τxy

σx

Y

X 0

dy

dx

=++

=+∂

+

0Y

0Xy

yx;

x;

y

2

xy2

2

y2

2

x ∂∂Ψ∂

−=τ∂Ψ∂

=σ∂Ψ∂

=σ


69

então, as equações de equilíbrio do estado plano de tensões acima ficam,

Portanto, está provado que Ψ satisfaz a condição de equilíbrio de forças. Se Ψ(x,y) for conhecida, então temos imediatamente as tensões e as condições de equilíbrio são satisfeitas. Porém, Ψ(x,y) deve satisfazer também as condições de contorno específica para cada problema para ser a solução exata analítica do problema. Em geral, a maior dificuldade está em encontrar a função Ψ(x,y) que satisfaça as condições de contorno de um problema prático de engenharia cujo peça analisada tem uma geometria complexa. Para estes problemas complexos e problemas de estado tridimensional de tensão deve-se empregar a técnica do método de elementos finitos ou das diferenças finitas para se obter uma solução numérica aproximada. Estado Plano de Deformações : As equações das deformações para estado plano de deformação são :

Substituindo estas equações na equação da compatibilidade, teremos,

Introduzindo a função tensão de Airyes Ψ, temos,

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]xyy

xyxyxyxyyxx

yzxzz

1E

1

E12ouG;1

E1

0e0;0

σν−σν−ν+

=ε

τν+

=γγ=τσν−σν−ν+

=ε

=τ=τ=ε

[ ] [ ] ( )yxxy

yxyy

2

2

2

2

2

xy2

2y

2

2x

2

∂∂∂

=∂∂

+∂∂

∴

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

∂∂

∂=

∂∂

+

∂∂

∴yxxy

2

2

2

2

2


70

Diferenciando, teremos, rearranjando e simplificando (1-ν) em ambos os lados, finalmente teremos,

0)(também,0ou

LaplacePoissondeouabiharmônicequação

224 =Ψ∇∇=Ψ∇

−→∴

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